{ } 3.3 Função Densidade de Probabilidade Condicional e Independência

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1 33 Fução Desidade de Probabilidade Codicioal e Idepedêcia Fução de Desidade de Probabilidade Codicioal (dimesão ) Seja f ( x,,x ) uma desidade cojuta associada a uma variável aleatória de dimesão Sejam também J { j,, j m } e J j m +,, j dois cojutos de ídices mutuamete exclusivos cuja uião é igual a I {,,} Etão a fução de distribuição codicioal da variável aleatória de dimesão m, ( j,, X jm ), dados os evetos X jm+,,x j com P D >, é dada por: X,, jm+ X j ( ) 0 { } X ( ) D f f ( x,x / ( x,,x ) D) j jm jm+ ( x,x / ( x,,x ) D) j jm jm+ j j f ( x jm,x j ) f jm ( x,x ) D jm jm (CC) f x ( x jm,x j ) f ( x,x ) j ( x,,x ) D +,, j (,,x ) D jm+,, j D j ( x,,x ) dx ( x,,x ) jm+ dx dx jm+ j dx j (CD)

2 33 Fução Desidade de Probabilidade Codicioal e Idepedêcia Caso D correspoda a um eveto elemetar a desidade codicioal será dada por: f ( x j, x jm / x ji d i,i m +,, ) f jm+,, j ( d,, ) m + d ( ) ( d m+,, d ) f x,, x m dado o valor posijvo para a desidade do deomiador, etão, como visto,, Iformações adicioais podem ser objdas a parjr do cohecimeto da relação de depedêcia etre duas ou mais variáveis aleatórias que, por exemplo, podem estar presetes em uma variável aleataória muljdimesioal

3 33 Fução Desidade de Probabilidade Codicioal e Idepedêcia Idepedêcia etre Variáveis Aleatórias As variáveis aleatórias X,,X são ditas idepedetes se P( xi Ai,i,,) P( xi Ai ), para todas as escolhas de evetos i associados às respecjvas variáveis i Tal defiição pode ser etedida a parjr da defiição de evetos idepedetes já vista Para o caso bivariado, por exemplo, com B e B defiidos como: B foi visto que idepedêcia implica equivalete a P, o que é A,, A {( x,x ): x A, ( x,x ) R( X )} B {( x,x ): x A,( x,x ) R( X )} ( x A,x A ) P( x A )P ( x ) A ( B B ) P( B )P ( ) P B

4 33 Fução Desidade de Probabilidade Codicioal e Idepedêcia Teorema 34 Sejam as variáveis aleatórias X,,X com a fução desidade de probabilidade cojuta f ( x e as fuções desidades margiais,,x ) Tais variáveis são ditas idepedetes se e somete se f x,i,, f ( ) i i ( x,,x ) f ( x ) i i i, pata todo ( x ),,x Ou seja, a desidade cojuta é igual ao produto das margiais Prova: exercício para casa (usar oção de evetos idepedetes) Do teorema, segue que o cohecimeto das desidades margiais, quado de variáveis idepedetes, é equivalete ao cohecimeto da desidade cojuta

5 33 Fução Desidade de Probabilidade Codicioal e Idepedêcia Ex3: Se uma desidade cojuta é dada por f ( x,x ) I[, ]( x ) I [ 5, 5 ] ( x ), as variáveis uidimesioais X e X são idepedetes? Sim ( ) f x, x f x f x ( )dx 3 ( ) f x, x 4 I [,] ( x )dx,5,5 I, [, ]( x ) 0, 5I[ ]( x ) (, 5 (, 5) )I[, ] ( x ) ( )dx I [ 5,5] ( x )dx ( ( ))I 5,5 3 I [ 5, 5]( x ) I[ 5, 5]( x ) ( ) [ ] x ( x,x ) I[ ]( x ) I [ ] ( x ) 0, 5I[ ]( x ) I[ ]( x ) f, 5, 5, 5, 5 3

6 33 Fução Desidade de Probabilidade Codicioal e Idepedêcia Observação: Uma implicação importate da idepedêcia etre duas variáveis aleatórias diz respeito à equivalêcia etre as desidade margial e codicioal Especificamete, assumido idepedêcia etre X e X, ( x,x ) f ( x )f ( ) f x Mas da defiição de desidade codicioal: f ( x / x b) ( x,b) f ( b) ( x )f ( b) f ( b) f f f ( ) f x ( x / x B) x B f x B ( x,x ) f ( x ) dx dx f ( x ) f ( x ) x B x B f ( x ) dx dx f ( x )

7 33 Fução Desidade de Probabilidade Codicioal e Idepedêcia Isto sigifica que evetos relacioados a X ão afetam ocorrêcias de evetos em X: P ( x A / x B) f ( x / x B) dx f ( x ) dx P( x A) x A x A A oção de idepedêcia etre duas ou mais variáveis aleatórias pode imediatamete ser estedida para o caso de vetores de variáveis aleatórias ou fuções de variáveis aleatórias

8 33 Fução Desidade de Probabilidade Codicioal e Idepedêcia Idepedêcia de vetores de variáveis aleatórias Sejam X ( X,,Xm ) uma variável aleatória de dimesão m e X ( X,,X ) outra variável aleatória de dimesão Etão X e X serão idepedetes se e somete se P P ( x A,x A ) P( ( x,,xm ) A,( x,,x ) A ) (( x,,x ) A )P (( x,,x ) A ) m para todos os pares A, A Em termos da fução desidade cojuta, a idepedêcia etre X e X pode ser estabelecida como: f ( x, x ) f ( x,, x m, x,, x ) f ( x,, x m ) f ( x,, x ) f ( x )f ( ) x

9 33 Fução Desidade de Probabilidade Codicioal e Idepedêcia Assim, se X e X são idepedetes, P (( x,,x ) A /( x,,x ) A ) P( ( x,,x ) ) m m A Idepedêcia de Fuções de Variáveis Aleatórias Seja X,, X um cojuto de vetores de variáveis aleatórias idepedetes; sejam também fuções defiidas como Yi Y (xi), i,, Etão os vetores aleatórios Y,, Y são idepedetes Prova: exercício para casa No caso mais simples, ode X e X são escalares e idepedetes, y, y y, Y e Y são idepedetes y ( ) ( ) x x

10 33 Fução Desidade de Probabilidade Codicioal e Idepedêcia Ex 3: Experimeto de se jogar idepedetemete duas moeda e três dados, com: X 0 se se cara coroa X 0 se se cara coroa X 3, X 4, X 5 úmero da face do respecjvo dado X,X,X 3,X 4, X 5 são idepedetes Assim: f x,x,x,x,x I 0 xi I i j 36 Defiido as fuções vetoriais: ( ) [ ]( ) [ ]( ),,,, 6 x j Y Y X + X ( x, ) Y x Y XX Y Y X + X + X ( x,x, ) Y 3 4 x5 Y X 3 X 4 / X 5

11 33 Fução Desidade de Probabilidade Codicioal e Idepedêcia Tem-se, Y e Y são idepedetes

12 34 Valor esperado, mometos, covariâcia e correlação A oção de valor esperado de uma fução de uma variável aleatória pode ser estedido para o caso de uma fução de uma variável aleatória muljdimesioal Valor esperado de uma fução de uma variável aleatória muljdimesioal ( X ) ( ) Seja,,X probabilidade Y g X,,X ( ) uma variável aleatória muljdimesioal com desidade de f x,,x Etão o valor esperado de uma fução é dado por: ( ) E Y ( x,,x ) R( X ) g ( x,,x ) f ( x,,x ) (CD) ( ) g( x,,x ) f ( x,,x ) E Y ( x,,x ) R( X ) dx dx (CC)

13 34 Valor esperado, mometos, covariâcia e correlação Ex33: variável aleatória bivariada com desidade ( x,x ) x x I[ ]( x ) I [ ] ( ) f 6 0, 0, x ( ) ( ) Defiido Y g X,X 0, 5 x + x E, tem-se: ( g( X,X )) g( x,x ) f ( x,x ) dxdx 0, 5( x x ) 6xx dxdx ( x x ) dxdx 3( x x ) dx + 3 dx x dx + 3x dx + + 0,

14 34 Valor esperado, mometos, covariâcia e correlação Teorema 35 Seja a variável aleatória muljdimesioal fuções desta variável aleatória, etão: ( X,,X ) gi ( X,,X ),i,, k e E k i g i ( X,,X ) E( g ( X,, X )) i Ou seja, valor esperado da soma de fuções é igual à soma dos valores esperados das fuções Prova: exercício para casa Implicação: com g X,,X E i X i i E ( X ) i k i ( ) X,i,, k i i, etão:

15 34 Valor esperado, mometos, covariâcia e correlação Teorema 36 Se ( X,,X ) são variáveis aleatórias idepedetes, etão: E i X i i E ( X ) i Ou seja, o valor esperado de um produto de variáveis aleatórias idepedetes é igual ao produto dos valores esperados destas variáveis aleatórias Prova: exercício para casa

16 34 Valor esperado, mometos, covariâcia e correlação Valor Esperado de uma Matriz de Variáveis Aleatórias Seja W uma matriz x k de variáveis aleatórias cujos elemetos (i, j) são deotados por wij Etão E[W] correspode à matriz dos valores esperados dos elemetos de W Ou seja, Para o caso de um vetor: [ ] k ik k ik Ew Ew Ew Ew E W w w w w W [ ] Ew Ew E W w w W

17 34 Valor esperado, mometos, covariâcia e correlação Quado o iteresse é cohecer ou explicar o valor esperado de uma variável aleatória em fução de um cojuto de valores de outras variáveis aleatórias (ex aálise de regressão), é fudametal a oção de valor esperado ou expectajva codicioal ExpectaJva Codicioal: ( X ) ( ) Sejam,,X e Y,,Y m vetores aleatórios com desidade cojuta f ( x,,,x, y,, y m ) Sejam também ( Y,,Y m ) uma fução real de Y,,Y m e f ( y,, y a fução codicioal de dado m /( x,,,x ) B) ( Y,,Y m ) ( x,,x ) B Etão a expectajva codicioal de ( Y,,Y m ) dado x,,x é dada por (respecjvamete, para caso discreto e cofuo) E g ( ) g ( ) B ( g( Y,,Y )/ ( x,,x ) B) g( y,, y ) f ( y,,y / ( x,,x ) B) m ( y,y ) R( Y ) E m ( g( y,, ym )/( x,,x ) B) g( y,, ym ) f ( y,,ym /( x,,x ) B) dy dym m m

18 34 Valor esperado, mometos, covariâcia e correlação Para o caso bivariado E ( g( Y )/ x B) y R ( Y ) g ( y) f ( y / x B) (CD) E ( g( Y )/ x B) g( y) f ( y / x B)dy (CC) que, com g ( Y) Y E( Y / x B) E, gera: y R y f ( Y ) ( y / x B) ( Y / x B) yf ( y / x B)dy (CD) (CC)

19 34 Valor esperado, mometos, covariâcia e correlação Ex34: Seja a variável aleatória bivariada (X,Y) com desidade cojuta dada por: f ( x, y) ( x + xy + y ) I [ 0, 4 ] ( x) I [ 0, ] ( y) 96 Obter E[Y/x] ( Y / x ) yf ( y / x ) dy E f, y Como f ( y / x ), ( ) ( ) ( ) f x ecessário obter f y / x f x 0, 4 0, ( x) f ( x, y) dy ( x + xy + y ) I [ ] ( x) dy x + x + I[ ]( x) f x ( ) / 44

20 34 Valor esperado, mometos, covariâcia e correlação Ex34 (cojuação) Com 96 ( x, y) ( x + xy + y ) I [ ] ( x) I [ ] ( y) f (, y) ( + y + y ) I [ ] ( y) f 0, 4 0, 0, 96, Logo, obtém-se (, y) ( ) ( / 96)( + y + y ) I [ ] ( y) [ 0, , ( y y )] I [ ] ( y) ( y / x ) f 0, f x 7 / 44 + Fialmete: f 0, E [ + ]dy 3 ( Y / x ) yf ( y / x ) dy 0, 08835y , ( y y ) 0, 08835y , 3 y y 4 359, 0

21 34 Valor esperado, mometos, covariâcia e correlação Teorema 37 Seja c uma costate Etão: a) E( c /( x,,x ) B) c b) E cy / x B ce Y ( ( ) ) ( /( x,,x ) B) Prova: exercício para casa Teorema 38 (Teorema da SubsJtuição) E Para o caso bivariado: ( g( X,,X,Y,,Y )/( x,,x ) b) E( g( b,,b,y,,y )/( x,,x ) b) [ g( X,Y )/ x b] E[ g( b,y )/ x b] E m Teorema idica que X é tomada como uma costate a obteção do valor esperado de uma fução codicioada a certo valor de X m

22 34 Valor esperado, mometos, covariâcia e correlação Teorema 39 (Lei da ExpectaJvas IteraJvas) a) [ E[ g( Y,,Y )/ X,,X ] E[ g( Y,, Y )] E m m [ [ ( ) ] [ ( )] Para o caso bivariado, E E g Y,X / X E g Y,X g ( ) Y [ [ ] [ ] Para o caso em que, E E Y / X,,X E Y ( X ) [ [ ] ] [ ] b) Seja X,,X um vetor aleatório fução do vetor W : X f(w), etão: E Y / W / X,,X E Y / X,, E X Para o caso bivariado, X f(w) e X e W são escalares: [ E[ Y / W] / X] E[ Y / X] E

23 34 Valor esperado, mometos, covariâcia e correlação Teorema 39 (Lei da ExpectaJvas IteraJvas) c) Seja ( X,,X ) um vetor aleatório fução do vetor W : X f(w), etão: [ E[ Y / X,,X ]/ W] E[ Y / X,, ] E X Para o caso bivariado: [ E[ Y / X] / W] E[ Y / X] E De forma geral, os resultados idicam que o cálculo do valor esperado codicioal sempre prevalece o meor cojuto de iformações

24 34 Valor esperado, mometos, covariâcia e correlação Teorema 39 (Lei da ExpectaJvas IteraJvas) Prova: a) caso bivariado Defiido Etão: E [ E[ g( Y,X )/ X ] E[ g( Y,X )] E η ( x) E[ g( X,Y )/ x] E[ g( x,y )/ x] f ( ) ( x, y) g x,y dy ( ) ( ) ( ) g x,y f y / x f x x [ η( X )] E[ E[ g( X,Y )/ X ] g( x, y) f f ( x, y) ( x) x dy dy f x ( x)dx [ E[ g( X,Y )/ X ] g( x, y) f ( x, y) dydx E[ g( X,Y )] E

25 34 Valor esperado, mometos, covariâcia e correlação Ex35: Assuma que a expectajva de oferta (Q) dado preço (p) é dada por E Q / e que E[ p] Qual a expectajva ão-codicioal de Q, E[ Q]? [ p] 3 p + 7 Pela lei das expectajvas iterajvas, [ E[ g( Y) / X ] E[ g( Y) ] E Assim, [ ] E[ E[ Q / p ] E[ 3 p + 7] E[ 3p] + E[ 7] 3x E Q Ex36: Com receita PQ, E[ PQ / p] 3p + 7 p e E [ p] 7, supodo E[ p ] 8, Qual o valor de E[ PQ]? Pela lei das expectajvas iterajvas, E [ E[ PQ / P ] E[ PQ] E, logo: [ E[ PQ / P ] E[ PQ] E[ 3p + 7 p] 3E[ p ] + 7E[ p] 3x8 + 7x 38

26 34 Valor esperado, mometos, covariâcia e correlação A versão b) da lei da expectajvas iterajvas é bastate újl em aplicações de ecoometria que evolvem relações lieares Especificamete, assumido W (X,Z), a versão da lei permite fazer: [ E[ Y / X,Z]/ X,, X ] E[ Y / X,, ] E X [ ] Em geral, o cohecimeto E Y / X,Z, ode X e Y são vetores de variáveis aleatórias é desejado, embora só uma das variáveis (por exemplo, Z) seja regularmete observável A lei da expectajvas iteradas idica que como E [ Y / X,Z] está associado com E[ Y / X] que, com X observável, é o que em geral pode ser esjmado

27 34 Valor esperado, mometos, covariâcia e correlação Ex37 (Wooldridge, 003): Assuma que [ Y / X X,Z] β + β X + β X + Z E, 0 β3 com X e X observáveis, mas Z ão observável Pela lei da expectajvas iterajvas e do operador esperaça: E Y / X, X E [ β 0 + β X + β X + β 3 Z / X, X ] β 0 + β X + β X + β 3 E [ Z / X, X ] Se é assumido que E [ Z / X,X ] α 0 + αx + α X, etão: [ Y / x x ] β + β X + β X + β ( α + α X + X ) E, α [ / X ] E[ E[ Y / X,Z]/ X ] E Y

28 34 Valor esperado, mometos, covariâcia e correlação Teorema 30 Sejam ( X,,X ) e ( Y,,Y m ) vetores de variáveis aleatórias com desidade f ( x,,,x, y,, y m ) e sejam gi ( Y,, Y m ), i,,k, fuções reais de ( Y,,Y m ) Etão: E k i g Para k e g Y,,Y Y : E i i k ( Y,,Y )/ ( x,,x ) B E[ g ( Y,,Y )/ ( x,,x ) B] m ( m ) i [( Y Y )/( x,,x ) B] E[ Y /( x,,x ) B] + E[ Y /( x,,x ) B] + i i m

29 34 Valor esperado, mometos, covariâcia e correlação Uma geeralização do Teorema 30 também permite obter o valor esperado da soma de fuções que evolvem ( X,,X ) ( ) ( ) ( ) Com h X,,X m,,hg X,, X m e g X,,X m fuções reais escalares do vetor ( X,,X ), sedo Y,,Y G variáveis aleatórias uidimesioais, etão: E G j h j G j h j ( X,,X ) y + g( X,,X ) / ( X,,X ) ( ) + g( X,,X ) ( X,,X ) E y / ( X,,X ) m m j Para G, h X,, X m,h X,, X m, y, y : E h X,, X m h ( X,, X m )E y / X,, X m j ( ) ( ) ( ( ) y + h ( X,, X m ) y + g( X,, X m )) / ( X,, X m ) ( ( )) + h ( X,, X m )E y / ( X,, X m ) m m m m ( ) + g X,, X m ( )