Distribuição de Bernoulli

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1 Algumas Distribuições Discretas Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof. Luiz Medeiros Departameto de Estatística UFPB

2 Distribuição de Beroulli Na prática muitos eperimetos admitem apeas dois resultados Eemplo: 1. Uma peça é classificada como boa ou defeituosa; 2. O resultado de um eame médico para detecção de uma doeça é positivo ou egativa. 3. Um etrevistado cocorda ou ão com a afirmação feita; 4. No laçameto de um dado ocorre ou ão face 6; 5. No laçameto de uma moeda ocorre cara ou coroa. Estas situações tem alterativas dicotômicas e podem ser represetadas geericamete por resposta do tipo sucesso-fracasso. Associaremos p, a probabilidade de sucesso, ao eveto que os iteressa e 1-p, será a probabilidade de fracasso. Esses eperimetos recebem o ome de Esaios de Beroulli e origiam uma v.a. com distribuição de Beroulli. 2

3 Distribuição de Beroulli Uma V.A. () de Beroulli é aquela que assume apeas dois valores 1 se ocorrer sucesso (S) e 0 se ocorrer fracasso (F), com probabilidade de sucesso p, isto é, 1, se ocorrer sucesso 0, se ocorrer fracasso E sua fução de probabilidade é dada por: Notação: ~Beroulli (p), idica que a v.a. tem distribuição de Beroulli com parâmetro p Se ~Beroulli(p) pode-se mostrar que: E()p e Var()p(1-p). Repetições idepedetes de um esaio de Beroulli, com a mesma probabilidade de ocorrêcia de sucesso, dão origem ao modelo Biomial. 3

4 Eemplo 1. Seja o eperimeto E: Laçar um dado e observar a face superior. Defia o eveto: o úmero é múltiplo de 3 e a variável é defiida como 1 se o eveto ocorrer (sucesso) e 0 caso cotrário. Determie a fução de probabilidade de, calcule a esperaça e a variâcia. 4

5 Distribuição Biomial Eemplo 1: Supoha que uma moeda é laçada 3 vezes e a probabilidade de cara seja p em cada laçameto. Determiar a distribuição de probabilidade da variável, úmero de caras os 3 laçametos. Deotemos: S: sucesso, ocorrer cara (k) F:fracasso, ocorrer coroa(c) sucesso)p fracasso)q1-p Ω{FFF.FFS, FSF,SFF,FSS, SFS, SSF,SSS} i é uma variável aleatória Beroulli (i1,2,3). é o úmero de caras. 5

6 Distribuição Biomial 6

7 Daí temos que: 0) 1) 2) 3) { FFF}) { SSS}) (1 p 3 p) { FFS, FSF, SFF}) 3p(1 { FSS, SFS, SSF}) 3p 3 2 (1 A fução de probabilidade da v.a. é dada por: P ( ) (1 p) 3p(1 p) 3p (1 p) p 1 O comportameto de, pode ser represetado pela seguite fução: ode ) 3 p 3 3!!(3 (1 0, )! p) 3, c. c 2 p) 0,1,2,3 2 p) 3 7

8 Distribuição de uma v.a. Biomial Cosidere a repetição de esaios idêticos de Beroulli idepedetes e todos com a mesma probabilidade de sucesso p. A variável aleatória que cota o úmero total de sucessos os esaios de Beroulli é deomiada de variável aleatória Biomial com parâmetros e p e sua fução de probabilidade é dada por: ode ) p!!( (1 0, p),, represeta )! 0,1, L, c. c o coeficiet e Biomial. Notação, ~B(,p), para idicar que v.a. tem distribuição Biomial com parâmetros e p. E()p Var()p(1-p). 8

9 Eemplo 2. O professor da disciplia de Estatística elaborou um prova de múltipla escolha com 10 questões, cada uma com 5 alterativas. O professor estabeleceu que para um aluo ser aprovado ele deve acertar pelo meos 8 questões. Qual a probabilidade de um aluo ser aprovado?. S: questão respodida corretamete F: questão respodida icorretamete A probabilidade se sucesso é costate e cada estudate respode idepedetemete a questão Solução:Seja a v.a. : úmero de questões respodidas corretamete as 10 questões. Etão o eveto de iteresse é: S)1/5 e F)4/5. Logo, ~B(10,p). A probabilidade de um aluo ser aprovado é: ) 55 0, 8) 8) + 9) + 10) 10, 01,, L, 10 cc. 9

10 Eemplo 3. O time Sport Clube do Recife tem 1/4 de probabilidade de perder sempre que joga em Recife. Se o time jogar 5 partidas, calcule a probabilidade do time perder eatamete 3 partidas. Calcule a probabilidade do time perder ao meos uma partida. Se o time jogar 60 partidas, em quatos partidas se espera que o time perca? 10

11 Eemplo 4. O escore em um teste iteracioal de proficiêcia a lígua iglesa varia de 0 a 700 potos, com mais potos idicado um melhor desempeho. Iformações, coletadas durate vários aos, permitem estabelecer o seguite modelo para o desempeho o teste: Potos [0, 200) [200, 300) [300, 400) [400, 500) [500, 600) [600, 700] p i 0,06 0,15 0,16 0,25 0,27 0,11 Várias uiversidades americaas, eigem um escore míimo de 600 potos para aceitar cadidatos de países de lígua ão iglesa. De um grade grupo de estudates que prestaram o último eame, escolhemos ao acaso 10 deles. Qual a probabilidade de o máimo 2 atederem ao requisito mecioado? Em um grupo de 2200 cadidatos espera-se que quatos sejam aprovados? 11

12 5. Modelo Poisso Na prática muitos eperimetos cosistem em observar a ocorrêcia de evetos discretos em um itervalo cotíuo (uidade de medida). Eemplo: 1. Número de cosultas a uma base de dados em um miuto. 2. Número de casos de Degue por kilometro quadrado o estado da PB. 3. Número de machas (falhas) por metro quadrado o esmaltado de uma geladeira. 4. Número de chamadas que chegam a uma cetral telefôica de uma empresa um itervalo de tempo (digamos das 8:00 a.m. às 12:0) a.m.). 5. Número de carros que chegam ao Campus etre 7:00 a.m. a 10:00 a.m. 12

13 Distribuição de uma v.a. Poisso Uma variável discreta tem distribuição de Poisso com parâmetro λ > 0 se sua fução de probabilidade é dada por: P ( ) e λ! 0; λ 0,1,2, L c. c. Ode: : úmero de evetos discretos em t uidades de medida, λ média de evetos discretos em t uidades de medida Notação: ~λ), para idicar que a v.a. tem distribuição de Poisso com parâmetro λ. Pode-se mostrar que se ~λ) E() λ e Var() λ 13

14 Eemplo 5. Supoha que a cetral telefôica de uma empresa de grade porte recebe em média 3 chamadas a cada 4 miutos. Qual é a probabilidade que a cetral recepcioe 2 ou meos chamadas em um itervalo de 2 miutos? Se : úmero de chamadas que recebe a cetral telefôica da empresa em 2 miutos, etão, ~λ). Aqui t2 e λ1,5 (utilizadado regra de 3). Ou seja ~1,5) ) 2) e 1,5 1,5!, 0,1,2,3... 0) + 1) + 2) e 1,5 1,5 [1 + 1, ] 0,

15 Eemplo 6. Uma idústria de titas recebe pedidos de seus vededores através de fa, telefoe e iteret. Chegam a idústria em média 5 pedidos por hora. a) Qual a probabilidade de se receber mais que 2 pedidos por hora? b) Em um dia de trabalho (8 horas), qual a probabilidade de haver eatamete 50 pedidos? c) Não haver ehum pedido, em um dia de trabalho, é um eveto raro? 15

16 A Distribuição Poisso Como Aproimação da Distribuição Biomial A distribuição Biomial para sucessos em esaios de Beroulli e dada por:., 0,, ) (1 ) ( p p P L Se µp, pµ/, substituido p a fução probabilidade temos µ 16 P + µ µ µ µ µ 1 1! ) ( L! ) (, e P temos Fazedo µ µ

17 Eemplo 7. A probabilidade de que um rebite particular a superfície da asa de uma aeroave seja defeituoso é 0,001. Há 4000 rebites a asa. Qual é a probabilidade de que seja istalados ão mais de seis rebites defeituosos? Se : úmero de rebites defeituosos a asa da aeroave. Etão, ~B(4000,0.001) P ( 6) ( 0,001 ) ( 0,999 ) ,8894. Usado a aproimação de Poisso, µ4000(0,001)4 ~4) 6) 6 0 e 4! 4 0,

18 Eemplo 8. O úmero de falhas em um certo tipo de placa plástica tem taa média de 0,05 defeito por m 2. Na costrução de um barco, é ecessário cobrir uma superfície de 3m 2m com essa placa. Qual a probabilidade de que ão haja mais de uma falha essa superfície? Na costrução de 5 barcos, qual a probabilidade de que pelo meos 4 ão apresetem defeito a superfície? 18

19 Eemplo 9. Em mometos de pico, a chegada de aviões a um aeroporto, em média, é de um avião por miuto. a) Qual a probabilidade de 3 chegadas em um miuto qualquer do horário de pico? b) Se o aeroporto pode ateder 2 aviões por miuto, qual a probabilidade de haver aviões sem atedimeto? c) Previsões para os próimos aos idicam que o tráfego deve dobrar esse aeroporto, equato que a capacidade de atedimeto poderá ser o máimo ampliada em 50%. Como ficará a probabilidade de haver aviões sem atedimeto? 19