Econometria. Econometria. Algumas considerações. Algumas considerações MQO. Derivando as Propriedades

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1 Ecoometria. Propriedades fiitas dos estimadores MQO. Estimação da Variâcia do estimador de MQO 3. Revisão de Iferêcia (testes em ecoometria) Ecoometria. Propriedades fiitas dos estimadores MQO Algumas cosiderações Parâmetros, estimativas e estimadores Propriedades de um estimador a distribuição amostral Propriedades de Amostras Fiitas Propriedades assitóticas ou de grades amostras. Algumas cosiderações Resultados de Amostras fiitas: Não viés Distribuição precisa de algumas estatísticas de testes. Hipóteses fortes ecessárias: regressores ão estocásticos e distúrbios ormalmete distribuídos. b = ( X'X) X'y MQO = ( X'X) X'(X β + ε ) = β + ( X'X) X' ε Also ( ) = ( ) iyi b = X'X X'y X'X x + ( ) ε i i + X'X x ε i i = β + v ε (Ifluece fuctios) i i = β X'X x = β ( ) Derivado as Propriedades Desta forma, b = um vetor de parâmetros + uma combiação liear de distúrbios, cada um vezes um vetor. b é um vetor de variáveis aleatórias. A aálise é feita codicioal a X, ou seja, os resultados ão depedem de um X particular. O resultado é geral, idepedete de X.

2 Valor esperado e propriedade do ão viés. E[b X] = β = E[b]. (usar lei das expectativas iteradas) Um resultado importate sobre especificação (omissão de uma variável): y = X β + X β + ε (modelo verdadeiro) Dois cojutos de variáveis. O que acotece se o segudo cojuto de variáveis é excluído da miha regressão? Qual a esperaça do estimador desta regressão meor? b = (X X ) X y = = (X X ) X (X β + X β + ε) E[b ] = β + (X X ) X X β O estimador é viesado. Um resultado importate sobre especificação (iclusão de uma variável irrelevate): y = X β + X β + ε (modelo verdadeiro, mas β é igual a 0). O que acotece se a regressão for computada usado X e X? E[b. β = 0] = β O estimador ão será viesado. Cotudo, perde-se eficiêcia. Aplicação empírica: Quatidade = β Preço + β Reda + ε Se regredimos Quatidade em Preço. O que ecotramos? cov( preço, reda) E ( b ) = β +. β var( preço) Usualmete, β < 0, β > 0, Cov[Preço,Reda] > 0. Desta forma, a regressão que omite variável (omite reda), irá super-estimar o coeficiete de preço (podedo até reverter o sial do coeficiete). Determiar os efeitos que fumar durate a gravidez exerce sobre a saúde do recém-ascido. A medida de saúde do recém ascido é o peso de ascimeto (bwght). Como outros fatores que afetam o peso de ascimeto, além de fumar, estão provavelmete correlacioados com o fumo, devemos levar em cosideração tais fatores. Por exemplo, uma reda maior geralmete permite acesso a pré-atais melhores, bem como uma melhor utrição da mulher. Cosidere o modelo: bwght = β0 + β. cigs + β. fa mi c + u

3 Modelo : Estimativas OLS usado as 388 observações 388 Variável depedete: bwght cost 6,974,04898,58 <0,0000 *** cigs -0, , ,0603 <0,0000 *** famic 0, , ,78 0,005 *** Média da variável depedete = 8,7 Desvio padrão da variável depedete = 0,354 Soma dos resíduos quadrados = Erro padrão dos resíduos = 0,068 R ão-ajustado = 0, R ajustado = 0, Estatística-F (, 385) =,739 (p-valor < 0, Modelo : Estimativas OLS usado as 388 observações 388 Variável depedete: bwght cost 9,77 0, ,668 <0,0000 *** cigs -0,5377 0, ,6776 <0,0000 *** Média da variável depedete = 8,7 Desvio padrão da variável depedete = 0,354 Soma dos resíduos quadrados = 5655 Erro padrão dos resíduos = 0,86 R ão-ajustado = 0,079 R ajustado = 0,004 Graus de liberdade = Equações estimadas bwghtest = 6,97 0,463. cigs + 0,093. fa mi c = 388 R = 0,030 bwghtest = 9,77 0,53. cigs = 388 R = 0,03 Resultados O efeito de fumar é relativamete meor quado a reda familiar é adicioada a regressão, mas a difereça ão é grade. Isto decorre do fato de famic e cigs ão serem muito correlacioados e do coeficete de famic ser praticamete pequeo. (A variável famic está em milhares, logo, R$0,000 a mais aumeta o peso de ascimeto somete em 0,93 quilos). Corr(famic, cigs)=-0, Viés de variável omitida A variável omitida é famic Espera-se que o efeito de famic sobre o peso de ascimeto seja positivo (β >0) Corr(famic, cigs)=-0,73 O coeficiete passou de -0,463 para -0,53. cov( x, x) E ( b ) = β +. β var( x) Direção do viés Corr(x, x ) > 0 Corr(x, x ) < 0 β > 0 Viés positivo Viés egativo β < 0 Viés egativo Viés positivo 7 8 3

4 Supoha que o modelo verdadeiro seja dado por lwage = β0 + βeduc + βiq + u, mas que ~ ~ estimamoslwage = β0 + βeduc + v ~ Ode da regressão de IQ em educ, achamosδ : ~ ~ IQ = δ + δ educ 0 Modelo : Estimativas OLS usado as 935 observações -935 Variável depedete: IQ cost 53,687,693 0,4684 <0,0000 *** educ 3, ,9 8,3853 <0,0000 *** Média da variável depedete = 0,8 Desvio padrão da variável depedete = 5,056 Soma dos resíduos quadrados = Erro padrão dos resíduos =,9036 R ão-ajustado = 0,65943 R ajustado = 0,6557 Graus de liberdade = 933 ~ δ 9 0 Modelo 3: Estimativas OLS usado as 935 observações -935 Variável depedete: lwage cost 5, , ,409 <0,0000 *** educ 0, , ,0349 <0,0000 *** Média da variável depedete = 6,779 Desvio padrão da variável depedete = 0,444 Soma dos resíduos quadrados = 49,59 Erro padrão dos resíduos = 0,4003 R ão-ajustado = 0, ~ R ajustado = 0, β Graus de liberdade = 933 Modelo 4: Estimativas OLS usado as 935 observações -935 Variável depedete: lwage cost 5,6589 0, ,7930 <0,0000 *** educ 0, , ,708 <0,0000 *** IQ 0, , ,8754 <0,0000 *** Média da variável depedete = 6,779 Desvio padrão da variável depedete = 0,444 Soma dos resíduos quadrados = 44,78 Erro padrão dos resíduos = 0,39336 R ão-ajustado = 0,9654 R ajustado = 0,7786 Estatística-F (, 93) = 69,49 (p-valor < 0,0000) Variâcia do Estimador MQO = ( ) b X'X X'y = ( ) ( β ε ) β + ( ) ε X'X X' X + = X'X X' E[ ]= ( ) ε as ε b X β + X'X X'E[ X] = β E[ X] = 0 Var[ b X] = E[( b β )( b β )' X] = ( X'X) X'E[ εε' X] X( X'X) = ( X'X) X' σ I X( X'X) = σ ( X'X) X'I X( X'X) = σ ( X'X) X'X( X'X) = σ ( X'X) Teorema de Gauss-Markov O EMQO é o melhor estimador liear detro da classe de estimadores lieares ão viesados.. Estimador liear = β +. Não viesado: E[b X] = β v iεi 4

5 Teorema de Gauss-Markov Resultado geral para a classe de estimadores lieares e ão viesados = Cy E( Cy / X ) = CXβ + CE( ε / X ) = β (para ão ter viés) CXβ = β Desta forma : CX = I Existem várioscadidatospara C.Supoha quec é formadopelas k primeiraslihasliearmete idepedetes de X e C = X 0 Teorema de Gauss-Markov Como achar a Matriz de variâcia-covariâcia de? / X ) = E[( β )( β ) / X ] = Lembre que : CX = I e = Cy = C( Xβ + ε ) = β + Cε E[( β )( β ) / X ] = E[( Cε )( Cε ) / X ] = = CE( εε / X ) C = σ CC C ( X X ) X = D Cy ( X X ) X y = Dy b = Dy Teorema de Gauss-Markov Como achar a Matriz de variâcia-covariâcia de? / X ) = σ CC = σ [( D + ( X X ) X )( D + ( X X ) X ) ] = (lembreque CX = I = DX + ( X X ) X X = DX + I, logo DX será igual a zero) / X ) = σ DD + σ ( X X ) / X ) var( b / X ) = σ DD Como D é uma matriz defiida ão egativa, temos que a var(/x) é sempre maior que a var(b/x). Fixar X ou Codicioar em X? O papel da hipótese dos regressores ão estocásticos, Icodicioal: Tomar a média em toro de X: var( b) = E x[var( b / X )] + Varx[ E( b / X )] = σ Ex[( X X ) ] var( b / X ) / X ) para qq b e para um X específico. Logo, se isto vale para um X particular, temos que : var(b) = Ex (var( b / X )) isto também valerá para um valor médio de X Os resultados valem para X estocástico bem como para X ão estocástico. Erro de especificação: Omissão de variável relevate Omitido uma variável relevate: Supoha o modelo verdadeiro é: y = X β + X β + ε. Computamos a regressão omitido X. Var[b ] será meor que Var[b. ]. Erro de especificação: Omissão de variável relevate E[b ] = β + (X X ) X X β β. Como já visto, b é viesado.(!!!) O viés pode até mudar o sial do coeficiete. b pode ser mais preciso. Precisão = Erro quadrático médio = variâcia + viés quadrado. A sua variâcia é meor quado omite X. 5

6 Erro de especificação: Iclusão de variável irrelevate Os resultados são cotrários aos ecotrados acima. Iserir resultados supérfluos aumeta a variâcia. (reduz precisão) Ecoometria. Estimação da Variâcia do estimador de MQO Não causa viés, se X é supérflua, β = 0, e E[b. ] = β. Cotexto A variâcia verdadeira de b é σ E[(X X) ] Como usamos os dados da amostra para estimar esta matriz? Estimado σ Usaremos os resíduos ao ivés dos distúrbios: Aálogo amostral: e e/ para ε ε/ Como queremos formar itervalos de cofiaça das estimativas da regressão bem como formular hipóteses, temos que ter estimativas da variabilidade da distribuição. Observação imperfeita de ε i Viés para baixo de e e/. E[e e] = (-K)σ = e i + (β - b) x i Esperaça de e e e = y - Xb = y X( X ' X) X ' y = [ I X( X ' X) X '] y = My = M( X β + ε ) = MXβ + M ε = M ε e'e = ( M ε) '( M ε) = ε 'M'M ε = ε 'MM ε = ε 'M ε Valor esperado do quadrado dos resíduos E[ e'e X ] = [ε 'M ε X ] = E[ trace ( ε 'M ε X) ] scalar = its trace = E[ trace ( M εε ' X) ] permute i trace = [ trace E ( M εε ' X) ] liear operators = [ trace M E ( εε ' X) ] coditioed o X = [ trace M σ I ] model assumptio = σ [trace M ] scalar multiplicatio ad I matrix = σ trace [ I - X( X'X) X' ] = σ {trace [ I] - trace[ X( X'X) X' ]} = σ { - trace[( X'X) X'X ]} permute i trace = σ { - trace[ I]} = σ { - K} 6

7 Estimado σ O estimador ão viesado é s = e e/(-k). s = e e/(-k) = ε Mε/(-K). 7