Econometria. Econometria. Aplicação. Modelo completo. Soma de Coeficientes. Teste para um Parâmetro

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1 . Revisão/exemplos Ecoometria. Iferêcia grades amostras. Revisão/exemplos Ecoometria /00 /00 Aplicação Modelo completo LogG = β + β logy + β 3 logpg + β 4 logpnc + β 5 logpuc + β 6 logppt + β 7 logpn + β 8 logpd + β 9 logps + ε Periodo = Um eveto importate ocorreu em outubro de 973. O modelo de 960 a 973 é o mesmo de 974 a 995? Teste para um Parâmetro Soma de Coeficietes O preço do trasporte público é importate? H 0 : β 6 = 0. IC: b 6 ± t(.95,7) erro padrão =.79 ±.05(.079) =.79 ±.63 = (-.0344,.90) cotém 0. Não rejeito a hipótese ula. Distâcia wald: (b6-0) / s b6 = (.79-0) /.079 =.67 <.05. O ajuste da regressão cai? Sem LPPT, R =.9885 Comparar com R igual a.98956, F(,7) = [( )/]/[( )/(36-9)] =.66 =.67 (!)

2 Hipóteses cojutas Usado a estatística de Wald Ecoometria Iferêcia grades amostras /00 Estatísticas de testes Como estabelecemos a distribuição assitótica de b, podemos costruir estatísticas de testes. Baseamos os testes a estatística de Wald. F[J,-K] = (/J)(Rb - q) [R s (X X) - R ] - (Rb - q) Esta é a estatística de teste usual para testar hipóteses lieares o modelo de regressão liear, seguido uma distribuição F exata se os erros são ormalmete distribuídos. Qual o resultado mais geral? Quado ão se assume ormalidade. /00 Teste para um úico parâmetro: teste t Abordagem geral cosiderado uma distribuição uivariada Quadrado de uma variável ormal padrão qui-quadrada com grau de liberdade. Supoha z ~ N[0,σ ], desta forma (z/σ) é uma qui-quadrada com gl. Supoha z~n[µ,σ ]. [(z - µ)/σ] é uma qui-quadrada com gl. Esta é a distâcia ormalizada etre z e µ, ode a distâcia é medida em uidades de desvios padrão. Supoha z ão é exatamete ormalmete distribuída, mas () E[z ] = µ, () Var[z ] = σ, (3) a distribuição limite de z é ormal. (z - µ)/σ N[0,], que é uma distribuição limite, ão é uma distribuição exata em uma amostra fiita. /00

3 Extesões Logo: τ = [(z - µ)/σ] {N[0,]}, ou χ []. Novamete, uma distribuição limite, ão é uma distribuição exata. Supoha σ descohecido, e substituímos σ por um estimador cosistete para σ, ou seja s, tal que plim s = σ. O que acotece com este aálogo empírico? t = [(z - µ)/s ]? Como plim s = σ, o comportameto desta estatística em uma grade amostra será igual ao comportameto da estatística origial usado σ ao ivés de s. t = [(z - µ)/s ] coverge para uma qui-quadrada[]. t e τ covergem para a mesma variável aleatória. Distribuição assitótica do b Na ausêcia de ormalidade do termo de erro, à medida que o tamaho da amostra aumeta, a distribuição ormal tora-se uma boa aproximação da distribuição verdadeira de b. b ~ a σ N ( β, Q ) X X Q = plim( ) Quado o aumeta, a distribuição de ( b β ) coverge exatamete para uma distribuição ormal com base o Teorema do Limite Cetral. /00 Distribuição assitótica do b Estimador para o σ : Distribuição assitótica do b A distribuição assitótica de t é igual a distribuição assitótica de: p lim( s ) = σ e' e s = A estatística de teste para um coeficiete é: t = s 0 ( b β ) ( X X ) Se coverge para σ Q τ = 0 ( b β ) ( ) σ Q Que tem uma distribuição assitóticamete Normal que é a distribuição assitótica da estatística t. Usamos os valores críticos da distribuição ormal padroizada para realizar os testes de hipóteses. Teste para um cojuto de J restrições lieares JF coverge para uma variável aleatória com distribuição qui-quadrada à medida que o tamaho da amostra aumeta. Este resultado ão depede da ormalidade do termo de erro. J restrições lieares: Rβ-q=0 W σ F = J s Forma Quadrática Se um vetor aleatório x (dimesão ) tem uma distribuição ormal multivariada com vetor de média igual a µ e matriz covariâcia igual a Σ, a variável aleatória W = (x - µ) Σ - (x - µ) tem uma distribuição qui-quadrada com K graus de liberdade.. 3

4 Prova Σ / é uma matriz tal que: Σ / Σ / = Σ. Logo, V = (Σ / ) - é a iversa da raiz quadrada, tal que V V = Σ -/ Σ -/ = Σ -. Se z = (x - µ). O z tem média 0, matriz covariâcia Σ, e distribuição ormal. O vetor aleatório w = Vz tem média V0 = 0 e matriz covariâcia VΣV = I. w tem uma distribuição ormal com média 0 e matriz covariâcia I. w w = Σ w ode cada elemeto é o quadrado de uma ormal padrão, logo uma qui-quadrada(). A soma de qui-quadradas é igual a uma qui-quadrada, logo: w w = (x - µ) Σ - (x - µ). Costruido a estatística de teste Wald Supoha que a hipótese de ormalidade permaece, mas ao ivés de termos a matriz de parâmetros Σ usamos a matriz S que é cosistete (plim S = Σ). O resultado exato da qui-quadrada ão se aplica, mas a distribuição limite é a mesma se usarmos Σ. Estatística de Wald Supoha que a estatística é costruída com um x que ão tem uma distribuição ormal exata, mas com x que tem distribuição ormal limite. (x - µ) S - (x - µ) χ [K] Nada depede da distribuição ormal. Usamos a cosistêcia de (S ) e TLC para x. Resultado geral para a distâcia de Wald Medida de distâcia de Wald: Se plim x = µ, x é assitoticamete ormalmete distribuído com média µ e variâcia Σ, e se S é um estimador cosistete para Σ, a estatística de Wald, que é uma medida de distâcia geeralizada coverge para uma qui-quadrada (x - µ) S - (x - µ) χ [K] A estatística F H0: Rβ - q = 0 F[J, -K] = [(e* e* - e e)/j] / [e e / (-K)] F[J,-K] = (/J) (Rb - q) [R s (X X) - R ] - (Rb - q). Ode m = (Rb - q). Sob Ho, plim m=0. m N[0, R(σ /)Q - R ] Var estimada : R(s /)(X X/) - R ] ( m ) [Est.Var( m)] - ( m ) Se plim b = β, plim s = σ, JF[J,-K] χ[j]. Testado restrições ão lieares (o quadro)! 4

5 O teste de Chow Teste Chow: exemplo Estima-se o SQR do modelo irrestrito, estimado o modelo para cada grupo: obteha a SQR ; depois, faça o mesmo para o outro grupo e obteha a SQR : Estima-se o modelo restrito cosiderado todos os grupos jutos e obteha a SQR. Etão: F = [ SQR ( SQR + SQR )] [ ( + ) ] SQR + SQR + Algebra Teste Chow Urestricted regressio is y X β ε = + y X β ε Restricted regressio is y X ε ε = β + + y X ε ε I the urestricted model, R = [ I,- I], q= 0. Rb - q= b b ; R[Var( b, b )] R' = Var[ b ] + Var[ b ] (o covariace) 5