Aula 3. Estimação II. Capítulo 11, Bussab&Morettin Estatística Básica 7ª Edição

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1 Aula 3. Estimação II. Capítulo, Bussab&Moretti Estatística Básica 7ª Edição

2 Estatística = fução qualquer da amostra população ~B(p) amostra,,, i {0,} estimador de p é estatística p amostra (obs.) x,, x, x i {0,} estimativa de p é estatística p x população ~N(μ, σ ) amostra,,, i R amostra (obs.) x,, x, x i R estimador de μ é estatística μ estimador de σ é estatística σ S estimativa de μ é estatística μ x estimativa de σ é estatística σ s

3 Propriedades de Estatística Viés (Vício): Viesado Não viesado Um estimador θ(,, ) de um parâmetro θ é ão viesado, se E[θ,, ] = θ Exemplo: Supomos que, E i = μ e Var i = σ E = μ ão viesado E S E S = E = E i= i= i i = σ = σ ão viesado viesado

4 Propriedades de Estatística Cosistêcia Um estimador θ(,, ) de um parâmetro θ é cosistete, se o que é θ,, θ, P θ θ > ε 0, Teorema: uma sequêcia de estimadores {T } é cosistete, se e lim E θ,, = 0 lim Var θ,, = 0

5 Exemplo: Supomos que, E i = μ e Var i = σ E = μ Var = σ 0 quado cosistête ão viesado E S = E i= i = σ ão viesado Var S 0 quado cosistête E S = σ σ, viesado Var S 0, cosistête

6 É possível demostrar, o caso que i ~N(μ, σ ), que Assim, e Var S Var S = = σ4 Var S = σ4 ( ) Var S < Var S Se T e T são dois estimadores ão viesados de um mesmo parâmetro, e aida Var T < Var(T ) etão T diz-se mais eficiete do que T.

7 amostra N(, ) população ormal x, x,, x i i, ou,, N(, idepedetes ) f ( x) e ( x )

8 Problema: costruir IC para um parâmetro em caso quado o outro é cohecido ou descohecido. Baseado-se em itervalo de cofiaça testar hipótese. IC para média com variâcia cohecida. IC para média com variâcia descohecida

9 . IC para média com variâcia cohecida. IC para média com variâcia descohecida ), (,,, N i ), ( N (0,) / N estimador estatística do teste distribuição de estimador / z z P z z P z IC

10 . IC para média com variâcia cohecida. IC para média com variâcia descohecida Para estimar a vida útil media de uma válvula produzida foram escolhidas 00 válvulas. Óbtem-se a vida média de 800 horas. Sobre as suposições de ormalidade de vida de válvula e o σ desvio padrão de 00 horas com coeficiete de cofiaça de γ = 95%. 00 IC z coeficiete de cofiaça (760.8; 839.)

11 α/=-0.05/=-0.05 = = z =

12 i,,, N(, ). IC para média com variâcia cohecida. IC para média com variâcia descohecida? N(0,) / estimador estatística descohecido N(0,) S / estatística do teste ( ormal padrão 30) S / t estatística do teste ( 30) t-studet

13 . IC para média com variâcia cohecida. IC para média com variâcia descohecida t x s / t 30 N(0,) WIKIPÉDIA

14 γ-quatil de t-studet com graus de liberadade df\p γ =95%= = g.l.=-= t ;0.95 = if

15 William Sealy Gosset (3 de Juho de de Outubro de 937) era um químico e matemático iglês, mais cohecido pelo pseudóimo Studet e pelo seu trabalho a distribuição t de Studet. História Nasceu em Caterbury, Iglaterra filho de Ages Sealy Vidal e do Coroel Frederic Gosset, Gosset frequetou o Wichester College, uma famosa escola privada, ates de se liceciar em Quimica e Matemáticas o New College, de Oxford. Quado se formou, em 899, foi trabalhar para a destilaria de Dubli de Arthur Guiess & So (sim, os mesmo Guiess da cerveja preta e dos recordes). A Guiess era uma empresa de Agro-Química progressista e Gosset iria aplicar os seus cohecimetos de estatística tato a cervejaria(ão o pub mas a destilaria) como as quitas para a selecção dos melhores espécimes de cevada. Gosset adquiriu o seu cohecimeto por estudos, tetativa e erro e por fazer dois turos em 906/7 o Laboratório Biométrico Karl Pearso. Gosset e Pearso davam-se muito bem e Pearso ajudou Gosset com as matemáticas os seus relatórios. Pearso ajudou os relatórios de 908 mas dava pouca importâcia aos resultados obtidos por Gosset. Esses relatórios eram baseados em pequeas amostras a cervejeira, equato o biométrico(pearso) por orma tiha ceteas de observações, e ão via urgêcia em desevolver um método que tratasse com pequeas amostras. Um outro fucioário da Guiess tiha já publicado um trabalho que cotiha algus segredos da Cervejeira Guiess. Para preveir fugas de formação e futuras revelações dos "segredos" da marca, a Guiess proibiu que os seus empregados pudessem publicar quaisquer trabalhos idepedetemete do coteúdo.isto queria dizer que Gosset ão tiha como publicar os trabalhos com o seu ome. Etão, usou o pseudoimo Studet para as suas publicações evitado ser detectado pela etidade empregadora. Desta forma, o seu feito mais cohecido, é hoje cohecido com a Distribuição t-studet, que outras circustâcias seria cohecida como a Distribuição t-gosset.(hm) WIKIPÉDIA

16 . IC para média com variâcia cohecida. IC para média com variâcia descohecida Para estimar a vida útil média de uma válvula produzida em uma compahia foram escolhidas 0 válvulas. Obtêm-se a vida média de 800 horas e desvio padrão de 00 horas. Sobre a hipótese de ormalidade de distribuição populacioal costruir o 99% itervalo de cofiaça para vida média de uma válvula. Pt t, /, S S P t t S IC t, IC99% ( ) 0 S,, (697.; 90.8)

17 γ-quatil de t-studet com graus de liberadade df\p α=99%=0.99 γ =-α/=0.995 =0 g.l.=-=0-= z = if

18 SIM é grade? ( 30) NÂO SIM valor de σ é cohecido? NÂO SIM a população é aproximadamete ormal? NÂO use o desvio-padrão da amostra S para estimar σ SIM valor de σ é cohecido? NÂO use o desvio-padrão da amostra S para estimar σ z x / z x / t x s / aumete o tamaho da amostra para ( 30) para realizar o teste de hipóteses. Resumo da estatística do teste a ser usada em teste de hipóteses de uma média da população Figura 9.5 pp 35 Aderso, Sweeey, Williams Estatística Apliada à Admiistração e Ecoomia