Universidade Federal de Mato Grosso Probabilidade e Estatística - Curso: Engenharia Civil Introdução à Inferência Estatística - Prof a Eveliny

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1 1 Itrodução Uiversidade Federal de Mato Grosso Probabilidade e Estatística - Curso: Egeharia Civil Itrodução à Iferêcia Estatística - Prof a Eveliy Vimos o iício do curso como resumir descritivamete variáveis associadas a um ou mais cojuto de dados. Em seguida, costruímos modelos teóricos (probabilísticos), idetificados por parâmetros (por exemplo, X Bi(; p)), capazes de represetar adequadamete o comportameto de algumas variáveis. Agora veremos argumetos estatísticos para fazer afirmações sobre as características de uma população, com base em iformações dadas por amostras. O uso de iformações de uma amostra para cocluir sobre o todo faz parte da atividade diária da maioria das pessoas. Basta observar como uma coziheira verifica se o prato que ela está preparado tem ou ão a quatidade adequada de sal. Coceitos Importates: 1. População: Cojuto de elemetos que possuem pelo meos uma característica em comum. 2. Amostra: É um subcojuto da população. 3. Amostragem: É o processo de seleção de uma amostra. 4. Parâmetro: Alguma medida descritiva (média, variâcia, proporção etc) dos valores x 1, x 2,, associados à população. 5. Estatística: Alguma medida descritiva (média, variâcia, proporção etc) das variáveis aleatórias X 1, X 2,, associados à amostra. As Estatísticas mais comus são: X = Média Amostral S 2 = 1 1 ( x) 2 Variâcia Amostral X (1) = mi(x 1, X 2,, X ) X () = max(x 1, X 2,, X ) W = X () X (1) ˆp = No de elemetos com a característica de iteresse o meor valor da amostra o maior valor da amostra Amplitude Total Proporção Amostral Os Parâmetros mais comus são: µ = N N σ 2 = N ( µ) 2 N p = No de elemetos com a característica de iteresse N Média Populacioal Variâcia Populacioal Proporção Populacioal 2 Distribuição Amostral da Média Cosidere uma população idetificada pela variável X, cujos parâmetros média populacioal µ = IE(X) e variâcia populacioal σ 2 = V ar(x) são supostamete cohecidos. Vamos retirar todas as possíveis amostras aleatórias simples de tamaho dessa população, e para cada uma calcular a média X. Em seguida, cosideremos a distribuição amostral e estudemos suas propriedades. Exemplo: Cosidere uma população de 4 ôibus de uma pequea compahia de trasporte urbao. Seja X = N o de vezes que o ôibus teve um defeito grave. Valores observados para X : 2, 3, 4, 5. µ = = N N

2 Uiversidade Federal de Mato Grosso Probabilidade e Estatística - Curso: Egeharia Civil Itrodução à Iferêcia Estatística - Prof a Eveliy σ 2 = N ( µ) 2 = 1 N 4 {(2 3, 5)2 + (3 3, 5) 2 + (4 3, 5) 2 + (5 3, 5) 2 } = 1, 25 Retirado-se uma a.a. simples de = 2 dessa população, com reposição, temos: Vamos calcular a média e a variâcia das médias: Amostras possíveis Valor de x Probabilidade (2,2) 2,0 1/16 (2,3); (3,2) 2,5 2/16 (2,4); (3,3); (4,2) 3,0 3/16 (2,5); (3,4); (4,3); (5,2) 3,5 4/16 (3,5); (4,4); (5,3) 4,0 3/16 (4,5); (5,4) 4,5 2/16 (5,5) 5,0 1/16 IE( X) = 2, 0 1/16 + 2, 5 2/ , 0 1/16 = 3, 5 = µ V ar( X) = 0, 625 = σ 2 / Se a amostragem for sem reposição e N ão muito grade, N < 20: 2.1 Teorema do Limite Cetral V ar( X) = σ2 N N 1 Para uma a.a simples (X 1,, X ), retiradas de uma população com média µ e variâcia σ 2 fiita, a distribuição amostral da média X aproxima-se, para grade, de uma distribuição Normal, com média µ e variâcia σ 2 /. Corolário: Se (X 1,, X ) for uma a.a simples da população X, com média µ e variâcia σ 2 fiita, e X = (X X )/, etão ou Z = X µ σ/ N(0, 1) (1) ( X µ) Z = N(0, 1) (2) σ Estimação Potual Média: IE( X) = µ; Prova: Média: Variâcia: Variâcia: V ar( X) = σ2 ; IE( X) = IE { Desvio - Padrão: DP ( X) = σ = 1 IE(X 1 + X X ) = 1 V ar( X) = V ar ( } = IE { 1 } {µ + µ + + µ} = µ ) = 1 2 V ar( ) = 1 2 {V ar(x 1) + V ar(x 2 ) + + V ar(x )} = µ. = 1 2 { σ 2 + σ 2 σ 2} = σ2 2 = σ2. 2

3 Uiversidade Federal de Mato Grosso Probabilidade e Estatística - Curso: Egeharia Civil Itrodução à Iferêcia Estatística - Prof a Eveliy 1) Supoha que a aceitação de um lote de 1000 peças ocorra apeas, se o comprimeto médio de 10 peças, retiradas aleatoriamete do lote, estiver etre 5 e 10 cm. Sabe-se que o comprimeto das peças é uma variável aleatória com distribuição Normal de média 7,5 cm e variâcia 20cm 2. O que podemos dizer a respeito da aceitação do lote? 2) Os pesos das peças produzidas por uma máquia (produção de peças/dia) seguem distribuição ormal com uma média de 22g e desvio padrão de 12,5g. Foi coletada 50 amostras, de 16 peças cada uma. i) Determie a média e o desvio padrão da distribuição das médias amostrais; ii) Em quatas amostras pode-se esperar que a média se ecotre etre 19,3 e 20,5g? e abaixo de 19g? iii) Qual a probabilidade de ecotrarmos uma peça escolhida dessa produção com dimesão etre 19,3g e 20,5g? 3 Distribuição Amostral de uma Proporção Vamos cosiderar uma população em que a proporção de elemetos portadores de certa característica é p. Logo, podemos defiir uma v.a. X, da seguite maeira: { 1, se o idivíduo tiver a característica de iteresse X = 0, se o idivíduo ão tiver a característica de iteresse, logo, µ = IE(X) = p, σ 2 = V ar(x) = p(1 p). Se retirarmos uma AAS (amostra aleatória simples) dessa população, e defiirmos Y como sedo o total de idivíduos portadores da característica a amostra, Y = X i, logo, Etão, ˆp = Y IP (Y = k) = IP (Y / = k/) = IP (ˆp = k/), ou seja, a distribuição amostral de ˆp é obtida da distribuição de Y e k é o úmero de elemetos portadores de certa característica a amostra. Vamos mostrar que a justificativa desse fato está o TLC. Observe que Y = X 1 + X X ode cada X i tem distribuição de Beroulli, com média µ = p e variâcia σ 2 = p(1 p), e são duas a duas idepedetes. Assim, Média: IE(ˆp) = IE(Y /) = 1 IE(Y ) IE(ˆp) = 1 IE(X 1 + X X ) IE(ˆp) = 1 {IE(X 1) + IE(X 2 ) + + IE(X )} como X Beroulli(p), Variâcia: IE(ˆp) = 1 {p + p + + p} = p V ar(ˆp) = V ar(y /) = 1 2 V ar(y ) = p. V ar(ˆp) = 1 2 V ar(x 1 + X X ) V ar(ˆp) = 1 2 {V ar(x 1) + V ar(x 2 ) + + V ar(x )} V ar(ˆp) = 1 2 { σ 2 + σ σ 2 ) } = σ2 2 3

4 Uiversidade Federal de Mato Grosso Probabilidade e Estatística - Curso: Egeharia Civil Itrodução à Iferêcia Estatística - Prof a Eveliy V ar(ˆp) = σ2 p(1 p) = Assim como X, ˆp terá, para N grade, distribuição aproximadamete Normal: ˆp N Z = ( p, p(1 p) ˆp p p(1 p) ). (3). (4) 1. Um procedimeto de cotrole de qualidade foi plaejado para garatir um máximo de 10% de ites defeituosos a produção. A cada 6hr sorteia-se uma amostra de 20 peças e, havedo mais que 15% de defeituosas, ecerra-se a produção para verificação do processo. Qual a probabilidade de uma parada desecessária? 2. Supodo que a produção do exemplo aterior esteja sob cotrole, isto é, p = 10%, e que os ites sejam vedidos em caixas com 100 uidades, qual a probabilidade de que uma caixa: (a) teha mais do que 10% de defeituosos? (b) ão teha ites defeituosos? 3. Supoha que p = 30% dos estudates de uma escola sejam mulheres. Colhemos uma AAS de = 10 estudates e calculamos ˆp = proporção de mulheres a amostra. Qual a probabilidade de que ˆp difira de p em meos de 0,01? 4 Determiação do Tamaho de uma Amostra Nas cosiderações feitas ateriormete foi feita a suposição que o tamaho da amostra,, era cohecido e fixo. Em determiadas situações, pode ser de iteresse determiar o tamaho da amostra a ser escolhida de uma população, de modo a obter um erro de estimação previamete estipulado, com determiado grau de cofiaça. Média: = σ2 z 2 α/2 ε 2. (5) Note que em (5) cohecemos z α/2 e ε, mas σ 2 é a variâcia descohecida da população. Para podermos ter uma idéia sobre devemos ter alguma iformação prévia sobre σ 2 ou, etão, usar uma pequea amostra piloto para estimar σ 2. Exemplo: Supoha que uma pequea amostra piloto de = 10, extraída de uma população, foreceu os valores X = 15 e S 2 = 16. Fixado-se ε = 0, 5 e α = 0, 95, temos = 16 (1, 96)2 (0, 5) No caso de proporções, usado a aproximação ormal apresetada a seção aterior para ˆp, é fácil ver que (5) resulta = z2 α/2p(1 p) ε 2. (6) Geralmete o valor de p, a verdadeira proporção populacioal, ão é cohecida, este caso podemos usar o fato que p(1 p) 1/4, para todo p, e (6) fica z2 α/2 4ε 2. (7) Por outro lado, se tivermos alguma iformação sobre p ou pudermos estimá-lo usado uma amostra piloto, basta substituir esse valor estimado em (6). Exemplo: Supoha que uma pesquisa de mercado estima-se que o míimo 60% das pessoas etrevistadas preferirão a marca A de um produto. Essa iformação é baseada em pesquisas ateriores. Se quisermos que o erro amostral de ˆp seja meor do que ε = 0, 03, com probabilidade α = 0, 95, teremos usa-se o fato de que p 0, 60. (1, 96)2 (0, 6)(0, 4) (0, 03) , 4

5 Uiversidade Federal de Mato Grosso Probabilidade e Estatística - Curso: Egeharia Civil Itrodução à Iferêcia Estatística - Prof a Eveliy 1. Supoha que uma idústria farmacêutica deseja saber a quatos volutários se deva aplicar uma vacia, de modo que a proporção de idivíduos imuizados a amostra difira de meos de 2% da proporção verdadeira de imuizados a população, com probabilidade 90%. Qual o tamaho da amostra escolher? 2. No problema aterior, supoha que a idústria teha a iformação de que a proporção de imuizados pela vacia seja p 0, 80. Qual o ovo tamaho de amostra a escolher? Houve redução? 5 Propriedades dos estimadores Defiição 1: Parâmetro As quatidades da população, em geral descohecidas, sobre as quais temos iteresse, são deomiadas parâmetros e, usualmete, represetadas por letras gregas tais como θ, µ, σ, etre outras. Defiição 2: Estimador e Estimativa À combiação dos elemetos da amostra, costruída com a fialidade de represetar, ou estimar, um parâmetro de iteresse a população, deomiamos estimador. Em geral, deotamos os estimadores por símbolos com o aceto circuflexo: ˆθ, ˆµ, ˆσ, etc. Aos valores uméricos assumidos pelos estimadores deomiamos estimativas potuais ou simplesmete estimativas. Defiição 3: Vício Um estimador ˆθ é ão viciado ou ão viesado para um parâmetro θ se IE(ˆθ) = θ. Em outras palavras, um estimador é ão viciado se o seu valor esperado coicide com o parâmetro de iteresse. IE(ˆθ) = θ Defiição 4: Cosistêcia Um estimador ˆθ é cosistete, se, à medida que o tamaho da amostra aumeta, seu valor esperado coverge para o parâmetro de iteresse e sua variâcia coverge para zero. Ou seja, ˆθ é cosistete se as duas propriedades seguites são satisfeitas: i) lim IE(ˆθ) = θ, ii) lim V ar(ˆθ) = 0. Note que, a defiição de cosistêcia, usa-se implicitamete o fato que o estimador depede de, o tamaho da amostra. Na defiição do vício, o resultado deve valer para qualquer que seja, isto é, IE(ˆθ) = θ, para todo. Na defiição de cosistêcia, o estimador ecessita ser ão viciado apeas para valores grades de. Defiição 5: Eficiêcia Dados dois estimadores ˆθ 1 e ˆθ 2, ão viciados para um parâmetro θ, dizemos que ˆθ 1 é mais eficiete do que ˆθ 2 se V ar( ˆθ 1 ) < V ar( ˆθ 2 ). Tabela 1: Estimadores para média, proporção e variâcia. Parâmetro Estimador Propriedades σ 2 S 2 = 1 1 ( x) 2 Não viciado e Cosistete. µ X = Não viciado e Cosistete. p ˆp = No de elemetos com a característica de iteresse Não viciado e Cosistete. 6 Estimação por Itervalo Até agora, todos os estimadores apresetados foram potuais, isto é, especificam um úico valor para o estimador. Esse procedimeto ão permite julgar qual a possível magitude do erro que estamos cometedo. Daí, surge a idéia de costruir os itervalos de cofiaça, que são baseados a distribuição amostral do estimador potual. 5

6 Uiversidade Federal de Mato Grosso Probabilidade e Estatística - Curso: Egeharia Civil Itrodução à Iferêcia Estatística - Prof a Eveliy 6.1 Itervalo de cofiaça (IC) para a média µ de uma população Normal com variâcia σ 2 cohecida Cosideremos, iicialmete, o itervalo de cofiaça para a média µ de uma certa população Normal, com variâcia cohecida σ 2. Supodo uma amostra de tamaho dada por (X 1,, X ), vimos que a média amostral tem distribuição Normal com a mesma média µ e variâcia σ 2 /. Assim, Z = X µ σ/ N(0, 1). Assim, o itervalo de cofiaça para µ, com coeficiete de cofiaça 1 α, é dado por ( IP X z α/2 σ < µ < X + z ) α/2 σ = 1 α ou [ IC(µ, 1 α) = X z α/2 σ ; X + z ] α/2 σ (8) Represetação Gráfica: O valor z α/2 pode ser obtido a tabela da Normal padrão, localizado o valor de (1 α)/2 o corpo da tabela e obtedo o valor de z α/2 as marges correspodetes. Feito isso, temos o itervalo 1. Calcule o itervalo de cofiaça para a média de uma N(µ, σ 2 ) em cada uma dos casos abaixo: Média Amostral Tamaho da Amostra Desvio Padrão (σ) Coeficiete de Cofiaça 175 cm cm 95% 165 cm cm 85% 180 cm cm 70% 2. De válvulas fabricadas por uma compahia retira-se uma amostra de 400 válvulas, e obtém-se a vida média de 800 horas e o desvio padrão de 100 horas. a) Qual o itervalo de cofiaça de 99% para a vida média da população? b) Com que cofiaça dir-se-ia que a vida média é 800 ± 9,8? c) Que tamaho deve ter a amostra para que seja de 95% a cofiaça a estimativa 800 ± 7,84? 6.2 Itervalo de cofiaça (IC) para a média µ de uma população Normal com variâcia σ 2 descohecida O itervalo de cofiaça descrito em (8) somete poderá ser usado as situações em que cohecemos o desvio padrão σ da população, o que ão é comum a prática. Caso cotrário, o procedimeto usual é substituir σ pelo desvio padrão calculado com os dados da amostra: S = 1 1 ( x) 2 (9) 6

7 Uiversidade Federal de Mato Grosso Probabilidade e Estatística - Curso: Egeharia Civil Itrodução à Iferêcia Estatística - Prof a Eveliy Duas situações a cosiderar: 1. se > 30, etão usa-de a distribuição Normal com o estimador S 2 de σ 2 ; 2. se 30, etão usa-se a distribuição t-de-studet, que veremos adiate; Distribuição t de Studet Supodo a população com distribuição Normal, a estatística t = X µ S/ (10) tem distribuição de probabilidade cohecida como distribuição t de Studet, com gl = 1 graus de liberdade. Algumas características da distribuição t de studet: É simétrica em relação a zero; Todas curvas tem máximo em t = 0; Existe uma curva para cada tamaho de amostra () e o valor gl = 1 (úmero de graus de liberdade) é usado para obteção de valores a tabela; A medida que cresce a distribuição t se aproxima da ormal padrão z; Valores de probabilidade de t são obtidos em tabelas. A tabela de t iforma o valor acima do qual se ecotra a area α/2, ode t α/2 é o valor ecotrado a tabela da t. 1. Deseja-se avaliar a dureza esperada µ do aço produzido sob um ovo processo de têmpera. Uma amostra de dez corpos de prova do aço produziu os seguites resultados de dureza, em HRc: 36,4; 35,7; 37,2; 36,5; 34,9; 35,2; 36,3; 35,8; 36,6; 36,9. Costruir um IC para µ, com ível de cofiaça de 95%. 2. Sete medidas de ph de uma solução reguladora proporcioaram os seguites resultados: 5,12; 5,15; 5,20; 5,16; 5,19; 5,15. Calcular os limites de cofiaça para o verdadeiro ph médio ao ível de cofiaça de : i) 99%; ii)95%. 7

8 Uiversidade Federal de Mato Grosso Probabilidade e Estatística - Curso: Egeharia Civil Itrodução à Iferêcia Estatística - Prof a Eveliy 6.3 Itervalo de cofiaça (IC) para proporção populacioal p Em muitas situações, o pricipal parâmetro de iteresse é alguma proporção p. Por exemplo: a proporção de ites defeituosos em uma liha de produção; a proporção de cosumidores que vão comprar certo produto; a proporção de mesages que chegam adequadamete a seu destio etc. Assim como X, ˆp terá, para N grade, distribuição aproximadamete Normal: ( ) p(1 p) ˆp N p,. Z = ˆp p p(1 p) Assim, o itervalo de cofiaça para p, com coeficiete de cofiaça 1 α, é dado por ( ) ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) IP ˆp z α/2 < p < ˆp + z α/2 = 1 α. ou IC(p, 1 α) = ˆp z α/2 [ ] ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) ; ˆp + z α/2 (11) 1. Para estimar a porcetagem de aluos de um curso favoráveis a modificação do currículo escolar, tomou-se uma amostra de 100 aluos, dos quais 80 foram favoráveis. a) Fazer um IC para a proporção de todos os aluos do curso favoráveis à modificação ao ível de 4%. b) Qual o valor do erro de estimação cometido em (a)? 2. Pretede-se estimar a proporção p de cura, através do uso de um certo medicameto em doetes cotamiados com cercária, que é uma das formas do verme da esquitossomose. Um experimeto cosistiu em aplicar o medicameto em 200 pacietes, escolhidos ao acaso, e observar que 160 deles foram curados. Que podemos dizer da proporção p a população em geral? 8