Centro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Estatística Básica Aula 10 Professor: Carlos Sérgio

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1 Cetro de Ciêcias e Teclogia Agroalimetar - Campus Pombal Disciplia: Estatística Básica Aula 10 Professor: Carlos Sérgio UNIDADE 6 - TEORIA DA ESTIMAÇÃO NOTAS DE AULA 1 Itrodução Iferêcia estatística é o processo pelo qual podemos tirar coclusões acerca de um cojuto maior a população usado iformação de um cojuto meor a amostra. Podemos estimar o parâmetro θ usado a iformação de ossa amostra. Chamamos este úico úmero que represeta o valor mais plausível do parâmetro baseado os dados amostrais de uma estimativa potual de θ. Algus exemplos são a média amostral, o desvio padrão amostral, a mediaa amostral, os quais estimam a verdadeira média, desvio padrão e mediaa da população que são descohecidos. Estimação Potual A estimação potual por poto cosistirá simplesmete em, à falta de melhor iformação, adotar a estimativa dispoível como sedo o valor do parâmetro. A idéia é, em sua essêcia, extremamete simples, porém a qualidade dos resultados irá depeder fudametalmete da coveiete escolha do estimador. Assim, detre os vários estimadores razoáveis que poderemos imagiar para um determiado parâmetro, devemos ter a preocupação de escolher aquele que melhor satisfaça às propriedades de um bom estimador. 3 Propriedades dos estimadores Cosideremos uma amostra X 1, X,..., X de uma v.a. que descreve uma característica de iteresse de uma população. Seja θ um parâmetro que desejamos estimar, como por exemplo a média µ = EX ou a variâcia σ = V X. Defiição: Um estimador T do parâmetro θ é qualquer fução das observações da amostra, ou seja, T = gx 1, X,..., X. 1

2 3.1 Justeza e ão-tedeciosidade Diremos que um estimador T é justo ou ão-tedecioso, ou ão-viciado, ou ãoviesado se sua média ou expectâcia for o próprio parâmetro que se pretede estimar ET = θ para todo θ A adoção de um estimador que ão seja justo os levará a icorrer o vício de estimação, ou viés. Exemplo Seja X 1, X,..., X uma amostra aleatória de tamaho obtida de uma populaçao commédia µ e variâcia σ, etão X = 1 i=1 X i é um estimador ão viciado de µ. E X = E 1 i=1 X i = 1 i=1 EX i = µ = µ 3. Cositêcia Diremos que uma sequêcia de estimadores T é cositete se, para todo ɛ > 0, P { T θ > ɛ} 0, 1 Em vez de usar 1 para verificar se uma sequêcia de estimadores é cosistete, pode-se usar o seguite resultado Proposição:Uma sequêcia {T } de estimadores de θ é cosistete se lim ET = θ lim σ T = 0 Exemplo Se X i Beroullip etão X = i=1 X i Biomial, p, daí EX = p e V X = p1 p. Etão, Eˆp = E X = EX V ˆp = V X = V X = p = p1 p = p e ˆp é um estimador ão viciado de p; = p1 p e lim p1 p = 0 cocluido-se que ˆp é um estimador cosistete de p. 3.3 Eficiêcia Se T e T são dois estimadores ão-viesados de um mesmo parâmetro θ, e aida

3 etão T diz-se mais eficiete do que T Exemplo V T < V T, Seja X 1, X,..., X uma amostra aleatória obtida de X com distribuição de Beroulli com parâmetro p, descohecido. Ecotre as variâcias V ˆp e V ˆp 1 ; compare e mostre que ˆp é mais eficiete do que ˆp 1. Solução: V ˆp = V X 1,X,...,X = 1 i=1 V X i = 1 p1 p i=1 p1 p = V ˆp 1 = V X 1 = p1 p. = p1 p ; Como, para > 1, V ˆp = p1 p < V ˆp 1 = p1 p e, sedo ˆp e ˆp 1 estimadores ão viciados etão, de acordo com a Defiiçao, ˆp é mais eficiete do que ˆp Suficiêcia Em poucas palavras, diremos que um estimador é suficiete se cotém o máximo possível de iformação com referêcia ao parâmetro por ele estimado. Defiição A estatística T = T X 1, X,..., X é dita suficiete para o parâmetro descohecido θ, quado a distribuição codicioal de X 1, X,..., X dado T é idepedete de θ 4 Estimação Itervalar Uma estimativa potual de parâmetros, por ao dizer o quão próximo o parâmetro estimado vai estar do parâmetro verdadeiro, ão é suficiete para iformar sobre a precisão da estimativa. Os métodos de estimação por itervalo tem propósito de determiar os itervalos aleatórios, chamados itervalos de cofiaça, que cotém o valor do parâmetro descohecido com uma probabilidade especificada chamada ível de cofiaça. Neste caso a amplitude do itervalo dá uma idicação da precisão da estimativa obtida. 4.1 Itervalo de Cofiaça para Média com variâcia cohecida Seja X 1, X,..., X uma amostra aleatória de tamaho obtida de X Nµ, σ. Etão X = 1 i=1 X i Nµ, σ e, com a variâcia σ é suposta cohecida, a variável aleatória 3

4 Z = X µ σ N0, 1 Assim, dado o ível de cofiaça 1 α, tedo em vista a simetria da distribuição N0, 1 e, para garatir que o tervalo obtido teha amplitude míima, obtemos a tabela da distribuição ormal padroizada, q 1 = Z α e q = q 1 = Z α tal que P Z Z α = 1 α de modo que ou, equivaletemete, P Z α X µ σ P X Z α Z α σ µ X + Z α = 1 α σ = 1 α sedo o itervalo de cofiaça simétrico para µ dado por ICµ, 1 α = X Z α σ ; X + Z α σ Em geral usa-se também a seguite represetação: ICµ, 1 α = X ± Z α σ Exemplo Supoha que se extraia uma amostra de tamaho 35 de uma população com média µ e desvio padrão cohecido e igual a 3,90. Supoha que a média amostral seja 44,8. Determiar um itervalo com 95% de cofiaça para µ. Solução: Temos que, 1 α = 0, 95, α = 0, 05, P Z Z α/ = 1 α = 1 0,05 = 0, 975. Logo, Z α/ = 1, 96 ICµ, 95% = 44, 8 ± 1, 96 3,90 35 ICµ, 95% = 44, 8 ± 1, 9 Logo, o itervalo com 95% de cofiaça para µ é [43,51; 46,09] 4

5 4. Itervalo de Cofiaça para Média com variâcia descohecida Admitido, mais realisticamete, que a variâcia σ é descohecida, a variável aleatória t = X µ S t 1 isto é, tem distribuição de Studet com 1 graus de liberdade, e idepedete de µ. Dado o ível de cofiaça 1 α, como a distribuição de t é simétrica e, para obter um itervalo com amplitude míima, obtemos a tabela da distribuiçao t 1, q 1 = t 1; α e q = q 1 = t 1; α tal que P t t 1; α = α, seguido etão que P e, de forma equivalete, P X t 1; α t 1; α X µ S t 1; α S µ X + t 1; α de modo que o itervalo de cofiaça simétrico para µ é IC = µ, 1 α = X t 1; α = 1 α S = 1 α S ; X + t 1; α S ou, de outra forma IC = µ, 1 α = X ± t 1; α S em que S é o desvio padrão amostral dado por S = 1 X i 1 X Exemplo Supoha que se extraia uma amostra de tamaho 5 de uma população com média µ e desvio padrão descohecido. Supoha que a média amostral seja 4,004 e o desvio padrão amostral seja 0,366. Determiar itervalo 99% de cofiaça para µ. Solução: Temos que, t 0,005;4 =, 797 IC4, 004 ±, 797 0,366 5 IC4, 004 ± 0, 05 Logo, o itervalo com 99% de cofiaça para µ é [3,799; 4,09]. 5 i=1

6 4.3 Itervalo de Cofiaça para proporção populacioal Seja X 1, X,..., X uma amostra aleatória de tamaho obtida de umapopulaçãode Beroulli com parâmetro p, ode os compoetes da amostra só podem assumir os valores 0 e 1. Tem-se ˆp = X, a proporção amostral de sucessos, para suficietemete grade, tem uma distribuição aproximadamete ormal com média p e variâcia p1 p. Logo, Z = ˆp p p1 p N0, 1 A expressão fial para o itervalo de cofiaça aproximado para p, com ível de cofiaça 1 α, será ˆp1 ˆp ˆp1 ˆp ICp, 1 α = ˆp Z α ; ˆp + Z α ou, de forma equivalete, ICp, 1 α = ˆp ± Z α ˆp1 ˆp Exemplo Uma amostra aleatória de 600 peças de computador são obtidas de um grade lote de produção, observado-se 45 com defeito. Estimar, através de um itervalo de cofiaça de 95%, a proporção verdadeira, p, de peças de computador com defeito o lote. Solução: Temos ˆp = X = 45 = 0, , para 1 α = 0, 95, α = 0, 05 e Z α 0,075 0,95 ICp, 95% = 0, 075 ± 1, 96 = 0, 075 ± 0, 011 ou 600 = 1, 96 logo, ICp, 95% = 0, 0539; 0, 0961 ou, aida: ICp, 95% = 5, 39%; 9, 61%. 4.4 Itervalo de Cofiaça para Variâcia Sedo µ descohecida e 1S χ σ 1 ão depede de σ. Com procedimeto semelhate ao caso aterior, temos P χ 1;1 α 1S χ σ 1; α = 1 α, ou, equivaletemete, 6

7 1S P χ 1; α σ 1S = 1 α, χ 1;1 α Portato, o itervalo de cofiaça simétrico para σ é dado por 1S ICσ, 1 α = P ; χ 1; α 1S. χ 1;1 α Exemplo Supoha que seja retirada uma amostra de tamaho cico de uma população ormalmete distribuida, e que se teha ecotrado uma variâcia amostral de 13,5. Costrua um itervalo com 95% de cofiaça para a variâcia populacioal. Solução: é Temos que χ 0,975;4 = 0, 484 e χ 0,05;4 = 11, 143. Logo o itervalo de cofiaça para σ ICσ, 95% = 413,5 ; 413,5 11,143 0,484 ICσ, 95% = 4, 85; 111, 74 5 Itervalo de Cofiaça para a difereça de médias de duas Populações Estes itervalos podem ser úteis em diversas situações práticas em que se deseja comparar dois grupos com relação a certa característica. Por exemplo, um idustrial pode querer comparar dois processos de produção; um pesquisador médico certamete iteressa saber o efeito de uma ova droga em dois tipos de pacietes; pode-se estar iteressado em cohecer o efeito de uma ova droga em dois tipos de pacietes. Descreveremos a seguir, como costruir itervalos de cofiaça para a difereça etre duas médias populacioais. 5.1 As variâcias σ 1 e σ são cohecidas Como x 1 µ 1 σ 1 1 N0, 1 e x µ σ N0, 1 7

8 Logo Assim, temos P Z α Z = x 1 x µ 1 µ N0, 1 σ1 1 + σ x 1 x µ 1 µ σ σ Z α = 1 α resultado etão, o seguite itervalo de cofiaça simétrico para µ 1 µ : ICµ 1 µ, 1 α = σ1 x 1 x Z α + σ σ 1 ; x 1 x + Z α + σ 1 1 Exemplo: O peso médio de duas amostras aleatórias idepedetes de 1 = 30 e = 40 peças, extraídas de dois grades lotes, foi X = 130g e Ȳ = 15g, respectivamete. Admitido que os pesos teham distribuição ormais com variâcias respectivas σ1 = 60g e σ = 80g, estimar, através de um itervalo de 95% de cofiaça, a difereça real dos pesos médios, µ 1 µ, para os dois lotes. 5. As variâcias σ 1 e σ são descohecidas mas σ 1 = σ Se σ 1 = σ = σ etão, temos Sabemos que Z = x 1 x µ 1 µ σ e S 1 = i=1 x i x S = 1 1 i=1 x i x são as variâcias amostrais. Como estamos supodo que σ 1 = σ = σ, etão um estimador ão viciado para σ é dado por Temos fialmete S p = 1 1S 1 + 1S 1 + 8

9 t = x 1 x µ 1 µ σ Sp σ 1 + = x 1 x µ 1 µ Sp t 1 + Procededo de maeira aáloga ao caso aterior, obtemos as seguites expressões para o ICµ 1 µ, 1 α simétrico: ICµ 1 µ, 1 α = x 1 x t 1 + 1; α S p ; x 1 x +t ; α S p e ICµ 1 µ, 1 α = x 1 x ± t 1 + 1; α S p Exemplo: Duas amostras de platas foram cultivadas com dois fertilizates diferetes. A primeira amostra oriuda de 00 semetes, acusou altura média de 10,9 cm e desvio padrão,0 cm. A seguda amostra, de 100 semetes, acusou uma altura média de 10,5 cm com desvio padrão de 5,0 cm. Costruir um itervalo de cofiaça etre as alturas médias das populações ao ível de 95% de cofiaça. 6 Itervalo de Cofiaça para Difereça de Proporções Sejam duas proporções p 1 e p, e suas respectivas proporções amostrais p 1 e ˆp, baseadas em amostras de tamahos 1 e. Para grades tamahos de amostra tem-se que: ˆp 1 ˆp N p 1 p ; p 11 p 1 + p 1 p 1 Portato, o itervalo de cofiaça para p 1 p, com coeficiete de cofiaça 1 α é dado por: ICp 1 p, 1 α = ˆp 1 1 ˆp 1 ˆp 1 ˆp Z α 1 + ˆp 1 ˆp ; ˆp 1 ˆp +Z α ˆp 1 1 ˆp 1 + ˆp 1 ˆp 1 ou ICp 1 p, 1 α = ˆp 1 1 ˆp 1 ˆp 1 ˆp ± Z α + ˆp 1 ˆp 1 Exemplo 1: Numa pesquisa sobre iteção do comprador brasileiro. 30 famílias de uma amostra aleatória de 150 declararam ser uma iteção comprar um carro ovo detro de um ao. Uma outra amostra de 160 famílias 5 declararam a mesma iteção. Costruir um itervalo de 99% de cofiaça para as difereças etre as proporções. 9

10 Exemplo : Numa pesquisa sobre a opiião dos moradores de duas cidades, A e B, com relação a um determiado projeto, revelou que a cidade A, dos 400 etrevistados, 180 eram favoráveis ao projeto, a cidade B, dos 600 etrevistados, 350 foram favoráveis. Verifique, por meio de um itervalo de 90% de cofiaça, se há difereça etre as proporções de moradores favoráveis as duas cidades. Exercícios 1. Supoha que X é o úmero de sucessos em provas de Beroulli com parâmetro p. Mostre que a proporção amostral de sucessos ˆp = X, é um estimador ão viciado da proporção populacioal de sucessos p. Se X 1, X,..., X é uma amostra aleatória obtida de X com distribuição de Poisso com parâmetro λ, mostre que a média amostral X é um estimador ão viciado de λ. 3. Seja X a duração da vida de uma peça de equipameto tal que σ = 5 horas. Admita que 100 peças foram esaiadas forecedo uma duração de vida média de 500 horas e que se deseja obter um itervalo de 95% para a verdadeira média populacioal. 4. Deseja-se estimar a ota média em um exame aplicado em uma escola. Para isso cosiderou-se uma amostra de 16 aluos submetidos a esse exame e obteve-se uma ota média de 7,3 e um desvio padrão de 0,4. Costrua o itervalo com 95% de cofiaça para a verdadeira média. 5. A seguite amostra refere-se a quatidade de peças de roupas cofeccioadas por 9 fucioários uma determiada empresa um determiado dia: 9, 8, 1, 7, 9, 6, 11, 6, 10, 9. Costruir um itervalo de cofiaça para µ com um ível de 99%. 6. Uma empresa emprega 00 pessoas. Numa amostra aleatória de 5 otas de despesas uma semaa de dezembro, um auditor costatou uma despesa média de 0 u.m. com desvio padrão de 0 u.m. Qual é a estimativa itervalar com 99cofiaça para a despesa média da empresa com seus empregados? 7. Um empresário está estudado os custos de produção de um determiado produto sob determiadas codições. Ele admite que essa variável é ormalmete distribuída com desvio padrão σ = UMUidades Moetárias. a Determie os ICs de 99%; 95% e 93% para o custo médio verdadeiro do produto utilizado os valores da seguite amostra aleatória obtida: 4,8 7,1 8,1 4,5 5,6 6,8 7, 5,7 b Supoha que o item a o desvio padrão ão fosse cohecido. Como ficaria seus cálculos para determiar os ICs para µ? 8. Em uma empresa, o úmero médio da veda de 1 produtos distitos, coletados por amostragem, idicou 7,33 como média de produtos vedidos por período de tempo. O desvio-padrão desta amostra foi 4,8. Se desejarmos costruir um itervalo de 99% cofiaça para a verdadeira média de vedas, podemos afirmar o quê? 10

11 9. Para avaliar a taxa de desemprego em uma cidade, obteve-se uma amostra aleatória de habitates em idade de trabalho, dos quais 87 eram desempregados. Estimar a porcetagem de desempregados em toda a cidade através de um itervalo de 90% de cofiaça. 10. Uma amostra de oze elemetos, extraída de uma população com distribuição ormal, foreceu variâcia s = 7, 08. Costruir um itervalo de 90% de cofiaça para a variâcia dessa população. 11. Detre 100 peixes capturados um certo lago, 18 ão estavam apropriados para cosumo devido aos íveis de poluição do ambiete. Costrua um itervalo de cofiaça de 99% para a verdadeira proporção de peixes cotamiados. 1. Em uma pesquisa de mercado sobre a preferêcia dos cosumidores em relação a um ovo produto, 155 de uma amostra de 50 cosumidores preferiram o ovo produto. Estime, com 90% de cofiaça a proporção verdadeira de cosumidores da população que preferirão esse ovo produto. 13. Através de uma aas de 145 profissioais de certa região, verificou-se que o salário médio é de 8 salários míimos s.m. com um desvio padrão de 1,8 s.m. A amostra também foreceu a iformação de que 70% dos profissioais eram casados. a Determie e iterprete o itervalo de cofiaça de 99% para a proporção de profissioais casados desta região? b Determie e iterprete um Itervalo de Cofiaça de 90% para σ. 14. Um egeheiro deseja estimar o redimeto médio de um processo químico com distribuição ormal baseado as observações de redimeto obtidas de 3 repetições do experimeto. Cosidere os dois estimadores do redimeto médio: e T 1 = X 1 + X + X 3 3 T = X 1 + X + X 3 4 a Ecotre a esperaça e a variâcia dos estimadores acima. b Verifique se são ão viciados e cosistetes. Qual é o melhor? Porquê? 15. Seja X uma úica variável aleatória com distribuição de Beroulli com parâmetro θ. Sejam ˆθ 1 = X e ˆθ = 1/ dois estimadores de θ. Verifique se ˆθ 1 e ˆθ são ão viciados para θ. 16. T 1 e T são estimadores de um parâmetro θ, tais que: ET 1 = θ V T 1 = 9 11

12 ET = 3θ V T = 3 Diga, justificado, qual destes estimadoresé melhor estimador de θ. 17. Uma empresa emprega 00 pessoas. Numa amostra aleatória de 5 otas de despesas uma semaa de dezembro, um auditor costatou uma despesa média de 0 u.m. com desvio padrão de 0 u.m. Qual é a estimativa itervalar com 99% de cofiaça para a despesa média da empresa com seus empregados? [08,81 ; 31,188] 18. Para uma amostra aleatória de 100 trabalhadores, em uma firma com 100 empregados, 70 preferem receber seus salários através de créditos em cota correte bacária. De posse dessa iformação costruir o itervalo de 90% de cofiaça para a proporção de trabalhadores da firma que têm preferêcia pelo crédito em cota correte para seus trabalhos. [0,6 ; 0,77] 19. Um empresário está estudado os custos de produção de um determiado produto sob determiadas codições. Ele admite que essa variável é ormalmete distribuída com desvio padrão σ = U.M.Uidades Moetárias. a Determie os ICs de 99%; 95% e 93% para o custo médio verdadeiro do produto utilizado os valores da seguite amostra aleatória obtida: 4,8 7,1 8,1 4,5 5,6 6,8 7, 5,7 [4,415 ; 8,035], [4,839 ; 7,611], [5,065 ; 7,385] b Supoha que o item a o desvio padrão ão fosse cohecido. Como ficaria seus cálculos para determiar os ICs para µ? [5,076 ; 7,385], [5,345 ; 7,105], [5,489 ; 6,961] 0. Em uma empresa, o úmero médio da veda de 1 produtos distitos, coletados por amostragem, idicou 7,33 como média de produtos vedidos por período de tempo. O desvio-padrão desta amostra foi 4,8. Se desejarmos costruir um itervalo de 99% cofiaça para a verdadeira média de vedas, podemos afirmar o quê? 1. Em uma amostra aleatória de 400 eleitores de uma cidade, 8 foram cotra o uso de recurso públicos para a costrução de uma certa obra. Com 95% de cofiaça, qual a proporção correspodete a todos os eleitores da cidade?. Em uma amostra de 300 clietes de um supermercado, 34 deles utilizavam cartão de crédito em suas compras. Costrua um itervalo de 98% de cofiaça para a probabilidade de que um cliete escolhido ao acaso vá comprar com cartão de crédito. 3. Uma amostra aleatória da previsão de 15 aalistas fiaceiros sobre os gahos por ação da Geeral Motors Corporatio foi coletada. O desvio padrão amostral foi de $ 0,88. Ache o itervalo de cofiaça de 98% para a variâcia das previsões dos aalistas. [0,37;,36] 1

13 4. Uma amostra aleatória de dimesão 1 = 10 retirada da população X 1 com distribuição Normal de parâmetros µ 1 e σ 1, deu origem aos seguites valores: x 1 = 0, 5 e s 1 = 3, 5. Uma outra amostra, idepedete da aterior, de dimesão = 130 e retirada da população X de parâmetros µ e σ, deu origem aos valores x = 8, e s = 4, 8. a Determie o itervalo de cofiaça a 90% para µ 1 µ admitido que σ 1 = 4 e σ = 5. [-8,636 ; -6,764] b Determie o itervalo de cofiaça a 90% para µ 1 µ assumido, como é mais atural, que os desvios padrão são descohecidos. [-8,58 ; -6,8] 5. Em uma pesquisa de possuidores de carros em uma uiversidade, etre aluos e aluas, foram obtidos: 48 de 00 aluos possuem automóveis e 19 de 100 aluas possuem automóveis. Ecotre um IC de 9% para a difereça etre proporções. Estatisticamete existe difereça etre proporção de aluos e aluas que possuem automóveis? [-0,037 ; 0,137] 6. Uma amostra aleatória de 00 possuidores de cartão de crédito mostra que o débito médio aual esses cartões, para cotas idividuais, é U$ 159, com desvio padrãode U$ 997 com base em dados do USA Today. Com essas estatísticas, costrua um itervalo de 94% de cofiaça para o débito médio aual em cartões de crédito para a população de todas as cotas. 7. Um baco pretede estimar a percetagem de clietes que passam cheques sem cobertura. Numa amostra de 150 clietes 15 deles já tiham passado cheques sem cobertura. Estime, a 95% de cofiaça a verdadeira percetagem ou proporção de clietes do baco que passam cheques sem cobertura. 8. Extraída duas amostras de professores homes e mulheres, obteve-se os seguites resultados quatos aos salários em milhares de dólares: Costruir um itervalo de 95% de cofiaça para a média da difereça etre os salários. Homes Mulheres 1 = 5 = 5 x 1 = 16, 0 x = 11, 0 S1 = 16 S = A média dos pesos de uma amostra de 10 embalages de adubos em kg distribuídos por uma empresa foi de 46,0 kg e com desvio padrão de 0,64 kg. a Com 99% de cofiaça, estime um itervalo para a verdadeira média dos pesos das embalages de adubo. b Ao ível de 90% de cofiaça, determie um itervalo para verdadeira variâcia das embalages de adubo. 30. A média aritmética dos gastos com livros de uma amostra de 100 estudates do primeiro ao de admiistração é de 70 reais com desvio padrão populacioal de 15 13

14 reais. Costrua itervalos com 95% e 98% de cofiaça para o gasto médio de todos os estudates. Resp: [67,06; 7,94] e [66,51;73,49] 31. Em uma amostra com 00 estudates de uma uiversidade, verificou-se que 57um itervalo de 95% e 99% de cofifica para a verdadeira proporção de estudates favoráveis ao determiado projeto. R: ]0:501386; 0:638614[ e ]0: ; 0: [ 3. Supoha que estejamos iteressados em estimar a porcetagem de cosumidores de certo produto. Se a amostra de tamaho 300 foreceu 100 idivíduos que cosomem o dado produto, determie o itervalo de cofiaça de p, a proporção de pessoas que cosomem o produto, com coeficiete de 95% iterprete o resultado. 33. Numa pesquisa sobre a opiião dos moradores de duas cidades, A e B, com relação a um determiado projeto, obteve-se a tabela abaixo. Utilize o It. cofiaça de 95% para avaliar a difereça etre os percetuais de favoráveis as duas cidades. Cidade A B Número de Etrevistados Número defavoráveis De uma população ormal com média e variâcia descohecidas, extraise uma amostra de tamaho 15 obtedo-se x = 1 e s = 49. Obteha um itervalo de cofiaça para a variâcia populacioal, utilizado o ível de cofiaça de 95%. 14