ESTATÍSTICA NÃO-PARAMÉTRICA

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1 ESTATÍSTICA NÃO-PARAMÉTRICA Prof. Dr. Edmilso Rodrigues Pito Faculdade de Matemática - UFU edmilso@famat.ufu.br 1 Programa Itrodução - Plao de curso, sistema de avaliação - Coceitos básicos de iferêcia Testes de hipóteses; - Itrodução à estatística ão-paramétrica coceitos básicos, ível de mesuração, vatages e desvatages. Testes para o caso de uma amostra - Teste da Biomial; - Teste qui-quadrado; - Teste de Kolmogorov-Smirov; - Teste de Lilliefors; - Teste de iterações de uma amostra. Caso de duas amostras relacioadas - Testes dos siais; - Teste de McNemar; - Teste de Wilcoxo. Caso de duas amostras idepedetes - Teste da mediaa; - Teste de iterações de Wald Wolfowitz; - Teste U de Ma-Whitey; - Teste de Moses para reações extremas; - Teste qui-quadrado para duas amostras idepedetes. Caso de k amostras relacioadas - Teste Q de Cochra; - Teste de Friedma. Caso de k amostras idepedetes - Teste da mediaa; - Teste de Kruskal-Wallis. Medidas de correlação - Coeficiete por postos de Kedall; - Coeficiete de correlação por postos de Spearma; - Coeficiete de cocordâcia de Kedall. 3 1

2 BIBLIOGRAFIA Siegel, S., Castella, Jr., N. J Estatística Não Paramétrica. ª edição, Editora Artmed, Porto Alegre. Coover, W. J., 1980, Practical Noparametric Statistics. d ed. Joh Wiley & Sos, New York. Bolfarie, H., Sadoval, M. C., 001. Itrodução à Iferêcia Estatística. Coleção Matemática Aplicada, Sociedade Brasileira de Matemática. Bussab, W. O., Moretti, P. A., (00). Estatística Básica. Editora Saraiva, São Paulo. 4 Coceitos básicos de iferêcia - População: cojuto de valores de uma característica (observável) associada a uma coleção de idivíduos ou objetos de iteresse. - Amostra aleatória: seqüêcia de variáveis aleatórias X, 1 idepedetes e ideticamete distribuídas (iid). - Parâmetro: é uma medida usada para descrever uma característica de iteresse. - Estatística: qualquer fução da amostra que ão depede dos parâmetros descohecidos. - Espaço paramétrico: o cojuto Θ em que θ toma valores. - Estimador: qualquer estatística que assuma valores em Θ. 5 média variâcia proporção Amostra Estimador (Estimativa) X S ˆp População Parâmetro μ σ p 6

3 Teorema Cetral do Limite (TCL) Sejam X, 1 variáveis aleatórias idepedetes, tais que E X = μ e Var ( X ) = σ, ambas fiitas. Seja i i X = X + + X 1 i i, etão, sob determiadas codições X E X Z = N Var X ( 0,1) 7 Corolário: Distribuição amostral da média com variâcia cohecida. Cosidere uma amostra aleatória de tamaho, X, 1, da variável aleatória X, com E( Xi ) = μ e Var ( X. Seja i ) = σ X = X, a média amostral. Etão, i 1 i = X μ Z = N σ ( 0,1) 8 Distribuição t de Studet Supoha que as variáveis aleatórias Z e V sejam idepedetes, com Z ~ N 0,1 e V χ, etão ~ k T = Z V k t ~ k 9 3

4 Teorema: Seja X, 1 uma amostra aleatória de tamaho da distribuição N μ, σ, etão i) X e S são idepedetes; ii) iii) ( 1) S σ X μ t S χ ~ 1 ~ 1 10 Resumo: Populações ormais (aprox. ormais) Distribuição amostral para X ( σ cohecido) Distribuição X μ ~ N 0,1 σ X S ˆp ~ 1 σ ( descohecido) X μ S ( 1) S ~ χ 1 σ pˆ p ~ N 0,1 p p ( 1 ) t 11 O QUE É UM TESTE DE HIPÓTESES? ACEITA TESTE DE HIPÓTESE ESTUDO DE UM FENÔMENO FORMULAÇÃO DE UMA HIPÓTESE EVIDÊNCIA AMOSTRAL REJEITA 1 4

5 Comparação do MODELO DE TESTE com a evidêcia amostral MODELO PARAMÉTRICO NÃO-PARAM PARAMÉTRICO PROBLEMAS PARAMÉTRICO NÃO-PARAM PARAMÉTRICO 13 Teste de hipótese paramétrico Chamamos hipótese estatística qualquer afirmação acerca da distribuição de uma ou mais variáveis aleatórias. H 0 : hipótese ula (hipótese de iteresse) H 1 : hipótese alterativa (qualquer outra hipótese que difere de H 0. Associados às hipóteses H 0 e H 1 defiimos os cojutos com Θ=Θ0 Θ1 Θ0 e Θ1 14 Chamamos de teste de uma hipótese estatística a fução de decisão Ode: { } d: S a, a : decisão de aceitar H 0 como verdadeira. a 0 a 1 - : decisão de aceitar H 1 como verdadeira. - S: deota o espaço amostral associado à amostra X, 1 A fução d divide o espaço amostral em dois cojutos disjutos {(,, ) ; (,, ) } {(,, ) ; (,, ) } A = x x S d x x = a A = x x S d x x = a : região de aceitação de H 0 e A : região de aceitação de H 1 A0 1 e 15 5

6 Erro tipo I: rejeitar H 0, quado H 0 é verdadeira Erro tipo II: aceitar H 0, quado H 0 éfalsa Decisão Realidade H0 verdadeira H0 falsa Aceitar de H0 Correto Erro do Tipo II Rejeitar H0 Erro Tipo I Correto ( Erro Tipo I ) = ( rejeitar 0 0 verdadeira) α = P P H H ( Erro Tipo II ) = ( aceitar 0 0 falsa) β = P P H H 16 θ θ o x 1 c β α θ o x θ1 c β α 17 Objetivo de um teste de hipótese Dizer, através de uma estimativa θˆ, obtida através de uma amostra, se H 0 é ou ão aceitável. Isto é coseguido através de uma região crítica (RC). Caso o valor observado perteça a esta região, rejeitamos H 0, caso cotrário ão rejeitamos H 0. Esta região é costruída de modo que P ( ˆ θ RC H verdadeira 0 ) = α Obs.: a costrução da RC é sempre feita sob a hipótese de H 0 ser verdadeira. 18 6

7 Passos para a costrução de um teste de hipóteses 1) Fixe as hipótese H 0 e H 1 ) Use a teoria estatística e as iformações dispoíveis para decidir qual estatística será usada para julgar a hipótese H 0 3) Fixe a probabilidade α de se cometer o erro tipo I e use esse valor para costruir a RC, sob H 0 verdadeira. 4) Use as iformações forecidas pela amostra para ecotrar o valor da estatística que defiirá a decisão 5) Se o valor da estatística, observado a amostra, ão pertecer à RC, aceite H 0, caso cotrário, rejeite. 19 Exemplo 1: cosidere uma máquia que eche pacotes de café, segudo uma distribuição ormal com média μ = 500g e variâcia σ = 400g. Desejamos, de meia em meia hora, colher uma amostra de 16 pacotes e verificar se a produção está sob cotrole. Se uma dessas amostras apresetasse média X = 49g, você pararia ou ão a produção para fazer um ajuste? Use α = 0,01 0 Exemplo : Um fabricate afirma que seus cigarros cotêm 30mg de icotia. Uma amostra de 5 cigarros forece média de 31,5mg de icotia e desvio padrão de 3mg. Supodo que a quatidade de icotia o cigarro segue uma distribuição ormal e cosiderado um ível de 5% de sigificâcia, os dados refutam ou ão a afirmação do fabricate? 1 7

8 Nível descritivo do teste p-valor Correspode ao meor ível de sigificâcia para o qual a hipótese ula é rejeitada para a dada observação (sob H 0 verdadeira). Esta quatidade é chamada de ível descritivo do teste, probabilidade de sigificâcia ou p-valor. Notação: ˆα Ao saber o valor de ˆα o pesquisador pode escolher o próprio ível de sigificâcia, como sedo a probabilidade máxima tolerável de um erro tipo I. No caso de dados ormais e hipóteses sobre μ, calculamos ˆα como: H : μ = μ 0 0 -Teste uilateral à esquerda: ( obs 0 ) ˆ α = P X x H verdadeira - Teste uilateral à direita: H : μ < μ 1 0 H : μ > μ ( obs 0 ) ˆ α = P X x H verdadeira Teste bilateral: H1: μ μ0. Cosideram-se dois casos: - Caso 1) se xobs μ0, ˆ α = P X xobs H0 verdadeira - Caso ) se x μ, ˆ α = P X x H verdadeira obs < > 0 ( obs 0 ) 3 Exemplos: Calcule o p-valor para o exemplo 1 (problema da máquia que eche pacotes de café) e para o exemplo (problema da fábrica de cigarros). 4 8

9 Estatística Não-paramétrica Testes ão-paramétricos A estatística ão-paramétrica pode ser defiida como uma coleção de métodos estatísticos, aplicada a cojutos de dados ode as suposições distribucioais, ecessárias para a aplicação de uma técica clássica, ão são satisfatoriamete atedidas. É também bastate útil o tratameto de dados ode o ível de mesuração das observações ão é dos melhores. 5 Vatages - Dispesam ormalidade dos dados; - O p-valor é exato (o caso paramétrico, o cálculo do p-valor se baseia a distribuição ormal); - São testes mais simples; - São úteis quado é difícil estabelecer uma escala de valores quatitativos; - São mais eficietes que os testes paramétricos, quado ão existe ormalidade. 6 Desvatages - Proporcioam um desperdício de iformações, já que, em geral, ão cosideram a magitude dos dados; - Quado as suposições do modelo estatístico são atedidas, são meos eficietes; - A utilização das tabelas dos testes é mais complicada. 7 9

10 Nível de mesuração dos dados - Escala omial: Neste ível se situam todas as observações que são categorias e ão têm ordem atural. - Escala Ordial: as observações são categorias que têm uma ordem atural. - Escala itervalar: tem todas as características da escala ordial com a vatagem de poder quatificar a difereça etre dois úmeros desta escala Obs.: Algus autores apotam aida a existêcia de uma outra escala. A escala da razão, equivalete à escala itervalar, porém o valor zero é o verdadeiro poto de origem. 8 Testes para o caso de uma amostra Os testes ão paramétricos para o caso de uma amostra são usados para testar a aderêcia de uma distribuição, ou seja, para verificar se determiada amostra provém de uma determiada população com uma distribuição específica 9 Teste da Biomial - A distribuição Biomial Cosidere uma amostra aleatória X, 1 da variável aleatória de Beroulli com parâmetro p. Seja X = X i. Desta forma, i= 1 X ~ Bi(, p) Numa distribuição biomial, temos: - Para cada esaio, o resultado é sucesso ou fracasso. - A probabilidade de sucesso ão se altera com a repetição do experimeto; - Os esaios são idepedetes

11 Procedimeto do teste O teste da biomial é aplicado em amostras proveietes de populações que costituem-se de apeas duas categorias (variáveis dicotômicas). É útil para verificarmos se a proporção de sucesso ˆp, observada a amostra, pode pertecer a uma população com um determiado valor de p. Hipóteses H : p= p 0 0 H : p< p 1 0 H : p> p 1 0 H : p p Estatística do teste Seja X, uma amostra aleatória da população de iteresse. 1 X i ~ Ber( p). Seja X: o úmero de resultados, com a característica de iteresse, a amostra. Assim, X ~ Bi(, p) Decisão Seja x o úmero de resultados observado. Para um ível de sigificâcia α, temos - Para um teste uilateral à esquerda Rejeitamos H 0 se P( X x) < α, caso cotrário, aceitamos. - Para um teste uilateral à direita Rejeitamos H 0 se P X x < α, caso cotrário, aceitamos. 3 - Para um teste bilateral Rejeitamos H 0 se P( X x) α ou aceitamos H 0. < P( X x) < α, caso cotrário, Modo prático - Se x p 0, rejeitaremos H 0 se P X x < α < - Se x p 0, rejeitaremos H 0 se P X x < α > 33 11

12 Exemplo 1: Supohamos que uma dada família asceram 1 filhos, 5 do sexo masculio e 7 do sexo femiio. Os pais querem saber se a probabilidade de ascer filho do sexo masculio ou femiio é igual. Exemplo : Em uma platação de algodão foram observadas, ao acaso, 10 platas e costatou-se que apeas uma apresetava-se ifectada com uma certa moléstia de raízes. Cosiderado que uma ifestação abaixo de 30% é cotrolável, verifique a hipótese de que a platação está sob cotrole. 34 Exemplo 3 A lei de Medel afirma que para 4 gees, 3 são domiates e 1 é recessivo. Em um certo experimeto, observouse 54 gees domiates e 6 recessivos. Verifique, pelo teste da biomial, se a lei de Medel se aplica ao experimeto realizado. 35 1