TRANSPORTES. Sessão Prática 4 Amostragem de escalares

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1 Mestrado Itegrado em Egeharia Civil TRNPORTE Prof. Resposável: Luis Picado atos essão Prática 4 mostragem de escalares Istituto uperior Técico / Mestrado Itegrado Egeharia Civil Trasportes ulas Práticas /0

2 Distribuição t-tudet Noções básicas (I) Distribuição da Média mostral Para uma variável, represetativa de uma população e para amostras de dimesão, a média amostral é defiida por: upodo que,, são variáveis idepedetes e seguem distribuição ormal com valor esperado e variâcia. Valor esperado da Média mostral é: Variâcia da Média mostral é: i var i E E var Z segue distribuição ormal com média 0 e variâcia : Z μ σ Istituto uperior Técico / Mestrado Itegrado Egeharia Civil Trasportes ulas Práticas /0

3 Distribuição t-tudet Noções básicas (II) distribuição t-tudet surge quado: a dimesão da amostra () é pequea o desvio padrão é descohecido e tem de ser estimado a partir dos dados da amostra Variâcia da amostra: ( i ) i T segue uma distribuição t-tudet com - graus de liberdade: Para dimesões de amostras muito grades (), a variável T tede para seguir uma distribuição Normal. Campos de aplicação: T μ s Estimar o itervalo de cofiaça do valor esperado de uma distribuição ormal quado a dimesão da amostra é pequea. valiar a sigificâcia estatística da igualdade da média de duas amostras. Istituto uperior Técico / Mestrado Itegrado Egeharia Civil Trasportes ulas Práticas 3/0

4 Distribuição t-tudet Noções básicas (III) Fig. - Fução desidade probabilidade t Fig. - Fução distribuição t k = GL = Graus de Liberdade = - Istituto uperior Técico / Mestrado Itegrado Egeharia Civil Trasportes ulas Práticas 4/0

5 Distribuição t-tudet Noções básicas (IV) tabela seguite lista algus valores da distribuição t-tudet com GL graus de liberdade e diferetes graus de cofiaça: GL / (bi-caudal) Istituto uperior Técico / Mestrado Itegrado Egeharia Civil Trasportes ulas Práticas 5/0

6 Istituto uperior Técico / Mestrado Itegrado Egeharia Civil Trasportes ulas Práticas 6/0 Distribuição t-studet Noções básicas (V) Itervalo de cofiaça para o valor esperado. mostra de pequea dimesão, População Normal Grau de cofiaça - Defiir a de tal forma que Itervalo de cofiaça: a também pode ser represetado por a μ a P a μ a P a ; a ;GL t a) P(T a) T a ( P

7 mostragem aleatória simples Dimesioameto (I) s gradezas calculadas a partir de amostras são apeas estimativas. Há que ter sempre presete as respectivas marges de erro. Margem de erro absoluto () ou emi-largura do itervalo de cofiaça (LIC) ode, t / abcissa correspodete ao grau de cofiaça (-) a lei t-studet estimativa do desvio padrão da população dimesão da amostra t Istituto uperior Técico / Mestrado Itegrado Egeharia Civil Trasportes ulas Práticas 7/0

8 mostragem aleatória simples Dimesioameto (II) Erro relativo () esta formulação permite uma iterpretação idepedete da variâcia da variável a estimar. dimesão da amostra () ecessária para um determiado erro pretedido: t t Istituto uperior Técico / Mestrado Itegrado Egeharia Civil Trasportes ulas Práticas 8/0

9 mostragem aleatória simples Dimesioameto (III) Frequetemete ão há uma ideia clara sobre o erro relativo pretedido por ão ser evidete quato vale/custa a igorâcia associada a esse erro. decisão deve ser tomada cosiderado o custo da falta de iformação (C ) e o custo de aquisição de iformação (C ). dimesão óptima da amostra é coseguida através do valor míimo do custo total (CT). CT c t c MiCT dct d 0 c t c 3 dimesão da amostra cresce com o custo do erro e desvio padrão da variável base e decresce com o custo de aquisição de iformação (iquéritos, cotages). Istituto uperior Técico / Mestrado Itegrado Egeharia Civil Trasportes ulas Práticas 9/0

10 Istituto uperior Técico / Mestrado Itegrado Egeharia Civil Trasportes ulas Práticas 0/0 Distribuição t-studet Itervalo de cofiaça para a difereça etre valores esperados mostra de pequea dimesão, População Normal Duas populações e com valores esperados e e variâcias e. dmitase que a partir destas populações se obtiveram amostras idepedetes de dimesão e, com base as quais se calcularam os estimadores dos valores esperados,, e das variâcias e. variável T segue uma distribuição t-studet com GL = + - Itervalo de cofiaça:,gl,gl t ; t e μ μ T ) /, ( N ) /, ( N

11 Eercício P4. mostragem aleatória simples Pretede-se estimar o úmero de veículos rodoviários pesados que etram diariamete em Lisboa etre as 7 e as 0h, um cojuto de 6 eios pricipais. Esse cojuto de eios tem uma capacidade horária global por setido de cerca de veículos por hora. dmite-se que a percetagem de veículos pesados o tráfego esses eios e período horário seja etre 4 e 6%, e que a estimativa do desvio padrão é 50. a) Qual o úmero de dias de observação ecessário para estimar o valor pretedido com um erro ão superior a 00 veículos/dia? b) Um técico ligado ao sector afirma que os tráfegos pesados às segudas-feiras são marcadamete diferetes dos ocorridos os outros dias úteis, pelo que deveriam ser estimados separadamete. dmita que tiham sido feitas observações em todos os dias úteis de semaas, com os seguites resultados: Idicador ªf Outros dias úteis Nº observações 8 Média mostral Desvio padrão Pode afirmar-se que as médias do úmero de veículos pesados são, o geral, iguais às segudas-feiras e os outros dias úteis? Istituto uperior Técico / Mestrado Itegrado Egeharia Civil Trasportes ulas Práticas /0

12 mostragem aleatória simples (Eercício P4. Resolução) a) Fórmulas relevates: Dados: t t () () Capacidade global dos 6 eios veículos/hora % de veículos pesados mí. 4%.00 veíc. pes./hora má. 6%.800 veíc. pes./hora No itervalo das 7-0h mí veículos pesados má veículos pesados Estimativa do desvio padrão 50 veíc. pes./dia Erro máimo admitido 00 veíc. pes./dia Istituto uperior Técico / Mestrado Itegrado Egeharia Civil Trasportes ulas Práticas /0

13 mostragem aleatória simples (Eercício P4. Resolução) Defiição do grau de cofiaça: O grau de cofiaça correspode à probabilidade de o verdadeiro valor da média se situar detro do itervalo de cofiaça que vai ser calculado. ida que o mais habitual seja trabalhar-se com 95%, pode admitir-se que, face ao vasto cojuto de factores que pode fazer variar os volumes de tráfego, ão ecessitemos estes casos de uma tal precisão, descedo até aos 80%. Dimesioameto da amostra: Como o valor de t / (abcissa correspodete ao grau de cofiaça pretedido a lei de t-studet) depede do úmero de graus de liberdade (-), a fórmula () tem de ser resolvida por um processo iterativo. edo a distribuição t-tudet simétrica em relação à média, a um grau de cofiaça de 80% correspodem duas caudas de 0% cada, pelo que a abcissa do lado do erro positivo deve ser procurada o percetil 90. lgumas tabelas têm como etrada o valor 0%. Istituto uperior Técico / Mestrado Itegrado Egeharia Civil Trasportes ulas Práticas 3/0

14 mostragem aleatória simples (Eercício P4. Resolução) ª Iteração ( = ) Iiciaremos o processo cosiderado =, ou seja, admitido que temos uma distribuição Normal. Com recurso à tabela da Normal Padroizada Logo, ª Iteração ( = 3) ormal 50,8 00 P(Z t,57 3 ) 0,9 t,8 Cosultado agora a tabela de probabilidades associada à cauda direita da distribuição t-studet com grau de liberdade (-).,, 50 t0%,,886,886 5, Istituto uperior Técico / Mestrado Itegrado Egeharia Civil Trasportes ulas Práticas 4/0

15 mostragem aleatória simples (Eercício P4. Resolução) Iterações seguites 3ª Iteração Esaio com dimesão 6 t 0%,5,476 Dimesão da amostra () 3,40 4 4ª Iteração Esaio com dimesão 4 t 0%,3,638 Dimesão da amostra () 4,9 5 5ª Iteração Esaio com dimesão 5 t 0%,4,533 Dimesão da amostra () 3,67 4 Verifica-se assim que com o valor de t associado a uma amostra de 5 se poderia usar uma amostra 4, mas com o t correspodete a esta implica a dimesão de amostra 5. Dever-se-á optar pela dimesão cujo erro correspodete resultar ão superior a 00 veículos pesados por dia. 5,t 4,t,533,638 50, , CONCLUÃO: Com a dimesão de amostra 5 o erro máimo de estimativa da média é de 7 veículos, para o grau de cofiaça 80%, sedo portato iferior ao máimo admissível. Istituto uperior Técico / Mestrado Itegrado Egeharia Civil Trasportes ulas Práticas 5/0

16 Grau de cofiaça de 95% Esaio com dimesão ª Iteração t,5%,,960 Dimesão da amostra () 6, ª Iteração Esaio com dimesão 0 t,5%,9,6 Dimesão da amostra () 7, ª Iteração Esaio com dimesão 9 t,5%,8,306 Dimesão da amostra () 8,3 9 mostragem aleatória simples (Eercício P4. Resolução) 50, Istituto uperior Técico / Mestrado Itegrado Egeharia Civil Trasportes ulas Práticas 6/0 9,t ª Iteração Esaio com dimesão 7 t,5%,6,447 Dimesão da amostra () 9, ª Iteração Esaio com dimesão 8 t,5%,7,365 Dimesão da amostra () 8,74 9,306 50, ,t,638 8 CONCLUÃO: Com a dimesão de amostra 9 o erro máimo de estimativa da média é de 9 veículos, para o grau de cofiaça 95%, sedo portato iferior ao máimo admissível.

17 mostragem aleatória simples (Eercício P4. Resolução) b) Dados: veículos pesados que etram diariamete às segudas-feiras veículos pesados que etram diariamete os restates dias úteis N(, ) e N(, ) Da amostra da população : Da amostra da população : 4640 e s 90 e 4360 e s 35 e Idicador ªf Outros dias úteis Nº observações 8 8 Média mostral Desvio padrão Istituto uperior Técico / Mestrado Itegrado Egeharia Civil Trasportes ulas Práticas 7/0

18 Teste de Hipóteses: Pretede-se testar se as médias das duas populações e são iguais, ou seja, pretede-se saber se o valor esperado de Y é ulo ( y =0), sedo y = - H 0 : y =0 H : y 0 Y Y Tratado-se de amostras de pequea dimesão T segue uma distribuição t-studet (t /,GL ), ode GL= + - e depede do grau de cofiaça assumido a estimativa de y. e e seguem distribuição Normal, sedo Y = -, etão Y N( y, y ) Y Y s Y s s s s 90 mostragem aleatória simples (Eercício P4. Resolução) 35 8 Y s Y Istituto uperior Técico / Mestrado Itegrado Egeharia Civil Trasportes ulas Práticas 8/0

19 mostragem aleatória simples (Eercício P4. Resolução) Itervalos de cofiaça (a determiar para graus de cofiaça de 80% e 95%): Grau de Liberdade = +8-= 8 Erro absoluto (LIC) t t Y ode e =+8=0 Y Limite Iferior do itervalo de cofiaça Limite superior do itervalo de cofiaça Grau de cofiaça Grau de Liberdade (t /,GL ) Y Y Limite iferior It. Cof Y Limite superior It. Cof 80% 8, ,7-8,7 588,7 95% 8, ,6-9,6 789,6 y Y CONCLUÃO: Como se pode observar, em ambos os casos, graus de cofiaça de 80% e 95%, o valor 0 pertece ao itervalo de cofiaça, logo ão se deve rejeitar a hipótese de que as médias das duas amostras são iguais, ou seja, o tráfego de pesados à seguda-feira ão é suficietemete diferete do que ocorre os outros dias. Istituto uperior Técico / Mestrado Itegrado Egeharia Civil Trasportes ulas Práticas 9/0

20 mostragem aleatória simples Eercício P4. Para efeito de bom dimesioameto dos tempos de ciclo em eploração, pretede-se avaliar o tempo adequado de paragem do metropolitao em cada estação, em fução do seu úmero de embarques e desembarques por hora. Esses volumes podem ser observados para as estações eistetes e modelados para ovas estações. Um cojuto de observações já com algus aos permite cosiderar adequado que o cojuto de estações e horas de serviço seja agrupado em três classes (tráfego iteso, médio e moderado), com tempos médios em toro dos 5 seg., 8 seg. e seg.. abe-se que a variabilidade relativa (ou seja, as difereças etre a média da população μ e a média amostral ) dos tempos de embarque e desembarque é maior as situações de tráfego iteso, para os quais valores de 8 seg. acima e abaio da média são relativamete frequetes (i.e., a probabilidade associada pode ser cosiderada de 40% dos casos). Nos casos de tráfego médio e moderado, estes desvios são meos frequetes, correspodedo a uma probabilidade iferior de 30% para ambos os casos. Qual o úmero de observações (i.e., úmero de parages de comboios em estações em que se deve cotabilizar o respectivo tempo de paragem) a fazer em cada uma dessas classes de itesidade de tráfego se se quiser estimar o tempo médio e o itervalo de cofiaça desse estimador com uma margem de erro ão superior a 3 seg.? Istituto uperior Técico / Mestrado Itegrado Egeharia Civil Trasportes ulas Práticas 0/0