Probabilidades e Estatística LEAN, LEE, LEGI, LERC, LMAC, MEAer, MEAmbi, MEBiol, MEBiom, MEEC, MEFT, MEMat, MEQ

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1 Duração: 90 miutos Grupo I Probabilidades e Estatística LEAN, LEE, LEGI, LERC, LMAC, MEAer, MEAmbi, MEBiol, MEBiom, MEEC, MEFT, MEMat, MEQ Justifique coveietemete todas as respostas 2 o semestre 207/208 4/06/208 09:00 2 o Teste A 0 valores. Uma egeheira biológica admite que o úmero de certos parasitas por hospedeiro ifetado é uma variável aleatória X com fução de probabilidade dada por ( α)x P(X x) ( l α), ode x,2,... x e α é um parâmetro descohecido tal que 0 < α <. Seja (x, x 2,..., x ) a cocretização de uma amostra aleatória de X. (a) Calcule a primeira derivada da fução de log-verosimilhaça e obteha uma equação satisfeita pela (3.0) estimativa de máxima verosimilhaça de α, ˆα. V.a. de iteresse X úmero de parasitas por hospedeiro ifetado Fução de probabilidade de X P(X x) ( α)x x ( l α), x,2,... Parâmetro descohecido α, tal que 0 < α < Amostra x (x,..., x ) amostra de dimesão proveiete da população X Fução de verosimilhaça L(α x) P(X x) X i idep P(X i x i ) X i X P(X x i ) [ ( α) x i x i ] ( l α) ( α) x i ( l α) ( x i Fução de log-verosimilhaça ll(α x) x i l( α) l( lα) l(x i ) Equação satisfeita pela estimativa de MV de α ), 0 < α < A estimativa de MV de α será represetada doravate por ˆα e satisfaz d ll(α x) dα 0 α ˆα (poto de estacioaridade). Cosequetemete x ( ) i ˆα ˆα ( l ˆα) 0 Págia de 7

2 x ˆα + ˆα l( ˆα) 0 [ ˆα ˆα l( ˆα) x]. (b) Uma amostra (x, x 2,..., x 20 ) coduziu a ˆα Calcule a estimativa de máxima (.5) verosimilhaça de E(X ) α α l(α). Parâmetro descohecido h(α) E(X ) α α l(α) Estimativa de MV de h(α) E(X ) De acordo com a propriedade de ivariâcia dos estimadores de máxima verosimilhaça, a estimativa de MV de h(α) é dada por: E(X ) h(α) h( ˆα) ˆα ˆα l( ˆα) l( ).4. [ x.4]. 2. Cosidere que a variável aleatória X represeta a quatidade de água (em litro) de cada descarga de um ovo modelo de autoclismo e que uma cocretização de uma amostra aleatória de dimesão 40 da referida população coduziu aos seguites resultados 40 x i 450 e 40 x2 i (a) Deduza um itervalo de cofiaça aproximado a 90% para E(X ). (2.5) V.a. de iteresse X quatidade de água (em litro) de cada descarga de um ovo modelo de autoclismo Situação X com distribuição arbitrária µ E(X ) DESCONHECIDO σ 2 V (X ) descohecido Obteção do IC aproximado para µ E(X ) Passo Selecção da v.a. fulcral para µ Z X µ S/ a ormal(0, ) [pois pretede-se IC aproximado para o valor esperado de pop. com distribuição arbitrária com variâcia descohecida e estamos a lidar com amostra suficietemete grade.] Passo 2 Obteção dos quatis de probabilidade [Observe que os quatis simétricos que se seguem dizem respeito à distribuição aproximada da v.a. fulcral para µ e equadram-a com probabilidade aproximadamete igual a ( α) 0.95:] { a α Φ ( α/2) Φ t abel a/calc. (0.95).6449 b α Φ ( α/2) Φ (0.95) Passo 3 Iversão da desigualdade a α Z b α P (a α Z b α ) α Págia 2 de 7

3 [ P a α X ] µ S/ b α α [ P X b α S µ X a α S ] α Passo 4 Cocretização Tedo em cota que o IC aproximado a ( α) 00% para µ é dado por [ IC (µ) x ± Φ ( α/2) s ], ode Assim, x s 2 x i [( x 2 i ) ( x) 2 ] 40 ( ) IC (µ) [.25 ±.6449 [8.2360, ]. ] (b) Cofrote as hipóteses H 0 : E(X ) 9 e H : E(X ) > 9, calculado para o efeito o valor-p. (3.0) V.a. de iteresse e situação Ver alíea a). Hipóteses H 0 : E(X ) µ µ 0 9 H : E(X ) µ > µ 0 9 Estatística de teste T X µ 0 S/ a H0 ormal(0,) [uma vez que pretedemos efectuar um teste para o valor esperado de população com distribuição arbitrária com variâcia descohecida e dispomos de uma amostra suficietemete grade.] Região de rejeição de H 0 (para valores de T ) Estamos a lidar com um teste uilateral superior (H : µ > µ 0 ), dode a região de rejeição de H 0 seja do tipo W (c,+ ). Decisão (com base o valor-p) O valor observado da estatística de teste é igual a t x µ 0 s/ / e a região de rejeição deste teste é um itervalo à direita. Assim, Págia 3 de 7

4 valor p P(T > t H 0 ) Logo é suposto: Φ(t) Φ(.23) tabel a/calc ão rejeitar H 0 a qualquer ível de sigificâcia α %, omeadamete a qualquer dos íveis usuais de sigificâcia(%, 5% e 0%); rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0 > 0.93%. Grupo II 0 valores. Seja X a variável aleatória que descreve o úmero semaal de ataques ciberéticos a um cojuto de servidores. Um egeheiro iformático defede a hipótese H 0 de que X possui fução de probabilidade P(X x) (x + ) 0.8 x 0.2 2, x 0,,2,... A cotagem do úmero semaal de ataques ciberéticos a este cojuto de servidores, um período de 200 semaas selecioadas casualmete, coduziu à seguite tabela de frequêcias: Número semaal de ataques ciberéticos mais de 3 Frequêcia absoluta observada Frequêcia absoluta esperada sob H 0 E E 5 (a) Obteha os valores de E e E 5 (aproximado-os às cetésimas). (.0) V.a. de iteresse X úmero semaal de ataques ciberéticos a um cojuto de servidores F.p. cojecturada P(X x) (x + ) 0.8 x 0.2 2, x 0,,2,... Frequêcias absolutas esperadas omissas Atededo à dimesão da amostra 200 e à f.p. cojecturada temos: E P(X 0) 200 (0 + ) ; E 5 P(X 4) 4 E i 200 ( ) (b) Teste H 0, ao ível de sigificâcia de 5%. (3.0) Hipóteses H 0 : P(X x) (x + )0.8 x 0.2 2, x 0,,2,... H : P(X x) (x + )0.8 x 0.2 2, para algum x {0,,2,...} Nível de sigificâcia α 0 5% Estatística de Teste k (O i E i ) 2 T E i a H0 χ 2 (k β ), Págia 4 de 7

5 ode: k No. de classes 5 O i Frequêcia absoluta observável da classe i E i Frequêcia absoluta esperada, sob H 0, da classe i β No. de parâmetros a estimar 0 [dado que em H 0 se cojectura uma distribuição específica.] Frequêcias absolutas esperadas sob H 0 De acordo com a tabela facultada e a alíea a), as frequêcias absolutas esperadas sob H 0 aproximados às cetésimas são: E 8.00; E ; E ; E ; E [Não é ecessário fazer qualquer agrupameto de classes uma vez que em pelo meos 80% das classes se verifica E i 5 e que E i para todo o i. Caso fosse preciso efectuar agrupameto de classes, os valores de k e c F ( α χ 2 0 ) teriam que ser recalculados...] (k β ) Região de rejeição de H 0 (para valores de T ) Tratado-se de um teste de ajustameto, a região de rejeição de H 0 é o itervalo à direita W (c,+ ), ode c F ( α χ 2 0 ) (k β ) F ( 0.05) χ 2 (5 0 ) tabel a/calc Decisão No cálculo do valor observado da estatística de teste covém recorrer à seguite tabela auxiliar: Classe i Freq. abs. obs. Freq. abs. Parcelas valor obs. esp. sob H 0 estat. teste i o i E i (o i E i ) 2 E i (7 8.00) 2 {0} (7 2.80) 2 {} {2} {3} {4,5,...} k o i 200 k E i 200 t k (o i E i ) 2 E i Uma vez que t W (9.488,+ ), ão devemos rejeitar H 0 ao.s. de α 0 5% [em a qualquer outro.s. iferior a α 0 ]. 2. Um cojuto de 20 medições idepedetes relativas a um pequeo bairro residecial coduziu aos seguites resultados respeitates à temperatura média diária x (em grau Celsius) e ao cosumo diário de eletricidade Y (em kwh): x i 633.4, x 2 i , y i , y 2 i , x i y i , ode [ mi,...,20 x i, max,...,20 x i ] [25.0, 40.5]. (a) Cosidere o modelo de regressão liear simples de Y em x e determie a estimativa de míimos (2.0) quadrados do valor esperado do cosumo diário de eletricidade um dia com temperatura média igual a 29 graus Celsius. Págia 5 de 7

6 Estimativa de MQ de E(Y x) β 0 + β x com x 29 Uma vez que 20 x i x i x x2 i x2 i ( x) y i ȳ y i y 2 i y 2 i (ȳ) x i y i x i y i x ȳ , as estimativas de MQ de β, β 0 e β 0 + β x são, para este modelo de RLS, iguais a: ˆβ x i y i xȳ x2 i ( x) ˆβ 0 ȳ ˆβ x ˆβ 0 + ˆβ x (b) Após ter euciado as hipóteses de trabalho que eteder coveietes, teste se há evidêcia de (3.0) uma relação de atureza liear etre as variáveis x e Y, ao ível de sigificâcia de 5%. Hipóteses de trabalho ɛ i i.i.d. Normal(0,σ 2 ), i,..., Hipóteses H 0 : β β,0 0 H : β 0 Nível de sigificâcia α 0 5% Estatística de teste T ˆβ β,0 ˆσ 2 x2 x2 i H0 t ( 2) Região de rejeição de H 0 (para valores da estatística de teste) Estamos a lidar com um teste bilateral (H : β 0), pelo que a região de rejeição de H 0 é uma reuião de itervalos do tipo W (, c) (c,+ ), ode c : P(Rejeitar H 0 H 0 ) α 0, i.e., Págia 6 de 7

7 c F t ( 2) ( α 0 /2) F t (20 2) ( 0.05/2) F t (8) (0.975) calc Decisão Tedo em cota os valores [( obtidos ) em (a), bem como o de ˆσ 2 y 2 i 2 ȳ 2 ( ( )] ) 2 ˆβ x 2 i x2 ( ) , o valor observado da estatística de teste é igual a t ˆβ β,0 ˆσ 2 x2 x2 i Como t W (, 2.0) (2.0,+ ) devemos rejeitar H 0 ao.s. de 5% [bem como a qualquer.s. superior que 5%. De facto podemos cocluir que devemos rejeitar a hipótese de a variável aleatória Y ão ser iflueciada liearmete pela variável explicativa x.] (c) Obteha e iterprete o valor do coeficiete de determiação do modelo ajustado. (.0) Cálculo do coeficiete de determiação ( r 2 x i y i x ȳ ) 2 ( x2 i x2) ( y 2 i ȳ 2) Iterpretação coeficiete de determiação Cerca de 78.26% da variação total da variável resposta Y é explicada pela variável x, através do modelo de regressão liear simples ajustado, dode possamos afirmar que a recta estimada parece ajustar-se bem ao cojuto de dados. Págia 7 de 7