Probabilidades e Estatística LEAN, LEGI, LEGM, LMAC, MEAer, MEAmbi, MEC

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1 Duração: 90 mutos Grupo I Probabldades e Estatístca LEAN, LEGI, LEGM, LMAC, MEAer, MEAmb, MEC Justfque coveetemete todas as respostas 1 o semestre 2018/ /01/ :00 2 o teste B 10 valores 1. Cosdere-se que a fração de água dspoível daramete um reservatóro (às 00:00) é uma varável aleatóra X com fução de desdade de probabldade f X (x) { 2θ x ( 1 x 2 ) θ 1, 0 < x < 1 0, caso cotráro, ode θ é um parâmetro descohecdo postvo. Seja (X 1, X 2,..., X ) uma amostra aleatóra de X. (a) Mostre que o estmador de máxma verosmlhaça do parâmetro θ, com base a amostra aleatóra (3.0) referda acma, é dado por 1 l( 1 X 2 ). V.a. de teresse X fração de água dspoível daramete um reservatóro às 00:00 horas F.d.p. de X { ( 2θ x 1 x 2 ) θ 1, 0 < x < 1 f X (x) 0, caso cotráro, Parâmetro descohecdo θ, θ > 0 Amostra x (x 1,..., x ) amostra de dmesão proveete da população X Obteção do estmador de MV de θ Passo 1 Fução de verosmlhaça L(θ x) f X (x) X dep f X (x ) X X 1 f X (x ) 1 ( ) ] 2θ x 1 x 2 θ 1 1 ( ) 2 θ ( ) ] θ 1 x 1 x 2, θ > 0 1 Passo 2 Fução de log-verosmlhaça ll(θ x) l(2) + l(θ) + l(x ) + (θ 1) l ( 1 x 2 ) Passo 3 Maxmzação A estmatva de MV de θ passa a ser represetada por ˆθ e d ll(θ x) dθ 0 (poto de estacoardade) θ ˆθ ˆθ : d 2 ll(θ x) θ < 0 (poto de máxmo) dθ 2 ˆθ Pága 1 de 7

2 ˆθ : ˆθ + 1 l( 1 x 2 ) 0 ṋ < 0 (prop. verdadera pos > 0) θ2 ˆθ ) 1 1 l( 1 x 2 1 l( 1 x 2 )] 2 < 0]. Passo 4 Estmador de MV de θ E MV (θ) 1 l( 1 X 2 ). (b) A amostra (x 1, x 2,..., x 20 ) coduzu a 20 1 l( 1 x 2 ) l(0.009). Calcule a estmatva de máxma (1.5) 1 verosmlhaça da moda de X dada por. 2θ 1 Estmatva de MV de θ ˆθ 1 l( 1 x 2 ) 20 l(0.009) Outro parâmetro descohecdo h(θ) mo(x ) 1 2θ 1 Estmatva de MV de h(θ) Pela propredade de varâca dos estmadores de máxma verosmlhaça, cocluímos que a estmatva de MV de h(θ) é gual a h(θ) h( ˆθ) 1 2 ˆθ Em determada regão afetada por um surto epdémco, recolheu-se uma amostra casual de dvíduos, tedo-se ecotrado 723 dvíduos cotamados. (a) Determe um tervalo de cofaça a aproxmadamete 90% para a verdadera proporção, p, de (2.5) dvíduos cotamados a regão afetada pelo surto epdémco. V.a. de teresse { 1, se dvíduo está cotamado X 0, c.c. Stuação X Beroull(p) p P(dívduo cotamado) >> 30 (sufcetemete grade). DESCONHECIDA Obteção de IC aproxmado para p Passo 1 Selecção da v.a. fulcral para p Uma vez que os fo solctada a determação de um IC aproxmado para uma probabldade e a dmesão da amostra é sufcetemete grade para justfcar o recurso à segute v.a. fulcral para p com dstrbução aproxmada] Pága 2 de 7

3 Z X p a ormal(0, 1) Passo 2 Obteção dos quats de probabldade Os quats a utlzar são { a α Φ 1 (α/2) Φ 1 (1 α/2) Φ 1 t abel a/calc. (0.95) b α Φ 1 (1 α/2) Φ 1 (0.95) Estes equadram a v.a. fulcral para p com probabldade aproxmadamete gual a (1 α) 0.90.] Passo 3 Iversão da desgualdade a α Z b α P(a α Z b α ) 1 α P P a α ] X p b α 1 α X b α p X a α ] 1 α P X Φ 1 (1 α/2) p X + Φ 1 (1 α/2) ] 1 α. Passo 4 Cocretzação Ao ter-se em cota que x 1 1 x proporção observada de dvíduos cotamados] Φ 1 (1 α/2) , coclu-se que o tervalo de cofaça a aproxmadamete 90% para p é dado por x Φ 1 (1 α/2) x(1 x) ] x(1 x), x + Φ 1 (1 α/2) ( ) , , ]. ] ( ) (b) Com base a amostra referda, cofrote as hpóteses H 0 : p 0.5 e H 1 : p 0.5. Decda com base (3.0) o valor-p. Hpóteses H 0 : p p H 1 : p p 0 Estatístca de teste Sabe-se que o estmador de MV de p é X 1 1 X, ode X..d. X. Para além dsso, E( X ) E(X ) p e V ( X ) 1 p(1 p) V (X ) < +. Etão pelo TLC pode afrmar-se que X E( X ) X p a V ( X ) p(1 p) ormal(0,1), pelo que a estatístca de teste é] T X p 0 p0 (1 p 0 ) a H0 ormal(0,1). Regão de rejeção de H 0 (para valores de T ) Tratado-se de um teste blateral (H 1 : p p 0 ), a regão de rejeção de H 0, escrta para valores da estatístca de teste, é do tpo W (, c) (c, + ). Pága 3 de 7

4 Decsão (com base o valor-p) O valor observado da estatístca de teste é x p 0 t p0 (1 p 0 ) (1 0.5) Uma vez que a regão de rejeção deste teste é a reuão de dos tervalos smétrcos, temos: valor p 2 P(T > t H 0 ) 2 1 P(T t H 0 )] 2 1 Φ( t )] 2 1 Φ(1.39)] calc/tabel a 2 ( ) Cosequetemete, é suposto: ão rejetar H 0 a qualquer.s. α %, por exemplo, a qualquer dos.u.s. (1%, 5% e 10%); rejetar H 0 a qualquer.s. α 0 > 16.46%. Grupo II 10 valores 1. Num estudo urbaístco, uma vestgadora está teressada a varável aleatóra X que represeta a proporção de casas por rua de Lsboa que os propretáros pretedem explorar em regme de Alojameto Local de etre as casas que se ecotram devolutas a mesma rua. A vestgadora defede a cojetura H 0 de que X possu fução de dstrbução dada por P(X x) 1 ( 1 x 2) 2, 0 x 1. Para avalar esta cojetura ela selecoou casualmete 50 ruas de Lsboa e regstou o valor observado de X para cada uma delas, tedo-se obtdo a segute tabela de frequêcas: Classe 0, 0.325] ]0.325, 0.475] ]0.475, 0.606] ]0.606, 0.743] ]0.743, 1] Frequêca absoluta observada Freq. abs. esperada sob H E 4 E 5 (a) Obteha os valores de E 4 e E 5 (aproxmado-os às cetésmas). (1.0) V.a. de teresse X proporção de casas por rua de Lsboa que os propretáros pretedem explorar em regme de A.L. de etre as casas que se ecotram devolutas a mesma rua F.d. cojecturada F (x) P(X x) 1 ( 1 x 2) 2, 0 x 1 Frequêcas absolutas esperadas omssas Atededo à dmesão da amostra 50 e à f.d. cojecturada, temos E 4 50 P(0.606 < X H 0 ) 50 F (0.743) F (0.606)] E 5 E 1 50 ( ) Pága 4 de 7

5 (b) Teste H 0, ao ível de sgfcâca de 5%. (3.0) Hpóteses H 0 : X possu f.d. P(X x) 1 ( 1 x 2) 2, 0 x 1 H 1 : H 0 Nível de sgfcâca α 0 5% Estatístca de teste k (O E ) 2 T E a H0 χ 2 (k β 1), ode: 1 k No. de classes 5 O Frequêca absoluta observável da classe E Frequêca absoluta esperada, sob H 0, da classe β No. de parâmetros a estmar 0. Estmatvas das frequêcas absolutas esperadas sob H 0 De acordo com a tabela facultada e a alíea (a), as frequêcas absolutas esperadas sob H 0 (aproxmadas às cetésmas) são: E ; E ; E ; E ; E Não é ecessáro fazer qualquer agrupameto de classes uma vez que em pelo meos 80% das classes se verfca E 5 e que E 1 para todo o. Caso fosse precso efectuar agrupameto de classes, os valores de k e c F 1 (1 α χ 2 0 ) teram que ser recalculados...] (k β 1) Regão de rejeção de H 0 (para valores de T ) Tratado-se de um teste de ajustameto, a regão de rejeção de H 0 é o tervalo à dreta W (c,+ ), ode c F 1 (1 α χ 2 0 ) (k β 1) Decsão F 1 (1 0.05) χ 2 (5 0 1) tabel a/calc Classe Freq. abs. obs. Freq. abs. Parcelas valor obs. esp. sob H 0 estat. teste o E (o E ) 2 E ( ) 2 1 0, 0.325] ( ) 2 ]0.325, 0.475] ]0.475, 0.606] ]0.606, 0.743] ]0.743, 1] k 1 o 50 k 1 E 50 t k (o E ) 2 1 E Dado que t W (9.488,+ ), ão devemos rejetar H 0 ao.s. de α 0 5% em a qualquer outro.s. feror a α 0 ]. 2. Medções da percetagem de gordura corporal (x) e do ídce de massa corporal (Y ) de 52 pacetes de certa clíca coduzram aos segutes resultados: 1 x 930.1, 1 x , 1 y , 1 y , 1 x y , ode m 1,...,52 x, max 1,...,52 x ] 9, 27]. (a) Cosdere o modelo de regressão lear smples de Y em x e obteha a estmatva de mímos (2.0) Pága 5 de 7

6 quadrados do valor esperado do ídce de massa corporal de um pacete com percetagem de gordura corporal gual a 10. Estmatva de MQ de E(Y x) β 0 + β 1 x com x 10 Dado que 52 1 x x x 1 1 x x2 ( x) y ȳ 1 1 y y y 2 (ȳ) x y x y x ȳ , as estmatvas de MQ de β 1, β 0 e β 0 + β 1 x são, para este modelo de RLS, guas a: ˆβ 1 1 x y xȳ 1 x2 ( x) ˆβ 0 ȳ ˆβ 1 x ˆβ 0 + ˆβ 1 x (b) Após ter eucado as hpóteses de trabalho que eteder coveetes, teste a sgfcâca do (3.0) modelo de regressão lear smples ajustado ao ível de 10%. Hpóteses de trabalho ɛ..d. Normal(0,σ 2 ), 1,..., Hpóteses H 0 : β 1 β 1,0 0 H 1 : β 1 β 1,0 Nível de sgfcâca α 0 10% Estatístca de teste T ˆβ 1 β 1,0 ˆσ 2 1 x2 x2 H0 t ( 2) Regão de rejeção de H 0 (para valores de T ) Estamos a ldar com um teste blateral (H 1 : β 1 β 1,0 ), logo a regão de rejeção de H 0 é do tpo W (, c) (c,+ ), ode c : P(Rejetar H 0 H 0 ) α 0,.e., Pága 6 de 7

7 c F 1 t ( 2) (1 α 0 /2) F 1 t (52 2) (1 0.1/2) tabel a/calc Decsão Atededo aos valores ( obtdos em ) (a), assm como ao de ˆσ 2 1 y 2 2 ȳ 2 ( ( )] ) 2 ˆβ1 x 2 x ( ) , o valor observado da estatístca de teste é gual a t ˆβ 1 β 1,0 ˆσ 2 1 x2 x Como t W (, 1.676) (1.676,+ ) devemos rejetar H 0 ao.s. de α 0 10% assm como a qualquer.s. superor a 10%]. (c) Calcule e terprete o coefcete de determação do modelo de regressão lear smples ajustado. (1.0) Cálculo do coefcete de determação ( r 2 1 x y x ȳ ) 2 ( 1 x2 x2) ( 1 y 2 ȳ 2) Iterpretação coefcete de determação Cerca de 63.9% da varação total da varável resposta Y é explcada pela varável x, através do modelo de regressão lear smples ajustado, dode possamos afrmar que a recta estmada parece ajustar-se bem ao cojuto de dados e deverá coduzr a resultados com teresse prátco]. Pága 7 de 7