TESTE DO QUI-QUADRADO - Ajustamento

Transcrição

1 Exemplo 3: Avalar se uma moeda ou um dado é honesto; Em 100 lances de moeda, observaram-se 65 coroas e 35 caras. Testar se a moeda é honesta. 1 H 0 : a moeda é honesta; H 1 : a moeda não é honesta; 2 α = 5%; k = 2 e g.l.=2-1=1; 3 Determnação da Regão Crítca, RC; χ (1)= 3.84 ; RC = [ 3.84, + [ Classes A Cara Coroa Freq. Observada o Freq. Esperada e º o valor observado da ET é x 2 = (35-50) 2 /50 + (65-50) 2 /50=9 logo Decsão: rejeta-se H 0.e., a moeda não é honesta. TPC: Calcule lmtes para enquadrar o p-value, como na aula. Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatístca Aplcada: Métodos Não-Paramétrcos 2ºAno/2ºSem (6 ECTS) 52

2 Exemplo 4: Tpo de sangue para uma determnada raça. Serão os dados consstentes com a hpótese formulada acerca da dstrbução do tpo de sangue de determnada raça ao nível de 2.5%? Explcte essa dstrbução, n=1000; Frequênca esperada: e =np 0 = n P(X A / H 0 ) ; Classes A B AB 0 o e H 0 : p 0 = e / n, =1,2,3,4, ou seja H 0 : P(A)=0.18 ; P(B)=0.48; P(AB)=0.2; P(0)=0.14 H 1 : para algum dos, p 0 e / n k=4, α = 2.5% ; χ (3) = 9,348 ; RC=[ 9,348, + [ x 2 = ( ) 2 /180 + ( ) 2 /480 + ( ) 2 /200 + ( ) 2 /140 = n= O 1 +O 2 +O 3 +O 4 = = 1000 CONCLUSÃO: Logo ao nível de 2.5% rejeta-se H 0 : P(A)=0.18 ; P(B)=0.48; P(AB)=0.2; P(0)=0.14. TPC:Verfque que o p-value = , utlzando o EXCEL Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatístca Aplcada: Métodos Não-Paramétrcos 2ºAno/2ºSem (6 ECTS) 53

3 Exemplo 5: Número de acdentes numa rodova. Fo regstado o Número de acdentes numa rodova, de acordo com o da da semana, tendo-se obtdo a Tabela segunte: Classes Seg Ter Qua Qu Sex Sab Dom Serão estes dados consstentes com a hpótese de que são unformes durante a semana? n=175 ; H 0 : p 0 = p =1/7, =1, 7 Frequênca esperada e =np 0 = n P(X A / H 0 )= 175 x 1/7 = 25 k=7, α = 5% χ (6) = 12,6 RC=[ 12,6, + [ Número de acdentes Classes Seg Ter Qua Qu Sex Sab Dom Acdentes Observados o Acdentes esperados e Valor observado da ET x 2 =12,0 ; Logo ao nível de 5% não se rejeta H 0 : Acdentes dstrbuídos unformemente ao longo da semana. 2 2 Resposta mas completa: p value = P X x H p-value = P[χ 2 (6) 12] = , do EXCEL =CHIDIST(x;deg_freedom)=CHIDIST(12;6) Rejetar a hpótese nula para níves de sgnfcânca maores ou guas ao p-value [ ] Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatístca Aplcada: Métodos Não-Paramétrcos 2ºAno/2ºSem (6 ECTS) 54 0

4 Os testes de ajustamento podem ser formulados para testar a hpótese de que uma determnada amostra observada tenha sdo extraída de uma população com dstrbução não completamente especfcada, com m parâmetros a estmar. (Hpótese Nula Composta); Estatístca de Teste, ET: k elevado: tem dstrbução perto de um e, a Regão de Rejeção e consttuída pelo ntervalo 1 X 2 k = = 1 ( O ˆ e ) eˆ 2 [ χ ( k m 1), + [ α 2 χ 2 ( k m 1) Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatístca Aplcada: Métodos Não-Paramétrcos 2ºAno/2ºSem (6 ECTS) 55

5 Na aplcação deste teste deve-se ter partcular atenção às frequêncas esperadas, e, pos se estas forem muto pequenas a aproxmação ao Qu-quadrado não é a mas aproprada. São referdas na lteratura váras regras prátcas de aplcação do teste: Se k=2, a frequênca esperada mínma deve ser 5; Se k>2, o teste não deve ser usado se mas de 20% das frequêncas esperadas forem abaxo de 5 ou se qualquer uma delas for nferor a 1. No caso de não se verfcarem estas condções deve-se proceder à agregação de algumas classes contíguas, e ncar novamente o teste, agora com menos classes. Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatístca Aplcada: Métodos Não-Paramétrcos 2ºAno/2ºSem (6 ECTS) 56

6 Exemplo 1 (revstado) A procura dára de um certo produto fo, em 60 das escolhdos ao acaso, a que consta da tabela 1: Será de admtr que tal procura segue uma dstrbução de Posson? Seja X := nº de undades procuradas, por da. H X P( λ), λ > 0 vs. H X / P( λ), λ > 0 Estmador do parâmetro λ : Estmatva de λ : 0: 1: Valores esperados, sob H 0 : com ˆ λ = X ˆ λ = x = 3.8 eˆ = npˆ 3.8 x 9 e 3.8 pˆ =, x = 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8; pˆ = 1 pˆ. 10 x! = 1 Número de undades Número de das Tabela I: Procura dára de um produto regstada em 60 das. Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatístca Aplcada: Métodos Não-Paramétrcos 2ºAno/2ºSem (6 ECTS) 57

7 Exemplo 1(cont.) As probabldades (f.m.p.) estmadas foram obtdas no Excel : Posson(x; mean; cumulatve), em que x é o valor que a v.a. X assume, mean é o valor médo e cumulatve é um valor lógco: para a função massa de probabldade usar FALSE. para a função dstrbução, usar TRUE; Por exemplo, o valor =POISSON(B3;3.8;FALSE). eˆ = npˆ = 60 pˆ Chamamos a atenção para o facto de as classes A deverem consttur uma partção do domíno da v.a. X. Assm, como o domíno da Posson e consttuído pelos valores nteros postvos (nclundo o 0) ntroduzmos a classe 10 ou mas, cuja probabldade fo calculada fazendo (1-P(X 9)) Por outro lado, tendo em conta a observação feta sobre o valor dos ê, que não devem ser nferores a 5, agrupamos as classes 0 e 1, numa classe, e as classes 7, 8, 9 e 10 ou mas, noutra classe, tendo fcado assm 7 classes. χ 2 (k-m-1)= χ 2 (7-1-1)= χ 2 (5) p-value: P[χ 2 (5) ] = Este valor fo obtdo, através da função CHIDIST(E13;5) Decsão: Não há evdênca para dzer que a dstrbução do número de undades procuradas por da, não segue uma dstrbução de Posson. Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatístca Aplcada: Métodos Não-Paramétrcos 2ºAno/2ºSem (6 ECTS) 58