EXEMPLOS DO CURSO DE ESTATÍSTICA ENGENHARIA DE MATERIAIS

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1 EEMPLOS DO CURSO DE ESTATÍSTICA ENGENHARIA DE MATERIAIS Exemplo: Peso de 25 bolos ndustras Forma bruta: Dsposção ordenada Nº de lotes: 0 ; 3 ; 4 ; 2 ; 2 ; 1 ; 2 (n = 7) Nº de peddos: (n = 26) 5 ; 7 ; ; 7 ; 6 ; 7 ; ; 10 ; 6 ; ; 7 ; ; 7 ; 7 ; ; 5 ; 6 ; ; 7 ; 6 ; 7 ; 5 ; 6 ; ; 7 ; 6 f Total 26 Peso dos bolos: (n=125) PESO Frequênca I I I I I I I I Total Estatístca Exemplos Profª Raquel Cymrot

2 Exemplo do nº de peddos f fac f f f ,92 5, ,92 5, ,0 0, ,0 7, ,0 3, Total 26 22, Exemplo do peso dos bolos Peso f fac f 250 I ,5 1 1,64 1,64 252, , I , ,64 122, , , I ,5 30,64 172, , I ,5 56 3,64 94, , I ,5 6 1,36 40, , I , ,36 114, ,50 20 I , ,36 204, ,50 25 I , ,36 49,0 62, ,75 Total ,6 3392, ,25 1)Suponha que a probabldade de que um engenhero de materas utlze estatístca em seu exercíco profssonal seja 0,20 Se durante a vda profssonal, um engenhero tver cnco empregos dstntos, qual a probabldade de que ele utlze estatístca em pelo menos um destes empregos 2)Uma peça pode ser de qualdade nferor devdo, entre outras cosas, a ser muto flexível ou a ter as dmensões fora da tolerânca Em uma prova de controle de qualdade se encontra 10% das peças com ambos os defetos Também se descobre que 25% das peças são muto flexíves e que 30% das peças tem as dmensões fora da tolerânca Calcule a probabldade de que uma peça, escolhda aleatoramente, não seja muto flexível e não tenha as dmensões fora da tolerânca 3)Seja a quantdade de certo produto (em mlhares de undade) e Y o respectvo custo total de produção (em mlhares de reas) Sabemos que exste uma relação aproxmadamente lnear entre e Y e que Y 3+4 Se a quantdade méda produzda for de 5,5 mlhares de undades com desvo padrão da quantdade produzda gual a 2,0 mlhares de undades: a)qual será o custo médo total? b)qual será a varânca do custo total? 4)Num controle de qualdade são retradas duas peças para serem nspeconadas Sabemos que a probabldade de uma peça ser rejetada é gual a 0,01 Seja o número total de peças rejetadas e Y o número de peças rejetadas quando só a prmera peça fo nspeconada a)determne a dstrbução conjunta de e Y b)determne as dstrbuções margnas de e Y c)determne a covarânca de e Y d)determne o coefcente de correlação de e Y 5)A Islander Fshng Company compra marscos a $1,50 a lbra dos pescadores de Peconc Bay para vender para város restaurantes de Nova York a $2,50 a lbra Qualquer quantdade de marscos não f f 2 Estatístca Exemplos Profª Raquel Cymrot

3 vendda aos restaurantes até o fnal de semana, pode ser vendda para um fabrcante de sopas local por $0,50 a lbra As probabldades dos dversos níves de demanda são dadas a segur: Demanda (lbras) Probabldade 500 0, , ,4 a)se o varejsta comprar 1000 lbras, calcule o lucro (ou prejuízo) para cada nível de demanda Qual será o lucro esperado? b)se o varejsta comprar 1500 lbras, calcule o lucro (ou prejuízo) para cada nível de demanda Qual será o lucro esperado? 6)Um fabrcante afrma que a probabldade de uma máquna não precsar usar a garanta é de 5% Você compra cnco máqunas para a sua ndústra a)qual a probabldade de três máqunas precsarem utlzar a garanta? b)assumndo que a afrmação é verdadera, qual a chance de você obter resultados tão runs ou pores que três máqunas precsarem utlzar a garanta? c)qual o número esperado de máqunas que precsarão utlzar a garanta? d)qual a varânca e qual o desvo padrão do número de máqunas que precsarão usar a garanta? 7)Exemplo de aplcação da dstrbução Bnomal e da dstrbução de Posson: (normas da ABTN) É dada a tabela de escolha do códgo de amostra em função do tamanho do lote e do nível de nspeção ANEO A - Tabela 1 - Codfcação de amostragem Níves especas de nspeção Tamanho do lote 2 a 9 a a a a a a a a a a a a a Acma de Níves geras de nspeção S1 S2 S3 S4 I II III A A A A A A B A A A A A B C A A B B B C D A B B C C D E B B C C C E F B B C D D F G B C D E E G H B C D E F H J C C E F G J K C D E G H K L C D F G J L M C D F H K M N D E G J L N P D E G J M P Q D E H K N Q R Supomos que o lote tenha tamanho acma de e que fo adotado o nível de nspeção S1 Devemos utlzar, então, o códgo de amostras D Utlzando a tabela 2 plano de amostragem smples Normal (NBR5426/195), temos: Pelo plano de amostragem smples, com NQA = 1,5 temos que o tamanho da amostra deve se gual a oto Devemos rejetar o lote caso encontremos pelo menos um elemento defetuoso entre os oto elementos examnados Se não encontrarmos elemento defetuoso, devemos acetar o lote Pelo plano de amostragem smples, com NQA = 6,5 temos que o tamanho da amostra deve se gual a oto Devemos rejetar o lote caso encontremos pelo menos dos elementos defetuoso entre os oto elementos examnados Se encontrarmos no máxmo um elemento defetuoso entre os oto elementos examnados, devemos acetar o lote Pelo plano de amostragem smples, se desejamos utlzar um NQA = 4,0 temos que o tamanho da amostra deve se gual a treze (flecha para baxo) Devemos rejetar o lote caso encontremos pelo menos dos elementos defetuoso entre os treze elementos examnados Se encontrarmos no máxmo um elemento defetuoso entre os treze elementos examnados, devemos acetar o lote Podemos calcular as probabldades de acetação dos lotes, baseado nas dstrbuções Bnomal e Posson Estatístca Exemplos Profª Raquel Cymrot

4 ABNT - NBR 5426 Planos de amostragem e procedmentos na nspeção por atrbutos QUALIDADE DO LOTE (p, em % defetuosa para NQA< = 10; em defetos por 100 undades para NQA >10) Tabela 29 - Códgo D (n=) - Valores tabulados para CCO de planos de amostragem smples NQA (Inspeção normal) P a 1,5 6,5 10 1,5 6, x 65 x 100 x 150 x 250 x 400 p (% defetuosa) p (defetos por 100 undades) 99,0 0,13 2,00 6,00 0,13 1,6 5,45 10,3 22,3 36,3 43, 59,6 76,2 93, ,0 0,64 4,64 11,1 0,64 4,44 10,2 17,1 32,7 49, 5,7 77,1 96, ,0 1,31 6, 14,7 1,31 6,65 13, 21, 39,4 5,2 67,9 7, ,0 3,53 12,1 22,1 3,60 12,0 21,6 31,7 52,7 74,5 5, ,0,30 20,1 32,1,66 21,0 33,4 45,9 70,9 95, ,0 15,9 30,3 43,3 17,3 33,7 49,0 63,9 92, ,0 25,0 40,6 53,9 2, 4,6 66,5 3, ,0 31,2 47,1 59,9 37,5 59,3 7,7 96, ,0 43, 5, 70,7 57,6 3, ,5 10 x 2, x 65 x 100 x 150 x 250 x 400 x NQA (Inspeção severa) Nota: Valores baseados na dstrbução bnomal para % defetuosa e na de Posson para "defetos por 100 undades" Códgo D, n =, NQA = 1,5, Ac = 0 Re = 1 Códgo D, n =, NQA = 6,5, Ac = 1 Re = 2 P 0 0 ( Ac ) = (1 p) p = 0 para p = 0,13% (1 p) = (1 0,0013 ) = 0,997 = 0, % para p = 2,00% 0,900 + x0,900 para p = 0,64% (1 p) = (1 0,0064 ) = 0,9936 = 0, % para p = 4,64% 0,9536 para p = 1,31% (1 p) = (1 0,0131) = 0,969 = 0,99 90% para p = 6,% 0,9312 para p = 43,% (1 p) = (1 0,43) = 0,5620 = 0, % para p = 5,% 0,4120 P ( Ac) (1 p) p (1 p) p + x0, x0, x0, x0,0200 = 0, % x0,0464 = 0, % x0,06 = 0, % x0,50 = 0, % Estatístca Exemplos Profª Raquel Cymrot

5 Seja p o nº de defetos por 100 undades e n o tamanho da amostra examnada Temos λ = np Seja o número de tens defetuosos na amostra examnada P( = x) = λ e x! x λ Códgo D, n =, NQA = 1,5, Ac = 0 Re = 1 e P( Ac) = o! λ 0 λ λ 0,0104 Para p = 0,0013 λ = x 0,0013 = 0,0104 P ( Ac) = 0, % 0,0512 Para p = 0,0064 λ = x 0,0064 = 0,0512 P ( Ac) = 0, % Para p = 0,0131 λ = x 0,0131 = 0,104 0,104 P ( Ac) = 0, % Para p = 0,5760 λ = x 0,5760 = 4,600 4,600 P ( Ac) = 0, % Códgo D, n =, NQA = 6,5, Ac = 1 Re = 2 P( Ac) = λ 0 λ 1 e λ e λ + o! 1! λ (1 + λ) 0,14 Para p = 0,016 λ = x 0,016 = 0,14 P ( Ac) (1 + 0,14) = 0, % 0,3552 Para p = 0,0444 λ = x 0,0444 = 0,3552 P ( Ac) (1 + 0,3552) = 0, % 0,5320 Para p = 0,0665 λ = x 0,0665 = 0,5320 P ( Ac) (1 + 0,5320) = 0, % 6,6400 Para p = 0,300 λ = x 0,300 = 6,6400 P ( Ac) (1 + 6,6400) = 0, % Estatístca Exemplos Profª Raquel Cymrot

6 )Referente ao exemplo 61 pg 165 Estudos anterores revelam a exstênca de um grande lençol de água no subsolo de uma regão No entanto, sua profunddade anda não fo determnada, sabendo-se apenas que o lençol pode estar stuado em qualquer ponto entre 20 e 100 metros Seja a profunddade em que uma sonda detectou o lençol de água 1 para 20 x a)mostre que f ( x) = é uma função de probabldade 0 para x < 20ou x > 100 b)determne a probabldade da profunddade da água estar entre 50 e 60 metros 9)O peso de uma lata de certo produto tem dstrbução normal com méda de 1,05 kg e desvo padrão de 0,02 kg a)se o peso escrto na embalagem for de 1 kg, qual a probabldade da lata estar abaxo do peso? b)qual o número esperado de latas abaxo do peso se foram produzdas 200 latas? 10)Suponha que os clentes cheguem a um caxa automátco de um banco a uma taxa de 20 por hora Se um clente acabou de chegar, qual é a probabldade que o próxmo clente chegue dentro de 6 mnutos? 11)O consumo dáro de nafta em um coletvo é uma varável aleatóra normal com méda de 100 ltros e desvo padrão de 11 ltros O ltro de nafta custa $40,00 por ltro O motorsta leva a conta ao propretáro após 30 das de trabalho Se em dos períodos consecutvos a conta apresentada fo superor a $126600,00, há motvo para se suspetar da honestdade do motorsta? 12)Sabe-se que a vda de lâmpadas elétrcas tem dstrbução aproxmadamente exponencal, com vda méda de horas Determne a percentagem das lâmpadas que quemarão antes de 5000 horas 13)Uma ndústra produzu peças plástcas para uso no ramo de eletro-eletrôncos em um da de trabalho, sendo 7500 peças produzdas em cada uma das quatro máqunas njetoras de polímeros exstentes na ndústra Cada stuação abaxo corresponde a um tpo de amostragem, a saber: amostragem casual smples (ACS), amostragem sstemátca (AS), amostragem estratfcada (AE) e amostragem por conglomerado (AC) Identfque cada amostragem e dga qual é a mas convenente ( ) Sortear 25 peças provenentes de cada máquna njetora para serem avaladas quanto às dmensões especfcadas pelo clente ( ) Sortear 100 peças de uma lsta de peças para serem avaladas quanto às dmensões especfcadas pelo clente ( ) Sortear, por exemplo, a 27ª peça de cada grupo de 300 peças para ser avalada quanto às dmensões especfcadas pelo clente, grupos estes formados na seqüênca das peças lstadas ( ) Sortear uma das máqunas njetoras e então sortear 100 peças de uma lsta de 7500 peças desta máquna para serem avaladas quanto às dmensões especfcadas pelo clente 14)Contnuação modfcada do exemplo 720 pg 232 Estatístca Exemplos Profª Raquel Cymrot

7 Se o provedor de acesso à Internet quer que sua estmatva do tempo médo das conexões tenha uma margem de no máxmo ± 0,5, qual devera ser o tamanho da amostra, utlzando a mesma confança? 15)Contnuação modfcada do exercíco 22 pg 25 Se desejamos que a estmatva não se afaste do verdadero valor da resstênca méda de ruptura por mas de 15 kg, com confança de 95%, quantos cabos adconas devem ser testados? 16)Uma amostra aleatóra de 50 capacetes de corredores de motos e de automóves fo sujeta a um teste de mpacto, sendo observado algum dano em 1 desses capacetes a)encontre um ntervalo de confança 95% para a proporção verdadera de capacetes desse tpo, que mostrara algum dano provenente desse teste b)usando a estmatva de p obtda a partr da amostra prelmnar de 50 capacetes, quantos capacetes devem ser testados para estarmos 95% confantes de que o erro na estmação do valor verdadero de p seja menor do que 0,02? c)quão grande terá de ser a amostra se desejarmos estar no mínmo 95% confantes de que o erro na estmação do valor verdadero de p seja menor do que 0,02, ndependente do valor verdadero de p? 17) O gerente de controle de qualdade de uma fábrca de lâmpadas de flamento quer calcular a vda útl méda das lâmpadas Sabe-se que a remessa contém um total de 2000 lâmpadas e que uma amostra aleatóra de 50 lâmpadas ndcou uma vda útl méda da amostra gual a 350 horas O gerente supõe que o desvo padrão do processo é de 100 horas a)desenvolva uma estmatva, com ntervalo de confança de 95% da verdadera méda de vda útl das lâmpadas nessa remessa b)determne o tamanho de amostra necessáro para se calcular a vda útl méda, em uma margem de ± 20 horas, com 95% de confança 1)O conteúdo de açúcar na calda de pêssegos em lata é normalmente dstrbuído Uma amostra aleatóra de n = 10 latas resultou com um desvo padrão s = 4, mg Encontre um ntervalo com 95% de confança para o desvo padrão do conteúdo de açúcar na calda 19)Carta de controle para a méda ( ) e para a ampltude ( R ) Especfcação: 225 a 275 g Atvdade: produção de bolo ndustral Característca: peso do bolo (em g) Tamanho da amostra: 5 peças Freqüênca méda das retradas de amostras: de ½ em ½ hora Total de amostras: 25 Estatístca Exemplos Profª Raquel Cymrot

8 horáro : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : R GABARITO: horáro R 07: , 16 07: ,0 25 0: ,0 1 0: , : , : , 23 10: , 20 10: , : , : ,6 9 12: ,4 12: , : ,4 2 13: , : , : , : , : , : , : ,2 1 17: ,4 9 17: ,4 1: ,2 10 1: ,0 9 19: ,0 16 Estatístca Exemplos Profª Raquel Cymrot

9 =270,43 ; R = 14,64 ; n = 5 ; A 2 = 0,577 ; D 3 não exste ; D 4 = 2,114 ; d 2 = 2,326 R 14,64 ˆ σ = = = 6,29 ; ˆ µ = = 270, 43 d 2,326 2 LSC = + A2 R = 270,43 + 0,577 x 14,64 = 27, LIC = A2 R = 270,43 0,577 x 14,64 = 261, 9 LSC R = D 4 R = 2,114 x 14,64 = 30,95 LIC R não exste Carta de controle para méda e R para o peso do bolo ndustral Sample Mean Subgroup UCL=27,9 Mean=270,4 LCL=262,0 30 UCL=30,96 Sample Range R=14,64 LCL=0 O processo está estável Especfcação: 225 a 275 g tolerânca ( LSE LIE) 50 C p = = = = 1,32 > 1 dspersão 6 ˆ σ 6 x 6,29 ( LIE) 270, ( LSE ) ,43 Z = = = 7,22 e Z = = 0, 73 ˆ s = σ 6,29 ˆ σ 6,29 Z mn mn( Z, Z s ) 0,73 C pk = = = = 0,24 < 1 o processo não é capaz C p C pk O processo não está centralzado P(fora da especfcação) = P(Z < Z ) + P(Z > Z s ) = P(Z < 7,22) + P(Z > 0,73) = 0 + ( 1 P(Z 0,73) ) = 1 0,7673 = 0,2327 Estatístca Exemplos Profª Raquel Cymrot