RAD1507 Estatística Aplicada à Administração I Prof. Dr. Evandro Marcos Saidel Ribeiro

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1 UNIVERIDADE DE ÃO PAULO FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINITRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO DEPARTAMENTO DE ADMINITRAÇÃO RAD1507 Estatístca Aplcada à Admnstração I Prof. Dr. Evandro Marcos adel Rbero Como resolver um problema de forma Algorítmca 1. Entender o problema O que se pretende entender com o estudo? Neste caso: Obter rsco e retorno esperado num portfólo. 2. Formular o problema Quas são as nformações ou dados (nputs) dsponíves. A partr destes nputs o que será obtdo (outputs). erão obtdos valores, gráfcos,...? Neste caso: a partr de varações de preços serão obtdos o retorno e o rsco de uma cartera de nvestmentos por expressões matemátcas que seguem a teora de seleção de portfólo, de Markowtz (1952). 3. Elaborar um algortmo De forma geral, ndcar os passos para obtenção dos valores de outputs a partr dos nputs. Neste caso, elaborar algortmo para smulação e outro para otmzação. 4. Implementar o algortmo Utlzar um software, Excel, R, Python,... e mplementar o algortmo utlzando expressões característcas da lnguagem de programação específca. 5. Executar o códgo e resolver o problema Obter valores que resolvam o problema ncal.

2 eleção de portfólo - Passos para resolução do Trabalho 2 Passo 1. Entendendo o problema. O problema é obter meddas de rsco e retorno para uma cartera com ses títulos. Estas meddas de rsco e retorno são exemplos prátcos de aplcação de estatístca na área de admnstração. Passo 2. Formulação do problema. Este assunto fo estudado por Markowtz (1952) e para resolvê-lo neste trabalho utlzaremos a formulação de Markowtz resumda a segur, que consdera como entrada séres de preços de ações. 2.1 Meddas de Rsco e Retorno eja R a varação méda do título, obtda a partr de uma sére de varações de preço num certo período. eja P o nvestmento percentual neste título. Então, para um portfólo formado por N títulos temos: O retorno de cada título: R1 R2 ~ R = R 3. M R N (1) A partcpação em cada título: P1 P2 ~ P = P 3. M P N (2) N sendo P = 1 (3) = 1 e 0 P 1. (4) A matrz de covarânca: ~ = M N 1,1 2,1,1 1,2 2,2 M N,2 L L O L 1, N 2, N M N, N. (5) O retorno esperado para o portfólo é obtdo por: ~ ~ R = P R. (6) O rsco pode ser defndo pela varânca do portfólo, dada por: ~ ~ ~ Varânca = P P, (7) ou então pelo desvo padrão do portfólo, dado por DesvPad = Varânca. (8)

3 Passo 3, 4 e 5. Elaboração de algortmo para o estudo de Rsco e Retorno por mulação e por otmzação A seleção de um portfólo é feta quando são determnados todos os percentuas P. Esta determnação pode ser arbtrára, aleatóra ou otmzada. A segur são descrtos os algortmos para resolver o problema pelo método aleatóro e pelo método otmzado. 3.1 mulação aleatóra Consdere um estudo com ses títulos. Para obter a matrz de nvestmento percentual, ou seja, os valores de cada P, consdere os três passos a segur: 1. Numa planlha de análse (Analsemula) reserve uma regão com ses células para a matrz de partcpações. 2. Obtenha as partcpações: ortee ses números aleatóros entre 1 e 100. Utlze a função do Excel para obter os números aleatóros: =ALEATÓRIOENTRE(1;10000) Grave estes valores como X. 3. Obtenha a soma: Tot = X. X 4. Cada valor de P é obtdo por: P = Tot A planlha resultante é apresentada a segur. Note que a coluna A apresenta sorteos aleatóros, na coluna C estes sorteos são transformados em percentuas. Os valores de Retorno e Varânca são calculados pelas expressões (6) e (7). 6 = 1 Uma vez defndo o portfólo pelos valores de P ~, obtenha os valores de Rsco na célula G3 pela expressão (7) e de Retorno na célula F3 pela expressão (6). Grave os valores obtdos de Varânca e de Retorno. Obtenha outra smulação repetndo os passos 1 a 3 e obtendo novos valores de Varânca e de R. Para gravar os valores da mulação consdere desenvolver uma Macro que copa os valores de Retorno e Rsco obtdos para a coluna A e B, a partr da lnha 11. Note que o valor de Retorno está na célula F3 (na programação de macro VBA, esta célula é reconhecda como Cells(3,6), ou seja, lnha 3 coluna 6) e o valor de Rsco está na célula G3, que no VBA é reconhecda como Cells(3,7). Na fgura a segur á apresentado um códgo de programação VBA que copa 1000 valores de Retorno e Rsco smulados para as colunas A e B da planlha Analsemula.

4 Após executar a Macro faça um gráfco de dspersão com os valores obtdos de Rsco e Retorno. Veja um exemplo na fgura a segur, na qual foram consderadas smulações.

5 3.2 Otmzação Consdere um estudo com ses títulos. Consdere valores ncas para cada P de forma que sejam satsfetas as expressões (3) e (4). Para tanto dgte os valores que achar adequado para cada P numa nova planlha, planlha Otmzação. Obtenha os valores de Retorno e Rsco da mesma forma do tem 2. A planlha deve estar com a segunte característca: Utlze um procedmento de otmzação, por exemplo utlze a ferramenta OLVER no Excel. Para habltar o OVER, nas versões mas recentes do Excel selecone: Arquvo Opções uplementos uplementos do Excel [ Ir... ] Entre as opções apresentadas, selecone o olver: Para realzar a otmzação estude as três característcas necessáras, a Função Objetvo, as Varáves de decsão, as Restrções: Função Objetvo: Mnmzar a Expressão (7) Varáves de Decsão: Expressão (2) Restrções: Expressão (6) = Valor específco Expressão (3) Expressão (4)

6 Nesta nova planlha, Otmzação a Função Objetvo é a Varânca, resultado obtdo na célula G3 (célula em vermelho na fgura da págna anteror). Clque na célula G3 e execute o olver: Dados Análse olver Aparece uma janela com opções para a otmzação, a janela dos Parâmetros do olver. Veja na fgura abaxo os parâmetros necessáros para esta otmzação Note que a célula a ser otmzada deve ser Mnmzada. As Células varáves contém o nome matrzp2 que é o nome que eu atrbuí para a regão C2:C7 da planlha. As restrções foram nserdas através do botão [Adconar]. Clcando em Adconar aparece o menu para adconar a restrção.

7 É mportante consderar valor de retorno esperado que esteja dentro dos lmtes possíves de obtenção de retorno, ou seja entre o menor retorno médo e o maor retorno médo. No caso dos títulos estudados os valores médos estão entre os valores -0, e 0, De forma prátca, serão consderados valores no ntervalo -0,013 e 0,003. Para o prmero cálculo escolha um valor ntermedáro, por exemplo, 0,001. Execute o olver, como resultado verfque se o olver encontrou uma solução: e a solução fo obtda clque em [OK] para Manter a solução do olver. O valores de P são então atualzados para fornecer a cartera otmzada, ou seja aquela que possu um retorno esperado gual ao defndo na restrção, que o rsco seja o menor possível, e anda que satsfaça a restrção de que todas as partcpações somadas resultem em 1. Para o cálculo o valor de retorno esperado fo dgtado na Célula F6. Com o olver ajustado, obtenha a otmzação para város valores possíves de retorno. Faça uma lsta de retornos esperados na coluna F, a partr da lnha 9. Para cada valor de retorno esperado execute o olver (cope antes o valor de retorno esperado para a célula F6) e cope o valor obtdo para a varânca otmzada na coluna G. Faça um gráfco de Rsco x Retorno com os valores obtdos. Para este exemplo o gráfco resultante é apresentado na fgura da págna segunte.

8 Pode ser consderada também outra função objetvo, dada pelo índce calculado pelo R (6) retorno sobre o rsco, I = =. Neste caso deve-se maxmzar o índce obtdo e DesvPad (8) as restrções consderadas são apenas as Expressões (3) e (4). Consderações adconas Consderando os resultados, mulação e Otmzação (nclundo o I ), numa mesma fgura: Na fgura acma, a lnha azul é a de menor rsco, a lnha vermelha é a de maor rsco o losango amarelo é a cartera com maor I. Resultado obtdo: I = 0,3592. Referênca Harry Markowtz, Portfolo electon, The Journal of Fnance, 7, No. 1, pp , 1952.