AEP FISCAL ESTATÍSTICA

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1 AEP FISCAL ESTATÍSTICA Módulo 11: Varáves Aleatóras

2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 1. Conceto de Varáves Aleatóras Exemplo: O expermento consste no lançamento de duas moedas: X: nº de caras obtdas nas duas moedas. S: {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)} Daí, a varável X defne uma varável aleatóra dscreta, que pode assumr os valores 0, 1 e 2. Exemplo: O um expermento consste em verfcar as alturas de 30 unverstáros, a função: X = "Altura de um unverstáro" S: [130cm, 220cm} Daí, a varável X defne uma varável aleatóra contínua, que pode assumr quasquer valores entre 130 cm e 220 cm. Podemos, então, concetuar: Varável aleatóra dscreta: assume um número fnto de valores. Varável aleatóra contínua: assume qualquer valor dentro de um certo ntervalo (quantdade não-enumerável de valores). 2. Função Massa de Probabldade e Função Densdade de Probabldade # Para uma Varável Aleatóra Dscreta temos que: n å = 1 P ( x ) = 1 Exemplo: Consderemos a v.a. X = "número de caras em duas jogadas de uma moeda". Daí, teremos a segunte dstrbução de probabldades: x P(x ) 0 P(0) = 1/4 = 0,25 1 P(1) = 2/4 = 0,50 2 P(2) = 1/4 = 0,25 soma=1 Daí, podemos afrmar que: - A função massa de probabldade de X no ponto x=0 é: 0,25. - A função massa de probabldade de X no ponto x=1 é: 0,50. - A função massa de probabldade de X no ponto x=2 é: 0,

3 # Varável Aleatóra Contínua Ao contráro de uma varável aleatóra dscreta, uma varável aleatóra contínua pode assumr qualquer valor fraconáro dentro de um ntervalo defndo de valores. Desta manera, para dstrbuções de probabldade, não se consegue enumerar todos os possíves valores de uma varável aleatóra contínua com os valores de probabldade correspondentes. Em lugar dsso, a abordagem mas convenente é construr uma FUNÇÃO DE DENSIDADE DE PROBABILIDADE, ou curva de probabldade. A função densdade probabldade - f(x) - deverá possur as seguntes propredades: I. f(x) ³ 0, para todo x Î Â. II. A área sob f(x) é gual a Função de Dstrbução Acumulada de Probabldade (ou Função de Dstrbução de Probabldade) Defnmos esta função como sendo a probabldade de que X assuma um valor menor ou gual a x, sto é: # Varável Aleatóra Dscreta å F ( x) = P( X x) = P( x ) x x Para uma varável aleatóra dscreta, teremos: F(x) = P ( X x) = åp ( x ) Exemplo: x x x P(x ) x F(x ) 0 0,25 0 F(0) = P(0) = 0,25 1 0,50 à 1 F(1) = P(0)+P(1) = 0,25+0,50 = 0,75 2 0,25 2 F(2) = P(0)+P(1)+P(2) = 0,25+0,50+0,25 = 1 Representação Gráfca: F(x) 1 0,75 0, x 103

4 # Varável Aleatóra Contínua Para uma varável aleatóra contínua, teremos: F(x) = P ( X x) = é gual à área sob f(x) delmtada a dreta pelo valor x em questão. O cálculo da probabldade por meo da função dstrbução: à P(a<X<b) = F(b) F(a) 4. VALOR ESPERADO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA O valor esperado de uma varável aleatóra ou esperança matemátca ou expectânca ou Méda, smbolzada por E(X) ou m, é defnda: - Para uma varável aleatóra dscreta: E(X) = m = å x P x ) ( Onde: P (x) é a função massa de probabldade. - Para uma varável aleatóra contínua: + E(X) = m = òx f ( x) dx - Onde: f (x) é a função densdade de probabldade. O valor da ntegral acma equvale à área entre a curva da função x f (x) e o exo X. (No cálculo da área total lembrar que a área stuada acma do exo X é postva e a área abaxo do exo X é negatva.) Exemplo: Para a varável aleatóra dscreta "número de caras em duas jogadas de uma moeda", tem-se: x P(x ) x. P(x ) 0 0, ,50 0,50 2 0,25 0,50 å x P( x ) = 1 Ou seja, a méda (o valor esperado) é 1 (uma) cara! 104

5 4.1. Propredades do Valor Esperado Consderando as varáves aleatóras X e Y, e a constante k, temos as seguntes propredades para o Valor Esperado (Méda): I. O Valor Esperado de uma constante: E(k) = k II. O Valor Esperado do produto de uma constante por uma varável: E(k.X) = k.e(x) III. O Valor Esperado da soma (ou subtração) de uma varável por uma constante: E(X ± k) = E(X) ± k IV. O Valor Esperado da soma (ou subtração) de duas varáves: E(X ± Y) = E(X) ± E(Y) V. O Valor Esperado do produto de duas varáves ndependentes: E(X.Y) = E(X).E(Y), se X e Y forem ndependentes. 5. VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA A Varânca é uma medda de dspersão que ndca o quão próxmos ou quão afastados estão os elementos, em relação a um determnado referencal - a méda artmétca dos elementos. A fórmula da Varânca, numa população, é dada por: å( X X V = - ) n 2 (1) ou Sabendo que a méda é dada por fórmula da varânca em função de X : å å X 2 V = -X (3) n A equação acma tem o mesmo sgnfcado que: 2 ( X ) æ 1ç 2 å V = çåx - n n è 2 ö ø (2) X X =, podemos também expressar a n Varânca = méda(x 2 ) (méda(x)) 2 Usando o símbolo E(x) para a méda, teremos: Varânca = E(X 2 ) - [E(X)] 2 Esta últma expressão pode ser aplcada tanto para varável dscreta como para varável contínua. 105

6 5.1. Propredades da Varânca: I. A varânca de uma constante k: V(k) = 0 II. A varânca do produto de uma constante por uma varável: V(k.X) = k 2.V(X) III. A varânca da soma (ou subtração) de uma varável por uma constante: V(X ± k) = V(X) IV. A varânca da soma (ou subtração) de duas varáves ndependentes: V(X ± Y) = V(X) + V(Y) 106

7 EXERCÍCIOS FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE 01. Uma varável aleatóra dscreta tem a dstrbução de probabldade dada por: k P ( x) = para x = 1, 3, 5, 7 x a) Calcular o valor de k. b) Calcular P(x=5) 02. (Analsta do Banco Central/2001 ESAF) Uma varável aleatóra X tem função de dstrbução de probabldade dada por ì0, x< 0 ï ï 1,0 x< 1 ï4 ï 7 F ( x) = í,1 x< 2 Assnale a opção que dá o valor da ï12 probabldade de X = 2 ï11 ï,2 x< 3 12 a) 7/12 d) 3/ 4 ï î1, x³ 3 b) 11/12 e) 10/12 c) 1/3 03. (Audtor Fscal de MG 2005 ESAF) Uma varável aleatóra X tem função de dstrbução de probabldades dada por Assnale a opção correta. a) X é do tpo (absolutamente) contínuo e Pr (2 < X 4) = 0,461. b) X é do tpo dscreto e Pr (2 < X 4) = 0,658. c) X é do tpo dscreto e Pr (2 < X 4) = 0,506. d) X é do tpo (absolutamente) contínuo e Pr (2 < X 4) = 0,506. e) X não é do tpo dscreto nem (absolutamente) contínuo e Pr (2 < X 4) = 0,

8 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE 04. (Analsta do Banco Central/2001/ESAF) A varável aleatóra X tem dstrbução de probabldades do tpo absolutamente contínuo com densdade de probabldades ì 1 ï,-a < x< a f ( X ) = í2a ï î0, em outros casos onde α é uma constante postva maor do que um. Assnale a opção que dá o valor de α para que se tenha P(X>1) = 0,25 a) 4 d) 1 b) 0 e) 2 c) (Analsta do Banco Central/2002/ESAF) Uma varável aleatóra do tpo absolutamente contínuo tem a função densdade de probabldade segunte: Assnale a opção que dá a probabldade de que a varável aleatóra assuma valores entre 10 e 12. a) 0,640 d) 0,160 b) 0,200 e) 0,825 c) 0,500 VALOR ESPERADO E VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA 06. (MPOG/ENAP 2006 ESAF) Suzana e Sandra jogam, cada uma, uma moeda. Se do lançamento dessas duas moedas resultar duas caras, Suzana paga a Sandra R$ 6,00. Dando qualquer outro resultado, Sandra paga a Suzana R$ 4,00. Supondo que ambas as moedas sejam estatstcamente honestas, o valor esperado, em reas, dos ganhos de Sandra (consderando-se como ganhos negatvos os valores que ela paga à Suzana) é gual a a) 1,5. c) 0,75. e) 2,5. b) -0,75. d) -1, (Analsta MPU 2004 ESAF) O preço de determnada ação fca constante, aumenta ou dmnu R$ 1,00 por da com probabldades 0,3, 0,3 e 0,4 respectvamente. Assnale a opção que dá o valor esperado do preço da ação amanhã se seu preço hoje é R$ 8,00. a) R$ 7,90 c) R$ 7,00 e) R$ 8,50 b) R$ 8,00 d) R$ 9,00 108

9 08. (Analsta do Banco Central 1998) Uma varável aleatóra X tem a dstrbução de probabldade dada abaxo: X Probabldade 0,1 0,4 M 0,1 O valor esperado e a varânca valem, respectvamente a) 2,5 e 0,45 d) 2 e 0,5 b) 2,5 e 0,55 e) 2 e 0,6 c) 2,5 e 0, (AFRFB 2009 ESAF) A função densdade de probabldade de uma varável aleatóra contínua x é dada por: Para esta função, a méda de x, também denomnada expectânca de x e denotada por E(x) é gual a: a) d) b) e) c) 10. (Fscal de Rendas RJ 2009 FGV) O número de clentes que buscam, em cada da, os servços de um renomado crurgão tem uma dstrbução de Posson com méda de 2 pacentes por da. Para cada crurga efetuada, o crurgão recebe R$ ,00. No entanto, ele consegue fazer o máxmo de duas crurgas em um da; clentes excedentes são perddos para outros crurgões. Assnale a alternatva que ndque o valor esperado da receta dára do crurgão. (consdere e 2 = 0,14) (A) R$ 5.600,00. (B) R$ 8.400,00. (C) R$ ,00. (D) R$ ,00. (E) R$ , (Petrobras 2008 Cesgranro) Se X e Y são varáves aleatóras não ndependentes e E( ) ndcar o operador Esperança Matemátca, a únca expressão INCORRETA é (A) E(X).E(X) = (E(X)) 2 (B) E(3+Y) = 3 + E(Y) (C) E(3X) = 3.E(X) (D) E(XY) = E(X).E(Y) (E) E(3XY) = 3.E(XY) 109

10 12. (Audtor Fscal de Natal 2008 ESAF) Numa dstrbução Bnomal, temos que: I. A E[x] = n.p.q, ou seja, é o produto dos parâmetros n número de elementos da avalação, p probabldade de ocorrênca do evento e q probabldade contrára (q = 1 - p). II. O desvo-padrão é dado pela raz quadrada do produto entre os parâmetros n e p. III. A varânca é dada pelo somatóro dos quadrados dos valores (X) menos o quadrado da méda. Apontando os três tens acma como V Verdadero e F Falso, a opção correta é: a) F, V, F b) V, V, F c) F, F, F d) V, F, F e) V, V, V 01. a) 176/105, b) 176/ C 03. B 04. E 05. A 06. D 07. A 08. C 09. E 10. D 11. D 12. C GABARITO 110