INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE. A probabilidade é uma medida da incerteza dos fenômenos. Traduz-se por um número real compreendido de 0 ( zero) e 1 ( um).

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1 INTRODUÇÃO À PROILIDDE teora das probabldade nada mas é do que o bom senso transformado em cálculo probabldade é o suporte para os estudos de estatístca e expermentação. Exemplos: O problema da concdênca de datas de anversáro O problema da mega sena O pneu furado probabldade é uma medda da ncerteza dos fenômenos. Traduz-se por um número real compreenddo de 0 ( zero) e ( um). Observações: a probabldade de um evento qualquer é um número real não negatvo a probabldade de evento certeza é gual a exstem 2 tpos de probabldades: - a pror ou matemátca, calculada a partr de hpóteses segundo um modelo matemátco e sem expermentação, determnando as probabldades de acontecmentos futuros; - a posteror, que é a estmatva por meo de dados expermentas, da verdadera probabldade ou valor mas provável. 4.. Concetos Processo aleatóro: qualquer processo que gere resultado casual ou ncerto Espaço mostral Ω: Conjunto de todos os possíves resultados de um processo aleatóro. Exemplos ) Em um expermento cujo objetvo é verfcar a face superor de um dados, temos: Ω S {,2,3,4,5,6} este espaço amostral é classfcado como fnto e dscreto, pos tem um número fnto de possbldades e ocorre apenas valores dscretos. 2) Em um expermento cuja fnaldade é verfcar a fdeldade de clentes (anos) de uma empresa, temos: Ω S { x > 0} neste caso o espaço amostral é contínuo e nfnto. Evento: qualquer subconjunto do espaço amostral. Eventos Teora de conjuntos Uma prmera déa do cálculo de probabldade S {, 2, 3, 4, 5, 6} S {, 2, 3} (números menores que 4) {, 3, 5} (números ímpares) C Ø (números múltplos de 7) D S (números maores que 0) S S {, 2, 3, 4, 5, 6} S) P # eventos favoráves eventos possíves {, 2, 3} ) 0,5 {, 3, 5} ) 0,5 C Ø# C) 0 D S D) 0 evento qualquer)

2 Defnção Clássca de probabldade Dado um conjunto de N eventos equprováves, a probabldade de ocorrênca de um evento E é : P ( E) Ex. Numa sala exstem 40 homens e 60 mulheres. Escolhendo-se uma pessoa ao acaso, a probabldade de ser mulher é de n N 60 mulher) 0,6 00 Defnção frequentsta ssocada à característca de regulardade das frequêncas Exemplos: ) 20% das pessoas assocam a marca a um determnado produto. de seleconar uma pessoa aleatoramente da população e ela assocar a marca ao produto? 2) Dentre 400 motorstas, aleatoramente seleconados, na faxa de anos, 36 estveram envolvdos em acdentes no ano anteror. de um motorsta, nesta faxa etára se envolver num acdente, no próxmo ano? Defnção Subjetva probabldade do Cruzero vencer o tlétco na partda de domngo é de 0,80 Comprando um terreno no arro Santa Mônca, tenho uma probabldade de 0,90 de lucrar com sua venda daqu um ano. Defnção xomátca Função.) que assoca um valor real em [0,] a cada evento de Ω satsfazendo aos seguntes axomas: Operações com eventos e probabldades Dagrama de Venn : ) 0 2: Ω) P ( ) ) + ) 3: se e forem mutuamente exclusvos S 2

3 )? do objeto seleconado ser quadrado ou ser vermelho? P ( )? P ( )? P ( )? Quadrado Vermelho) 8 9 Quadrado Vermelho) Quadrado) + Vermelho) >? TEOREM D SOM DE PROILIDDES do objeto seleconado ser quadrado ou ser vermelho? Quadrado Vermelho) 8 9 P ( ) P ( ) + P ( ) P ( ) Quadrado Vermelho) Quadrado) + Vermelho) Quadrado Vermelho) EVENTOS MUTUMENTE EXCLUSIVOS P ( )? de escolher dos ) 0 ) ) + ) (eventos mutuamente exclusvos) Vermelho Vermelho2)?? 0.? 3

4 de escolher dos de escolher dos Vermelho Vermelho2)? 0 Vermelho Vermelho2) ? Vermelho (?) ) P de escolher dos de escolher dos Vermelho Vermelho2) 30 0 Vermelho Vermelho2) Vermelho Vermelho ) Vermelho ). Vermelho / Vermelho ) Vermelho sabendo?) que Vermelho ) 2 Vermelho / Vermelho ) 2 PROILIDDE CONDICIOND probabldade o evento ocorrer, dado que ocorreu, é: Em mutas stuações, o fato de fcarmos sabendo que um determnado evento ocorreu faz com que se modfque a probabldade que atrbuímos a um outro evento. Este tpo de probabldade é chamada de probabldade condconada. Dado dos eventos e do espaço amostral S, denotamos por /) a probabldade do evento ocorrer dado que (sabendo que) o evento ocorreu (Obs: na prátca se dz dado ). ) ) ) probabldade do evento ocorrer, dado que ocorreu, é: ) ) ) partr das expressões das probabldades condconas podemos defnr a regra do produto de probabldades. 4

5 TEOREM DO PRODUTO DE PROILIDDES probabldade da ocorrênca smultânea de dos eventos, e, do mesmo espaço amostral, é gual ao produto da probabldade de um deles pela probabldade condconal do outro, dado o prmero. INDEPENDÊNCI DE EVENTOS Um evento é consderado ndependente de um outro evento se a probabldade de é gual à probabldade condconal de dado, ou seja: P ( ) PP ( ). ( / ) P ( ). P ( / ) e são eventos ndependentes se e somente se: P ( / ) ) e / ) ) Da regra do produto de probabldades podemos dzer que dos eventos e são ndependentes se: Voltando ao exemplo da nterseção, temos: P ( ) ). ) de escolher dos Generalzando, K eventos são ndependentes entre s, se forem ndependentes 2 a 2, ou anda: Vermelho Vermelho2)?? P ( C...) ). ). C) P ( Vermelho Vermelho 2 ). (eventos ndependentes) Vermelho). Vermelho2) EVENTO COMPLEMENTR P ( c )? Sendo um evento do espaço amostral Ω, temos: Ω c É o evento que ocorre se não ocorre. de escolher pelo menos objeto vermelho? C S pelo menos Vermelho ) Vermelho) + 2 Vermelhos) + 3 Vermelhos) Vermelhos) + 5 Vermelhos) 5 zus) ,9978 5

6 Portanto: Em resumo temos: P ( ) P ( ) + P ( ) P ( ) P ( ) + P ( ) P ( ) eventos mutuamente exclusvos P ( ) P ( ) ) ). / ) ). / ) P ( ) PP ( ). ( ) eventos ndependentes P ( ) P ( ) Exemplos de aplcação ) Na venda de um determnado produto sabe-se que a probabldade de que um homem adqura o produto é 2/5; a probabldade de que a mulher adqura é 2/3. Determnar a probabldade de que na abordagem de dos clentes (um homem e outro mulher), a) ambos adquram o produto; b) somente o homem adqura; c) somente a mulher adqura; d) nenhum adqura; e e) pelo menos um adqura. 2) Sejam e eventos tas que ) 0,2; ) p; e ) 0,6. Calcular p consderando e : a) mutuamente exclusvos; b) ndependentes. 3) Consdere 3 fábrcas, e C, que produzem um determnado produto em lotes de 00, 200 e 300 peças, respectvamente. Um lote de cada fábrca é seleconado e as peças são msturadas. Suponha que a probabldade de se encontrar peças defetuosas em cada uma das fábrcas seja respectvamente de 0%; 5% e %. Seleconando-se uma peça ao acaso, calcule as seguntes probabldades: a) ser da fábrca ; b) ser defetuosa, sabendo que a peça provém da fábrca ; c) ser defetuosa; e d) ser da fábrca, sabendo que a peça é defetuosa PROILIDDE TOTL S P ( ) + P ( 2) + P ( conjuntos 3) + P ( 4) + P ( dsjuntos 5) eventos mutuamente exclusvos S ), j j j 6

7 TEOREM DE YES ( ) ( ) ( ) ) ) ). / ) ) ). / ) ). / ) ). / ) P ( / ) P ( ) P ( ). P ( / ) 5 j ). / ) j j Exercícos Exercícos 5) Duas magens de duas épocas dstntas foram classfcadas em 3 classes: floresta (F), capoera (C) e área agrícola (). fm de comparar as mudanças entre as épocas, fez-se a tabulação cruzada entre as magens classfcadas, obtendo-se a segunte matrz de confusão (em ha): 4) Em 5 extrações, qual a probabldade de escolher exatamente 3 É p o c a 2 Floresta Capoera Área grícola Floresta É p o c a Capoera Área grícola Seleconando-se um ponto aleatoramente, calcule a probabldade deste ponto: a) ser floresta na época ; b) ser floresta em ambas as épocas; c) ser capoera em qualquer época; d) não ter mudado de classe entre as épocas analsadas; e) ser capoera na época 2, tendo sdo área agrícola na época ; e f) ser capoera na época 2, não tendo sdo área agrícola na época. Árvore de probabldades Muto útl quando o problema apresenta váras fases. Um exemplo Para seleconar seus funconáros uma empresa oferece aos canddatos um curso de trenamento durante uma semana. No fnal do curso eles são submetdos a uma prova e 25% são classfcados como bons (), 50% como médos (M) e os restantes 25% como fracos (F). Para facltar a seleção, a empresa pretende substtur o trenamento por um teste contendo questões referentes a conhecmentos geras e específcos. Para sso, gostara de conhecer qual a probabldade de um ndvíduo aprovado no teste ser consderado fraco, caso fzesse o curso. ssm, neste ano, antes do nco do curso, os canddatos foram submetdos ao teste e receberam o conceto aprovado () ou reprovado (R). No fnal do curso, obtveram-se as seguntes nformações: ) Dentre os ons 80% foram aprovados; ) dentre os médos a aprovação fo de 50% e ) dos fracos 20% foram aprovados. a) Determne a probabldade de aprovado sabendo que é fraco usando as fórmulas. b) Faça o mesmo cálculo usando a árvore de possbldades 7

8 Outro exemplo Você entrega a seu amgo uma carta, destnada `a sua namorada, para ser colocada no correo. Entretanto, ele pode se esquecer com probabldade 0,. Se não se esquecer, a probabldade de que o correo extrave a carta é de 0,. Fnalmente, se fo envada a probabldade de que sua namorada não receba a carta é de 0,. vale as possbldades do namoro contnuar se sto depender desta carta. 8