1. ANÁLISE EXPLORATÓRIA E ESTATÍSTICA DESCRITIVA

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1 1. ANÁLISE EXPLORATÓRIA E ESTATÍSTICA DESCRITIVA 014

2 Estatístca Descrtva e Análse Exploratóra Etapas ncas. Utlzadas para descrever e resumr os dados. A dsponbldade de uma grande quantdade de dados e de métodos computaconas muto efcentes revgorou estas áreas da Estatístca. Probabldade Permte estudar os fenômenos aleatóros, ou seja, aqueles em que está presente a ncerteza sobre os seus resultados.

3 Estatístca 3

4 Estatístca 4

5 O que é Estatístca? Para mutos, Estatístca não passa de conjuntos de tabelas de dados numércos. Os estatístcos são pessoas que coletam esses dados. A Estatístca orgnou-se com a coleta de dados e a construção de tabelas para os governos. A stuação evoluu e esta coleta de dados representa somente um dos aspectos da Estatístca. 5

6 Defnção de Estatístca A Estatístca é uma cênca baseada na Teora da Probabldade, cujo objetvo prncpal é nos auxlar a tomar decsões ou trar conclusões em stuações de ncerteza, a partr de dados. População: conjunto de todas as undades que são de nteresse em um certo estudo. Amostra: qualquer subconjunto da população seleconado de acordo com certas regras. Censo: estudo que nclu todos os elementos da população. 6

7 Coleta Expermento planejado Efeto de um ou mas fatores sobre outro(s). Interferênca do pesqusador. Controle sobre fatores externos. Levantamento observaconal Dados são coletados como estão. Não há nterferênca do pesqusador. Levantamento amostral (survey) População bem defnda. Protocolo de coleta. 7

8 Amostragem Uma área mportante em mutas aplcações estatístcas é a da Tecnologa de Amostragem. Exemplos: Pesqusa de mercado Pesqusa de ntenção de voto (pesqusa eletoral) Avalação do mpacto de uma obra junto à população 8

9 O que fazer com os dados coletados? 1 a etapa: Estatístca Descrtva e Análse Exploratóra Meddas resumo, tabelas e gráfcos. Obs. Se x representa uma varável, uma amostra com valores x 1,x,...,x n é chamada de conjunto de dados. n é o tamanho da amostra. 9

10 Varável Qualquer característca de nteresse assocada aos elementos de uma população. Classfcação de varáves Qualtatva { Nomnal Cor, tpo de máquna Ordnal Classe socal, grau de desgaste Quanttatva { Dscreta Contínua Número de acdentes, número de defetos em um tem Peso, vscosdade, pressão 10

11 Exemplo. Estudo de resstênca. Observação Espessura Tpo de cola Resstênca , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,6 Fonte: Montgomery, D. C. (005), Desgn and Analyss of Experments, 6th Edton, Wley: New York 11

12 Meddas resumo Meddas de posção: moda, méda, medana, percents, quarts. (meddas de tendênca central: três prmeras) Meddas de dspersão: ampltude, ntervalo nterquartl, varânca, desvo padrão, coefcente de varação. 1

13 Meddas de posção Moda (Mo): É o valor (ou atrbuto) que ocorre com maor frequênca. Ex. Dados: 4,5,4,6,5,8,4,4 mo 4 Obs. 1. Nem sempre a moda exste.. Pode haver mas de uma moda. Méda: x Ex. Dados:,5,3,7,11 x1 + x + x x n n n 1 n x x ( )/5 5,6 13

14 Medana (Md) A medana é o valor que ocupa a posção central de um conjunto de n valores ordenados. Posção da medana: pm (n+1)/ Ex. Dados:, 6, 3, 7, 8 (n 5) Dados ordenados:,3,7,8, 6 > pm (5+1)/3 > Md 7 Ex. Dados:, 15,, 1, 8, 7 (n 6) Dados ordenados: 1,,, 7, 8, 15 > pm (6+1)/3,5 > Md (+7) / 4,5 (méda dos elementos nas posções 3 e 4). 14

15 Quants (quantles) O quantl de ordem p (0 < p < 1), em um conjunto de dados com n observações, é o valor que ocupa a posção p x (n+1) nos dados ordenados. O quantl de ordem p dexa px100% das observações abaxo dele na amostra ordenada. Casos partculares: Quantl 0,5 medana ou segundo quartl (md) Quantl 0,5 prmero quartl (Q1) Quantl 0,75 tercero quartl (Q3) 15

16 Exemplos Ex. 1. 1,9,0,1,5 3,0 3,1 3,3 3,7 6,1 7,7 (n 10) Posção da Md: 0,5 (n+1)0,5x11> Md (3+3,1)/ 3,05 Posção de Q1: 0,5 11,75 > Q1 (+,1)/,05 Posção de Q3: 0,75 118,5 > Q3 (3,7+6,1)/ 4,9 Ex.. 0,9 1,0 1,7,9 3,1 5,3 5,5 1, 1,9 14,0 33,6 (n 11) Md 5,3 Q1 1,7 Q3 1,9 16

17 Moda, medana e méda (mode, medan and mean) A moda não é muto utlzada com varáves quanttatvas. Se a varável for qualtatva nomnal, a moda é a únca medda de posção. A medana é mas resstente do que a méda. É menos afetada pela presença de valores extremos. Méda 6, x Méda 7, x Obs. Os quants também são chamados de separatrzes. 17

18 Consdere as notas de uma prova aplcada a três grupos de alunos: Grupo 1: 3, 4, 5, 6, 7; Grupo : 1, 3, 5, 7,9; e Grupo 3: 5,5,5,5,5. Grupo Grupo 0 10 Grupo x 3 1 x3 x3 5; Md1 Md3 Md

19 Meddas de dspersão Fnaldade: encontrar um valor que resuma a varabldade de um conjunto de dados. Ampltude (A): A MAX - mn Para os grupos anterores (lâmna 18), temos Grupo 1: A 4 Grupo : A 8 Grupo 3: A 0 19

20 Intervalo ou ampltude nterquartl (d q ) (nterquartle range) É a dferença entre o tercero quartl e o prmero quartl: d q Q 3 Q 1. Ex. 1,9,0,1,5 3,0 3,1 3,3 3,7 6,1 7,7 Q 1,05 e Q 3 4,9. d q Q 3 Q 1 4,9,05,85. Obs. d q é uma medda mas resstente do que A. 0

21 Varânca (s ) (varance) S (x 1 x) +(x x) (xn x) 1 n 1 n ( x x ) n 1 Desvo padrão (s) (standard devaton) s s Obs. O desvo padrão tem a mesma undade da varável x. 1

22 Cálculo da varânca para o grupo 1 (lâmna 18): Grupo 1: 3, 4, 5, 6, 7: Vmos que x 5 S ( 3 5 ) +( 4 5 ) +( 5 5 ) 5 1 +( 6 5 ) +( 7 5 ) 10 4,5 Desvo padrão: Grupo1: s Grupo : s Grupo 3 : s,5 s 10 s 0 s 0 1,58 3,16

23 Propredades: x,, x uma amostra com méda e varânca 1 n x x s. Transformação (posção e escala): y a + b x, 1,...,n. y a + bx, s y b s x e s y b s x. 3

24 Coefcente de varação (CV) É uma medda de dspersão relatva. Exprme a varabldade em relação à méda. CV S x 100, see x 0. 4

25 Exemplo. Altura e peso de 15 peças metálcas clíndrcas Méda Desvo padrão Coefcente de varação Altura 1,143 m 0,063 m 5,5% Peso 50 kg 6 kg 1% Conclusão. O peso das peças métalcas apresenta varabldade relatva aproxmadamente duas vezes maor do que a altura. 5

26 Exemplo com gráfco de pontos (n 90) Cada observação é representada por um ponto. Havendo repetções, os pontos são emplhados Rendmento (%) Propredade : n 1 ( x x) 0. 6

27 Organzação e representação dos dados Uma das formas de organzar e resumr a nformação contda em dados observados é por meo de tabelas de frequêncas e gráfcos. A frequênca de um valor da varável é o número de vezes que este valor ocorre no conjunto de dados. Tabela de frequêncas. Tabela com os dferentes valores de uma varável (ou ntervalos de valores) e suas respectvas frequencas. 1. Varáves qualtatvas. Tabela de frequêncas dos dferentes valores da varável. Representação gráfca: gráfco de barras, de Pareto e gráfco de setores ( de pzza ). 7

28 Exemplo. Varável Tpo de cmento utlzado (qualtatva nomnal) Tpo cmento de Contagem f f r C1 1 0,3333 C 18 0,5000 C3 6 0,1667 Total n 36 1,0000 f : frequênca absoluta do valor (número de observações com tpo de cmento ), {C1, C, C3}. f r f n : frequênca relatva do valor. 8

29 Elementos de um gráfco Fgura 1. Descrção do gráfco. 9

30 Representação gráfca de varáves qualtatvas Gráfco de barras: retângulos vertcas (ou horzontas) espaçados com alturas (ou bases) guas às frequencas dos valores da varável. 60,00% 50,00% 40,00% 30,00% 0,00% 10,00% 0,00% 50,00% 33,33% 16,70% Baxo Moderado Elevado Regão de orgem SE NE S CO N Grau de deteroração Obs. Os valores no exo horzontal estão ordenados Percentagem 30

31 Gráfco de Pareto Gráfco de barras com os valores da varável em ordem decrescente de frequencas e com as frequencas relatvas acumuladas no segundo exo vertcal. Frequenca SE NE S CO N % 5% 50% 75% 100% Cumulatve Percentage Frequênca relatva acumulada do valor x : F r f r1 j 1 + f f rj. r + + f r Regão de orgem 31

32 Gráfcos de setores ( de pzza ) Gráfco crcular utlzado para destacar a composção das partes de um todo. O ângulo central de cada setor é proporconal à frequenca representada (usualmente em %). Grau de deteroração 19,7 Grau de deteroração 35,3 Baxo Elevado 19,7% Baxo 35,3% Moderado Elevado 45,0 Moderado 45,0% 3

33 . Organzação e representação de varáves quanttatvas.1 Dscretas. Organzam-se medante tabelas de frequêncas e a representação gráfca é medante gráfco de pontos, de barras ou de lnha. Frequênca relatva do valor x : f r f / n. Frequênca acumulada do valor x : Exemplo. Número de defetos em lotes de produtos. Dstrbução de frequêncas do número de defetos por lote. F f 1 + f + + f j 1 f j 33

34 Representação gráfca 34

35 Meddas de posção e dspersão para varáves quanttatvas dscretas agrupados em tabela de freqüêncas: Méda: x x1 f1 + x f + + x n Exemplo. Determne o número médo de defetos por lote. Medana: 0 x 4+ 1 k f k n 0: pm (0+1) / 10,5 > k x n f ,65 Md méda dos valores com frequencas acumuladas guas a 10 e 11 ( + ) / (lâmna 33). Moda? 35

36 Varânca: s Exemplo. s (x 1 4( 0 x ) 16,315 0, Desvo padrão: 1,65 ) f 1 +(x + 5( 1 s 1,65 ) x ) f + +(x n 1 s 0,97 k + 7( 1,65 ) 19 x ) + 3( 3 f k 1,65 ) k 1 (x n +( 5 x ) 1 f 1,65 ) Coefcente de varação: s 0,9 CV 100% 100% 55,8% x 1,65 36

37 . Construção de tabelas de frequêncas para varáves contínuas Escolha o número de ntervalos de classe (k) Identfque o menor valor (mn) e o valor máxmo (MAX) dos dados. Calcule a ampltude (A): A MAX mn. Calcule a ampltude de classe (h): h A / k. Obtenha os lmtes nferor (LI) e superor (LS) de cada classe. 1 o ntervalo: Lmte nferor : LI Lmte superor : LS 1 1 mn LI 1 +h... ntervalo: Lmte nferor : LI Lmte superor : LS - ésmo ntervalo: Lmte nferor : LI Lmte superor : LS LS LI LS LI Prossga até que seja obtdo um ntervalo que contenha o valor máxmo (MAX). o h + h 37

38 Obs. Mutas vezes, por convenênca, arrredondamos os valores de h e/ou LI 1. Tabela de de frequêncas com as colunas: Número de ordem de cada ntervalo () Lmtes de cada ntervalo. Os ntervalos são fechados à esquerda e abertos à dreta. Notação: Ponto médo (ou marca de classe) de cada classe: x LS + LI *. 38

39 Frequênca absoluta de uma classe (f ): número de observações pertencentes à classe. Frequênca relatva de uma classe: f r f / n. Frequênca acumulada absoluta de uma classe: F f 1 + f + + f j 1 f j. Frequênca acumulada relatva de uma classe: F r f r 1 + f r + + f r F fr ou F j r j 1 n. 39

40 Exemplo Varável: vscosdade (em u.v.) de um líqudo a uma certa temperatura Amostra ordenada: n 40 Mínmo Medana Méda Máxmo Procedmento: Adotamos k 5. mn 13,10 e MAX 17,80. A MAX mn 17,8 13,10 4,7. h 4,7 / 5 0,94. Adotamos h 1 e LI Lmtes das classses: LI 1 13, LS 1 LI 1 + h 14, LI LS 1 14, LS LI + h 15,, LI 5 LS 4 17 e LS 5 LI 5 + h

41 Pontos médos: x * * 13,5; x 14,5;...; x * 1 17,5. Tabela. Dstrbução de frequêncas da varável vscosdade. Ordem Classe Ponto médo Frequênca Frequênca relatva Frequênca acumulada Frequênca relatva acumulada ,5 4 0,1 4 0, ,5 8 0, 1 0, ,5 19 0, , ,5 6 0, , ,5 3 0, Total Nesta organzação de dados temos perda de nformação. Em um gráfco de pontos (lâmna 6) não há perda de nformação, mas se n for grande, pode haver perda de clareza. Densdade de freqüênca (ou densdade):. f d f r h 41

42 Representação gráfca: Hstograma Gráfco de barras adjacentes com bases guas às ampltudes das classes e alturas guas às densdades. Obs. Se as classes tverem ampltude constante, as alturas das barras usualmente são guas às frequencas. Propredade. Se utlzarmos densdades, soma das áreas dos retângulos 1, pos f k k k f r f h h 1 d 1 h 1 Obs. 1. A ampltude das classes pode varar.. Na construção de um hstograma, quanto maor for n, melhor. r 1. 4

43 Exemplo. Varável vscosdade. 43

44 Escolha do número de classes (geralmente, 5 k 15). k31 k13 Densdade Densdade X X k7 k4 Densdade Densdade X X 44

45 Méda e varânca para varáves contínuas agrupadas em classes x Méda: Varânca: 13, ,5 15,4. * * * x x1 f1 + x f + xk fk 1 x n n s 1 * ( x x) n Exemplo. Varável vscosdade (lâmna 40) 8+ 15, ,5 40 k 6+ 17,5 Méda dos dados não agrupados (dados brutos) : f 1 x1 + x + + x36 13,9+ 14, , 6 x 15, Este resultado dfere do valor obtdo anterormente. Por quê? 3 k * f 5 * ( x x) f 1 41,6 1, s 1,033 (desvo padrão). s 45

46 Gráfco de caxas (box plot) Representação dos dados por meo de um retângulo construído com os quarts. Fornece nformação sobre a varabldade (d q Q 3 Q 1 ) e valores extremos. 46

47 Exemplo. Varável vscosdade. 1 º quartl (Q1) 14,775. Medana (Md ou Q) 15,4. 3 º quartl (Q3) 15,9. d q ntervalo nterquartl Q3 Q1 1,15. Lnhas auxlares passam por Q1 1,5d q 13,1 e Q3 +1,5d q 17,6. 47

48 Exemplo. Varável vscosdade medda em duas temperaturas. Temperatura 1 (lâmna 39) Temperatura (n 40)

49 Redução de volume (ml) * * * B E D G H F A C Tpo de adtvo Análse exploratóra. Redução de volume versus tpo de adtvo. Varabldade. Smetra. Valores extremos. 49

50 Gráfco de lnha Representação de séres temporas (ou séres hstórcas). Vsualzação dos componentes tendênca e sazonaldade. Cudado com a escala do gráfco MARÇO NOVEMBRO UR (%) Hora Local 50

51 Assocação entre varáves quanttatvas (x 1,y 1 ),..., (x n,y n ): amostra bvarada. Representação gráfca: gráfco de dspersão (scatter plot) Medda de assocação: coefcente de correlação lnear de Pearson. r 1 n 1 n 1 ( x s x s y x)( y y) Numerador: covarânca entre x e y. Propredades: (1) 1 r 1 e () r 1 se, e somente se, a relação entre x e y for lnear (y a + bx, b 0 e o snal de r é o snal de b). 51

52 Assocação entre varáves quanttatvas 5

53 Assocação entre varáves quanttatvas 53

54 Assocação entre varáves quanttatvas 54

55 Assocação entre varáves quanttatvas Exemplo 1 Exemplo Y Y X X Correlações: Exemplo 1: 0,8164 Exemplo : 0,816 Exemplo 3: 0,8163 Exemplo 4: 0,8165 Exemplo 3 Exemplo 4 Y Y X X 55