Lista de Matemática ITA 2012 Números Complexos

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1 Prof Alex Perera Beerra Lsta de Matemátca ITA 0 Números Complexos 0 - (UFPE/0) A representação geométrca dos números complexos que satsfaem a gualdade = formam uma crcunferênca com rao r e centro no ponto com coordenadas (a, b) Calcule r, a e b e assnale 9(a + b + r ) 0 - (ITA SP/00) Se é uma solução da equação em C, pode-se afrmar que a) ( ) < 0 b) ( ) > 0 c) [, 6] d) [6, 7] e) 8, 0 - (ITA SP/00) Os argumentos prncpas das soluções da equação em, + + ( + ) = 0, pertencem a a), b), c), d) 7,, e) 7 0,, 0 - (ITA SP/008) Sejam, C tas que e Então é gual a a) b) 0 c) d) e) 0 - (ITA SP/008) Determne as raíes em C de 6 6 0, na forma a b, com, b R S C; a, que pertençam a 06 - (IME RJ/007) Sejam e w números complexos tas que: w w onde e w representam, respectvamente, os números complexos conjugados de e w O valor de + w é: a) b) + c) + d) e) (ITA SP/007) x Consdere a equação: 6 x Sendo x um número real, a soma dos quadrados das soluções dessa equação é a) b) 6 c) 9 d) e) 08 - (ITA SP/007) Determne o conjunto A formado por todos os números complexos tas que e (UFPE/007) Se a e b são nteros postvos, e o número complexo (a + b) também é ntero, calcule a e b e assnale a + b 0 - (UFC CE/006) Seja um número complexo tal que 7 = Determne o valor numérco da expressão: (ITA SP/006) Se para todo C, f () e f () f (), então, pra todo C, f()f() f()f( ) é gual a a) b) c) Re d) Im e) - (ITA SP/00) A soma das raíes da equação C, é gual a: a) b) 0, P r o j e t o R u m o a o I T A w w w r u m o a o t a c o m

2 Prof Alex Perera Beerra c) 0 d) e) - (IME RJ/00) Seja um número complexo de módulo untáro que satsfa a condção n, onde n é um número ntero postvo Demonstre que n n é um número real - (ITA SP/00) Seja a equação em C + = 0 Qual dentre as alternatvas abaxo é gual à soma de duas das raíes dessa equação? a) b) c) d) e) - (ITA SP/00) Sejam a e b dos números complexos não-nulos, tas que a + b = 0 Se, w C satsfaem a w w 6a w w 8b determne o valor de a de forma que w = 6 - (UFRJ/00) Determne o menor ntero n para o qual número real postvo n ( ) é um 7 - (ITA SP/997) Seja S o conjunto dos númeos complexos que satsfaem, smultaneamente, às equações: = e + = O produto de todos os elementos de S é gual a: a) b) c) d) + e) (ITA SP/997) Consdere, no plano complexo, um hexágono regular centrado em 0 = Represente por,,, 6, seus vértces, quando percorrdos no sentdo ant-horáro Se = então é gual a: a) + b) c) 6 d) e) (UFU MG/996) Qual o módulo do número complexo que satsfa a condção 0 e tem o menor argumento possível? a) b) c) d) 0 e) 0 - (ITA SP/99) Sejam x e y números reas, com x 0, satsfaendo (x + y) = (x + y) Então: a) x e y são números rraconas b) x > 0 e y < 0 c) x é uma ra da equação x + x + x 6 = 0 d) x < 0 e y = x e) x + xy + y = 0, - (ITA SP/99) Sejam w = a + b com b 0 e a, b, c R o conjunto dos números complexos que verfcam a equação w w c 0, descreve a) Um par de retas paralelas b) Uma crcunferênca c) Uma elepse d) Uma reta com coefcente angular e) nda a m b - (ITA SP/990) A gualdade + = +, onde C, é satsfeta: a) Para todo C tal que Re = 0 e Im < 0 b) Para todo C tal que Re 0 e Im = 0 c) Para todo C tal que = d) Para todo C tal que Im = 0 e) Para todo C tal que < Nota: C denota o conjunto dos números complexos, Re a parte real de e Im parte magnára de - (ITA SP/990) Consdere as equações = e + ( + ) + = 0, onde é complexo Seja S o conjunto das raíes da prmera equação e S o da segunda Então: a) S S é vao P r o j e t o R u m o a o I T A w w w r u m o a o t a c o m

3 Prof Alex Perera Beerra b) S S R c) S possu apenas dos elementos dstntos d) S S é untáro e) S S possu dos elementos - (ITA SP/009) Se a cos e b sen, então, o número complexo cos sen é gual a a) a + b b) a + b c) ( a b ) + ab( + b ) d) a b e) a b + ab( b ) - (IME RJ/009) Consdere o sstema abaxo, onde x, x, x e Z pertencem ao conjunto dos números complexos ( )x x x 0 x x x Z ( )x x x 0 O argumento de Z, em graus, para que x seja um número real postvo é: a) 0º b) º c) 90º d) º e) 80º Obs: 6 - (ITA SP/007) Assnale a opção que ndca o módulo do número complexo, x cotg x a) cos x k, k b) (+ sen x)/ c) cos x d) cos secx e) sen x 7 - (ITA SP/006) Se [ 0; ) é o argumento de um número complexo 0 e n é um número natural tal que (/ ) sen(n ), então, é verdade que a) n é múltplo de b) n é múltplo de n c) n / é múltplo de / d) n é múltplo não nulo de e) n é múltplo de 8 - (ITA SP/00) Seja C Das seguntes afrmações ndependentes: I Se II Se 0 e, então ( ) III Se, então argumento de é (são) verdadera(s): a) todas b) apenas I e II c) apenas II e III d) apenas I e III e) apenas II 9 - (ITA SP/997), então ( ) arg é um Consdere os números complexos e 6 w w Se m, então m vale: w 6 a) b) 6 c) 6 d) e) 0 - (ITA SP/99) Sabe-se que (cos 0 + sen 0 ) é uma ra quíntupla de w Seja S o conjunto de todas as raíes de + w6 0 Um subconjunto de S é: 8 a) { (cos 7 sen 7), (cos sen )} b) { (cos 9 sen 9), (cos sen )} c) { (cos 7 sen 7), (cos sen )} d) { (cos 7 sen 7), (cos sen )} 8 8 e) nda - (ITA SP/99) P r o j e t o R u m o a o I T A w w w r u m o a o t a c o m

4 Prof Alex Perera Beerra Consdere o número complexo = a + cujo argumento está no ntervalo (0, ) Sendo S o conjunto dos valores de a para os quas 6 é um número real, podemos afrmar que o produto dos elementos de S vale: a) b) c) 8 d) 8 e) nda d) k = e k, onde k k, com k = 0,,, 8 e) nda - (ITA SP/99) Se = cos t + sen t, onde 0 < t <, então podemos afrmar que w é dado por: a) t cotg b) t tg c) cotg t d) tg t e) nda - (ITA SP) Consdere a famíla de curvas do plano complexo, defnda por Re( ) = C, onde é um comlexo não nulo e C é uma constante real postva Para cada C temos uma: a) crcunferênca com centro no exo real e rao gual a C b) crcunferênca tangente ao exo real e rao gual a C c) crcunferênca tangente ao exo magnáro e rao gual a C d) crcunferênca com centro no exo real e rao gual a C e) crcunferênca com centro na orgem e rao gual a C - (ITA SP) As raíes de ordem do número e, onde é a undade magnára, são: a) k = cos k + sen k, onde k k, com k = 8 0,,, b) k = e k, onde k k, com k = 0,,, 8 c) k = e k, onde k = k, com k = 0,,, P r o j e t o R u m o a o I T A w w w r u m o a o t a c o m

5 Prof Alex Perera Beerra Aprofundamento em Números Complexos ITA )Tome, C E é um número real )Prove que se Prove que o número e é um número real, então )Seja a um número real postvo e seja M a C * : a valor máxmo de onde M a Ache o valor mnmo e o )Prove que para todo número complexo, ou )Prove que todo complexo com para 6)Consdere o conjunto H C : x x, x R Prove que exste um únco número w H x y, y tx ( t), (0, ) 7)Tome y y H tal que w para todo, como número complexos dstntos tas que t Prove que x x y x y x 8)Ache todos os números complexos tas que e 9)Ache o número de pares ordenados (a, b) de números 00 reas tas que a b a b 0) Dos polígonos regulares estão nscrtos no mesmo círculo O prmero polígono tem 98 lados e o segundo tem 97 lados Se os polígonos têm mutos vértces comuns, quantos vértces comuns temos? P r o j e t o R u m o a o I T A w w w r u m o a o t a c o m

6 Prof Alex Perera Beerra GABARITO ) Gab: 0 ) Gab: E ) Gab: C ) Gab: B ) Gab: 6) Gab: D 7) Gab: B 8) Gab: A = {} 9) Gab: cos sen ; cos sen cos sen 6 6 cos sen ; e ) Gab: D ) Gab: B ) Gab: D ) Gab: B ) Gab: E 6) Gab: E 7) Gab: B 8) Gab: A 9) Gab: A 0) Gab: D ) Gab: A ) Gab: A ) Gab: C ) Gab: A 0) Gab: 0 ) Gab: C ) Gab: A ) Gab: IR cos(n) Elaborado por: Alex Perera Beerra (alexmatematca@gmalcom) Dagramado por: Jülo Sousa (contatos@rumoaotacom) ) Gab: D ) Gab: a = 6) Gab: n = 7) Gab: D 8) Gab: B 9) Gab: E 0) Gab: C 6 P r o j e t o R u m o a o I T A w w w r u m o a o t a c o m