SC de Física I Nota Q Nota Q2 Nota Q3 NOME: DRE Teste 1

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1 SC de Físca I Nota Q Nota Q2 Nota Q3 NOME: DRE Teste 1 Assnatura: Questão 1 - [3,5 pontos] Uma partícula de massa m se move sobre uma calha horzontal lsa com velocdade constante de módulo v 0. A calha horzontal transforma-se, suavemente, a partr do ponto A, em uma calha semcrcular de centro C e rao R, tal como ndcado na fgura. Após percorrer toda a calha semcrcular, a partícula dexa a calha no ponto B e ca de volta na calha horzontal. As calhas estão orentadas de modo que todo o movmento da partícula se passa num mesmo plano vertcal. Consdere desprezível o atrto entre a partícula e calha horzontal e também entre a partícula e a calha semcrcular. Consdere como dados do problema m, R e g. a) Faça um dagrama ndcando as forças que atuam na partícula de massa m quando ela passa pelo ponto Q, ndcado na fgura, localzado na calha semcrcular. b) Calcule o trabalho realzado por cada uma das forças ndcadas no tem anteror, no deslocamento entre os pontos A e B. c) Calcule o menor valor do módulo da velocdade v 0 para que a partícula mantenha contato com a calha semcrcular até o ponto B. d) Suponha que a partícula atnja a calha horzontal a uma dstânca 3R do ponto A (que é o ponto mas baxo da calha semcrcular), conforme ndcado na fgura. Nessa stuação, com que velocdade a partícula dexa a calha no ponto B? e) Usando a suposção do tem anteror, determne o vetor velocdade da partícula quando ela atnge a calha horzontal, no ponto P. Use o sstema de exos ndcado na fgura. a)[0,4 ponto] atuam o peso e a normal b)[0,6 ponto] A força normal é sempre perpendcular ao deslocamento e, portanto, não realza trabalho. Por outro lado, o trabalho realzado pela força peso será menos a varação da energa potencal gravtaconal. W N = 0 ; W P = U = mg h W P = 2mgR c)[1,0 ponto] A medda que a partícula va subndo na calha semcrcular, a velocdade da mesma dmnu. O ponto de menor velocdade será o de maor altura atngda pela partícula, que é o ponto B. Nesse ponto a normal aponta na mesma dreção do peso e ambas apontam na dreção do centro do círculo. Dessa forma, elas consttuem a força centrípeta que atua sobre a partícula. N + P = mv2 B R A força normal é uma força de contato e, por sso, enquanto houver contato entre a partícula e a calha, va exstr a normal. Dessa forma, para que a partícula não perca o contato, devemos ter: N 0 mv2 B R mg 0 v2 B gr v B gr Por outro lado, nessa stuação a força normal é sempre perpendcular ao deslocamento e, assm sendo, não realza trabalho e o peso é uma força conservatva. Dessa forma, a energa mecânca da partícula de massa m se conserva. Igualando as energas nos pontos de velocdade v 0 e v B : 1 2 mv2 0 = 1 2 mv2 B + mg2r v B = v0 2 4gR Utlzando esse valor de v B na nequação obtda anterormente: v0 2 4gR gr v 0 5gR d)[0,8 ponto] O enuncado dexa claro que a velocdade com que a partícula dexa a calha é horzontal, portanto v B = v B î. O snal de v B reflete a escolha do exo OX orentado para a esquerda. Sabemos que após se separar da calha a partícula está em queda lvre. Portanto, a únca força que atua na mesma é a força peso. Escrevendo as equações para as componentes x e y da posção: x(t) = v B t; y(t) = 2R gt2 2 A expressão de y(t) ndca que a orgem do exo y fo escolhda no chão (já que y(0) = 2R) e que ele está orentado para cma. O tempo que a partícula demora para atngr o solo ocorrerá quando y(t q ) = 0. Esse tempo t q será: 0 = 2R gt2 q 2 t 4R q = g = 2 R g 5

2 Por outro lado, sabemos que quando a partícula atnge o chão, sua posção x é de 3R: x(t q ) = 3R = v B t q v B = 3R. 1 2 e)[0,7 ponto] Por se tratar de queda lvre as componentes da velocdade serão v x (t) = v B î; v y (t) = gtĵ g R v B = 3 gr 2 Portanto, precsamos apenas do tempo t q que a partícula leva para atngr a calha horzontal, que já fo calculado no tem anteror v(t q ) = 3 2 grî 2 grĵ Questão 2 - [1,5 pontos] Um bloco desce um plano nclnado com velocdade constante. Atuam sobre o bloco, além da força peso, apenas as forças normal e de atrto devdas ao contato entre o bloco e a superfíce do plano. Responda as perguntas abaxo com as devdas justfcatvas. a) O trabalho realzado pela força resultante sobre o bloco é nulo? b) O trabalho realzado pela força de atrto após ele realzar um deslocamento sobre o plano é postvo? c) O trabalho realzado pela força peso após ele realzar um deslocamento d sobre o plano é mgd? a) [0,5 ponto] Sm. A força resultante é nula pos o bloco tem aceleração nula. Logo, o trabalho da força resultante é nulo. b) [0,5 ponto] Não. A força de atrto é contrára ao movmento, logo o trabalho dela é negatvo. c) [0,5 ponto] Não. O trabalho da força peso é mgh, onde h = d senθ. Como a força peso é constante e vertcal apontado para baxo, o trabalho dependa da varação da altura do corpo. Questão 3 - [2,0 pontos] Uma barra homogênea de comprmento L e massa M é sustentada horzontalmente pelo seu exo lgado à parede e por um cabo de aço de massa desprezível, como mostrado na fgura. A barra sustenta um cubo de massa m que está a uma dstânca L/4 do seu exo de rotação. Calcule: a) o torque da força que o bloco excerce sobre a barra em relação ao seu exo de rotação. b) o módulo da tensão T no cabo de aço. a) [1,0 ponto] A força que o bloco excerce sobre a barra é a reação à normal que a barra exerce sobre ele. Aplcando a Segunda Le de Newton ao bloco, percebemos que N = P e, portanto, a força que o bloco exerce sobre a barra aponta para baxo e tem módulo mg. Essa força está aplcada a uma dstânca L 4 do exo de rotação da barra. Usando a defnção de torque: τ = r F τ = L 4 mgˆk Onde ˆk é o vetor untáro perpendcular à folha e com sentdo para fora dela. b) [1,0 ponto] A barra está em equlíbro logo, o torque resultante sobre a barra é nulo. Sobre a barra atuam a força do bloco ( N), força peso ( P ), a tração ( T ) e a força do exo de rotação ( F e ). Essa últma não exerce torque sobre o exo fxo pos atua no mesmo. Temos, portanto, que: [ τ R = τ N + τ P + τ T = L 4 mg L ] ( m ) 2 Mg + T L sen(30 ) ˆk = 0 T = g 2 + M onde fo utlzado que o ângulo entre o vetor r T e a tração é α = 180 o 30 o e que sen150 o = sen30 o = 1 2. Questão 4 - [3,0 pontos] Dos dscos homogêneos de massa M e rao R estão lgados a um fo de massa desprezível e nextensível, como mostra fgura. O dsco que está sobre o plano nclnado tem o fo lgado ao seu exo de rotação e a outra extremdade do fo encontra-se enrolada na perfera do dsco cujo exo de rotação está fxo. O dsco do plano nclnado é lberado a partr do repouso e rola sem deslzar ao longo do plano mantendo-se sempre alnhado na vertcal. Durante a descda, o fo se desenrola sem deslzar sobre o dsco de exo fxo, que pode grar sem atrto em torno do seu exo de rotação. O ângulo de nclnação do plano em relação à horzontal é gual a θ onde 0 < θ < π/2. Calcule: a) o módulo da tração do fo que lga os dos dscos. b) a energa cnétca do dsco que rola após a altura do seu centro de massa ter descdo uma altura h. a) [2,0 pontos] Sobre os dscos atuam as forças ndcadas na fgura abaxo. 6

3 Desgnando os dscos como dsco 1, o dsco sobre o plano, e dsco 2 o dsco fxo tem-se o dagrama de forças da fgura. Observando que forças aplcadas no centro de massa não exercem torque em relação a este, a dnâmca para cada um deles é dada por: Dsco 1 τ ext = I α 1 Dsco 2 τ ext = I α 2, F ext = m a cm, Assm temos, consderando o sentdo de rotação postvo como ant-horáro, os torques calculados em relação aos centros de cada dsco respectvamente, T = T (uma vez que o fo é deal) e que o Dsco 1 rola sem deslzar a cm = α 1 R: Rf at = Iα 1 Dsco 1 P sen θ f at T = Ma cm Dsco 2 T = Iα 2/R () a cm = α 1 R A condção de vínculo entre eles é que a aceleração tangencal do dsco (2) tenha o mesmo valor que a aceleração do centro de massa do Dsco 1, ou seja, a t2 = a cm1. Isto mplca que α 1 R 1 = α 2 R 2. Como os raos dos dscos são os mesmos, α 1 = α 2 = α Portanto ambos os dscos gram com a mesma aceleração angular α. Logo, dos sstemas de equações Dsco 1 e 2, como I = (1/2)MR 2, Mgsen θ = Ia cm /R 2 + Ia cm /R 2 + Ma cm, a cm = 1 2 gsen θ A tração do fo pode ser obtda de (), após substturmos o valor de a cm encontrado. b) [1,0 pontos] Pelo teorema trabalho energa cnétca, temos: T = Ia cm /R 2 T = Mgsen θ 4 W tot = K Como a energa cnétca ncal é nula, a energa cnétca após a altura do centro de massa do dsco 1 ter descdo uma altura h é W tot. A força de atrto e a normal não realzam trabalho já que atuam no ponto de contato entre o dsco e o plano não há deslzamento. Portanto, apenas a força peso e a tração realzam trabalho. W tot = W P + W T O trabalho realzado pela força peso depende apenas da varação de altura do centro de massa do dsco W P = Mgh. Como a tração atua no centro de massa do Dsco e é sempre antparalela ao deslocamento, temos que Substtundo a tração obtda no tem anteror, temos: W T = T r = T K h = 3 4 Mgh h senθ 7

4 L/4 m 30º T M L Fgura da questão 1 Fgura da questão 3 Fgura da questão 4 8

5 NOME: DRE Teste 1 Assnatura: 9