NOTA II TABELAS E GRÁFICOS

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1 Depto de Físca/UFMG Laboratóro de Fundamentos de Físca NOTA II TABELAS E GRÁFICOS II.1 - TABELAS A manera mas adequada na apresentação de uma sére de meddas de um certo epermento é através de tabelas. Cada epermento tem uma forma de tabela mas convenente que se adapta as meddas adqurdas. A tabela 1 é um eemplo padrão de um epermento de um resstor lnear sob a aplcação de uma tensão elétrca V entre 10 e 50 V, que gera uma corrente elétrca. Tabela 1- Valores da tensão aplcada em um resstor e a corrente elétrca gerada. N o Tensão V (V ± 1% Corrente I (A (10-3 ± 1% 1 11,3,5 15,8 31,8 3 19,5 40,0 4,7 44,4 5 9,1 59, 6 38,4 76,1 7 4,3 83,8 8 50,0 99,3 Esta tabela é apenas um modelo para orentá-lo. Você poderá, dependendo do epermento, crar seu própro formato de tabela sem dear, é claro, de colocar as nformações mínmas relevantes, sejam elas: uma legenda ou título da tabela. no cabeçalho da tabela é mportante colocar a especfcação das grandezas que foram meddas com suas undades e seus erros absolutos ou relatvos. Se cada medda apresentar um erro dferente, deve-se especfcar cada um. o número de algarsmos sgnfcatvos das meddas deve ser compatível com os erros especfcados. II. GRÁFICOS A construção de gráfcos num epermento é bastante nteressante, pos permte uma vsualzação rápda do tpo de dependênca estente entre as grandezas estudadas. Estem város tpos de gráfcos, cada um se adequando melhor às grandezas meddas e ao tpo de relação que se deseja obter entre elas. Uma forma de gráfco bastante comum em nossos laboratóros é aquele relaconando duas grandezas. Um gráfco deve conter sempre: título e/ou legenda; nome da grandeza em cada eo com sua respectva undade; dmensonamento da escala. 9

2 Depto de Físca/UFMG Laboratóro de Fundamentos de Físca Uma observação rápda do gráfco anteror permte dentfcar uma relação lnear entre as duas grandezas analsadas. A segur, mostramos um gráfco da relação entre a tensão e a corrente elétrca representadas na tabela anteror Tensão elétrca em função da corrente em um resstor V = 1,98 * I + 0,37 Tensão elétrca (V Corrente elétrca (ma Fgura 1: Eemplo de um gráfco: Tensão elétrca em função da corrente em um resstor. II.3 TRATAMENTO DE DADOS II.3.1 Relação lnear O gráfco da seção anteror sugere, vsualmente, que este uma relação lnear entre a tensão aplcada no resstor e a corrente que passa por ele. A relação matemátca que relacona a corrente I no resstor com a tensão elétrca V é dada pela equação de uma reta do tpo: y = A * + B (II-1 onde A é a nclnação da reta e B é o valor da grandeza y quando = 0. A nclnação da reta é dada pela razão da dferença entre os valores de y e os valores de de um par de pontos P 1 ( 1, y 1 e P (, y sob a reta: A = (y y 1 / ( 1.(II- Para o caso do resstor acma, podemos escrever especfcamente: V = 1,98 I + 0,37, onde 1,98 Ω é a nclnação da reta, correspondendo ao valor da resstênca e B = 0,37 onde corta o eo dos y (que devera ser nulo, ou seja, passar pela orgem. Estes parâmetros representam a melhor reta que se ajusta entre estes pontos, obtdos através de processos matemátcos utlzando o Método de Mínmos quadrados. Estem város programas de computador que utlzam este método, tas como o Mcrocal ORIGIN, que será utlzado no decorrer deste curso. Podemos também traçar uma reta vsualmente, tentando passar no maor número possível de pontos e, então, determnar os valores de A e B, a partr da equação II-. 10

3 Depto de Físca/UFMG Laboratóro de Fundamentos de Físca REGRESSÃO LINEAR O processo mas utlzado com o ntuto de determnar a equação da reta de um conjunto de pontos é chamado regressão lnear, que consste bascamente à: Determnação da equação de uma reta que melhor se sobrepõe aos resultados de meddas epermentas relaconando grandezas lnearmente dependentes. Consdere uma sére de pontos epermentas genércos (, y colocados na tabela e no gráfco da fgura. Y Tabela : Resultados epermentas das grandezas e y. X Y A* + B y P (, y d 1 X 1 Y 1 X Y n X n Y n X Fgura : Pontos epermentas defnndo uma reta. Se a melhor curva que passa por estes pontos é a reta desenhada, podemos escrever sua equação na forma y = A + B,onde A e B são a nclnação da reta e o ponto onde a reta corta o eo y em = 0, respectvamente. Na fgura, podemos observar que a coordenada y epermental do ponto P está fora da reta escolhda, sendo a ordenada correspondente ao valor melhor defnda por: A + B Desta forma, para cada ponto este uma dferença (resíduo, d = y - (A + B, entre a medda epermental e o valor de y calculado pela reta. Alguns resíduos são postvos e outros negatvos, assm uma grandeza que nos dara uma vsão de quão boa é nossa reta, sera: D = (d = [ y (A + B], (II 3 a qual representa a soma dos quadrados dos resíduos de todos os pontos. A melhor reta que ajusta os pontos epermentas é aquela que mnmza D, ou seja, C uma reta que contenha valores de A e B tas que D seja mínmo. omo D é uma função de A e B, para que ele seja mínmo devemos ter: 11

4 Depto de Físca/UFMG Laboratóro de Fundamentos de Físca D A = 0 e D B = 0 Dervando a equação II-3 tem-se: D A = - [y B A ] e D B = - [y B A ] Assm, para que D seja mínmo, devemos ter: [ y B A ] = 0 [ y B A ] = 0 (II-4 que é um sstema de duas equações com duas ncógntas A e B que determnam a melhor reta y = A + B, que passa pelos pontos epermentas (, y. A solução de II-4 nos fornece os seguntes valores para A e B: B = N N y ( A = y B / N = y y N ( y (II-5 (II-6 Obs.: todos os somatóros são para de 1 até N, onde N é o número de pares de pontos epermentas (, y. Uma descrção mas completa do método nos permtra anda determnar estatstcamente os desvos (ncertezas assocadas às constantes A e B calculadas. Aqu daremos apenas os valores destes desvos: Observações: B = [ N N ( ] D e A = D (N N ( (II-6 1 Este um parâmetro estatístco, chamado coefcente de determnação, que permte avalar a qualdade do ajuste. Para os propóstos de nossas atvdades esse parâmetro tem pouca relevânca e, portanto, não será tratado aqu. No método da regressão lnear, todos os pares ordenados têm a mesma mportânca. Em alguns casos, condções físcas mpõem que alguns pontos tenham mas mportânca que outros (mutas vezes, por eemplo, a reta deve passar pela orgem. Neste caso, você pode entrar com os correspondentes pares de valores váras vezes para aumentar sua mportânca nos cálculos. A reta tenderá passar mas próma deste ponto. O processo de determnar a equação de uma curva de um conjunto de pontos epermentas não se aplca apenas em relação às grandezas lneares. Sempre que este algum modelo ou prevsão teórca para a relação matemátca entre as grandezas é possível encontrar os parâmetros que façam o ajuste da curva correspondente com os resultados epermentas. 11

5 Depto de Físca/UFMG Laboratóro de Fundamentos de Físca II.3. Lnearzação Até aqu dscutmos o caso de fenômenos onde duas grandezas físcas e y se relaconam lnearmente, ou seja, y = A + B. Os valores das constantes A e B podem nos dar nformações mportantes relatvas ao epermento em questão. A maora dos epermentos abordados neste curso, a relação entre as grandezas estudadas não é lnear, o que sgnfca que essas grandezas não estão relaconadas por uma equação de reta. Consdere uma stuação físca onde duas pequenas esferas carregadas postvamente com cargas Q 1 e Q estão separadas de uma dstânca d como ndcado na fgura 3. F 1 Q 1 d Q F Fgura 3: Repulsão elétrca entre duas cargas de mesmo snal separadas por uma dstânca d. Os vetores F 1 e F lustram as forças de repulsão elétrca entre as cargas. Dspondo de equpamento aproprado, realza-se o segunte epermento: vara-se a dstânca d entre as cargas e mede-se o valor correspondente do módulo F da força de repulsão. Um gráfco F d para esse epermento terá uma forma como mostrada a segur. 3.5 F (undades arbrtáras d (undades Fgura 4: Força de repulsão elétrca entre duas esferas carregadas em função da dstânca d entre elas. Vmos que a força elétrca entre as cargas vara de forma não lnear, assm fazemos a segunte pergunta: Como podemos determnar qual é a dependênca entre a força e a dstânca entre as cargas? Esta questão podera ser respondda dretamente em stuações onde a relação entre as grandezas sera lnear, como eplcado no tem anteror pelo método de regressão lnear. Como a relação entre F e d nesse epermento não é lnear, não podemos aplcar dretamente este método. Embora estam métodos que tentam ajustar qualquer tpo de equação a dados epermentas. Aqu tentaremos aprovetar nosso conhecmento do método de regressão lnear e procurar utlzá-lo mesmo quando a relação dreta entre as grandezas estudadas não for lnear. Para fazermos sso teremos que transformar nossa curva em uma reta, por um processo chamado de lnearzação. 1

6 Depto de Físca/UFMG Laboratóro de Fundamentos de Físca Sabemos que a força elétrca entre duas cargas puntformes, pela le de Coulomb, vara com o nverso do quadrado da dstânca entre as cargas, dada pela equação abao: F = K Q Q 1 d, (II-7 onde K é a constante de Coulomb. Reescrevendo a equação II-7, temos: 1 F = C d (II-8 onde C = KQ 1 Q é a constante de proporconaldade. Uma das maneras de fazermos a lnearzação desta equação é tomarmos o logartmo em ambos os lados desta, que obteremos a segunte relação matemátca: ln F = ln (Cd - = ln C - ln d (II-9 Observe que a equação anteror toma eatamente a forma da equação de uma reta se fzermos: Y = ln F, X = ln d, A = - e B = ln C, (II-10 onde A é a nclnação da reta que vale e B o coefcente lnear da reta = ln C. Assm se traçarmos um gráfco ln F ln d devemos obter uma reta de nclnação gual a - (dentro dos erros epermentas e cujo coefcente lnear B deverá ser o logartmo do produto entre a constante elétrca K e as cargas Q 1 e Q. O gráfco lnearzado é mostrado na fgura 5. 1 ln F = - ln d + 1,14 ln F (undades arbrtáras lnd (undades Fgura 5: Relação entre os logarítmos das grandezas força e dstânca entre duas cargas elétrcas. Após determnar os valores das constantes A e B, podemos calcular os valores das constantes físcas nteressadas no epermento. No caso acma, determnar os valores de A e C pelas equações II-10. Obtendo, C = 3,13 N.m. A = - e ln C = 1,14. 13

7 Depto de Físca/UFMG Laboratóro de Fundamentos de Físca É mportante chamar a atenção de que o processo de lnearzação de um gráfco consste smplesmente em tomar as ordenadas e abscssas adequadas de forma que a relação entre elas seja lnear. Em váras stuações, como no eemplo lustrado aqu, o processo mas convenente pode não ser o de usar a função logartmo. Para o eemplo de cargas elétrcas, um gráfco com os valores de F na ordenada (eo Y e os valores de 1/d na abscssa (eo X, apresentará também uma reta, pos F vara lnearmente como o nverso do quadrado de d. Ou seja, fazendo: F = Y e 1/d = X, A = C, a relação entre Y e X é também uma equação de reta Y = A X passando pela orgem (B = 0. Na fgura 6 mostramos o gráfco de F em função de d. 3 F = 3,14 / d F (undades arbrtáras 1 0 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 d (undades Fgura 6: Relação entre a força e o nverso do quadrado da dstânca entre duas cargas elétrcas. Observe que os valores das constantes A e B (assumndo que seja nula, ou seja, a reta passe necessaramente pela orgem têm valores dferentes das constantes A e B anterores. Podemos observar que o valor obtdo da constante C é o mesmo para as duas maneras de lnearzação. Podemos conclur que a escolha da manera mas convenente para se fazer a lnearzação de um gráfco deve ser orentada no sentdo de se obter, de forma mas smples, as constantes procuradas. 14