14. Correntes Alternadas (baseado no Halliday, 4 a edição)

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1 14. orrentes Alternadas (baseado no Hallday, 4 a edção) Por que estudar orrentes Alternadas?.: a maora das casas, comérco, etc., são provdas de fação elétrca que conduz corrente alternada (A ou A em nglês): 1) corrente que vara senodalmente com o tempo trocando de sentdo mutas vezes (ou cclos) por segundo (no caso do Brasl 10/s). ) vmos que a velocdade escalar de derva dos elétrons de condução é cerca de m/s, já o tempo para nverter a corrente e de 1/10 s, o que dá x = v t = 4 10 m / s s = 3,3 10 m 7 ou x = 3 10 m (na metade de um cclo) 10 3) no caso do cobre esta dstânca não é maor do que 10 átomos da rede crstalna. omo, então, o elétron podera vr a alcançar qualquer parte do fo?.: os elétrons de condução não têm que alcançar qualquer parte do fo 1) quando dzemos que a corrente é gual a 1 A, sgnfca que os portadores de carga atravessam qualquer plano ortogonal ao fo a uma taxa de 1 por segundo. ) a velocdade escalar com que os portadores de carga atravessam esse plano não entra dretamente no cálculo 1 A pode corresponder a mutos portadores de carga movendo lentamente ou a poucos movendo rapdamente. [rstóvão M ncosk] p. 001

2 3) o snal, que obrga os elétrons a nverterem seus sentdos de movmento (fem alternada fornecda pelo gerador) propaga-se no fo a uma velocdade próxma à da luz (ou seja, na velocdade da luz para o materal fo) 4) todos os elétrons recebem o snal da fem que os obrga a mudar de sentdo, pratcamente ao mesmo tempo. 5) para mutos dspostvos (lâmpadas, torraderas, etc.) não mporta o sentdo do movmento dos elétrons e sm que estejam em movmento e transferndo energa ao dspostvo. a medda que a corrente se alterna, o campo magnétco que crcunda o condutor também se alterna. Este fato torna possível a utlzação da e da ndução de Faraday Ex.: transformadores, etc. A corrente alternada é mas adequada para o uso em máqunas rotatvas (geradores e motores) do que a corrente contínua ( ou D em nglês) Ex.: grando uma bobna num campo magnétco externo, a fem nduzda na bobna é alternada. 6) as fems alternadas e as correntes alternadas geradas por elas são fundamentas, não só para a geração e dstrbução de energa, mas para o rádo, televsão, comuncação por satélte, computadores, etc. [rstóvão M ncosk] p. 00

3 Plano de Estudo para Este apítulo Vmos ε = ε m sen ωt aplcada no crcuto ε ~ fazendo surgr = sen( ωt φ). Notação: as letras mnúsculas (, v, etc.) representam valores nstantâneos de grandezas varáves no tempo e as letras maúsculas (, V, etc.) representam as ampltudes correspondentes. Nota: exatamente como nos crcutos de corrente contínua, a corrente alternada,, num dado nstante, tem o mesmo valor em todas as partes do crcuto (de malha únca). E a freqüênca angular ω da corrente e do gerador são necessaramente as mesmas. As característcas báscas da fem alternada: ε m ampltude da fem ω freqüênca angular da fem [rstóvão M ncosk] p. 003

4 As característcas báscas do crcuto: esstênca apactânca ndutânca As característcas báscas da corrente alternada: ampltude da corrente φ constante de fase Objetvo Dados Para o gerador ε m e ω Para o crcuto, e Determnar e φ Obs.: em vez de determnarmos e φ resolvendo a equação dferencal, usaremos um método geométrco: o método dos fasores Três rcutos Smples Tratando com crcutos smples onde cada um contém um gerador de corrente alternada e somente um dos elementos ou ou. [rstóvão M ncosk] p. 004

5 Um rcuto esstvo () Usando o crcuto da p ε ~ v um únco elemento resstvo um gerador de corrente com a fem alternada v ampltude da d. d. p. através do resstor (rcuto 1) De acordo com a e das Malhas (egra das Malhas de Krchhoff) ε - v = 0 então v = ε = ε m sen ωt como V = ε m (chamada usualmente de voltagem ) v = V sen ωt Usando a defnção de resstênca = v = V senω t = senωt [rstóvão M ncosk] p. 005

6 v Então temos v e (crcuto com carga puramente resstva) em fase (constante de fase φ = 0 0 ). Vemos também que as ampltudes V e estão relaconadas Nota: V = (para resstor crcuto resstvo) embora esta relação tenha sdo obtda para o (crcuto 1), ela se aplca a qualquer resstor em qualquer crcuto de corrente alternada, não mporta se o resstor está presente fscamente ou se é um efeto global resstvo, ou o quão complexo seja este crcuto. 0 π π v ωt v e estão em fase para todo tempo t. nstantes representados no dagrama de fasores Método dos Fasores: método geométrco para análse de crcutos. Fasor: são vetores grantes, que se movmentam com a freqüênca angular ω no sentdo ant-horáro. 1) O comprmento do fasor é proporconal à ampltude da grandeza alternada envolvda (V ou ). ) A projeção de um fasor sobre o exo vertcal é proporconal ao valor nstantâneo da grandeza alternada (v e ). [rstóvão M ncosk] p. 006

7 rotação dos fasores na taxa ω v V ωt da representação fasoral, temos: v = V sen ωt = sen ωt Os fasores (na representação fasoral) V e concdem em fase Um rcuto apactvo () Usando o crcuto da p ε ~ v um únco elemento capactvo um gerador de corrente com a fem alternada v ampltude da d. d. p. através do resstor (rcuto ) De acordo com a e das Malhas (egra das Malhas de Krchhoff) ε - v = 0 [rstóvão M ncosk] p. 007

8 então v = ε = ε m sen ωt como V = ε m v = V sen ωt Da defnção de capactânca q = v então q = V sen ωt como não estamos nteressados na carga e sm na corrente elétrca d q = = ω V cos ωt dt Se defnmos Undade (X ): X def. = 1 ω (reatânca capactva) a) [X ] = 1 / [ω] [] apactânca: podemos usar τ = e [] = [τ ] / [] s/ω Freq. Angular: [ω] 1/s [X ] no S.. ohm(ω) mesma undade de resstênca [rstóvão M ncosk] p. 008

9 Fazendo cos ωt = sen (ωt ), e voltando em V 0 = sen ( ωt + 90 ) = sen ( ωt + 90 X 0 ) Quando comparamos com: = sen(ωt - φ), temos φ = V = X (capactor crcuto capactvo) Nota: embora tenhamos obtdo para o crcuto capactvo, ela se aplca a qualquer capactor, estando este presente ou não, em qualquer crcuto de corrente alternada. v 0 π π nstantes representados no dagrama de fasores v ωt v e estão defasados de 90 0 (um quarto de cclo) para todo tempo t. está avançado com relação a v (os máxmos de ocorrem antes de v ) [rstóvão M ncosk] p. 009

10 rotação dos fasores na taxa ω v V ωt Nesta representação geométrca vemos que está sempre adantado de V por um ângulo de 90 0 v = V sen ωt = sen(ωt ) Um rcuto ndutvo () ~ Usando o crcuto da p ε v um gerador de corrente com a fem alternada crcuto contendo um elemento ndutvo v ampltude da d. d. p. através do resstor De acordo com a e das Malhas (egra das Malhas de Krchhoff) ε - v = 0 [rstóvão M ncosk] p. 010

11 então v = ε = ε m sen ωt como V = ε m v = V sen ωt Da defnção de ndutânca d v = dt d então V = sen ωt dt e = V d = sen ωt dt fnalmente = V ωt ω cos Se defnmos X def. = ω (reatânca ndutva) Fazendo cos ωt = sen (ωt 90 0 ), e voltando em V 0 = sen ( ωt 90 ) = sen ( ωt 90 X 0 ) [rstóvão M ncosk] p. 011

12 Quando comparamos com: = sen(ωt - φ), temos φ = A reatânca ndutva: V = 1) depende da freqüênca angular de operação; X (ndutor crcuto ndutvo) ) a undade S.. de X éo ohm (Ω) a mesma que X e ; 3) a constante de fase para este caso é φ = Nota: embora tenhamos obtdo as equações para o crcuto ndutvo, ela se aplca a um ndutor em qualquer crcuto de corrente alternada, estando o ndutor presente ou não, não mportando quão complexo seja. v 0 π π v ωt seja por comparação das equações ou no gráfco, vemos que v e estão defasados de 90 0 (um quarto de cclo) para todo tempo t. nstantes representados no dagrama de fasores está atrasada com relação a v (os máxmos de v ocorrem antes de ) [rstóvão M ncosk] p. 01

13 rotação dos fasores na taxa ω v V ωt O dagrama fasoral também deve conter a nformação do atraso de está em relação a V por um ângulo de 90 0 v = V sen ωt = sen(ωt 90 0 ) Tabela de Fases e Ampltudes Elemento de crcuto Símbolo mpedânca Fase da orrente Ângulo de fase φ elação das ampltudes esstor apactor ndutor X X em fase com v avançada para v atrasada para v V = V = X V = X O rcuto em Sére Podemos agora resolver o problema ncal do crcuto (p. 003) 1) a fem alternada aplcada é ε = ε m sen ωt (fem aplcada) (1) [rstóvão M ncosk] p. 013

14 e a corrente alternada resultante é = sen( ωt φ) (corrente alternada) () ) para determnarmos e φ (problema ncal), fazemos a) e das Malhas b) dagrama de fasores ε = v + v + v (vale para todo tempo t) (3) ωt φ orrente alternada, num nstante arbtráro t. O valor máxmo e a fase (ωt φ). Valor nstantâneo de. Todos mostrados no mesmo dagrama de fasor. Nota: apesar de as d. d. p. estarem varando no tempo com fases dferentes, a corrente é comum a todos os elementos num crcuto em sére, exste uma únca corrente elétrca. [rstóvão M ncosk] p. 014

15 v De acordo com a Tabela de Fases e Ampltudes: v V V v V desenhamos os três fasores representando as três d. d. p. através dos três elementos do crcuto no nstante consderado. Nota: a soma algébrca das projeções dos fasores V, V e V sobre o exo vertcal é exatamente gual ao lado dreto da equação (3). Esta soma de projeções deve ser gual ao lado esquerdo desta equação projeção do fasor ε m (ou seja, ε) sobre a vertcal. c) nas operações vetoras, a soma algébrca das projeções, é gual à projeção, sobre este exo, da soma vetoral destes vetores ε m φ dferença de fase entre a fem e a corrente elétrca. φ V ωt ângulo (sentdo ant-horáro) com que a corrente vara. V V ωt ωt φ como os fasores V e V fazem 90 0 com o fasor corrente, o fasor V V também faz 90 0 com o fasor corrente elétrca. [rstóvão M ncosk] p. 015

16 Determnando Do gráfco de fasores ε m = V + ( V V ) Usando as ampltudes ε m = ( ) + ( X X ) e = ε m + ( X X ) mpedânca o denomnador desta equação (Z), para uma dada freqüênca ω. Z = + ( X ) X e portanto = ε m Z Usando os valores de reatânca X = 1 e X = ω. ω [rstóvão M ncosk] p. 016

17 ε m = (Ampltude da corrente) + ( ω 1 ω ) O valor máxmo de ocorre para 1 ω = ω ω = 1 (ressonânca) já vsta no apítulo anteror O valor de na ressonânca é gual a = (o máxmo da ressonânca aumenta quando dmnu). ε m A onstante de Fase φ Agora, nos falta encontrar φ do gráfco de fasores (p. 015) temos tanφ = V V V tanφ = X = X X X (constante de fase) [rstóvão M ncosk] p. 017

18 ou, como X = 1 e ω X = ω tanφ = ω 1 ω (depende de ω mas não de ε m ) Nota: 1) desenhamos o dagrama fasoral supondo X > X (crcuto mas ndutvo do que capactvo); ) na equação para mpedânca vemos que sto é totalmente equvalente a X < X, pos (X X ), não alterando o cálculo da ampltude; 3) sto já não é verdade para o cálculo de fase, pos (X X ) 1. Dos asos mtes ε m 1 0 ) = X = 0 Ω, nos dá = e tan φ = (o crcuto é puramente capactvo e φ = 90 0 ). X ε m 0 ) = X = 0Ω, nos dá = e tanφ = + (o crcuto é puramente ndutvo e φ = 90 0 ). X Nota: 1) assm que lgamos o crcuto, surge uma corrente transente, cuja duração depende das constantes de tempo (capactva e ndutva) τ = e τ = [rstóvão M ncosk] p. 018

19 depos deste tempo a corrente entra no estado estaconáro dada por = sen( ωt φ) ) a corrente transente pode danfcar qualquer equpamento se não a consderarmos na elaboração do projeto de um crcuto. Potênca em rcuto de orrente Alternada No crcuto, a energa fornecda pelo gerador de corrente alternada, fca armazenada no campo elétrco do capactor, no campo magnétco do ndutor e parte é dsspada no resstor (energa térmca Efeto Joule) No estado estaconáro, a energa méda armazenada no capactor e no ndutor permanece constante. Fluxo de energa no crcuto. G [rstóvão M ncosk] p. 019

20 1) Taxa, nstantânea, em que a energa é transformada no resstor P = = [ sen( ωt φ)] = sen ( ωt φ) sen θ 0 como nosso nteresse está na taxa méda que a energa é transferda para o resstor valor médo sobre um período π π 3π usando a méda sobre um período θ +1 1/ 0 sen θ 0 1 P méd. = = π π 3π θ (sen θ) 1/ Valor Médo M Quadrátco: o termo é denomnado de valor médo quadrátco da corrente. P méd. = rms (Potênca méda) [rstóvão M ncosk] p. 00

21 O termo rms é aproprado pos: 1 0 ) pegamos o quadrado da corrente nstantânea sen ( ωt φ) 0 ) calculamos o seu valor médo 3 0 ) extraímos a sua raz quadrada rms = Nota: 1) como a Pméd. = rms é semelhante a P = para o caso de corrente contínua, temos que a taxa de dsspação méda (usando os valores médos quadrátcos para as grandezas alternadas) para crcutos de corrente alternada é a mesma que para crcutos de corrente contínua. ) os nstrumentos para correntes alternadas (voltímetros, amperímetros, etc.) são usualmente calbrados para lerem rms, V rms e ε rms. Ex.: se usamos um voltímetro para medr a tensão (d. d. p.) numa tomada doméstca e ele ndcar 10V este será o valor médo quadrátco. O valor máxmo da d. d. p. é 10V 170V. [rstóvão M ncosk] p. 01

22 3) a razão para o uso de valores médos quadrátcos em crcutos de corrente alternada é que nos permte aplcar as relações famlares de potênca para crcutos de.. V ε m rms =, Vrms = e ε rms =. ε m omo = e a constante de proporconaldade é Z rms ε = Z rms = ε rms + ( X X ) Da mesma forma, podemos modfcar a potênca, para ε rms Pméd = rms = rms = ε rms rms Z V como cosφ = = = ε Z Z m P = ε cosφ (Potênca Méda) méd rms rms Fator de Potênca: cosφ = é chamado de fator de potênca. omo Z cosφ = cos( φ), o fator de potênca ndepende da fase ser postva ou negatva. 1 Z [rstóvão M ncosk] p. 0

23 Para que a taxa de energa, num crcuto, seja máxma, devemos manter o fator de potênca (cos φ) próxmo de um (cosφ 1) sto equvale a manter φ 0 0 (constante de fase 0 0 ). Ex.: se o crcuto é altamente ndutvo, podemos torná-lo menos ndutvo adconando uma capactânca no crcuto reduzndo a constante de fase e aumentando o fator de potênca (empresas dstrbudoras de energa elétrca colocam capactores por toda a lnha de transmssão). Potênca Méda M Transmtda por um Gerador em Três asos Especas Elemento de crcuto mpedânca Z onstante de fase φ Fator de Potênca cosφ Potênca Méda M P méd. X X Zero Zero Zero ε rms rms Zero Zero O Transformador Exgêncas para a Transmssão de Energa [rstóvão M ncosk] p. 03

24 Para crcutos de corrente alternada a taxa méda de dsspação da energa numa carga resstva ( P = ε cosφ ). méd rms rms Nota: abandonaremos o subscrto rms que dentfca o valor médo quadrátco de uma grandeza. Na prátca, nós admtmos que as correntes e voltagens, varáves no tempo, sejam descrtas pelos seus valores médos quadrátcos que são os valores ldos pelos nstrumentos P méd =. V Obs.: 1) para uma dada exgênca de potênca temos uma faxa de escolha (corrente relatvamente elevada,, e uma d. d. p. relatvamente baxa, V, ou vceversa) desde que o produto seja V. ) para sstemas de dstrbução de energa elétrca é desejável por questões de segurança e de efcênca, ldarmos com voltagens relatvamente baxas tanto na extremdade geradora (usna de energa elétrca) como na extremdade receptora (casa ou fábrca) Ex.: nnguém projetara um trenznho de crança ou uma torradera para operar a 10 kv. Entretanto, na transmssão de energa elétrca desde a geradora até o consumdor, deseja-se ter a corrente mas baxa possível (maor d. d. p. possível), para reduzr ao mínmo as perdas (chama-se de perdas ôhmcas). [rstóvão M ncosk] p. 04

25 Ex.: uma lnha de 735 kv é usada para transmtr a energa elétrca de uma usna até uma cdade a 1000 km de dstânca. Suponhamos que a corrente seja de 500 A e o fator de potênca próxmo a undade (1) 1) P méd = ε = (7, V)(500 A) = 367,5 MW P méd 368MW a lnha tem resstênca por qulômetro 0,0 Ω/m, com resstênca total de 0 Ω P méd = = (500 A) (0 Ω) P méd = 55, 0MW que corresponde a 15% (14,9660%) da taxa fornecda. ) O que acontecera se dobrássemos a corrente e reduzíssemos a voltagem à metade? 735 kv a potênca méda produzda não mudara P méd = ε = ( 500A) = 368 MW a potênca méda dsspada fcara P méd = = (1000 A) (0 Ω) P méd = 0 MW que é quase 60% (59,8639%) da taxa fornecda. [rstóvão M ncosk] p. 05

26 egra Geral para Transmssão de Energa: transmtr na mas alta voltagem possível e na corrente mas baxa possível. O Transformador deal A regra acma, conduz a uma ncompatbldade a exgênca da transmssão efcente em alta voltagem e a necessdade de produção e consumo em baxa voltagem (por motvos de segurança). Então, precsamos de um dspostvo aumentar a d. d. p. para transmssão e dmnur a d. d. p. para o uso, mantendo o produto corrente voltagem constante. Tal dspostvo é chamado de Transformador. Φ B S Transformador deal ε ~ V p V s Opera de acordo com a e da ndução de Faraday. N p N s Não possu um correspondente, smples, de corrente contínua. Prmáro Secundáro [rstóvão M ncosk] p. 06

27 Transformador deal: consste de duas bobnas, com número dferente de espras, enroladas em torno de um núcleo de ferro (as bobnas estão soladas do núcleo). Onde a resstênca dos enrolamentos prmáro e secundáro, bem como as perdas por hsterese no núcleo de ferro, sejam desprezíves. O enrolamento prmáro (N p espras) está lgado a um gerador de corrente alternada onde ε = ε m senωt O enrolamento secundáro (N s espras) está lgado a uma carga resstva éum crcuto aberto para a chave S deslgada. have S Deslgada Vamos supor: transformador deal. Ex.: transformadores de alta capacdade (bem projetados) podem ter perdas de energa de apenas 1%. Para as condções dadas o enrolamento prmáro é uma ndutânca pura e o crcuto é um crcuto ndutvo puro: 1) a corrente prmára (muto pequena) chamada de orrente de Magnetzação, mag., está atrasada em 90 0 em relação à d. d. p. prmára (V p ); o fator de potênca (= cos φ) é nulo e portanto, nenhuma potênca é transferda do gerador para o transformador. [rstóvão M ncosk] p. 07

28 ) De acordo com a e da ndução de Faraday a fem nduzda por espra (ε esp ) é a mesma nos enrolamento prmáro e secundáro A voltagem em cada crcuto é gual à fem nduzda no crcuto. 3) Supondo que os símbolos representem valores médos quadrátcos dφ V B p Vs N s ε espra = = = V s = Vp (Transformação de Voltagem) dt N N N p s 4) Para N s > N p transformador elevador (V s > V p ) Para N s < N p transformador abaxador (V s < V p ) p Nota: como o crcuto secundáro está aberto (S aberta) nenhuma potênca será transmtda através do transformador. have S Fechada Enrolamento secundáro lgado à carga resstva. Obs.: num caso mas geral a carga () também contera elementos ndutvos e capactvos vamos nos restrngr somente a elementos resstvos (). [rstóvão M ncosk] p. 08

29 Quando fechamos S: 1) uma corrente alternada s aparece no crcuto secundáro, com uma taxa de Vs dsspação de s ( ) na carga resstva (). ) Esta corrente nduz seu própro fluxo magnétco alternado no núcleo de ferro (de acordo com a e da ndução de Faraday) este fluxo nduz uma fem em oposção no enrolamento prmáro. 3) A voltagem V p do prmáro não pode mudar em resposta a essa fem em oposção (temos que ter sempre a fem suprda pelo gerador) o fechamento da chave S não pode mudar este fato. 4) Para manter V p (o gerador produz, agora, uma corrente p no crcuto prmáro, de ntensdade e constante de fase exatamente guas e necessáras para cancelar a fem em oposção, gerada no enrolamento prmáro devdo a s ). Obs.: em vez de contnuarmos com a análse (complcada) acma, é mas convenente verfcarmos o que ocorre globalmente (medante o prncípo da conservação da energa). Para um transformador deal com cos φ 1 e fazendo ε = V p em: 1 0 ) P méd = ε p cosφ = Vp p (taxa que o transformador transfere energa à bobna prmára). [rstóvão M ncosk] p. 09

30 0 ) P méd = Vs s (taxa em que a energa é transferda da bobna prmára para a secundára). N s Usando o prncípo da conservação da energa p Vp = s Vs, e com Vs = Vp N p N p s = p (Transformação da orrente) N V 3 0 s N s ) omo s = e Vs = Vp, então N comparando com = p V p eq p eq = N N p s s V p s = ( N p N s ) (Transformação da esstênca) Nota: a transformação da resstênca nos dz que, do ponto de vsta do crcuto prmáro, a resstênca equvalente da carga não é smplesmente. asamento de mpedâncas A equação acma (Transformação da esstênca) sugere outra função para o transformador. [rstóvão M ncosk] p. 030

31 Sabemos que: Da conservação da energa W = W ou ( ) = ( ) batera resstor batera resstor para haver transferênca máxma de energa de um dspostvo de fem para uma carga resstva, a resstênca do dspostvo e a resstênca da carga devem ser guas. A mesma regra é válda para crcutos de corrente alternada exceto que a mpedânca (em vez da resstênca) do gerador deve ser gual à carga. Ex.: 1) quando lgamos um alto-falante a um amplfcador, esta condção fca longe de ser obtda amplfcador com alta mpedânca e o alto-falante com baxa mpedânca. ) Podemos tornar guas as mpedâncas dos dos dspostvos (ctados acma), acoplando-os por meo de um transformador com uma adequada razão N p /N s. eq [rstóvão M ncosk] p. 031