Professor Mauricio Lutz CORRELAÇÃO

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1 Professor Maurco Lutz 1 CORRELAÇÃO Em mutas stuações, torna-se nteressante e útl estabelecer uma relação entre duas ou mas varáves. A matemátca estabelece város tpos de relações entre varáves, por eemplo, as relações funconas e as correlações. Relações Funconas São relações matemátcas epressas por sentenças matemátcas, como por eemplo: Área do retângulo (Aa.b) é a relação entre os lados do retângulo; Densdade de massa (dm m/v) é a relação entre a massa e o volume de um corpo; Perímetro de uma crcunferênca (CπR) é a relação entre o comprmento da crcunferênca e o valor do rao. Relações Estatístcas e Correlações São relações estabelecdas após uma pesqusa. Com base nos resultados da pesqusa, são fetas comparações que eventualmente podem conduzr (ou não) à lgação entre as varáves. Eemplo: relação entre a dade e a estatura de uma crança, ou a relação entre a classe socal de uma pessoa e o número de vagens por ela realzado. No estudo estatístco, a relação entre duas ou mas varáves denomnase correlação. A utldade e mportânca das correlações entre duas varáves podem conduzr à descoberta de novos métodos, cujas estmatvas são vtas em tomadas de decsões. Em outras palavras quando duas varáves estão lgadas por uma relação estatístca, dzemos que este correlação entre elas. 1) Dagrama de dspersão O dagrama de dspersão é um gráfco cartesano em que cada um dos eos corresponde às varáves correlaconadas. A varável dependente (Y) stua-se no eo vertcal e o eo das abscssas é reservado para a varável ndependente (X). Os pares ordenados formam uma nuvem de pontos. A confguração geométrca do dagrama de dspersão pode estar assocada a uma lnha reta (correlação lnear), uma lnha curva (correlação curvlínea) ou, anda, ter Insttuto Federal farrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fa: (55)

2 Professor Maurco Lutz os pontos dspersos de manera que não defnam nenhuma confguração lnear; nesta últma stuação, não há correlação Correlação Lnear Correlação Curvlínea ) Correlação Lnear Correlação lnear é uma correlação entre duas varáves, cujo gráfco aproma-se de uma lnha. É uma lnha de tendênca, porque procura acompanhar a tendênca da dstrbução de pontos, que pode corresponder a uma reta ou a uma curva. Por outro lado, é, também, uma lnha méda, porque procura dear a mesma quantdade de pontos abao e acma da lnha. Correlação lnear postva Correlação lnear negatva Não há correlação Para defnr se a correlação entre as varáves corresponde a uma lnha reta ou a uma curva, pode-se utlzar modos qualtatvos ou quanttatvos. No modo qualtatvo, va mperar o bom senso do pesqusador para verfcar qual o grau de ntensdade na correlação entre as varáves; sso sgnfca o estabelecmento de uma relação numérca que medrá o nível da correlação. Insttuto Federal farrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fa: (55)

3 Professor Maurco Lutz 3 3) Coefcente de Correlação Lnear O nstrumento empregado para a medda da correlação lnear é o coefcente de correlação. Este coefcente deve ndcar o grau de ntensdade de correlação entre duas varáves e, anda, o sentdo dessa correlação (postva ou negatva). Uma das formas de medr o coefcente de correlação lnear fo desenvolvdo por Pearson e recebe o nome de coefcente de correlação de Pearson. O coefcente de correlação de Pearson mede o grau de ajustamento dos valores em torno de uma reta. onde temos: Coefcente de Correlação de Pearson (r): r é o coefcente de Pearson; né o número de observações; é a varável ndependente; é a varável dependente. å -( å)(. å ) -( å). nå - å [ n ][ ( ) ] å n O valor do coefcente de correlação r tem a varação entre +1 e 1, ou seja, está lmtado entre os valores do Intervalo[ 1,+1]. +1 (correlação postva entre as varáves); 1 (correlação perfeta negatva entre as varáves); 0 (não há correlação entre as varáves ou, anda, a correlação não é lnear, caso esta). correlação lnear. correlação lnear. Quanto mas prómo o valor de r estver do valor 1, mas forte a Quanto mas prómo o valor de r estver do valor 0, mas fraca a Em geral, multplca-se o valor de r por 100; dessa forma, o resultado passa a ser epresso em porcentagem. Na prátca, estabelecem-se crtéros para verfcar os dversos níves do fraco ao forte, chegando até o perfeto: 0 < r < 0,3 : a correlação é fraca e fca dfícl estabelecer relação entre as varáves. Em porcentagem: 0% < r < 30%; Insttuto Federal farrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fa: (55)

4 Professor Maurco Lutz 4 0,3 r < 0,6 : a correlação é fraca, porém, podemos consderar a estênca de relatva correlação entre as varáves. Em porcentagem: 30% r < 60%; 0,6 r < 1 : a correlação é de méda para forte; a relação entre as varáves é sgnfcatva, o que permte coerênca com poucos confltos na obtenção das conclusões. Em porcentagem: 60% r 100%. 4) Teste de hpótese para a estênca de correlação Para aplcar o teste de hpótese para estênca de correlação lnear, é necessáro que as varáves populaconas (X, Y) tenham dstrbução normal bvarada. Quando as amostras forem superores a 30, a hpótese de normaldade das duas varáves é razoavelmente atendda. O coefcente de correlação lnear da população (X, Y) é desgnado ρ (ler Rô). Se o teste ndcar a rejeção da hpótese 0, poderemos conclur que este correlação entre as varáves ao nível de sgnfcânca admtdo. Es o procedmento para realzar o teste: (1) H 0 : 0 H 1 : r ¹ 0 () Far e escolher uma dstrbução t de Student com j n- graus de lberdade. (3) Determnar as regões de rejeção e acetação para H 0, com aulo da tabela t de Student. (4) Calculo do valor da varável: (5) Conclusão: r n- t cal 1-r Insttuto Federal farrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fa: (55)

5 Professor Maurco Lutz 5 Se t cal > t a ou correlação entre as varáves. Se a t a correlação entre as varáves. t cal > -t a, rejeta-se H 0, conclundo, com rsco, que há - t tcal, não se pode rejeta-se H 0, conclundo que há Eemplos: a) Uma pesqusa pretende verfcar se há correlação sgnfcatva entre o peso total do lo descartado, por da, numa empresa com o peso do papel contdo nesse lo. Hotel H1 H H3 H4 H5 H6 H7 H8 H9 H10 Peso total 10,47 19,85 1,5 4,36 7,38 8,09 33,61 35,73 38,33 49,14 Peso do papel,43 5,1 6,88 6, 8,84 8,76 7,54 8,47 9,55 11,43 De acordo com os dados, fazemos a representação gráfca. Os pares ordenados formam o dagrama de dspersão. Correlação entre o peso total do lo descartado e o peso do papel contdo nesse lo Para se verfcar o grau de correlação entre as varáves, calcula-se o coefcente de correlação lnear pela fórmula do coefcente de correlação de Pearson: å -( å)(. å ) -( å). nå - å [ n ][ ( ) ] å n Insttuto Federal farrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fa: (55)

6 Professor Maurco Lutz 6 Para facltar o cálculo construímos a segunte tabela: Peso total ( ) Peso do papel ( ). H1 10,47,43 5,44 109,6 5,90 H 19,85 5,1 101,63 394,0 6,1 H3 1,5 6,88 146,0 451,56 47,33 H4 4,36 6, 151,5 593,41 38,69 H5 7,38 8,84 4,04 749,66 78,15 H6 8,09 8,76 46,07 789,05 76,74 H7 33,61 7,54 53,4 119,63 56,85 H8 35,73 8,47 30,63 176,63 71,74 H9 38,33 9,55 366, ,19 91,0 H10 49,14 11,43 561,67 414,74 130,64 å 88,1 75,4 396, ,5 63,47 r r r å -( å )(. å ) -( å ). nå - å [ n ][ ( ) ] å n (10 396,68) - (88,175,4) [ ,5-( 88,1) ] 1063,47-( 75,4) (3966,8)- (1684,9) [ ] [ 93775, ] [ 634,7-5661,06] 0,906 ou 9,06% 81,83 478,57 0,906 Observamos, assm: 0,6 r 1. Esse resultado ndca que há uma forte correlação entre as varáves ou, anda, que a correlação entre as duas varáves é bastante sgnfcatva. Nesse caso, podemos conclur haver coerênca na afrmação de que este correlação entre o peso total do lo descartado e o peso do papel contdo nesse lo. (1) H 0 : 0 Realzando o teste de hpótese com um 5% temos: H 1 : r ¹ 0 () a 5% e Graus de lberdade: j n Insttuto Federal farrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fa: (55)

7 Professor Maurco Lutz 7 (3) Regões de rejeção e acetação para H 0. r n- 0, ,6039 (4) Cálculo do valor da varável: t cal 6, r 1- (0,906) 0,3905 (5) Conclusão: Como t >, 3060, rejeta-se H 0, conclundo, com rso de 5%, que cal há correlação entre o peso total de lo descartada com o peso total de papel contdo neste lo, ou anda, este uma correlação postva entre X e Y, sgnfca que as varáves são dretamente proporconas, portando quanto maor o lo produzdo maor será a quantdade de papel contda neste lo. b) Consderemos uma amostra aleatóra, formada por dez dos 98 alunos de uma classe da faculdade A e pelas notas obtdas por eles em matemátca e estatístca: dspersão: Números Notas Matemátca ( ) Estatístca ( ) 01 5,0 6,0 08 8,0 9,0 4 7,0 8, ,0 10,0 44 6,0 5,0 58 7,0 7,0 59 9,0 8,0 7 3,0 4,0 80 8,0 6,0 9,0,0 Vamos verfcar a correlação prmero fazendo um dagrama de Insttuto Federal farrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fa: (55)

8 Professor Maurco Lutz 8 Correlação entre as notas de matemátca e estatístca Números Notas Matemátca ( ) Estatístca ( ). 01 5,0 6, ,0 9, ,0 8, ,0 10, ,0 5, ,0 7, ,0 8, ,0 4, ,0 6, ,0, å å -( å )(. å ) -( å ). nå - å [ n ][ ( ) ] å n (10 473) - (6565) [ ( 65) ] ( 65) (4730)- (45) [ ] [ ] [ ] ,18 0,911 Portanto 0, 911 ou 9,1%, o que resulta uma correlação postva altamente sgnfcatva entre as duas varáves. (1) H 0 : 0 Realzando o teste de hpótese com um 5% temos: H 1 : r ¹ 0 Insttuto Federal farrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fa: (55)

9 Professor Maurco Lutz 9 () a 5% e Graus de lberdade: j n (3) Regões de rejeção e acetação para H 0. r n- 0, ,5773 (4) Cálculo do valor da varável: t cal 6, r 1- (0,911) 0,410 (5) Conclusão: Como t >, 3060, rejeta-se H 0, conclundo, com rso de 5%, que cal há correlação entre as notas de matemátca e estatístca, ou anda, este uma correlação postva entre X e Y, sgnfca que as varáves são dretamente proporconas, portando quanto maor a nota de matemátca maor será a nota de estatístca. Eercícos 1)Complete o esquema de cálculo do coefcente de correlação para os valores das varáves e : Temos: å... å... å... å... å... Insttuto Federal farrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fa: (55)

10 Professor Maurco Lutz 10 Logo: porém fraca. (......) - (......) [ ] [ ] [ ] [ ] Donde 0, 4. A correlação lnear entre as varáves e é postva, ) Correlaconar os valores de produção letera e o teor de gordura de anmas bovnos da fazenda Pca Pau Amarelo. Produção (kg) Teor de Gordura (%) 10 6,0 1 5,7 14 5,3 17 5, 19 5,0 4,7 5 4,5 3) Para os dados abao: a) Desenhe o dagrama de dspersão; b) Calcule o coefcente de correlação de Pearson e nterprete. c) Teste o coefcente encontrado na letra b). Concentração Protombna no Plasma () Tempo de coagulação em segundos () Insttuto Federal farrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fa: (55)

11 Professor Maurco Lutz 11 4) Uma amostra revelou o coefcente de correlação entre o saláro e o número de anos de escolardade para um grupo de 60 pessoas é de 0,78. Teste a hpótese de estênca de correlação entre essas varáves, ao nível de 5%. 5) Sessenta e quatro estudantes foram submetdos a dos testes: racocíno lógco e quanttatvo e conhecmentos geras. Dos escores obtdos, foram calculadas as somas: å X 169 ; å 37 Y ; å X 1450; å Y 304; å XY 837. a)determne o coefcente de correlação. b) Ao nível de sgnfcânca de 5%, testar a estênca de correlação. 6) A tabela a segur epressa os pesos e as alturas de 30 cranças: Peso (kg) Altura (cm) Peso (kg) Altura (cm) Ao nível de 5%, podemos afrmar que há correlação entre os pesos e as alturas? 7) Um grupo de pessoas fez uma avalação do peso aparente de alguns objetos. Com o peso real e a méda dos pesos aparentes, dados pelo grupo, obteve-se a tabela: Calcule o índce de correlação. Peso Real Peso Aparente ) Consdere os resultados de dos testes, X e Y, obtdos por um grupo de alunos da escola A: a) Verfque, pelo dagrama, se este correlação retlínea. b) Em caso afrmatvo, calcule o coefcente de correlação. c) Escreva em poucas lnhas, as conclusões a que chegou sobre a relação entre essas varáves. d) Ao nível de sgnfcânca de 5%, testar a estênca de correlação. Insttuto Federal farrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fa: (55)

12 Professor Maurco Lutz 1 Gabarto 1)Complete o esquema de cálculo do coefcente de correlação para os valores das varáves e : Temos: å 40 å 56 å 460 å 360 å 648 Logo: porém fraca. (5460)- (4056) [ 5360-( 40) ] 5648-( 56) [ ] [ ] [ ] , 0,4 Donde 0, 4. A correlação lnear entre as varáves e é postva, ) Correlaconar os valores de produção letera e o teor de gordura de anmas bovnos da fazenda Pca Pau Amarelo. Produção (kg) Teor de Gordura (%). 10 6, ,7 68, , ,3 74, 196 8, , 88,4 89 7, , ,7 103,4 484,09 5 4,5 11,5 65 0,5 å 119 å 36, 4 å 601, 9 å 199 å 190, 96 Insttuto Federal farrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fa: (55)

13 Professor Maurco Lutz 13 (7601,9)- (11936,4) [ 7199-( 119) ] 7190,96-( 36,4) 413,3-4331,6 [ ] [ ] [ 1336,7-134,96] -118,3 1311,76-118,3-0,988 10,37 Este uma forte correlação negatva entre e, sgnfca que as varáves são nversamente proporconas, ou seja, quanto mas lete produz a vaca menor o teor de gordura do lete. 3) Para os dados abao: a) Desenhe o dagrama de dspersão; b) Calcule o coefcente de correlação de Pearson e nterprete. c) Teste o coefcente encontrado na letra b). Concentração Protombna no Plasma () Tempo de coagulação em segundos () a) å 455 å 47 å 7470 å 855 å 907 Insttuto Federal farrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fa: (55)

14 Professor Maurco Lutz 14 b) (107470)- (45547) [ ( 455) ] ( 47) [ ] [ ] [ ] , ,89 Este uma correlação negatva entre e, sgnfca que as varáves são nversamente proporconas, ou seja, quanto maor a concentração de protombna menor é o tempo de coagulação. c) Realzando o teste de hpótese com um 5% temos: (1) H 0 : 0 H 1 : r ¹ 0 () a 5% e Graus de lberdade: j n (3) Regões de rejeção e acetação para H 0. r n- - 0, ,79 (4) Cálculo do valor da varável: t cal -3, r 1- (-0,7877) 0,616 (5) Conclusão: Como t >, 3060, rejeta-se H 0, conclundo, com rso de 5%, que cal há correlação entre a concentração protombna no plasma e tempo de coagulação. 4) Uma amostra revelou o coefcente de correlação entre o saláro e o número de anos de escolardade para um grupo de 60 pessoas é de 0,78. Teste a hpótese de estênca de correlação entre essas varáves, ao nível de 5%. Realzando o teste de hpótese com um 5% temos: (1) H 0 : 0 H 1 : r ¹ 0 () a 5% e Graus de lberdade: j n Insttuto Federal farrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fa: (55)

15 Professor Maurco Lutz 15 (3) Regões de rejeção e acetação para H 0. r n- 0, ,9403 (4) Cálculo do valor da varável: t cal 9, r 1- (0,78) 0,658 (5) Conclusão: Como t >, 0017, rejeta-se H 0, conclundo, com rso de 5%, que cal há correlação entre o saláro e o número de anos de escolardade. 5) Sessenta e quatro estudantes foram submetdos a dos testes: racocíno lógco e quanttatvo e conhecmentos geras. Dos escores obtdos, foram calculadas as somas: å X 169 ; å 37 Y ; å X 1450; å Y 304; å XY 837. a)determne o coefcente de correlação. b) Ao nível de sgnfcânca de 5%, testar a estênca de correlação. a) [ ( 169) ] ( 37) [ ] [ ] [ ] -3,3% (64837)- (16937) Realzando o teste de hpótese com um 5% temos: (1) H 0 : 0 H 1 : r ¹ 0 () a 5% e Graus de lberdade: j n (3) Regões de rejeção e acetação para H , ,6607 Insttuto Federal farrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fa: (55)

16 Professor Maurco Lutz 16 (4) Cálculo do valor da varável: t cal r n- 1-r - 0, (-0,033) - 0,6157 0, ,617 (5) Conclusão: Como t <, 0017, aceta-se H 0, conclundo, com rso de 5%, que cal não há correlação entre os testes racocíno lógco e quanttatvo e conhecmentos geras. 6) A tabela a segur epressa os pesos e as alturas de 30 cranças: Peso (kg) Altura (cm) Peso (kg) Altura (cm) Ao nível de 5%, podemos afrmar que há correlação entre os pesos e as alturas? Peso () Altura (). Peso () Altura () å 890 å 461 å å 6736 å Insttuto Federal farrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fa: (55)

17 Professor Maurco Lutz 17 Ao nível de sgnfcânca de 5%, testar a estênca de correlação. a) ( )- (890461) [ ( 890) ] ( 461) [ ] [ ] [ ] , , Realzando o teste de hpótese com um 5% temos: (1) H 0 : 0 H 1 : r ¹ 0 () a 5% e Graus de lberdade: j n (3) Regões de rejeção e acetação para H 0. r n- 0, ,594 (4) Cálculo do valor da varável: t cal 4, r 1- (0,667) 0,7451 (5) Conclusão: Como t >, 0484, rejeta-se H 0, conclundo, com rso de 5%, que cal há correlação lnear entre os pesos e as alturas das 30 cranças avaladas. 7) Um grupo de pessoas fez uma avalação do peso aparente de alguns objetos. Com o peso real e a méda dos pesos aparentes, dados pelo grupo, obteve-se a tabela: Calcule o índce de correlação. Peso Real Peso Aparente Insttuto Federal farrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fa: (55)

18 Professor Maurco Lutz 18 Peso real () Peso aparente () å 44 å 474 å 4105 å å (74105)- (44474) [ ( 44) ] ( 474) , , [ ] [ ] [ ] 8) Consdere os resultados de dos testes, X e Y, obtdos por um grupo de alunos da escola A: a) Verfque, pelo dagrama, se este correlação retlínea. b) Em caso afrmatvo, calcule o coefcente de correlação. c) Escreva em poucas lnhas, as conclusões a que chegou sobre a relação entre essas varáves. d) Ao nível de sgnfcânca de 5%, testar a estênca de correlação å 45 å 194 å 5069 å 6693 å 3948 Insttuto Federal farrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fa: (55)

19 Professor Maurco Lutz 19 a) b) (105069)- (45194) [ ( 45) ] ( 194) ,308 [ ] [ ] [ ] 0, c) Este uma correlação postva entre os testes e, sgnfca que as varáves são dretamente proporconas. d) Realzando o teste de hpótese com um 5% temos: (1) H 0 : 0 H 1 : r ¹ 0 () a 5% e Graus de lberdade: j n (3) Regões de rejeção e acetação para H 0. r n- 0, ,5048 (4) Cálculo do valor da varável: t cal 5, r 1- (0,8856) 0,4645 (5) Conclusão: Como t >, 3060, rejeta-se H 0, conclundo, com rso de 5%, que há correlação entre os teste e. cal Insttuto Federal farrouplha Campus Alegrete RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fa: (55)