Estatística Experimental Medicina Veterinária. Faculadade de Ciências Agrárias e Veterinárias. Campus de Jaboticabal SP. Gener Tadeu Pereira

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1 MATERIAL DIDÁTICO Medcna Veternára Faculadade de Cêncas Agráras e Veternáras Campus de Jabotcabal SP Gener Tadeu Perera º SEMESTRE DE 04

2 ÍNDICE INTRODUÇÃO AO R AULA ESTATÍSTICA DESCRITIVA 3 º EXERCÍCIO PRÁTICO ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL 3 AULA TESTES DE SIGNIFICÂNCIA 5 º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL 35 AULA 3- DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO (DIC) 37 3º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL 58 AULA 4 TESTE DE COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS 6 4º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL 79 AULA 5 TESTES F PLANEJADOS 80 5º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL 89 AULA 6 DELINEAMENTO EM BLOCOS CASUALIZADOS (DBC) 9 6º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL 06 AULA 7 DELINEAMENTO QUADRADO LATINO (DQL) 09 7º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL 4 AULA 8 EXPERIMENTOS FATORIAIS 6 8º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL 38 AULA 9 EXPERIMENTOS FATORIAIS: ANALISANDO UM FATORIAL A X B 43 9º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL 55 AULA 0 EXPERIMENTOS EM PARCELA SUBDIVIDIDA 57 0º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL 69 AULA EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - ANÁLISE DE MEDIDAS REPETIDAS NO TEMPO 7 AULA TRANSFORMAÇÃO DE DADOS 75

3 Introdução ao R O que é o R? R é uma lnguagem e ambente para calcular estatístcas e gráfcos Ele é um projeto GNU o qual é smlar à lnguagem S e ambente a qual fo desenvolvda na Bell Laboratores, formalmente (AT&T) por John Chambers e colaboradores R pode ser consderado uma mplantação dferente do S Exstem algumas dferenças mportantes, mas mutos dos códgos escrtos para o S rodam sem modfcações no R O R fornece uma grande varedade de técncas estatístcas (modelagem lnear e não lnear, testes estatístcos clásscos, análse de séres-temporas, ) e gráfcas, e é altamente extensível Um dos pontos fortes de R é a facldade com que bem projetados gráfcos para publcações de qualdade pode ser produzdos, nclundo símbolos matemátcos e fórmulas R esta dsponível como um programa lvre ( Free Software ) sob os termos da Free Software Foundaton s GNU General Publc Lcense Instalando o R Geralmente, o sstema R conste de duas partes Uma é denomnada de Sstema básco do R para o núcleo da lnguagem R e bblotecas fundamentas assocadas A outra consste de contrbções de usuáros que desenvolvem pacotes que são aplcações mas especalzadas Ambas as partes podem obtdas do Comprehensve R Archve Network (CRAN) do ste: A nstalação do sstema R é descrto a segur Instalando o Sstema básco do R Usuáros do Wndows podem baxar a últma versão do R no endereço Em Dowload and Install R, acone o lnk que corresponde ao sstema operaconal do seu computador ( no caso do Wndows Dowload R for Wndows e depos no lnk base Depos de baxar (salvar) o arquvo executável, basta executá-lo e segur a rotna de nstalação Neste mesmo endereço são dsponblzadas versões do R nas plataformas do Lnux,e MacOS X O endereço acma é o local dsponível mas próxmo de Jabotcabal, no caso a USP/Prassununga, SP

4 3 Aula Estatístca Descrtva Símbolos: conjunto de dados e da somatóra Conjunto de dados: Consdere uma varável aleatóra de nteresse representada pela letra maúscula Y e os valores específcos assumdos por esta varável aleatóra pelas letras mnúsculas Para dstngur um valor do outro, utlzamos um subscrto Por exemplo,,,, n Em geral, um valor típco da varável aleatóra será desgnado por e o valor fnal desta amostra por n, sendo que n representa o tamanho da amostra Uma notação compacta para representar a soma de todos os valores de uma varável aleatóra de nteresse, por exemplo, Y, é n n A letra grega Σ (sgma) é usada como símbolo da soma para a soma e para o valor da observação, denomnado de snal de soma, será usado extensvamente neste curso Alguns exemplos e propredades da somatóra: A soma de n números,,, n, como vmos, pode ser expressa por n A soma dos quadrados de n números n n n,,, n é: A soma dos produtos de dos conjuntos de n números e,,, n : n x x x x n n x x,, x, Exemplo: Consdere um conjunto de 3 números:, 3 e 6 Os números Y,, 3,3,6 A soma e a soma dos quadrados destes números são: são smbolzados por: n 3 6 0, Consdere outro conjunto de números x, x 4 e x 3 5 A soma dos produtos de x e é: 3 x As três prncpas regras da adção são: n ()()(4)(3)(5)(6) 44 A soma da adção de dos conjuntos de números é gual à adção das somas n ( x ) x n n n

5 4 A soma dos produtos de uma constante k e uma varável Y é gual ao produto da constante pela soma dos valores da varável ( ) n k k 3 A soma de n constantes com valor k é gual ao produto n k n n k k k k n k Atenção: notem que o cálculo da expressão n, denomnada de soma de quadrados é dferente do cálculo da expressão n ( ) ( ), denomnada de quadrado da soma n Outras notações: n + = n, e n n Notação com dos subescrtos Consdere dos grupos de dados n grupo controle: { 5, 7, 5, 4 }, o qual é representado por, 7, 5, 4, grupo tratado: { 7, 9, 6, 9, 8 }, o qual é representado por 7, 9, 3 6, 4 9, 5 8, sendo, =,, representando os grupos e j =,,, r representando as repetções dentro de cada grupo j Calcular o valor da expressão r Exemplo de Tabela de dupla entrada Qualquer observação é representada por j, sendo que, o índce refere-se às lnhas (=,,, k) e o índce j refere-se às colunas (j=,,, r) Colunas Lnhas 3 j r Total Méda 3 r + 3 r r 3+ r ( j j n ) k k k k3 kr k+ k Total + Y j +r ++ Méda 3 j j+ 3 j r

6 5 j é o total da j ésma coluna; é o total da ésma lnha; j é a méda da j ésma coluna; é a méda da ésma lnha; é o total geral( soma de todas as observações ); é a méda geral Meddas de tendênca central Um dos aspectos mas mportantes do estudo de um conjunto de dados é a posção do valor central Qualquer valor numérco que representa o centro de um conjunto de dados é denomnado de medda de locação ou medda de tendênca central As duas meddas mas comumente utlzadas é méda artmétca, ou smplesmente a méda, e a medana Méda artmétca A mas famlar medda de tendênca central é a méda artmétca Ela é a medda descrtva que a maora das pessoas tem em mente quando elas falam de méda A méda pode ser expressa como n n n n n Vamos supor que a varável aleatóra Y assume os seguntes valores, { 0, 54,, 33, 53 }, então a méda destes 5 valores é dada por: Scrpt no R para o cálculo da méda # calculo da méda pela defnção <-c(0,54,,33,53) meda<-sum()/length() 34, # pela função mean( ) meda<-mean() Propredades da méda; a) Únca Para um conjunto de dados exste uma e somente uma méda artmétca b) Smplcdade A méda artmétca é fácl de ser entendda e fácl de ser calculada c) Dado que toda observação do conjunto de dados entra no seu cálculo, ela é afetada por cada valor Valores extremos têm nfluênca na méda e, em algumas stuações podem ocorrer dstorções, o que pode torná-la uma medda ndesejável como medda de tendênca central Medana Uma alternatva à méda artmétca como medda de tendênca central é a medana A medana de um conjunto de valores fntos é o valor que ocupa a posção central dos dados ordenados, ou seja, aquele valor o qual dvde o conjunto de dados em duas partes guas tal que o número de valores guas ou

7 6 maores que a medana é gual ao número de valores menores ou guas que a medana Temos que consderar duas stuações: ( k ) ~ ( ( k ) se n k ( n é mpar ) ( k ) ) se n k( n é par ) Exemplos: Consdere os dados 0, 54,, 33, 53, com n=5 observações, e a seqüênca ordenada fca 0,, 33, 53, 54 A medana é calculada como sendo a observação que ocupa a 3ª posção da seqüênca ordenada, ou seja, n k k ( n /), ou seja, k ~ 33 ( ) (3 ) Consdere os dados 0, 54,, 33, 53, 55, e a seqüênca ordenada fca 0,, 33, 53, 54, 55 Como o número de observações é par e a medana é calculada como sendo a méda das observações que ocupam a posção central, ou seja, n k k ( n /), ou seja, k 3 ~ ( (3 ) (3 ) ) ( (3 ) (4 ) (33 53) 43 Scrpt no R para o cálculo da medana # calculo da medana pela função medan( ) medana<-medan() Propredades da medana; a) Únca Assm como a méda, para um conjunto de dados exste uma e somente uma medana b) Smplcdade A medana é fácl de ser calculada c) Ela não é drastcamente afetada por valores extremos, como a méda 3 Moda A moda é comumente defnda como a observação mas freqüente do conjunto de dados Se todas as observações são dferentes não exste moda; por outro lado um conjunto de dados pode ter mas de uma moda Exemplo: consdere o conjunto de dados {98, 0, 00, 00, 99, 97, 96, 95, 99, 00}, então a moda é mo = 00, e no conjunto de dados, abaxo, { 0,, 0, 0, 34,, 4, 7, 7, 7} exste duas modas 0 e 7 (bmodal)

8 7 a) b) c) d) Fgura Dstrbuções de freqüênca mostrando as meddas de tendênca central Dstrbuções em a) e b) são smétrcas, c) é postvamente assmétrca, e d) é negatvamente assmétrca As dstrbuções a), c), e d) são unmodal, e a dstrbução b) é bmodal 3 Meddas de dspersão Apesar das meddas de tendênca central fornecerem uma déa do comportamento de um conjunto de dados, elas podem esconder valosas nformações Essas meddas não são sufcentes para descrever ou dscrmnar dferentes conjunto de dados Por exemplo, a Fgura 3 mostra os polígonos de freqüênca duas varáves que possuem a mesma méda, mas dferentes valores de dspersão A varável B, a qual tem maor varabldade que a varável A, é mas espalhada A dspersão de um conjunto de dados se refere à varedade que eles exbem Uma medda de dspersão fornece nformação a respeto da quantdade de varabldade presente no conjunto de dados Fgura 3 Dos polígonos de freqüênca com a mesma méda, mas com dferentes quantdades de dspersão Se todos os valores do conjunto de dados são guas, não exste dspersão; se eles são dferentes, a dspersão está presente nos dados A quantdade de dspersão pode ser pequena, quando os dados, embora dferentes, são muto próxmos 3 Ampltude A ampltude é defnda como a dferença entre o maor e o menor valor do conjunto de dados O problema desta medada é que ela só leva em conta dos valores do conjunto de dados e, assm, sera mas convenente consderarmos uma medada que utlzasse todas as observações do conjunto de dados A prmera déa que ocorre é consderar o desvo de cada

9 observação em relação a um ponto de referênca e então calcular a sua méda Se tomarmos a méda artmétca como este ponto de referênca, temos a segunte stuação: Seja o conjunto de dados,,, n e, a méda destes dados Defnremos por d, os desvos destas observações em relação à sua méda Por exemplo, consdere os dados 4, 5, 3 6 e 4 9 Assm temos: , 4 d (4 6), d (5 6), d (6 6) 0, d (9 6) Reparem que a soma dos desvos é gual a zero, ou seja, d 0 Isto pode ser provado algebrcamente, da segunte forma, n d n n n n n n n ( ) n n n 4 0 n Portanto a soma destes desvos não sera nada nformatva sobre a dspersão dos dados Defnremos então, uma medda que utlza o quadrado dos desvos em relação à méda 3 Varânca e desvo-padrão A varânca de um conjunto de dados, é defnda como méda dos desvos das observações em relação à méda ao quadrado, ou seja, ( ) ( ) ( n ) s n Para manter a mesma undade dos dados orgnas, é convenente defnrmos o desvo-padrão como sendo a raz quadrada postva da varânca s, ( ) ( ) ( n ) s n A varânca amostral é frequentemente calculada usando-se a fórmula mas rápda e prátca ( n ) s n n n n ( n ) n n Exemplo: Os pesos (em pounds) de uma amostra aleatóra de trutas em um lago são:,9; 0,93;,40;,7; 0,89;,74;,06;,6;,47;,5 8 A méda artmétca destes dados é 3,7 (,9 0,93,5) 0 0 E a varânca é,37pounds

10 9 s (,9,37) (0,93,37) (,5,37) 0 0,87( pounds) Alternatvamente, temos (,9 0,93,5) s,9 0,93, ,70 0,74 0,87( pounds), e 9 0 s 0,87 0,47pounds Scrpt no R para os cálculos acma # entrando com os dados pelo comando concaternar c( ) peso <- c(9, 093, 40, 7, 089, 74, 06, 6, 47, 5) # cálculo da méda pela defnção com os comandos sum() e length() mpeso <- sum(peso)/length(peso) mpeso # cálculo da méda pela função mean() mpeso <- mean(peso) mpeso # # para saber mas detalhes da função mean() execute o comando??mean() # # 3 formas de se calcular a varânca pelas fórmulas do tem 34 vpeso <- sum((peso-mean(peso))^)/(length(peso)-) vpeso vpeso <- (sum(peso^)-sum(peso)^/length(peso))/(length(peso)-) vpeso # cálculo pela função var( ) v3peso <- var(peso) v3peso # cálculo do desvo padrão pela defnção sdpeso <- sqrt(v3peso) sdpeso # cálculo do desvo padrão pela função sd( ) sdpeso <- sd(peso) sdpeso 33 Quarts Alguns quarts são defndos de modo análogo à medana Assm como a medana dvde o conjunto de dados em duas partes, os quarts dvdem os dados em quatro partes O segundo quartl, representado por Q é gual à

11 medana, então Q ~ O prmero quartl, Q é defndo como aquele valor do conjunto de dados tal que não mas que 5% dos dados têm valores menores que Q e não mas que 75% dos dados têm valor maor que Q O tercero quartl, Q 3, pode ser defndo de manera smlar Assm como a medana, mas de uma observação pode satsfazer a defnção dos quarts As seguntes fórmulas podem ser utlzadas para calcular o prmero e o tercero quarts de um conjunto de dados n Q ésma observação ordenada 4 (3 n ) Q3 ésma observação ordenada 4 34 Gráfco BOX-PLOT O gráfco tpo Box-plot é um recurso vsual útl de comuncação da nformação contda em conjunto de dados O objetvo de um gráfco tpo Box- Plot é mostrar as prncpas característcas de um conjunto de dados Para nterpretar um gráfco Box-Plot adequadamente, os valores devem ser vsualzados como pontos de lnha horzontal/vertcal localzada no centro do gráfco Valores grandes correspondem a grandes pontos na horzontal/vertcal Exstem três componentes mportantes no gráfco Box-plot: A caxa, a qual contém 50% dos valores, começa no prmero quartl Q e termna no tercero quartl, Q 3 As duas pontas (whskers), se extendem acma e abaxo da caxa até a localzação da maor e da menor observação que estão dentro da dstânca de 5 vezes o ntervalo nterquartl Os valores atípcos outlers, são os valores fora das pontas Exemplo: Consdere os dados a segur, os quas se referem a peso (g) de tumores cancerígenos extraídos do abdome de 57 cães O conjunto ordenado fca: Assm, a menor e a maor observação é e 79, respectvamente O número de observações é 57 O prmero quartl é a observação 0 e o tercero quartl 57 Q 45 (4,5 ) 5 g, 4 (3 57 ) Q (43,5 ) 46,5 g 4 Scrpt no R para os cálculos acma

12 # entrando com os dados ptumor <- c(68, 63, 4, 7, 30, 36, 8, 3, 79, 7,, 3, 4, 5, 44, 65, 43, 5, 74, 5, 36, 4, 8, 3, 8, 5, 45,, 57, 5,, 3, 49, 38, 4, 7, 3, 50, 38,, 6, 4, 69, 47, 3,, 43, 7, 49, 8, 3, 9, 46, 30, 43, 49, ) # observação mínma dos dados do vetor ptumor pela função mn() mnptumor <- mn(ptumor) mnptumor # observação máxma dos dados do vetor ptumor pela função max() maxptumor <- max(ptumor) maxptumor # cálculo da ampltude pela defnção ampltude<-maxptumor-mnptumor ampltude # cálculo do quantl 00 com a função quantle() q0 <- quantle(ptumor,00) q0 # cálculo do prmero quartl Q q <- quantle(ptumor,05) q # cálculo do prmero quartl Q q <- quantle(ptumor,050) q # cálculo do tercero quartl Q3 q3<- quantle(ptumor,075) q3 # calculo da medana medana<- medan(ptumor) medana # reparem que a medana é gual ao segundo quartl # cálculo dos 3 quarts (05, 050, 075) de uma únca vez quarts <- c(05,050,075) quantle(ptumor,quarts) # apresentando a função summar( ) summar(ptumor) # gráfcos pela função boxplot() boxplot(ptumor) # gráfco default

13 # ncrementando o gráfco boxplot(ptumor, col=, # colocando cor no gráfco horzontal= T, # na posção horzontal man= "Gráfco Box-Plot") # colocando título prncpal Gráfco produzdo pela últma função boxplot( ) O exame deste Gráfco revela que 50% das observações estão no retângulo entre os valores do Q=5 e Q3=46,5 A lnha vertcal dentro da caxa representa o valor da medana, Q, a qual é 3 A longa cauda a dreta do gráfco ndca que a dstrbução de peso de tumores é levemente assmétrca à dreta O símbolo da bolnha ndca que exste uma observação atípca neste conjunto de dados, observação cujo valor é 79, com uma probabldade de ocorrênca muto baxa 35 Meddas da forma da dstrbução As meddas da forma de uma dstrbução são os coefcentes de assmetra (skewness) e curtoss (kurtoss) Assmetra é uma medda da assmetra da dstrbução de freqüênca Ela mostra se os desvos da méda são maores de um lado do que do outro lado da dstrbução Ela é dada por n 3 n ass ( n )( n ) s Para uma dstrbução smétrca o coefcente de assmetra é zero Ela é postva quando a cauda da dreta é mas alongada e negatva quando a cauda da esquerda é mas alongada a) b) Fgura 33 Ilustrações da assmetra a) negatva e b) postva Curtoss é uma medda da forma das caudas de uma dstrbução Ela é dada por

14 n ( n n ) (3 n ) ct ( n )( n )( n 3) s ( n )( n 3) Para varáves, tas como, peso, altura ou produção de lete, espera-se que a dstrbução de freqüênca seja smétrca em torno da méda e tenha a forma de um sno Estas são as dstrbuções normas Se as observações têm dstrbução normal então a curtoss é gual a zero (ct = 0) Uma dstrbução com curtoss postva tem uma grande freqüênca de observações próxmas da méda e caudas fnas Uma dstrbução com curtoss negatva tem as caudas mas grossas e uma baxa freqüênca de dados perto da méda Scrpt no R para os cálculos dos coefcentes de assmetra e curtoss # defnndo uma função para o cálculo do coef de assmetra ass<-functon(x){ # níco da função m3<-sum((x-mean(x))^3) s3<-sd(x)^3 n <- length(x);n_ <- length(x)-; n_ <- length(x)- coef<- n/(n_*n_) coef*m3/s3 } # térmno da função # aplcando a função ass( ) aos dados de ptumor ass(ptumor) # defnndo uma função para o cálculo do coef de curtoss ct <-functon(x) { # nco da função m4<-sum((x-mean(x))^4) s4<-sd(x)^4 n<-length(x);coef<-n*(n+)/((n-)*(n-)*(n-3));coef<- 3*(n-)^/((n-)*(n-3)) coef*m4/s4 - coef} # térmno da função # aplcando a função aos dados de ptumor ct(ptumor) # defnndo uma função ed( ) que calcula todas as estatístcas descrtvas ed<-functon (x) { # nco da funçao meda<-mean(x) # cálculo da méda dp<-sd(x) # cálculo do desvo padrão mnmo<-mn(x) # cálculo do mínmo maxmo<-max(x) # cálculo do máxmo q<-quantle(x,05) # cálculo do quartl medana<-medan(x) # cálculo da medana q q3<-quantle(x,075) # cálculo do tercero quartl cv<-sd(x)/mean(x)*00 # cálculo do coef varação # cálculo do coef de assmetra m3<-sum((x-mean(x))^3) s3<-sd(x)^3 n <- length(x) coef<- n/((n-)*(n-)) ass<-coef*m3/s3 # cálculo do coef curtoss 4 3

15 Frequênca m4<-sum((x-mean(x))^4) s4<-sd(x)^4 n<-length(x) coef<-n*(n+)/((n-)*(n-)*(n-3)) coef<- 3*(n-)^/((n-)*(n-3)) ct<-coef*m4/s4 - coef # defnndo a saída c(mínmo=mnmo,q=q,méda=meda,medana=medana,desv_pad=dp, Q3=q3,máxmo=maxmo,CV=cv,Assmetra=ass,Curtoss=ct) } # fnal da função ed( ) # aplcando a função ed( ) aos dados de ptumor round(ed(ptumor),) # a função round( ) controla as casas decmas Abaxo estão estas estatístcas calculadas pelo scrpt acma mínmo Q5% medana desv_pad Q375% máxmo CV Assmetra Curtoss Hstograma O gráfco do hstograma é outro recurso vsual muto usado para a análse da forma da dstrbução No scrpt do R abaxo são apresentados alguns exemplos doa função hst( ) e sua correspondênca com o gráfco Box- Plot # hstograma dos dados ptumor hst(ptumor) # default # hstograma com mas opções hst(ptumor, col="lght blue", # colocando a cor azul xlab=" Classes de Peso (g)", # título do exo x lab="frequênca", # título do exo nclass=8, # número de colunas border="dark blue") #colocando bordas no gráfco Saída fornecda pelo scrpt acma Hstograma Classes de Peso (g) Apresentação do hstograma e do Box-Plot juntos # dvdndo a janela gráfca em lnhas e coluna par(mfrow=c(,))

16 Frequênca # hstograma hst(ptumor, col="lght blue", xlab=" Classes de Peso (g)", lab="frequênca", nclass=8, border="dark blue", man="hstograma") # colocando a cor azul # título do exo x # título do exo # número de colunas # colocando bordas no gráfco # título prncpal # gráfco box plot boxplot(ptumor, col=, # colocando cor no gráfco horzontal= T, # na posção horzontal man= "Gráfco Box-Plot") # colocando título prncpal Hstograma Classes de Peso (g) Gráfco Box-Plot Gráfcos para dados com uma classfcação é uma ferramenta muto útl na ánalse exploratóra de dados Consdere a questão nº da ª Lsta de exercícos, apresentada ao fnal da Aula Nesta questão é solctado a construção do gráfco de barras para cada tpo de comda O scrpt no R para construr estes gráfcos é: # entrando com todas as observações nmoscas<-c(5,0,3,6,,,3,33,38,8,5,0,,3,9,6,40,0,9,3, 6,9,0,,,,3,,5,6,,7,3,0,8,9,9,9,9,9) # defnndo um vetor para cada tpo de comda tcomda <- c(rep("cregular",0),rep("csuco",0)) #calculando a méda para cada tpo de comda com o comando tappl() mmoscas<-tappl(nmoscas,tcomda,mean) #calculando o desvo-padrão para cada tpo de comda com o comando tappl() sdmoscas<-tappl(nmoscas,tcomda,sd) # gráfco de barras do valor médo de cada tpo de comda barmoscas<-barplot(mmoscas, cexnames=07, xlab="comda",col=c(,3), lab="comprmento médo (±sd)", lm=c(0,max(mean(mmoscas)+sd(mmoscas)*))) # colocando os exos do desvo-padrão no gráfco de barras

17 6 arrows(barmoscas,mmoscas-sdmoscas, barmoscas,mmoscas+sdmoscas, length=0, angle=90, code=3) # gráfco Box-plot para cada tpo de comda boxplot(nmoscas~tcomda,col=c(,3)) 37 Coefcente de varação (CV) O desvo-padrão é útl como medda de varação dentro de um conjunto de dados Quando desejamos comparar a dspersão de dos conjuntos de dados, a comparação dos desvos-padrões dos dos conjuntos de dados pode nos levar a conclusões falsas Pode acontecer que as duas varáves envolvdas estão meddas em undades dferentes Por exemplo, podemos estar nteressados em saber se os níves do soro de colesterol, meddo em mlgramas por 00 ml são mas varáves do que o peso corporal, meddo em klograma O que é necessáro nesta stuação é o uso de uma medda de varação relatva do que uma medda absoluta Tal medda é o COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV), a qual expressa o desvo padrão como uma porcentagem da méda, e sua fórmula é s cv (00)%, a qual é uma medda ndependente da undade Exemplo: consdere os valores abaxo de méda e desvo-padrão de dos grupo de cães, dentfcados pelas suas dades Amostra Amostra Grupo 0 anos 4 anos Peso médo Desvo-padrão 0 0 Uma comparação dos seus respectvos desvos-padrões leva a uma conclusão de que as duas amostras têm a mesma varabldade Se calcularmos os coefcentes de varação, para o grupo 0 cv ( 00) 6, 9% 45 e para o grupo, 0 cv ( 00), 5%, 80 e comparando estes resultados temos uma mpressão bem dferente O grupo tem uma varabldade de,8 vezes maor em relação ao grupo O coefcente de varação é muto útl na comparação de resultados obtdos por dferentes pesqusadores que nvestgam a mesma varável Vsto que o coefcente de varação é ndependente da undade, ele é útl para comparar a varabldade de duas ou mas varáves meddas em dferentes undades # defnndo uma função para o cálculo do coefcente de varação cv <- functon(x) sd(x)/mean(x)*00 # aplcando a função aos dados de ptumor cv(ptumor) 4ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL

18 4 INTRODUÇÃO Numa pesqusa centífca o procedmento geral é formular hpóteses e verfcá-las dretamente ou por suas conseqüêncas Para sto é necessáro um conjunto de observações e o planejamento de expermentos é então essencal para ndcar o esquema sob o qual as hpóteses possam ser verfcadas com a utlzação de métodos de análse estatístca que dependem da manera sob a qual as observações foram obtdas Portanto, planejamento de expermentos e análses dos resultados estão ntmamente lgados e devem ser utlzados em uma seqüênca nas pesqusas centífcas das dversas áreas do conhecmento Isto pode ser vsto por meo da segunte representação gráfca da crculardade do método centífco () Observações () (3) Formulação de Hpóteses Verfcação das Hpóteses formuladas (4) Desenvolvmento da Teora Fca evdente nesta lustração que as técncas de planejamento devem ser utlzadas entre as etapas () e () e os métodos de análse estatístca devem ser utlzados na etapa (3) Desenvolvendo um pouco mas está déa podemos dzer que uma pesqusa centífca estatstcamente planejada consste nas seguntes etapas: Enuncado do problema com formulação de hpóteses Escolha dos fatores (varáves ndependentes) que devem ser ncluídos no estudo 3 Escolha da undade expermental e da undade de observação 4 Escolha das varáves que serão meddas nas undades de observação 5 Determnação das regras e procedmentos pelos quas os dferentes tratamentos são atrbuídos às undades expermentas (ou vceversa) 6 Análse estatístca dos resultados 7 Relatóro fnal contendo conclusões com meddas de precsão das estmatvas, nterpretação dos resultados com possível referênca a outras pesqusas smlares e uma avalação dos tens de a 6 (desta pesqusa) com sugestões para possíves alterações em pesqusas futuras Ilustrações destas etapas com exemplos Enuncado do problema Como vmos uma pesqusa centífca se nca sempre com a formulação de hpóteses Essas hpóteses são prmeramente formuladas em termos centífcos dentro da área de estudo (hpótese centífca) e em seguda em termos estatístcos (hpótese estatístca) Deve haver uma correspondênca perfeta entre as hpóteses centífca e estatístca para evtar ambgüdade Portanto, no enuncado do problema, a hpótese centífca deve ser formulada de manera precsa e objetva 7

19 Exemplo:Um pesqusador está nteressado em estudar o efeto de város tpos de ração que dferem pela quantdade de potásso no ganho de peso de determnado tpo de anmal Este objetvo pode ser atngdo se planejarmos a pesqusa com uma das seguntes fnaldades: a) comparar as médas dos aumentos de peso obtdas com cada uma das rações (gualdade das médas); b) Estabelecer uma relação funconal entre o aumento do peso médo e a quantdade de potásso Escolha dos fatores e seus respectvos níves No exemplo apresentado em, a varável ndependente ração é um fator e os tpos de rações são os níves deste fator, ou tratamentos Assm, em um expermento para se estudar o efeto de 4 rações e 3 suplementos no ganho de peso de anmas, temos dos fatores: ração com quatro níves e suplementos com 3 níves Podemos dzer que este expermento envolve tratamentos, correspondentes às combnações dos níves dos dos fatores Pelo própro conceto de fator, temos que em um expermento, a escolha dos fatores e seus respectvos níves é bascamente um problema do pesqusador No entanto é mportante para o planejamento e análse dstngurmos as duas stuações, descrtas a segur: a) uma fazenda de nsemnação adquru 5 touros de uma determnada raça para a produção de sêmen, e está nteressada em realzar um expermento para verfcar se os cnco touros são homogêneos quanto a produção de sêmen b) A mesma fazenda de nsemnação está nteressada em realzar um expermento para verfcar se a produção de sêmen de touros, de uma determnada raça, é homogênea Como a população de touros da fazenda é muto grande o pesqusador decdu realzar um expermento com uma amostra de touros (5 touros), mas as conclusões devem ser estenddas para a população de touros Na stuação descrta em a) dzemos que o fator touro é fxo e na stuação em b) o fator touro é aleatóro A dferença fundamental entre estes dos tpos de fatores é, então, que no caso de fatores fxos, as conclusões se referem apenas aos níves do fator que estão presentes no expermento No caso de fatores aleatóros as conclusões devem ser estenddas para a população de níves 3 Escolha da undade expermental Em um grande número de stuações prátcas a undade expermental é determnada pela própra natureza do materal expermental Por exemplo, expermentos com anmas, em geral a undade expermental é um anmal Em outras stuações a escolha de outras undades expermentas não é tão evdente, exgndo do pesqusador juntamente com o estatístco algum estudo, no sentdo de escolher a undade expermental mas adequada A escolha de uma undade expermental, de um modo geral, deve ser orentada no sentdo de mnmzar o erro expermental, sto é, as undades devem ser as mas homogêneas possíves, para, quando submetdas a dos tratamentos dferentes, seus efetos, sejam faclmente detectados 8

20 4 Escolha das varáves a serem meddas As meddas realzadas nas undades expermentas após terem sdo submetdas aos tratamentos consttuem os valores da varável dependente A varável dependente, em geral, é pré-determnada pelo pesqusador, sto é, ele sabe qual varável que ele quer medr O que consttu problema, às vezes, é a manera como a varável é medda, pos dsto dependem a precsão das observações, e a dstrbução de probabldade da varável a qual é essencal para a escolha do método de análse Assm, por exemplo, se os valores de uma varável são obtdos dretamente por meo de um aparelho de medda (régua, termômetro, etc) a precsão das observações va aumentar se, quando possível, utlzarmos como observação a méda de três meddas da mesma undade expermental Com relação à dstrbução de probabldade em mutas stuações as observações não são obtdas dretamente e sm por expressões matemátcas que as lgam a outros valores obtdos dretamente Neste caso, a dstrbução de probabldade das observações va depender da dstrbução de probabldade da varável obtda dretamente e da expressão matemátca que as relacona Portanto, as varáves, necessaramente presentes em um expermento são: a varável dependente, medda nas undades expermentas, e o conjunto de fatores (varáves ndependentes) que determnam as condções sob as quas os valores da varável dependente são obtdos Qualquer outra varável que possa nflur nos valores da varável dependente deve ser mantda constante 5 Regras segundo as quas os tratamentos são atrbuídos às undades expermentas Nas dscussões apresentadas em cada um dos tens anterores a colaboração da estatístca é bem lmtada exgndo-se a essencal colaboração do pesqusador Porém, o assunto dscutdo neste tem é o que poderíamos denomnar de planejamento estatístco de expermento Trata-se das regras que assocam as undades expermentas aos tratamentos e que pratcamente determnam os dferentes planos expermentas, ou seja, a Aleatorzação ou Casualzação Lembramos, neste ponto, que os tratamentos são cada uma das combnações entre os níves de todos os fatores envolvdos no expermento Para que a metodologa estatístca possa ser aplcada aos resultados de um expermento é necessáro que em alguma fase do expermento, o prncpo a ser obedecdo é o da Repetção, segundo o qual devemos ter repetções do expermento para que possamos ter uma medda da varabldade necessára aos testes da presença de efetos de tratamentos ou a estmação desses efetos Aleatorzação Aleatorzação é a desgnação dos tratamentos às undades expermentas, tal que estas têm a mesma chance (mesma probabldade) de receber um tratamento Sua função é assegurar estmatvas não-vesadas das médas dos tratamentos e do erro expermental Nesta fase do planejamento de um expermento já sabemos quas fatores serão estudados e o número de níves de cada fator que estarão presentes no expermento Sabemos anda qual é a undade expermental escolhda e a varável dependente Podemos magnar que de um lado temos um conjunto 9

21 U de undades expermentas, e de outro, T um conjunto de tratamentos, que podem ser as combnações dos níves de todos os fatores envolvdos Precsamos estabelecer esquemas que assocam subconjuntos de elementos de U a cada elemento de T Vamos apresentar o esquema mas smples Para efeto de notação vamos supor que o conjunto U tem n elementos, o conjunto T tem a elementos, e o número de elementos de U submetdos ao tratamento T é n, com =,,, a, de tal modo que k n n O número de undades expermentas n para cada tratamento T é determnado a partr de nformações sobre a varabldade das undades expermentas em termos da varabldade da varável dependente O plano completamente aleatorzado é um esquema em que as undades expermentas que vão ser submetdas a cada tratamento são escolhdas completamente ao acaso Isto sgnfca que cada undade expermental tem gual probabldade de receber qualquer um dos tratamentos Por exemplo, um pesqusador quer realzar um expermento para estudar o efeto de um resíduo ndustral que é adconado em rações de anmas Ele suspeta que este resíduo contenha uma substânca tóxca, cuja presença no organsmo, produz um aumento relatvo de alguns órgãos, como o fígado, por exemplo Após uma entrevsta com o pesqusador consegumos as seguntes nformações O expermento rá envolver um únco fator, ração, com três níves: t - ração normal, sem resíduo ndustral (grupo controle; t - ração normal com o resíduo tratado, e t 3 - ração normal com resíduo não tratado Portanto, o conjunto T tem três tratamentos Um conjunto U, é formado por um grupo de 8 camundongos todos, recém nascdos, com o mesmo peso ncal e homogêneos com relação às característcas genétcas geras Por sto fo decddo dstrbur completamente ao acaso 6 anmas para cada tratamento A varável dependente (resposta) é o peso relatvo do fígado após 90 das do níco do expermento Uma manera de se proceder ao sorteo é a segunte: enumera-se as undades expermentas de a 8 coloca-se os tratamentos em seqüênca, por exemplo: T T T T T T, T T T T T T, T 3 T 3 T 3 T 3 T 3 T 3 sortea-se uma sequênca de 8 números aleatóros Pode-se obter, por exemplo, a sequênca : 3,,, 5, 8, 6, 4, 5, 9,, 8, 7, 7, 4,, 6, 3, 0 Gerando uma seqüênca de números aleatóros no R: # gerando uma sequenca de números de a 8 x<-seq(:8) x # sequenca aleatóra de tamanho 8 de x sample(x,8,replace=f) 0

22 Saída fornecda pelo R > # gerando uma sequenca de números de a 8 > x<-seq(:8) > x [] > > # sequenca aleatóra de tamanho 8 de x > sample(x,8,replace=f) [] Dstrbução das undades expermentas aos tratamentos de acordo com a seqüênca gerada no R Trat Repetções T u 4 u 5 u 7 u 0 u 7 u 8 T u 6 u 3 u u 4 u u 3 T 3 u 9 u u 8 u 6 u 5 u Este plano expermental é mas efcente quanto maor for o grau de homogenedade entre as undades expermentas em termos da varável dependente Se as undades expermentas são heterogêneas o número n de undades expermentas necessáras para uma boa precsão pode ser muto grande Algumas alterações no planejamento descrto, tal como, a ntrodução de blocos, ou smplesmente a utlzação de uma co-varável medda nas undades expermentas, a qual é correlaconada com à varável dependente, podem reduzr consderavelmente o erro expermental Observações: ) o plano expermental completamente aleatorzado não depende do numero de fatores envolvdos e nem da manera pela qual os fatores são combnados ) Exstem alguns fatores que pela própra natureza, mpõe restrções na aleatorzação, porém para efeto de análse, o expermento é consderado completamente aleatorzado Plano expermental em blocos Quando o conjunto U de undades expermentas for muto heterogêneo (em termos da varável ndependente), o plano expermental completamente aleatorzado torna-se pouco precso, pos o erro expermental fca muto grande Em algumas stuações dspomos de nformações segundo as quas, antes da realzação do expermento, é possível agruparmos as undades expermentas mas ou menos homogêneas, em que a é o número de tratamentos envolvdos no expermento Estes subconjuntos são denomnados de blocos Assm, a maor parte da heterogenedade nterna do conjunto U é expressa pela heterogenedade entre blocos A dstrbução das undades expermentas entre os tratamentos obedece a uma restrção mposta pelos blocos, sto é, as a undades de cada bloco são dstrbuídas aleatoramente entre os tratamentos Na análse de um expermento em blocos, além dos fatores de nteresse, deve-se levar em conta o fator expermental bloco, dmnundo desta forma o erro expermental Quanto maor for a heterogenedade entre blocos, maor é a efcênca deste plano expermental em relação ao completamente aleatorzado Exemplo: Um pesqusador deseja testar o efeto de três tratamentos (T, T, T 3 ) no ganho de peso de ovelhas Antes do nco do expermento as

23 ovelhas foram pesadas e ordenadas de acordo com o peso e atrbuídas a 4 blocos Em cada bloco tnham 3 anmas aos quas os tratamentos foram sorteados Portanto, anmas foram usados Repetção Repetção sgnfca que o mesmo tratamento é aplcado sobre duas ou mas undades expermentas Sua função é fornecer uma estmatva do erro expermental e dar uma medda mas precsa dos efetos dos tratamentos O número de repetções requerdas em um partcular expermento depende da magntude das dferenças que o pesqusador deseja testar e da varabldade da varável dependente em que se esta trabalhando

24 º EXERCÍCIO PRÁTICO ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL ) Em um estudo genétco, uma almentação regular era colocada em 0 frascos e o número moscas de um determnado genótpo era contado em cada frasco O número de moscas também era contado em outros 0 frascos que contnham suco de uva O número de moscas contados foram: Número de moscas Comda regular Suco de uva (a) Calcule a méda amostral, a varânca amostral, o desvo padrão amostral e o coefcente de varação de cada conjunto de dados Comente Qual destes dos conjuntos de dados tem maor varabldade? (b) Calcule a méda amostral, a varânca amostral, o desvo padrão amostral de cada conjunto de dados utlzando os recursos medatos de sua calculadora (c) Para cada conjunto de dados utlze o R para calcular a méda, a medana, o Q, o Q 3, a observações mínma e máxma, construa os gráfcos do Hstograma, do Box- Plot, e o gráfco de barras com os desvo-padrões para cada tpo de comda Comente os resultados ) Demonstre sua famlardade com a notação da somatóra, desdobrando-as e calculando as seguntes expressões com x =, x = -, x 3 = 4, e x 4 = 5: Dca para o tem (a) 4 (a) 4 x 4 (b) 4 4 x x x x 3 x 4 ( ) x 4 4 (c) ( x 3) (d) ( x 4) (e) ( x 4) 4 (f) x (g) ( x ) (h) ( x 4x 4) 3) Uma observação qualquer do conjunto de dados abaxo pode ser representada por j, com o índce =,, 3 controlando as lnhas e j=,, 3, 4, 5, 6 controlando as colunas Por exemplo, 3 = 00 Calcule as seguntes expressões (fazendo o desdobramento): b) j c) j j d) j j a) C C C 3 C 4 C 5 C 6 L L L j e) j j 4) Os dados a segur referem-se ao nível de glcose em sangue de 0 cães Calcule manualmente e depos utlze o R para calcular: a) méda; b) a medana; c) mínmo e máxmo; d) os quarts Q e Q 3 Construa o hstograma e gráfco tpo Box Plot Comente a respeto da dspersão dos dados 7) Determnações de açúcar no sangue ( mg/ 00ml ) foram fetas em 5 raças de anmas expermentas, sendo 0 amostras por raça Os resultados foram: Raças A B C D E

25 4 Utlze o R para calcular para cada raça: a) méda; b) a medana; c) desvo padrão; d) o erro padrão; e) mínmo e máxmo; f) os quarts Q e Q 3 Construa o hstograma, o gráfco tpo Box-Plot e o gráfco de barras para cada raça Comente a respeto da dspersão dos dados em cada raça Somatóro e Algebrsmo c) Seja Y a varável tempo de recuperação da anestesa de tlápas, com 0 observações: Y = { 7,0; 8,9; 8,7; 0,5; 8,9; 6,; 43,9 } Calcular passo-a-passo: 7 a) b) c) Quadrado da Soma 7 ; e) Suponha k = 5, calcule k ; 7 ; d) Soma de Quadrados f) Consderando-se Y como uma constante, desenvolva algebrcamente o segunte quadrado: n ( ), lembre-se que n n g) Reescreva a expressãos ( ) em função do desenvolvmento do tem f n h) Consdere a varável X tempo (segundos) de ndução da anestesa para as mesmas 7 tlápas, respectvamente: X = {65; 83; 6; 47; 46; 5; 74} Calcule: 7 x n

26 Aula Testes de sgnfcânca Introdução Um dos prncpas objetvos da estatístca é a tomada de decsões a respeto de parâmetros da população com base nas observações de amostras AMOSTRAGEM 5 MÉDIA POPULACIONAL x MÉDIA AMOSTRAL INFERÊNCIA ESTATÍSTICA POPULAÇÃO AMOSTRA Ao tomarmos decsões, é convenente a formulação de Hpóteses relatvas às populações, as quas podem ser ou não verdaderas Exemplo: Um veternáro está nteressado em estudar o efeto de 4 tpos de rações que dferem pela quantdade de potásso no aumento de peso de coelhos H quasquer H 0 : Não exste dferença entre as rações,ou seja, dferençasobservadassão devdas a fatores nãocontrolados : As rações propcam aumentos de pesos dst nt os H 0 é denomnada de hpótese de nuldade, a qual assume que não exste efeto dos tratamentos e H é a contra hpótese Testes de hpóteses ou testes de sgnfcânca São os processos que nos permtem decdr se acetamos ou rejetamos uma determnada hpótese, ou se os valores observados na amostra dferem sgnfcatvamente dos valores esperados (População) Tpos de erros nos testes de sgnfcânca QUADRO RESUMO: condções sobre as quas os erros Tpo I e Tpo II podem ser cometdas Possível ação Condção da H pótese nula H 0 Verdadero H 0 Falsa Rejeção de H 0 Erro Tpo I () Decsão correta Não rejeção de H 0 Decsão correta Erro Tpo II () Erro Tpo I: é o erro cometdo ao rejetar H 0, quando H 0 é verdadera Erro Tpo II: é o erro cometdo ao acetar H 0, quando ela é falsa E P ErroTpoI ; e P ErroTpoII

27 Esses dos erros estão de tal forma assocados que, se dmnurmos a probabldade de ocorrênca de um deles, automatcamente aumentamos a probabldade de ocorrênca do outro Em geral, controlamos somente o Erro Tpo I, por meo do nível de sgnfcânca (daí vem a denomnação de Testes de Sgnfcânca) do teste representado por, o qual é a probabldade máxma com que nos sujetamos a correr um rsco de cometer um erro do Tpo I, ao testar a hpótese Dado que rejetar uma hpótese nula, (H 0 ), verdadera consttu um erro, parece razoável fxarmos esta probabldade de rejetar uma hpótese nula, (H 0 ), verdadera pequena, e de fato, é sto que é feto Na prátca é comum fxarmos = 0,05 (5%) ou = 0,0 (%) Se, por exemplo, fo escolhdo = 0,05, sto ndca que temos 5 possbldades em 00 de rejetarmos a hpótese de nuldade (H 0 ), quando na verdade ela devera ser aceta, ou seja, exste uma confança de 95% de que tenhamos tomado uma decsão correta, esta confabldade é denomnada grau de confança do teste e é representada por - e expressa em porcentagem Nós nunca saberemos qual tpo de erro estamos cometendo ao rejetarmos ou ao não rejetarmos uma hpótese nula (H 0 ), dado que a verdadera condção é desconhecda Se o teste nos leva à decsão de rejetar H 0, podemos fcar tranqülos pelo fato de que fzemos pequeno e, portanto, a probabldade de cometer o erro Tpo I é bem pequena 3 Teste F para a Análse de Varânca (ANOVA) O teste F é a razão entre duas varâncas e é usado para determnar se duas estmatvas ndependentes da varânca podem ser assumdas como estmatvas da mesma varânca Na análse de varânca, o teste F é usado para testar a gualdade de médas, sto é, para responder a segunte questão, é razoável supor que as médas dos tratamentos são amostras provenentes de populações com médas guas? Consdere o segunte exemplo de cálculo da estatístca F; vamos supor que de uma população normal N(, ) foram retradas, aleatoramente, 5 (n=5) amostras de tamanho 9 (r=9) Calcule as médas das 5 amostras e s 9 ( ) (9 ) ( s s 5 ) Estme por meo da fórmula s, a qual é uma 5 méda das varâncas das amostras e será denomnada de varabldade dentro das amostras ( s ) Estme a varânca populaconal das médas 5 ( D 6, por meo das ) médas das 5 amostras: s 5 De s, estme novamente, usando a relação s s, ou s rs, r denomnada de varabldade entre as amostras ( s ) E

28 Probabldade s Calcule Fc s A estmatva de E D s do numerador fo feta com base em n - = 4 graus E de lberdade (n é o número de amostras) e a estmatva de s D do denomnador fo feta com base em n(r ) = 5(9-) = 40 A repetção deste procedmento amostral mutas vezes gera uma população de valores de F, os quas quando colocados em um gráfco de dstrbução de freqüênca tem o segunte formato 7 Dstrbução F(4,40,005),6 95% 5% O valor de F =,6 é o valor acma do qual, 5% dos valores de F calculados têm valor acma dele Este é o valor para um nível de 5% encontrado na Tabela F para 4 e 40 graus de lberdade (veja Tabela F) Dado que as estmatvas da varânca utlzadas no cálculo da estatístca F são estmatvas da mesma varânca, espera-se que o valor de F seja bem próxmo de, a menos que um conjunto de amostras não usual fo retrado Para qualquer conjunto de amostras retradas de n = 5 e r = 9 a probabldade (ou a chance) de um valor de F calculado ser maor ou gual a,6 é 0,05 (5%) ( P [ F,6] 0,05) As hpóteses estatístcas que testamos quando aplcamos o teste F são H : H : A hpótese H 0 estabelece que as duas varâncas populaconas são guas, o que equvale a admtr que as amostras foram retradas da mesma população A hpótese H (contra hpótese, ou hpótese alternatva) estabelece que as varâncas são provenentes de populações dferentes e, mas anda, a varânca da prmera é maor que a varânca da segunda Os valores de F são tabelados em função dos graus de lberdade das estmatvas de s do numerador (n ) e do denomnador (n ) no cálculo da estatístca F e para dferentes valores de níves de sgnfcânca (5%, %, etc) Também podem ser fornecdos por comandos do programa R 0

29 Probabldade Regra de decsão para o teste da estatístca F Todos os possíves valores que o teste estatístco pode assumr são pontos no exo horzontal do gráfco da dstrbução do teste estatístco e é dvddo em duas regões; uma regão consttu o que denomnamos de regão de rejeção e a outra regão consttu o que denomnamos de regão de não rejeção Os valores do teste estatístco que formam a regão de rejeção são aqueles valores menos prováves de ocorrer se a hpótese nula é verdadera, enquanto que os valores da regão de acetação são os mas prováves de ocorrer se a hpótese nula é verdadera A regra de decsão nos dz para rejetar H 0 se o valor do teste estatístco calculado da amostra é um dos valores que está na regão de rejeção e para não rejetar H 0 se o valor calculado do teste estatístco é um dos valores que está na regão de não rejeção O procedmento usual de teste de hpóteses é baseado na adoção de um crtéro ou regra de decsão, de tal modo que = P(Erro tpo I) não exceda um valor pré-fxado Porém, na maora das vezes, a escolha de é arbtrára Um procedmento alternatvo consste em calcular o menor nível de sgnfcânca para o qual a hpótese H 0 é rejetada, com base nos resultados amostras Este valor, denomnado de nível descrtvo do teste ou nível mínmo de sgnfcânca do teste, será denotado por valor de p ( p-value ) Todos os modernos programas computaconas fornecem este valor nos testes estatístcos A representação gráfca a segur mostra uma lustração da regra de decsão do teste F, vsto anterormente, Dstrbução F(4,40,005) 8,6 95% 5% Regão de não rejeção Regão de rejeção Exemplo: Amostras aleatóras smples e ndependentes, após dos tpos de esforços, do nível de glcose no plasma de ratos após uma experênca traumátca forneceram os seguntes resultados: Esforço : Esforço : Estes dados fornecem sufcente evdênca para ndcar que a varânca é maor na população de ratos submetdos ao esforço do que nos ratos submetdos ao esforço Quas as suposções necessáras para se aplcar o teste?

30 Probabldade Solução: As varâncas amostras são s 85, 9333 e s 398, 44, respectvamente Suposções: Os dados consttuem amostras aleatóras ndependentes retradas, cada uma, de uma população com dstrbução normal (Esta é a suposção geral que deve ser encontrada para que o teste seja váldo) Hpóteses estatístcas Cálculo do Teste Estatístco F c H : 0 H : s 85,9333 s 398,44,47 Dstrbução do Teste Estatístco: quando H 0 é verdadera a estatístca F tem dstrbução F com n e n graus de lberdade, ou seja, F (9,, 0,05 ) Regra de Decsão: fazendo 5%, o valor crítco de F,896, então, rejeta-se H 0 se F, 896 A lustração ( 9,, 0,05) gráfca desta regra de decsão é mostrada a segur, Dstrbução F(4,40,005) c,47, Regão de não rejeção Regão de rejeção Decsão estatístca: não podemos rejetar H 0, dado que,47<,896; sto é, o F c calculado cau na regão de não rejeção Conclusão: não podemos conclur que as varâncas dos esforços e são dferentes, o nível mínmo de sgnfcânca do teste é p=0,68 (p>005) Scrpt no R para o teste F

31 30 # defnção das varâncas das amostras e do nível de sgnfcânca (alfa) alfa<-005 v<-85933;v<-39844;n<-0;n<- # calculo da estatístca F fc<-v/v fc # valor teórco desta dstrbução para alfa=0,05 ft<-qf(-alfa,n-,n-) ft # valor de p assocado a estatístca calculada fc valorp<--pf(fc,n-,n-) Exemplo da construção do gráfco de uma dstrbução F com graus de lberdade 5 e 6 e a 5% #valor tabelado da dstrbução F(5, 6,0,05) junto com o gráfco ft=qf(095,5,6) # valor tabelado ft # gráfco da dstrbução xv<-seq(0,4,00) # gerando uma sequênca de números de 0 a 4 v<-df(xv,4,40) # gerando os valores de # dstr F(4,40) com a sequenca xv plot(xv,v,tpe="l",man="dstrbução F(4,40,005)", lab="probabldade",xlab="",lwd=3) # gráfco da dstrbução F fcr=qf(095,4,40);fcr # valor crítco para alfa=5% lnes(c(fcr,fcr),c(0,06), col=,lwd=,pch=) # lnha snalzando o valor crítco # preenchmento da área sob a curva acma do valor crítco polgon(c(xv[xv>=605975],605975), c(v[xv>=60975],v[xv==4]),col="red") 4 Análse de varânca Embora o teste F possa ser aplcado ndependentemente, a sua maor aplcação é na análse de varânca dos Delneamentos Expermentas Vamos consderar os seguntes dados de Delneamento Interamente Casualzado, (DIC) Tratamentos Repetções 3 4 A,4 5, 4,3,6 B 3, 6, 4,8,9 C,,3 0,8,4 D 0,9 9,8 9,4 8,3 e e T Dentro de um mesmo tratamento o valor observado nas dferentes repetções não é o mesmo, pos estes valores estão sujetos à varação ao

32 Probabldade acaso ( e ) Quando passamos de um tratamento para outro, os dados também não são guas, pos estes estão sujetos a uma varação do acaso acrescda de uma varação devda ao efeto do tratamento, é, e T Quadro da análse de varânca do DIC Consdere os dados do exemplo anteror, onde tínhamos 4 tratamentos (k=4) e 4 repetções A Tabela da Análse de varânca fca sendo 3 Fonte de varação GL Soma de Quadrados Quadrado médo Estatístca F Entre k - Dentro n - k k r ( ) kr k r k ( ) j j r S QTrat k S QRes kr k Q M Trat Q M Res Total n - k r j ( ) j kr Deste quadro notamos que o Quadrado médo do resíduo estma a varação casual (do resíduo) e Enquanto que o quadrado médo dos tratamentos estma a varação casual (resíduo) acrescda de uma possível varânca devdo ao efeto dos tratamentos ( ), então F e e T Se não houver efeto dos tratamentos os dos quadrados médos (Quadrado médo dos tratamentos e quadrado médo do resíduo) estmam a mesma varânca, o que mplca o valor de F,0, e qualquer dferença que ocorra entre os valores médos dos tratamentos é meramente casual 5 Teste t Student Consdere uma outra retrada de amostras repetdas de um determnado tamanho, por exemplo, r = 5 de uma população normal Para cada amostra calcule a méda o desvo padrão, s, o erro padrão da méda s e uma outra estatístca Grafcamente temos t c e s População Normal T x

33 Probabldade amostra s ( 5 ) ; s amostra s ; t 5 s amostra m s m ( 5 ) ; s m s ; t 5 m s Organzando estes mlhares de valores da estatístca t em dstrbução de freqüênca Esta dstrbução de freqüênca tem a segunte forma Dstrbução t-student com 4 graus de lberdade área 95% Valor cr tco: -,77 Valor crítco:, área,5% área,5% Exste uma únca dstrbução t para cada tamanho de amostra Neste exemplo em que r = 5 (repetções = 5),,5 % dos valores de t serão maores ou guas do que,776 e,5% serão menores ou guas do que -,776 Os valores da estatístca t student são apresentados em tabelas (ver Tabela da dstrbução t ) Por exemplo, para 0 graus de lberdade, o valor tabelado esperado para t com probabldade de 0,0 (%) é 3,69 A dstrbução t student converge rapdamente para a dstrbução normal Quanto maor for a amostra maor é aproxmação da dstrbução t student com a dstrbução normal Quando os valores de t são calculados em amostras de tamanho r = 60, estes são bem próxmos dos valores da dstrbução normal Scrpt no R para a obtenção dos valores teórcos da dstrbução t- student #valor teórco da dstrbução t-student pela função qt( ) para alfa=00 e 0 #graus de lberdade alfa<-00 qt(-alfa/,0) #valor teórco da dstrbução t-student para alfa=005 e 0 graus de lberdade alfa<-005 qt(-alfa/,0) Regra de decsão para a estatístca t-student

34 33 Todos os possíves valores que o teste estatístco pode assumr são pontos no exo horzontal do gráfco da dstrbução do teste estatístco e é dvddo em duas regões; uma regão consttu o que denomnamos de regão de rejeção e a outra regão consttu o que denomnamos de regão de acetação Os valores do teste estatístco que formam a regão de rejeção são aqueles valores menos prováves de ocorrer se a hpótese nula é verdadera, enquanto que os valores da regão de acetação são os mas prováves de ocorrer se a hpótese nula é verdadera A regra de decsão nos dz para rejetar H 0 se o valor do teste estatístco calculado da amostra (t c ) é um valor que está na regão de rejeção e para não rejetar H 0 se o valor calculado do teste estatístco é um dos valores que está na regão de acetação Em partcular, no caso do teste t student a regra de decsão fca sendo: rejeta-se H 0 se t t Outra forma de se tomar decsão sobre rejetar ou não c ( n, ) rejetar H 0 é pelo valor de p assocado ao valor calculado da estatístca t c Se p 0, 05 não se rejeta H 0, caso contráro ( p 0, 05 ) rejeta-se H 0 Neste caso não há necessdade de se consultar a Tabela teórca da dstrbução t-student Exemplo: Em um hosptal veternáro amostras de soro de amlase de 5 anmas sados e anmas hosptalzados foram colhdas Os resultados da méda e dos desvos-padrões foram os seguntes: 0 undades/ ml, 96 undades/ ml, s s 40 undades/ ml 35 undades/ ml Neste exemplo, o erro padrão amostral s da fórmula da estatístca t, será substtuído pelo erro padrão da méda pooled, ou seja, ( r ) s ( r ) s s P ( r )( r ) Cálculos: Suposções: os dados consttuem duas amostras ndependentes, cada uma, retrada de uma população normal As varâncas populaconas são desconhecdas e assumdas guas; H 0 : Hpóteses: ; H : ( )( ) Teste estatístco: t c ; s p s p r r

35 Dstrbução do teste estatístco: quando H 0 for verdadera, o teste segue uma dstrbução t Student com r + r graus de lberdade; Regra de decsão: Rejeta-se H 0 se t t, neste exemplo, t,030; c c ( r r ; ) Cálculo do teste estatístco: prmero o cálculo da varânca amostral 4(40) (35) s p 375 e 4 (0 96) 0 4 tc, ,4 5 Decsão estatístca: não se rejeta H 0, vsto que -,030,88, 030, ou seja,,88 está na regão de não rejeção; Conclusão: com base nestes dados não podemos conclur que as médas das duas populações são dferentes Neste teste o nível mínmo de sgnfcânca do teste é p= 0,069 (p>0,05) Scrpt no R para resolver o exemplo acma # defnção das médas, dos desvo padrões e do tamanho das amostras m<-0;m<-96;sd<-40;sd<-35;n<-5;n<- # calculo da varânca pooled vpool<-((n-)*sd^+(n-)*sd^)/((n-)+(n-)) vpool # calculo da estatstca t tc<-(m-m)/sqrt(vpool/n+vpool/n) tc # valor de t tabelado a 5% e 35 graus de lberdade alfa<-005 ttab <- qt(-alfa/,35) ttab # valor de p correspondente a este valor de t # multplca-se o valor de p por pos o teste é b-lateral valorp <- *(-pt(tc,35)) valorp 34

36 º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL - A tabela abaxo mostra a porcentagem de gordural corporal para város homens e mulheres Estas pessoas partcparam de um programa de controle de peso de três vezes por semana por um ano As meddas referem-se a porcentagem de gordura de seus corpos Homens 3,3 9,0 0,0 8,0 8,06,0 0,0 3,0,0,0 6,0,0 4,0 Mulheres,0 6,0 6,0,0,7 3,,0 8,0 30,0 3,0 a) Faça um gráfco de barras e um gráfco boxplot para cada grupo a) Quas as suposções sob as quas o teste F pode ser aplcado b) Podemos conclur que a varabldade do grupo das mulheres seja maor que o do grupo homens (Use 0, 05 e 0, 0) - Em um estudo, a seguntes contagens de lnfóctos fo obtdo em vacas de dos anos da raça Holsten e de vacas de dos anos da raça Guernses Os resultados estão na Tabela abaxo: Holsten Guernses Calcular: a)- a méda geral, um gráfco de barras, um gráfco boxplot para cada raça, a méda de cada raça, a varânca amostral e o desvo-padrão de cada raça; b)- declare as suposções sob as quas o teste t student, para amostras ndependentes, pode ser aplcado; c)- teste se as varâncas das duas populações são guas (Teste F) d)- em função do resultado do teste do tem c) podemos conclur que a contagem de lnfóctos nas duas raças dferem assumndo que as varâncas são desconhecdas e guas? Consdere 5% 3- Retrou-se 5 amostras de tamanho 5 de uma população N(, ) Para cada amostra fo aplcado um antparastáro (tratamentos) Em seguda os pesos dos anmas foram analsados para cada tratamento Teste se exste efeto de antparastáro no peso dos anmas, ou seja, teste a hpótese estatístca, H 0 5 H para j j Os tratamentos (antparastáros) e os pesos, em qulogramas, dos anmas estão dados na tabela abaxo: Tratamentos Neguvon Methrdm TH Haloxon Controle (Méda) ( ) (Varânca) j S (Desvo padrão) S Rotero dos cálculos: a)- Faça uma estmatva da através de: s s s 5 s D 5 e de s rs, sendo s E 5 ( j 5 ) 35

37 Calcule a estatístca se F e compare com o valor teórco da dstrbução F a 5%, sendo S D s D = varânca dentro dos tratamentos e S E = varânca entre os tratamentos 4- Obter por meo das tabelas das dstrbuções F e t os valores de a)-f ; F ; F ; F ; F F b)- t ( 5, 6, 0,05) (5, 6, 0,0) (0, 5, 0,05) (0, 5, 0,0) (,, 0,05) ; (,, 0,0) ( 7, 0,05) ; (7, t 0,0) ; (5, t 0,05) ; (6, t 0,05) ; (0, t 0,0) ; (8, t 0,0) ; (faça os desenhos das dstrbuções com os respectvos valores) Fnalmente, obtenha os mesmos valores e os mesmos gráfcos no R 36

38 Aula 3- Delneamento nteramente casualzado (DIC) Introdução O DIC é mas smples dos delneamentos Os tratamentos se dstrbuem ao acaso em todas as undades expermentas e o número de repetções por tratamento pode ser gual ou dferente O DIC é muto utlzado para estudos de métodos, técncas de trabalhos em laboratóro, ensaos de vegetação e em expermentos com anmas Para sua aplcação, há necessdade que o meo atue de forma unforme em todas as undades expermentas e que estas sejam faclmente dentfcadas para receber o tratamento Vamos começar com um exemplo: Em um estudo do efeto da glcose na lberação de nsulna, espéces de tecdo pancreátco dêntcas foram subdvddas em três grupos de 4 espéces cada uma Três níves (baxo - tratamento, médo tratamento - e alto tratamento - 3) de concentrações de glcose foram aleatoramente desgnados aos três grupos, e cada espéce dentro de cada grupo fo tratado com o nível de concentração de glcose sorteado a eles A quantdade de nsulna lberada pelos tecdos pancreátcos amostrados são as seguntes: Tratamento T T T 3 Total Méda Varânca Repetções 3 4 r,59,73 3,64,97 4 8,93,3 0,9 3,36 4,0 3,49,89 4 3,75 3,44 0, 3,9 4,8 3,87 5,39 4 8,00 4,50 0,54 Total 40,68 Este é um estudo expermental com undades expermentas (amostras de tecdo pancreátco) e k=3 tratamentos Cada tratamento é um nível de fator smples: concentração de glcose Exstem 4 repetções para cada tratamento Os dados, quantdade de nsulna lberada pelo tecdo pancreátco podem ser consderados como três amostras aleatóras, cada uma com r=4 repetções, ou de tamanho r=4 sorteadas de três populações

39 Dado que os tratamentos são desgnados às undades expermentas completamente ao acaso, este delneamento é denomnado de DELINEAMENTO INTEIRAMENTE AO ACASO (DIC) Em geral, em um DIC, um número fxo de k tratamentos são sorteados às N undades expermentas de tal forma que o -ésmo tratamento é sorteado a exatamente r undades expermentas Assm, r é o número de repetções do -ésmo tratamento e r r r r 3 k N No caso em que r são guas, é, r r r r 3 k r, então N rk e o delneamento é balanceado Notação: Repetções 3 j r Total Méda Tratamento 3 r 3 r r j k k k k3 kr k k N=rk Convenções: e representam, respectvamente, o total e a méda do - ésmo tratamento, respectvamente, e representam, respectvamente, o total geral (soma de todas as observações) e a méda geral de todas as observações Quadro da Análse de Varânca (ANOVA) O método da análse de varânca pode ser vsto como uma extensão do teste t de student para amostras ndependentes Como no teste t de amostras ndependentes, o método da ANOVA compara uma medda da magntude da varabldade observada dentro das k amostras com uma medda da varabldade entre as médas das k amostras 3 Modelo matemátco do DIC com efetos de tratamentos fxos O modelo assocado ao DIC com efetos fxos é e, sendo, k j j é a observação na undade expermental que recebeu o -ésmo tratamento na j-ésma repetção; é a méda geral comum a todas as observações defnda como r, com a méda populaconal do -ésmo tratamento; N j 38

40 restrção o efeto do -ésmo tratamento na varável dependente Y e mede o afastamento da méda em relação a, sto é, ; e e é um erro casual não observável j Pela defnção de e k n 39 acma, temos que este modelo possu a 0, pos, n n( ) n n 0 k k 4 Suposções assocadas ao modelo As suposções usualmente assocadas aos componentes do modelo do DIC são que os e são varáves aleatóras ndependentes e dentcamente j dstrbuídas com dstrbução N( 0, ) Como os j são funções lneares dos e j, das suposções sobre os erros decorre que: E( ) ; j Var( ) ; j j são normalmente dstrbuídos e ndependentes, ou, resumdamente que ~ N(, ) j Portanto, estamos supondo que as observações do expermento a ser analsado correspondem a amostras aleatóras de k populações normas com a mesma varânca e que podem ou não ter médas dferentes A fgura abaxo representa grafcamente esse fato, consderando, no caso, três tratamentos k 3 3 Fgura: Ilustrações das suposções do modelo matemátco assocado ao DIC com um fator fxo 5 Hpóteses estatístcas A Hpótese geral é: H0 : k 0, ou seja, vamos testar a não exstênca de efeto do fator (tratamento) 6 Partção da soma de quadrados Voltemos ao quadro de representação das observações no DIC na págna 30 Podemos dentfcar os seguntes desvos:

41 j, como o desvo de uma observação em relação a méda amostral geral;, como o desvo da observação em relação à méda de seu j grupo ou do -ésmo tratamento;, como o desvo da méda do -ésmo tratamento em relação á méda geral Consderemos a dentdade ( )( j )( ) a qual dz que a a varação de uma observações em relação à méda geral amostral é gual à soma varação desta observação em relação à méda de seu grupo com a varação da méda do -ésmo tratamento em que se encontra esta observação em relação à méda geral amostral Elevando-se ao quadrado os dos membros da dentdade acma e somando em relação aos índces e j, obtemos: os duplos produtos são nulos O termo j, k r k r k ( j ) ( ) ( j r j j k r j ( ), é denomnado de Soma de Quadrados Total e vamos denotá-lo por SQTO número de graus de lberdade assocado à SQT é kr -, ou N, pos temos N observações e a restrção A componente: k r j k j j ( ) 0 r j ( ), é denomnada de Soma de Quadrados Resdual, representada por SQR, e é uma medda da homogenedade nterna dos tratamentos Quanto mas próxmas estverem as observações dentro de cada grupo (tratamento), menor é a SQR Notem que a magntude da SQR não depende da dferença entre as médas dos tratamentos Consderando apenas o -ésmo tratamento, temos que r j j ( j possu r graus de lberdade Assm, o número de graus de lberdade assocado à SQR é: A componente k k ( r ) ) ( r ) kr k N k, mede a varabldade entre as médas dos tratamentos e por sso é denomnada de Soma de Quadrados Entre Tratamentos, representada por SQTr Quanto mas dferentes entre s forem ), 40

42 4 as médas dos tratamentos, maor será a SQTr Desde que temos k tratamentos e a restrção de que k ( r ) 0, A SQTr possu k - graus de lberdade Com esta notação, podemos escrever que: SQT = SQR + SQTr 6 Quadrados médos Dvdndo a SQR e SQTr pelos seus correspondentes graus de lberdade, obtemos, respectvamente o Quadrado Médo Resdual (QMR) e o Quadrado Médo Entre Tratamentos (QMTr), sto é, SQR SQTr QMR e QMTr N k k 7 Estatístca e regão crítca do teste A estatístca para o teste é QMTr F c, QMR a qual, deve ser próxmo de se H 0 for verdadera, enquanto que valores grandes dessa estatístca são uma ndcação de que H 0 é falsa A teora nos assegura que F c tem, sob H 0 dstrbução F Snedecor com (k -) e (N k) graus de lberdade Resumdamente, ndcamos: F ~ F sob H c ( k, N K ), 0 Rejetamos H 0 para o nível de sgnfcânca se F, c F( k, N K, ) sendo, F( k, NK, ) o quantl de ordem ( ) da dstrbução F-Snedecor com (k -) e (N k) graus de lberdade Grafcamente temos: 8 Quadro da análse de varânca (ANOVA) Dspomos as expressões necessáras ao teste na Tabela abaxo denomnada de Quadro de Análse de Varânca (ANOVA)

43 4 Fonte de varação gl SQ QM F c ( Y ) Tratamentos (Entre) k - r N r Y Resíduo (dentro dos trat) N - k Y j k r j TOTAL N - k r j k ( Y ) Y r ( Y ) j N SQTr QMTr k SQR QMR N k Pode-se provar que: E ( QMR ), ou seja, QMR é um estmador não vesado da varânca ; k r E( QMTr ), ou seja, QMTr é um estmador não ( k ) vesado da varânca se a hpótese H0 : k 0 é verdadera QMTr QMR 9 Detalhes dos cálculos Apresentaremos alguns passos que facltam os cálculos das somas de quadrados da ANOVA ( ) Calcule a correção para a méda CM ; N Calcule a Soma de Quadrados dos Totas (SQT) SQT k r j CM ; j Calcule a Soma de Quadrados Entre os Tratamentos (SQTr) r Y SQTr CM ; r Calcule a Soma de Quadrados Resdual (SQR) pela dferença, sto é, SQR SQT SQTr ; Calcule os Quadrados Médos Entre os Tratamentos (QMTr) e o SQTr SQR Quadrado Médo Resdual (QMR) QMTr e QMR k N k QMTr Calcule F c para tratamentos F c QMR Notem que estas fórmulas computaconas assumem que exste r repetções para o -ésmo tratamento; consequentemente, para um expermento balanceado com r repetções para cada tratamento, r deve ser substtuído por r Estas váras soma de quadrados obtdas nestes cnco passos podem ser resumdas no quadro da ANOVA apresentado no tem 8 0 Exemplo Vamos consderar os dados apresentados no tem Desejamos testar a hpótese nula H : 0 H : j 3 para pelo menos um par j

44 Os cálculos para montarmos o quadro da ANOVA são: temos k = 3, r = 4, e N = 3 x 4 = Então Graus de lberdade: Total N ; Trat k 3 Resduo N k 3 9 (40,68) CM 37, 9 SQT (,59) (,73) (5,39) CM 53,8 37,8 5, 8 ( 8, 93) ( 3, 75 ) ( 8, 00) SQTr CM 48, 0 37, 9 0, SQR SQT SQTr 5, 8 0, 30 4, 98 0, 30 4, 98 QMTr 5, 5 e QMR 0, 55 9 QMTr 4, 98 F c 9, 3 QMR 0, 55 O quadro da ANOVA para a varável nsulna lberada é o segunte: Fonte de var gl SQ QM F c Tratamentos (Entre) 0,30 5,5 9,3 Resíduo (dentro dos tratamentos) 9 4,98 0,55 TOTAL 5,8 Das tabelas das dstrbuções F, temos que 4 57 e F 8 0 O valor F c =9,3 é maor do que estes F(, 9, 0, 05 ), (, 9, 0, 0 ), valores tabelados, então rejetamos a hpótese nula H 0 para 0, 0, ou % de probabldade (se é sgnfcatvo a %, logo também é sgnfcatvo a 5%) 43 Podemos conclur que, para um nível de 0, 0, ou %, que a quantdade de nsulna lberada é dferente para pelo menos dos níves de glcose Scrpt da resolução do exemplo no R # # exemplo da Aula 3 (DIC) pg 36 # # entrando com o número de repetções r <- 4

45 44 # entrando com os dados nsulna <- c(59, 73, 364, 97, 336, 40, 349, 89, 39, 48, 387, 539) # entrando com os níves da nsulna (Tratamentos) trat <- c(rep("baxo", r), rep("medo", r), rep("alto", r)) mgeral<- mean(nsulna) # calculando a méda geral # estabelecendo o objeto trat com fator e guardando no própro objeto trat trat <- factor(trat) trat # armazenando os nomes dos níves dos fatores ntrat <- levels(trat) # aplcando o comando tappl ao objeto nsulna para o cálculo dos # totas dos tratamentos ttrat <- tappl(nsulna, trat, sum) ttrat # aplcando o comando tappl ao objeto nsulna para o cálculo das # médas dos tratamentos mtrat <- tappl(nsulna, trat, mean) mtrat # aplcando o comando tappl ao objeto nsulna para o cálculo dos # desvo-padrões dos tratamentos sdtrat <- tappl(nsulna, trat, sd) sdtrat # mostrando o s gráfcos box plot para cada tratamento boxplot(nsulna~trat, horzontal=t,xlab="quantdade de nsulna",col="blue") boxplot(nsulna~trat, vertcal=t,lab="quantdade de nsulna",col="green") # fazendo a análse de varânca nsulnaav <- aov(nsulna~trat) #mprmndo o quadro da anova summar(nsulnaav) Quadro da anova fornecdo pelos comandos báscos do R Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) trat ** Resduals Sgnf codes: 0 *** 000 ** 00 * 005 0

46 Notem que os comandos do scrpt acma não fornecem os resultados do da fonte de varação do Total e por outro lado fornecem uma coluna a mas referente a Pr(>Fr) com o valor de p (p-value) da estatístca F Outra forma de obter o quadro da ANOVA é pela função crd( ) do pacote ExpDes Pacotes (packages) ou bblotecas (lbrar) são os nomes mas usados para desgnar conjuntos de funções, exemplos, e documentações desenvolvdas para determnadas tarefas Os comandos báscos do R, por exemplo, estão em uma bbloteca chamada base Exstem númeras bblotecas, algumas já nclusas na nstalação do R No R podem-se encontrar pacotes desenvolvdos pelos responsáves pelo R ou mplementados por usuáros # nstalando o pacote ExpDes (Expermental Desgns) # nstallpackages("expdes") # requerendo o ExpDes requre(expdes) # sntaxe do comando que faz a ANOVA no ExpDes # crd(treat, resp, qual = TRUE, mcomp = "tuke", sgt = 005, sgf = 005) crd(trat,nsulna,mcomp=f) Resultados da anova pelo comando da pacote ExpDes Analss of Varance Table DF SS MS Fc Pr>Fc Treatament Resduals Total CV = 94 % Podemos chegar a mesma conclusão anterormente, smplesmente analsando o valor de p (Pr>Fc, (p=0,006445)), o qual é bem menor que 0,0 Assm, sem recorrer à tabela F, concluímos que o teste F é sgnfcatvo pelo valor de p (p=0,006445) fornecdo pela função crd() do ExpDes, rejetamos H 0 e concluímos que a quantdade de nsulna lberada é dferente para pelo menos dos níves de glcose O R, por meo do comando aov( ) armazena os valores da tabela da anova acma na forma matrcal ( x 5), ou seja, para obtermos, por exemplo, o valor da soma de quadrados dos tratamentos (SQTr), defnmos o segunte objeto sqtr <- anova(nsulnaav)[,] A soma de quadrados do resíduo é obtda defnndo o objeto sqr <- anova(nsulnaav)[,] Reparem que nsulnaav é o objeto que recebeu os resultados do quadro da análse de varânca no scrpt R lstado anterormente O esquema das posções de armazenamento dos resultados do quadro da anova do DIC no R é 45

47 46 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) trat [,] [,] [,3] [,4] [,5] Resduals [,] [,] [,3] Para obter o valor do quadrado médo de resíduo basta dgtar e executar o comando anova(nsulnaav)[,3] Uma forma de se obter ajuda de alguma função no R é por meo da execução do comando??nome da função() Por exemplo, para se obter uma ajuda da sntaxe da função mean deve-se executar o comando??mean() Informações sobre o pacote ExpDes(), basta executar o comando??expdes(), e clcar nos passos ndcados abaxo ExpDes::ExpDes-package/ Index/ Documentaton for package ExpDes verson /ExpDes-package/ crd Onde aparecerá a explcação crd(treat,resp,qual=true,mcomp="tuke",sgt=005,sgf=005) sendo: treat resp qual Vetor numerc contendo os tratamentos; Vetor numerc contendo a varável resposta; Logco Se TRUE (default), os tratamentos são assumdos qualtatvos, se FALSE, quanttatvos; mcomp Permte a escolha do teste de comparação múltplo; o default é o teste de Tuke, entretanto, as optções são: o teste LSD ('lsd'), o teste LSD com a proteção de Bonferron ('lsdb'), o teste de Duncan ('duncan'), o teste de Student-Newman-Keuls ('snk'), o teste de Scott-Knott ('sk') e o teste de comparação múltpla bootstrap ('ccboot'); sgt A sgnfcânca a ser usada para o teste de comparação múltpla; o default é 5%; sgf A sgnfcânca a ser usada no teste F da ANOVA; o default é 5%, os argumentos desta função Exemplo Em um expermento em que se medu o peso corporal (kg), 9 porcos foram dstrbuídos aleatoramente a 4 grupos Cada grupo fo almentado com detas dferentes Deseja-se testar se oos pesos dos porcos são os mesmos para as 4 detas Desejamos testar a hpótese nula H : H As observações obtdas foram: 0 j 3 4 : para pelo menos umpar j Tratamento Repetções Deta 60,8 57,7 65,0 58,6 6,7 Deta 68,7 67,7 74,0 66,3 69,8 Deta 3 0,6 0, 00, 96,5 * Deta 4 87,9 84, 83, 85,7 90,3

48 Temos um expermento desbalanceado com número de repetções desgual para os tratamentos Então, os cálculos para montarmos o quadro da ANOVA são: Graus de lberdade: Total N 9 8; Trat k 4 3 Res N k ( 489, ) CM 5736, 44 9 SQT ( 60, 8) ( 90, 3) CM 0069, , 43575, ( 3038, ) ( 3465, ) ( 404, ) ( 43, ) SQTr , , 4007, CM SQR SQT SQTr 43575, 4007, ,07 3,67 QMTr 400,69 e QMR 8, QMTr 40069, F c 69, 89 QmR 8, 4 O quadro da ANOVA para a varável peso (kg) é o segunte: 47 Fonte de var gl SQ QM F c Tratamentos 3 40,07 400,69 69,89 Resíduo 5 3,67 8,4 TOTAL 8 435,75 Scrpt no R para resolver o exemplo Atenção, antes de rodar este scrpt é necessáro remover todos os objetos defndos no scrpt do exemplo com o comando rm(lst=ls(all=true)), ou pelo atalho na aba do menu da janela da console clcar em Msc/Remover todos os objetos # exemplo da Aula 3 (DIC) pg 46 # entrando com os dados de peso corporal pc <- c( 608, 577, 650, 586, 67, 687, 677, 740, 663, 698, 06, 0, 00, 965, 89, 84, 83, 857, 903) # entrando com os níves dos tratamentos trat <- c(rep("deta", 5), rep("deta", 5), rep("deta3", 4), rep( "Deta4",5)) # estabelecendo o objeto trat como fator e guardando no própro objeto trat trat <- factor(trat) trat # mprmndo os nves do fator trat

49 48 ntrat<-levels(trat) ntrat # calcula a soma da cada tratamento e guarda em um objeto ttrat ttrat <- tappl(pc, trat, sum) ttrat # calcula a méda da cada tratamento e guarda em um objeto mtrat mtrat <- tappl(pc, trat, mean) mtrat # calcula o desvo padrão de cada tratamento e guarda em um objeto sdtrat sdtrat <- tappl(pc, trat, sd) sdtrat # mostrando os gráfcos box plot para cada nvel de glcose na horzontal boxplot(pc~trat, horzontal=t,xlab="peso corporal (Kg)",col="blue") # mostrando os gráfcos box plot para cada nvel de glcose na vertcal # boxplot(pc~trat, vertcal=t,lab="peso corporal (Kg)",col="green") # fazendo a análse de varânca pela função aov( ) pcav <- aov(pc~trat) summar(pcav) # mprmndo o quadro da anova Quadro da anova fornecdo pelos comandos báscos do R Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) trat e- *** Resduals Sgnf codes: 0 *** 000 ** 00 * O símbolo *** na frente do valor de p (p=845e-) é o códgo de sgnfcânca fornecdo pelo R No caso ndca que o teste é sgnfcatvo para um valor de muto pequeno em torno de 0,0% Obtendo o quadro da ANOVA pela função crd( ) do pacote ExpDes Atenção! Dado que o pacote ExpDes já fo nstalado em seu computador, não há necessdade de se nstalá-lo novamente, basta requerê-lo pelos comandos requre(nome do pacote ) ou lbrar(nome do pacote ) # requrendo o pacote ExpDes requre(expdes) # comando que faz a ANOVA no ExpDes # crd( ) (completel random desgn) crd(trat,pc,mcomp=f) Quadro da anova fornecdo pela função crd( ) do pacote ExpDes

50 Analss of Varance Table DF SS MS Fc Pr>Fc Treatament e- Resduals Total CV = 368 % A forma tradconal de nterpretar o resultado do teste F da anova é consultar as tabelas das dstrbuções F Desta consulta, temos que 3 87 e F 5 47 O valor da estatístca F c =69,89 é bem F( 3, 5, 0, 05 ), ( 3, 5, 0, 0 ), superor que estes valores tabelados, assm, o valor desta estatístca fornecda pelos dados esta na regão de rejeção de H 0, logo rejetamos a hpótese nula H 0 a um nível 0, 0, ou % de probabldade (se é sgnfcatvo a %, logo também é sgnfcatvo a 5%) Atenção! Pode-se chegar a esta mesma conclusão analsando somente pelo valor de p assocado à estatístca F calculada, o qual é apresentado na forma exponecal p=8,45 e- ou p=8,45 x 0 -, bem menor que 0,00, portanto sgnfcatvo a 0,% Grafcamente a regra de decsão fca Evdentemente que o valor 89,88 esta bem a dreta do valor crítco 5,47, assm podemos conclur que, para um nível de 0, 00, ou0, 0%, que os pesos dos porcos são dferentes para pelo menos duas detas Estmadores de mínmos quadrados Nesta seção mostraremos os estmadores dos termos do modelo matemátco do DIC e, os quas são obtdos mnmzando-se a expressão do erro deste modelo j j k r j ( ˆ ), j j

51 k r em relação a e, =,, k, sujeto a restrção 0 Assm procedendo, obtemos os estmadores de, e, dados por ˆ, ˆ e de ˆ ˆ ˆ,,,, k Para construr um ntervalo de confança para a méda de cada tratamento, devemos notar que a estatístca: ~ ( t n k ), QMR r é, tem dstrbução t Student com (n k) graus de lberdade Um ntervalo de confança para com um coefcente de confança ( ) é dado pela expressão QM Res IC( ; ) t, ( ; N k ) r sendo, t o quantl de ordem ( ) da dstrbução t Student com (n (, Nk ) k) graus de lberdade, os mesmos graus de lberdade do resíduo da ANOVA Como exemplo, vamos consderar os dados do expermento apresentado no tem, cujos cálculos foram mostrados no tem 0 As médas destes dados são: 8,93 3,75 8,00,3 ; 3,44; 3 4,50 e ; 3,39 do quadro da ANOVA temos os valores de SQR para calcular QMR 0,553 0,37; r 4 o valor de t, 6 ( 0,05,9) Assm, os ntervalos são dados por: 0,553 IC( ; 95%),6 0,84 4 Resumndo temos o quadro a segur Nível baxo de glcose Nível médo de glcose Nível alto de glcose,3 3,44 4,50 IC(, 95%) (,389; 3,07) (,599; 4,8) (3,659; 5,34) Problema: dentfcar quas os níves de glcose (tratamentos) que tveram efetos não nulos sobre a lberação de nsulna dos tecdos Scrpt no R para o calculo dos ntervalos de confança do exemplo Atenção! É necessáro executar novamente o scrpt das págnas 39 e 40 # defnndo os objetos para o cálculo dos IC s # obtenção dos gl do resduo no quadro da anova glr <- anova(nsulnaav)[,] glr 50

52 5 # obtenção da QMR no quadro da anova qmr <- anova(nsulnaav)[,3] qmr # ntervalo de confança para o nível baxo de glcose cbaxo <- mtrat[] + qt(c(005, 0975), df = glr) * sqrt(qmr/r) cbaxo # ntervalo de confança para o nível médo de glcose cmedo <- mtrat[] + qt(c(005, 0975), df = glr) * sqrt(qmr/r) cmedo # ntervalo de confança para o nível baxo de glcose calto <- mtrat[3] + qt(c(005, 0975), df = glr) * sqrt(qmr/r) calto Como segundo exemplo, vamos consderar os dados do expermento apresentado no tem As médas destes dados são: 303,8 346,50 40,4 60,76 ; 69,30; 3 00,35; , e 4 86,4 e a méda geral é 79,3 5 do quadro da ANOVA temos o valor do QMR para calcular desvo padrão médo para os tratamentos, e 4 é QMR 8,557,3 Para o tercero tratamento o erro padrão 5 r QMR 8,557 médo é, 46 4 r o valor de t( 0, 05; 5 ), 34 Assm, os ntervalos são dados por: 8,557 IC( ; 95%),34 5 e IC( ; 95%),34 8,557 4,3, para,, e 4,46, para 3 Resumndo temos o quadro abaxo Deta Deta Deta 3 Deta 4 60,76 69,30 00,35 86,4, %) (58,0; 63,48) (66,56; 7,04) (97,9; 03,4) (83,50; 88,98) IC( 95 Problema: dentfcar quas as Detas (tratamentos) que tveram efetos não nulos sobre o peso dos suínos Scrpt no R para calcular os IC s do exemplo Antes porém execute novamente o scrpt do R descrtos na págna 40 e 4 # defnndo os objetos para o cálculo dos IC s

53 5 # defnndo o vetor de repetções dos tratamentos r<- c(5,5,4,5) # obtenção dos gl do resduo no quadro da anova glr <- anova(pcav)[,] glr # obtenção da QMR no quadro da anova qmr <- anova(pcav)[,3] qmr # ntervalo de confança para a Deta cdeta <- mtrat[] + qt(c(005, 0975), df = glr) * sqrt(qmr/r[]) cdeta # ntervalo de confança para a Deta cdeta <- mtrat[] + qt(c(005, 0975), df = glr) * sqrt(qmr/r[]) cdeta # ntervalo de confança para a Deta3 cdeta3 <- mtrat[3] + qt(c(005, 0975), df = glr) * sqrt(qmr/r[3]) cdeta3 # ntervalo de confança para a Deta4 cdeta4 <- mtrat[4] + qt(c(005, 0975), df = glr) * sqrt(qmr/r[4]) cdeta4 3 Coefcentes de determnação (R ) e de varação (CV) A parte da Soma de Quadrados Total (SQT), a varação total nas observações, que pode ser explcada pelo modelo matemátco do DIC, é denomnada de coefcente de determnação Assm, o coefcente de determnação para modelo do DIC, e, é defndo como j SQTr R x 00% SQT Pode ser verfcado que 0 R 00e que R 00% quando toda varabldade nas observações esta sendo explcada pelo modelo matemátco do DIC A varabldade entre as undades expermentas de expermentos envolvendo dferentes undades de meddas e/ou tamanhos de parcelas pode ser comparada pelos coefcentes de varação, os quas expressam o desvo padrão por undade expermental como uma porcentagem da méda geral do expermento, ou seja, S CV x 00% Da ANOVA sabemos que S QMR, daí resulta que QMR CV *00 j

54 Como exemplo vamos consderar os dados do expermento apresentado no tem, cujos cálculos foram mostrados no tem 0 Neste exemplo temos: SQT 5,8 e SQTr 0,30, então SQTr 0,30 R x 00 67,4% SQT 5,8 QMR 0,55 CV * 00 *00,88% 3,39 Concluímos que 67,4% da varabldade que exste nas observações deste expermento em torno de seu valor médo é explcada pelo modelo matemátco do DIC e este expermento apresenta um coefcente de varação de aproxmadamente % Scrpt no R para calcular os coefcentes de determnação (R ) e de varação (CV) # calculo do CV cv <- sqrt(qmr)/mean(pc)*00 cv sqtr <- anova(pcav)[,] # obtenção da SQTr da anova sqtr sqr <- anova(pcav)[,] # obtenção da SQR da anova sqr # cálculo do R r <- sqtr/(sqtr+sqr)*00 r 4 Checando as volações das suposções de normaldade dos dados e da homogenedade das varâncas dos tratamentos Anova De um modo geral, o teste F da ANOVA não é muto sensível às volações da suposção de dstrbução normal Ele também é moderadamente nsensível às volações de varâncas guas, se os tamanhos das amostras são guas e não muto pequenas em cada tratamento Entretanto, varâncas desguas podem ter um efeto marcante no nível do teste, especalmente se amostras pequenas estão assocadas com tratamentos que têm as maores varâncas Exste uma sére de procedmentos para se testar se as suposções da ANOVA são voladas Entre estes temos o teste de Anderson-Darlng, teste de Shapro-Wlks e teste de Kolmogorov-Smrnov, que testam a normaldade da população A gualdade das varâncas (homocedastcdade) pode ser testada pelo teste de Bartlett Com o advento dos modernos computadores, métodos gráfcos são ferramentas muto populares para a vsualzação das volações das suposções teórcas da ANOVA Alguns destes métodos gráfcos mas comumente usados para checar as suposções da ANOVA são baseados em gráfcos dos resíduos Resíduos O resíduo correspondente a uma observação como: e j j ˆ ˆ ˆ, j j j j é defndo ou seja, o resíduo corresponde á parte da observação que não fo explcada pelo modelo Calculando os resíduos correspondentes a todas as observações de um expermento e analsando-os descrtvamente de forma aproprada, 53

55 podemos ter alguma ndcação, grafcamente, se as suposções da ANOVA estão sendo satsfetas Gráfco dos resíduos para testar a normaldade Técncas gráfcas para checar se uma amostra de resíduos é provenentes de uma população normal ncluem os gráfcos do Hstograma, do Box Plot, etc Outra mportante técnca é o gráfco q-q normal (quantle-quantle normal plot) O gráfco q-q normal, é um gráfco entre os resíduos e um conjunto de percents devdamente escolhdos da normal padronzada Sob a hpótese de normaldade este gráfco q-q normal deve se aproxmar de uma reta Se o gráfco é sgmóde é uma ndcação de que a população tem as caudas pesadas ou leves A assmetra é ndcada por gráfcos côncavos (assmetra a esquerda) e convexos (assmetra a dreta) O prmero passo na construção de um gráfco q-q normal é o cálculo de n º de resíduos ej pj, a qual é denomnada de probabldade empírca N posto de ej acumulada, e está assocada a todo e j, de tal forma que pj N Como exemplo, a probabldade empírca acumulada assocada ao resíduo, cujo posto é o sexto (seu rank=6) em um conjunto de N=0 resíduos é p=6/ = 0545 O gráfco q-q normal de um conjunto de resíduos é obtdo com o gráfco dos resíduos e j vs q j z ( p j,) sendo que: z é o valor crtco de nível de uma dstrbução normal padronzada Vamos consderar os dados apresentados no tem e construr um gráfco q-q normal para ver se a suposção de normaldade parece razoável para a quantdade de nsulna lberada do exemplo O Quadro abaxo apresenta os dados, o valor estmado pelo modelo, os resíduos e os percents assocados: j Y j Y est e j R(e j ) P j Q j e o gráfco q-q normal ( e x ) fca sendo: j q j 54

56 55 e os gráfcos do Hstograma e do Box Plot dos resíduos fcam: Pelo gráfco qq normal, pelo hstograma e pelo Box-Plot é razoável supor a normaldade para os dados de lberação de nsulna O scrpt do R que fornece os resultados acma são: # extrando os resíduos do objeto pcav resduo <-nsulnaav$res resíduo # fazendo o gráfco q-q plot qqnorm(resduo, lab ="Resíduos",man="Gráfco normal de probabldade") qqlne(resduo,lwd=) # dvdndo a tela gráfca em colunas e uma lnha par(mfrow=c(,)) # hstograma dos resíduos hst(resduo, man="hstograma dos Resíduos",lwd=,col="green") # gráfco boxplot dos resíduos boxplot(resduo, horzontal=t,man="boxplot dos resíduos", col="blue",lwd=) Estes recursos gráfcos não são quanttatvos, é necessáro um teste O scrpt no R que fornece o teste de normaldade de Shapro-Wlks, o qual testa as hpóteses:

57 56 H 0 : a população amostrada tem dstrução normal H : a população amostrada não tem dstrução normal ou H 0 : e j H : e é dado a segur j ~ N(0, ) não tem N(0, ) # teste de normaldade de Shapro-Wlks dos dados do exemplo shaprotest(resduo) Cujos resultados são: Shapro-Wlk normalt test data: res W = 08796, p-value = No resultado fornecdo pelo R e pelo valor de p (p=0,08657) assocado a estatístca W=0,8796 do teste de Shapro-Wlks, não rejetamos H 0, logo é razoável supor a normaldade para os dados de lberação de nsulna O teste de Bartlett testa as hpóteses H0 : 3, H : j ou seja, a homogenedade das varâncas dos tratamentos O scrpt no R que fornece este teste é # teste de homogenedade das varâncas dos tratamentos dos dados do #exemplo (Teste de Bartlett) # teste de Bartlett para a homogenedade das varâncas bartletttest(nsulna ~ trat) com a segunte saída Bartlett test of homogenet of varances data: nsulna b trat Bartlett's K-squared = 7, df =, p-value = 0599 Pelos resultados destes testes não rejetamos 0 H, o nível mínmo de sgnfcânca do teste é p=0,599 (p>0,05) O teste é não sgnfcatvo Concluímos, então, que a homogenedade das varâncas é uma suposção plausível para os dados da lberação da nsulna Assm é razoável supor que este conjunto de dados suporta as suposções báscas de normaldade e homogenedade da varânca para a correta aplcação da ANOVA j

58 4 Vantagens e desvantagens do DIC As prncpas vantagens do DIC são: é fácl de ser planejado e é flexível quanto ao número de tratamento e de repetções tendo como únca lmtação o número de undades expermentas dsponíves para o expermento; o número de repetções pode varar de tratamento para tratamento, embora o desejável é ter o mesmo número de undades expermentas em todos os tratamentos; o DIC proporcona o número máxmo de graus de lberdade para o resíduo; a análse estatístca é smples mesmo que se perca algumas undades expermentas Algumas desvantagens são: é mas aproprado para um pequeno número de tratamentos e para um materal expermental homogêneo; todas as fontes de varação não assocadas aos tratamentos farão parte do resíduo, podendo comprometer a precsão das análses; super-estma a varânca resdual 57 5 Resumo O DIC é mas útl onde não exste nenhuma fonte de varação dentfcável entre as undades expermentas, exceto às dos efetos dos tratamentos É o mas flexível com respeto ao arranjo físco das undades expermentas Ele maxmza os graus de lberdade para a estmação da varânca por undade expermental (erro expermental ou erro resdual) e mnmza o valor da estatístca F requerda para a sgnfcânca estatístca

59 58 3º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL - Para avalar o efeto de altos níves de cobre na almentação de pntnhos, ses pntnhos foram almentados com uma deta basal padrão às quas foram adconadas três níves de cobre (0, 400, e 800 ppm) Os dados abaxo mostram a razão da efcênca da deta (g deta/ g ganho de peso) ao fnal de 3 semanas Use o R para apresentar os resultados Tratamentos Pntnhos (nível de cobre) ,57,54,65,57,59,58 400,9,7,55,67,64,67 800,88,6,75,97,78,0 (extraído de Statstcal Research Methods n the Lfe Scence, P V Rao, pg 87) (a) Calcular os totas dos tratamentos +, =,,3, as médas dos tratamentos, os desvos padrões dos tratamentos s, =,,3, o total geral ++, e a méda geral (b) Estabelecer as hpóteses estatístcas H 0 e H e as suposções báscas para se testar estas hpóteses (c) Monte o quadro da anova

60 59 (d) Com base nos resultados do teste F da anova faça as conclusões pertnentes sobre as hpóteses do tem (b) (e) Calcular os ntervalos de confança das médas dos tratamentos IC(µ ; 95%) Apresente os resultados (Sga o modelo tabela pg 4 da apostla) (f) Calcular os coefcentes: de determnação R e o de varação do expermento (CV) Comente os resultados

61 60 (g) Verfque as suposções báscas da ANOVA Apresente e comente os resultados - Num expermento nteramente casualzado com 5 tratamentos e 4 repetções, estudou-se o efeto de 5 carrapatcdas (tratamentos) no controle de carrapatos em bovnos Analsando- se o número de carrapatos que caram por anmal, obtveram-se as seguntes somas de quadrados: SQ Tratamentos = 4,08 SQ Total = 57,46 Estabelecer as hpóteses estatístcas H 0 e H, montar o quadro de análse de varânca, conclur e calcular o coefcente de determnação R 3- Cte as vantagens e as desvantagens do delneamento nteramente casualzado 4- Escreva o modelo matemátco do delneamento nteramente casualzado para os dados apresentados na ª questão 5- Descreva os procedmentos de um expermento cego, e dos expermentos duplamente cego 6- Quando um expermento será consderado planejado (Descreva as etapas) 7- Quas os prncípos báscos da expermentação

62 Aula 4 Teste de comparações múltplas Introdução Os testes de comparações múltplas também conhecdos como testes de comparações de médas servem como um complemento ao teste F da análse de varânca quando este é sgnfcatvo e são usados para detectar dferença entre médas Consdere o exemplo a segur Exemplo Em um expermento de almentação de porcos, foram utlzados quatro rações (A, B, C e D), cada uma fornecda a 5 anmas Os ganhos de peso, kg, foram: Rações A B C D Calculando-se as somas de quadrados podemos construr o segunte quadro de análse de varânca: FV gl SQ QM F c Rações 3 83,75 74,58 3,99 Resíduo 6 00,00 68,75 Total 9 93,75 Das tabelas das dstrbuções F, temos que 3 4 e F 5 9 O valor F c =3,99 é maor que F( 3, 6, 0, 05 ), ( 3, 6, 0, 0 ), o valor do F tabelado a 5%, então, rejetamos a hpótese nula H 0 a 5 % de probabldade Dúvda: Qual é a ração que tem o melhor desempenho no ganho de peso? Para responder a questão, conheceremos alguns PROCEDIMENTOS DE COMPARAÇÕES DE MÚLTIPLAS ou MÉTODOS DE COMPARAÇÕES DE MÉDIAS, como por exemplo, os testes t-student, Scheffé, Tuke, Duncan, Dunnett e Bonferron, dentre outros Defnções báscas Consderemos um expermento com k tratamentos, cujas médas populaconas são,,, K e seus estmadores,,, k foram obtdas de amostras de tamanhos r, r,, r K k Defnção Um contraste de médas é qualquer função do tpo Y c c c k k, com c c c c k 0 e, é a méda do tratamento =,,, k 6

63 k a b Defnção Dzemos que dos contrastes são ortogonas se 0 r Quando o expermento é balanceado (r = r) a condção de ortogonaldade é que a soma dos produtos de seus coefcentes é nula, é, a b 0 Quando um expermento envolve k tratamentos, podemos defnr dversas comparações entre as k médas, mas somente (k ) são ortogonas; ( k k ) Nos contrastes envolvendo duas médas podemos defnr contrastes possíves, os quas não são ortogonas Supondo que os tratamentos têm varânca constante e que uma estmatva não vesada desta varânca é o QMR da ANOVA, tem-se que: Y ˆ cx c x c3x 3 c n x é um estmador não vesado do k contraste Y c c c k k ; n V(ˆ Y )( c c cn ) c e um estmador não r r n QMR QMR vesado é dado por V(ˆ Yˆ )( c c cn ) c, r r se o expermento é balanceado r = r = = r K =r, as expressões acma fcam, respectvamente, n V(ˆ Y )( c c cn ) c e r r n QMR QMR V(ˆ Yˆ )( c c cn ) c r r Exemplo Em um expermento dos antbótcos em duas dosagens cada um para a cura da mastte em bovnos A varável resposta é tempo de cura em das Tratamento Descrção T Dose baxa da droga A T Dose alta da droga A T3 Dose baxa da droga B T4 Dose alta da droga B Podemos defnr os seguntes contrastes: Y 3 4 : compara as doses da droga A com as doses da droga B; Y : compara as doses da droga A; Y : compara as doses da droga B A afrmação de que o contraste Y é nulo (Y = 0) é o mesmo que afrmar 3 4 que: 3 4, ou que,, ou anda, que a méda dos tratamentos e é gual à méda dos tratamentos 3 e 4 k 6

64 63 Para verfcarmos se estes contrastes são ortogonas é aconselhável uma tabela com os coefcentes dos (k ) contrastes e a partr daí, verfcar que a soma dos produtos dos coefcentes, aos pares, é nula Contraste Y Y Y Portanto estes contrastes são ortogonas a dos e ortogonas entre s 3 Teste t - student O teste t student pode ser utlzado para comparar médas de tratamentos Os requstos báscos para sua utlzação são: as comparações devem ser determnadas a pror, ou seja, antes de serem examnados os dados não exste lmte para o número de contrastes envolvendo as médas de tratamentos, porém, o número de contrastes ortogonas é, no máxmo, gual ao número de graus de lberdade dos tratamentos A ortogonaldade entre os contrastes de médas garante ndependênca entre as conclusões O objetvo é testar a hpótese H 0 : Y 0, H : Y 0 Yˆ ˆ Y Usamos a estatístca t ~ ( t, a qual sob H k gl res, ) 0 V(ˆ Yˆ ) QMR c r verdadera tem dstrbução t-student com o mesmo número de graus de lberdade do resíduo, no DIC é ( n-k ) Para um valor fxado de nível de sgnfcânca, devemos buscar o valor de t tabelado (arquvo Tab_tstudent, dsponblzado na págna ou nos lvros ndcados na bblografa) e compará-lo com o valor da estatístca t c, calculada para o contraste Y e aplcar a regra de decsão: Se t t rejetamos H 0 para um determnado valor de, c Tabelado geralmente 5% ou %, caso contráro ( t t ), não rejetamos c Tabelado H 0 (veja o esquema gráfco desta regra de decsão apresentado no tem 6 da ª Aula) Exemplo : Num expermento nteramente casualzado com 4 tratamentos e 4 repetções, estudaram-se os efetos de Bactracna de znco(bdz) e Ant-stress sobre frangos de corte almentados com rações à base de sorgo, desde a fase ncal até a fnal A resposta medda fo conversão almentar Foram utlzados os seguntes tratamentos: Tratamento Descrção Méda(kg) Concentrado Comercal + Mlho,03 Concentrado Comercal + Sorgo,4

65 64 3 Concentrado Comercal + Sorgo + BDZ,04 4 Concentrado Comercal + Sorgo + Ant-stress, Sabendo-se que da ANOVA o valor do QMR 0, , com graus de lberdade Pode - se estabelecer os contrastes de médas dos tratamentos para cada componente do desdobramento: Mlho vs sorgos, o qual é expresso pela combnação lnear Y 3, estmado por Yˆ 3 ; Sorgo vs Sorgo + Adtvos, o qual é expresso pela combnação lnear Y 3 4, estmado por Yˆ 3 4 ; Bactracna vs Ant-stress, o qual é expresso por Y3 3 4, etmado por Y3 3 4 ; A verfcação se os contrastes são ortogonas pode ser feta faclmente no quadro abaxo: Contraste 3 4 Y ,4-3,55 (p=0,0098) Y , 6,70 (p=0,0097) Y ,8-3,8 (p=0,00) 3 p< 0,0 sgnfcatvo a % e a 5%; p< 0,05 sgnfcatvo a 5% e p> 0,05 não-sgnfcatvo a 5% H 0 : Y 0 O objetvo é testar a hpótese, para =,,3 H : Y 0 Assm, para o contraste Y, temos que: H 0 : Y 0 H : Y 0 Yˆ (3,03)(,4)(,04)(,) 0,4e 4 ˆ QMR 0, V(ˆ Y) c 0,033 r 4 Yˆ 0,4 t c 3, 55 4 QMR 0,033 c r ( t, 0,05), 79 Como tc ttab, então rejetamos H 0 (0,005<p<0,00) (Repetr estes passos para os contrastes Y e Y 3 ) Scrpt do R para o cálculo dos resultados apresentados acma # como não foram fornecdos os dados deste exemplo # é necessáro fornecer os valores # defnndo o número de repetções r <- 4 # defnndo os graus de lberdade do resíduo glr <- # quadrado médo do resíduo Ŷ I 4 I c t c

66 65 qmr < # defnndo as médas dos tratamentos mtrat <- c( 03, 4, 04, ) # defnndo os coefcentes do contraste c <- c( 3, -,-,-) #calculo da varânca do contraste varc<- qmr/r*sum(c^) # cálculo da estatístca tc da estatístca t-student tc <- sum(c*mtrat)/sqrt(qmr/r*sum(c^)) tc # cálculo do valor de p assocado à estatstca t calculada anterormente valorp<- -pt(abs(tc),glr) valorp (repta este procedmento adaptando-o aos demas contrastes) Com base nos resultados dos testes de hpóteses, concluímos que: os anmas tratados com o concentrado comercal + mlho têm uma conversão almentar melhor do que os anmas tratados com concentrado comercal + sorgo; os anmas tratados com o concentrado comercal + sorgo+adtvos têm uma conversão almentar melhor do que os anmas tratados com concentrado comercal + sorgo, ou seja, os adtvos BDZ e ant-stress quando adconados ao concentrado comercal não melhoram a conversão almentar; os anmas tratados com o concentrado comercal + sorgo+bdz têm uma conversão almentar melhor do que os anmas tratados com concentrado comercal + sorgo+ant-stress 4 Teste de Scheffé O teste de Scheffé pode testar qualquer contraste envolvendo médas de tratamentos do tpo Y c c ck k defndo a pror ou não, sendo baseado na estatístca S, defnda como: r r para todo (Expermento balanceado) r r para j F( k, gl res, ) S ( k ) F ( k ) F ( k, gl res, ) ( k, gl res, ) QMR V(ˆ Yˆ ) k c ; r (Expermento desbalanceado) j k ( S ( k ) F k, gl res, ) QMR c ; r Sendo: k o número de graus de lberdade de tratamentos; é o valor crítco da Tabela F-Snedecor, a qual depende dos graus de lberdade de tratamentos e do resíduo; c são os coefcentes do contraste e r é o número de repetções do -ésmo tratamento A Regra de Decsão do teste de Scheffé para rejetarmos ou não se o contraste é dferente de zero é comparar a estmatva do contraste Ŷ com o valor de S:

67 se Y S, rejetamos a hpótese H0 : Y 0, e concluímos que o contraste de médas é dferente de zero; se Y S, não rejetamos a hpótese H0 : Y 0, e concluímos que o contraste de médas não é dferente de zero Aplcando o teste de Scheffé ao exemplo anteror do teste de t-student, temos Contraste 3 4 Ŷ I 4 I Y ,4 0,3733 * Y , 6 0,640 * Y ,8 0,54 ns 3 * sgnfcatvo a 5%; ns não sgnfcatvo a 5% H 0 : Y 0 O objetvo é testar a hpótese, para =,,3 H : Y 0 Assm, para o contraste Y, temos que: H 0 : Y 0 H : Y 0 Yˆ (3,03)(,4)(,04)(,) 0,4e 4 ˆ QMR 0, V(ˆ Y) c 0,033 r 4 0, S (4 ) F(3,,0,05 ) (( 3) ) 4 0, (4 )(3,49)( )() 0,394 0, Pela regra de decsão Y S, logo rejetamos H 0 a 5% de probabldade e concluímos que a ração comercal com mlho tem uma conversão almentar melhor do que a que a ração comercal com sorgo O scrpt no R para o cálculo da estatístca de Scheffé é # como não foram fornecdos os dados deste exemplo # é necessáro fornecer os valores # defnndo o número de repetções r <- 4 # defnndo os graus de lberdade dos tratamentos gltr<- 3 # defnndo os graus de lberdade do resíduo glr <- # quadrado médo do resíduo qmr < # defnndo as médas dos tratamentos c S 66

68 67 mtrat <- c( 03, 4, 04, ) # defnndo os coefcentes do contraste c <- c( 3, -,-,-) # cálculo da varânca do contraste varc<- qmr/r*sum(c^) # cálculo da estatístca S de Scheffé s<- sqrt(gltr*q(095,gltr,glr)*varc) s (Repetr esse procedmento para os contrastes Y e Y 3 e trar as conclusões) 5 Teste de Tuke O Teste de Tuke é baseado na ampltude total estudentzada (studentzed range) e pode ser usado para comparar todo contraste entre duas médas de tratamentos do tpo H 0 : Y j 0 para j Hpóteses: H : Y 0 j Calcular o valor da dferença mínma sgnfcatva (dms): r r para todo (Expermento balanceado) dms q ( k ; gl res, ) QMR r r r dms j para j q( k ; gl res, ) (Expermento desbalanceado) QMR ( ) r r j sendo: q( k, gl res, ) é o valor da ampltude total estudentzada e é obtdo de tabela própra, e depende do número de tratamentos (k) e do número de graus de lberdade para o resíduo, o qual neste exemplo é (n - k) Após calcular o dms, calculamos a estmatva dos contrastes entre os pares de médas Y ˆ x x e comparamos esses valores com o valor do dms, aplcando a j segunte regra de decsão: se Yˆ d m s rejetamos H 0, ao nível a de sgnfcânca, e concluímos que as médas dos tratamentos envolvdos são dferentes; se Yˆ d m s não rejetamos H 0 e concluímos que as médas dos tratamentos envolvdos são guas Exemplo 3: usaremos os dados do exemplo apresentado no níco desta aula, o quadro da anova fornece k = 4, QMR 68, 75 com 6 graus de lberdade e q( 5, 6, 0, 05), QMR 68,75 e dms q( k ; n k, ) 4,046 5, 00 r 5 Assm, toda estmatva de contraste do tpo Y ˆ que exceder o valor do dms= 5,00 é sgnfcatvo a 5% j

69 68 Estmatva do contraste Yˆ B A ns Yˆ C A ns Yˆ 3 D A 6 4 ns Yˆ 4 B C ns Yˆ 39 7 * 5 B D Yˆ 6 C D 3 0 ns * - sgnfcatvo a 5%; ns não sgnfcatvo a 5% Scrpt no R para o cálculo da anova e o teste de Tuke # entrando com os dados de ganho de peso gp <- c(35,9,3,5,30, 40,35,46,4,33, 39,7,0,9,45, 7,,3,8,30) # entrando com o número de repetções dos tratamentos r <- 5 # entrando com os níves dos tratamentos trat <- c(rep("a",r),rep("b",r),rep("c",r),rep("d",r)) trat # cálculo das medas dos tratamentos mtrat <- tappl(gp,trat,mean) mtrat # Gráfco Box-Plot boxplot(gp~trat, vertcal=t,lab="ganho de peso",col="green") # análse da varânca - ANOVA gpav <- aov(gp~factor(trat)) summar(gpav) # obtendo os resduos resduo <- aov(gpav)$res resduo # gerando o gráfco normal de probabldade qqnorm(resduo,lab="resduos", man=null,pch=6,col=) # colocando a reta da dstrbução teórca normal qqlne(resíduo,lwd=,man="gráfco Normal de Probabldade dos Resíduos") # testando a normaldade dos resíduos "Teste de Shapro-Wlks" shaprotest(resduo)

70 Resduos ganho de peso # teste da homogenedade das varâncas "Teste de Bartllet" bartletttest(gp ~ trat) # Teste de Tuke comparatu <- TukeHSD(gpav) comparatu # grafco do teste de Tuke plot(comparatu,man="teste de Tuke") Saída proporconada por este scrpt Méda dos tratamentos A B C D gráfco box-plot para cada tratamento A B C D Quadro da anova fornecdo pela função aov( ) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) trat * Resduals Sgnf codes: 0 *** 000 ** 00 * Conclusão: o teste F é sgnfcatvo (p=0,067), rejetamos H 0 Assm exste pelo menos dos tratamentos que dferem entre s Gráfco da normaldade teste de Shapro-Wlks de normaldade Shapro-Wlk normalt test data: resduo Quants teórcos

71 70 W = 09387, p-value = 07 Conclusão: o teste é não sgnfcatvo (p=0,7), não rejetamos H 0 e concluímos que os dados deste expermento suportam a suposção de normaldade Teste de Bartlett da homogenedade das varâncas populaconas dos tratamentos Bartlett test of homogenet of varances data: gp b trat Bartlett's K-squared = 584, df = 3, p-value = Conclusão: o teste é não sgnfcatvo (p=0,6757), não rejetamos H 0 e concluímos que os dados deste expermento suportam a suposção de homogenedade das varâncas populaconas dos tratamentos Tuke multple comparsons of means 95% faml-wse confdence level Ft: aov(formula = gp ~ trat) $trat dff lwr upr p adj B-A C-A D-A C-B D-B D-C Conclusão: o teste de Tuke é sgnfcatvo (p=0,037) para o contraste entre as médas dos tratamentos D e B Os outras comparações de pares de médas populaconas dos tratamentos não são sgnfcatvas Uma forma smples de apresentação destes resultados é a segunte: coloque as médas em ordem decrescente; una as médas que não dferem entre s por meo de uma lnha No exemplo temos: D A C B * * médas segudas pela mesma lnha não dferem entre s pelo teste de Tuke a 5% de probabldade Outra forma, muto utlzada pelos pesqusadores é a que substtu a lnha por letras, ou seja, D A C B a 6ab 3ab 39b, médas segudas pela mesma letra mnúscula não dferem entre s pelo teste de Tuke a 5% de probabldade ou anda, Tratamentos Médas D a A 6 ab C 3 ab B 39 b médas segudas pela mesma letra mnúscula nas colunas não dferem entre s pelo teste de Tuke a 5% de probabldade A saída do pacote ExpDes para o teste de Tuke já contempla esta facldade das médas segudas pelas letras O scrpt do R usando os recursos deste pacote é dado por:

72 7 # usando ao função crd( ) do ExpDes # requerendo o ExpDes lbrar(expdes) crd(trat,gp,qual=t,mcomp="tuke") a saída fornecda por este scrpt é: Analss of Varance Table DF SS MS Fc Pr>Fc Treatament Resduals Total CV = 787 % Shapro-Wlk normalt test p-value: Accordng to Shapro-Wlk normalt test at 5% of sgnfcance, resduals can be consdered normal Tuke's test Groups Treatments Means a B 39 ab C 3 ab A 6 b D Teste de Dunnet É um teste utlzado no qual as úncas comparações de nteresse são aquelas entre os tratamentos e um determnado tratamento padrão, geralmente a testemunha (controle), e cada um dos demas tratamentos, não havendo nteresse na comparação dos demas tratamentos entre s Para testarmos o contraste H0 : c, o qual envolve a méda do tratamento e do tratamento controle c, usamos a estatístca: D d ( ( k, gl res, ) ) QMR, r r sendo: d ( k, gl res, ) o valor tabelado para fxado freqüentemente em 5%, que depende do número total de tratamentos (k), do número de graus de lberdade do resíduo (gl res), o qual neste exemplo é (n-k) e de ; r e r c correspondem ao número de repetções dos tratamentos e c A segur, calculamos uma estmatva para cada um dos contrastes Y ˆ e comparamos o valor da c estatístca D' e aplcamos a segunte regra de decsão: se ˆ D rejetamos H 0 e concluímos que a méda do tratamento Y dfere sgnfcatvamente da méda do tratamento c o padrão; se ˆ D não rejetamos H 0 e concluímos que a méda do Y tratamento é gual ao do tratamento padrão c Como exemplo, consdere as médas de um expermento, apresentados na tabela abaxo, em que um médco veternáro, comparou o efeto de cnco c

73 drogas na dmnução da pressão arteral de anmas expermentas Para tanto o pesqusador tomou 30 anmas e dvdu ao acaso em ses grupos: o grupo controle recebeu um placebo e os outros receberam, cada um, uma das drogas Médas Tratamentos (Drogas) A a B 8 b C 0 b D 9 a E 3 a Controle b Médas com a mesma letra do controle nao dferem deste pelo teste de Dunnett a 5% de probabldade A verfcação destes resultados pode ser feta por meo dos resultados da ANOVA, onde QMR= 36, os graus de lberdade do resíduo é 4 e vamos fxar 5% Procedmentos: consultando a Tabela do Teste de Dunnett (VIEIRA, S pg 83 e 84) a 5% de probabldade, temos que d( 6, 4, 0, 05 ), 76 e a ( 36) estatístca D,76 0, 47 5 é fácl verfcar que as drogas A, D e E dferem sgnfcatvamente do controle, ou seja, apresentam resultados melhores que os do controle O teste de Dunnett no R está mplementado no pacote multcomp Um exemplo de sua utlzação para os dados do exemplo desta aula, consderando o tratamento A como controle, é dado pelo scrpt abaxo # nstalando o pacote multcomp nstallpackages("multcomp") # requerendo o pacote multcomp requre(multcomp) # teste de Dunnett gpdunnett <- glht(gpav, lnfct = mcp(trat = "Dunnett")) summar(gpdunnett) A saída fornecda por este scrpt é: Smultaneous Tests for General Lnear Hpotheses Multple Comparsons of Means: Dunnett Contrasts Ft: aov(formula = gp ~ trat) Lnear Hpotheses: Estmate Std Error t value Pr(> t ) B - A == C - A == D - A == Sgnf codes: 0 *** 000 ** 00 *

74 (Adjusted p values reported -- sngle-step method) Conclusão: todos os valores de p do teste t-student são superores a 0,05 (p > 0,05) logo nenhum dos tratamentos B, C e D dferem do controle A 7 Teste de Duncan A aplcação do teste de Duncan é bem mas trabalhosa que o teste de Tuke, mas chega-se a resultados mas detalhados e se dscrmna com mas facldade entre os tratamentos Geralmente, o Teste de Duncan ndca resultados sgnfcatvos em casos em que o Teste de Tuke não permte obter sgnfcânca estatístca Para a aplcação do teste é mportante ordenarmos as médas dos tratamentos em ordem crescente ou decrescente de tamanho A segur, calculamos o valor da ampltude total mínma sgnfcatva (shortest sgnfcant range) para o contraste entre a maor e a menor das médas dos tratamentos, usando a fórmula: QMR d m s z( p, gl res, ), r sendo: p=-j+ ( nº de médas abrangdas pelo ntervalo delmtado pelas médas comparadas), z ( p, gl res, ) é o nível da ampltude mínma estudentzada de Duncan (obtdo da Tabela de Duncan arquvo Tab_Duncan_5%pdf), neste exemplo os graus de lberdade do resíduo é n-k A regra de decsão é: se Yˆ d m s rejeta-se H 0, ou seja, se o valor absoluto da dferença entre as médas em comparação é gual ou maor que a dms se Yˆ d m s não rejetamos H 0 Consdere os dados do tem 6 desta aula A ordem dos tratamentos, segundo a grandeza das médas, é: Tratamentos Controle B C E A D Médas () (8) (0) (3) () (9) O valor do dms para comparar a méda do Controle com a méda da Droga D é: 36 d m s 3,76 8,79, 5 Sendo que o valor de p = 6-+ = 6, o valor dos graus de lberdade neste exemplo é n-k=4 e 5% Daí que o valor Tabelado é ( 6, 4, 0, ) 3, 76 O valor Y Cont 9 7 7, o que pela z 05 ˆ regra de decsão nos leva a rejetar a H0 : Y 0 e concluímos que a méda da Droga D é sgnfcatvamente maor que a méda do controle, a 5% de probabldade As comparações entre o controle e a Droga A, e entre as Drogas B e D, envolvem ntervalos de cnco médas e o calculo do dms do teste de Duncan fca: D os contrastes são Y Cont A e Y3 B D e seus valores de suas estmatvas em módulo são 73

75 74 Y ˆ 9 e Y 8 9 e o valor da 3 36 d m s 3,6 8,66 Neste caso z ( 5,4,0,05) 3, 6, 5 portanto, rejetamos as hpóteses H0 : Y Cont A 0 e H0 : Y3 B D 0 e concluímos que estes contrastes são sgnfcatvos a 5% de probabldade Da mesma forma para comparar o controle e a Droga E, as Drogas B e A, e as Drogas C e D, todas elas envolvendo quatro médas, temos, os contrastes Y4 Cont E, Y5 B A e Y6 C D e seus valores de suas estmatvas em módulo são Y ˆ 3, Y 8 3 e Y e o valor da d m s 3,60 8,48 Neste caso z ( 4,4,0,05) 3, 60 5 Portanto rejetamos as hpóteses H0 : Y4 Cont E 0; H0 : Y5 B D 0 e H0 : Y6 C D 0 e concluímos que estes contrastes são sgnfcatvos a 5% de probabldade Este mesmo procedmento pode ser feto para comparar médas de tratamentos correspondendo a ntervalos que abrangem três médas, sendo que neste caso, z ( 3,4,0,05) 3, 066 e duas a duas com z(, 4, 0, 05 ), 99 (ver detalhes destes cálculos no lvro da Vera, S Estatístca expermental p 66) O resultado da aplcação do teste de Duncan é representado da segunte manera: Tratamentos Controle B C E A D médas ()a (8)ab (0)ab (3)b ()c (9)d Médas segudas pela mesma letra mnúscula não dferem entre s pelo teste de Duncan a 5% de probabldade # usando ao função crd( ) do ExpDes # requerendo o ExpDes (atenção!!! se o ExpDes já fo requerdo não é # necessáro requerê-lo novamente lbrar(expdes) # crd(trat,gp,qual=t,mcomp="duncan") A saída fornecda por este scrpt é Analss of Varance Table DF SS MS Fc Pr>Fc Treatament Resduals Total CV = 787 % Shapro-Wlk normalt test

76 75 p-value: Accordng to Shapro-Wlk normalt test at 5% of sgnfcance, resduals can be consdered normal Duncan's test Groups Treatments Means a B 39 ab C 3 b A 6 b D Conclusão (somente para o teste de Duncan): O tratamento B dfere sgnfcatvamente dos tratamentos A e D Reparem que o teste de Duncan ndcou uma dferença a mas, entre os tratamentos B e A, a qual não fo ndcada pelo teste de Tuke A função crd( ) do pacote ExpDes fornece outras opções de testes de comparações múltplas para serem colocadas no comando mcomp = " " O teste default é o teste de Tuke ("tuke") As outras opções são o teste LSD equvalente ao teste t-student ("lsd"); o teste LSD com proteção Bonferron ("lsdb"); o teste de Duncan ("duncan"); o teste de Student-Newman-Kews ("snk") e o teste de Scott-Knott ("sk") 8 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES SOBRE O USO DE PROCEDIMENTOS DE COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS Quando desejamos comparar os dversos tratamentos com um tratamento controle ou padrão (testemunha), o teste de Dunnett é o mas ndcado Os testes de Duncan e de Tuke têm fundamentos muto semelhantes, mas o teste de Duncan é menos conservador e menos exgente que o teste de Tuke, sto é, ndca dferenças sgnfcatvas com mas facldade Vale lembrar também que o teste de Duncan é um teste seqüencal e a sua aplcação é mas trabalhosa Ambos os testes são exatos quando os números de repetções por tratamento forem guas; caso contráro os testes são apenas aproxmados O teste t-sudent é pouco rgoroso quando usado ndscrmnadamente, devendo ser usado com cautela para testar contrastes ortogonas defndos a pror Já o teste de Scheffé é bastante rgoroso e seu uso é desaconselhável (como o teste t-student) para a comparação entre duas médas de tratamentos, sendo mas ndcado para testar contrastes que envolvem mas de duas médas O pacote "agrcolae " também pode ser a utlzado para as comparações múltplas A segur é fornecdo um scrpt utlzando este pacote # nstatlando o pacote "agrcolae" nstallpackages("agrcolae") # requerendo o pacote agrcolae requre("agrcolae") # teste de Tuke comparatuke <- HSDtest(gpav,"trat") # gráfco de barras das médas com as letras segundo com o teste de Tuke bargroup(comparatuke,man="teste de Tuke", lm=c(0,50), xlab="tratamentos (Rações)")

77 # teste de Duncan comparaduncan <- duncantest(gpav,"trat") # gráfco de barras das médas com as letras segundo o teste de Duncan bargroup(comparaduncan,man="teste de Duncan",lm=c(0,50), xlab="tratamentos (Rações)") # teste de Scheffé comparascheffe <- scheffetest(gpav,"trat") # gráfco de barras das médas com as letras segundo o teste de Scheffé bargroup(comparascheffe, man="teste de Scheffé",lm=c(0,50), xlab="tratamentos (Rações)") Este scrpt fornece a segunte saída HSD Test for gp Mean Square Error: 6875 trat, means gp stderr replcaton A B C D alpha: 005 ; Df Error: 6 Crtcal Value of Studentzed Range: Honestl Sgnfcant Dfference: Means wth the same letter are not sgnfcantl dfferent Groups, Treatments and means a B 39 ab C 3 ab A 6 b D Teste de Tuke a ab ab b B C A D Tratamentos (Rações) Saída do teste de Duncan Duncan's new multple range test for gp Mean Square Error: 6875

78 trat, means gp stderr replcaton A B C D alpha: 005 ; Df Error: 6 Crtcal Range Means wth the same letter are not sgnfcantl dfferent Groups, Treatments and means a B 39 ab C 3 b A 6 b D Teste de Duncan a ab b b B C A D Tratamentos (Rações) Saída do teste Scheffé Scheffe Test for gp Mean Square Error : 6875 trat, means gp stderr replcaton A B C D alpha: 005 ; Df Error: 6 Crtcal Value of F: Mnmum Sgnfcant Dfference: Means wth the same letter are not sgnfcantl dfferent Groups, Treatments and means A B 39 ab C 3 ab A 6 b D

79 Teste de Scheffé a ab ab b B C A D Tratamentos (Rações)

80 79 4º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL Três extratos de orgem vegetal foram fornecdos a 0 cães por va oral com a fnaldade de testar o possível efeto sobre a pressão arteral sstólca desses anmas Os cães foram dvddos em grupos de cnco anmas, recebendo cada grupo um tpo de extrato, ao acaso, B, C ou D, além de um grupo controle A, tratado com placebo Os dados obtdos foram: Trat(extratos) (Controle) A 74,0 7,0 73,0 79,0 68,0 B 99,0 9,0 94,0 0,0 97,0 C 00,0 95,0 97,0 99,0 98,0 D 78,0 74,0 75,0 86,0 7,0 (a) (b) (c) (d) (e) Cães Totas Médas s Total Geral Escreva o scrpt da lnguagem R para ler os dados da tabela acma e calcular os totas dos tratamentos, as médas dos tratamentos, os desvos padrões dos tratamentos, o total geral, e a méda geral Apresente os resultados na mesma tabela acma Escrever o modelo matemátco do expermento, estabelecer as hpóteses estatístcas H 0 e H e as suposções báscas para se testar estas hpóteses Escreva o scrpt para os cálculos do quadro da análse de varânca e apresente monte o quadro da anova Apresente as conclusões Aplque o teste de Tuke para comparar as médas a Apresente um quadro e um gráfco de barras das médas juntamente com as letras explcando as dferenças Tre as conclusões Aplque o teste de Duncan para comparar as médas a Apresente um quadro e um gráfco de barras das médas juntamente com as letras explcando as dferenças Tre as conclusões (f) Aplque o teste de Dunnett para comparar as médas com o controle A Comente os resultados - A redução da pressão sangüínea sstólca (RPS) depos da admnstração de drogas para hpertensão é um dos ndcadores de como os pacentes estão respondendo às drogas No tratamento da hpertensão, os efetos colateras assocados com as drogas têm um partcular nteresse Neste estudo, duas drogas X e Y para a redução dos efetos colateras de uma droga padrão (P) de hpertensão fo avalada O estudo fo conduzdo em um delneamento nteramente casualzado com cnco tratamentos, assm defndos: T Droga padrão (P) T P combnada com uma dose baxa de X (P+DBX) T 3 P combnada com uma dose alta de X (P+DAX) T 4 P combnada com uma dose baxa de Y (P+DBY) T 5 P combnada com uma dose alta de Y (P+DAY) A redução na pressão sangüínea (mm Hg) em um período de quatro semanas observadas em cães expermentas está tabulada abaxo: Tratamentos Repetção 3 4 Total Méda T T T T T Pede-se: a) A análse de varânca para testar a hpótese geral de gualdade das médas dos tratamentos; b) Aplque os testes t-student e Scheffé nos contrates abaxo: b Exste efeto das drogas combnadas (T T 3 T 4 T 5 ) na RPS? b Exste dferença entre os efetos médos das doses baxa e alta da droga Y? b3 Exste dferença entre a resposta méda esperada das duas doses de X? (extraído de Statstcal Research Methods n the Lfe Scence, P V Rao, pg 37)

81 Aula 5 Testes F planejados No planejamento de um expermento, frequentemente pode-se utlzar o teste F para responder algumas questões mas específcas Isto mplca na decomposção dos graus de lberdade e da soma de quadrados do efeto dos tratamentos em componentes de comparações Estes componentes podem ser classes de comparações ou tendênca das respostas Eles podem ser testados pela partção dos graus de lberdade e da soma de quadrados dos efetos dos tratamentos em contrastes smples e específcos e suas soma de quadrados assocadas O número de contrastes ndependentes e ortogonas que podem ser defndos é gual ao número de graus de lberdade do efeto do tratamento O poder e a smplcdade deste método não são muto aprecados e compreenddos pelos pesqusadores com devera ser Esta metodologa envolve a defnção de contrastes ortogonas, e talvez este termo, cra a mpressão de que ele é complcado e dfícl Isto esta longe de ser verdade Atualmente este método tem três grandes vantagens: permte responder a questões específcas e mportantes a respeto dos efetos dos tratamentos; os cálculos são smples; e, proporcona uma checagem útl da soma de quadrados dos tratamentos Esta metodologa também é denomnada de desdobramento, ou a decomposção dos graus de lberdade de tratamentos Soma de quadrados de um contraste Quando utlzamos contrastes na decomposção dos graus de lberdade dos efetos dos tratamentos usamos a segunte defnção para o cálculo da soma de quadrados: Defnção: a soma de quadrados de um contraste é calculada pela k ( cy ) fórmula (ˆ Y ) SQ( Y ) ou SQ( Y ), sendo: c os k k r c r c coefcentes do contraste; Y os totas dos tratamentos e r o numero de repetções (neste caso r = r = = r k ) e k Y ˆ ( c Y ) é uma estmatva do contraste com base nos totas Observações mportantes: todo contraste tem sempre grau de lberdade, assm QM(Y ) = SQ(Y ) geralmente, testamos H 0 : Y = 0 vs H : Y 0 e para tanto usamos a estatístca F-Snedecor tendo como denomnador o quadrado médo do erro expermental (QMR) os contrastes devem ser planejados a pror e podem ser tão numerosos quanto acharmos necessáro o número de contrastes ortogonas entre os totas dos tratamentos é gual ao número de graus de lberdade assocados a essa fonte de varação, sto é, se o fator tratamento tem k níves então conseguremos defnr somente (k-) contrastes ortogonas 80

82 se Y, Y,, Y k são contrastes ortogonas envolvendo os totas dos k níves do fator, então SQ Y ) SQ ( Y ) SQ ( Y ) k SQTr ( a ortogonaldade dos contrastes garante a ndependênca entre as conclusões Exemplo : Foram comparados os efetos de cnco tratamentos no crescmento de alevnos de carpas (medu-se o comprmento em cm aos dos meses de dade) em um DIC T ração comum (rc) T ração comum + esterco (rce) T 3 ração comum + esterco de porco + vtamna B (rceb ) T 4 ração comum + farnha de osso (rcfo) T 5 ração comum + farnha de osso + vtamna B (rcfob ) Dados Repetções Trat 3 4 T 4,6 5, 5,8 5,5 T 6,0 7, 7, 6,8 T 3 5,8 7, 6,9 6,7 T 4 5,6 4,9 5,9 5,7 T 5 5,8 6,4 6,8 6,8 Análse de varânca usual Causas da Varação GL SQ QM F Tratamentos 4 7,7,9 7,9 Resíduo 5 4,03 0,7 Total 9,75 F, 5; 0, 05) 3 06 e F( 4, 5; 0, 0 ( 4, ), 4 89 Conclusão: o teste é sgnfcatvo a % de probabldade, portanto rejetamos H 0, os tratamentos apresentam efetos dstntos sobre o crescmento de alevnos de carpas Esta é uma nformação geral sobre os efetos dos tratamentos Para obtermos nformações detalhadas devemos decompor os 4 graus de lberdade dos efetos dos tratamentos em quatro contrastes ortogonas Comparações objetvas: rc vs demas Y ˆ 4T T T rce vs rcfo Y ˆ T rce vs rceb Y ˆ T T 3 T4 T5 4Y Y Y3 Y 4 T3 T4 T5 Y Y3 Y 4 Y5 3 3 Y Y3 rcfo vs rcfob Y ˆ T T Y Y5 8

83 Contraste Y Y Y 3 Y 4 Y 5 Y Y Y Y Usando a fórmula defnda acma para o cálculo da soma de quadrados dos contrastes temos: ) rc vs demas Y (4,0)7, 6,6, 5,6 7, 6 cm 5 ˆ c (4) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 (ˆ Y ) ( 7,4) S Q(ˆ Y ) 3,78 5 (4 0) r c (A obtenção das SQ dos outros contrastes são dexadas como exercícos) A anova com os testes F planejados ou com os desdobramentos dos graus de lberdade do efeto dos tratamentos fca: Causas da Varação GL SQ QM F Pr(>F) rc vs demas (Y ) 3,87 3,87 4, rce vs rcfo (Y ),0,0 7, rce vs rceb (Y 3 ) 0,03 0,03 0, Rcfo vs rcfob (Y 4 ),7,7 6, Tratamentos (4) (7,7),9 7, Resíduo 5 4,03 0,7 Total 9,75 F 4, 5; 0, 05 ) 3 06; F( 4, 5; 0, 0) 4, 89; F(, 5; 0, 05 ) 4, 54 e F(, 5; 0, 05 Conclusões: (, ) 8 8, 68 rc vs demas o contraste é sgnfcatvo (p<0,0) e pelo resultado do contraste devemos utlzar rce ou rceb, ou anda, rcfo ou rcfob, quando comparada com a rc rce vs rcfo o contraste é sgnfcatvo (p<0,05) e pelo resultado do contraste verfcamos que rce tem um efeto superor no crescmento dos alevnos, quando comparada com rcfo rce vs rceb - o contraste é não sgnfcatvo (p>0,05), portanto o acréscmo de vtamna B à rce (rceb ) não afeta sgnfcatvamente, o crescmento dos alevnos, quando comparada com a rce rcfo vs rcfob o contraste é sgnfcatvo (p<0,05) e pelo resultado do contraste devemos adconar vtamna B à ração comum com farnha de osso,quando comparada com a rcfo Scrpt no R para os cálculos descrtos acma # entrando com o número de repetções r <- 4

84 83 # crando os níves dos tratamentos trat <- c(rep("t",r),rep("t",r),rep("t3",r),rep("t4",r),rep("t5",r)) trat # entrando com os valores comp <- c(46,5,58,55, # observações do tratamento T 60,7,7,68, # observações do tratamento T 58,7,69,67, # observações do tratamento T3 56,49,59,57, # observações do tratamento T4 58,64,68,68) # observações do tratamento T5 comp # fazendo a análse da varânca - ANOVA compav <- aov(comp~factor(trat)) # mprmndo o quadro da ANOVA summar(compav) # Defnção do contraste c <- c(4,-,-,-,-) # contraste rc vs demas # obtenção do QMR no quadro da anova qmr <- anova(compav)[,3] qmr # obtenção dos gl do resduo no quadro da anova glr <- anova(compav)[,] glr # cálculo dos totas por tratamento ttrat <- tappl(comp,trat,sum) ttrat # estmatva do contraste Y com base nos totas est <-sum(c*ttrat) est # cálculo da soma de quadrados sq <- (est^)/(r*sum(c^)) sq # Cálculo da estatístca F fc <- sq/qmr fc # Cálculo do valor de p assocado à estatístca fc valorp <- -pf(fc,,glr) valorp Para obter os resultados referentes aos outros contrastes basta substtur o objeto c na lnha # Defnção do contraste pelo contraste correspondente defndo abaxo e executar todo o scrpt novamente

85 84 #c <- c(0,,,-,-) # contraste rce vs rcfo #c <- c(0,,-, 0, 0) # contraste rce vs rceb #c <- c(0, 0, 0,,-) # contraste rcfo vs rcfob Estes resultados podem ser obtdos faclmente com o pacote gmodels # nstalando o pacote gmodels nstallpackages("gmodels") # requerendo o pacote para o ambente R requre(gmodels) # juntando os 4 contrastes no objeto cte cte <-rbnd(c(4,-,-,-,-), c(0,,,-,-), c(0,,-, 0, 0), c(0, 0, 0,,-)) # calculando a anova com desdobramento dos gl dos tratamentos compav <- aov(comp ~ trat,contrast = lst(trat = makecontrasts(cte))) # mprmndo o quadro da ANOVA summar(compav, splt = lst(trat = :4)) Quando os tratamentos e/ou fatores utlzados num expermento são de natureza qualtatva (raça, sexo, cultvares, tratos culturas etc) os testes de comparações de médas (teste t-student, testes de Tuke, Duncan, Scheffé etc) se aplcam sem restrções A esses casos se equparam os fatores ou tratamentos quanttatvos (doses de uma droga, tempo, etc) quando há só dos níves (presença e ausênca, por exemplo) O mesmo não acontece, porém, quando o tratamento ou fator quanttatvo tem mas de dos níves, por exemplo: doses crescentes de cobre na almentação de galnhas (0, 400 e 800 ppm); doses crescentes de uma droga; 0%, 0%, 40% e 60% de substtução de um ngredente da ração por farelo de soja Em tas stuações é essencal avalar o comportamento da varável resposta ao longo dos níves do fator, através de uma equação de regressão Por exemplo: a equação que assoca a freqüênca cardíaca em função de doses de uma droga é quase sempre desconhecda, mas em geral, pode ser bem estmada por meo de uma equação polnomal do tpo: 3 Y a0 a x a x a3 x, sendo Y, a resposta avalada e x os níves quanttatvos do fator (tratamentos) O ajuste e a nterpretação da equação de regressão quando o polnômo é de grau muto elevado são tarefas bastante complexas Porém, quando os níves do fator quanttatvo são gualmente espaçados, o estudo do comportamento das médas pode ser feto utlzando o método dos polnômos ortogonas, que será apresentado a segur através de um exemplo Exemplo: os efetos de quatro tratamentos no ganho de peso (g) de alevnos de carpas foram comparados em um DIC T ração comum T ração comum + 0 mg de B

86 85 T3 ração comum + 0 mg de B T4 ração comum + 30 mg de B Dados Repetções Trat ,80 6,50 6,40 6,50 0 7,90 6,60 6,80 6,0 0 8,30 8,40 8,60 9,0 30 9,50 9,80 0,00 0,70 H H 0 : 3 : pelo menos duas médas 4 Análse de varânca usual Causas da Varação GL SQ QM F Tratamentos 3 3,03 0,0 4,3 Resíduo,95 0,5 Total 5 33, F 5 95 F( 3, ; 0, 05 ), ( 3, ; 0, 0), O teste F é sgnfcatvo a % de probabldade, portanto rejeta-se Ho, os tratamentos apresentam efetos dstntos sobre o crescmento dos alevnos de carpas Como os níves são eqüdstantes, 0, 0, 0 e 30 mg a decomposção dos graus de lberdade pode ser feta com uso de polnômos ortogonas, usando-se os coefcentes dos contrastes encontrados em tabelas As tabelas são construídas em função do número de tratamentos, denomnados níves Assm, como temos 4 tratamentos, temos 4 níves e o polnômo máxmo é o de grau 3 Consultando as tabelas dos coefcentes dos polnômos ortogonas (Gomes P, 966, p 34, Sampao, IBM, 998, p 5), podemos montar a segunte tabela Tratamentos Coefcentes para 4 níves (Totas) º grau º grau 3º grau T =6, T =7, T 3 =34, T 4 =40, ci I Assm, para o efeto lnear temos: ˆ Y Lnear ( 3)(6,0)( )(7,50)()(34,50)(3)(40,00) 48,40 ( 3) T ( ) T () T (3) T 3 (48,40) S Q( Y Lnear ) 9,8 (4)(0) (A obtenção das SQ dos efetos quadrátcos e cúbcos são dexados como exercíco) 4

87 A análse de varânca com desdobramento dos graus de lberdade dos tratamentos por polnômos ortogonas Causas da Varação GL SQ QM F Regressão lnear 9,8 9,8 9,3 Regressão Quadrátca,0,0 4,49 Regressão Cúbca 0,65 0,65,64 Tratamentos (3) (3,03) 0,34 4,5 Resíduo,95 0,5 Total 5 33, ; F 5, 95; F 4, 75 e F F( 3, ; 0, 05 ), ( 3, ; 0, 0) (, ; 0, 05 ) (, ; 0, 0) 9, 33 Conclusão: somente a componente do º grau fo sgnfcatva (p<0,0), ou seja, a dferença entre os valores médos dos tratamentos está sendo explcada por uma equação lnear, Y a bx, cujos parâmetros a e b são estmados por: k X k Y k X Y ˆ k e a Y ˆ b X k ( k X ) X k b ˆ, sendo: bˆ e aˆ, os estmadores de mínmos quadrados de b e a, respectvamente, x = 0, 0, 0 e 30 as doses de vtamna B ; = 6,55, 6,80, 8,63 e 0,00 são os comprmentos médos dos alevnos, para =,, 3, 4 Utlzando essas fórmulas, obtemos a equação Y ˆ 6, 68 0, X Scrpt no R para os cálculos acma # entrando com o número de repetções r <- 4 # crando os níves dos tratamentos trat <- c(rep(0,r),rep(0,r),rep(0,r),rep(30,r)) trat # entrando com os valores gpeso <- c(680, 650, 640, 650, # observações do tratamento 790, 660, 680, 60, # observações do tratamento 830, 840, 860, 90, # observações do tratamento 3 950, 980, 000, 070) # observações do tratamento 4 #mprmndo o resumo do arquvo head(gpeso) # calculando o quadro da ANOVA gpesoav <- aov(comp~factor(trat)) # mprmndo o quadro da anova anova(compav) # obtenção do QMR no quadro da anova qmr <- anova(compav)[,3] 86

88 87 qmr # obtenção dos gl do resduo no quadro da anova glr <- anova(compav)[,] glr # cálculo dos totas por tratamento ttrat <- tappl(gpeso,trat,sum) ttrat # Defnção do contraste c <- c(-3,-,,3) # efeto lnear # estmatva do contraste lnear com base nos totas est <-sum(c*ttrat) est # cálculo da soma de quadrados sq<- (est^)/(r*sum(c^)) sq # calculo da estatístca F fc <- sq/qmr fc # calculo do valor de p da estatístca fc valorp <- -pf(fc,,glr) valorp Para obter os resultados referentes aos outros contrastes basta substtur o objeto c na lnha # Defnção do contraste pelo contraste correspondente defndo abaxo e executar todo o scrpt novamente #c <- c(,-,-,) # efeto quadrátco #c <- c(-,3,-3,) # efeto cúbco Este quadro da anova pode ser obtdo faclmente com o pacote gmodels Não há necessdade de nstalar o pacote gmodels novamente, dado que ele já fo nstalado no scrpt anteror Basta requerê-lo Scrpt no R utlzando o pacote gmodels # requerendo o pacote para o ambente R requre(gmodels) # juntando os 3 contrastes no objeto cte cte<-rbnd(c(-3, -,, 3), c(, -, -, ), c(-, 3, -3, )) # cálculando a anova com desdobramento dos gl dos tratamentos gpesoav <- aov(gpeso ~ trat,contrast = lst(trat = makecontrasts(cte))) # mprmndo o quadro da ANOVA summar(gpesoav, splt = lst(trat = :4))

89 Este quadro da anova com os desdobramentos dos graus de lberdade dos tratamentos junto com as equações lnear, quadrátca e cúbca são faclmente obtdos com o pacote ExpDes Scrpt no R utlzando o pacote ExpDes #requrendo o pacote ExpDes requre(expdes) #quadro da anova com o desdobramento dos graus de lberdade dos trat crd(trat,gpeso,qual=f) Fazendo o gráfco da reta de regressão # entrando com os valores da dose (x) dose<-c(0,0,0,30) # cálculo das médas dos tratamentos () mtrat<-tappl(gpeso,trat,mean) mtrat # gráfco de dspersão (dose x ganho de peso) plot(dose,mtrat,pch=6, col="black",lab="ganho de peso (g)") # ajustando a reta de regressão regln<-lm(mtrat~dose) #mprmndo os resultados do ajuste summar(regln) # colocando a reta estmada no gráfco de dspersão ablne(regln,col="blue",lwd=) 88

90 5º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL ) Num expermento estudou-se a adção de trgulho, a uma deta básca de mlho e farelo de soja na almentação se suínos, mestços ( Landrace x Large Whte), com peso ncal de 0,5 kg durante um período expermental de 40 das, mantdos em gaolas metálcas de,90 x 0,74 m O delneamento expermental fo o nteramente casualzado com 5 tratamentos e 8 repetções e a parcela expermental representada por 4 anmas (dos machos castrados e duas fêmeas) Os tratamentos consstram na nclusão de 0; 7,5; 5,0;,5; e 30% de trgulho em detas à base de mlho e soja Os ganhos de peso médo dáro em gramas (méda dos 4 anmas na parcela) foram: Tratamentos Repetções Total % de trgulho , , , , , A análse de varânca prelmnar é a segunte: Causa da varação GL S Quadrados Q M F Tratamentos ,55 3,30** Resíduo 35 65,00 75,00 Total 39 ** Sgnfcatvo p<0,0 a- Escrever o scrpt na lnguagem do R para reproduzr o quadro da anova acma b- Escrever também o scrpt para montar a tabela de análse de varânca com desdobramento dos graus de lberdade de tratamentos por polnômos ortogonas Causa da varação GL S Q Q M F Vapor de p Tratamentos ,55 3,30** Y (Lnear) Y (Quadrátco) Y 3 (Cúbco) Y 4 (4ª grau) Resíduo 65,00 75,00 Total 0,346 c- Trar as conclusões prátcas possíves para este expermento d- Calcular as médas e os erros padrões das médas dos tratamentos e o coefcente de determnação e de varação do expermento Coefcentes dos polnômos ortogonas para 5 tratamentos: Lnear: Quadrátco : Cúbco: - 0-4º Grau : ) Num expermento nteramente casualzado de competção de lnhagens de aves vsando o ganho de peso aos 60 das de dade, foram utlzados 4 tratamentos e 6 repetções Os tratamentos, com as respectvas médas de ganho de peso foram as seguntes: - ARBOR ACRES,8 kg - KIMBER 44,59 kg 3- PILCH 3,6 kg 4- COBBS 4,7 kg Para a análse de varânca dos ganhos de peso, obteve-se: SQ Tratamentos = 0,66 e SQ Total = 0,346 a) Sejam os contrastes: 3 ; 4 ; Verfcar se estes contrastes são ortogonas entre s 89 b) Preencher o quadro da anova abaxo:

91 FV GL S Q Q M F Vapor de p Tratamentos 0,66 Y Y Y 3 Resíduo Total 0,346 c) Apresente as conclusões destes testes d) Calcular R e o CV deste expermento e conclur 3- Num expermento nteramente casualzado, com 5 tratamentos e 6 repetções, estudou-se o efeto da nfestação de ovnos e caprnos por larvas de Gagera pachscels (Nematoda: Anclostomatodea) Os tratamentos aplcados foram: T - nfestação com 50 larvas por anmal T - nfestação com 300 larvas por anmal T 3 - nfestação com 600 larvas por anmal T 4 - nfestação com 00 larvas por anmal T 5 - nfestação com 400 larvas por anmal A análse de varânca do número de semanas decorrdas até a morte do anmal apresentou os seguntes resultados SQ Tratamentos = 5,704 SQ Total =3,89 Sabendo-se, também que as médas do número de semanas, decorrdas até a morte do anmal, por tratamento foram:,8 4,6 = 3,55 = 3, =, Pede-se: a) Montar a análse de varânca e conclur FV GL S Q Q M F Vapor de p Tratamentos 5,704 Resíduo Total 3,89 b) Verfcar pelo teste de Tuke, Duncan e Scheffé ao nível de 5% de probabldade, quas as médas de tratamentos que estão dferndo sgnfcantemente entre s 90

92 Aula 6 Delneamento em blocos casualzados (DBC) Suponha que um expermentador esteja nteressado em estudar os efetos de 3 dferentes detas A prmera provdênca do pesqusador fo a de se nterar a respeto da natureza do materal expermental dsponível Feto sto, constatou que ele dspora de anmas com aproxmadamente o mesmo peso Entretanto, estes anmas eram provenentes de 4 nnhadas, cada uma contendo três anmas Dentro de uma nnhada, os três anmas foram sorteados às três detas Os anmas foram colocados em baas dêntcas e almentados com as detas sorteadas, em dêntcas condções Medu-se, então, o ganho de peso desses anmas depos de semanas Os dados obtdos são apresentados no quadro abaxo: Deta Nnhada 3 4 Total A 8,7 9,3 8, 8,6 4,8 B 30,7 34,9 3,6 34,4 3,6 C 3,9 34, 34,9 35,3 36,3 Total 9,3 98,4 95,7 98,3 383,7 Organzando as observações em arquvos com extensão xls ou txt detaxls deta nnhada gpeso A Nnhada 87 A Nnhada 93 A Nnhada3 8 A Nnhada4 86 B Nnhada 307 B Nnhada 349 B Nnhada3 36 B Nnhada4 344 C Nnhada 39 C Nnhada 34 C Nnhada3 349 C Nnhada4 353 detatxt deta nnhada gpeso A Nnhada 87 A Nnhada 93 A Nnhada3 8 A Nnhada4 86 B Nnhada 307 B Nnhada 349 B Nnhada3 36 B Nnhada4 344 C Nnhada 39 C Nnhada 34 C Nnhada3 349 C Nnhada4 353 (Dca: prmero dgte os dados no excel, para depos colocá-lo no bloco de notas) O delneamento expermental para este ensao de detas é um exemplo de um Delneamento em Blocos Casualzados com três tratamentos e quatro blocos Os tratamentos são níves de um fator expermental, as três detas; os blocos são os níves do fator confunddo, as nnhadas Dado que os anmas em dferentes nnhadas respondem dferentemente a uma dada deta, a nnhada é consderada, um fator de confundmento As undades expermentas (anmas) são agrupados em 4 blocos, de tal forma que, dentro de cada grupo, três undades são afetadas pelo mesmo nível do fator de confundmento Por causa da porção das característcas nerentes aos anmas dentro de uma mesma nnhada (bloco), suas respostas serão muto smlares, enquanto que as respostas dos anmas pertencentes a dferentes nnhadas rão varar muto; sto é, as undades expermentas são mas homogêneas dentro dos blocos do que entre os blocos Assm, resumdamente, podemos defnr que um DBC é um delneamento no qual as undades (undades expermentas) às quas os tratamentos são aplcados são subdvddos em grupos homogêneos, denomnados de blocos, tal que o número de undades expermentas em um bloco é gual ao número (ou algum múltplo do número) de tratamentos estudados Os tratamentos são então sorteados às undades expermentas 9

93 dentro de cada bloco Deve-se ressaltar que cada tratamento aparece em cada bloco, e todo bloco recebe todos os tratamentos Quando se usa o DBC, o objetvo é solar e remover do termo de erro (resíduo) a varação atrbuída ao bloco, garantndo assm, que as médas dos tratamentos estão lvres do efeto dos blocos A efetvdade deste delneamento depende da habldade em se obter blocos homogêneos de undades expermentas A habldade para formar blocos homogêneos depende do conhecmento que o pesqusador tem do materal expermental Quando os blocos são usados adequadamente, o QMR (quadrado médo do resíduo) no quadro da ANOVA será reduzdo, a estatístca F aumentará, e a chance de se rejetar H 0 (hpótese de nuldade) será maor Em expermentos com anmas, quando suspeta-se que dferentes raças de anmas responderá dferentemente ao mesmo tratamento, a raça do anmal pode ser usada como um fator a ser consderado na formação dos blocos O DBC pode, também, ser empregado efetvamente quando um expermento deve ser conduzdo em mas de um laboratóro (bloco) ou quando város das (blocos) são requerdos para a realzação do expermento No DBC temos os três prncípos báscos da expermentação: repetção, casualzação e controle local Vantagens do DBC Com o agrupamento das parcelas, geralmente se obtém resultados mas precsos que aqueles obtdos num DIC Desde exsta materal expermental sufcente, o delneamento será sempre balanceado, podendo-se nclur qualquer número de tratamentos A análse estatístca é bastante smples Se a varânca do erro expermental é maor para alguns tratamentos que para outros, pode-se obter um erro não vesado para testar qualquer combnação específca das médas dos tratamentos Prncpal desvantagem Ocorre quando da perda de parcela(s) em algum tratamento Apesar de exstr um método aproprado de estmação desses valores, há a perda de efcênca na comparação de médas envolvendo esses tratamentos Esquematcamente para um DBC com 4 tratamentos e 3 blocos (classes de dade) temos: 9 ) Undades expermentas heterogêneas (Fonte: Vera, 006, pag 5)

94 93 ) Consttução dos 3 blocos ( 3 classes de dades ) 3) Delneamento de um expermento em blocos casualzados Organzação dos dados no DBC Vamos consderar k -tratamentos; r blocos e j é o valor observado na parcela que recebeu o tratamento e se encontra no bloco j Assm, um quadro para representar os valores amostras de um DBC pode ser da forma abaxo:

95 Trat Blocos 3 j r Total Méda Y Y Y 3 Y r Y + Y Y Y Y 3 Y r Y + Y 3 Y 3 Y 3 Y 33 Y 3r Y 3+ k Y k Y k Y k3 Y kr Y k+ Y k TOTAL Y + Y + Y +3 Y +j Y +r Y ++ 3 Modelo matemátco Y Y j j j j, Y 3,,, k e j,, r sendo: a observação que recebeu o ésmo tratamento no j ésmo bloco; é méda geral comum a todas as observações ; j j j é o efeto do j ésmo bloco, com é efeto do ésmo tratamento com é o efeto do erro aleatóro r j 0; r j 0; j 4 Suposções do modelo Neste modelo, cada observado consttu uma amostra aleatóra ndependente j de tamanho de cada uma das kr populações os j são ndependentes e normalmente dstrbuídos com méda 0 e varânca, ou seja, ~ N(, ) Isto mplca em que as kr j 0 populações são normalmente dstrbuídas com méda j e a mesma varânca, ou seja, ~ N(, ) ; j os efetos de blocos e tratamentos são adtvos Esta suposção pode ser nterpretada como não exste nteração entre tratamentos e blocos Em outras palavras, uma partcular combnação blocotratamento não produz um efeto que é maor que ou menor que a soma dos efetos ndvduas j 94 4 Hpótese estatístca Podemos testar H : 0, com,,, k 0 H : nem todos os 0 ou H : 0 0 H : j j k

96 Geralmente o teste de hpótese com relação aos efetos de blocos não é feto por dos motvos: prmero o nteresse prncpal é testar os efetos de tratamento, o propósto usual dos blocos é elmnar fontes estranhas de varação Segundo, embora as undades expermentas sejam dstrbuídas aleatoramente aos tratamentos, os blocos são obtdos de uma manera não aleatóra 6 Partção da soma de quadrados Voltemos ao quadro de representação das observações no DBC no tem Podemos dentfcar os seguntes desvos: j, como o desvo de uma observação em relação a méda amostral geral;, como o desvo da observação em relação à méda de seu j grupo ou do -ésmo tratamento;, como o desvo da méda do -ésmo tratamento em relação á méda geral j como o desvo da méda do j-ésmo bloco em relação á méda geral Consderemos a dentdade )( )( )( ) ( j j j j, a qual representa a a varação de uma observações em relação à méda geral amostral como uma soma da varação desta observação em relação à méda de seu grupo, com a varação desta observaçãoem relação à méda do j- ésmo bloco em que se encontra esta observação, com a varação do erro expermental Elevando-se ao quadrado os dos membros da dentdade acma e somando em relação aos índces e j, obtemos: k j ) j j j k r ( r ( j k j r ( j ), ) k r j ( Descrção de cada termo da expressão acma O termo k r j ( ), é denomnado de Soma de Quadrados Total e vamos denotá-lo por SQTO número de graus de lberdade assocado à SQT é kr -, ou N, pos temos N observações e a restrção O termo: k r j k j j ( ) 0 r j ( ), j ) é denomnado de Soma de quadrados de tratamentos, representada por SQTr, e é uma medda da varabldade entre os tratamentos Quanto mas 95

97 dferentes entre s forem as médas dos tratamentos, maor será a SQTr Desde que temos k tratamentos e a restrção de que k ( 0, ) a SQTr está assocada a k- graus de lberdade O termo k r j ( ), é denomnado de Soma de quadrados de blocos, representada por SQB, e é uma medda da varabldade entre os blocos Quanto mas dferentes entre s forem as médas dos blocos, maor será a SQB, justfcando assm, a utlzação do delneamento em blocos Desde que temos r blocos e a restrção r j j ( ) 0, a SQB está assocada a r- graus de lberdade Fnalmente, o termo k r j j ( j é denomnado SQR Notem que a magntude da SQR não depende da dferença entre as médas dos tratamentos Os graus de lberdade assocada à SQR é (k-)(r-), sto é, o produto dos graus de lberdade dos tratamentos e blocos Assm, SQT SQB SQTr SQR, e os graus de lberdade assocados a cada membro da equação acma fca total blocos tratamentos resíduo kr- = (r-) + (k-) + (k-)(r-) 7 Quadrado médos Dvdndo a SQB, SQTr e SQR pelos correspondentes graus de lberdade, obtemos, respectvamente o Quadrado Médo Blocos (QMB), o Quadrado Médo Entre Tratamentos (QMTr) e o Quadrado Médo Resíduo, sto é, SQB SQTr SQR QMB e QMTr e QMR r k ( k )( r ) 8 Estatístca e regão crítca do teste A estatístca para o teste é QMTr F c, QMR a qual, deve ser próxmo de se H 0 for verdadera, enquanto que valores grandes dessa estatístca são uma ndcação de que H 0 é falsa A teora nos assegura que F c tem, sob H 0 dstrbução F Snedecor com (k -) e (k-)(r-) graus de lberdade no numerador e no denomnador, respectvamente Resumdamente, ndcamos: F ~ F sob H c j ), ( k (, k )( r ), ), 0 Rejetamos H 0 para o nível de sgnfcânca se 96

98 97 F, c F( k (, k )( r ), ) sendo, F( k,( k )( r ), ) o quantl de ordem ( ) da dstrbução F-Snedecor com (k -) e (k-)(r-) graus de lberdade no numerador e no denomnador 9 Quadro de análse de varânca (anova) Dspomos as expressões necessáras ao teste na Tabela abaxo, denomnada de Quadro de Análse de Varânca (ANOVA) Fonte de varação gl SQ QM F r Y j ( Y ) Blocos r j k kr k Y ( Y ) Tratamentos k - r kr Resíduo (k-)(r-) SQB r SQTr k SQR ( k )( r ) QMTr QMR TOTAL kr k r Y J ( Y ) j kr Pode-se provar que: E( QMR ), ou seja, QMR é um estmador não vesado da varânca ; k r E( QMTr ), ou seja, QMTr é um estmador não ( k ) vesado da varânca se a hpótese H0 : k 0 é verdadera r k E( QMB ) j ( r ) j 0 Detalhes computaconas Apresentaremos alguns passos que facltam os cálculos das somas de quadrados da ANOVA ( ) Calcule a correção para a méda CM ; N Calcule a Soma de Quadrados dos Totas (SQT) SQT k r j j CM ; Calcule a Soma de Quadrados Entre os Tratamentos (SQTr) r Y SQTr CM ; r Calcule a Soma de Quadrados de blocos (SQB) r Y j SQB CM ; k j Calcule a Soma de Quadrados Resdual (SQR) pela dferença, sto é, SQR SQT SQTr SQB ;

99 Calcule o Quadrado Médo entre os Tratamentos (QMTr) e o Quadrado Médo Resdual (QMR) SQB SQTr SQR QMB, QMTr e QMR r k ( k )( r ) QMTr QMB Calcule F c para tratamentos FcTr e FcBl QMR QMR Exemplo Vamos consderar os dados apresentados no tem Os cálculos para montar-mos o quadro da ANOVA são: k = 3, r = 4, e kr = N =(3)(4) = Então Graus de lberdade: Total kr N ( 3 )( 4 ) ; Trat k 3 Blocos r 4 3 e Res ( k )( r ) ( 3 )( ) 6 ( 383, 80) CM 75, 0 SQT ( 8, 7 ) ( 9, 3 ) ( 35, 3 ) 353, 35 68, 8 84, 54 ( 4, 8 ) ( 3, 6 ) ( 36, 3 ) SQTr , 87 68, 8 66, 06 CM CM ( 9, 3 ) ( 98, 4 ) ( 95, 7 ) ( 98, 3 ) SQB CM , 88 68, 8, 07 SQR SQT SQTr SQB 84, 54 66, 06, 07 7, 4 66, 06, 07 7, 4 QMTr 33, 03, QMB 3, 69 e QMR, QMTr 33, 03 QMB 3, 69 FcTr 6, 64 e FcBl, 99 QMR, 4 QMR, 4 Organzando estes resultados no Quadro da ANOVA, temos: Fonte de varação gl SQ QM F c Detas 66,06 33,03 6,75 Nnhadas 3,07 3,69,99 Resíduo 6 7,4,35 Total 84,54 Das tabelas das dstrbuções F, temos que 5 4 e F 0 9 O valor F ctr = 6,75 é maor do que estes F(, 6, 0, 05 ), (, 6, 0, 0 ), valores tabelados, então rejetamos a hpótese nula H 0 para um nível 0, 0, ou % de probabldade (se é sgnfcatvo a %, também é sgnfcatvo a 5%), e concluímos que exste uma dferença entre as três detas As conclusões sobre as dferenças entre os efetos de nnhadas (blocos) podem ser baseadas no F c para blocos (F cbl =,98 com p=0,8) Os resultados ndcam que não exste uma varação sgnfcatva entre as nnhadas nos ganhos de peso 98

100 O teste F da ANOVA para os blocos é um teste aproxmado mesmo quando as suposções são satsfetas Alguns pesqusadores sugerem que não se consdere o efeto colocado nos blocos em futuros estudos smlares, somente se o valor mínmo sgnfcatvo (valor de p) assocado à estatístca calculada for maor ou gual a 0,5 ( p 0, 5) Para estes dados, F cbl =,99 tem um p = 0,8 Portanto, mesmo que exste nsufcentes evdêncas para rejetar H : 0, ou seja, não exste efeto de nnhada, não é uma boa déa 0 j gnorar os efetos de nnhada em futuros estudos O scrpt no R para obter os resultados acma é apresentado abaxo # lendo o arquvo detatxt e armazenando no objeto dados dadosex <- readtable("detatxt",h=t) head(dadosex) Se qusermos calcular a méda de gpeso e dgtarmos o comando mean(gpeso) o programa dará como resposta: Erro em mean(gpeso) : objeto 'gpeso' não encontrado É necessáro mostrar o camnho de procura dos objetos Ou seja, quando voce usa um nome do objeto o R va procurar este objeto no camnho ndcado, na ordem apresentada Pos bem, podemos adconar um novo local neste camnho de procura e este novo local pode ser o objeto dadosex Dgte o segunte comndo e compare com o anteror: # anexando o objeto dadosex no camnho de procura attach(dadosex) # cálculo da méda da coluna com dados de ganho de peso (gpeso) mean(gpeso) # mostra o camnho agora com o objeto dadosex ncluído search() # gráfcos box-plot para cada deta com a cor 5 boxplot(gpeso~deta,col=5) # estatstcas descrtvas do box-plot de cada deta edes<- tappl(gpeso,deta,summar) edes # méda do ganho de peso de cada deta mgpeso <- tappl(gpeso,deta,mean) mgpeso # desvo padrão do ganho de peso de cada deta sdgpeso <- tappl(gpeso,deta,sd) sdgpeso # análse de varânca 99

101 00 gpesoav <- aov(gpeso~factor(nnhada) + factor(deta)) summar(gpesoav) # outra forma de se obter as médas do gpeso das detas e das nnhadas modeltables(gpesoav,tpe="means") # efetos das detas e das nnhadas modeltables(gpesoav,tpe="effects") # obtendo os resíduos de cada observação resduos <- resd(gpesoav) resduos # gráfco Q-Q da normaldade qqnorm(resduos,pch=6,col=) qqlne(resduos,lwd=,col=) # teste de normaldade de Shapro-Wlks para os resíduos shaprotest(resduos) # teste de Bartlett para a gualdade das varânca populaconas das detas bartletttest(gpeso~factor(deta)+factor(nnhada)) Outra forma de se obter estes resultados é pelo pacote ExpDes com a função rbd( ) # requerendo o pacote ExpDes requre(expdes) # anova pelo ExpDes rbd(deta,nnhada,gpeso,qual=t,mcomp="tuke") Atenção! Para retrar o objeto do camnho de procura basta dgtar detach(dadosex) # mostra o camnho agora com o objeto dadosex excluído search() NOTA IMPORTANTE: Sempre use detach () antes de anexar um novo arquvo de dados, especalmente se as colunas dos dos arquvos tem nomes dêntcos, se não haverá problemas! Estmação de uma parcela perdda Um problema relatvamente séro deste tpo de delneamento ocorre quando perdemos uma (ou mas) parcela(s) durante o desenvolvmento do expermento Vamos consderar o segunte exemplo: Exemplo: Classe de dade (Blocos) Trat 3 4 Total A B C * D E Total

102 0 A generalzação destes dados pode ser representada no quadro abaxo Blocos Trat 3 j r Total Y Y Y 3 Y r Y Y Y Y 3 Y r Ŷ j K Y k Y k Y k3 Y kr Total Y Y Y Y Y Y Y j Y r sendo: Yˆ Y Y Y j I j a estmatva da parcela perdda; k o número de tratamentos e r o número de blocos; o total o total das parcelas res tantes o total das parcelas dsponíves ; das parcelas res tantes no no tratamento onde ocorreu a b loco onde ocorreu a parcela perdda; parcela perdda Uma solução nteressante para o caso da perda de uma parcela consste em estmar seu valor usando a fórmula: ˆ kyi ry j Y Yj ( k )( r ) No exemplo acma, temos uma parcela perdda no tratamento C no bloco 3 (classe de dade) Nestes dados temos: k 5, r 4, Y3 50, Y3 00 e Y 570; a estmatva da parcela é dado por ˆ (5 00) (4 50)570 Y j 44,7 (5 )(4 ) Este valor deve ser substtuído no lugar do dado perddo e a análse é feta como anterormente A únca dferença é que se perde um grau de lberdade no resíduo, obtendo-se o segunte quadro de análse de varânca: Fonte de Varação gl SQ QM F c Blocos 3 488,56 6,86 Tratamentos 4 89,00 3,5 0, Resíduo 347,8 3,56 Total 8 4,75 F (4; ; 0,05) = 3,36; F (4; ; 0,0) = 5,67; F (3; ; 0,05) = 3,59 ; F (3; ; 0,0) = 6,6

103 0 Observação: Nessa últma análse, o quadrado médo do resíduo está corretamente estmado, mas aquele correspondente a tratamento está lgeramente exagerado Para corrg-lo, basta subtrar da SQTr a segunte quantdade: k Y j U (ˆ Yj ) k k Então, temos: 5 50 U (44,7 ) 35, , logo a SQTr correta fca gual a SQTr = 89,00 35,59 = 53,4 e a QMTr = 33,35 F c = 9,93 Como o valor de Fc F( 4, : 0, 05 ) a conclusão sobre a presença de pelo menos um efeto de tratamento não nulo, contnua valendo OBS: Mutas vezes, dspensa-se o uso dessa correção, já que nem sempre ela altera os resultados Entretanto, na dúvda, devemos aplcar essa correção Fazendo esta mesma análse no MnTab, com astersco no lugar da parcela perdda temos o segunte resultado General Lnear Model: Y versus Bloco; Trat Factor Tpe Levels Values Bloco fxed Trat fxed 5 A B C D E Analss of Varance for Y, usng Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Bloco Trat Error Total Reparem que a SQTr já esta corrgda, ou seja, quando se usa o MnTab ou o SAS não é necessáro estmar a parcela e depos substtuí-la nos dados e fazer a ANOVA Nestes programas a correção da SQTr é feta automatcamente No MnTab é necessáro segur os seguntes passos: Stat/ANOVA/General Lnear Models e nesta janela colocar os termos do modelo em Model na ordem apresentada

104 03 Antes de aconar o OK nesta janela vá à janela General Model Optons marcar na Sum of Square a opção Adjusted (Tpe III) e OK 3 Análse de varânca de meddas repetdas Um delneamento expermental de meddas repetdas é aquele, no qual váras meddas são fetas na mesma undade expermental (geralmente anmal), e estas meddas repetdas consttuem as repetções Para lustrar melhor esta característca vamos consderar o exemplo, tem da Aula 3, pg 38 Neste exemplo tínhamos 4 amostras ndependentes de anmas e todos os anmas de cada grupo foram almentados, depos do sorteo, com uma das 4 detas Nos delneamentos de meddas repetdas não exste amostras ndependentes de anmas, ao contráro, cada um dos 5 anmas terão seus pesos meddos depos que foram submetdos a uma determnada deta, depos de um certo período de tempo, os mesmos cnco anmas terão seus pesos avalados depos de terem sdos submetdos a outra deta, e assm sucessvamente, até serem submetdos a todas as detas A tabulação dos dados pode ser bem parecda com a representação dos dados do DBC Neste exemplo podemos ter: Detas Anmas 3 4 Total Y Y Y 3 Y 4 Y + Y Y Y 3 Y 4 Y + 3 Y 3 Y 3 Y 33 Y 34 Y 3+ 4 Y 4 Y 4 Y 43 Y 44 Y 4+ 5 Y 5 Y 5 Y 53 Y 54 Y 5+ Total Y + Y + Y +3 Y +4 Y ++ Os resultados dos cálculos da ANOVA de um delneamento de meddas repetdas são os mesmos de uma análse de um DBC A grande vantagem deste tpo de delneamento é o seu econômco requermento de undades expermentas (anmas) Este delneamento tem desvantagens se exste um efeto por causa da seqüênca em que os tratamentos são admnstrados (detas no presente exemplo) aos anmas Outra desvantagem surge se o tempo entre a aplcação de dferentes tratamentos é nsufcente para evtar a sobreposção de efetos do tratamento anteror

105 Exemplo 3 Consdere o conjunto de dados abaxo os quas se referem a níves de concentração de colesterol (mg/dl) em sangue de 7 anmas expermentas, depos que foram tratados cada um com uma das três drogas, com sufcente tempo entre as aplcações das drogas para que seu efeto desaparecesse do anmal Drogas Anmal A B C Total Total A hpótese de nteresse é que a méda do nível de colesterol no sangue é a mesma ndependente da droga (tratamento) (Extraído de ZAR, J H Bostatstcal Analss, pg 55, 999) H : 0 H : pelo menos duas médas dferentes Scrpt no R para obter os resultados do exemplo 3 Analss of Varance for N_C, usng Sequental SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Seq MS F P Anmal Droga Error Total Conclusão: rejeta-se H 0 # removendo todos os objetos defndos anterormente rm(lst=ls(all=true)) # Entrando com os dados pelo comando readtable( ) dadosex3 <- readtable("ex3dbctxt",h=t) head(dadosex3) # anexando o objeto dadosex3 no camnho de procura attach(dadosex3) # defnndo o objeto anmal como um fator anmal<-factor(anmal) # quadro da anova pela função aov( ) colesterolav <- aov(colesterol~anmal+droga) summar(colesterolav) modeltables(colesterolav) resduos<-resd(colesterolav) resduos qqnorm(resíduos,pch=6,col=)

106 05 qqlne(resduos,lwd=,col=) shaprotest(resduos) bartletttest(colesterol~anmal+droga) Utlzando os recursos do pacote agrcolae # requerendo o pacote agrcolae requre(agrcolae) colesteroltu<- HSDtest(colesterolav,"droga") colesteroltu # gráfco de barras das médas com o desvo padrão pelo agrcolae barerr(colesteroltu,lm=c(0,50),std=true,denst=0, col="brown",man="méda +/- Desvo Padrão") barerr(colesteroltu,lm=c(0,50),std=false,denst=,col="brown",ma n="méda +/- erro padrão") # gráfco de barras das médas com o erro padrão pelo agrcolae bargroup(colesteroltu,lm=c(0,50),std=false,denst=, col="brown", xlab="drogas",man="teste de Tuke") Utlzando os recursos do pacote ExpDes # requerendo o pacote ExpDes requre(expdes) # anova pelo ExpDes rbd(droga,anmal,colesterol,qual=t,mcomp="tuke") # retrando o objeto dadosex3 do camnho de procura detach(dadosex3)

107 6º EXERCÍCIO PRÁTICO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL - Contagens médas de lnfóctos de células de ratos (000/mm 3 ) foram comparadas dando uma de duas drogas ou um placebo (controle) Nnhadas de ratos do mesmo sexo foram usadas para formar blocos homogêneos de 3 ratos cada; dentro de cada bloco, 3 tratamentos foram sorteados ao acaso Parece razoável assumr que os efetos dos três tratamentos deve ser relatvamente constante para város genótpos de ratos para dferentes nnhadas Blocos I II III IV V VI VII Tratamentos Placebo 5,4 4,0 7,0 5,8 3,5 7,6 5,5 Droga 6,0 4,8 6,9 6,4 5,5 9,0 6,8 Droga 5, 3,9 6,5 5,6 3,9 7,0 5,4 a) Escrever o modelo matemátco deste expermento e estabelecer as hpóteses estatístcas H 0 e H para testar os efetos dos tratamentos b) Montar o quadro da análse de varânca para testar as hpóteses do tem a) c) Fazer o gráfco de barras das médas dos tratamentos com o desvo padrão d) Calcular as médas dos tratamentos e o erro padrão das médas com base na varânca conjunta do expermento (QMR da ANOVA) e) Faça um gráfco dos tens c) e d) f) Verfcar pelo teste de Dunnett se os efetos de cada droga dferem do controle (trat) g) Calcular os coefcentes de varação (CV) e de determnação (R ) do expermento - A Tabela abaxo mostra os dados da produção de lete, de vacas da raça Gr, flhas de 3 touros, na ª, ª e 3ª parções, em 305 das de lactação, delneados segundo um DBC com amostragem na parcela Touros Parções (Blocos) Total I II III Total Pede-se: a) Escrever o modelo matemátco deste expermento e estabelecer as hpóteses estatístcas H 0 e H b) Montar o quadro da análse de varânca e testar as hpóteses do tem a) c) Calcular as médas dos tratamentos e o erro padrão das médas com base na varânca comum (QMR da ANOVA) d) Fazer o gráfco de barras das médas dos tratamentos com o erro padrão e) Verfcar, pelo teste de Tuke, se exstem dferenças entre as médas dos touros f) Calcular o coefcente de varação e de determnação do expermento R do expermento 3 - Num expermento objetvando verfcar a nfluênca da suplementação concentrada de enzmas amlolítcas, celulolítcas e proeolítcas sobre o ganho de peso em ovnos da raça deal (POLWARTH), crados a pasto, foram utlzados os seguntes tratamentos: - Pasto de Cnodon dactlon + ração concentrada - Pasto de Cnodon dactlon + ração concentrada + BIOVITASE 3 - Pasto de Cnodon dactlon + ração concentrada + PANASE-S 4 - Pasto de Cnodon dactlon ( Testemunha) O expermento fo em blocos ao acaso, com 5 blocos e 4 tratamentos, e os resultados obtdos para o ganho de peso médo, em kg, durante o expermento foram: Blocos Tratamentos I II III IV V - Cnodon dactlon (testemunha) 6,0 5,80 3,60 5,30 6,30 - Ração Concentrada (RC) 0,90 3,75 4,50,70 3,0 3- RC + BIOVITASE,70 6,8 4,40 5,50,60 4- RC + PANASE-S 6,80 4,0 8,60 6,0 4,30 Pede-se: 06

108 07 a) Estabelecer as hpóteses estatístcas H 0 e H b) Montar o quadro da análse de varânca e testar as hpóteses do tem a) c) Calcular as médas dos tratamentos e erros padrões das médas d) Use o teste de Dunnett para testar os tratamentos que dferem da testemunha (RC) e) Defnr 3 contrastes ortogonas de nteresse entre as médas dos tratamentos e testá-los através da análse de varânca (decomposção dos graus de lberdade) f) Calcular os coefcentes de varação e de determnação do expermento 4 - Num expermento estudou-se o efeto do farelo de arroz desengordurado (FAD) ) como fatores de retardamento da maturdade sexual de frangas O ensao, organzado em blocos completos casualzados, abrangeu duas fases dstntas e fo consttuído de 5 tratamentos e 5 repetções com 8 aves por undade expermental A ª fase ncada quando as aves atngram 9 semanas de dade, teve duração de semanas As pesagens eram efetuadas com ntervalos de duas semanas, e o consumo de ração era regstrado também com ntervalo de duas semanas Os tratamentos, na ª fase eram formados por rações que contnham 0, 5, 30, 45, 60 % de FAD em substtução ao mlho Os resultados obtdos na ª fase do ensao, para conversão almentar foram os seguntes: Tratamentos º Bloco º Bloco 3º Bloco 4º Bloco 5º Bloco A - 0% de FAD 6,5 6,4 6, 5,8 7,3 B - 5% de FAD 7, 7,4 6,9 7,3 7,0 C - 30% de FAD 7,5 8, 6,7 7,4 7,7 D - 45% de FAD 8,4 8,5 8,7 8,3 7,9 E - 60% de FAD 9,3 9,9 9,5 8,5 8,9 Fazer a análse de varânca e caso haja sgnfcânca entre os tratamentos fazer a decomposção dos graus de lberdade dos tratamentos por meo da técnca dos polnômos ortogonas (regressão lnear, quadrátca, etc) Ajuste a equação de regressão lnear às médas dos tratamentos 5 - No estudo do ganho de peso de porcos gunea, quatro detas foram testadas Vnte anmas foram usados neste expermento, 5 anmas para cada deta Entretanto o pesqusador acredtou que alguns fatores ambentas podem afetar o ganho de peso Não fo possível reunr os 0 anmas em uma mesma condção ambental Portanto, foram estabelecdos 5 blocos de undades expermentas sob dêntcas condções de temperatura, luz, etc Detas Blocos 3 4 7,0 5,3 4,9 8,8 9,9 5,7 7,6 8,9 3 8,5 4,7 5,5 8, 4 5, 3,5,8 3,3 5 0,3 7,7 8,4 9, a) Estabelecer as hpóteses estatístcas H 0 e H b) Montar o quadro da análse de varânca e testar as hpóteses do tem a) c) Fazer o gráfco de barras das médas dos tratamentos com o erro padrão d) Verfcar, pelo teste de Tuke, se exstem dferenças entre as médas das detas Qual fo a deta que proporconou o melhor ganho de peso? e) Calcular o coefcente de varação e de determnação do expermento R do expermento 6- Os resultados apresentados pelo programa R a uma análse de dados de um expermento foram: Response: dados Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) blocos tratamentos e-0 *** Resduals Sgnf codes: 0 *** 000 ** 00 * 005 0

109 08 a) Interprete estes resultados b) As médas dos tratamentos são apresentadas abaxo: Trat A Trat B Trat C Trat D Trat E Analsando os resultados da saída do Teste de Tuke preencha a tabela abaxo com as médas segudas das letras $tratamentos dff lwr upr p adj Trat B-Trat A Trat C-Trat A Trat D-Trat A Trat E-Trat A Trat C-Trat B Trat D-Trat B Trat E-Trat B Trat D-Trat C Trat E-Trat C Trat E-Trat D Tratamentos Médas

110 Aula 7 Delneamento Quadrado Latno (DQL) Introdução No delneamento Quadrado Latno os tratamentos são desgnados aos blocos de duas maneras dferentes, geralmente desgnados por colunas e lnhas Cada coluna e cada lnha é um bloco completo de todos os tratamentos Portanto, em um DQL, três fontes de varação explcáves são dentfcáves: lnhas, colunas e tratamentos Um partcular tratamento é desgnado somente uma vez em cada lnha e cada coluna Geralmente um dos blocos corresponde aos anmas e o outro ao período Cada anmal receberá todos os tratamentos em dferentes períodos O número de tratamentos (k) é gual ao número de lnhas e colunas O número total de observações é gual k Se os tratamentos são desgnados por letras maúsculas (A, B, C e D, etc), então exemplos de Quadrados Latnos 3 x 3 e 4 x 4 são: A C B C A B A B D C C D B A B A C A B C C A B D D B A C C B A B C A B D C A B A C D D C A B A C D B Consdere a segunte stuação (baseado em VIEIRA, 006, pág 8): Um veternáro pretende comparar o efeto de três drogas no combate a uma doença em suínos Os anmas dsponíves são, no entanto, dferentes em raças e em pesos Para fazer o expermento, o veternáro deve, prmero organzar blocos de anmas de mesma raça (em coluna) e depos organzar em peso (em lnha) Na Fgura abaxo: a raça está representada pela tonaldade da cor preta e o peso pelo tamanho Então foram construídos blocos em colunas e lnhas 09 Construído o quadrado latno, sorteam-se os tratamentos, mas cada tratamento só deve aparecer uma vez em cada coluna e uma vez em cada lnha Assm o sorteo dos tratamentos tem duas restrções: dentro de lnhas e dentro de colunas Os DQL não são comuns na prátca devdo às restrções do delneamento Notem, por exemplo, que lnhas, colunas e tratamentos são, necessaramente, guas em números Mas anda, o nº de observações é gual ao quadrado do nº de tratamentos Consdere este outro exemplo, extraído de Rao, PV Statstcal research methods n the lfe scence, pg 77: Em um estudo para comparar as tolerâncas de gatos a quatro substâncas cardíacas (A, B, C, D) fo conduzda

111 utlzando-se um DQL, no qual as lnhas representavam quatro combnações de dos períodos (AM, PM) e duas técncas (I e II) e as colunas representam os das nos quas as meddas foram fetas A cada um dos 6 gatos fo admnstrada uma substânca cardíaca a uma taxa fxada e a dose (taxa de nfusão x tempo) na qual o efeto especfcado fo observado fo anotado Abaxo temos que mostra as respostas meddas em 0log(dose em μg) 0 Combnações de tempo e técncas I,AM Y ( D ) 3,6 I,PM Y ( B ),73 II,AM Y 3 ( A ) 3,45 II,PM Y 4 ( C ) 3,0 Y Y j 3 4,64 Y ( B ) 4,5 Y ( D ) 3,38 Y 3( C ) 4,09 Y 4( A ) 3,4 Y 4,76 Y 3( A ) 3,0 Das Y 3( C ) 3,9 Y 33( B ),66 Y 43( D ) 3,48 Y 3,45 Y 4( C ) 3,67 Y 4( A ) 4,50 Y 34( D ) 3,5 Y 44( B ) 3,40 Y 4 5,08 Y Y 4,0 Y 3,90 Y 3 3,7 Y 4 3, Y 54,93 Y Y Y Y 3 Y 4 Y j Y Y Y 3 Y 4 Y Totas dos tratamentos: Y( A) Y3( A) Y4( A) Y3 ( A) Y4( A) 3,0 4,50 3,45 3,4 4, Y( B ) Y( B ) Y ( B ) Y33( B ) Y44( B ) 4,5,73,66 3,40,94 Y( C ) Y4( C ) Y3( C ) Y3( C ) Y4 ( C ) 3,67 3,9 4,09 3,0 4,5 Y ( D ) Y ( D ) Y( D ) Y34( D ) Y43( D ) 3,6 3,38 3,5 3,48 3,63 Notação: Y = soma das observações da -ésma lnha ( =,,, k); Y = soma das observações da j-ésma coluna (j=,,, k); Y (t ) = soma das observações do t-ésmo tratamento Organzação dos arquvos: No excel: exxls No bloco de notas: extxt Lnha coluna trat txnf TI_AM DIA D 36 TI_AM DIA B 45 TI_AM DIA3 A 30 TI_AM DIA4 C 367 TI_PM DIA B 73 TI_PM DIA D 338 TI_PM DIA3 C 39 TI_PM DIA4 A 450 TII_AM DIA A 345 TII_AM DIA C 409 TII_AM DIA3 B 66 TII_AM DIA4 D 35 TII_PM DIA C 30 TII_PM DIA A 34 TII_PM DIA3 D 348 TII_PM DIA4 B 340 Modelo matemátco lnha coluna trat txinf TI_AM DIA D 3,6 TI_AM DIA B 4,5 TI_AM DIA3 A 3,0 TI_AM DIA4 C 3,67 TI_PM DIA B,73 TI_PM DIA D 3,38 TI_PM DIA3 C 3,9 TI_PM DIA4 A 4,50 TII_AM DIA A 3,45 TII_AM DIA C 4,09 TII_AM DIA3 B,66 TII_AM DIA4 D 3,5 TII_PM DIA C 3,0 TII_PM DIA A 3,4 TII_PM DIA3 D 3,48 TII_PM DIA4 B 3,40

112 sendo: Y L C,,, k e j,,, k, jt j k t é o ndce de dentfcação do tratamento usado na ésma lnha e j ésma coluna e na j ésma coluna ; L C t j jk j jt é o efeto da ésma lnha; é efeto da j ésmacoluna; é o efeto do erro aleatóro jt a observação que recebeu o k ésmo tratamento, na ésma lnha é méda geral comum a todas as observações ; é efeto fxo do t ésmo tratamento, e t 0; t 3 Suposções do modelo Neste modelo, supõem-se que: L são ndependentes 0, ); j N( L C são ndependentes 0, ;) j N( C são ndependentes N( 0, ) t, L, e C são mutuamente ndependentes jt 4 Hpótese estatístca Podemos testar H 0 : t 0,, ou H : nem todos os 0 j t H : 0 H : j t para j Geralmente os testes de hpóteses com relação aos efetos de lnhas e colunas não são fetos por dos motvos: prmero o nteresse prncpal é testar os efetos de tratamento, e o propósto usual de lnhas e colunas é elmnar fontes estranhas de varação 5 Partcpação da soma de quadrados Do quadro de representação das observações no DQL, podemos notar os seguntes desvos: Podemos dentfcar os seguntes desvos: jt, como o desvo de uma observação em relação à méda geral; jt, como o desvo da méda do t-ésmo tratamento em relação à méda geral;, como o desvo da méda da -ésmo lnha em relação á méda geral; j como o desvo da méda da j-ésma coluna em relação á méda geral; Então, podemos escrever a gualdade: ( Yjt Y )( Y Y )( Y j Y )( Y t Y )( Yjt Y Y j Yj Y ) a qual representa a a varação de uma observação em relação à méda geral

113 amostral como uma soma da varação da méda da -ésma lnha em relação à méda geral, com a varação da méda da j-ésma coluna em relação à méda geral, com a varação da méda da j-ésma coluna em relação à méda geral, com a varação da méda do k-ésma tratamento em relação à méda geral, e com a varação do erro expermental Elevando-se ao quadrado os dos membros da dentdade acma e somando em relação aos índces e j, obtemos: k k j ( Y jk Y ) k ( Y k k Y k j t ( Y ) jk Y k j ( Y j Y Y j Y ) j k t Y ou seja, a Soma de Quadrados do Total (SQT) é gual à Soma de Quadrados do efeto colocado nas lnhas (SQL), mas a Soma de Quadrados do efeto colocado nas colunas (SQC), mas a Soma de Quadrados dos Tratamentos (SQTr), mas a Soma de Quadrados dos resíduos (SQR) Notem que exstem k observações, então a SQT tem (k -) graus de lberdade Exste k lnhas, k colunas e k tratamentos, tal que cada uma das três soma de quadrados SQL, SQC e SQTr tem k- graus de lberdade Fnalmente, os graus de lberdade para SQR pode ser calculado pela dferença entre os graus de lberdade entre a SQT e soma dos graus de lberdade para lnhas, colunas e tratamentos ((k -)-(k-)-k-)-(k-)=(k-)(k-)) Assm, os graus de lberdade assocados a cada membro da equação acma fca: Total Lnhas Colunas Tratamentos Resíduo ( k -) = (k-) + (k-) + (k-) + (k-)(k-) 6 Quadrados médos Dvdndo a SQL, SQC, SQTr e SQR pelos correspondentes graus de lberdade, obtemos, respectvamente o Quadrado Médo das Lnhas (QML), o Quadrado Médo das Colunas (QMC), o Quadrado Médo de Tratamentos (QMTr) e o Quadrado Médo Resíduo (QMR), sto é, SQL SQC SQTr SQR QML, QMC e QMTr e QMR k k k ( k )( k ) 7 Estatístca e regão crítca do teste A estatístca para o teste é QMTr F c, QMR a qual, deve ser próxmo de se H 0 for verdadera, enquanto que valores grandes dessa estatístca são uma ndcação de que H 0 é falsa A teora nos assegura que F c tem, sob H 0 dstrbução F Snedecor com (k -) e (k-)(k-) graus de lberdade no numerador e no denomnador, respectvamente Resumdamente, ndcamos: F ~ F sob H c ( k (, k )( k ), ), 0 Rejetamos H 0 para o nível de sgnfcânca se F, c F( k,( k )( k ), ) sendo, F( k,( k )( k ), ) o quantl de ordem ( ) da dstrbução F-Snedecor com (k -) e (k-)(k-) graus de lberdade no numerador e no denomnador ( Y k ), Y )

114 3 8 Quadro da análse de varânca (ANOVA) Dspomos as expressões necessáras ao teste na Tabela abaxo, denomnada de Quadro de Análse de Varânca (ANOVA) Fonte de varação gl SQ QM F k Y ( Y ) Lnhas k - Colunas k k j Y k j k k ( Y k ) k t ( Y ) Tratamentos k - Resíduo (k-)(k-) t Y r k SQL k SQC k SQTr k SQR ( k )( k ) QMTr QMR TOTAL K k k J Y ( Y ) jt Pode-se provar que: E( QMR ), ou seja, QMR é um estmador não vesado da k varânca ; k r E( QMTr ), ou seja, QMTr é um estmador não ( k ) vesado da varânca se a hpótese H0 : k 0 é verdadera 9 Detalhes computaconas Apresentaremos alguns passos que facltam os cálculos das somas de quadrados da ANOVA ( ) Calcule a correção para a méda CM ; k Calcule a Soma de Quadrados dos Totas (SQT) SQT k k j jt CM ; Calcule a Soma de Quadrados Entre os Tratamentos (SQTr) k Y t SQTr CM ; t k Calcule a Soma de Quadrados das Lnhas (SQL) k Y SQL CM ; k j Calcule a Soma de Quadrados de Colunas (SQC) k Y j SQC CM ; k j

115 Calcule a Soma de Quadrados Resdual (SQR) pela dferença, sto é, SQR SQT SQL SQC SQTr ; Calcule os Quadrados Médos Entre os Tratamentos (QMTr) e o Quadrado Médo Resdual (QMR) SQL SQC SQTr SQR QML, QMC, QMTr e QMR k k k ( k )( k ) Calcule F c para tratamentos, lnhas e colunas, ou seja, QMTr QML QMC FcTr, FL e FC QMR QMR QMR 0 Exemplo : Vamos consderar os dados do exemplo apresentado no tem Os cálculos para montar-mos o quadro da ANOVA são: k = 4, e k = N =6 Então Graus de lberdade: Total k N 6 5; Trat k 4 3 Lnhas k 4 3, Colunas k 4 3 e Res ( k )( k ) ( 4 )( ) 8 (54,94) CM 88, SQT (3,6) (4,5) (3,40) CM 9,8788,586 3,6055 (4,) (,94) (4,5)(3,63) SQTr CM ,84788,586 0,33 (4,0) (3,90) (3,7) (3,) SQL CM ,68888,586 0,065 (,64) (4,76) (,45) (5,08) SQC CM ,009088,586,474 SQR SQT SQTr SQL SQC 3,6055 0,330,065,474, ,33 0,065,474 QMTr 0,077, QML 0,0355, QMC 0, ,8094 e QMR 0,305 6 QMTr 0,0874 QML 0,0355 FcTr 0,899 e FcL 0,59 QMR 0,3064 QMR 0,306 QMC 0,4758 FcC,5530 QMR 0, Organzando estes resultados no Quadro da ANOVA, temos:

116 5 Fonte de varação gl SQ QM F Lnhas 3 0,065 0,0355 Colunas 3,474 0,4758 Tratamentos 3 0,33 0,0874 0,899 Resíduo 6,8384 0,305 TOTAL 5 3,6055 Das tabelas das dstrbuções F, temos que 4 76 e F 9 78 O valor F ctr = 0,899 é menor do que estes F( 3, 6, 0, 05 ), ( 3, 6, 0, 0 ), valores tabelados, então não rejetamos a hpótese nula H 0 para um nível 0, 05, ou5% de probabldade e concluímos que os dados não evdencam uma dferença sgnfcatva entre as quatros drogas Os dados também não evdencam uma varação sgnfcatva entre os efetos colocados nas lnhas (p=0,946) e nas colunas (p=0,90) Segundo o que alguns pesqusadores sugerem não consderaríamos os efetos de lnhas e colunas em futuros expermentos, tendo em vsta que o valor do nível de sgnfcânca para lnhas e colunas é superor a 0,5 Scrpt no R para a obtenção dos resultados acma # entrando com os dados pelo comando readtable( ) dadosex <- readtable("exdqltxt",header=true,dec=",") # mprmndo as 6 prmeras lnhas do arquvo head(dadosex) # anexando o objeto dadosex no camnho de procura attach(dados ex) # estatístcas resumo de cada nível dos tratamentos edesc<- tappl(txnf,trat,summar) edesc # tornando lnha coluna e tratamentos como fatores lnha<- factor(lnha); coluna<- factor(coluna); trat <- factor(trat) # gráfco Box-plot para cada nível de trat boxplot(txnf~trat,col=,xlab="tratamentos") # quadro da anova txnfav<-aov(txnf~lnha+coluna+trat) summar(txnf) # obtendo o resduo resduo <- resd(txnfav) # teste de normaldade dos resíduos shaprotest(resduo) # teste de homogenedade das varâncas bartletttest(txnf~lnha+coluna+trat)

117 6 Utlzando os recursos do pacote ExpDes # requerendo o pacote ExpDes requre(expdes) # quadro da anova pelo ExpDes latsd(trat,lnha,coluna,txnf,qual=t) # retrando o objeto dadosex do camnho de procura detach(dadosex) Exemplo Com o objetvo de estudar o efeto da dade da castração no desenvolvmento e produção de suínos, fo utlzado um delneamento em quadrado latno com 4 tratamentos envolvendo a castração aos 7 das (C); aos das (D); aos 56 das (A) e suínos nteros (B) A varação exstente entre as letegadas fo controlada pelas lnhas do quadrado e a varação dos pesos dos letões dentro das letegadas fo solada pelas colunas Os ganhos de peso, em kg, ao fnal do expermento (5 das) estão apresentados no quadro a segur: Letegada Classe de pesos dos letões dentro das letegadas 3 4 Totas 93,0 (A) 08,6 (B) 8,9 (C) 0 (D) 4,5 5,4 (B) 96,5 (D) 77,9 (A) 0, (C) 390,0 3, (C) 90,9 (A) 6,9 (D) 06,0 (B) 409,9 4 7,6 (D) 4, (C) 8,7 (B) 95,6 (A) 448,0 Totas 48, 44, 4,4 395,8 660,4 Quadro da ANOVA Fonte de varação gl SQ QM F Letegadas 3 436,55 49,65 0,7 Classe 3 48,95 45,5, Tratamentos 3 93,57 304,5 4,4 Resíduo 6 43,00 68,83 TOTAL 5 9,07 Das tabelas das dstrbuções F, temos que 4 76 e F 9 78 O valor F ctr = 4,4 é menor do que estes F( 3, 6, 0, 05 ), ( 3, 6, 0, 0 ), valores tabelados, então não rejetamos a hpótese nula H 0 para um nível 0, 05, ou5% de probabldade e concluímos que a hpótese de que os efetos de tratamento são todos nulos não é rejetada, ou seja, os ganhos de peso dos letões submetdos às dferentes dades de castração são todos guas a 03,78 Scrpt no R para a obtenção destes resultados # letura dos dados pelo readtable dadosex <- readtable("exdqltxt",header=true) # mprmndo as 6 lnhas ncas do arquvo head(dadosex) # anexando o objeto dadosex3 no camnho de procura

118 7 attach(dadosex) # estatístcas resumo dos dados do arquvo dadosex edesc<- tappl(peso,trat,summar) edesc # gráfco Box-plot para cada nível de trat boxplot(peso~trat,col=,xlab="tratamentos") # fazendo a análse dretamente pelo ExpDes # requerendo o ExpDes requre(expdes) # quadro da anova latsd(trat,letegada,classe,peso,qual=t,mcomp="tuke") # retrando o objeto dadosex do camnho de procura detach(dadosex) Como contornar o problema do pequeno número de graus de lberdade do resíduo? Um problema que surge quando usamos o delneamento em quadrado latno com um número pequeno de tratamentos, é que o resíduo passa a ser estmado com um número pequeno de graus de lberdade No quadro a segur, apresentamos o número de graus de lberdade do resíduo no DQL para dferentes números de tratamentos: Número de tratamentos gl do resíduo RESPOSTA: Planejar mas de uma repetção do quadrado latno para consegur um número satsfatóro de graus de lberdade para o resíduo Por exemplo, se k = 4 tratamentos e queremos um número de gl para o resíduo superor a, devemos fazer pelo menos r = repetções do QL orgnal Solução : usar as mesmas lnhas e mesmas colunas; QL C C C 3 C 4 QL C C C 3 C 4 L A B C D L D A B C L B C D A L C D A B L 3 C D A B L 3 B C D A L 4 D A B C L 4 A B C D Quadro da ANOVA resultante

119 8 Causas de varação gl QL r = Tratamentos k = 3 Lnhas k = 3 Colunas k = 3 Resíduo (k )[ r (k + ) 3] = Total r k = 3 Solução : usar as mesmas lnhas com as colunas dferentes (ou mesmas colunas com lnhas dferentes); QL C C C 3 C 4 QL C 5 C 6 C 7 C 8 L A B C D L D A B C L B C D A L C D A B L 3 C D A B L 3 B C D A L 4 D A B C L 4 A B C D Quadro da ANOVA resultante Causas de varação gl QL r = Tratamentos k = 3 Lnhas k = 3 Colunas (QL) r ( k ) = 6 Resíduo (k )(r k )= 8 Total r k = 3 Solução 3: usar lnhas e colunas dferentes QL C C C 3 C 4 QL C 5 C 6 C 7 C 8 L A B C D L 5 D A B C L B C D A L6 C D A B L 3 C D A B L 7 B C D A L 4 D A B C L 8 A B C D Quadro da ANOVA resultante Causas de varação gl QL r = Tratamentos k = 3 Lnhas (QL)* r ( k - ) = 6 Colunas (QL)** r ( k - ) = 6 Resíduo (k ) [ k (k ) ]=5 Total r k = 3 (*) lê-se Efeto de lnhas dentro de quadrado latno (**) lê-se Efeto de colunas dentro de quadrado latno Suponha que um expermentador esteja nteressado em estudar os efetos da atvdade da estmulação hormonal folcular (follcle-stmulaton hormone - FSH) Em vacas é meddo em bo ensaos pesando-se o ováro (mg) de ratos maturos Duas varáves conhecdas que nfluencam no peso de ováros de ratos são: a consttução genétca e o peso corporal Acredta-se que o peso corporal é ndependente das dferenças genétcas, assm o delneamento quadrado latno (DQL) é adequado Dos quadrados latnos 4 x 4 foram usados com as lnhas = nnhadas de ratos e colunas = classes de peso corporal O pesqusador consderou a dferença nos pesos corporas nos dos

120 quadrados para preservar os graus de lberdade do erro expermental, dado que a ampltude do peso corporal era consstente de nnhada para nnhada, ou seja, o pesqusador repetu o expermento consderando as mesmas classes de peso corporal (Solução ) QL C C C 3 C 4 Totas L (D) 44 (C) 39 (B) 5 (A) 73 L (B) 6 (A) 45 (D) 49 (C) 58 L 3 (C) 67 (D) 7 (A) 8 (B) 76 L 4 (A) 77 (B) 74 (C) 88 (D) 00 Totas QL C C C 3 C 4 Totas L 5 (B) 5 (C) 74 (A) 74 (D) 8 L 6 (D) 6 (A) 74 (C) 75 (B) 79 L 7 (A) 7 (D) 67 (B) 60 (C) 74 L 8 (C) 49 (B) 47 (D) 58 (A) Totas dos tratamentos: 563 (A), 465 (B), 54 (C), 533 (D) Cálculos: ( ) SQL 489, 69 ; 4 3 ( 4 33) ( ) ( ) SQC 8909, ; ( ) SQTr 6359, ; 8 3 ( ) SQT , ; 3 SQR SQT SQTr SQC SQL 38,56; O quadro da ANOVA fca Causas de varação gl SQ QM F P QL 63,8 63,8 Tratamentos 3 63,59 0,53 9,9 0,0004 Lnhas (QL) 6 489,69 85,8 38,6 Colunas 3 89,09 606,36 8,53 Resíduo 8 9 6, Total Das tabelas das dstrbuções F, temos que 3 6 e F 5 09 O valor F ctr = 9,9 é maor que estes F( 3, 8, 0, 05 ), ( 6, 8, 0, 0 ), valores tabelados, então rejetamos a hpótese nula H 0 para um nível 0, 0, ou% de probabldade e concluímos que a hpótese de que os efetos de tratamento são todos nulos é rejetada, ou seja, nos pesos dos ováros de ratos maturos (bo-ensao para vacas) exste pelo menos dos tratamentos que dferem entre s quanto ao peso de ováros Podemos usar o teste de Tuke para compararmos as médas dos tratamentos (note que temos 4 tratamentos e cada um deles aparece 8 vezes) Então, QMR,5 d m s q( 4, 8, 0,05) 3,997 6,5 rk 8

121 Peso médo* Drogas (mg) A 70,37 a D 66,63 a C 65,50 a B 58,3 b (* Médas segudas pelas mesmas letras na coluna não dferem entre s pelo teste de Tuke a 5%) Com base nos resultados apresentados na tabela anteror pode-se afrmar que os pesos de ováros tratados com as drogas A, D e C não dferem entre s e os pesos dos ováros tratados com as drogas C e B também não dferem entre s As dferenças nos pesos de ováros estão entre as drogas A, D e C quando comparadas, ndvdualmente, com a droga B Organzando o arquvo de dados no Excel e no bloco de notas Arquvo de dados xls (pesoxls) Arquvo de dados txt (pesotxt) ql lnha coluna trat put q l c D 44 q l c B 6 q l3 c C 67 q l4 c A 77 q l c C 39 q l c A 45 q l3 c D 7 q l4 c B 74 q l c3 B 5 q l c3 D 49 q l3 c3 A 8 q l4 c3 C 88 q l c4 A 73 q l c4 C 58 q l3 c4 B 76 q l4 c4 D 00 q l5 c B 5 q l6 c D 6 q l7 c A 7 q l8 c C 49 q l5 c C 74 q l6 c A 74 q l7 c D 67 q l8 c B 47 q l5 c3 A 74 q l6 c3 C 75 q l7 c3 B 60 q l8 c3 D 58 q l5 c4 D 8 q l6 c4 B 79 q l7 c4 C 74 q l8 c4 A 68 ql lnha coluna trat put q l c D 44 q l c B 6 q l3 c C 67 q l4 c A 77 q l c C 39 q l c A 45 q l3 c D 7 q l4 c B 74 q l c3 B 5 q l c3 D 49 q l3 c3 A 8 q l4 c3 C 88 q l c4 A 73 q l c4 C 58 q l3 c4 B 76 q l4 c4 D 00 q l5 c B 5 q l6 c D 6 q l7 c A 7 q l8 c C 49 q l5 c C 74 q l6 c A 74 q l7 c D 67 q l8 c B 47 q l5 c3 A 74 q l6 c3 C 75 q l7 c3 B 60 q l8 c3 D 58 q l5 c4 D 8 q l6 c4 B 79 q l7 c4 C 74 q l8 c4 A 68 Scrpt no R para a obgtenção dos resultados acma # letura dos dados pelo readtable dadosex3 <- readtable("exdqltxt",header=true) # mprmndo as 6 lnhas ncas do arquvo head(dadosex3) # anexando o objeto dadosex3 no camnho de procura 0

122 attach(dadosex3) # gráfco Box-plot para cada nível de trat boxplot(peso~trat,col=,xlab="tratamentos") # quadro da anova putav <-aov(put~ql+lnha+coluna+trat) anova(putav) # usando os recursos do pacote agrcolae requre(agrcolae) puttu <-HSDtest(putav,"trat") # gráfco de barras com as letras do teste de Tuke bargroup(puttu,lm=c(0,90),denst=0, col="brown", xlab="tratamentos",lab="peso do Utero", man="teste de Tuke") # retrando o objeto dadosex3 do camnho de procura detach(dadosex3) Casualzação dos tratamentos Suponha que queremos dspor os tratamentos A, B, C, e D sobre um quadrado latno 4 x 4 escolhemos aleatoramente um dos quadrados padrões de tamanho 4 suponha 3 4 A B C D B C D A 3 C D A B 4 D A B C seleconemos uma das permutações de,, 3, e 4 suponha, 4,, 3 então 3 4 B C D A 4 D A B C A B C D 3 C D A B seleconemos uma outra das permutações de,, 3, e 4 suponha, 3, 4, então 3 4 B D A C 4 D B C A A C D B 3 C A B D Este é o delneamento escolhdo 3 Exemplos em qua as undades expermentas são anmas

123 Neste tpo de expermento os própros anmas servem como um crtéro de classfcação (lnhas) e o tempo (colunas) é o outro, ou seja, meddas repetdas não aleatóras são obtdas de cada anmal (pessoa) dstrbuídos a uma seqüênca de tratamentos Exemplo 4 O objetvo deste expermento fo testar o efeto de quatro dferentes suplementos (A, B, C, D) adconados ao feno na engorda de novlhos O expermento fo delneado em um expermento Quadrado Latno com quatro anmas em quatro períodos de 0 das As ovelhas foram mantdas soladas ndvdualmente Cada período conssta de 0 das de adaptação e de 0 de meddas Os dados apresentados abaxo são as médas de 0 das Novlhos Período N N N3 N4 0,0 (B) 0, (C) 8,5 (D),8 (A) 9,0 (C),3 (A), (B),4 (C) 3, (C), (B),8 (A),7 (D) 4 0,8 (A),0(D),0 (C),0 (B) Scrpt no R para resolver este exemplo # letura dos dados pelo readtable dadosex4 <- readtable("ex4dqltxt",header=true) # mprmndo as 6 lnhas ncas do arquvo head(dadosex4) # anexando o objeto dadosex4 no camnho de procura attach(dadosex4) # estatístcas resumo dos tratamentos do arquvo dadosex4 edesc<- tappl(peso,trat,summar) edesc # gráfco Box-plot para cada nível de trat boxplot(peso~trat,col=,xlab="tratamentos") # fazendo a análse dretamente pelo ExpDes # requerendo o ExpDes requre(expdes) # quadro da anova latsd(trat,perodo,novlho,peso,qual=t,mcomp="tuke") # retrando o objeto dadosex4 do camnho de procura detach(dadosex4) RESUMO:

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