Escola Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva Matemática 12.º ano Números Complexos - Exercícios saídos em (Exames Nacionais 2000)

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1 Internet: ou Escola Secundára Dr. Ângelo Augusto da Slva Matemátca.º ano Números Complexos - Exercícos saídos em (Exames Naconas 000). Seja C o conjunto dos números complexos; desgna a Na fgura estão representadas, no plano complexo, as magens geométrcas de 5 nºs complexos: w, z, z, z e z 4. Qual é o nº complexo que pode ser gual a w? (A) z (B) z (C) z (D) z 4 (Prova Modelo). Seja C o conjunto dos números complexos; desgna a a) Consdere o polnómo x x +x 4. Determne analtcamente as suas raízes em C, sabendo que uma delas é. Apresente-as na forma algébrca, smplfcando-as o mas possível. b) Seja z um nº complexo de módulo e z o seu conjugado. No plano complexo, consdere os pontos A e B tas que A é a magem geométrca de z, e B a magem geométrca de z. Sabe-se que: o ponto A está stuado no º quadrante; o ângulo AOB é recto (O desgna a orgem do referencal). Determne z/, apresentando o resultado na forma algébrca. (Prova Modelo). Na fgura está representado um hexágono cujos vértces são as magens geométrcas, no plano complexo, das raízes de índce de um certo nº complexo. O vértce C é a magem geométrca do nº complexo π cs 4. Qual dos seguntes nºs complexos tem por magem geométrca o vértce D? (A) (C) 7π cs (B) 7π cs (D) π cs π cs 4. Seja A o conjunto dos nºs complexos cuja magem, no plano complexo, é o nteror do círculo de centro na orgem do referencal e rao. a) Defna, por meo de uma condção em C, a parte de A contda no º quadrante (exclundo os exos do referencal). b) Sem recorrer à calculadora, mostre que o nº + complexo pertence ao conjunto A. π 4 cs 5. Seja z um nº complexo de argumento π/5. Qual poderá ser um argumento do smétrco de z? (A) -π/5 (B) π+π/5 (C) π-π/5 (D) π+π/5 (ª chamada). Consdere, no plano complexo, o quadrado [ABCD]. Os pontos A e C pertencem ao exo magnáro, e os pontos B e D pertencem ao exo real. Estes 4 pontos encontram-se à dstânca de undade da orgem do referencal. a) Sejam w=- e z= cs π/. Sem recorrer à calculadora, mostre que as raízes quartas do complexo w /z têm por magens geométrcas os pontos A, B, C e D. b) Defna, por meo de uma condção em C, a crcunferênca nscrta no quadrado [ABCD]. (ª chamada) 7. Qual das seguntes condções defne uma recta no plano complexo? (A) z- =4 (B) arg(z)=π/ (C) z+=0 (D) z- = z+ 8. Seja C o conjunto dos nºs complexos, e sejam z e z elementos de C. Sabe-se que: z tem argumento π/; z =z 4 ; A e A são magens geométrcas de z e de z, respectvamente. a) Justfque que o ângulo A OA é recto (O desgna a orgem do referencal). b) Consdere, no plano complexo, a crcunferênca C defnda pela condção z = z. Sabendo que o perímetro de C é 4π, represente, na forma algébrca, o nº complexo z. Números Complexos - Exercícos saídos em exames (.º ano) - pág.

2 9. Seja z=y, com y R\{0}, um nº complexo. Qual dos 4 pontos representados na fgura junta (A, B, C ou D) pode ser a magem geométrca de z 4? (A) O ponto A (B) O ponto B (C) O ponto C (D) O ponto D Internet: ou (Exames Naconas 00) (Prova Modelo) 0. Em C, conjunto dos nºs complexos, consdere z =7+4. a) Um certo ponto P é a magem geométrca, no plano complexo, de uma das raízes quadradas de z. Sabendo que o ponto P tem abcssa 4, determne a sua ordenada. b) Seja z =cs α com α ]π/4,π[. Indque, justfcando, em que quadrante se stua a magem geométrca de z z (Prova Modelo). Seja w um nº complexo dferente de 0, cuja magem geométrca, no plano complexo, está no º quadrante e pertence à bssectrz dos quadrantes ímpares. Seja w o conjugado de w. Na fgura estão representadas, no plano complexo, as magens geométrcas de 4 nºs complexos: z, z,z e z 4.. Na fgura está representado, no plano complexo, um heptágono regular nscrto numa crcunferênca de centro na orgem e rao. Um dos vértces do heptágono pertence ao exo magnáro. Os vértces do heptágono são, para um certo nº natural n, as magens geométrcas das raízes de índce n de um nº complexo z. Qual é o valor de z? (A) + (B) - (C) (D) - (ª chamada) 4. Em C, conjunto dos nºs complexos, seja z =4 a) No plano complexo, a magem geométrca de z é um dos 4 vértces de losango de perímetro 0, centrado na orgem do referencal. Determne os nºs complexos cujas magens geométrcas são os restantes vértces do losango. b) Sem recorrer à calculadora, resolva a equação cs π e z z 4j = +. Apresente o resultado na forma algébrca. (ª chamada) Qual deles pode ser gual a w w? 5. Qual das seguntes regões do plano complexo (ndcadas a sombreado) contém as magens geométrcas das raízes quadradas de +4? (A) z (B) z (C) z (D) z 4. Em C, conjunto dos nºs complexos, seja z = cs π/ a) Sem recorrer à calculadora, verfque que z + é um magnáro puro. b) No plano complexo, a magem geométrca de z é um dos 5 vértces do pentágono regular representado na fgura. Este pentágono regular está nscrto numa crcunferênca centrada na orgem do referencal. Defna, por meo de uma condção em C, a regão sombreada, exclundo a frontera.. Em C, conjunto dos nºs complexos, consdere w=+ a) Determne (w-) (+) na forma algébrca. b) Avergúe se o nverso de w é, ou não, cs π 4 Números Complexos - Exercícos saídos em exames (.º ano) - pág.

3 7. Qual das seguntes condções defne, no plano complexo, o exo magnáro? (A) z+ z =0 (B) Im(z)= (C) z =0 (D) z- z =0 8. Em C, consdere os nºs complexos: z =+ e Internet: ou (Exames Naconas 00) z = cs 4 π. a) Verfque que z e z são raízes quartas de um mesmo nº complexo. Determne esse nº, apresentando-o na forma algébrca. b) Consdere, no plano complexo, os pontos A, B e O em que: A é a magem geométrca de z ; B é a magem geométrca de z ; O é a orgem do referencal. Determne o perímetro do trângulo [AOB]. 0. De nºs complexos z e z sabe-se que: um argumento de z é π/; o módulo de z é 4. a) Seja w= +. Justfque que w é dferente de z e de z b) z e z são duas das raízes quartas de um certo nº complexo z. Sabendo que, no plano complexo, a magem geométrca de z pertence ao º quadrante, determne z na forma algébrca. (ª chamada). Na fgura está representado um rectângulo de comprmento 4 e largura, centrado na orgem do plano complexo. 9. Qual das fguras seguntes pode ser a representação geométrca, no plano complexo, do conjunto {z C: z+ = z- Im(z) 4}? Seja z um nº complexo qualquer, cuja magem geométrca está stuada no nteror do rectângulo. Qual dos seguntes nºs complexos tem também, necessaramente, a sua magem geométrca no nteror do rectângulo? (A) z - (B) z (C) z (D) z. Em C, conjunto dos nºs complexos, consdere z =+ a) Determne os nºs reas b e c para os quas z é raz do polnómo x +bx+c. b) Seja z =csα. Calcule o valor de α, pertencente ao ntervalo [0,π], para o qual z z é um nº real negatvo. (ª chamada) (Exames Naconas 00). Seja w um número complexo dferente de zero, cuja magem geométrca pertence à bssectrz dos quadrantes ímpares. A magem geométrca de w 4 pertence a uma das rectas a segur ndcadas. A qual delas? (A) Exo real (B) Exo magnáro (C) Bssectrz dos quadrantes pares (D) Bssectrz dos quadrantes ímpares 4. Em C, conjunto dos números complexos, consdere z =-, z = cs 5 4 π e z =-+ z a) Sem recorrer à calculadora, determne z apresentando o resultado na forma algébrca. b) Escreva uma condção em C que defna, no plano complexo, a crcunferênca que tem centro na magem geométrca de z e que passa na magem geométrca de z 5. Consdere, em C, a condção: Em qual das fguras seguntes pode estar representado, no plano complexo, o conjunto de pontos defndo por esta condção? Números Complexos - Exercícos saídos em exames (.º ano) - pág.

4 Internet: ou 7. Na fgura estão representadas, no plano complexo, as magens geométrcas de cnco números complexos: w, z, z, z e z 4. Qual é o nº complexo que pode ser gual a -w? (A) z (B) z (C) z (D) z 4 (ª chamada). C é o conjunto dos números complexos; desgna a a) Sem recorrer à calculadora, determne ( ) + ( csπ ) 9 apresentando o resultado na forma cs π algébrca. b) Seja α um número real. Sejam z e z dos números complexos tas que: z =cs α; z =cs (α+π) Mostre que z e z não podem ser ambos raízes cúbcas de um mesmo número complexo. (ª chamada) 8. C é o conjunto dos números complexos; desgna a a) Sem recorrer à calculadora, calcule, na forma trgonométrca, as raízes quartas do número complexo +, smplfcando o mas possível as expressões obtdas. b) Seja z um nº complexo cuja magem geométrca, no plano complexo, é um ponto A stuado no º quadrante e pertencente à recta defnda pela condção Re(z)=-. Seja B a magem geométrca de z, conjugado de z. Seja O a orgem do referencal. Represente, no plano complexo, um trângulo [AOB], de acordo com as condções enuncadas. Sabendo que a área do trângulo [AOB] é 8, determne z, na forma algébrca. (Exames Naconas 004) 9. Na fgura está representado, no plano complexo, um trângulo rectângulo sósceles. 0. Em C, consdere os números complexos: z =-+ e z =-. Sem recorrer à calculadora, determne, apresentando o resultado fnal na forma trgonométrca.. Seja z um número complexo, cuja magem geométrca pertence ao prmero quadrante (exos não ncluídos). Justfque que a magem geométrca de z não pode pertencer ao quarto quadrante. Os catetos têm comprmento, estando um deles contdo no exo dos números reas. Um dos vértces do trângulo concde com a orgem do referencal. Qual das condções seguntes defne a regão sombreada, nclundo a frontera? Números Complexos - Exercícos saídos em exames (.º ano) - pág. 4

5 . Os quatro vértces de um dos quadrláteros seguntes são as magens geométrcas, no plano complexo, das raízes quartas de um certo número complexo w. Qual poderá ser esse quadrlátero? Internet: ou Em C, conjunto dos números complexos, consdere w=4- a) Sem recorrer à calculadora, calcule, na forma algébrca, +w / b) Seja α um argumento do número complexo w. Exprma, na forma trgonométrca, em função de α, o produto de pelo conjugado de w. (Exames Naconas 005) 4. Em C, conjunto dos números complexos, consdere 7. Em C, conjunto dos números complexos, consdere z =cs π 4 e z =. Sejam P e P as magens geométrcas, no w =+, w = cs π e w = cs( π ). plano complexo, de z e de z, respectvamente. Sabe-se que o a) Sem recorrer à calculadora, determne o valor de segmento de recta P P é um dos lados do polígono cujos w w vértces são as magens geométrcas das raízes de índce n de w. Apresente o resultado na forma algébrca. um certo número complexo w. Qual é o valor de n? b) Represente, no plano complexo, a regão defnda pela (A) 4 (B) (C) 8 (D) 0 condção Re(z) Re(w ) z w 5. Seja C o conjunto dos números complexos; desgna a E. Consdere, no plano complexo, um ponto A, magem geométrca de um certo nº complexo z. Sabe-se que A não a) Consdere w= + pertence a qualquer um dos exos do plano complexo. Seja B. Sem recorrer à calculadora, o ponto smétrco do ponto A, relatvamente ao exo escreva w na forma trgonométrca. magnáro. Qual dos números complexos seguntes tem por b) Consdere z =cs(α) e z =cs( π α ). Mostre que a magem geométrca o ponto B? magem geométrca, no plano complexo, de z +z pertence à (A) z (B) z (C) z (D) z bssectrz dos quadrantes ímpares. E. Em C, conjunto dos números complexos, consdere. Em qual das opções seguntes estão duas raízes cúbcas de um mesmo número complexo? z =cs π. (A) cs π e cs 5 π (B) cs π e cs π a) Sem recorrer à calculadora, determne o valor de (C) cs π 4 e cs 4 π (D) cs π e cs π [ ( z) ]. Apresente o resultado na forma algébrca. b) Represente, no plano complexo, o conjunto defndo pela condção z z z z z Números Complexos - Exercícos saídos em exames (.º ano) - pág. 5

6 8. Os pontos A e B, representados na fgura, são as magens geométrcas, no plano complexo, das raízes quadradas de um certo número complexo z. Qual dos números complexos seguntes pode ser z? (A) (B) (C) (D) Internet: ou (Exames Naconas 00) 9. Seja C o conjunto dos números complexos; desgna a 4+ cs a) Sem recorrer à calculadora, determne ( π ) + apresentando o resultado fnal na forma trgonométrca. b) Consdere que, para qualquer número complexo z não nulo, arg(z) desgna o argumento de z que pertence ao ntervalo [0,π[. Represente a regão do plano complexo defnda pela condção, em C, por z π arg( z) 5π 4 4 e determne a sua área. 40. Na fgura estão representadas, no plano complexo, duas crcunferêncas, ambas com centro no exo real, tendo uma delas rao e a outra rao. A orgem do referencal é o únco ponto comum às duas crcunferêncas. Qual das condções seguntes defne a regão sombreada, nclundo a frontera? (A) z z (B) z z (C) z z (D) z z 4. Seja C o conjunto dos números complexos; desgna a a) Consdere z = ( )( + cs π ) e z = cs( π 5 7 ) z Sem recorrer à calculadora, escreva o número complexo z na forma trgonométrca. b) Seja z um número complexo cuja magem geométrca, no plano complexo, é um ponto A stuado no prmero quadrante. Seja B a magem geométrca de z, conjugado de z. Seja O a orgem do referencal. Sabe-se que o trângulo [AOB] é equlátero e tem perímetro. Represente o trângulo [AOB] e determne z na forma algébrca. E. Na fgura está representada, no plano complexo, uma crcunferênca centrada na orgem do referencal. Os pontos A, B e C pertencem a essa crcunferênca. O ponto A é a magem geométrca de 4+. O ponto B pertence ao exo magnáro. O arco BC tem 8 graus de ampltude. Em cada uma das 4 alternatvas que se seguem, está escrto um número complexo na forma trgonométrca (os argumentos estão expressos em radanos). Qual deles tem por magem geométrca o ponto C? (A) 7cs π (B) 7cs π 5 (C) 5cs π (D) 5cs π 5 E 4. Seja C o conjunto dos números complexos; desgna a a) Consdere a equação z = 0. Uma das soluções desta equação tem a sua magem geométrca no.º quadrante do plano complexo. Sem recorrer à calculadora, determne essa solução, escrevendo-a na forma trgonométrca. b) Seja B a regão do plano complexo defnda pela condção z Re( z) 0 z z Represente grafcamente B e determne a sua área. Números Complexos - Exercícos saídos em exames (.º ano) - pág.

7 z = csα ( α ], 0 π [) a) Na fgura está representado, no plano complexo, o paralelogramo [AOBC] A e B são as magens geométrcas de z e z, respectvamente. C é a magem geométrca de um número complexo, w. Justfque que w = cosα b) Determne o valor de α ], 0 π [ para o qual z número real. Internet: ou (Exames Naconas 007) 4. Qual das opções seguntes apresenta duas raízes quadradas 44. Em C, conjunto dos números complexos, seja a undade de um mesmo número complexo? (A) e (B) e (C) e + (D) e + magnára. Seja n um número natural tal que n =. Indque qual dos seguntes é o valor de n+. (A) (B) (C) (D) 4. Em C, conjunto dos números complexos, consdere é um 45. Em C, conjunto dos números complexos, sejam: z = + y e z = 4z ( é a undade magnára e y desgna um número real). a) Consdere que, para qualquer número complexo z não nulo, Arg(z) desgna o argumento de z que pertence ao ntervalo [0,π[. Admtndo que Arg(z )=α e que 0 < α < π, determne o valor de Arg( z ) em função de α. b) Sabendo que Im(z )= Im(z ), determne z. Apresente o resultado na forma algébrca. (Exames Naconas 008) 4. Seja z = um número complexo. Qual dos seguntes valores é um argumento de z? (A) 0 (B) π (C) π (D) π 47. Consdere, em C, a condção z + z =. Em qual das fguras seguntes pode estar representado, no plano complexo, o conjunto de pontos defndos por esta condção? 48. Em C, conjunto dos números complexos, consdere z = e z = 8cs0 ( desgna a undade magnára). a) Mostre, sem recorrer à calculadora, que ( z ) é uma raz cúbca de z. b) No plano complexo, sejam A e B as magens geométrcas 4 de z e de z = z, respectvamente. Determne o comprmento do segmento [AB]. 49. Seja z um número complexo de argumento π. Qual dos seguntes valores é um argumento de ( z)? (A) π (B) 5 π (C) π (D) 7 π 50. Consdere a fgura, representada no plano complexo. Números Complexos - Exercícos saídos em exames (.º ano) - pág. 7

8 Internet: ou Qual é a condção, em C, que defne a regão sombreada da fgura, nclundo a frontera? E Na fgura está representado, no plano complexo, o polígono [EFGHI ], nscrto numa crcunferênca de centro na orgem do referencal e rao gual a. Os vértces desse polígono são as magens geométrcas das raízes de índce 5 de um certo número complexo; um dos vértces pertence ao exo real. 5. Em C, conjunto dos números complexos, consdere z = ( desgna a undade magnára). Qual é o vértce do polígono [EFGHI ] que é a magem a) Sem recorrer à calculadora, determne o valor de geométrca de cs( π 5 )? z 8. Apresente o resultado na forma algébrca. (A) E (B) F (C) H (D) I b) Consdere z uma das raízes quartas de um certo número complexo z. Determne uma outra raz quarta de z, cuja E 7 Em C, conjunto dos números complexos, sejam os magem geométrca é um ponto pertencente ao.º quadrante. números z = ( ) ( + cs Apresente o resultado na forma trgonométrca. π ) e z = 8 cs( π 4 ) ( desgna a undade magnára). a) Determne, sem recorrer à calculadora, o número z complexo w = E 5. Qual das seguntes condções, na varável complexa z, z. Apresente o resultado na forma defne, no plano complexo, uma crcunferênca? trgonométrca. (A) z + 4 = 5 (B) z = z + b) Consdere o número complexo z = z. No plano (C) 0 arg(z ) π (D) Re(z ) + Im(z) = complexo, sejam A e B as magens geométrcas de z e de z, respectvamente. Determne a área do trângulo [AOB], em que O é a orgem do referencal. Soluções:. B. ± ; -. B 4. z < π/ <arg(z)<π 5. B. z = / 7. D A 0. ; º.B. ; z < π/<arg(z)<π/5. D 4. {;-4;-}; - 5. A. +8; não 7. A 8. 4;+ 9. B B. e ; 5π/4. A 4. ; z-+ = 5. B. 7. C 8. 4 cs π/, 4 cs 7π/, 4 cs π/, 4 cs 9π/; C 0. 8 cs(5π/4). B ; 5cs(π/-α) 4. C 5. / cs(π/4). A 7. - / 8. D 9. cs( π/4); π/ 40. A 4. 5cs(π/7); + 4. D 4. π/ 44. A 45. π/+α; B 47. B D 50. A 5. 4/5-/5; cs(5π/4) E. C E. E. D E 4. cs π 9 ; π E 5. A E. C E 7. ¼ cs(π/4); O professor: RobertOlvera Números Complexos - Exercícos saídos em exames (.º ano) - pág. 8