Universidade Salvador UNIFACS Cursos de Engenharia Cálculo IV Profa: Ilka Rebouças Freire. Integrais Múltiplas
|
|
- João Batista Brás de Barros
- 8 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Unversdade Salvador UNIFACS Cursos de Engenhara Cálculo IV Profa: Ilka ebouças Frere Integras Múltplas Texto 3: A Integral Dupla em Coordenadas Polares Coordenadas Polares Introduzremos agora um novo sstema de coordenadas planas que, para certas curvas e problemas de lugar geométrco, apresenta algumas vantagens em relação às coordenadas retangulares, além de facltar, em alguns casos, o cálculo de ntegras. No sstema de coordenadas retangulares a localzação de um ponto P do plano é dada através da dstânca de P a duas retas perpendculares fxas denomnadas de exos coordenados. No sstema de coordenadas polares, as coordenadas de um ponto consstem de uma dstânca e da medda de um ângulo, em relação a um ponto fxo e a uma sem-reta fxa. Fxados um ponto O, denomnado pólo ou orgem e uma sem-reta de orgem nesse ponto, denomnada de sem-exo polar podemos localzar qualquer ponto P do plano se conhecermos a sua dstânca ao pólo e o ângulo que o segmento OP faz com o sem-exo polar. P r pólo O sem-exo polar As coordenadas de um ponto P são representadas pelo par P( r, ) no qual r é denomnado rao vetor ou rao polar e corresponde à dstânca de P ao pólo é denomnado ângulo vetoral ou ângulo polar e corresponde ao ângulo de rotação do sem-exo polar até o segmento OP > se a rotação for no sentdo ant-horáro < se a rotação for no sentdo horáro pode ser meddo em graus ou radanos Denomnamos exo polar - a reta orentada que contém o sem-exo polar exo a 9 ou exo ortogonal a reta que passa pelo pólo e é ortogonal ao exo polar.
2 Exemplo: Marcar no sstema polar os seguntes pontos: P(3, /4); Q(, /3); (4, 9) e S(, ) P /4 S Q /3 Podemos consderar o rao vetor como dstânca orentada de um ponto P ao pólo O da segunte manera: Se r < gramos o sem-exo polar de ângulo e na sem-reta oposta marcamos r undades, a partr do pólo Exemplo: Marcar os pontos P(, 45); Q (, 3 ); (, 8) /4 Q 3 O P Exemplo: epresentar P (, /6); P (, 7/6); P 3 (, 5/6); P 4 (, /6) P 3 P /6 7/6 P 5/6 /6 P 4 Observamos pelo exemplo anteror que um mesmo ponto P pode ser obtdo por város pares de coordenadas polares. De um modo geral, conhecdas as coordenadas de um ponto P(r, ), r e em radanos, P também pode ser representado por ( r, + n ) ou ( r, + n + ) que resulta na únca expressão ( () n r, + n ), n Z. A menos que P seja o pólo, esta expressão representa todas as possíves coordenadas polares de P.
3 3 Observações:. No caso de coordenadas polares não exste uma correspondênca bunívoca entre pares e pontos, como no caso das cartesanas. É justamente este fato que leva a resultados que, em alguns casos, dferem dos obtdos no sstema retangular.. Dados P (r, ) e P (r, ) então P = P r = r = ou n Z tal que r = ( ) n r e = + n. 3. Se P é o pólo, então (, ) representa P qualquer que seja 4. Entre os nfntos pares de coordenadas polares de um ponto P dferente do pólo, exste um únco par com rao vetor r postvo e [, [. A este par (r o, o ) tal que r o > e o < denomnamos par ou conjunto prncpal de coordenadas polares do ponto P. 5. Convenconamos que o par prncpal do pólo é P(,) Equação Polar x Equação Cartesana Dado um ponto P do plano tendo como coordenadas polares P(r, ) e coordenadas cartesanas P(x, temos as seguntes relações entre x, y, r e. P(x, r x r cos y r sen x y r e tg r y x x y Exemplos: ) Encontre o conjunto prncpal de coordenadas polares para o ponto P( 3,) Solução: r ( 3) e 5 de coordenadas é portanto (, ) 6 tg 3 3. O conjunto prncpal 3
4 4 3 ) Encontre as coordenadas cartesanas do ponto P(, ) 4 x r cos cos( 3 / 4) ( ) Solução: Temos que y r sen sen( 3 / 4) ( ) O ponto P tem portanto coordenadas cartesanas P(, ) 3) Encontre uma equação polar para as curvas cujas equações cartesanas são a) x + y = Solução: x = r cos e y = r sen (r cos ) + (r sen ) = r = r = e r = são equações polares equvalentes da crcunferênca de centro na orgem e rao. A equação da crcunferênca com centro no pólo e rao a é r = a ou r = a O b) Crcunferênca de centro no ponto (, a) e rao a Solução: O A equação cartesana da crcunferênca é x + ( y a) = a x = r cos e y = r sen (r cos) + (r sen a ) = a r (cos + sen ) arsen + a = a r = arsen r = ( pólo ) ou r = asen. Uma vez que o pólo pode ser obtdo na a equação podemos conclur que a equação da crcunferênca é r = asen. Analogamente, pode-se mostrar que a equação polar da crcunferênca de centro em (a,) e rao a é r = acos. c) y = 3x Solução: r sen = 3r cos tg = 3 = arctg3 A equação = k representa uma reta que passa pelo pólo O
5 5 A Integral Dupla em Coordenadas Polares. As ntegras duplas em coordenadas polares são as ntegras nas quas o ntegrando e a regão de ntegração são expressos em coordenadas polares. Em mutas aplcações, se mudamos as coordenadas retangulares para polares, o cálculo da ntegral é bastante facltado. Isto ocorre se a regão for lmtada por curvas cuja equação é mas smples em coordenadas polares, e, em especal, quando o ntegrando envolve a expressão x + y, que, em polares, pode ser substtuída por r. Consderemos a regão delmtada pelas retas = e = e as curvas polares r = r () e r = r () = r () r () = Se as funções r = r () e r = r () forem contínuas e seus gráfcos não se nterceptarem, então a regão é chamada de uma regão polar smples As déas báscas na dedução da ntegral dupla em retangulares e a nterpretação geométrca como volume são análogas no caso polar. No caso retangular a regão fo dvdda em retângulos elementares. No caso polar usaremos arcos e raos para subdvdr a regão nos chamados retângulos polares. r () = = r () Suponhamos que f(r, ) é não negatva para que possamos nterpretar a ntegral dupla como um volume, ou seja, o volume do sóldo lmtado por e por f(r, ) é dado por
6 6 V = f (r, ) da Consderemos um retângulo polar arbtráro de ângulo central e espessura radal r. Escolhendo um ponto arbtráro ( r, ) dentro do retângulo, como sendo o centro desse retângulo, o rao nterno desse retângulo polar é r r / e o rao externo é r + r /. (r, ) r A área desse retângulo polar A é a dferença de área entre dos setores: A r r r r r r r r 4 r r r r 4 = r r Assm, como no caso de retangulares, fazendo o número de partções da regão tender para nfnto temos que n V = f (r, ) da = lm f (r, )r r. O lmte sugere que a ntegral pode ser n r ( ) escrta como a ntegral terada f (r, ) da = f (r, )rdrd. Os lmtes são escolhdos r( ) para cobrr a regão, sto é, fxo entre e e r varando de r a r. Observação: apesar de termos admtdo f(r, ) não negatva, pode-se mostrar que o resultado vale no caso mas geral. / sen Exemplo: Calcule a ntegral terada r cos drd Solução: / r [ cos ] sen d / sen cos sen d [ ] 6 3 / 6 Observemos que a regão é lmtada pelas curvas.
7 7 r = ( pólo); r = sen ( crcunferênca de centro no exo a 9 e rao a = ½ ) e as retas = e = /. Conversão de Integras Duplas de Coordenadas etangulares para Polares O cálculo da ntegral dupla em coordenadas retangulares pode ser facltado transferndo o cálculo para polares, bastando fazer a substtução x = r cos e y = r sen e expressando a regão de ntegração em forma polar f (x, da f (r cos, r sen )da lmtes f (r cos, r sen )rdrd aproprados Exemplos: (x y ) ) Use coordenadas polares para calcular e da, sendo a regão contda no círculo x + y = Solução: O círculo x + y = em polares tem equação r = e vara de a. Temos assm que os lmtes de ntegração são r = e r = e = a =. A ntegral fca r r e e ( e e rdrd [ ] d d [ ) ] x ( e ) Calcule a ntegral terada convertendo para polares ( x y Solução: Vamos, ncalmente, dentfcar a regão de ntegração em polares. A regão é corresponde a ¼ da crcunferênca de rao, ou seja r = com varando de a /. ) )dydx
8 8 / 3 r r drd = d / [ ] d [ ] / 4 / 3) Use a ntegral dupla em coordenadas polares para calcular o volume de clndro de rao a e altura h Solução: O volume do sóldo pode ser nterpretado como o volume lmtado pela regão que é uma crcunferênca de equação x + y = a e superormente pelo plano z = h a a x. Usando a smetra teríamos V = 4 hdydx. Usando as coordenadas polares temos / a / hr / a ha ha / V = 4 hrdrd 4 [ ] d 4 d 4[ ] a h Mudança de Varáves em Integras Duplas Lembremos que no caso de uma função de uma varável podemos fazer uma mudança de varável ou substtução para transformar uma ntegral dada em outra mas smples. Por b exemplo, dada a ntegral f (x)dx, podemos fazer a mudança de varável a x = g(t) dx = g (t)dt; a = g(c) e b = g(d) e a ntegral fca gual a b d f (x)dx f (g(t))g (t)dt. a c No caso da ntegral dupla podemos ter o mesmo procedmento efetuando mudanças de varáves, por exemplo x g(u, v) ( I ) y h(u, v) Isto corresponde a uma ntegral dupla numa regão do plano xy poder ser transformada numa ntegral dupla sobre uma regão do plano uv A nterpretação geométrca é que as mudanças de varáves ( I ) defnem uma transformação que faz corresponder pontos (u, v) do plano uv em pontos (x, do plano xy, levando a regão do plano uv na regão do plano xy.
9 9 v y u x Se a correspondênca for bjetora podemos retornar de para pela nversa dada pelas equações u g(x, y h(x, Supondo que as funções sejam contínuas com dervadas parcas contínuas em e temos que ( * ) f (x, dxdy f (g(u, v),h(u, v)) (x, dudv (u, v) (x, O símbolo (u, v) (x, dado por (u, v) é chamado de determnante jacobano de x e y em relação a u e v e é x x u y v y u v A expressão da ntegral acma ( * ) é válda se são satsfetas as seguntes condções f é contínua as regões são formadas por um número fnto de sub-regões dos tpos I e II (x, ou se anula num número fnto de pontos em (u, v) Vejamos no caso de polares que já deduzmos:
10 Sejam e as regões dos planos xy e r que se relaconam pelas equações x r cos y r sen (x, cos r sen O determnante jacobano nesse caso é dado por r (r, ) sen r cos que f (x, dxdy f (r cos,rsen ) rdrd, como já havíamos deduzdo. e assm temos Observações:.O jacobano pode ser nterpretado como uma medda de quanto a transformação modfca a área da regão.. A expressão ( * ) é geral, se aplcando em outras transformações e não apenas no caso de mudança de coordenadas de cartesanas para polares. eferêncas Bblográfcas:. Cálculo um Novo Horzonte Howard Anton vol. Cálculo com Geometra Analítca Swokowsk vol 3. Cálculo B Dva Flemng 4. Cálculo James Stewart vol
Texto 03: Campos Escalares e Vetoriais. Gradiente. Rotacional. Divergência. Campos Conservativos.
1 Unversdade Salvador UNIFACS Crsos de Engenhara Cálclo IV Profa: Ila Reboças Frere Cálclo Vetoral Teto 03: Campos Escalares e Vetoras. Gradente. Rotaconal. Dvergênca. Campos Conservatvos. Campos Escalares
Leia maisESPELHOS E LENTES ESPELHOS PLANOS
ESPELHOS E LENTES 1 Embora para os povos prmtvos os espelhos tvessem propredades mágcas, orgem de lendas e crendces que estão presentes até hoje, para a físca são apenas superfíces poldas que produzem
Leia maisNOTA II TABELAS E GRÁFICOS
Depto de Físca/UFMG Laboratóro de Fundamentos de Físca NOTA II TABELAS E GRÁFICOS II.1 - TABELAS A manera mas adequada na apresentação de uma sére de meddas de um certo epermento é através de tabelas.
Leia maisFísica. Física Módulo 1 Vetores, escalares e movimento em 2-D
Físca Módulo 1 Vetores, escalares e movmento em 2-D Vetores, Escalares... O que são? Para que servem? Por que aprender? Escalar Defnção: Escalar Grandea sem dreção assocada. Eemplos: Massa de uma bola,
Leia maisCovariância e Correlação Linear
TLF 00/ Cap. X Covarânca e correlação lnear Capítulo X Covarânca e Correlação Lnear 0.. Valor médo da grandeza (,) 0 0.. Covarânca na propagação de erros 03 0.3. Coecente de correlação lnear 05 Departamento
Leia mais7. Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias
7. Resolução Numérca de Equações Dferencas Ordnáras Fenômenos físcos em dversas áreas, tas como: mecânca dos fludos, fluo de calor, vbrações, crcutos elétrcos, reações químcas, dentre váras outras, podem
Leia maisPROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2013 DA UNICAMP-FASE 1. RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 03 DA UNICAMP-FASE. PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA QUESTÃO 37 A fgura abaxo exbe, em porcentagem, a prevsão da oferta de energa no Brasl em 030, segundo o Plano Naconal
Leia mais1 Princípios da entropia e da energia
1 Prncípos da entropa e da energa Das dscussões anterores vmos como o conceto de entropa fo dervado do conceto de temperatura. E esta últma uma conseqüênca da le zero da termodnâmca. Dentro da nossa descrção
Leia maisCAPÍTULO VI Introdução ao Método de Elementos Finitos (MEF)
PMR 40 - Mecânca Computaconal CAPÍTULO VI Introdução ao Método de Elementos Fntos (MEF). Formulação Teórca - MEF em uma dmensão Consderemos a equação abao que representa a dstrbução de temperatura na barra
Leia maisProfessor Mauricio Lutz CORRELAÇÃO
Professor Maurco Lutz 1 CORRELAÇÃO Em mutas stuações, torna-se nteressante e útl estabelecer uma relação entre duas ou mas varáves. A matemátca estabelece város tpos de relações entre varáves, por eemplo,
Leia maisTEORIA DE ERROS * ERRO é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma grandeza e o valor real ou correto da mesma.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA AV. FERNANDO FERRARI, 514 - GOIABEIRAS 29075-910 VITÓRIA - ES PROF. ANDERSON COSER GAUDIO FONE: 4009.7820 FAX: 4009.2823
Leia maiswww.obconcursos.com.br/portal/v1/carreirafiscal
www.obconcursos.com.br/portal/v1/carrerafscal Moda Exercíco: Determne o valor modal em cada um dos conjuntos de dados a segur: X: { 3, 4,, 8, 8, 8, 9, 10, 11, 1, 13 } Mo 8 Y: { 10, 11, 11, 13, 13, 13,
Leia maisUNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA - Centro de Ciências Sociais e Aplicadas Curso de Economia
CCSA - Centro de Cêncas Socas e Aplcadas Curso de Economa ECONOMIA REGIONAL E URBANA Prof. ladmr Fernandes Macel LISTA DE ESTUDO. Explque a lógca da teora da base econômca. A déa que sustenta a teora da
Leia maisRegressão e Correlação Linear
Probabldade e Estatístca I Antono Roque Aula 5 Regressão e Correlação Lnear Até o momento, vmos técncas estatístcas em que se estuda uma varável de cada vez, estabelecendo-se sua dstrbução de freqüêncas,
Leia maisIntrodução e Organização de Dados Estatísticos
II INTRODUÇÃO E ORGANIZAÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICOS 2.1 Defnção de Estatístca Uma coleção de métodos para planejar expermentos, obter dados e organzá-los, resum-los, analsá-los, nterpretá-los e deles extrar
Leia maisAnálise de Regressão. Profa Alcione Miranda dos Santos Departamento de Saúde Pública UFMA
Análse de Regressão Profa Alcone Mranda dos Santos Departamento de Saúde Públca UFMA Introdução Uma das preocupações estatístcas ao analsar dados, é a de crar modelos que explctem estruturas do fenômeno
Leia maisConsideraremos agora, uma de cada vez, as equivalentes angulares das grandezas de posição, deslocamento, velocidade e aceleração.
CAPÍTULO 5 77 5.1 Introdução A cnemátca dos corpos rígdos trata dos movmentos de translação e rotação. No movmento de translação pura todas as partes de um corpo sofrem o mesmo deslocamento lnear. Por
Leia maisAula 7: Circuitos. Curso de Física Geral III F-328 1º semestre, 2014
Aula 7: Crcutos Curso de Físca Geral III F-38 º semestre, 04 Ponto essencal Para resolver um crcuto de corrente contínua, é precso entender se as cargas estão ganhando ou perdendo energa potencal elétrca
Leia maisEscola Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva Matemática 12.º ano Números Complexos - Exercícios saídos em (Exames Nacionais 2000)
Internet: http://rolvera.pt.to ou http://sm.page.vu Escola Secundára Dr. Ângelo Augusto da Slva Matemátca.º ano Números Complexos - Exercícos saídos em (Exames Naconas 000). Seja C o conjunto dos números
Leia maisUNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA - UNEB DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA COLEGIADO DO CURSO DE DESENHO INDUSTRIAL CAMPUS I - SALVADOR
Matéra / Dscplna: Introdução à Informátca Sstema de Numeração Defnção Um sstema de numeração pode ser defndo como o conjunto dos dígtos utlzados para representar quantdades e as regras que defnem a forma
Leia maisPROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR 2010 2 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.
PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBUAR a Fase RESOUÇÃO: Proa Mara Antôna Gouvea Questão Um quadrado mágco é uma matr quadrada de ordem maor ou gual a cujas somas dos termos de cada lnha de cada coluna da
Leia maisCURSO ON-LINE PROFESSOR: VÍTOR MENEZES
O Danel Slvera pedu para eu resolver mas questões do concurso da CEF. Vou usar como base a numeração do caderno foxtrot Vamos lá: 9) Se, ao descontar uma promssóra com valor de face de R$ 5.000,00, seu
Leia maisS.A. 1. 2002; TIPLER, P. A.; MOSCA, G.
Rotação Nota Alguns sldes, fguras e exercícos pertencem às seguntes referêncas: HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. Fundamentos da Físca. V 1. 4a.Edção. Ed. Lvro Técnco Centífco S.A. 00; TIPLER, P. A.;
Leia maisTE210 FUNDAMENTOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS
TE0 FUNDAMENTOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS Números Complexos Introdução hstórca. Os números naturas, nteros, raconas, rraconas e reas. A necessdade dos números complexos. Sua relação com o mundo
Leia maisTrabalho e Energia. Definimos o trabalho W realizado pela força sobre uma partícula como o produto escalar da força pelo deslocamento.
Trabalho e Energa Podemos denr trabalho como a capacdade de produzr energa. Se uma orça eecutou um trabalho sobre um corpo ele aumentou a energa desse corpo de. 1 OBS: Quando estudamos vetores vmos que
Leia maisSempre que surgir uma dúvida quanto à utilização de um instrumento ou componente, o aluno deverá consultar o professor para esclarecimentos.
Insttuto de Físca de São Carlos Laboratóro de Eletrcdade e Magnetsmo: Transferênca de Potênca em Crcutos de Transferênca de Potênca em Crcutos de Nesse prátca, estudaremos a potênca dsspada numa resstênca
Leia maisCENTRO UNIVERSITÁRIO DO LESTE DE MINAS GERAIS - UnilesteMG
1 CENTRO UNIVERSITÁRIO DO LESTE DE MINAS GERAIS - UnlesteMG Dscplna: Introdução à Intelgênca Artfcal Professor: Luz Carlos Fgueredo GUIA DE LABORATÓRIO LF. 01 Assunto: Lógca Fuzzy Objetvo: Apresentar o
Leia maisHoje não tem vitamina, o liquidificador quebrou!
A U A UL LA Hoje não tem vtamna, o lqudfcador quebrou! Essa fo a notíca dramátca dada por Crstana no café da manhã, lgeramente amenzada pela promessa de uma breve solução. - Seu pa dsse que arruma à note!
Leia mais2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Prof.: Anastácio Pinto Gonçalves Filho
rof.: nastáco nto Gonçalves lho Introdução Nem sempre é possível tratar um corpo como uma únca partícula. Em geral, o tamanho do corpo e os pontos de aplcação específcos de cada uma das forças que nele
Leia mais58 Textos de Apoio de Análise Matemática IV 2003/2004. Tem-se assim uma decomposição da região rectangular R em mk rectângulos
58 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4.3 Integral duplo.3.1 efnção Seja um rectângulo fechado de, sto é, [a, b] [c, d] {(x, y) : a x b e c y d}, com a < b e c < d. Consdere-se uma partção do ntervalo
Leia maisEXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO MATEMÁTICA A PROVA MODELO N.º 3 PROPOSTA DE RESOLUÇÃO 12.º ANO DE ESCOLARIDADE
EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO MATEMÁTICA A PROVA MODELO Nº PROPOSTA DE RESOLUÇÃO 1º ANO DE ESCOLARIDADE Ste: http://recursos-para-matematcawebnodept/ Facebook: https://wwwfacebookcom/recursosparamatematca
Leia maisFone:
Prof. Valdr Gumarães Físca para Engenhara FEP111 (4300111) 1º Semestre de 013 nsttuto de Físca- Unversdade de São Paulo Aula 8 Rotação, momento nérca e torque Professor: Valdr Gumarães E-mal: valdrg@f.usp.br
Leia maisSeja D R. Uma função vetorial r(t) com domínio D é uma correspondência que associa a cada número t em D exatamente um vetor r(t) em R 3
1 Universidade Salvador UNIFACS Cursos de Engenharia Cálculo IV Profa: Ilka Rebouças Freire Cálculo Vetorial Texto 01: Funções Vetoriais Até agora nos cursos de Cálculo só tratamos de funções cujas imagens
Leia mais01) (Insper) A equação x 5 = 8x 2 possui duas raízes imaginárias, cuja soma é: a) 2. b) 1. c) 0. d) 1. e) 2.
Lsta 8 Números complexos Resoluções Prof Ewerton Números Complexos (concetos báscos, adção, subtração, multplcação, gualdade e conjugado) 0) (Insper) A equação x 5 = 8x possu duas raíes magnáras, cuja
Leia maisLista de Exercícios de Recuperação do 2 Bimestre. Lista de exercícios de Recuperação de Matemática 3º E.M.
Lsta de Exercícos de Recuperação do Bmestre Instruções geras: Resolver os exercícos à caneta e em folha de papel almaço ou monobloco (folha de fcháro). Copar os enuncados das questões. Entregar a lsta
Leia maisSistemas de Filas: Aula 5. Amedeo R. Odoni 22 de outubro de 2001
Sstemas de Flas: Aula 5 Amedeo R. Odon 22 de outubro de 2001 Teste 1: 29 de outubro Com consulta, 85 mnutos (níco 10:30) Tópcos abordados: capítulo 4, tens 4.1 a 4.7; tem 4.9 (uma olhada rápda no tem 4.9.4)
Leia mais1 a Lei de Kirchhoff ou Lei dos Nós: Num nó, a soma das intensidades de correntes que chegam é igual à soma das intensidades de correntes que saem.
Les de Krchhoff Até aqu você aprendeu técncas para resolver crcutos não muto complexos. Bascamente todos os métodos foram baseados na 1 a Le de Ohm. Agora você va aprender as Les de Krchhoff. As Les de
Leia maisNúmeros Complexos. Conceito, formas algébrica e trigonométrica e operações. Autor: Gilmar Bornatto
Números Complexos Conceto, formas algébrca e trgonométrca e operações. Autor: Glmar Bornatto Conceto (parte I) Os números complexos surgram para sanar uma das maores dúvdas que atormentavam os matemátcos:
Leia maisAula 16 Mudança de Variável em Integrais Múltiplas
Aula 16 Mudança de Variável em Integrais Múltiplas MA211 - Cálculo II Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade
Leia maisSe entregar em papel, por favor, prenda esta folha de rosto na sua solução desta lista, deixando-a em branco. Ela será usada na
Cálculo Multivariado Lista numero integração múltipla tarcisio.praciano@gmail.com T. Praciano-Pereira Dep. de Computação alun@: de março de 13 Univ. Estadual Vale do Aca Documento escrito com L A TEX -
Leia maisResoluções dos exercícios propostos
Capítulo 10 da físca 3 xercícos propostos Undade Capítulo 10 eceptores elétrcos eceptores elétrcos esoluções dos exercícos propostos 1 P.50 a) U r 100 5 90 V b) Pot d r Pot d 5 Pot d 50 W c) Impedndo-se
Leia maisEscolha do Consumidor sob condições de Risco e de Incerteza
9/04/06 Escolha do Consumdor sob condções de Rsco e de Incerteza (Capítulo 7 Snyder/Ncholson e Capítulo Varan) Turma do Prof. Déco Kadota Dstnção entre Rsco e Incerteza Na lteratura econômca, a prmera
Leia maisAS COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS E A MÁQUINA SIMÉTRICA
CAPÍTULO 5 A COMPONENTE IMÉTICA INTANTÂNEA E A MÁQUINA IMÉTICA 5. INTODUÇÃO O emprego das componentes smétrcas nstantâneas permte a obtenção de modelos mas smples que aqueles obtdos com a transformação
Leia maisIntuitivamente, podemos pensar numa superfície no espaço como sendo um objeto bidimensional. Existem outros modos de se representar uma superfície:
Capítulo 3 Integrais de superfícies 3.1 Superfícies no espaço Definição 3.1 Uma superfície S no espaço é definida como sendo a imagem de uma aplicação contínua r : K R R 3, (u, v) K 7 r (u, v) =(x (u,
Leia maisMATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS NÚMEROS COMPLEXOS
MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS NÚMEROS COMPLEXOS PROF: Claudo Saldan CONTATO: saldan.mat@gmal.com PARTE 0 -(MACK SP/00/Janero) Se y = x, sendo x= e =, o valor de (xy) é a) 9 9 9 9 e) 9 0 -(FGV/00/Janero)
Leia maisPROBLEMAS SOBRE PONTOS Davi Máximo (UFC) e Samuel Feitosa (UFC)
PROBLEMS SOBRE PONTOS Dav Máxmo (UFC) e Samuel Fetosa (UFC) Nível vançado Dstrbur pontos num plano ou num espaço é uma tarefa que pode ser realzada de forma muto arbtrára Por sso, problemas sobre pontos
Leia maisNÚMEROS COMPLEXOS (C)
Professor: Casso Kechalosk Mello Dscplna: Matemátca Aluno: N Turma: Data: NÚMEROS COMPLEXOS (C) Quando resolvemos a equação de º grau x² - 6x + = 0 procedemos da segunte forma: b b ± 4ac 6 ± 6 4 6 ± 6
Leia maisUniversidade Estadual do Sudoeste da Bahia
Unversdade Estadual do Sudoeste da Baha Departamento de Cêncas Exatas e Naturas 5 - Rotações, Centro de Massa, Momento, Colsões, Impulso e Torque Físca I Ferrera Índce 1. Movmento Crcular Unformemente
Leia maisSistemas Equivalentes de Forças
Nona E 3 Corpos CÍTULO ECÂNIC VETORIL R ENGENHEIROS: ESTÁTIC Ferdnand. Beer E. Russell Johnston, Jr. Notas de ula: J. Walt Oler Teas Tech Unverst Rígdos: Sstemas Equvalentes de Forças 2010 The cgraw-hll
Leia maisIV - Descrição e Apresentação dos Dados. Prof. Herondino
IV - Descrção e Apresentação dos Dados Prof. Herondno Dados A palavra "dados" é um termo relatvo, tratamento de dados comumente ocorre por etapas, e os "dados processados" a partr de uma etapa podem ser
Leia maisRESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Defnções RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Problemas de Valor Incal PVI) Métodos de passo smples Método de Euler Métodos de sére de Talor Métodos de Runge-Kutta Equações de ordem superor Métodos
Leia maisFísica. Setor B. Índice-controle de Estudo. Prof.: Aula 23 (pág. 86) AD TM TC. Aula 24 (pág. 87) AD TM TC. Aula 25 (pág.
Físca Setor Prof.: Índce-controle de studo ula 23 (pág. 86) D TM TC ula 24 (pág. 87) D TM TC ula 25 (pág. 88) D TM TC ula 26 (pág. 89) D TM TC ula 27 (pág. 91) D TM TC ula 28 (pág. 91) D TM TC evsanglo
Leia mais06) (PUC-MG) O número complexo z tal que 5z + z = i é igual a: a) 2 + 2i b) 2 3i c) 1 + 2i d) 2 + 4i e) 3 + i
concetos báscos, adção, subtração, multplcação, gualdade e conjugado 0) (Insper) A equação x 5 = 8x possu duas raíes magnáras, cuja soma é:. b). c) 0.. e). 0) (Mack) O conjunto solução da equação + 3 =
Leia maisMATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Potências e raízes Propostas de resolução
MATEMÁTICA A - 1o Ano N o s Complexos - Potêncas e raízes Propostas de resolução Exercícos de exames e testes ntermédos 1. Smplfcando a expressão de z na f.a., como 5+ ) 5 1 5, temos: z 1 + 1 ) + 1 1 1
Leia maisPágina 293. w1 w2 a b i 3 bi a b i 3 bi. 2w é o simétrico do dobro de w. Observemos o exemplo seguinte, em que o afixo de 2w não
Preparar o Exame 0 0 Matemátca A Págna 9. Se 5 5 é o argumento de z, é argumento de z e 5 5. Este ângulo é gual ao ângulo de ampltude 5 é argumento de z.. Resposta: D w w a b b a b b. a b a a b b b bem
Leia maisDespacho Econômico de. Sistemas Termoelétricos e. Hidrotérmicos
Despacho Econômco de Sstemas Termoelétrcos e Hdrotérmcos Apresentação Introdução Despacho econômco de sstemas termoelétrcos Despacho econômco de sstemas hdrotérmcos Despacho do sstema braslero Conclusões
Leia maisCapítulo 1. O plano complexo. 1.1. Introdução. Os números complexos começaram por ser introduzidos para dar sentido à 2
Capítulo O plano compleo Introdução Os números compleos começaram por ser ntrodudos para dar sentdo à resolução de equações polnomas do tpo Como os quadrados de números reas são sempre maores ou guas a
Leia mais2003/2004. então o momento total das forças exercidas sobre o sistema é dado por. F ij = r i F (e)
Resolução da Frequênca de Mecânca Clássca I/Mecânca Clássca 2003/2004 I Consdere um sstema de N partículas de massas m, =,..., N. a Demonstre que, se a força nterna exercda sobre a partícula pela partícula
Leia maisSistemas Robóticos. Sumário. Introdução. Introdução. Navegação. Introdução Onde estou? Para onde vou? Como vou lá chegar?
Sumáro Sstemas Robótcos Navegação Introdução Onde estou? Para onde vou? Como vou lá chegar? Carlos Carreto Curso de Engenhara Informátca Ano lectvo 2003/2004 Escola Superor de Tecnologa e Gestão da Guarda
Leia maisCristina Caldeira 97. Tem-se assim uma decomposição da região Q em mkq paralelipípedos rectangulares
Crstna Caldera 97 (c) T {(x, y) R : y a x } (a R + ) e ρ(x, y) é a dstânca de (x, y) ao ponto (, ); (d) T [, 3] [, ] e ρ(x, y) xy..4 Integral trplo.4.1 efnção e propredades Seja Q um paralelpípedo rectangular
Leia maisCapítulo 24: Potencial Elétrico
Capítulo 24: Potencal Energa Potencal Elétrca Potencal Superfíces Equpotencas Cálculo do Potencal a Partr do Campo Potencal Produzdo por uma Carga Pontual Potencal Produzdo por um Grupo de Cargas Pontuas
Leia mais2 Máquinas de Vetor Suporte 2.1. Introdução
Máqunas de Vetor Suporte.. Introdução Os fundamentos das Máqunas de Vetor Suporte (SVM) foram desenvolvdos por Vapnk e colaboradores [], [3], [4]. A formulação por ele apresentada se basea no prncípo de
Leia maisIntegrais Duplas e Coordenadas Polares. 3.1 Coordenadas Polares: Revisão
Cálculo III Departamento de Matemática - ICEx - UFMG Marcelo Terra Cunha Integrais Duplas e Coordenadas Polares Nas primeiras aulas discutimos integrais duplas em algumas regiões bem adaptadas às coordenadas
Leia maisTermodinâmica e Termoquímica
Termodnâmca e Termoquímca Introdução A cênca que trata da energa e suas transformações é conhecda como termodnâmca. A termodnâmca fo a mola mestra para a revolução ndustral, portanto o estudo e compreensão
Leia mais( ) F 1 pode ser deslocado de. M = r F. Mecânica Geral II Notas de AULA 2 - Teoria Prof. Dr. Cláudio S. Sartori. MOMENTO DE UM BINÁRIO.
ecânca Geral II otas de UL - Teora Prof. Dr. láudo S. Sartor ET DE U IÁI. Duas forças, que tenham o mesmo módulo e lnha de ação paralelas e sentdos opostos formam um bnáro. Decomposção de uma força dada
Leia maisApostila de Estatística Curso de Matemática. Volume II 2008. Probabilidades, Distribuição Binomial, Distribuição Normal. Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna
Apostla de Estatístca Curso de Matemátca Volume II 008 Probabldades, Dstrbução Bnomal, Dstrbução Normal. Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna 1 Capítulo 8 - Probabldade 8.1 Conceto Intutvamente pode-se defnr probabldade
Leia maisExercícios de Física. Prof. Panosso. Fontes de campo magnético
1) A fgura mostra um prego de ferro envolto por um fo fno de cobre esmaltado, enrolado mutas vezes ao seu redor. O conjunto pode ser consderado um eletroímã quando as extremdades do fo são conectadas aos
Leia maisR X. X(s) Y Y(s) Variáveis aleatórias discretas bidimensionais
30 Varáves aleatóras bdmensonas Sea ε uma experênca aleatóra e S um espaço amostral assocado a essa experênca. Seam X X(s) e Y Y(s) duas funções cada uma assocando um número real a cada resultado s S.
Leia maisExemplos. representado a seguir, temos que: são positivas. são negativas. i
6 Prodto Vetoral Para defnrmos o prodto etoral entre dos etores é ndspensáel dstngrmos o qe são bases postas e bases negatas Para sso consderemos ma base do espaço { } e m obserador Este obserador dee
Leia maisProposta de resolução do Exame Nacional de Matemática A 2016 (2 ạ fase) GRUPO I (Versão 1) Logo, P(A B) = = = Opção (A)
Proosta de resolução do Eame Naconal de Matemátca A 0 ( ạ fase) GRUPO I (Versão ). P( A B) 0, P(A B) 0, P(A B) 0, P(A B) 0,4 P(A) + P(B) P(A B) 0,4 Como P(A) 0, e P(B) 0,, vem que: 0, + 0, P(A B) 0,4 P(A
Leia maisLista de Matemática ITA 2012 Números Complexos
Prof Alex Perera Beerra Lsta de Matemátca ITA 0 Números Complexos 0 - (UFPE/0) A representação geométrca dos números complexos que satsfaem a gualdade = formam uma crcunferênca com rao r e centro no ponto
Leia maisEletricidade 3 Questões do ENEM. 8. Campo Elétrico 11 Questões do ENEM 13. Energia Potencial Elétrica 15 Questões do ENEM 20
1 4º Undade Capítulo XIII Eletrcdade 3 Questões do ENEM. 8 Capítulo XIV Campo Elétrco 11 Questões do ENEM 13 Capítulo XV Energa Potencal Elétrca 15 Questões do ENEM 20 Capítulo XVI Elementos de Um Crcuto
Leia maisELETRICIDADE E MAGNETISMO
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA Professor: Renato Mederos ELETRICIDADE E MAGNETISMO NOTA DE AULA III Goâna - 2014 CORRENTE ELÉTRICA Estudamos anterormente
Leia maisCurso de extensão, MMQ IFUSP, fevereiro/2014. Alguns exercício básicos
Curso de extensão, MMQ IFUSP, feverero/4 Alguns exercíco báscos I Exercícos (MMQ) Uma grandeza cujo valor verdadero x é desconhecdo, fo medda três vezes, com procedmentos expermentas dêntcos e, portanto,
Leia maisIntrodução à Análise de Dados nas medidas de grandezas físicas
Introdução à Análse de Dados nas meddas de grandezas físcas www.chem.wts.ac.za/chem0/ http://uregna.ca/~peresnep/ www.ph.ed.ac.uk/~td/p3lab/analss/ otas baseadas nos apontamentos Análse de Dados do Prof.
Leia maisCurvas Horizontais e Verticais
Insttução: Faculdade de Tecnologa e Cêncas Professor: Dego Queroz de Sousa Dscplna: Topografa Curvas Horzontas e ertcas 1. Introdução Exstem dversas ocasões na engenhara em que os projetos são desenvolvs
Leia mais01. Em porcentagem das emissões totais de gases do efeito estufa, o Brasil é o quarto maior poluidor, conforme a tabela abaixo:
PROCESSO SELETIVO 7 RESOLUÇÃO MATEMÁTICA Rosane Soares Morera Vana, Luz Cláudo Perera, Lucy Tem Takahash, Olímpo Hrosh Myagak QUESTÕES OBJETIVAS Em porcentagem das emssões totas de gases do efeto estufa,
Leia maisCapítulo 2. APROXIMAÇÕES NUMÉRICAS 1D EM MALHAS UNIFORMES
Capítulo. Aproxmações numércas 1D em malhas unformes 9 Capítulo. AROXIMAÇÕS NUMÉRICAS 1D M MALHAS UNIFORMS O prncípo fundamental do método das dferenças fntas (MDF é aproxmar através de expressões algébrcas
Leia maisMAT1154 ANÁLISE QUALITATIVA DE PONTOS DE EQUILÍBRIO DE SISTEMAS NÃO-LINEARES
MAT1154 ANÁLISE QUALITATIVA DE PONTOS DE EQUILÍBRIO DE SISTEMAS NÃO-LINEARES VERSÃO 1.0.2 Resumo. Este texto resume e complementa alguns assuntos dos Capítulo 9 do Boyce DiPrima. 1. Sistemas autônomos
Leia mais4.2 Teorema do Valor Médio. Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-2010_2.html
4.2 Teorema do Valor Médio Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-2010_2.html Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses: a) f é contínua no intervalo
Leia maisMA211 - Lista 09. Coordenadas Esféricas e Mudança de Variáveis 7 de outubro de 2015
MA2 - Lista 9 Coordenadas sféricas e Mudança de Variáveis 7 de outubro de 25. Marque o ponto cujas coordenadas esféricas é (,, ) e encontre as coordenadas retangulares do ponto. 2. Mude o ponto (, 3, 2
Leia maisEletricidade 3. Campo Elétrico 8. Energia Potencial Elétrica 10. Elementos de Um Circuito Elétrico 15. Elementos de Um Circuito Elétrico 20
1 3º Undade Capítulo XI Eletrcdade 3 Capítulo XII Campo Elétrco 8 Capítulo XIII Energa Potencal Elétrca 10 Capítulo XIV Elementos de Um Crcuto Elétrco 15 Capítulo XV Elementos de Um Crcuto Elétrco 20 Questões
Leia maisDefinição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y).
PUCRS FACULDADE DE ATEÁTICA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PROF. LUIZ EDUARDO OURIQUE EQUAÇÔES EXATAS E FATOR INTEGRANTE Definição. A diferencial de uma função de duas variáveis f(x,) é definida por df = f x (x,)dx
Leia maisCapítulo. Associação de resistores. Resoluções dos exercícios propostos. P.135 a) R s R 1 R 2 R s 4 6 R s 10 Ω. b) U R s i U 10 2 U 20 V
apítulo 7 da físca Exercícos propostos Undade apítulo 7 ssocação de resstores ssocação de resstores esoluções dos exercícos propostos 1 P.15 a) s 1 s 6 s b) U s U 10 U 0 V c) U 1 1 U 1 U 1 8 V U U 6 U
Leia maisESTATÍSTICA MULTIVARIADA 2º SEMESTRE 2010 / 11. EXERCÍCIOS PRÁTICOS - CADERNO 1 Revisões de Estatística
ESTATÍSTICA MULTIVARIADA º SEMESTRE 010 / 11 EXERCÍCIOS PRÁTICOS - CADERNO 1 Revsões de Estatístca -0-11 1.1 1.1. (Varáves aleatóras: função de densdade e de dstrbução; Méda e Varânca enquanto expectatvas
Leia maisUniversidade de São Paulo Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Departamento de Ciências Exatas
Unversdade de São Paulo Escola Superor de Agrcultura Luz de Queroz Departamento de Cêncas Exatas Prova escrta de seleção para DOUTORADO em Estatístca e Expermentação Agronômca Nome do canddato (a): Questão
Leia maisPolos Olímpicos de Treinamento. Aula 10. Curso de Teoria dos Números - Nível 2. Divisores. Prof. Samuel Feitosa
Polos Olímpcos de Trenamento Curso de Teora dos Números - Nível 2 Prof. Samuel Fetosa Aula 10 Dvsores Suponha que n = p α 1 2...pα é a fatoração em prmos do ntero n. Todos os dvsores de n são da forma
Leia maisFaculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu
1 Programação Não Lnear com Restrções Aula 9: Programação Não-Lnear - Funções de Váras Varáves com Restrções Ponto Regular; Introdução aos Multplcadores de Lagrange; Multplcadores de Lagrange e Condções
Leia mais14. Correntes Alternadas (baseado no Halliday, 4 a edição)
14. orrentes Alternadas (baseado no Hallday, 4 a edção) Por que estudar orrentes Alternadas?.: a maora das casas, comérco, etc., são provdas de fação elétrca que conduz corrente alternada (A ou A em nglês):
Leia maisObjetivos da aula. Essa aula objetiva fornecer algumas ferramentas descritivas úteis para
Objetvos da aula Essa aula objetva fornecer algumas ferramentas descrtvas útes para escolha de uma forma funconal adequada. Por exemplo, qual sera a forma funconal adequada para estudar a relação entre
Leia maisAssociação de resistores em série
Assocação de resstores em sére Fg.... Na Fg.. está representada uma assocação de resstores. Chamemos de I, B, C e D. as correntes que, num mesmo nstante, passam, respectvamente pelos pontos A, B, C e D.
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda PROVAS RESOLVIDAS DE CÁLCULO VETORIAL Professora Salete Souza de Oliveira Aluna Thais Silva de Araujo P1 Turma
Leia maisCoordenadas Polares. Prof. Márcio Nascimento. marcio@matematicauva.org
Coordenadas Polares Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Matemática
Leia maisSC de Física I Nota Q Nota Q2 Nota Q3 NOME: DRE Teste 1
SC de Físca I - 2017-2 Nota Q1 88888 Nota Q2 Nota Q3 NOME: DRE Teste 1 Assnatura: Questão 1 - [3,5 pontos] Uma partícula de massa m se move sobre uma calha horzontal lsa com velocdade constante de módulo
Leia mais4.2 Produto Vetorial. Orientação sobre uma reta r
94 4. Produto Vetorial Dados dois vetores u e v no espaço, vamos definir um novo vetor, ortogonal a u e v, denotado por u v (ou u v, em outros textos) e denominado produto vetorial de u e v. Mas antes,
Leia mais7.4 Precificação dos Serviços de Transmissão em Ambiente Desregulamentado
64 Capítulo 7: Introdução ao Estudo de Mercados de Energa Elétrca 7.4 Precfcação dos Servços de Transmssão em Ambente Desregulamentado A re-estruturação da ndústra de energa elétrca que ocorreu nos últmos
Leia maisLISTA DE REVISÃO DE MATEMÁTICA 3º ANO 2º TRIMESTRE PROF. JADIEL
LISTA DE REVISÃO DE MATEMÁTICA º ANO 2º TRIMESTRE PROF. JADIEL 1) O valor de z sabendo que 6 z é: z A) 6 B) 6 C) 8 + D) 8 E) 8 2) Qual o valor de z para que z z 2? A) z 2 B) z 1 2 C) z D) z E) z 1 ) Consdere
Leia maisMatemática. Veículo A. Veículo B. Os gráficos das funções interceptam-se quando 50t = 80t
Matemátca 0 Dos veículos, A e B, partem de um ponto de uma estrada, em sentdos opostos e com velocdades constantes de 50km/h e 70km/h, respectvamente Após uma hora, o veículo B retorna e, medatamente,
Leia maisNotas de Aula de Física
Versão prelmnar 7 de setembro de Notas de Aula de Físca 7. TRABAO E ENERGIA CINÉTICA... MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO COM FORÇA CONSTANTE... TRABAO EXECUTADO POR UMA FORÇA VARIÁVE... Análse undmensonal...
Leia maisReferências bibliográficas: H. 31-5, 31-6 S. 29-7, 29-8 T Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Física
Unversdade Federal do Paraná Setor de êncas Exatas epartamento de Físca Físca III Prof. r. Rcardo Luz Vana Referêncas bblográfcas: H. 31-5, 31-6 S. 9-7, 9-8 T. 5-4 ula - Le de mpère ndré Mare mpère (*
Leia mais