Universidade Salvador UNIFACS Cursos de Engenharia Cálculo IV Profa: Ilka Rebouças Freire. Integrais Múltiplas

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1 Unversdade Salvador UNIFACS Cursos de Engenhara Cálculo IV Profa: Ilka ebouças Frere Integras Múltplas Texto 3: A Integral Dupla em Coordenadas Polares Coordenadas Polares Introduzremos agora um novo sstema de coordenadas planas que, para certas curvas e problemas de lugar geométrco, apresenta algumas vantagens em relação às coordenadas retangulares, além de facltar, em alguns casos, o cálculo de ntegras. No sstema de coordenadas retangulares a localzação de um ponto P do plano é dada através da dstânca de P a duas retas perpendculares fxas denomnadas de exos coordenados. No sstema de coordenadas polares, as coordenadas de um ponto consstem de uma dstânca e da medda de um ângulo, em relação a um ponto fxo e a uma sem-reta fxa. Fxados um ponto O, denomnado pólo ou orgem e uma sem-reta de orgem nesse ponto, denomnada de sem-exo polar podemos localzar qualquer ponto P do plano se conhecermos a sua dstânca ao pólo e o ângulo que o segmento OP faz com o sem-exo polar. P r pólo O sem-exo polar As coordenadas de um ponto P são representadas pelo par P( r, ) no qual r é denomnado rao vetor ou rao polar e corresponde à dstânca de P ao pólo é denomnado ângulo vetoral ou ângulo polar e corresponde ao ângulo de rotação do sem-exo polar até o segmento OP > se a rotação for no sentdo ant-horáro < se a rotação for no sentdo horáro pode ser meddo em graus ou radanos Denomnamos exo polar - a reta orentada que contém o sem-exo polar exo a 9 ou exo ortogonal a reta que passa pelo pólo e é ortogonal ao exo polar.

2 Exemplo: Marcar no sstema polar os seguntes pontos: P(3, /4); Q(, /3); (4, 9) e S(, ) P /4 S Q /3 Podemos consderar o rao vetor como dstânca orentada de um ponto P ao pólo O da segunte manera: Se r < gramos o sem-exo polar de ângulo e na sem-reta oposta marcamos r undades, a partr do pólo Exemplo: Marcar os pontos P(, 45); Q (, 3 ); (, 8) /4 Q 3 O P Exemplo: epresentar P (, /6); P (, 7/6); P 3 (, 5/6); P 4 (, /6) P 3 P /6 7/6 P 5/6 /6 P 4 Observamos pelo exemplo anteror que um mesmo ponto P pode ser obtdo por város pares de coordenadas polares. De um modo geral, conhecdas as coordenadas de um ponto P(r, ), r e em radanos, P também pode ser representado por ( r, + n ) ou ( r, + n + ) que resulta na únca expressão ( () n r, + n ), n Z. A menos que P seja o pólo, esta expressão representa todas as possíves coordenadas polares de P.

3 3 Observações:. No caso de coordenadas polares não exste uma correspondênca bunívoca entre pares e pontos, como no caso das cartesanas. É justamente este fato que leva a resultados que, em alguns casos, dferem dos obtdos no sstema retangular.. Dados P (r, ) e P (r, ) então P = P r = r = ou n Z tal que r = ( ) n r e = + n. 3. Se P é o pólo, então (, ) representa P qualquer que seja 4. Entre os nfntos pares de coordenadas polares de um ponto P dferente do pólo, exste um únco par com rao vetor r postvo e [, [. A este par (r o, o ) tal que r o > e o < denomnamos par ou conjunto prncpal de coordenadas polares do ponto P. 5. Convenconamos que o par prncpal do pólo é P(,) Equação Polar x Equação Cartesana Dado um ponto P do plano tendo como coordenadas polares P(r, ) e coordenadas cartesanas P(x, temos as seguntes relações entre x, y, r e. P(x, r x r cos y r sen x y r e tg r y x x y Exemplos: ) Encontre o conjunto prncpal de coordenadas polares para o ponto P( 3,) Solução: r ( 3) e 5 de coordenadas é portanto (, ) 6 tg 3 3. O conjunto prncpal 3

4 4 3 ) Encontre as coordenadas cartesanas do ponto P(, ) 4 x r cos cos( 3 / 4) ( ) Solução: Temos que y r sen sen( 3 / 4) ( ) O ponto P tem portanto coordenadas cartesanas P(, ) 3) Encontre uma equação polar para as curvas cujas equações cartesanas são a) x + y = Solução: x = r cos e y = r sen (r cos ) + (r sen ) = r = r = e r = são equações polares equvalentes da crcunferênca de centro na orgem e rao. A equação da crcunferênca com centro no pólo e rao a é r = a ou r = a O b) Crcunferênca de centro no ponto (, a) e rao a Solução: O A equação cartesana da crcunferênca é x + ( y a) = a x = r cos e y = r sen (r cos) + (r sen a ) = a r (cos + sen ) arsen + a = a r = arsen r = ( pólo ) ou r = asen. Uma vez que o pólo pode ser obtdo na a equação podemos conclur que a equação da crcunferênca é r = asen. Analogamente, pode-se mostrar que a equação polar da crcunferênca de centro em (a,) e rao a é r = acos. c) y = 3x Solução: r sen = 3r cos tg = 3 = arctg3 A equação = k representa uma reta que passa pelo pólo O

5 5 A Integral Dupla em Coordenadas Polares. As ntegras duplas em coordenadas polares são as ntegras nas quas o ntegrando e a regão de ntegração são expressos em coordenadas polares. Em mutas aplcações, se mudamos as coordenadas retangulares para polares, o cálculo da ntegral é bastante facltado. Isto ocorre se a regão for lmtada por curvas cuja equação é mas smples em coordenadas polares, e, em especal, quando o ntegrando envolve a expressão x + y, que, em polares, pode ser substtuída por r. Consderemos a regão delmtada pelas retas = e = e as curvas polares r = r () e r = r () = r () r () = Se as funções r = r () e r = r () forem contínuas e seus gráfcos não se nterceptarem, então a regão é chamada de uma regão polar smples As déas báscas na dedução da ntegral dupla em retangulares e a nterpretação geométrca como volume são análogas no caso polar. No caso retangular a regão fo dvdda em retângulos elementares. No caso polar usaremos arcos e raos para subdvdr a regão nos chamados retângulos polares. r () = = r () Suponhamos que f(r, ) é não negatva para que possamos nterpretar a ntegral dupla como um volume, ou seja, o volume do sóldo lmtado por e por f(r, ) é dado por

6 6 V = f (r, ) da Consderemos um retângulo polar arbtráro de ângulo central e espessura radal r. Escolhendo um ponto arbtráro ( r, ) dentro do retângulo, como sendo o centro desse retângulo, o rao nterno desse retângulo polar é r r / e o rao externo é r + r /. (r, ) r A área desse retângulo polar A é a dferença de área entre dos setores: A r r r r r r r r 4 r r r r 4 = r r Assm, como no caso de retangulares, fazendo o número de partções da regão tender para nfnto temos que n V = f (r, ) da = lm f (r, )r r. O lmte sugere que a ntegral pode ser n r ( ) escrta como a ntegral terada f (r, ) da = f (r, )rdrd. Os lmtes são escolhdos r( ) para cobrr a regão, sto é, fxo entre e e r varando de r a r. Observação: apesar de termos admtdo f(r, ) não negatva, pode-se mostrar que o resultado vale no caso mas geral. / sen Exemplo: Calcule a ntegral terada r cos drd Solução: / r [ cos ] sen d / sen cos sen d [ ] 6 3 / 6 Observemos que a regão é lmtada pelas curvas.

7 7 r = ( pólo); r = sen ( crcunferênca de centro no exo a 9 e rao a = ½ ) e as retas = e = /. Conversão de Integras Duplas de Coordenadas etangulares para Polares O cálculo da ntegral dupla em coordenadas retangulares pode ser facltado transferndo o cálculo para polares, bastando fazer a substtução x = r cos e y = r sen e expressando a regão de ntegração em forma polar f (x, da f (r cos, r sen )da lmtes f (r cos, r sen )rdrd aproprados Exemplos: (x y ) ) Use coordenadas polares para calcular e da, sendo a regão contda no círculo x + y = Solução: O círculo x + y = em polares tem equação r = e vara de a. Temos assm que os lmtes de ntegração são r = e r = e = a =. A ntegral fca r r e e ( e e rdrd [ ] d d [ ) ] x ( e ) Calcule a ntegral terada convertendo para polares ( x y Solução: Vamos, ncalmente, dentfcar a regão de ntegração em polares. A regão é corresponde a ¼ da crcunferênca de rao, ou seja r = com varando de a /. ) )dydx

8 8 / 3 r r drd = d / [ ] d [ ] / 4 / 3) Use a ntegral dupla em coordenadas polares para calcular o volume de clndro de rao a e altura h Solução: O volume do sóldo pode ser nterpretado como o volume lmtado pela regão que é uma crcunferênca de equação x + y = a e superormente pelo plano z = h a a x. Usando a smetra teríamos V = 4 hdydx. Usando as coordenadas polares temos / a / hr / a ha ha / V = 4 hrdrd 4 [ ] d 4 d 4[ ] a h Mudança de Varáves em Integras Duplas Lembremos que no caso de uma função de uma varável podemos fazer uma mudança de varável ou substtução para transformar uma ntegral dada em outra mas smples. Por b exemplo, dada a ntegral f (x)dx, podemos fazer a mudança de varável a x = g(t) dx = g (t)dt; a = g(c) e b = g(d) e a ntegral fca gual a b d f (x)dx f (g(t))g (t)dt. a c No caso da ntegral dupla podemos ter o mesmo procedmento efetuando mudanças de varáves, por exemplo x g(u, v) ( I ) y h(u, v) Isto corresponde a uma ntegral dupla numa regão do plano xy poder ser transformada numa ntegral dupla sobre uma regão do plano uv A nterpretação geométrca é que as mudanças de varáves ( I ) defnem uma transformação que faz corresponder pontos (u, v) do plano uv em pontos (x, do plano xy, levando a regão do plano uv na regão do plano xy.

9 9 v y u x Se a correspondênca for bjetora podemos retornar de para pela nversa dada pelas equações u g(x, y h(x, Supondo que as funções sejam contínuas com dervadas parcas contínuas em e temos que ( * ) f (x, dxdy f (g(u, v),h(u, v)) (x, dudv (u, v) (x, O símbolo (u, v) (x, dado por (u, v) é chamado de determnante jacobano de x e y em relação a u e v e é x x u y v y u v A expressão da ntegral acma ( * ) é válda se são satsfetas as seguntes condções f é contínua as regões são formadas por um número fnto de sub-regões dos tpos I e II (x, ou se anula num número fnto de pontos em (u, v) Vejamos no caso de polares que já deduzmos:

10 Sejam e as regões dos planos xy e r que se relaconam pelas equações x r cos y r sen (x, cos r sen O determnante jacobano nesse caso é dado por r (r, ) sen r cos que f (x, dxdy f (r cos,rsen ) rdrd, como já havíamos deduzdo. e assm temos Observações:.O jacobano pode ser nterpretado como uma medda de quanto a transformação modfca a área da regão.. A expressão ( * ) é geral, se aplcando em outras transformações e não apenas no caso de mudança de coordenadas de cartesanas para polares. eferêncas Bblográfcas:. Cálculo um Novo Horzonte Howard Anton vol. Cálculo com Geometra Analítca Swokowsk vol 3. Cálculo B Dva Flemng 4. Cálculo James Stewart vol