INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE DADOS NAS MEDIDAS DE GRANDEZAS FÍSICAS

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE DADOS NAS MEDIDAS DE GRANDEZAS FÍSICAS"

Transcrição

1 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 ITRODUÇÃO À AÁLISE DE DADOS AS MEDIDAS DE GRADEZAS FÍSICAS. Introdução.... Erros de observação: erros sstemátcos e erros fortutos ou acdentas Precsão e rgor Erro absoluto e erro relatvo Estmatva do verdadero valor de uma grandeza e da confança no resultado Caso de uma só medção da grandeza Letura de escalas. Intervalo de mprecsão. Lmte superor do erro Algarsmos sgnfcatvos Caso de mutas medções da grandeza Dstrbução de resultados Estmatva do verdadero valor. Méda Artmétca Estmatva do ntervalo de mprecsão. Desvo padrão dos resultados e da méda Grandezas de medção drecta e ndrecta. Combnação de erros Ajuste de uma função a dados epermentas Representação gráfca dos pontos epermentas e barras de erro Ajuste de uma curva Ajuste de rectas por método analítco Ajuste de uma recta da forma y = k aos pontos epermentas Ajuste de uma recta da forma y = a + b aos pontos epermentas Avalação da qualdade do ajuste de uma função aos dados epermentas. Teste do qu-quadrado... Bblografa... otas baseadas nos apontamentos Análse de Dados do Prof. Dr. uno Ayres de Campos Departamento de Físca da FCTUC /

2 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04. ITRODUÇÃO É um facto de observação corrente que, se repetrmos a medção de uma grandeza físca em condções supostamente dêntcas, não obteremos sempre o mesmo resultado mas sm um conjunto de valores dferentes uns dos outros. Cada um destes valores consttu um valor meddo da referda grandeza mas só por um acaso algum deles correspondera ao seu verdadero valor. De facto, as medções realzam-se sempre com mprecsões, quer devdo a lmtações da aparelhagem, quer devdo, por vezes, ao própro epermentador. Como eemplo de lmtações da aparelhagem, temos o caso de um meddor dgtal que, por construção, lea,567 quando o valor da grandeza se encontra entre,567 e,5679, truncando, smplesmente o últmo dígto. O contrbuto do epermentador para a mprecsão da medda acontece quando, por eemplo, os seus refleos ntervêm na utlzação de cronómetros manuas para a letura de ntervalos de tempo. Os valores meddos são, assm, apromações do valor verdadero. Ao realzar uma medção não basta ndcar o número que se obteve como resultado: é necessáro fazê-lo acompanhar de uma outra nformação que ndque em que medda o epermentador tem confança no valor que apresenta. Por eemplo, ao medr-se a dstânca focal f de uma lente, o resultado fnal pode ser apresentado como f = 56 ± mm. Sgnfca sto que, dadas as condções em que fo efectuada a medção, o epermentador consdera que há uma probabldade elevada (ou a certeza, consoante as condções da estmatva deste ntervalo) de o verdadero valor da dstânca focal estar compreenddo entre 54 mm e 58 mm, sendo 56 mm o valor mas provável. A este ntervalo chamaremos mas adante ntervalo de mprecsão (ou lmte superor do erro, no caso da certeza). Os alunos de Físca Laboratoral realzam trabalhos prátcos vsando obter resultados epermentas. ecesstam, por sso, forçosamente, de ter algumas noções sobre análse de dados para trabalharem e nterpretarem correctamente os resultados obtdos.. ERROS DE OBSERVAÇÃO: ERROS SISTEMÁTICOS E ERROS FORTUITOS OU ACIDETAIS A preocupação fundamental do epermentador que realza uma medção é, naturalmente, a de tomar todas as precauções para reduzr os erros durante a eperênca. Apesar dsso, todas as medções são afectadas por um erro epermental devdo às nevtáves lmtações dos aparelhos de medda ou àquelas mpostas pelos nossos sentdos (vsão, audção, etc.) que regstam a nformação. Representemos por o verdadero valor de uma grandeza que, não sendo possível conhecer, Departamento de Físca da FCTUC /

3 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 postulamos no entanto estr. Ao fazer uma medção não obtenho o verdadero valor, como regra. O valor obtdo 0 dfere geralmente daquele. Chamamos erro de observação e mutas vezes smplesmente erro à dferença entre ambos: δ = 0 δ não é conhecdo por não haver manera de determnarmos o valor verdadero de. Contudo, há casos em que podemos estmar um lmte superor para o valor do erro δ. Os erros (de observação) são de duas naturezas: erros sstemátcos e erros fortutos ou acdentas. Suponhamos que medmos o período de um pêndulo com o auílo de um cronómetro e que repetmos váras vezes a medção. Os atrasos ou antecpações do epermentador ao lgar e deslgar o cronómetro e os erros na estmatva das dvsões da escala provocam varações nos resultados das sucessvas medções e podem ser consderados erros acdentas. As pequenas rregulardades no movmento dum pêndulo real, como por eemplo um desalnhamento em relação ao plano do movmento, podem também contrbur para os erros acdentas, apesar de não serem provocados pelas lmtações dos aparelhos de medda. Se não se manfestarem outros erros, algumas das meddas apresentam um valor mas elevado e outras um valor mas bao, dspersas em torno dum valor médo. Por outro lado, se além dsso o cronómetro tver, por eemplo, tendênca para se atrasar, todos os resultados vrão reduzdos dum valor constante. Ao contráro, as forças de atrto podem ser sufcentes para aumentar vsvelmente dum valor constante os resultados da medção dos tempos. Trata-se assm de erros sstemátcos. Relatvamente aos erros sstemátcos, mutas vezes dfíces de detectar, não este qualquer teora generalzada que permta o seu estudo. o entanto, e ao contráro dos erros acdentas, são, na maor parte dos casos, susceptíves de correcção, podendo mesmo ser elmnados. De facto, os cudados do epermentador, o perfeto conhecmento das condções em que realza a eperênca e do método que está a segur, uma permanente desconfança dos aparelhos de medda e, sobretudo, uma larga prátca, permtem compensar ou evtar este tpo de erros. Os erros acdentas, dado o carácter aleatóro com que se apresentam, podem ser submetdos a um tratamento matemátco baseado na Teora das Probabldades. É deles que nos ocuparemos nos parágrafos que se seguem. Interessa salentar, porém, que a frontera entre erros sstemátcos e erros acdentas não é, por vezes, bem defnda e que, se há erros que faclmente podemos dentfcar como sstemátcos, outros estem que, estando lgados a ncertezas dfíces de esclarecer, tornam mpratcável dstngur se Departamento de Físca da FCTUC 3/

4 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 pertencem a uma ou a outra destas categoras. 3. PRECISÃO E RIGOR Convém também dstngur os concetos de precsão e de rgor numa medda. Dremos que uma medção é feta com grande precsão se os erros acdentas são pequenos quando comparados com o valor da grandeza medda; dremos que uma medção é feta com rgor (ou eactdão) se os erros sstemátcos são pequenos. O termo precsão é usado para caracterzar a reprodutbldade dos resultados, ndcando a dspersão em torno do valor médo; eactdão é o termo que se utlza para eprmr o afastamento do valor médo relatvamente ao verdadero valor da grandeza. A precsão é tanto maor quanto menor for a dspersão das meddas em torno do valor médo; a eactdão é tanto maor quanto mas prómo do verdadero valor estver o valor médo, no lmte dum número de meddas nfnto. A precsão pode ser aumentada reduzndo os erros acdentas; a eactdão pode ser aumentada corrgndo os erros sstemátcos. 4. ERRO ABSOLUTO E ERRO RELATIVO ote-se anda que um erro, seja ele de que tpo for, pode ser epresso de duas maneras dferentes: o erro absoluto ou o erro relatvo. Chamamos erro absoluto de um resultado meddo ou calculado à dferença, já apresentada anterormente, entre esse resultado e o valor verdadero da grandeza. Se desgnarmos por 0 o referdo resultado e por o valor verdadero da grandeza, o erro absoluto será: δ. = 0 Chamamos erro relatvo ao valor do quocente entre o erro absoluto e o valor verdadero da grandeza: 0 δ =. Analsando dmensonalmente as equações anterores verfca-se que o erro absoluto se eprme nas undades da grandeza, enquanto o erro relatvo é uma grandeza admensonal. Estas duas formas de eprmr um erro dstnguem-se anda pela natureza das nformações que fornecem. Departamento de Físca da FCTUC 4/

5 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 ote-se agora o segunte: não sendo possível conhecer o verdadero valor de uma grandeza, é possível fazer uma estmatva a partr de um conjunto de meddas. Assm, embora não se possa conhecer o verdadero valor, podemos trabalhar com a noção de erro absoluto δ para cada uma das meddas realzadas. Por outro lado, como duma medda realzada obtvemos um valor 0, podemos usar a noção de erro relatvo calculando δ. 0 Consdere-se o eemplo segunte: um resultado de 505 kg/cm na letura de uma pressão cujo valor verdadero é 500 kg/cm representa um erro absoluto de 5 kg/cm ; se a pressão a medr for 0 kg/cm e o resultado da medda tver sdo 5 kg/cm, o erro absoluto será novamente de 5 kg/cm. Pelo contráro, os erros relatvos cometdos em cada um dos casos serão, respectvamente, 5 = 0.00 e 5 = Ou seja, enquanto o erro absoluto é ndependente do maor ou menor valor da grandeza a medr, o erro relatvo é largamente dependente desse valor, revelando a precsão da medda feta: um erro de cm na medda de uma dstânca de 00 m representa uma boa precsão, enquanto o mesmo erro de cm na medda de uma dstânca de 0 cm revela uma fraca precsão. O erro relatvo eprme-se, por vezes, em termos de percentagem e defne, então, a chamada percentagem de erro ou erro percentual. o últmo eemplo apresentado, os erros relatvos percentuas seram, respectvamente = 0.0% e 00 = 0% ESTIMATIVA DO VERDADEIRO VALOR DE UMA GRADEZA E DA COFIAÇA O RESULTADO O propósto de qualquer medda ou conjunto de meddas de uma grandeza é o conhecmento do seu verdadero valor. a mpossbldade de o atngr temos, como já fo dto atrás, de fazer a nossa melhor estmatva desse verdadero valor, ou seja, obter o nosso melhor verdadero valor. Por outro lado, temos também de estmar um ntervalo de valores que corresponda à confança que temos no melhor verdadero valor, ou seja, estmar a mprecsão do resultado. os parágrafos seguntes tratamos dos métodos de fazer estas estmatvas. Departamento de Físca da FCTUC 5/

6 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 5. Caso de uma só medção da grandeza os casos em que só é possível realzar uma medda únca de uma grandeza, a melhor estmatva que temos para o verdadero valor da grandeza é o própro resultado obtdo na medda. o entanto, não deamos por sso de necesstar de apresentar nformação sobre a confança que temos nesse resultado, ou seja sobre o erro com que apresentamos o resultado. 5.. Letura de escalas. Intervalo de mprecsão. Lmte superor do erro. Quando se trata da letura da escala de um aparelho (uma régua, um voltímetro dgtal, o écran de um oscloscópo, por eemplo), é costume tomar-se como mprecsão na medda metade da menor dvsão da escala. Admte-se então que o verdadero valor da grandeza (, por eemplo) se encontra no ntervalo [-, + ], onde é metade da menor dvsão da escala em causa. este ntervalo de valores, desgnado por ntervalo de mprecsão, temos a certeza de estar o verdadero valor da grandeza, sendo por sso chamado lmte superor do erro. Se as menores dvsões da escala forem tão afastadas que faclmente se dvde o seu ntervalo em 4 partes, pode tomar-se a mprecsão como ¼ da menor dvsão da escala. De modo contráro, se as dvsões forem tão pequenas que seja dfícl ler metade da menor dvsão deve tomar-se como lmte superor do erro a menor dvsão da escala. Assm, por eemplo, se estvermos a medr um dado comprmento com uma régua graduada em mlímetros (a menor dvsão é de mm) e o valor do comprmento estver stuado entre 4. cm e 4. cm, dremos, sendo razoável tomar como mprecsão metade da menor dvsão da escala (0.5 mm), que o verdadero valor do comprmento está entre 4.05 cm e 4.5 cm ou, de modo condensado, que o comprmento é de 4.0 ± 0.05 cm. 5.. Algarsmos sgnfcatvos Suponhamos o caso de um voltímetro dgtal que permte leturas da tensão até à mlésma de volt. Então, o voltímetro dá pouca nformação sobre décmos mlésmos de volt, embora dê alguma. Se o verdadero valor da tensão for, por eemplo, V, o voltímetro ndcará (admtndo que ele está construído para fornecer o valor mas prómo da sua escala, ao que se chama arredondar para o valor mas prómo ). Se o verdadero valor fosse antes, por hpótese, V ele marcara de novo Em resumo, a ndcação corresponde a um valor compreenddo entre e Departamento de Físca da FCTUC 6/

7 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 Esta stuação é muto comum e convenconou-se que, em alternatva a escrever eplctamente o ntervalo de mprecsão como atrás ( ± ), o últmo algarsmo ndca que o verdadero valor está num ntervalo de ampltude gual à undade dessa ordem e centrado no valor dado, ou seja, corresponde ao valor ± mea undade da ordem segunte. O lmte superor do erro é esta mea undade da ordem segunte. Apresenta-se o resultado da medção como sendo em que os algarsmos tomam o nome de algarsmos sgnfcatvos. O últmo algarsmo tem um sgnfcado especal, como se vu no eemplo do voltímetro, pos ndca qual a ncerteza no valor meddo. Pode, por sso, ser um zero. Por eemplo, utlzando esta convenção tem 5 algarsmos sgnfcatvos e ndca que o verdadero valor está entre e Se o resultado é epresso por um número sem parte decmal, escreve-se em notação centífca e usa-se a convenção acma. Eemplo: com 3 algarsmos sgnfcatvos escreve-se Ao efectuar operações com números nesta convenção, devem também adoptar-se algumas regras para apresentação dos resultados. Vamos lustrar com eemplos. Seja o prmero multplcar 5.74 por 3.8 em que estes valores obedecem à convenção dos algarsmos sgnfcatvos. O produto dá.8 mas como o prmero factor ndca um valor qualquer compreenddo entre e e o segundo um valor entre 3.75 e 3.85, só podemos afrmar que o produto estará entre: =.5065 e =.85. Se qusermos representar o produto dentro da convenção dos algarsmos sgnfcatvos devemos adoptar apenas o número. Evdentemente que, ao proceder assm, estamos a afrmar que o valor está entre.5 e.5 o que, sendo verdade, alarga porém a mprecsão. A vantagem está na smplfcação que advém da adopção neste caso de uma regra smples como a que se segue: Multplcação, dvsão e raz quadrada: o número total de algarsmos sgnfcatvos do resultado é o número total de algarsmos sgnfcatvos do factor que tver menor número deles. E: = mas como 5.37 tem 3 algarsmos sgnfcatvos há que arredondar o resultado para 30. Adção e subtracção: o número de casas decmas sgnfcatvas do resultado é o da parcela que tver menor número delas. E: = 5.77 mas como.6 tem casa decmal sgnfcatva há que arredondar o resultado para 5.8. Departamento de Físca da FCTUC 7/

8 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 5. Caso de mutas medções da grandeza. Sabemos já que, em vrtude dos erros acdentas, se repetrmos a medção de uma mesma grandeza físca em condções supostas dêntcas obtemos um conjunto de resultados dferentes. o entanto, se não houver erros de procedmento epermental, cada medda contrbu com o seu resultado para aumentar a nformação sobre o verdadero valor, aumentando anda em consequênca a precsão do resultado fnal obtdo a partr do conjunto de resultados. 5.. Dstrbução de resultados Um processo gráfco para eprmr os dferentes resultados obtdos consste em desenhar um hstograma. Para construr um hstograma procede-se do segunte modo:. Marcam-se no eo das abcssas os valores mámo e mínmo das leturas obtdas;. Dvde-se o ntervalo assm obtdo num número convenente de sub-ntervalos guas; 3. Tendo por base cada um desses sub-ntervalos constroem-se rectângulos cujas alturas sejam proporconas ao número de leturas de valor compreenddo em cada sub-ntervalo. Suponhamos que um determnado comprmento é meddo 30 vezes. Os sucessvos resultados obtdos,,,..., 30, estão representadas na Tabela I. Os valores mínmo e mámo desses resultados são respectvamente, 99. e 3.0 mm. Pode, assm, traçar-se o hstograma para o ntervalo [99, 3]. Dvdndo este ntervalo em, por eemplo, sete sub-ntervalos, pode estabelecer-se a Tabela II. Tabela I = 05. mm = 09.3 mm = 07.3mm = 03.6 mm = 05.9 mm = 06.6mm 3 = 0.3 mm 3 = 03.9 mm 3 = 05.3mm 4 = 0.0 mm 4 = 04.0 mm 4 = 05.8mm 5 = 0.5 mm 5 = 0.8 mm 5 = 04.5mm 6 = 09.4 mm 6 = 3.0 mm 6 = 06.3mm 7 = 03.6 mm 7 = 08. mm 7 = 06.mm 8 = 99. mm 8 = 0.4 mm 8 = 03.mm 9 = 08.0 mm 9 = 04.3 mm 9 = 06.9mm 0 = 07.6 mm 0 = 09.3 mm 30 = 06.6mm Departamento de Físca da FCTUC 8/

9 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 Tabela II Intervalos º de leturas em cada ntervalo O hstograma correspondente a estes resultados vem representado na fg.. º de leturas em cada ntervalo Comprmento/cm Fgura Imagnemos agora que contnuávamos a fazer medções até obter um número de resultados muto elevado. O hstograma desta colecção hpotétca de resultados tende, quando, a tomar uma forma estável, que se desgna por dstrbução. O conjunto dos resultados consttu uma amostra da dstrbução. Se o número for efectvamente muto elevado, podemos escolher ntervalos com largura muto pequena e ter anda um número aprecável de resultados em cada ntervalo. Se consderarmos que a grandeza pode tomar qualquer valor real dentro do seu domíno (ou seja, é uma varável contínua), podemos consderar ntervalos com largura nfntamente pequena d, e a lnha polgonal correspondente ao contorno do hstograma tende para uma curva contínua. (fg. ). Cada ponto da curva representa o número de resultados que caem em cada ntervalo nfntesmal (, + d). Departamento de Físca da FCTUC 9/

10 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 f() Fgura Podemos defnr a função f(), conhecda por função de dstrbução, em que (após convenente normazação, + f ( )d = ), f()d representa a fracção dos resultados que se stua no ntervalo de a +d. Por outras palavras, f()d é a probabdade de que o resultado duma únca medda se stue no ntervalo (, + d). Quando estas curvas são smétrcas relatvamente a uma recta paralela ao eo das ordenadas e que passa pelo seu mámo a méda da dstrbução concde com o valor mas provável da grandeza. A dstrbução normal ou de Gauss é um eemplo de uma dstrbução smétrca aplcável a um vasto unverso de stuações em Físca Estmatva do verdadero valor. Méda artmétca. Suponhamos que fazemos medções sucessvas de uma mesma grandeza físca e que estas medções foram efectuadas sem que se verfcasse qualquer erro sstemátco ou de procedmento epermental. Sejam,,..., os resultados obtdos. A melhor estmatva do verdadero valor da grandeza é dada pela méda artmétca das leturas obtdas, ou seja, por: ( ) = = =. () Admte-se que quanto maor o número de meddas realzadas mas o valor da méda artmétca se aproma do verdadero valor da grandeza. A méda artmétca tende para o verdadero valor no Departamento de Físca da FCTUC 0/

11 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 lmte de. Por vezes não atrbuímos gual confança (ou peso) a todas as meddas realzadas. Isso não sgnfca que se devam desprezar as meddas de menor confança pos elas contrbuem também com nformação válda sobre o verdadero valor. Então, há que etrar o valor mas apromado do verdadero valor a partr de um conjunto de meddas não atrbundo a todas o mesmo peso. A méda pesada de um conjunto de resultados, cada um com peso ω é: = = = ω ω. () O peso ω pode surgr em duas stuações: ª: Se nas meddas se obtverem város resultados com o mesmo valor, o peso é smplesmente o número de meddas n com esse resultado. ª: Se as dferentes meddas foram fetas com nstrumentos dferentes ou em condções epermentas dferentes, é natural que as dspersões de resultados com cada nstrumento ou cada stuação epermental (se fzéssemos mutas meddas em cada um) fossem dferentes umas das outras, ou seja, os ntervalos de mprecsão são dferentes. Pressupõe-se naturalmente que se conhecem ou podem ser estmados estes ntervalos de mprecsão. este caso, embora se aprovete toda a nformação sobre o verdadero valor presente em cada resultado, vamos dar mas peso àqueles para os quas a confança é maor, ou seja, para os que têm um menor, segundo a epressão: = = = (3) 5..3 Estmatva do ntervalo de mprecsão. Desvo padrão dos resultados e da méda. Resta esclarecer qual o erro que se comete ao tomar a méda artmétca como a melhor estmatva do valor verdadero []. Este erro deve estar correlaconado com a dspersão de resultados. Por [] Repare-se que quantas mas vezes se repetr uma medda tanto maor é a probabldade de reduzr os efetos dos erros acdentas ao consderar a méda artmétca dos valores obtdos. Porém, por mas meddas que se façam não se consegue aumentar o número de algarsmos sgnfcatvos de cada resultado. o entanto, se conhecermos a forma da dstrbução de probabldades (p.e. Gaussana) e tvermos um mínmo de valores possíves para o resultado (barras no hstograma de dspersão quatro para a Gaussana), contnuamos na stuação de apromação da méda ao valor verdadero no lmte de um número nfnto de meddas. Departamento de Físca da FCTUC /

12 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 outro lado, uma vez que a méda tende para o verdadero valor no lmte de um número nfnto de meddas, esse erro deve ser defndo também em função do número de meddas. Adoptando a méda artmétca como a melhor estmatva do verdadero valor, a noção de erro de observação de uma dada medda ndvdual vem agora substtuída pela de desvo ou resíduo de cada resultado do conjunto de meddas. Seja o valor verdadero da quantdade a medr e que evdentemente desconhecemos. O erro absoluto δ na letura de ordem é δ =. Do mesmo modo, o erro δ na méda artmétca será δ =. Porém, estas duas epressões pressupõem o conhecmento do valor verdadero. Para tornear essa dfculdade trabalhamos em termos de desvos ou resíduos. O desvo da letura é defndo por quantdade que é já possível calcular. d =, Admtndo que se realzam meddas epermentas da mesma grandeza, cada resultado obtdo apresenta um certo desvo (afastamento) relatvamente ao valor médo calculado. Precsamos, então, de um parâmetro que caracterze a dspersão das meddas efectuadas. Um crtéro medato parecera ser o de adoptar a smples méda dos desvos, mas não pode ser utlzado pos dá sempre zero. Com efeto: d = = ( ) = = 0 = = =. Este resultado é devdo, evdentemente, às defnções correlaconadas de méda e desvo, conduzndo a que haja desvos postvos e negatvos cuja soma é nula. Isto sugere que, em vez dos desvos, usemos os seus módulos ou os seus quadrados, por eemplo. O desvo padrão dos resultados é a méda quadrátca dos desvos, ou seja, é a raz quadrada do valor médo dos quadrados dos desvos:. (4) = d = A varânca dos resultados é o valor médo dos quadrados dos desvos. É, portanto, o quadrado do desvo padrão dos resultados: Departamento de Físca da FCTUC /

13 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 = d =. (5) Utlzam-se, também, o desvo padrão relatvo ou o desvo padrão percentual: respectvamente. % r = (6) ou = 00 (7), O desvo padrão dos resultados não é anda, no entanto, o melhor estmador da dspersão dos resultados. Reparemos que na sua defnção entramos com todos os resultados para defnr a méda, reduzndo assm em o número de varáves ndependentes. ão faz sentdo, por outro lado, defnr um desvo padrão com =. Utlza-se então para estmador da dspersão de resultados o chamado desvo padrão ajustado: s = d = (8) Para um número de meddas muto grande, os dos algortmos dão resultados muto apromados. Há anda que notar que, assm como a méda tende para o valor verdadero da grandeza quando tende para nfnto, também este s tende para o desvo padrão da dstrbução de probabldades subjacente às lmtações do sstema e condções de medda. Desvo padrão e varânca da méda - A própra méda é uma varável aleatóra que está também sujeta a uma dstrbução de probabldade cuja varânca, m, será tanto menor quanto maor for o número de determnações. Pensemos que se fzermos váras amostras de meddas cada, não vamos obter sempre a mesma méda, e anda que a dspersão destas médas se va tornando cada vez menor à medda que aumentarmos o número de meddas, sendo mesmo nula no lmte de nfnto. Defnmos assm o desvo padrão da méda m, cujo estmador é de novo um desvo padrão ajustado: O ntervalo s s = m. (9) ± sm é adoptado como ntervalo de mprecsão da estmatva ( ) que se fez do Departamento de Físca da FCTUC 3/

14 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 verdadero valor, sendo sm desgnado por erro mas provável. ote-se mas uma vez que este erro é nulo quando é nfnto, ou seja, a méda tende para o verdadero valor. Se consderarmos uma dstrbução Gaussana para as médas resulta que o verdadero valor da grandeza tem uma probabldade de 68% de estar contdo neste ntervalo. 6. GRADEZAS DE MEDIÇÃO DIRECTA E IDIRECTA. COMBIAÇÃO DE ERROS Mutas vezes a medda de uma grandeza não pode ser realzada drectamente e o seu valor tem de ser calculado a partr da medda drecta de outras grandezas com as quas se relacona. este caso, como as meddas realzadas drectamente vrão necessaramente afectadas por um erro epermental, a questão que se coloca é saber como podemos estmar a mprecsão que afecta a grandeza calculada a partr da mprecsão assocada às meddas epermentas. Por eemplo, poderemos medr a densdade d do materal que consttu uma peça paralelppédca medndo a sua massa M e as dmensões a, b, e c da peça. A relação funconal entre a quantdade que pretendemos, d, e as quantdades prmáras M, a, b, e c é epressa por M d =. a.b.c Como as quantdades prmáras são nevtavelmente meddas com um certo erro, nteressa-nos esclarecer de que manera esses erros ndvduas se propagam ao resultado d. Generalzando, desgnemos por Z a quantdade fnal e por A, B, C, etc. as quantdades prmáras. Suponhamos que cada uma destas quantdades prmáras fo medda váras vezes. Então, no caso de A teremos o valor mas provável A e o respectvo desvo padrão e o desvo padrão. Do mesmo modo teremos B A, e assm sucessvamente. Partmos do prncípo de que as meddas das B quantdades prmáras são ndependentes e, portanto, que os erros nelas cometdos são também ndependentes. Seja então a função Z = Z (A, B, C,...) e sejam em Z,, A, etc. os desvos padrão em A, B, etc., respectvamente. Demonstra-se que o erro B Z, é dado pela epressão (fórmula de propagação dos erros): Z Z Z = (0) A B A B ( ) Departamento de Físca da FCTUC 4/

15 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 Apresenta-se a segur uma tabela que ndca as epressões de Z para algumas das relações mas comuns entre Z e A, B, etc.: Somas e Dferenças Produto e quocente Função Z A + B +... Z = A B +... Relação entre erros = ( ) ( ) + ( ) +... Z A.B Z = A / B Z = A B = Z A B Z = A + B Potêncas m Z = A n B Z Z = n A A + m B B Eemplo: Dada uma função calcular a valor de Z e do seu erro Z = A B, onde A e B são meddas ndependentes, pretende-se Z a partr dos seguntes valores médos de A e de B: A = 00 ± 3 m; B = 45 ± m Resolução: O cálculo de Z é medato: basta consderar que Para calcular Z, recorremos à epressão geral, Z = A B e então Z = = 0 m. Z Z Z =, A B A B ( ) Z e como = A Z e = B vem = 5. Z O resultado fnal será pos Z =0 ± 5 m. Este resultado presta-se a algumas consderações. Verfcamos assm que, embora os valores das quantdades A e B estejam afectados de um desvo padrão relatvamente bao (< 5%), o mesmo não acontece com o resultado fnal, onde o erro é quase tão elevado como o própro valor de Z (o erro relatvo é de 50%!). Este eemplo ndca que, se pretendermos que a mprecsão no resultado fnal não eceda um valor prefado temos de, utlzando a fórmula de propagação dos erros, determnar quas os lmtes superores do erro a admtr em cada uma das quantdades prmáras. O processo de medda duma (ou mas) dessas quantdades poderá ser crucal para que o erro fnal possa estar Departamento de Físca da FCTUC 5/

16 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 dentro dos lmtes pretenddos. 7. AJUSTE DE UMA FUÇÃO A DADOS EXPERIMETAIS Um problema geral da Físca no estudo de um dado fenómeno é dentfcar as grandezas em jogo e descobrr relações analítcas entre elas. Quando o faz dz que eplca o fenómeno. Concretzemos num eemplo propostadamente smples, para far deas. Suponhamos que o fenómeno é a passagem da corrente num condutor flforme e as grandezas dentfcadas são por eemplo a tensão aos seus etremos e a corrente que o atravessa. (otar que a descrção do fenómeno está delberadamente estlzada, pos poderíamos fazer entrar como grandezas envolvdas a temperatura do condutor, as dmensões, as propredades elástcas, etc....) A ª questão que se põe ao físco é dscernr qual o tpo de varação. Será do tpo lnear, parabólco, snusodal?... o eemplo em causa, Ohm propôs uma dependênca lnear do tpo V = ai em que a é um parâmetro a determnar epermentalmente. Àquele parâmetro empírco chamou-se resstênca R e fo possível, como se sabe, relaconá-lo com característcas geométrcas e físcas do materal condutor: l a = R = ρ s em que ρ é um parâmetro a determnar epermentalmente. De uma forma geral tenta-se descobrr o tpo de varação com base em váras consderações, algumas de ordem físca, outras por analogas com outros fenómenos, mutas vezes sememprcamente por smples análse dos resultados epermentas (teora da correlação), que mas tarde se procura nterpretar. Como eemplo, recordar a fórmula empírca proposta por Rydberg para a determnação das rscas do espectro do hdrogéno, mas tarde eplcada por Bohr a partr do seu modelo do átomo. A ª questão é determnar quanto valem os parâmetros característcos do tpo de varação proposto Anda no eemplo em causa, para um dado condutor há que medr epermentalmente um certo número de pares de valores das grandezas correlaconadas (V, I ) e utlzar um crtéro para a determnação do melhor verdadero valor para R. Veremos adante como proceder por va analítca para casos smples de varação lnear como este. A 3ª questão é formular um juízo de valor sobre as opções anterores Departamento de Físca da FCTUC 6/

17 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 Por eemplo, a varação lnear da tensão com a ntensdade da corrente não se verfca senão em prmera apromação. Depende, por eemplo, do aquecmento do condutor que por sua vez é função da corrente (Le de Joule). É por sso quase sempre necessáro lmtar a gama de valores das grandezas para as quas as relações propostas são váldas, e com que apromação elas são váldas. Veremos que há crtéros para testar quanttatvamente a qualdade das opções escolhdas. 7. Representação gráfca dos pontos epermentas e barras de erro Eemplfquemos com um caso smples de um conjunto de 7 pontos epermentas representando os resultados de 7 pares de meddas de duas grandezas correlaconadas y e. Admtamos que os erros na medção de são desprezáves em relação aos erros na medção de y recta 8 Y X Fgura 3 a fgura 3 estão marcados os pontos epermentas correspondentes a cada par (, y ), e representados os desvos padrão das meddas y, sob a forma de segmentos vertcas (chamadas barras de erro) centrados nos pontos epermentas e de comprmento. Esta representação defne completamente e de uma forma compacta a gaussana de dstrbução de cada um dos resultados y, sgnfcando que há um probabldade de 68% do verdadero valor da grandeza y estar dentro do ntervalo defndo pela barra de erro, para o correspondente valor da grandeza. ota a fgura admtu-se que os desvos padrão dos dferentes valores y eram todos guas. ão tem de ser forçosamente assm. a medção do valor da grandeza y correspondente a um dado valor da grandeza as condções epermentas não são forçosamente as mesmas do que para outro valor. ota Há anda casos em que a dstrbução de probabldade dos valores de y não é gaussana e outras vezes nem sequer é smétrca, pelo que as barras de erro não são smétrcas em relação ao ponto representado, não se lhe atrbundo eactamente o mesmo sgnfcado que o ndcado acma. 7. Ajuste de uma curva Departamento de Físca da FCTUC 7/

18 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 Para esclarecer deas procuremos, após analsarmos a fgura, responder às questões formuladas atrás, ou seja, estmar uma correlação entre os valores de e os valores correspondentes de y, sto é uma função da forma y = f() que pareça descrever da melhor manera a dependênca que y tem de. Vamos fazê-lo a sentmento para lustrar o prncípo do processo. Tentando responder à prmera questão formulada tentou-se prmero uma recta passando pela orgem. Com o cudado de mamzar a promdade da recta do conjunto de todos os pontos epermentas desenhou-se a recta da Fg. 3 a que corresponde uma determnada epressão matemátca. Fez-se o que se chama uma tentatva de ajustamento ou ajuste de uma curva teórca (neste caso uma recta) a dados epermentas, ou seja, respondeu-se à segunda questão formulada atrás. Segundo para a tercera questão, por smples nspecção da fgura é-se levado a opnar que o ajuste de uma recta é mau. O grande afastamento da recta em relação ao etremo das barras de erro para tantos pontos leva a crer que a probabldade de ter obtdo aquele conjunto de resultados dum modo aleatóro sera muto baa se a correlação real fosse de facto uma recta. Volta-se então de novo a formular a prmera questão, tentando-se agora uma parábola, e pode ver-se (Fg. 4) que o ajuste de uma parábola é bastante melhor, pos a curva já se aproma ou mesmo ntersecta um número razoável Y de barras de erro, fazendo supor uma probabldade elevada para o conjunto de resultados. O processo de, após adopção de um tpo de curva, obter a curva que melhor se ajusta deve evdentemente ser de forma analítca, sstemátca, e não a sentmento. Trataremos dsso em parábola X Fgura 4 seguda para o caso das rectas. A dea de qualdade do ajustamento necessta evdentemente de ser quantfcada e por sso trataremos no capítulo segunte de um dos crtéros mas usados para caracterzar numercamente a qualdade do ajustamento (teste do qu-quadrado), determnando um número de mérto para cada ajuste. Recaptulando e generalzando, o problema do ajuste de curvas surge habtualmente de duas Departamento de Físca da FCTUC 8/

19 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 maneras: ) o prmero caso está em estudo uma grandeza y que se supõe dependente de váras outras y = f(, u, v, z...) mas desconhece-se esse tpo de relação funconal e trata-se de nduzr emprcamente essa relação a partr da análse sstemátca de um conjunto de meddas de, u, v, z, etc. e do correspondente valor de y. ) outro caso constró-se uma teora a partr da qual se tenta prever qual a referda dependênca. Quase nunca se está em posção de propor a epressão analítca de y mas sm o tpo de relação analítca, sto é, se se trata de uma recta, de uma parábola ou outra curva qualquer, desconhecendose em geral ab nto o valor dos parâmetros que contenha, os quas devem ser determnados a partr dos dados epermentas. o caso de uma recta que passe pela orgem, há um só parâmetro desconhecdo. Proposta uma dependênca funconal y = f(, u, v, z..., a, b, c,...) em que a, b, c,... são os parâmetros, há portanto que determnar o melhor conjunto de valores desses parâmetros para que os valores y = f(, u, v, z... a, b, c, ) (os mutas vezes chamados valores teórcos, que advêm para y por ntermédo da função proposta quando, u, v, z,... tomarem o conjunto de valores meddos, u, v, z,...), não se afastem globalmente muto dos valores meddos y correspondentes (ou como se dz mutas vezes para que a curva proposta se ajuste o melhor possível aos pontos epermentas ). O método que conduz à escolha desses parâmetros decorre do prncípo de máma probabldade, que dz (dum modo abrevado) Um conjunto de resultados é o mas provável. Em seguda é necessáro verfcar se essa melhor curva do tpo proposto se ajusta bem ou mal aos pontos epermentas. Se se ajusta mal terá de se propor um novo tpo de curva. 7.3 Ajuste de rectas por método analítco Estudaremos as varações do tpo y = k e do tpo y = a + b. estes casos é possível obter fórmulas para os melhores valores dos parâmetros e respectvos ntervalos de mprecsão, deduzdas Departamento de Físca da FCTUC 9/

20 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 de uma vez para sempre a partr do prncípo de máma probabldade. Algumas calculadoras de bolso já contém os algortmos respectvos pelo que basta fornecer-lhes os pares de valores (, y ) para que ndquem os melhores valores para os parâmetros k ou a e b e seus desvos padrão. Tratamos aqu dos casos em que se desprezam os erros nas meddas de e em que se consderam os erros nas meddas de y todos guas a y Ajuste de uma recta da forma y = k aos pontos epermentas Admta-se que a relação entre as grandezas e y é da forma y = k. Se as meddas não vessem y afectadas de erro bastara achar um par de valores (, y ) para se obter logo k =. a realdade, os valores meddos têm erros e torna-se necessáro melhorar a precsão aumentando a nformação dsponível medante mas medções de pares (, y). O melhor verdadero valor para o parâmetro k é dado pela epressão, aplcável a todos os casos enquadráves nas apromações descrtas: k = = = y () Admtndo que o erro assocado a todos os y é o mesmo, como se referu, o desvo padrão das meddas y é = () ( y k ) = e o erro mas provável assocado ao parâmetro k é y =. (3) k 7.3. Ajuste de uma recta da forma y = a + b aos pontos epermentas De novo por aplcação do prncípo de máma probabldade, obtêm-se epressões para os melhores valores verdaderos dos parâmetros a e b, váldas para qualquer caso enquadrado nas Departamento de Físca da FCTUC 0/

21 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 Departamento de Físca da FCTUC / apromações descrtas: = y y a (4) = y y b. (5) este caso, o desvo padrão dos valores de y é dado por: ( ) [ ] = + = b a y. (6) E o desvo padrão dos parâmetros a e b vem dado por: y a = (7) = b, (8) onde = 8. AVALIAÇÃO DA QUALIDADE DO AJUSTE DE UMA FUÇÃO AOS DADOS EXPERIMETAIS. TESTE DO QUI-QUADRADO Trata-se de arranjar um número cujo valor permta estabelecer juízos padronzados sobre a qualdade do ajustamento da recta, ou de qualquer outra função, aos dados epermentas. Esse número denomna-se qu-quadrado, χ, e é dado por:

22 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 [ y( ] y χ =, (9) ) = onde y( ) são os valores de y obtdos a partr do ajuste da recta y = a + b aos pares de valores (, y ) e são os desvos padrão nos valores meddos y. o entanto, um dado valor de χ, por s só, não ndca se se trata de um bom ou mau ajuste. Esta ndcação é fornecda pelo qu-quadrado normalzado, de graus de lberdade ν: χ n, ou seja, pelo quocente entre o χ e o nº χ χ n =, com ν = r, em que é o número de pares de valores epermentas e r é o ν número de parâmetros a ajustar. o caso da recta há (k) ou (a e b) parâmetros a ajustar. Um bom ajuste caracterza-se por um valor de, por será a qualdade do ajuste. χ n muto prómo de. Quanto mas χ n se afaste de Bblografa -. Ayres de Campos, Análse de Dados, Combra, Departamento de Físca da Unversdade (003/04). - P.R. Bevngton e D.K. Robnson, Data reducton and error analyss for the physcal scences, ª edção, WCB/McGraw-Hll (99). Departamento de Físca da FCTUC /

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE ERROS NAS MEDIDAS DE GRANDEZAS FÍSICAS

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE ERROS NAS MEDIDAS DE GRANDEZAS FÍSICAS Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 ITRODUÇÃO AO CÁLCULO DE ERROS AS MEDIDAS DE GRADEAS FÍSICAS. Introdução.... Erros de observação: erros sstemátcos e erros fortutos ou acdentas... 3. Precsão e rgor...3

Leia mais

Introdução à Análise de Dados nas medidas de grandezas físicas

Introdução à Análise de Dados nas medidas de grandezas físicas Introdução à Análse de Dados nas meddas de grandezas físcas www.chem.wts.ac.za/chem0/ http://uregna.ca/~peresnep/ www.ph.ed.ac.uk/~td/p3lab/analss/ otas baseadas nos apontamentos Análse de Dados do Prof.

Leia mais

Covariância e Correlação Linear

Covariância e Correlação Linear TLF 00/ Cap. X Covarânca e correlação lnear Capítulo X Covarânca e Correlação Lnear 0.. Valor médo da grandeza (,) 0 0.. Covarânca na propagação de erros 03 0.3. Coecente de correlação lnear 05 Departamento

Leia mais

TEORIA DE ERROS * ERRO é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma grandeza e o valor real ou correto da mesma.

TEORIA DE ERROS * ERRO é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma grandeza e o valor real ou correto da mesma. UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA AV. FERNANDO FERRARI, 514 - GOIABEIRAS 29075-910 VITÓRIA - ES PROF. ANDERSON COSER GAUDIO FONE: 4009.7820 FAX: 4009.2823

Leia mais

NOTA II TABELAS E GRÁFICOS

NOTA II TABELAS E GRÁFICOS Depto de Físca/UFMG Laboratóro de Fundamentos de Físca NOTA II TABELAS E GRÁFICOS II.1 - TABELAS A manera mas adequada na apresentação de uma sére de meddas de um certo epermento é através de tabelas.

Leia mais

Cap. IV Análise estatística de incertezas aleatórias

Cap. IV Análise estatística de incertezas aleatórias TLF 010/11 Cap. IV Análse estatístca de ncertezas aleatóras Capítulo IV Análse estatístca de ncertezas aleatóras 4.1. Méda 43 4.. Desvo padrão 44 4.3. Sgnfcado do desvo padrão 46 4.4. Desvo padrão da méda

Leia mais

Professor Mauricio Lutz CORRELAÇÃO

Professor Mauricio Lutz CORRELAÇÃO Professor Maurco Lutz 1 CORRELAÇÃO Em mutas stuações, torna-se nteressante e útl estabelecer uma relação entre duas ou mas varáves. A matemátca estabelece város tpos de relações entre varáves, por eemplo,

Leia mais

Introdução e Organização de Dados Estatísticos

Introdução e Organização de Dados Estatísticos II INTRODUÇÃO E ORGANIZAÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICOS 2.1 Defnção de Estatístca Uma coleção de métodos para planejar expermentos, obter dados e organzá-los, resum-los, analsá-los, nterpretá-los e deles extrar

Leia mais

METROLOGIA E ENSAIOS

METROLOGIA E ENSAIOS METROLOGIA E ENSAIOS Incerteza de Medção Prof. Aleandre Pedott pedott@producao.ufrgs.br Freqüênca de ocorrênca Incerteza da Medção Dstrbução de freqüênca das meddas Erro Sstemátco (Tendênca) Erro de Repettvdade

Leia mais

LQA - LEFQ - EQ -Química Analítica Complemantos Teóricos 04-05

LQA - LEFQ - EQ -Química Analítica Complemantos Teóricos 04-05 LQA - LEFQ - EQ -Químca Analítca Complemantos Teórcos 04-05 CONCEITO DE ERRO ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Embora uma análse detalhada do erro em Químca Analítca esteja fora do âmbto desta cadera, sendo abordada

Leia mais

Análise de Regressão. Profa Alcione Miranda dos Santos Departamento de Saúde Pública UFMA

Análise de Regressão. Profa Alcione Miranda dos Santos Departamento de Saúde Pública UFMA Análse de Regressão Profa Alcone Mranda dos Santos Departamento de Saúde Públca UFMA Introdução Uma das preocupações estatístcas ao analsar dados, é a de crar modelos que explctem estruturas do fenômeno

Leia mais

CORRELAÇÃO E REGRESSÃO

CORRELAÇÃO E REGRESSÃO CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Constata-se, freqüentemente, a estênca de uma relação entre duas (ou mas) varáves. Se tal relação é de natureza quanttatva, a correlação é o nstrumento adequado para descobrr e medr

Leia mais

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA - UNEB DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA COLEGIADO DO CURSO DE DESENHO INDUSTRIAL CAMPUS I - SALVADOR

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA - UNEB DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA COLEGIADO DO CURSO DE DESENHO INDUSTRIAL CAMPUS I - SALVADOR Matéra / Dscplna: Introdução à Informátca Sstema de Numeração Defnção Um sstema de numeração pode ser defndo como o conjunto dos dígtos utlzados para representar quantdades e as regras que defnem a forma

Leia mais

Universidade Federal da Bahia Instituto de Física Departamento de Física da Terra e do Meio Ambiente TEXTOS DE LABORATÓRIO T E O R I A D E E R R O S

Universidade Federal da Bahia Instituto de Física Departamento de Física da Terra e do Meio Ambiente TEXTOS DE LABORATÓRIO T E O R I A D E E R R O S Unversdade Federal da Baha Insttuto de Físca Departamento de Físca da Terra e do Meo Ambente TEXTOS DE LABORATÓRIO T E O R I A D E E R R O S Físca I SALVADOR, BAHIA 013 1 Prefáco Esta apostla é destnada

Leia mais

Probabilidade e Estatística. Correlação e Regressão Linear

Probabilidade e Estatística. Correlação e Regressão Linear Probabldade e Estatístca Correlação e Regressão Lnear Correlação Este uma correlação entre duas varáves quando uma delas está, de alguma forma, relaconada com a outra. Gráfco ou Dagrama de Dspersão é o

Leia mais

Algarismos Significativos Propagação de Erros ou Desvios

Algarismos Significativos Propagação de Erros ou Desvios Algarsmos Sgnfcatvos Propagação de Erros ou Desvos L1 = 1,35 cm; L = 1,3 cm; L3 = 1,30 cm L4 = 1,4 cm; L5 = 1,7 cm. Qual destas meddas está correta? Qual apresenta algarsmos com sgnfcado? O nstrumento

Leia mais

CAPÍTULO VI Introdução ao Método de Elementos Finitos (MEF)

CAPÍTULO VI Introdução ao Método de Elementos Finitos (MEF) PMR 40 - Mecânca Computaconal CAPÍTULO VI Introdução ao Método de Elementos Fntos (MEF). Formulação Teórca - MEF em uma dmensão Consderemos a equação abao que representa a dstrbução de temperatura na barra

Leia mais

7. Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

7. Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias 7. Resolução Numérca de Equações Dferencas Ordnáras Fenômenos físcos em dversas áreas, tas como: mecânca dos fludos, fluo de calor, vbrações, crcutos elétrcos, reações químcas, dentre váras outras, podem

Leia mais

Regressão e Correlação Linear

Regressão e Correlação Linear Probabldade e Estatístca I Antono Roque Aula 5 Regressão e Correlação Lnear Até o momento, vmos técncas estatístcas em que se estuda uma varável de cada vez, estabelecendo-se sua dstrbução de freqüêncas,

Leia mais

As tabelas resumem as informações obtidas da amostra ou da população. Essas tabelas podem ser construídas sem ou com perda de informações.

As tabelas resumem as informações obtidas da amostra ou da população. Essas tabelas podem ser construídas sem ou com perda de informações. 1. TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA As tabelas resumem as normações obtdas da amostra ou da população. Essas tabelas podem ser construídas sem ou com perda de normações. As tabelas sem perda de normação

Leia mais

Sistemas de Filas: Aula 5. Amedeo R. Odoni 22 de outubro de 2001

Sistemas de Filas: Aula 5. Amedeo R. Odoni 22 de outubro de 2001 Sstemas de Flas: Aula 5 Amedeo R. Odon 22 de outubro de 2001 Teste 1: 29 de outubro Com consulta, 85 mnutos (níco 10:30) Tópcos abordados: capítulo 4, tens 4.1 a 4.7; tem 4.9 (uma olhada rápda no tem 4.9.4)

Leia mais

Aula Características dos sistemas de medição

Aula Características dos sistemas de medição Aula - Característcas dos sstemas de medção O comportamento funconal de um sstema de medção é descrto pelas suas característcas (parâmetros) operaconas e metrológcas. Aqu é defnda e analsada uma sére destes

Leia mais

CURSO ON-LINE PROFESSOR: VÍTOR MENEZES

CURSO ON-LINE PROFESSOR: VÍTOR MENEZES O Danel Slvera pedu para eu resolver mas questões do concurso da CEF. Vou usar como base a numeração do caderno foxtrot Vamos lá: 9) Se, ao descontar uma promssóra com valor de face de R$ 5.000,00, seu

Leia mais

Ao se calcular a média, moda e mediana, temos: Quanto mais os dados variam, menos representativa é a média.

Ao se calcular a média, moda e mediana, temos: Quanto mais os dados variam, menos representativa é a média. Estatístca Dscplna de Estatístca 0/ Curso de Admnstração em Gestão Públca Profª. Me. Valéra Espíndola Lessa e-mal: lessavalera@gmal.com Meddas de Dspersão Indcam se os dados estão, ou não, prómos uns dos

Leia mais

Ao se calcular a média, moda e mediana, temos: Quanto mais os dados variam, menos representativa é a média.

Ao se calcular a média, moda e mediana, temos: Quanto mais os dados variam, menos representativa é a média. Estatístca Dscplna de Estatístca 0/ Curso Superor de tecnólogo em Gestão Ambental Profª. Me. Valéra Espíndola Lessa e-mal: lessavalera@gmal.com Meddas de Dspersão Indcam se os dados estão, ou não, prómos

Leia mais

www.obconcursos.com.br/portal/v1/carreirafiscal

www.obconcursos.com.br/portal/v1/carreirafiscal www.obconcursos.com.br/portal/v1/carrerafscal Moda Exercíco: Determne o valor modal em cada um dos conjuntos de dados a segur: X: { 3, 4,, 8, 8, 8, 9, 10, 11, 1, 13 } Mo 8 Y: { 10, 11, 11, 13, 13, 13,

Leia mais

2 Incerteza de medição

2 Incerteza de medição 2 Incerteza de medção Toda medção envolve ensaos, ajustes, condconamentos e a observação de ndcações em um nstrumento. Este conhecmento é utlzado para obter o valor de uma grandeza (mensurando) a partr

Leia mais

Cálculo do Conceito ENADE

Cálculo do Conceito ENADE Insttuto aconal de Estudos e Pesqusas Educaconas Aníso Texera IEP Mnstéro da Educação ME álculo do onceto EADE Para descrever o cálculo do onceto Enade, prmeramente é mportante defnr a undade de observação

Leia mais

Sempre que surgir uma dúvida quanto à utilização de um instrumento ou componente, o aluno deverá consultar o professor para esclarecimentos.

Sempre que surgir uma dúvida quanto à utilização de um instrumento ou componente, o aluno deverá consultar o professor para esclarecimentos. Insttuto de Físca de São Carlos Laboratóro de Eletrcdade e Magnetsmo: Transferênca de Potênca em Crcutos de Transferênca de Potênca em Crcutos de Nesse prátca, estudaremos a potênca dsspada numa resstênca

Leia mais

Associação de resistores em série

Associação de resistores em série Assocação de resstores em sére Fg.... Na Fg.. está representada uma assocação de resstores. Chamemos de I, B, C e D. as correntes que, num mesmo nstante, passam, respectvamente pelos pontos A, B, C e D.

Leia mais

Escola Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva Matemática 12.º ano Números Complexos - Exercícios saídos em (Exames Nacionais 2000)

Escola Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva Matemática 12.º ano Números Complexos - Exercícios saídos em (Exames Nacionais 2000) Internet: http://rolvera.pt.to ou http://sm.page.vu Escola Secundára Dr. Ângelo Augusto da Slva Matemátca.º ano Números Complexos - Exercícos saídos em (Exames Naconas 000). Seja C o conjunto dos números

Leia mais

3ª AULA: ESTATÍSTICA DESCRITIVA Medidas Numéricas

3ª AULA: ESTATÍSTICA DESCRITIVA Medidas Numéricas PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EGEHARIA DE TRASPORTES E GESTÃO TERRITORIAL PPGTG DEPARTAMETO DE EGEHARIA CIVIL ECV DISCIPLIA: TGT41006 FUDAMETOS DE ESTATÍSTICA 3ª AULA: ESTATÍSTICA DESCRITIVA Meddas umércas

Leia mais

5.1 Seleção dos melhores regressores univariados (modelo de Índice de Difusão univariado)

5.1 Seleção dos melhores regressores univariados (modelo de Índice de Difusão univariado) 5 Aplcação Neste capítulo será apresentada a parte empírca do estudo no qual serão avalados os prncpas regressores, um Modelo de Índce de Dfusão com o resultado dos melhores regressores (aqu chamado de

Leia mais

Dados ajustáveis a uma linha recta

Dados ajustáveis a uma linha recta Capítulo VI juste dos Mínmos Quadrados Dados ajustáves a uma lnha recta Determnação das constantes e B Incerteza nas meddas de Incerteza na determnação de e B juste dos mínmos quadrados a outras curvas:

Leia mais

1 a Lei de Kirchhoff ou Lei dos Nós: Num nó, a soma das intensidades de correntes que chegam é igual à soma das intensidades de correntes que saem.

1 a Lei de Kirchhoff ou Lei dos Nós: Num nó, a soma das intensidades de correntes que chegam é igual à soma das intensidades de correntes que saem. Les de Krchhoff Até aqu você aprendeu técncas para resolver crcutos não muto complexos. Bascamente todos os métodos foram baseados na 1 a Le de Ohm. Agora você va aprender as Les de Krchhoff. As Les de

Leia mais

7 - Distribuição de Freqüências

7 - Distribuição de Freqüências 7 - Dstrbução de Freqüêncas 7.1 Introdução Em mutas áreas há uma grande quantdade de nformações numércas que precsam ser dvulgadas de forma resumda. O método mas comum de resumr estes dados numércos consste

Leia mais

Experiência V (aulas 08 e 09) Curvas características

Experiência V (aulas 08 e 09) Curvas características Experênca (aulas 08 e 09) Curvas característcas 1. Objetvos 2. Introdução 3. Procedmento expermental 4. Análse de dados 5. Referêncas 1. Objetvos Como no expermento anteror, remos estudar a adequação de

Leia mais

ESTATÍSTICA MULTIVARIADA 2º SEMESTRE 2010 / 11. EXERCÍCIOS PRÁTICOS - CADERNO 1 Revisões de Estatística

ESTATÍSTICA MULTIVARIADA 2º SEMESTRE 2010 / 11. EXERCÍCIOS PRÁTICOS - CADERNO 1 Revisões de Estatística ESTATÍSTICA MULTIVARIADA º SEMESTRE 010 / 11 EXERCÍCIOS PRÁTICOS - CADERNO 1 Revsões de Estatístca -0-11 1.1 1.1. (Varáves aleatóras: função de densdade e de dstrbução; Méda e Varânca enquanto expectatvas

Leia mais

Ministério da Educação. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Cálculo do Conceito Preliminar de Cursos de Graduação

Ministério da Educação. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Cálculo do Conceito Preliminar de Cursos de Graduação Mnstéro da Educação Insttuto Naconal de Estudos e Pesqusas Educaconas Aníso Texera Cálculo do Conceto Prelmnar de Cursos de Graduação Nota Técnca Nesta nota técnca são descrtos os procedmentos utlzados

Leia mais

3.1. Conceitos de força e massa

3.1. Conceitos de força e massa CAPÍTULO 3 Les de Newton 3.1. Concetos de força e massa Uma força representa a acção de um corpo sobre outro,.e. a nteracção físca entre dos corpos. Como grandeza vectoral que é, só fca caracterzada pelo

Leia mais

Curso de extensão, MMQ IFUSP, fevereiro/2014. Alguns exercício básicos

Curso de extensão, MMQ IFUSP, fevereiro/2014. Alguns exercício básicos Curso de extensão, MMQ IFUSP, feverero/4 Alguns exercíco báscos I Exercícos (MMQ) Uma grandeza cujo valor verdadero x é desconhecdo, fo medda três vezes, com procedmentos expermentas dêntcos e, portanto,

Leia mais

1 Princípios da entropia e da energia

1 Princípios da entropia e da energia 1 Prncípos da entropa e da energa Das dscussões anterores vmos como o conceto de entropa fo dervado do conceto de temperatura. E esta últma uma conseqüênca da le zero da termodnâmca. Dentro da nossa descrção

Leia mais

Sinais Luminosos 2- CONCEITOS BÁSICOS PARA DIMENSIONAMENTO DE SINAIS LUMINOSOS.

Sinais Luminosos 2- CONCEITOS BÁSICOS PARA DIMENSIONAMENTO DE SINAIS LUMINOSOS. Snas Lumnosos 1-Os prmeros snas lumnosos Os snas lumnosos em cruzamentos surgem pela prmera vez em Londres (Westmnster), no ano de 1868, com um comando manual e com os semáforos a funconarem a gás. Só

Leia mais

RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Defnções RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Problemas de Valor Incal PVI) Métodos de passo smples Método de Euler Métodos de sére de Talor Métodos de Runge-Kutta Equações de ordem superor Métodos

Leia mais

Introdução às Medidas em Física a Aula

Introdução às Medidas em Física a Aula Introdução às Meddas em Físca 4300152 8 a Aula Objetvos: Experênca Curvas Característcas Meddas de grandezas elétrcas: Estudar curvas característcas de elementos resstvos Utlzação de um multímetro Influênca

Leia mais

Caderno de Exercícios Resolvidos

Caderno de Exercícios Resolvidos Estatístca Descrtva Exercíco 1. Caderno de Exercícos Resolvdos A fgura segunte representa, através de um polígono ntegral, a dstrbução do rendmento nas famílas dos alunos de duas turmas. 1,,75 Turma B

Leia mais

Estatística stica Descritiva

Estatística stica Descritiva AULA1-AULA5 AULA5 Estatístca stca Descrtva Prof. Vctor Hugo Lachos Davla oo que é a estatístca? Para mutos, a estatístca não passa de conjuntos de tabelas de dados numércos. Os estatístcos são pessoas

Leia mais

UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA - Centro de Ciências Sociais e Aplicadas Curso de Economia

UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA - Centro de Ciências Sociais e Aplicadas Curso de Economia CCSA - Centro de Cêncas Socas e Aplcadas Curso de Economa ECONOMIA REGIONAL E URBANA Prof. ladmr Fernandes Macel LISTA DE ESTUDO. Explque a lógca da teora da base econômca. A déa que sustenta a teora da

Leia mais

4 Critérios para Avaliação dos Cenários

4 Critérios para Avaliação dos Cenários Crtéros para Avalação dos Cenáros É desejável que um modelo de geração de séres sntétcas preserve as prncpas característcas da sére hstórca. Isto quer dzer que a utldade de um modelo pode ser verfcada

Leia mais

PARTE 1. 1. Apresente as equações que descrevem o comportamento do preço de venda dos imóveis.

PARTE 1. 1. Apresente as equações que descrevem o comportamento do preço de venda dos imóveis. EXERCICIOS AVALIATIVOS Dscplna: ECONOMETRIA Data lmte para entrega: da da 3ª prova Valor: 7 pontos INSTRUÇÕES: O trabalho é ndvdual. A dscussão das questões pode ser feta em grupo, mas cada aluno deve

Leia mais

Aula 7: Circuitos. Curso de Física Geral III F-328 1º semestre, 2014

Aula 7: Circuitos. Curso de Física Geral III F-328 1º semestre, 2014 Aula 7: Crcutos Curso de Físca Geral III F-38 º semestre, 04 Ponto essencal Para resolver um crcuto de corrente contínua, é precso entender se as cargas estão ganhando ou perdendo energa potencal elétrca

Leia mais

3 A técnica de computação intensiva Bootstrap

3 A técnica de computação intensiva Bootstrap A técnca de computação ntensva ootstrap O termo ootstrap tem orgem na expressão de língua nglesa lft oneself by pullng hs/her bootstrap, ou seja, alguém levantar-se puxando seu própro cadarço de bota.

Leia mais

Ajuste dos Mínimos Quadrados

Ajuste dos Mínimos Quadrados TLF 00/ Cap. IX juste dos mínmos quadrados Capítulo IX juste dos Mínmos Quadrados 9.. juste de uma lnha recta a dados epermentas 9 9.. Determnação dos parâmetros da recta, e B (Incertezas apenas em e guas

Leia mais

Princípios do Cálculo de Incertezas O Método GUM

Princípios do Cálculo de Incertezas O Método GUM Prncípos do Cálculo de Incertezas O Método GUM João Alves e Sousa Laboratóro Regonal de Engenhara Cvl - LREC Rua Agostnho Perera de Olvera, 9000-64 Funchal, Portugal. E-mal: jasousa@lrec.pt Resumo Em anos

Leia mais

Objetivos da aula. Essa aula objetiva fornecer algumas ferramentas descritivas úteis para

Objetivos da aula. Essa aula objetiva fornecer algumas ferramentas descritivas úteis para Objetvos da aula Essa aula objetva fornecer algumas ferramentas descrtvas útes para escolha de uma forma funconal adequada. Por exemplo, qual sera a forma funconal adequada para estudar a relação entre

Leia mais

Sistemas Robóticos. Sumário. Introdução. Introdução. Navegação. Introdução Onde estou? Para onde vou? Como vou lá chegar?

Sistemas Robóticos. Sumário. Introdução. Introdução. Navegação. Introdução Onde estou? Para onde vou? Como vou lá chegar? Sumáro Sstemas Robótcos Navegação Introdução Onde estou? Para onde vou? Como vou lá chegar? Carlos Carreto Curso de Engenhara Informátca Ano lectvo 2003/2004 Escola Superor de Tecnologa e Gestão da Guarda

Leia mais

Capítulo 1. O plano complexo. 1.1. Introdução. Os números complexos começaram por ser introduzidos para dar sentido à 2

Capítulo 1. O plano complexo. 1.1. Introdução. Os números complexos começaram por ser introduzidos para dar sentido à 2 Capítulo O plano compleo Introdução Os números compleos começaram por ser ntrodudos para dar sentdo à resolução de equações polnomas do tpo Como os quadrados de números reas são sempre maores ou guas a

Leia mais

Laboratório de Mecânica Aplicada I Estática: Roldanas e Equilíbrio de Momentos

Laboratório de Mecânica Aplicada I Estática: Roldanas e Equilíbrio de Momentos Laboratóro de Mecânca Aplcada I Estátca: Roldanas e Equlíbro de Momentos 1 Introdução O conhecmento das condções de equlíbro de um corpo é mprescndível em númeras stuações. Por exemplo, o estudo do equlíbro

Leia mais

CAPÍTULO 2 DESCRIÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICA DESCRITIVA

CAPÍTULO 2 DESCRIÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICA DESCRITIVA CAPÍTULO DESCRIÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICA DESCRITIVA. A MÉDIA ARITMÉTICA OU PROMÉDIO Defnção: é gual a soma dos valores do grupo de dados dvdda pelo número de valores. X x Soma dos valores de x número de

Leia mais

CENTRO UNIVERSITÁRIO DO LESTE DE MINAS GERAIS - UnilesteMG

CENTRO UNIVERSITÁRIO DO LESTE DE MINAS GERAIS - UnilesteMG 1 CENTRO UNIVERSITÁRIO DO LESTE DE MINAS GERAIS - UnlesteMG Dscplna: Introdução à Intelgênca Artfcal Professor: Luz Carlos Fgueredo GUIA DE LABORATÓRIO LF. 01 Assunto: Lógca Fuzzy Objetvo: Apresentar o

Leia mais

Despacho Econômico de. Sistemas Termoelétricos e. Hidrotérmicos

Despacho Econômico de. Sistemas Termoelétricos e. Hidrotérmicos Despacho Econômco de Sstemas Termoelétrcos e Hdrotérmcos Apresentação Introdução Despacho econômco de sstemas termoelétrcos Despacho econômco de sstemas hdrotérmcos Despacho do sstema braslero Conclusões

Leia mais

X = 1, se ocorre : VB ou BV (vermelha e branca ou branca e vermelha)

X = 1, se ocorre : VB ou BV (vermelha e branca ou branca e vermelha) Estatístca p/ Admnstração II - Profª Ana Cláuda Melo Undade : Probabldade Aula: 3 Varável Aleatóra. Varáves Aleatóras Ao descrever um espaço amostral de um expermento, não especfcamos que um resultado

Leia mais

UERJ CTC IME Departamento de Informática e Ciência da Computação 2 Cálculo Numérico Professora Mariluci Ferreira Portes

UERJ CTC IME Departamento de Informática e Ciência da Computação 2 Cálculo Numérico Professora Mariluci Ferreira Portes UERJ CTC IE Departameto de Iormátca e Cêca da Computação Udade I - Erros as apromações umércas. I. - Cosderações geras. Há váras stuações em dversos campos da cêca em que operações umércas são utlzadas

Leia mais

Universidade Salvador UNIFACS Cursos de Engenharia Cálculo IV Profa: Ilka Rebouças Freire. Integrais Múltiplas

Universidade Salvador UNIFACS Cursos de Engenharia Cálculo IV Profa: Ilka Rebouças Freire. Integrais Múltiplas Unversdade Salvador UNIFACS Cursos de Engenhara Cálculo IV Profa: Ilka ebouças Frere Integras Múltplas Texto 3: A Integral Dupla em Coordenadas Polares Coordenadas Polares Introduzremos agora um novo sstema

Leia mais

É o grau de associação entre duas ou mais variáveis. Pode ser: correlacional ou experimental.

É o grau de associação entre duas ou mais variáveis. Pode ser: correlacional ou experimental. Prof. Lorí Val, Dr. val@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~val/ É o grau de assocação entre duas ou mas varáves. Pode ser: correlaconal ou expermental. Numa relação expermental os valores de uma das

Leia mais

IV - Descrição e Apresentação dos Dados. Prof. Herondino

IV - Descrição e Apresentação dos Dados. Prof. Herondino IV - Descrção e Apresentação dos Dados Prof. Herondno Dados A palavra "dados" é um termo relatvo, tratamento de dados comumente ocorre por etapas, e os "dados processados" a partr de uma etapa podem ser

Leia mais

Aula 03 Erros experimentais Incerteza. Aula 03 Prof. Valner Brusamarello

Aula 03 Erros experimentais Incerteza. Aula 03 Prof. Valner Brusamarello Aula 03 Erros epermentas Incerteza Aula 03 Prof. Valner Brusamarello Incerteza Combnada Efeto da Incerteza sobre = f ± u, ± u, L, ± u, L ( ) 1 1 Epansão em Sére de Talor: k k L f = f 1,, 3, + ± uk + L,,,

Leia mais

Física. Física Módulo 1 Vetores, escalares e movimento em 2-D

Física. Física Módulo 1 Vetores, escalares e movimento em 2-D Físca Módulo 1 Vetores, escalares e movmento em 2-D Vetores, Escalares... O que são? Para que servem? Por que aprender? Escalar Defnção: Escalar Grandea sem dreção assocada. Eemplos: Massa de uma bola,

Leia mais

Expressão da Incerteza de Medição para a Grandeza Energia Elétrica

Expressão da Incerteza de Medição para a Grandeza Energia Elétrica 1 a 5 de Agosto de 006 Belo Horzonte - MG Expressão da ncerteza de Medção para a Grandeza Energa Elétrca Eng. Carlos Alberto Montero Letão CEMG Dstrbução S.A caletao@cemg.com.br Eng. Sérgo Antôno dos Santos

Leia mais

Trabalho e Energia. Definimos o trabalho W realizado pela força sobre uma partícula como o produto escalar da força pelo deslocamento.

Trabalho e Energia. Definimos o trabalho W realizado pela força sobre uma partícula como o produto escalar da força pelo deslocamento. Trabalho e Energa Podemos denr trabalho como a capacdade de produzr energa. Se uma orça eecutou um trabalho sobre um corpo ele aumentou a energa desse corpo de. 1 OBS: Quando estudamos vetores vmos que

Leia mais

Capítulo 1: Erros em cálculo numérico

Capítulo 1: Erros em cálculo numérico Capítulo : Erros em cálculo umérco. Itrodução Um método umérco é um método ão aalítco, que tem como objectvo determar um ou mas valores umércos, que são soluções de um certo problema. Ao cotráro das metodologas

Leia mais

Escolha do Consumidor sob condições de Risco e de Incerteza

Escolha do Consumidor sob condições de Risco e de Incerteza 9/04/06 Escolha do Consumdor sob condções de Rsco e de Incerteza (Capítulo 7 Snyder/Ncholson e Capítulo Varan) Turma do Prof. Déco Kadota Dstnção entre Rsco e Incerteza Na lteratura econômca, a prmera

Leia mais

Análise de Projectos ESAPL / IPVC. Taxas Equivalentes Rendas

Análise de Projectos ESAPL / IPVC. Taxas Equivalentes Rendas Análse de Projectos ESAPL / IPVC Taxas Equvalentes Rendas Taxas Equvalentes Duas taxas e, referentes a períodos dferentes, dzem-se equvalentes se, aplcadas a um mesmo captal, produzrem durante o mesmo

Leia mais

NOÇÕES SOBRE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR SIMPLES

NOÇÕES SOBRE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR SIMPLES NOÇÕES SOBRE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 1 O nosso objetvo é estudar a relação entre duas varáves quanttatvas. Eemplos:. Idade e altura das cranças.. v. Tempo de prátca de esportes e rtmo cardíaco

Leia mais

Estatística I Licenciatura MAEG 2006/07

Estatística I Licenciatura MAEG 2006/07 Estatístca I Lcencatura MAEG 006/07 AMOSTRAGEM. DISTRIBUIÇÕES POR AMOSTRAGEM.. Em determnada unversdade verfca-se que 30% dos alunos têm carro. Seleccona-se uma amostra casual smples de 0 alunos. a) Qual

Leia mais

ESPELHOS E LENTES ESPELHOS PLANOS

ESPELHOS E LENTES ESPELHOS PLANOS ESPELHOS E LENTES 1 Embora para os povos prmtvos os espelhos tvessem propredades mágcas, orgem de lendas e crendces que estão presentes até hoje, para a físca são apenas superfíces poldas que produzem

Leia mais

Prof. Lorí Viali, Dr.

Prof. Lorí Viali, Dr. Prof. Lorí Val, Dr. val@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~val/ É o grau de assocação entre duas ou mas varáves. Pode ser: correlaconal ou expermental. Prof. Lorí Val, Dr. UFRG Insttuto de Matemátca

Leia mais

Prof. Lorí Viali, Dr.

Prof. Lorí Viali, Dr. Prof. Lorí Val, Dr. val@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~val/ 1 É o grau de assocação entre duas ou mas varáves. Pode ser: correlaconal ou expermental. Numa relação expermental os valores de uma das

Leia mais

Apostila de Estatística Curso de Matemática. Volume II 2008. Probabilidades, Distribuição Binomial, Distribuição Normal. Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna

Apostila de Estatística Curso de Matemática. Volume II 2008. Probabilidades, Distribuição Binomial, Distribuição Normal. Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna Apostla de Estatístca Curso de Matemátca Volume II 008 Probabldades, Dstrbução Bnomal, Dstrbução Normal. Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna 1 Capítulo 8 - Probabldade 8.1 Conceto Intutvamente pode-se defnr probabldade

Leia mais

Física. Setor A. Índice-controle de Estudo. Prof.: Aula 25 (pág. 86) AD TM TC. Aula 26 (pág. 86) AD TM TC. Aula 27 (pág.

Física. Setor A. Índice-controle de Estudo. Prof.: Aula 25 (pág. 86) AD TM TC. Aula 26 (pág. 86) AD TM TC. Aula 27 (pág. Físca Setor Prof.: Índce-controle de studo ula 25 (pág. 86) D TM TC ula 26 (pág. 86) D TM TC ula 27 (pág. 87) D TM TC ula 28 (pág. 87) D TM TC ula 29 (pág. 90) D TM TC ula 30 (pág. 90) D TM TC ula 31 (pág.

Leia mais

CURSO A DISTÂNCIA DE GEOESTATÍSTICA

CURSO A DISTÂNCIA DE GEOESTATÍSTICA CURSO A DISTÂNCIA DE GEOESTATÍSTICA Aula 6: Estaconardade e Semvarânca: Estaconardade de a. ordem, Hpótese ntríseca, Hpótese de krgagem unversal, Crtéros para escolha, Verfcação, Representatvdade espacal,

Leia mais

CQ110 : Princípios de FQ

CQ110 : Princípios de FQ CQ110 : Prncípos de FQ CQ 110 Prncípos de Físco Químca Curso: Farmáca Prof. Dr. Marco Vdott mvdott@ufpr.br Potencal químco, m potencal químco CQ110 : Prncípos de FQ Propredades termodnâmcas das soluções

Leia mais

3 Metodologia de Avaliação da Relação entre o Custo Operacional e o Preço do Óleo

3 Metodologia de Avaliação da Relação entre o Custo Operacional e o Preço do Óleo 3 Metodologa de Avalação da Relação entre o Custo Operaconal e o Preço do Óleo Este capítulo tem como objetvo apresentar a metodologa que será empregada nesta pesqusa para avalar a dependênca entre duas

Leia mais

As leis de Kirchhoff. Capítulo

As leis de Kirchhoff. Capítulo UNI apítulo 11 s les de Krchhoff s les de Krchhoff são utlzadas para determnar as ntensdades de corrente elétrca em crcutos que não podem ser convertdos em crcutos smples. S empre que um crcuto não pode

Leia mais

Variação ao acaso. É toda variação devida a fatores não controláveis, denominadas erro.

Variação ao acaso. É toda variação devida a fatores não controláveis, denominadas erro. Aplcação Por exemplo, se prepararmos uma área expermental com todo cudado possível e fzermos, manualmente, o planto de 100 sementes seleconadas de um mlho híbrdo, cudando para que as sementes fquem na

Leia mais

2 Máquinas de Vetor Suporte 2.1. Introdução

2 Máquinas de Vetor Suporte 2.1. Introdução Máqunas de Vetor Suporte.. Introdução Os fundamentos das Máqunas de Vetor Suporte (SVM) foram desenvolvdos por Vapnk e colaboradores [], [3], [4]. A formulação por ele apresentada se basea no prncípo de

Leia mais

3.6. Análise descritiva com dados agrupados Dados agrupados com variáveis discretas

3.6. Análise descritiva com dados agrupados Dados agrupados com variáveis discretas 3.6. Análse descrtva com dados agrupados Em algumas stuações, os dados podem ser apresentados dretamente nas tabelas de frequêncas. Netas stuações devemos utlzar estratégas específcas para obter as meddas

Leia mais

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADAS À HIDROLOGIA

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADAS À HIDROLOGIA PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADAS À HIDROLOGIA Mauro aghettn Mara Manuela Portela DECvl, IST, 0 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADAS À HIDROLOGIA Mauro aghettn Professor Assocado, Escola de Engenhara

Leia mais

Capítulo XI. Teste do Qui-quadrado. (χ 2 )

Capítulo XI. Teste do Qui-quadrado. (χ 2 ) TLF 00/ Cap. XI Teste do Capítulo XI Teste do Qu-quadrado ( ).. Aplcação do teste do a uma dstrbução de frequêncas 08.. Escolha de ntervalos para o teste do.3. Graus de lberdade e reduzdo.4. Tabela de

Leia mais

8 - Medidas Descritivas

8 - Medidas Descritivas 8 - Meddas Descrtvas 8. Introdução Ao descrevemos um conjunto de dados por meo de tabelas e gráfcos temos muto mas nformações sobre o comportamento de uma varável do que a própra sére orgnal de dados.

Leia mais

Associação entre duas variáveis quantitativas

Associação entre duas variáveis quantitativas Exemplo O departamento de RH de uma empresa deseja avalar a efcáca dos testes aplcados para a seleção de funconáros. Para tanto, fo sorteada uma amostra aleatóra de 50 funconáros que fazem parte da empresa

Leia mais

Controlo Metrológico de Contadores de Gás

Controlo Metrológico de Contadores de Gás Controlo Metrológco de Contadores de Gás José Mendonça Das (jad@fct.unl.pt), Zulema Lopes Perera (zlp@fct.unl.pt) Departamento de Engenhara Mecânca e Industral, Faculdade de Cêncas e Tecnologa da Unversdade

Leia mais

Os modelos de regressão paramétricos vistos anteriormente exigem que se suponha uma distribuição estatística para o tempo de sobrevivência.

Os modelos de regressão paramétricos vistos anteriormente exigem que se suponha uma distribuição estatística para o tempo de sobrevivência. MODELO DE REGRESSÃO DE COX Os modelos de regressão paramétrcos vstos anterormente exgem que se suponha uma dstrbução estatístca para o tempo de sobrevvênca. Contudo esta suposção, caso não sea adequada,

Leia mais

Variabilidade Espacial do Teor de Água de um Argissolo sob Plantio Convencional de Feijão Irrigado

Variabilidade Espacial do Teor de Água de um Argissolo sob Plantio Convencional de Feijão Irrigado Varabldade Espacal do Teor de Água de um Argssolo sob Planto Convenconal de Fejão Irrgado Elder Sânzo Aguar Cerquera 1 Nerlson Terra Santos 2 Cásso Pnho dos Res 3 1 Introdução O uso da água na rrgação

Leia mais

Y X Baixo Alto Total Baixo 1 (0,025) 7 (0,175) 8 (0,20) Alto 19 (0,475) 13 (0,325) 32 (0,80) Total 20 (0,50) 20 (0,50) 40 (1,00)

Y X Baixo Alto Total Baixo 1 (0,025) 7 (0,175) 8 (0,20) Alto 19 (0,475) 13 (0,325) 32 (0,80) Total 20 (0,50) 20 (0,50) 40 (1,00) Bussab&Morettn Estatístca Básca Capítulo 4 Problema. (b) Grau de Instrução Procedênca º grau º grau Superor Total Interor 3 (,83) 7 (,94) (,) (,33) Captal 4 (,) (,39) (,) (,3) Outra (,39) (,7) (,) 3 (,3)

Leia mais

Teoria Elementar da Probabilidade

Teoria Elementar da Probabilidade 10 Teora Elementar da Probabldade MODELOS MATEMÁTICOS DETERMINÍSTICOS PROBABILÍSTICOS PROCESSO (FENÓMENO) ALEATÓRIO - Quando o acaso nterfere na ocorrênca de um ou mas dos resultados nos quas tal processo

Leia mais

Portaria Inmetro nº 248 de 17 de julho de 2008

Portaria Inmetro nº 248 de 17 de julho de 2008 INSTITUTO NACIONAL DE METROLOGIA, NORMALIZAÇÃO E QUALIDADE INDUSTRIAL - Portara Inmetro nº 248 de 17 de julho de 2008 O PRESIDENTE DO INSTITUTO NACIONAL DE METROLOGIA, NORMALIZAÇÃO E QUALIDADE INDUSTRIAL,

Leia mais

FAAP APRESENTAÇÃO (1)

FAAP APRESENTAÇÃO (1) ARESENTAÇÃO A Estatístca é uma cênca que organza, resume e smplfca nformações, além de analsá-las e nterpretá-las. odemos dvdr a Estatístca em três grandes campos:. Estatístca Descrtva- organza, resume,

Leia mais