EST 220 ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA EST 0 ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL Vçosa Mnas Geras 00 / II

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Departamento de Estatístca EST 0 Estatístca Expermental 00 / II. CONTEÚDO Capítulo Testes de hpóteses Capítulo Contrastes Capítulo 3 Introdução à Expermentação Capítulo 4 Delneamento Interamente Casualzado Capítulo 5 Procedmentos para Comparações Múltplas Capítulo 6 Delneamento em Blocos Casualzados Capítulo 7 Delneamento em Quadrado Latno Capítulo 8 Expermentos Fatoras Capítulo 9 Expermentos em Parcelas Subdvddas Capítulo 0 Regressão e Correlação. AVALIAÇÃO Prova Data Horáro Local 03/09 (Sex) 8:0 h A CONFIRMAR 5/0 (Sex) 0:30 h A CONFIRMAR 3 6/ (Sex) 0:30 h A CONFIRMAR O sstema de avalação constará de três provas com pesos guas, cujas datas foram sugerdas ao Regstro Escolar. A nota fnal será a méda das provas. Será aplcada uma quarta prova escrta (9/ Seg :00 h) que abordará todo o assunto do semestre, somente para o estudante que perder pelo menos uma das três provas por qualquer motvo. Levar documento com foto para fns de fscalzação durante as provas. Levar tabelas dos testes de hpóteses, formuláro e calculadora para as provas, pos são de uso ndvdual. O coordenador da dscplna marcará um únco período de revsão para cada uma das provas que deverá ser respetado, dado que não serão abertas exceções para revsões de provas fora do período estabelecdo. As revsões de provas serão realzadas com o montor durante o seu horáro numa sala do Departamento de Estatístca no prédo do CCE, mesmo que a montora regular esteja marcada para outro local. A data da prova fnal será marcada pelo Regstro Escolar. 3. MONITORIA O horáro e local da montora serão dvulgados na tercera semana de aula. Serão agendados horáros extras durante a semana de cada prova, sendo o horáro e local, dvulgados no quadro de avsos do Departamento de Estatístca no prédo do CCE.

3 4. BIBLIOGRAFIA BARBETTA, P.A.; REIS, M.M. e BORNIA, A.C. Estatístca para cursos de engenhara e nformátca. Edtora Atlas, São Paulo, p. BANZATTO, D.A. e KRONKA, S.N. Expermentação agrícola. FUNESP, Jabotcabal, p. COSTA NETO, P.L.O. Estatístca. Edtora Edgard Blücher, São Paulo, 977, 64 p. GOMES, F.P. Curso de estatístca expermental. a edção, Lvrara Nobel S.A, São Paulo, p. HINES, W.W.; MONTGOMERY, D.C.; GOLDSMAN, D.M. e BORROR, C.M. Probabldade e estatístca na engenhara. 4 a edção, LTC Edtora, Ro de Janero, p. HOFFMANN, R. e VIEIRA, S. Análse de regressão: uma ntrodução à econometra. a edção, Edtora Huctec, São Paulo, p. MONTGOMERY, D.C. e RUNGER, G.C. Estatístca aplcada e probabldade para engenheros. 4 a edção, LTC Edtora, Ro de Janero, p. MOORE, D.S. e McCABE, G.P. Introdução à prátca da estatístca. 3 a edção, LTC Edtora, Ro de Janero, p. RIBEIRO JÚNIOR, J.I. Análses estatístcas no Excel gua prátco. Edtora UFV, Vçosa, p. RIBEIRO JÚNIOR, J.I. e MELO, A.L.P. Gua prátco para utlzação do SAEG. Folha Artes Gráfcas Ltda, Vçosa, p. VIEIRA, S. e HOFFMANN, R. Estatístca expermental. Edtora Atlas, São Paulo, 989, 79 p. 5. PROFESSORES Antono Polcarpo Souza Carnero CCE 33B Ramal 786 José Ivo Rbero Júnor CCE 306B Ramal 783 (Coordenador) Nerlson Terra Santos CCE 3B Ramal 784 Sebastão Martns Flho CCE 36B Ramal HORÁRIOS DAS TURMAS Horáro Seg Ter Qua Qu Sex 8 T - PVB30 Nerlson T4 - PVB09 Sebastão 0 T4 - PVB09 T3 - PVB09 T - PVB30 Sebastão Nerlson Nerlson 4 T6 - PVB304 T5 - PVB05 T - PVB09 Polcarpo José Ivo Sebastão 6 T - PVB09 T6 - PVB304 Sebastão Polcarpo T3 - PVB09 Nerlson T5 - PVB05 José Ivo

4 7. PLANEJAMENTO Aula Semana Assunto Apresentação da dscplna 0 a 06/08 Testes de hpóteses: concetos 3 Teste t e ntervalo de confança para uma méda 4 09 a 3/08 Teste F para duas varâncas, teste t para duas médas ndependentes Intervalo de confança para duas médas ndependentes, 5 teste t para duas médas dependentes e ntervalo de 6 a 0/08 confança para duas médas ndependentes 6 Teste t e ntervalo de confança para duas médas dependentes 7 Contrastes: concetos 3 a 7/08 8 Métodos para obtenção de contrastes ortogonas 9 Prncípos báscos da expermentação 30 a 03/09 0 Tra dúvdas Prova 03/09 Sex 8:0 h 08 a 0/09 Delneamento nteramente casualzado (DIC) Análse de varânca e pressuposções 3 a 7/09 3 Delneamento em blocos casualzados (DBC) 4 Delneamento em quadrado latno (DQL) 0 a 4/09 5 Testes de Tukey e Duncan 6 7 a 9/09 Testes t e de Scheffé 7 Expermento fatoral (EF) 04 a 08/0 8 Interação AxB não sgnfcatva de EF 9 Interação AxB sgnfcatva de EF a 5/0 0 Tra dúvdas Prova 5/0 Sex 0:30 h Expermento em parcelas subdvddas (EPS) 5 a 9/0 Interação AxB não sgnfcatva de EPS 3 03 a 05/ Interação AxB sgnfcatva de EPS 4 Regressão lnear de o grau 08 a / 5 Regressão lnear de o grau 6 7 a 9/ Regressão lnear com delneamento expermental 7 Análse de correlação a 6/ 8 Tra dúvdas Prova 3 6/ Sex 0:30 h 9 Prova 4 9/ Seg :00 h 30 Software estatístco 30/ Ter :00 h

5 Índce Capítulo - Testes de Hpóteses Capítulo - Contrastes Capítulo 3 Introduçao à Expermentação 30 Capítulo 4 - Delneamento Interamente Casualzado 37 Capítulo 5 Procedmentos para Comparações Múltplas 45 Capítulo 6 - Delneamento em Blocos Casualzados 53 Capítulo 7 - Delneamento em Quadrado Latno 65 Capítulo 8 - Expermentos Fatoras 7 Capítulo 9 - Expermentos em Parcelas Subdvddas 95 Capítulo 0 - Regressão Capítulo Respostas dos Exercícos 5 Anexo - Formuláro e Tabelas 5 Anexo Fórmula Geral para o Cálculo de Soma de Quadrados 67 Anexo 3 Introdução ao Uso do Programa SAS 69 Anexo 4 p-valor 90 Anexo 5 Exemplo Extra ANOVA 9

6 EST 0 Estatístca Expermental I/008. Testes de Hpóteses.. Introdução Os testes de hpóteses fazem parte de um conjunto de procedmentos nferencas usados em estatístca. O uso de tas procedmentos permte ao pesqusador fazer nferêncas a respeto de uma população a partr de uma ou mas amostras representatvas da população da qual as amostras foram retradas. No da a da usamos de nferênca para tomarmos certas decsões. Por exemplo, quando vamos a fera para comprar abacax e um ferante nos oferece um pedaço de abacax. Qual o nosso procedmento? Se aquele pedaço de abacax for doce, concluímos que todo o lote de abacax venddo por aquele ferante é doce. Por outro lado, se o pedaço for azedo, nfermos que todo o lote é azedo. É lógco que podemos tomar decsões erradas devdo à amostragem. Por exemplo, corremos o rsco de levar abacax azedo para casa, mesmo que a nossa prova tenha sdo doce. Isto pode acontecer porque o lote de abacax pode não ser completamente unforme no teor de açúcar, ou porque expermentamos um abacax doce no meo de um lote composto por abacaxs azedos. Este é um exemplo prátco que lustra o prncípo básco do teste de hpóteses. Porém, em cênca é necessáro que todos os procedmentos sejam padronzados e bem especfcados. O objetvo deste capítulo é fornecer os concetos teórcos fundamentas para um correto uso dos testes de hpóteses. Neste capítulo, serão abordados alguns dos testes de hpóteses mas comuns para comparar no máxmo parâmetros de duas populações. Outros testes de hpóteses aplcáves para comparações de parâmetros envolvendo mas de duas populações serão apresentados no Capítulo 5... Concetos fundamentas em testes de hpóteses.. Parâmetro Parâmetro é uma medda usada para caracterzar uma população. Assm sendo para se obter o valor de um parâmetro é necessáro coletar a nformação a respeto de uma ou mas varáves em todos os ndvíduos dessa população, ou seja, realzar um censo da mesma. É possível caracterzar uma população por meo de duas meddas prncpas: posção e dspersão. As meddas de posção são também conhecdas como meddas de tendênca central, pos elas ndcam em que posção, a dstrbução dos valores de uma população tendem a se concentrar. Alguns exemplos de meddas de posção são a méda artmétca ( m = µ = E(X) ), a medana (Md) e a moda (Mo). As meddas de dspersão ndcam quanto os valores de uma população estão dspersos em torno de sua méda. Como exemplo de meddas de dspersão temos a varânca ( σ = V(X) ) e o desvo-padrão ( σ )... Estmador Na grande maora das stuações, não é possível realzar o censo de uma população, porque ou a população é muto grande ou é de tamanho nfnto. Para contornar este problema, o pesqusador pode retrar uma amostra da população e a partr desta amostra caracterzar a população de onde a amostra fo retrada sem nenhum vés. Para alcançar este objetvo deve-se usar fórmulas estatístcas, conhecdas como estmadores, que apresentem característcas estatístcas desejáves, tas como não-

7 Cap Testes de Hpóteses tendencosdade, varânca mínma, fornecer estmatvas que se aproxmem do valor paramétrco à medda que o tamanho da amostra aumenta, e etc.. Exemplos de estmadores são a méda artmétca amostral,, que é usada para estmar a méda populaconal; e a varânca amostral, s, que é usada para estmar a varânca populaconal. Outras smbologas comuns para a méda amostral são ˆµ e X, e para a varânca amostral são σ ˆ e Vˆ (X). Observe que algumas vezes a smbologa usada para representar os parâmetros e seus respectvos estmadores é muto parecda. Por exemplo, podemos representar a méda populaconal por m e seu estmador por, ou seja, a dferença entre o parâmetro e o seu estmador é o chapéu que exste no símbolo usado para representar o estmador. Isto parece ser uma dferença mínma, mas do ponto de vsta estatístco, a dferença concetual entre parâmetro e estmador é enorme. O parâmetro é sempre um valor constante, pos para a obtenção do mesmo são usados todos os elementos da população. Por outro lado, o estmador representa uma varável aleatóra, pos os seus valores mudam de amostra para amostra. Isto acontece porque os elementos que pertencem a uma amostra geralmente não são os mesmos em outras amostras. Conseqüentemente, é possível estabelecer uma dstrbução de probabldades para os valores de um estmador. Para o parâmetro, sto não é possível, pos se assume que ele tem um valor constante. Por sto recomenda-se muto cudado para usar corretamente a smbologa para o parâmetro e paro o estmador. Conforme menconado anterormente, os estmadores podem assumr valores dferentes em amostras dferentes. Estes dferentes valores que um estmador assume são também conhecdos como estmatvas...3 Hpóteses em um teste estatístco Para realzar um teste de hpóteses e dvulgar as conclusões é necessáro segur um procedmento aceto pela comundade centífca. Neste procedmento, o pesqusador deve dexar claro qual a hpótese que ele deseja testar. Para sto ele precsa escrever em termos estatístcos a sua hpóteses centfca. A hpótese centífca do pesqusador, nada mas é o que o levou a realzar a sua nvestgação. Por exemplo, suponha que um tecnólogo em latcneos deseja verfcar se os sabores de sorvete morango e chocolate apresentam um mesmo valor para o teor médo de glcose. Em termos estatístcos esta hpótese é expressa por m morango = m chocolate Em que: m morango : méda do teor de glcose do sorvete sabor morango; e m chocolate : méda do teor de glcose do sorvete sabor chocolate. O pesqusador deseja testar esta hpótese porque ele desconfa que o teor médo de glcose não seja o mesmo para os dos sabores de sorvete. Então ele tem que ter uma alternatva para esta hpótese ncal. Nesta alternatva, ele lança a sua desconfança a respeto do que pode acontecer. Se ele desconfar que o sabor de morango tem um teor médo de glcose maor do que o de chocolate, então a hpótese alternatva é expressa por m morango > m chocolate Por outro lado, se ele desconfar que o sabor de chocolate tem um teor de glcose maor do que o de morango, então a hpótese alternatva é expressa por m < morango m chocolate

8 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Uma outra alternatva sera a stuação em que ele não tem nenhuma desconfança de qual sabor tera um teor médo de glcose maor do que o outro. Neste caso, a hpótese alternatva é expressa por mmorango m chocolate Neste ponto fca claro que para realzar um teste de hpóteses é necessáro que o pesqusador lance duas hpóteses. A prmera que contém um snal de gualdade é conhecda como hpótese de nuldade, comumente denotada por Ho. É dado este nome, pos ela representa uma nuldade de dferença entre médas. Já a outra hpótese que contém um snal de desgualdade, é conhecda como hpótese alternatva, comumente desgnada por Ha ou H. Como o própro nome dz, ela é uma alternatva a hpótese de nuldade. Na verdade, quando um pesqusador realza um expermento, a hpótese de nuldade é construída com o expresso propósto de ser rejetada. Isto faz sentdo porque, quem tera o trabalho de realzar um expermento se achasse que duas médas são guas? Qualquer um se dara ao trabalho de nstalar um expermento, apenas se desconfar que exste dferença sgnfcatva entre as médas de duas populações. No entanto, num teste de hpóteses, até que se prove o contráro, a Ho é consderada como a hpótese verdadera. Para o exemplo dado, supondo que o pesqusador não desconfe a prncípo qual sabor que apresenta maor teor médo de glcose, o par de hpóteses a ser lançado é expresso por H0 : mmorango = mchocolate Ha : mmorango mchocolate Observe que apesar de ser possível exstr três possbldades para Ha, apenas uma possbldade fo lançada. Outro ponto mportante é que as hpóteses foram lançadas em termos dos parâmetros e não em termos dos seus estmadores. Não faz sentdo lançar as hpóteses usando os estmadores, pos os mesmos não possuem um valor fxo, ou seja, apresentam valores dferentes para amostras dferentes, enquanto que o parâmetro possu um valor fxo...4 Decsão em um teste de hpóteses Para decdrmos se devemos ou não devemos rejetar a hpótese de nuldade, baseamos na comparação do valor especfcado para o parâmetro com aquele estmado a partr de uma amostra da população. Raramente, o valor estmado será dêntco àquele especfcado para o parâmetro. Conforme menconado anterormente, um estmador pode assumr valores dferentes para amostras dferentes, sendo que exstem ntervalos de valores mas prováves de ocorrer do que outros. Portanto pode-se construr uma dstrbução de probabldades para os valores de um estmador. O valor fornecdo pelos estmadores poderá dferr, do ponto de vsta matemátco, do valor esperado para o parâmetro. Esta dferença matemátca nem sempre representa que a hpótese de nuldade deve ser rejetada, pos como o estmador é uma varável aleatóra, é esperado que ele possa assumr valores dentro de um ntervalo. O que um teste de hpóteses geralmente faz é comparar duas fontes de varação. A prmera fonte de varação dz respeto a varação entre o valor paramétrco e uma estmatva. A segunda fonte de varação dz respeto a varação exstente na população. Se as duas fontes de varação apresentarem valores semelhantes então o valor do parâmetro não dfere do valor especfcado na hpótese de nuldade. Neste caso, a varação observada entre o valor paramétrco e sua estmatva é uma varação própra dos dados. Conclu-se portanto que a hpótese H 0 não deve ser rejetada. 3

9 Cap Testes de Hpóteses Por outro lado, se as duas fontes de varação apresentarem valores bem dferentes, conclu-se que a varação entre o valor especfcado para o parâmetro e o de sua estmatva não é própra dos dados. Neste caso a varação entre o valor paramétrco e a estmatva é sgnfcatva, o que leva a rejetar-se a hpótese de nuldade. Para então decdrmos entre rejetar ou não-rejetar a hpótese de nuldade devemos estabelecer o que é uma pequena e uma grande varação. Para sto, precsamos conhecer a dstrbução de probabldades do estmador usado para estmar o parâmetro. Vamos lustrar esta stuação com o segunte exemplo. Suponha que um pesqusador desconfe que a estatura méda de adolescentes na faxa etára de 3 a 5 anos é menor do que aquela nformada por um órgão ofcal como sendo gual a,5 metros. Este pesqusador sabe de fontes seguras que a estatura é uma varável aleatóra que segue uma dstrbução normal com varânca gual a 0,5 metros. Se a nformação do órgão ofcal for verdadera, ou seja a méda de estatura gual a,50 metros, poderíamos descrever a dstrbução de valores da varável estatura, dgamos X, como X ~ N(,5 ; 0,5) e representar esta dstrbução por meo do gráfco f(x) m=. 5 Var avel : X A função densdade de probabldade de uma varável aleatóra contínua que tem dstrbução normal, no caso, f(x) é dada por: f(x) = σ e π x m σ Para verfcar se a nformação do órgão ofcal é correta, o pesqusador tem duas opções: medr a estatura da população de todos os adolescentes, ou então tomar uma amostra de adolescentes e medr a estatura dos mesmos e usar um teste de hpóteses. Na prmera opção nenhum teste de hpóteses sera necessáro, pos o pesqusador tera condções de conhecer o verdadero valor da méda de estatura, ou seja, ele conhecera o parâmetro méda daquela população de adolecentes. Na segunda opção, o pesqusador tera que usar uma méda da amostra para tomar a sua decsão. 4

10 EST 0 Estatístca Expermental I/008 É evdente que a segunda opção é operaconalmente mas fácl, pos o custo e o tempo gasto são muto menores. Para realzar a segunda opção, o pesqusador deve escolher um tamanho de amostra adequado, por exemplo, suponha que para este exemplo o tamanho amostral deal seja gual a 0 ndvíduos. Da população de adolecentes é possível retrar um grande número de dferentes amostras de tamanho 0. Cada amostra fornece um valor para a méda amostral. Pode ser demonstrado que a méda de todas as médas amostras é gual à méda da varável orgnal, a varânca é gual à varânca orgnal dvddo pelo tamanho da amostra e que a varável aleatóra também segue dstrbução normal, ou seja, ~ N(,5 ; 0,05). O gráfco da dstrbução das médas amostras sera f(xb) m= Var avel : Xb em que Xb = e f(xb) = f( ). Como pode ser notado, a dstrbução das médas amostras para a varável estatura, representadas no gráfco por Xb, é mas concentrada em torno da méda do que a varável orgnal X. Isto acontece porque a varânca das médas amostras é menor do que a varânca da varável orgnal estatura. Deve fcar entenddo que é possível retrar um número muto grande de amostras de mesmo tamanho de uma população, prncpalmente se a população for muto grande. No entanto, numa pesqusa geralmente toma-se decsão usando-se apenas uma únca amostra. As hpóteses estatístcas para esta stuação seram: H : m =,5 metros O altura Ha : maltura <,5 metros Para se entender a lógca dos testes de hpóteses, vamos supor dferentes resultados possíves para a méda amostral obtda a partr de uma amostra de 0 estudantes. Suponha ncalmente que o pesqusador, obtenha uma méda amostral, dgamos, gual a,49 metros. Neste caso, a varação entre o valor observado gual a,49 e o valor suposto gual a,50 é muto pequena. Poder-se-a atrbur esta varação ao 5

11 Cap Testes de Hpóteses acaso, ou seja, esta varação é uma varação própra de uma população que apresente méda gual a,5 metros. Em termos probablístcos poderíamos dzer que exste uma grande probabldade de numa população com méda gual a,50 metros exstr grupos de 0 ndvíduos que apresentem uma méda de estatura gual ou nferor a,49 metros. Justfcatva semelhante podera ser atrbuída a médas amostras que tvessem valores próxmos ao valor suposto, tas como:,48;,47;,4; etc. Por outro lado, se a méda amostral apresentar um valor muto dstante do valor suposto, como por exemplo, 0,60 metros, o pesqusador tem a tendênca de rejetar a hpótese de nuldade, sto porque há um forte ndíco de que a amostra fo retrada de uma população que apresenta uma méda menor do que a suposta de,5 metros. Em termos probablístcos podera se dzer que a probabldade de encontrar um grupo de ndvíduos com méda gual ou nferor a 0,60 metros é muto pequena, em uma população que apresenta uma méda gual a,5 metros. Veja na fgura a segur f(xb) Var avel : Xb A função densdade de probabldade da méda amostral de uma varável aleatóra que tem dstrbução normal, no caso, f(xb), é dada por: x m σ n f(xb) = e π σ n A área sob a curva abaxo do valor 0,60 m, ndca a probabldade de se encontrar um valor gual ou nferor a 0,60 metros em uma população com méda gual a,5 metros. Como pode ser notado, esta probabldade é pequena em relação à área total do gráfco. Com base neste racocíno é que o pesqusador estabelece um valor crítco que o ajuda a decdr sobre rejetar ou não-rejetar a hpótese de nuldade. Este valor crítco pode a prncípo ser estabelecdo de duas maneras. A prmera delas sera a stuação em que o pesqusador de posse de seu conhecmento prévo no assunto estabelecera um valor crítco antes de coletar a amostra. Este valor crítco sera um valor para a méda amostral tal que acma dele o pesqusador não-rejetara a hpótese de nuldade e abaxo dele rejetara a hpótese de nuldade. Dgamos que neste caso o valor crítco adotado fosse gual a,0 metro. O valor para a méda gual a,0 metro determnara duas regões na 6

12 EST 0 Estatístca Expermental I/008 dstrbução das médas amostras, conforme é apresentado na fgura a segur. Estas duas regões são denomnadas como Regão de Não-Rejeção da Hpótese de Nuldade (RNRHo) e Regão de Rejeção da Hpótese de Nuldade (RRHo). Como os respectvos nomes ndcam, se o valor da méda amostral estver contdo na RNRHo, o pesqusador não deve rejetar a hpótese de nuldade. Caso contráro, se o valor da méda amostral estver contdo na RRHo, o pesqusador deve rejetar a hpótese de nuldade e consderar a hpótese alternatva como sendo a hpótese verdadera. f(xb) Reg ão de Rej e ção da H pót ese de Nul dade er r o t po I ou er r o al f a Reg ão de Não Rej e ção da H pót ese de Nul dade Xbc= Var avel : Xb Deve-se observar que ao adotar o crtéro acma, o pesqusador sempre estará sujeto a cometer um de dos erros possíves. Um destes erros, conhecdo como erro tpo I ou erro alfa ( ), se refere à probabldade de rejetar uma hpótese verdadera, no caso a hpótese de nuldade. Na fgura ctada anterormente, o crtéro adotado pelo pesqusador fo que se a méda amostral assumsse um valor menor que,0 metro, então rejetar-se-a a hpótese de nuldade. É exatamente a adoção deste crtéro que pode levar o pesqusador a cometer um erro em sua tomada de decsão, pos como se pode observar na fgura, em uma população que realmente apresenta méda gual a,5 metros, exste uma pequena percentagem de ndvíduos que podem apresentar uma altura méda nferor a,0 metro. No entanto, o pesqusador acaba assumndo que devdo ao fato daquela chance ser muto pequena, ele decde que se uma amostra de elementos apresentar méda menor que,0 metro, ela pertence a uma população com méda nferor à especfcada de,5 metros, conforme é mostrado na fgura a segur. 7

13 Cap Testes de Hpóteses f(xb) cur va par a Ha erro alfa RRHo RNRHo cur va par a Ho er r o bet a 0. 0 m< m= Var avel : Xb med a m< Nesta fgura, pode-se observar duas curvas: a da esquerda quando se assume que a população tem uma méda nferor a especfcada, sto é a curva para a hpótese alternatva (Ha) com m <,5 metros; e a curva da dreta para a stuação em que a população apresenta méda gual à especfcada, ou seja, curva para a hpótese de nuldade (Ho) com méda m =,5 metros. Quando o pesqusador toma a decsão de rejetar a Ho, ele na verdade acaba por conclur que a população de onde fo retrada a amostra pertence aquela população com méda m <,5 metros. Observe, valores nesta regão podem levar a duas conclusões que a rgor ambas estaram corretas, mas a probabldade de encontrar ndvíduos com méda nferor ou gual ao valor crítco, no caso,0 metro, é bem maor numa população com m <,5 metros do que numa população com méda m =,5 metros. É esta dferença nas probabldades que leva o pesqusador a rejetar Ho ao nvés de não rejetá-la. Conforme menconado anterormente, a área sob a curva da hpótese Ho que leva a sua rejeção se refere à probabldade de se rejetar Ho quando Ho é verdadera. Isto fo defndo anterormente como erro alfa. Um racocíno lógco que se tem é tentar fazer este erro ser o menor possível. No entanto, em todo teste de hpóteses exste também um outro erro, conhecdo como erro tpo II ou erro beta (β), o qual aumenta o seu valor à medda que se dmnu o erro alfa. Este erro se refere à probabldade não-rejetar a hpótese Ho quando Ho é falsa (ver fgura anteror). No exemplo que estamos trabalhando, este erro beta será tanto maor, quanto menor for o valor crítco. Se por exemplo, fzermos que o valor crítco para a méda amostral seja gual a 0,9 m, então a nova proporção entre os erros alfa e beta sera conforme fgura a segur. 8

14 EST 0 Estatístca Expermental I/008 f(xb) cur va Ha RRHo RNRHo erro bet a cur va Ho erro al f a Xbc= Var avel : Xb med a Nós acabamos de ver a manera empírca de realzar um teste de hpótese, a qual se basea no fato do pesqusador estabelecer o valor crítco de rejeção da hpótese Ho com base em seu prévo conhecmento do problema. Este procedmento, embora seu forte apelo prátco, traz a desvantagem de não poder estabelecer a prncípo qual sera a probabldade de se cometer o erro tpo I, ou seja, a que nível de sgnfcânca que o teste de hpóteses será realzado. É de consenso que se publque, que nos trabalhos centífcos, a que nível de sgnfcânca um teste de hpóteses fo realzado. Desta forma, é possível comparar os resultados e conclusões de dferentes trabalhos de pesqusa, pos exste uma tendênca que, para determnada área do conhecmento, o nível de sgnfcânca esteja dentro de uma faxa de valores aceto pela maora dos pesqusadores. A determnação do nível de sgnfcânca quando se usa o método empírco é possível, embora computaconalmente não seja uma tarefa fácl, pos envolve a ntegração de funções complexas tas como exponencas, gama, beta, e etc.. Devdo a todas estas razões, o método não-empírco é o mas usado. O procedmento para um teste de hpóteses usando o método não-empírco é smlar ao método empírco. A dferença está bascamente que no método não-empírco, o valor crítco é conhecdo a partr do nível de sgnfcânca estabelecdo e o uso de tabelas estatístcas. Exste uma tabela estatístca aproprada para cada tpo de teste de hpóteses. Estas tabelas fornecem valores crítcos que delmtam regões de rejeção e de nãorejeção de Ho. O valor obtdo de uma ou mas amostras retrada da(s) população(ões) é então usado para calcular o valor de uma estatístca que tem dstrbução de probabldades dêntca àquela usada para dentfcar o valor tabelado. A comparação dos valores calculado e tabelado permte ao pesqusador decdr entre rejetar ou não-rejetar Ho. Os próxmos tens deste capítulo rão tratar sobre alguns testes de hpóteses que usam este método não-empírco. 9

15 Cap Testes de Hpóteses.3. Alguns testes de hpóteses.3. Teste t de Student - Teste para pequenas amostras A aplcação do teste t é ndcada quando o tamanho amostral é gual ou nferor a 30 elementos. Para amostras com tamanho superor a 30, recomenda-se o teste Z. O uso do teste t pressupõe que a característca em análse é normalmente dstrbuída com varânca populaconal desconhecda. O teste t tem três aplcações prncpas: teste para uma méda populaconal, teste para duas médas populaconas e teste para mas que duas médas populaconas. As duas prmeras aplcações vão ser apresentadas neste capítulo. A tercera aplcação será apresentada no Capítulo Teste de hpóteses para uma méda populaconal Este teste é usado para verfcar se a méda de uma característca de uma população assume um valor especfcado, dgamos m o. Para aplcação deste teste devemos seleconar uma amostra aleatóra de tamanho n da população. Dgamos que os elementos amostras sejam; X, X,..., Xn. Com base nestes elementos amostras, calculamos a sua méda,, e seu desvo padrão, s. Estas estatístcas são então utlzadas para calcular o valor de t usando a expressão m0 t = s n Esta estatístca t, tem dstrbução t de Student com n- graus de lberdade, ou seja, é uma dstrbução de probabldades que depende do número de graus de lberdade assocado. A fgura a segur, lustra a dstrbução t para três valores dferentes no número de graus de lberdade. f(t) Var avel : t n

16 EST 0 Estatístca Expermental I/008 As hpóteses num teste t, para uma méda populaconal, são do segunte tpo H 0 : m = m 0 versus H a : m > m 0 ou H a : m < m 0 ou H a : m m 0 Para decdrmos entre Rejetar ou Não-Rejetar H O, comparamos o valor de t com o valor tabelado de t obtdo por t tab = t α ( n ). A tabela apresentada no fnal deste lvro é uma tabela elaborada para testes blateras. Neste caso, para encontrarmos o valor tabelado basta entrar com o valor de α e o respectvo número de graus de lberdade. Por outro lado, se desejarmos realzar um teste unlateral e usarmos uma tabela blateral, devemos entrar na tabela com α como nível de sgnfcânca. Este procedmento garante que realzaremos o teste ao nível de sgnfcânca α como desejado para testes unlateras. Depos de obtdo o valor calculado e o valor tabelado de t, usamos a segunte regra decsóra: - se t t tab então Rejeta-se H o - se t < t tab então Não-Rejeta-se H O. Exercícos.. Em ndvíduos sados, o consumo renal de oxgêno dstrbu-se normalmente em torno de cm 3 /mn. Deseja-se nvestgar, com base em cnco ndvíduos portadores de certa molésta, se esta tem nfluênca no consumo renal médo de oxgêno. Os consumos meddos para os cncos pacentes foram: 4,4,9 5,0 3,7 3,5 Qual a conclusão ao nível de % de sgnfcânca?.. Uma amostra de ses elementos, extraída de uma população normal, forneceu 6 = X 6 = 84,0 e ( X ) = 55, 0 = Deseja-se saber se a méda da população pode ser consderada como superor a. Qual a conclusão, ao nível de 5% de sgnfcânca?.3.. Teste de hpóteses para duas médas populaconas O objetvo deste teste é verfcar se duas populações, dgamos população e população apresentam um mesmo valor médo para uma determnada característca, sto é deseja-se verfcar se m = m. Com esta fnaldade é necessáro obter uma amostra de cada população. Estas duas amostras podem ser relaconadas ou não, ou seja, podem ser dependentes ou ndependentes uma da outra. Esta dstnção no relaconamento das duas amostras gera dos testes dstntos Teste de hpóteses para o caso de duas amostras ndependentes Duas amostras são dtas serem ndependentes quando não exste nada que as relacone. Nesta stuação, os valores amostras foram obtdos em conjuntos amostras dstntos, ou seja, os elementos amostras que orgnaram os valores de uma amostra são dstntos dos elementos amostras que orgnaram a segunda amostra.

17 Cap Testes de Hpóteses Conforme menconado anterormente, para comparar as médas das duas populações, toma-se uma amostra de cada população. Suponha que as amostras geradas sejam X, X,..., X n e X, X,..., X m, onde o tamanho das amostras podem ser dferentes, ou seja, n pode ser dferente de m. Para cada amostra, então calcula-se a sua méda e varânca. Um estmador comum para a varânca é obtdo tomando-se uma méda ponderada das estmatvas de varânca obtdas para as duas amostras. O tamanho da amostra é utlzado como um peso para o cálculo desta varânca méda ponderada. A obtenção de um estmador comum para a varânca pressupõe que a varânca das duas populações sejam dêntcas, ou seja σ =. A fórmula do estmador comum é: σ ( n ) s + ( n ) s s c = n + n em que s e s são as varâncas amostras das populações e, respectvamente. A fórmula geral para o cálculo da varânca amostral é dada por n X n X = = n s = n Uma vez obtdas estas estmatvas, calcula-se o valor da estatístca t dada por: ( ) ( m m ) t = s + c n n Esta estatístca tem dstrbução t de Student com ( n + n ) graus de lberdade. A comparação do valor calculado de t com o valor tabelado dado por t tab = t α ( n + n ), é usada para testar a hpótese de nuldade H 0 : m = m versus H a : m > m ou H a : m < m ou H a : m m A regra de decsão é dêntca ao caso anteror, ou seja: - se t t tab Rejeta-se H o - se t t tab Não-Rejeta-se H O. Exercíco.3. Os dados que seguem referem-se a cnco determnações da resstênca de dos tpos de concreto. Ao nível de 5% de sgnfcânca, há evdênca de que o concreto seja mas resstente que o concreto? Concreto Concreto Teste de hpóteses para o caso de duas amostras dependentes Duas amostras de elementos são dtas serem dependentes quando exste algo que as relacone. Por exemplo, se os valores de duas amostras foram obtdos de um mesmo conjunto de elementos amostras, podemos dzer que as duas amostras de

18 EST 0 Estatístca Expermental I/008 valores são dependentes uma vez que foram tomados de um conjunto de elementos amostras comum. O objetvo neste caso é verfcar se houve alteração na méda de uma população quando a mesma é avalada sob duas condções dferentes. Cada condção representa uma população dstnta, embora se suponha que os elementos populaconas sejam os mesmos nas duas condções. Para verfcar se houve alteração na méda, avala-se uma característca de nteresse do pesqusador num conjunto de elementos amostras tomados ao acaso na população quando a mesma esteja sob a condção. Dgamos que a avalação da característca resulte nos seguntes valores amostras X, X,..., X n. Depos de feta esta avalação, os elementos amostras que orgnaram a prmera amostra, sejam submetdos à condção. Os mesmos elementos amostras são novamente avalados para a mesma característca na nova condção. Dgamos que esta nova avalação resulte nos seguntes valores amostras X, X,..., X n. Se a condção não tver nenhum efeto, espera-se que em méda os valores observados nas duas condções sejam guas. Em termos de desvos, se a alteração das condções não resultasse em nenhum efeto sgnfcatvo, poderíamos dzer que a dferença entre os valores observados na prmera condção e na segunda condção sera em méda gual a zero. Portanto para verfcar se houve alteração na méda de uma população avalada em duas condções dferentes, pode-se testar a hpótese de que o desvo médo ser estatstcamente gual a zero. Portanto, a partr de duas amostras obtém-se uma outra baseada nos desvos, conforme é mostrado a segur. Elemento amostral... n Amostra X X... X n Amostra X X... X n d =X -X d d... d n Apresentado desta forma, o teste t para duas amostras dependentes reduz-se teste t para uma méda populaconal, vsto anterormente. No presente caso, deseja-se testar se a méda dos desvos é gual por exemplo a um valor m 0. Escrevendo em termos de hpóteses estatístcas teríamos H 0 : m = m 0 versus H a : m > m 0 ou H a : m < m 0 ou H a : m m 0 Para decdr entre Rejetar ou Não-Rejetar a hpótese de nuldade, deve-se calcular o valor da estatístca t dada por m0 t = s n em que = n = n d 3

19 Cap Testes de Hpóteses n d n d = = n s = n Sob H o, esta estatístca t tem dstrbução t de Student com n- graus de lberdade. A comparação deste valor calculado com o valor de t tab dado por t tab = t α ( n ). Depos de obtdo os valores calculado e tabelado de t, usamos a segunte regra decsóra: - se t t tab então Rejeta-se H o - se t < t tab então Não-Rejeta-se H O. Exercícos.4. Com o objetvo de avalar se determnado produto químco é efcente para repelr nsetos doméstcos, fo realzada uma contagem do número de nsetos, antes e após a aplcação deste produto químco, em 7 resdêncas. O número de nsetos observado em cada resdênca fo Resdênca Antes da aplcação Após a aplcação Por meo destes dados e ao nível de 5% de probabldade, é possível conclur, em termos médos, que o produto utlzado é efcente para repelr nsetos?.5. Com a fnaldade de testar se determnado método de secagem rápda consegue reduzr sgnfcatvamente a quantdade méda de água de grãos de cereas, uma porção de cada um dos seguntes tpos de cereas: Mlho, Cevada, Trgo, Arroz e Sorgo, fo exposta ao referdo método de secagem. Os resultados obtdos, para o peso da porção (em g) amostrada por cereal, com a realzação do expermento foram: Mlho Cevada Trgo Arroz Sorgo Sem a secagem Com a secagem É possível conclur ao nível de 5% de sgnfcânca que o método de secagem proposto, é efcente para secar os grãos?.3. Teste F para Comparação de Varâncas de Duas Populações Este teste é ndcado para verfcar se duas populações, dgamos e, apresentam gual valor para o parâmetro varânca. Em termos de hpóteses estatístcas teríamos: H 0 : σ = versus H a : H a : H a : σ σ > σ σ < σ σ σ A estatístca F usada para decdr entre Rejetar ou Não-Rejetar Ho é dada pelo quocente entre as duas estmatvas de varânca, ou seja: ou ou 4

20 EST 0 Estatístca Expermental I/008 s F = s Sob a hpótese de nuldade, este quocente tem dstrbução F, de Fsher-Snedecor, com n e n graus de lberdade, ou seja a dstrbução de probabldades da estatístca F depende dos números de graus de lberdade n e n. Um gráfco para a dstrbução F, para três dferentes pares de graus de lberdade é lustrado na fgura a segur. A conclusão do teste é feta medante a comparação do valor de F com o valor de F tab = F α = ( n, n ). Se F F tab Rejeta-se H 0 ao nível α de probabldade. Caso contráro Não- Rejeta-se H O Exercícos.6. Com o ntuto de controlar a homogenedade da produção de certas partes ao longo do tempo, amostras semanas são retradas da produção corrente. Uma prmera amostra, de dez elementos, forneceu méda 84,55 e desvo padrão 0,30, ao passo que, numa segunda amostra, forneceu, nas mesmas undades, os seguntes valores: 84,6 83,9 84,8 85, 84,3 83,7 84,0 Ao nível de 5% de sgnfcânca, podemos conclur que a semana apresentou maor varabldade que a semana?.7. A qualdade de rebtes é tanto melhor quanto maor sua homogenedade. Ses rebtes de duas marcas foram ensaados ao csalhamento, tendo-se obtdo as seguntes cargas de ruptura: 5

21 Cap Testes de Hpóteses Rebte Marca A 34,9 35,5 38,8 39, 33,7 37,6 Marca B 38,5 39,0 40,7 4,9 37,8 4,4 Estes resultados ratfcam a afrmação do produtor da marca B, de que seus rebtes são melhores? Use o nível de 5% de sgnfcânca..4. Exercícos Suplementares.8. Uma fábrca de cerâmca produz um tpo de peça usando o processo A de fabrcação. Com o objetvo de melhorar a méda de resstênca das peças, quando submetdas a determnado grau de temperatura, o processo B fo ntroduzdo. Com os dados amostras abaxo, relatvos à temperatura de rompmento das peças, testar a hpótese H o e conclur para α = 5%. PROCESSO A 90,3 93,4 96,8 9,4 9,6 0,5 03,4 PROCESSO B 0,4 98,5 04,6 95,8 96, 94,6 99,5.9. Um materal solante fo utlzado com a fnaldade de reduzr a temperatura méda nterna em ambentes smlares. Para testar a hpótese H o, 0 ambentes foram seleconados ao acaso e expostos a uma determnada fonte de radação de calor. Testar a hpótese H e conclur para α = 5%. Os dados obtdos (em ºC) são fornecdos abaxo. o AMBIENTE s/solante 30,5 35,3 33, 40,8 4,3 4,5 36,3 43, 34,6 38,5 c/solante 8, 35, 33, 35,6 40, 37,4 34, 4, 30,5 38,4.0. Dos processos que têm por objetvo o controle da temperatura méda nterna em ambentes foram colocados em competção. Para testar a H o, 0 ambentes foram convenentemente preparados. Testar e conclur para α = 5%, consderando os dados abaxo. PROCESSO Temperatura C s/solamento 30,5 35,3 33, 40,8 4,3 4,5 36,3 43, 34,6 38,5 c/solamento 8, 35, 33, 35,6 40, 37,4 34, 4, 30,5 38,4.. Um produto fo desenvolvdo com o objetvo de reduzr a méda da temperatura do funconamento de motores. Para testar o produto, foram seleconados ao acaso 8 motores e após 0 mnutos de funconamento, em cada condção, foram obtdos os dados (em C) do quadro abaxo. Testar a hpótese H e conclur, para α = 5%. o MOTOR SEM PRODUTO 80,5 99,6 83,4 00, 8,5 84,6 85,0 05,8 COM PRODUTO 75,8 98,8 77,6 99,9 74, 80,5 83,6 05,8.. Um expermentador deseja testar o efeto de certo fertlzante na méda de produção de mlho. Para realzar o expermento tnha-se undades expermentas de áreas guas, onde 7 receberam o fertlzante e as outras não; sendo as outras condções mantdas guas. As produções em kg/undade expermental foram as seguntes: 6

22 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Com Fertlzante Sem Fertlzante De posse dos dados acma, pode o expermentador conclur que houve aumento da méda de produção de mlho por causa do fertlzante, com nível de sgnfcânca gual a 5%..3. Desejando comparar os efetos de dos analgéscos A e B, em termos do tempo médo de ação sobre pacentes com certa doença (bastante prolongada), ambos foram aplcados a 4 doentes, em das dferentes, sendo que 7 pacentes receberam prmero o A, e outros 7 prmero o B. A stuação fo controlada de forma a não haver nterferênca do efeto de um sobre o outro. Os resultados (em mnutos) foram: Pacente X A X B Testar a hpótese de dferença nula entre as médas populaconas, ao nível de sgnfcânca gual a %..4. Os dados abaxo se referem aos pesos, em gramas, de ratos machos da raça Wstar com 5 das de dade, segundo a condção normal e submetdos à extrpação do tmo (tmectomzação) aos 4 das de dade. Verfcar se a tmectomzação pora o ganho médo de peso destes anmas, usando α = 5%. Condção Normal 40,3 40,0 39,6 35, 3,0 Tmectomzado 8,6 0,3 3,6, 0,9.5. Em determnada propredade rural, fo avalado o efeto de Suprmento Mneral (SM) na engorda de suínos. Para tanto, tomou-se 4 suínos smlares em peso. Cada anmal recebeu um dos SM. Os resultados obtdos, após certo período de tempo, foram os seguntes: Pesos (Kg) SM SM É possível afrmar ao nível de % de probabldade que o SM promove menor méda de ganho de peso que o SM?.6. Determnada fábrca, nteressada em amplar o seu quadro de pessoal com ndvíduos do sexo que apresentam menor varabldade no tempo gasto para realzar a montagem de determnado equpamento eletrônco, realzou uma pesqusa. Os dados (em mnutos) obtdos são fornecdos abaxo. Ao nível de % de probabldade, pode-se conclur que ndvíduos do sexo masculnos deveram ser contratados porque apresentaram menor varabldade no tempo gasto? Masculno Femnno

23 Cap Testes de Hpóteses.7. Um fazendero, vsando otmzar os recursos de sua propredade e aumentar a méda de produção de lete, realzou uma pesqusa para verfcar se o fornecmento da cama de galnha da sua granja podera substtur, em parte, o fornecmento de ração ao seu gado. Para tanto, segundo as recomendações de um zootecnsta, seleconou um plantel de 0 anmas e obteve os seguntes dados, em kg de lete por da: Ração com cama Ração sem cama De acordo com os resultados obtdos e ao nível de 5% de probabldade, você recomendara o uso de cama de galnha para substtur parte a ração?.8. Por meo dos dados amostras fornecdos abaxo, é possível conclur que a méda salaral de determnada empresa é nferor a R$ 950,00? (use o nível de % de sgnfcânca) Méda 945 N o de ndvíduos 5 avalados Varânca 5.9. Dentre um rebanho de vacas reprodutoras, foram seleconadas ao acaso 0 anmas. Dos anmas seleconados, foram anotadas as produções médas dáras (kg/da) durante o período de amamentação das cras e. Pode-se afrmar que durante a amamentação da a cra ocorre maor produção de lete? Use α = 5% Cra Produção de cada anmal (Kg de lete/da) 5,6 6,3 9,5 4,5 6, 0, 4,6 3, 6, 7, 8,3 6,3 7, 9,8 8,5 9, 8,3 6,5 9,5 9,8.0. Dos novos tpos de embalagens (A e B) foram testados para armazenar extrato de tomate. Uma boa embalagem mantém o ph do extrato de tomate em 7, até três meses após a sua armazenagem. Para comparar estes dos tpos de embalagens, 0 embalagens de cada um dos dos tpos testados, receberam a mesma quantdade de extrato de tomate e foram avalados quanto ao seu ph três meses após a sua armazenagem. Os resultados das avalações são apresentados a segur Embalagem A 6,8 7,0 7, 7,0 7, 7,3 7,4 7,5 7,4 7,4 Embalagem B 7, 7,3 7,4 7,3 7,4 7,6 7,7 7,8 7,6 7,7 Admtndo-se que a varabldade do ph em extratos armazenados nas embalagens A e B é a mesma, pede-se: a. Pode-se conclur que exste dferença sgnfcatva entre as duas embalagens com relação a méda do ph do extrato de tomate três meses após a sua armazenagem? Use o nível de 5% de probabldade. b. Baseado nos seus cálculos do tem a, qual embalagem devera ser recomendada? Justfque. 8

24 EST 0 Estatístca Expermental I/008.. Em humanos é relatvamente comum o hpotrodsmo, a qual é uma defcênca da glândula treóde para produzr certos hormônos. Uma ndústra farmacêutca, vsando testar um novo tpo de droga, realzou uma pesqusa com 6 ndvíduos portadores desta doença. Com tal fnaldade, fez a avalação da dosagem do hormôno H nos ndvíduos portadores da doença antes e depos de serem medcados com a nova droga. Os resultados desta pesqusa são fornecdos a segur Indvíduo Antes Depos Pode-se conclur que a nova droga é capaz de aumentar a dosagem méda do hormôno H ao nível de 5% de sgnfcânca?.. Um fabrcante de componentes eletrôncos elaborou um novo tpo de mcroprocessador. No entanto, é desejável que este novo mcroprocessador tenha velocdade méda de processamento superor a,5 GHz. Para testar o novo mcroprocessador, o fabrcante retrou ao acaso, uma amostra de 6 undades, da qual obteve as seguntes nformações: Processador Velocdade (GHz) 3,0,0 3,7 4,,9 3,8 Méda da velocdade de processamento dos 6 processadores amostrados = 3,08 GHz Desvo padrão da velocdade de processamento dos 6 processadores amostrados = 0,95 GHz Com base nas nformações fornecdas, pergunta-se:.. As hpóteses estatístcas para este problema são a. Ho : m =,5 GHz, Ha : m <,5 GHz b. Ho : m =,5 GHz, Ha : m,5 GHz c. Ho : m =,5 GHz, Ha : m >,5 GHz d. Ho : =,5 GHz, Ha : <,5 GHz e. Ho : =,5 GHz, Ha :,5 GHz f. Ho : m >,5 GHz, Ha : m =,5 GHz g. nenhuma das anterores.. O valor da estatístca t calculada para este problema, ao nível de 5% de probabldade, leva a conclusão de que o novo mcroprocessador possu velocdade méda de processamento a. superor a,5 GHz b. nferor a,5 GHz c. gual a,5 GHz d. nenhuma das anterores..3 O valor da velocdade méda amostral a partr do qual a hpótese H 0 é rejetada é gual a a. =,7 GHz b. =,50 GHz 9

25 Cap Testes de Hpóteses c. = 3,8 GHz d. = 3,50 GHz e. nenhuma das anterores.3. Seleconaram-se aleatoramente oto comprmdos dferentes de cada um de dos remédos antgrpas concorrentes, Dozenol (D) e Nteze (N). Fez-se um teste do conteúdo de acetamnofena em cada um deles, obtendo-se os seguntes resultados (em mg): Dozenol Nteze Ao nível de 5% de sgnfcânca, teste a afrmação de que a quantdade méda de acetamnofena é a mesma nas duas marcas..4. Uma máquna fo regulada para fabrcar placas de 5 mm de espessura, em méda. Incada a produção, fo colhda uma amostra de tamanho 0, que forneceu as seguntes meddas de espessura, em mm: 5, 4,8 5,0 4,7 4,8 5,0 4,5 4,9 4,8 5, Ao nível α = 0,0, pode-se acetar a hpótese de que a regulagem da máquna fo satsfatóra?.5. Um banho de óleo é aquecdo aos poucos e sua temperatura medda de mea em mea-hora por dos termômetros. Tendo-se obtdo os valores abaxo, há dferença entre as ndcações dos dos termômetros, a α = 5%? Termômetro : 38, 44,5 53,0 59,0 66,4 7,3 Termômetro : 37,5 44, 5,6 58,0 66,8 7,4.6. Um aparelho é utlzado para testar a durabldade de lâmpadas, o qual consta de oto soquetes lgados em paralelo e de um reostato lgado em sére com um gerador. Oto lâmpadas da marca A e oto lâmpadas da marca B foram ensaadas nesse aparelho, sob as mesmas condções, fornecendo as seguntes durações, em horas: Marca A: Marca B: Podemos concordar com a afrmação do fabrcante da marca A, de que suas lâmpadas têm maor méda de durabldade que as da marca B (α = %)..7. Dos produtos A e B, foram avalados quanto ao gosto, de acordo com as notas fornecdas por 0 ndvíduos. Admtndo-se os valores (péssmo), (rum), 3 (regular), 4 (bom) e 5 (ótmo) e um nível de sgnfcânca de 5%, qual o melhor produto em termos da méda da nota recebda? Indvíduo: Produto A: Produto B:

26 EST 0 Estatístca Expermental I/ Dos canddatos a um emprego, A e B, foram submetdos a um conjunto de oto questões, sendo anotados os mnutos que cada um gastou na solução. Podemos, ao nível de 5% de sgnfcânca, conclur que B seja mas rápdo que A? Questão Indvíduo A Indvíduo B Numa competção de mercado de lâmpadas fluorescentes, duas marcas alegam para s o título de, em méda, apresentar mas economa de energa. Para sanar esta dúvda, uma assocação de consumdores resolve fazer uma batera de testes com lâmpadas das duas marcas. O resultado do consumo em watts/hora desta batera de testes é fornecdo a segur: Marca Consumo (watts/hora) A B Com base em um teste de hpótese, qual marca de lâmpada a assocação de consumdores devera recomendar? Utlze o nível de 5% de sgnfcânca..30. Suponha que um pesqusador da área de saúde deseja mostrar que os ndvíduos portadores de febre amarela apresentam um teor de glcose nferor à méda de 0 mg dos ndvíduos não portadores. Para tanto, coletou uma amostra de sangue em sete ndvíduos portadores de febre amarela e para cada um deles fez a avalação do teor de glcose, em mg. Os resultados obtdos foram: Indvíduo Teor de glcose Com base em um teste de hpóteses aproprado, qual devera ser a conclusão do pesqusador? Utlze o nível de 5% de sgnfcânca.

27 Cap Contrastes. Contrastes.. Introdução O estudo de contrastes é muto mportante na Estatístca Expermental, prncpalmente quando o expermento em análse é composto por mas do que dos tratamentos. Com o uso de contrastes é possível ao pesqusador estabelecer comparações, entre tratamentos ou grupos de tratamentos, que sejam de nteresse. Este capítulo vsa dar fundamentos para estabelecer grupos de contrastes, obter a estmatva para cada contraste estabelecdo, bem com estmar a varabldade assocada a cada um destes contrastes. Todos os conhecmentos adqurdos neste capítulo serão utlzados no Capítulo 5 para se realzar testes de hpóteses para o grupo de contrastes estabelecdos... Defnções Contraste Consdere a segunte função lnear de médas populaconas de tratamentos C = a + m + am +... aimi C será um contraste entre médas se satsfzer a segunte condção: a 0 Estmador do Contraste Na prátca, geralmente não se conhece os valores das médas populaconas m, mas suas estmatvas. Daí, em Estatístca Expermental, não se trabalhar com o contraste C mas com o seu estmador Ĉ, que também é uma função lnear de médas obtdas por meo de expermentos ou amostras. Assm tem-se que o estmador para o contraste de médas é dado por: Ĉ = a + Exercíco. Num expermento de consórco na cultura do abacax, com 5 repetções, as médas de produção de frutos de abacax (em t/ha), foram as seguntes: + a +... ai I Tratamentos - Abacax (0,90 x 0,30m) monocultvo 53,5 - Abacax (0,80 x 0,30 m) monocultvo 56,5 3 - Abacax (0,80 x 0,30 m) + amendom 6,0 4 - Abacax (0,80 x 0,30 m) + fejão 60,4 Pede-se obter as estmatvas dos seguntes contrastes: C = m + m m 3 m 4 C = m m C 3 = m 3 m 4 I = =

28 EST 0 Estatístca Expermental I/ Meddas de dspersão assocadas a contrastes Consdere o estmador do contraste C, dado por: Ĉ = a + a ai I A varânca do estmador do contraste é dada por: V Ĉ = V a + a a I Admtndo ndependênca entre as médas Sabe-se que: V( ) ( ) ( ) ( = V( a ) + V( a ) +... V( a I I ) ( Ĉ) = a V( ) + a V( ) +... a V( ) V + V + σ =, assm r ( ) I I σ σ σi V Ĉ = a + a ai r r ri Admtndo-se homogenedade de varâncas, ou seja, σ = σ =... = σn = σ, então I a a a ( Ĉ) = I σ = σ a V r r ri = r Na prátca, geralmente, não se conhece a varânca σ, mas sua estmatva a qual obtda por meo de dados expermentas. Esta estmatva é denomnada como estmador comum ( s c ). Então o que normalmente se obtém é o valor do estmador da varânca do estmador do contraste, a qual é obtda por I a Vˆ ( Ĉ) = sc r Exercíco. Por meo dos dados e dos contrastes fornecdos abaxo, obter as estmatvas dos contrastes e as estmatvas das varâncas das estmatvas dos contrastes. r =, = r = 6 r 3 = 4 = 0,5 r 4 = 5 = 3 s = 0,0 c = 0,45 I 4 =,0 C = m + m m 3 m 4 C = m m C 3 = m 3 m 4.4. Contrastes Ortogonas Em algumas stuações desejamos testar um grupo de contrastes relaconados com o expermento em estudo. Alguns tpos de testes ndcados para este objetvo, necesstam que os contrastes, que compõem o grupo a ser testado, sejam ortogonas entre s. A ortogonaldade entre os contrastes ndca ndependênca lnear na comparação estabelecda por um contraste com a comparação estabelecda pelos outros contrastes. Sejam os estmadores dos contrastes de C e C dados, respectvamente, por: = a + a +... ai I Ĉ + 3

29 Cap Contrastes por = b + b +... bi I Ĉ + A covarânca entre Ĉ e Ĉ, supondo ndependênca entre tratamentos, é obtda ( Ĉ,Ĉ ) = a b V( ) + a b V( ) +... a b V( ) Cov + I I I A varânca da méda amostral é dada por: V( ) ( Ĉ,Ĉ ) σ =, para =,,..., I. Logo, r σ σ σi Cov = ab + ab aibi r r ri Admtndo que exsta homogenedade de varâncas entre os tratamentos, ou seja: σ = σ =... = σi = σ, então. I ab ab aibi ( ) = σ ab Cov Ĉ,Ĉ... = σ r r ri = r Sabe-se que, se duas varáves aleatóras são ndependentes, a covarânca entre elas é gual a zero. Assm, se Ĉ e Ĉ são ndependentes, a covarânca entre eles é gual a zero, sto é: Cov( Ĉ,Ĉ ) = 0 Para que a covarânca seja nula, é necessáro, portanto que: I ab = 0. = r Esta é a condção de ortogonaldade entre dos contrastes para um expermento com número dferente de repetções para os tratamentos. Para um expermento com o mesmo número de repetções, satsfazendo as mesmas pressuposções (médas ndependentes e homogenedade de varâncas), a condção de ortogonaldade se resume a: I = a b = 0 Para um expermento com I tratamentos, podem ser formados város grupos de contrastes ortogonas, no entanto cada grupo deverá conter no máxmo (I-) contrastes ortogonas, o que corresponde ao número de graus de lberdade para tratamentos. Dentro de um grupo de contrastes ortogonas, todos os contrastes tomados dos a dos, serão também ortogonas. Exercícos.3. Verfcar se os contrastes do Exercíco. formam um grupo de contrastes ortogonas..4. Verfcar se os contrastes do Exercíco. formam um grupo de contrastes ortogonas. 4

30 EST 0 Estatístca Expermental I/ Métodos para obtenção de grupos de contrastes mutuamente ortogonas Obtenção por Meo de Sstema de Equações Lneares Neste método, deve-se estabelecer, a prncípo, um contraste que seja de nteresse e, a partr deste é que os demas são obtdos. Por meo da mposção da condção de ortogonaldade e da condção para ser um contraste, obtém-se equações lneares, cujas ncógntas são os coefcentes das médas que compõem o contraste. Como o número de ncógntas é superor ao número de equações exstentes, será sempre necessáro atrbur valores a algumas ncógntas. É desejável que os valores a serem atrbuídos, permtam que os coefcentes sejam números nteros. Exercíco.5. Fo nstalado para avalar a produção de 4 híbrdos cujas característcas são apresentadas na tabela a segur. Hbrdo 3 4 Porte Alto Alto Alto Baxo Inco do Florescmento Precoce Tardo Tardo Precoce Índce de acamamento Médo Alto Baxo Médo r Suponha que ao estabelecer as comparações dos híbrdos com relação a produção, seja levado em consderação o porte; o níco do florescmento; o índce de acamamento. Obtenha um grupo de contrastes ortogonas que permta testar as comparações segundo os crtéros ctados. Obtenção por Meo de Regras Prátcas Por meo desta metodologa, é possível estabelecer faclmente um grupo de contrastes ortogonas. A metodologa pode ser resumda nos seguntes passos (BANZATTO e KRONKA, 989): Dvde-se o conjunto das médas de todos os tratamentos do expermento em dos grupos. O prmero contraste é obtdo pela comparação das médas de um grupo contra as médas do outro grupo. Para sso atrbu-se snas postvos para membros de um grupo e negatvos para membros do outro grupo. Dentro de cada grupo formado no passo anteror, que possu mas que uma méda, aplca-se o passo, subdvdndo-os em subgrupos. Repete-se este passo até que se forme subgrupos com apenas uma méda. Ao fnal, deveremos ter formado (I-) comparações. Para se obter os coefcentes que multplcam cada méda que compõem os contrastes estabelecdos, deve-se, para cada contraste: Verfcar o número de parcelas expermentas envolvdas no º grupo, dgamos g, e o número de parcelas expermentas envolvdas no º grupo, dgamos g. Calcula-se o mínmo múltplo comum (m.m.c.) entre g e g. Dvdr o m.m.c. por g. O resultado será o coefcente de cada méda do º grupo. 5

31 Cap Contrastes Dvdr o m.m.c. por g. O resultado será o coefcente de cada méda do º grupo. Multplcar os coefcentes obtdos pelo número de repetções da respectva méda. Se possível, smplfcar os coefcentes obtdos por uma constante. No caso em que o número de repetções é gual para todos os tratamentos, este passo pode ser elmnado. Exercíco.6. Num expermento nteramente casualzado, com 4 repetções, foram comparados os efetos de 5 tratamentos em relação ao crescmento de mudas de Pnus oocarpa, 60 das após a semeadura. Os tratamentos utlzados e os resultados obtdos foram (BANZATTO e KRONKA, 989): Tratamentos Totas Solo de cerrado (SC),0 Solo de cerrado + esterco (SC+E) 7, 3 Solo de cerrado + esterco + NPK (SC+E+NPK) 6,6 4 Solo de cerrado + vermculta (SC+V), 5 Solo de cerrado + vermculta + NPK (SC+V+NPK) 5,6 Obtenha um grupo de contrastes ortogonas entre as médas..7. Suponha agora para o exemplo que os tratamentos e 4 tenham 3 repetções e os tratamentos, 3 e 5 tenham 4 repetções. Obtenha um grupo de contrastes ortogonas entre médas..6. Exercícos Suplementares.8. Dados Tratamentos e os contrastes 5,0 5 8, , ,5 6 C C = m = m m C3 = m + m + m3 3m 4 Admtndo-se que os estmadores das médas sejam ndependentes e que s c = 0,45, pede-se a) Ĉ, Ĉ e Ĉ 3 b) Vˆ ( Ĉ), Vˆ ( Ĉ ), e Vˆ ( Ĉ3 ) c) as estmatvas das covarâncas entre os estmadores dos contrastes, e por meo das mesmas, dzer quas são os contrastes ortogonas entre s. + m m 3 r 6

32 EST 0 Estatístca Expermental I/ Supondo ndependênca entre médas, homogenedade de varâncas entre tratamentos e admtndo que m,m e m3 têm, respectvamente, 5, 3 e 6 repetções, verfcar se os contrastes dados abaxo são ortogonas. C = m m C = m + m m Consdere um expermento com 4 tratamentos e as seguntes nformações: s r C c = 4,0 = r = m = r C = m m + m3 Pede-se: a) Forme um grupo de contrastes ortogonas, a partr dos contrastes C e C, por meo do método do sstema de equações lneares. b) Obtenha Vˆ ( Ĉ ) c) Obtenha V(C ).. Num expermento com 4 tratamentos e 5 repetções, são dados os seguntes contrastes ortogonas: C = m m4 C = m + m + m4 Determnar um contraste C 3 que seja ortogonal a C e C... Com os dados abaxo, obter o contraste C 3 ortogonal aos contrastes C e C. C = m m r = r = m = 4; + m 3 r 4 = 3 3m C = 4m + 5m 9m 4 r = r4 = 5.3. Dado o contraste C = m m m 3, referente a um expermento com 3 tratamentos (r = r = r 3 = 5), obter um contraste ortogonal C em relação a C..4. Dado o contraste C = m m m 3, referente a um expermento com 3 tratamentos (r = r = 4 e r 3 = 5), obter um contraste ortogonal C em relação a C.5. Dado o contraste C = 9m 4m 5m 3, referente a um expermento com 3 tratamentos (r = r = 4 e r 3 = 5), obter um contraste ortogonal C em relação a C..6. Dados os contrastes C = m m 4 e Y = m + m + m 4, referente a um expermento com 4 tratamentos (r = r = r 3 = r 4 = 5), obter um contraste ortogonal C 3 em relação a C e C..7. Dados os contrastes C = m + m + m 3 3m 4 e C = m m + m 3, referente a um expermento com 4 tratamentos (r = r = r 3 = 4 e r 4 = 3), obter um contraste ortogonal C 3 em relação a C e C..8. Dados os contrastes C = m 4m + m 3 + m 4 e C = m m 3, referente a um expermento com 4 tratamentos (r = r 3 = 6, r = 4 e r 4 = 5), obter um contraste ortogonal C 3 em relação a C e C

33 Cap Contrastes.9. Para verfcar o efeto de três tpos de adoçantes no teor de glcose no sangue, fo realzada uma pesqusa em que se mnstrou cada um destes tpos de adoçantes a um determnado grupo de cobaas, por certo período de tempo. Ao fnal deste período, o teor médo de glcose ( ) no sangue fo avalado para cada grupo, obtendo-se os seguntes resultados: Adoçante N o de Cobaas s -Químco Químco Natural A partr dos dados fornecdos acma, pede-se:.9. Desejando-se testar o teor médo de glcose do conjunto de cobaas que recebeu adoçante químco contra o grupo que recebeu adoçante natural, qual sera o contraste aproprado? Qual o valor da estmatva deste contraste?.9. Suponha que seja de nteresse testar a segunte comparação: C = m m 3, no entanto, desejamos testar outros contrastes que sejam ortogonas a C. Obtenha o (s) outro (s) contraste (s) ortogonal (s) necessáro (s) para completar o grupo de contrastes ortogonas a C..0. Num expermento, 4 novos tpos de herbcda foram comparados para verfcar se são efcazes para combater ervas dannhas e assm manter a produção de mlho em níves elevados. Um resumo do expermento é dado a segur Herbcda Méda de produção (kg/ha) Repetções Bológco 46 4 Químco à base de ntrogêno e enxofre Químco à base de ntrogêno e fósforo Químco à base de natvadores enzmátcos 5 4 Suponha que seja de nteresse testar o segunte contraste entre as médas de tratamentos C = 3m m m3 m4. Suponha anda que todos os tratamentos possuam uma mesma varânca e que sua estmatva é gual a 35 ( kg / ha). Pergunta-se: a) Qual a comparação que está sendo feta pelo contraste C? Qual a estmatva para este contraste? b) Por meo da estmatva obtda para o contraste C pode-se AFIRMAR que exsta um grupo melhor de herbcdas do que outro? Justfque a sua resposta. c) Qual a estmatva da varânca para a estmatva do contraste C? d) Forme um grupo de contrastes ortogonas a partr do contraste C. Descreva qual comparação que está sendo feta por cada contraste que você obteve. Baseando-se nos dados amostras fornecdos, obtenha também a estmatva para cada um dos contrastes. 8

34 EST 0 Estatístca Expermental I/008.. Consdere um expermento, onde fo avalada a varável produção (kg/parcela) de quatro tratamentos (adubações), denomnados como: T = Sulfato de Amôno, T = Sulfato de Amôno + Enxofre, T 3 = Ntrocálco e T 4 = Ntrocálco + Enxofre. Os resultados obtdos foram: Tratamentos r Sulfato de Amôno 4,0 4 Sulfato de Amôno + Enxofre 8,0 5 3 Ntrocálco 7,0 4 4 Ntrocálco + Enxofre 5,0 5 s c = 0,75 a) Estabelecer as seguntes comparações de nteresse (as comparações solctadas, não são necessaramente ortogonas): ) Sulfato de Amôno versus Ntrocálco na ausênca de Enxofre ) Sulfato de Amôno versus Sulfato de Amôno + Enxofre ) Ntrocálco versus Ntrocálco + Enxofre b) Sendo dados, com base em outros crtéros, os seguntes contrastes: C = m m C = 4m + 5m + 4m 3 3m 4 Pede-se: ) Obter a estmatva do contraste C. ) Obter a estmatva da varânca da estmatva do contraste C. ) Obter a varânca do contraste C. v) Os contrastes C e C são ortogonas? Justfque a sua resposta. 9

35 Cap 3 Introdução à Expermentação 3. Introdução à Expermentação 3.. Introdução A expermentação tem por objetvo o estudo dos expermentos, sto é, seu planejamento, execução, análse dos dados obtdos e nterpretação dos resultados. 3.. Alguns Concetos Báscos a. Tratamento ou fator: é o método, elemento ou materal cujo efeto desejamos medr ou comparar em um expermento. Exemplos: a) varedades de mlho; b) níves de proteína na ração e c) dferentes temperaturas de pasteurzação do lete. b. Undade expermental: é a undade que va receber o tratamento e fornecer os dados que deverão refletr o seu efeto. Exemplos: a) uma flera de plantas com 3 metros de comprmento no campo; b) um letão e c) um ltro de lete. c. Delneamento expermental: é a manera como os tratamentos são desgnados às undades expermentas. Exemplos: Delneamento Interamente Casualzado (Capítulo 4), Delneamento em Blocos Casualzados (Capítulo 6) e Delneamento em Quadrado Latno (Capítulo 7). d. Esquema: quando em um mesmo expermento são avalados dos ou mas fatores os níves dos fatores podem ser combnados de maneras dferentes. O esquema é justamente a manera utlzada pelo pesqusador ao combnar os níves dos fatores para se obter os tratamentos. Exemplos: Esquema Fatoral (Capítulo 8) e Esquema em Parcelas subdvddas (Capítulo 9). e. Varável resposta: é a varável mensurada usada para avalar o efeto de tratamentos. f. Erro expermental: é o efeto de fatores que atuam de forma aleatóra e que não são passíves de controle pelo expermentador. A pesqusa centífca está constantemente se utlzando de expermentos para provar suas hpóteses. É claro que o procedmento para realzar um expermento vara de acordo com a área para a qual está se fazendo uma pesqusa. Porém, todo expermento deve segur alguns prncípos báscos, para que as conclusões sejam váldas Prncípos Báscos da Expermentação São três os prncípos báscos da expermentação: repetção, casualzação e controle local. Prncípo da Repetção A repetção consste em aplcar o mesmo tratamento a váras undades expermentas, ou seja, consste na reprodução do expermento básco. Não exste uma regra dzendo qual deve ser o número mínmo de repetções. Isto depende do conhecmento do pesqusador sobre o assunto e do conjunto de condções em que será realzado o expermento. Como regra prátca, sugere-se que os expermentos tenham pelo menos 0 undades expermentas e 0 graus de lberdade para o resíduo. Quanto maor é o número de repetções, espera-se que seja maor a precsão do expermento. Em termos estatístcos, o uso do prncípo da repetção tem por fnaldade obter uma estmatva do erro expermental. 30

36 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Prncípo da Casualzação O prncípo da casualzação consste em dstrbur ao acaso os tratamentos às undades expermentas. Este prncípo tem por fnaldade propcar, a todos os tratamentos, a mesma chance de serem desgnados a qualquer uma das undades expermentas, vsando evtar que algum dos tratamentos seja sstematcamente favorecdo ou desfavorecdo por fatores fora de controle do pesqusador. Sendo assm com o uso do prncípo da casualzação, as varações que contrbuem para o erro expermental são convertdas em varáves aleatóras. Do ponto de vsta estatístco, com o uso do prncípo da casualzação em um expermento: a. obtém-se uma estmatva válda do erro expermental; b. fca garantdo o uso de testes de sgnfcânca, pos os erros expermentas atuam de forma ndependente nas dversas undades expermentas. Todo expermento deve conter no mínmo os prncípos báscos da repetção e da casualzação. Prncípo do Controle na Casualzação O uso do prncípo do controle na casualzação só é recomendado quando as undades expermentas não são ou não estão sob condções homogêneas devdo a nfluênca de um ou mas fatores. Para utlzar este prncípo, é necessáro ncalmente dvdr as undades expermentas em blocos de undades de tal forma que dentro de cada bloco haja homogenedade e um número de undades gual ao número de tratamentos do expermento. A dstrbução dos tratamentos as undades é feta então dentro de cada bloco. Daí o nome do prncípo controle na casualzação. A fnaldade, do uso do prncípo do controle na casualzação, é reduzr o efeto do erro expermental através do controle da varação exstente entre as undades expermentas. Espera-se que com o controle na casualzação a estmatva obtda para o erro expermental seja menor Fontes de varação de um expermento Em um expermento podem ocorrer as seguntes fontes de varação: Premedtada É aquela ntroduzda pelo pesqusador com a fnaldade de fazer comparações. Por exemplo: tratamentos. Sstemátca Varações não ntenconas, mas de natureza conhecda. Varação nerente ao materal expermental. Podem ser controladas pelo pesqusador. Por exemplo: heterogenedade do solo, tamanho de semente, etc. Aleatóra São varações de orgem desconhecda, não podendo ser controladas. Consttuem o erro expermental. São devdas a duas fontes: varações no materal expermental e falta de unformdade nas condções expermentas. 3

37 Cap 3 Introdução à Expermentação 3.5. Exercícos 3.. Um expermento deve conter no mínmo o(s) segunte(s) prncípo(s) básco(s) da expermentação: a) repetção b) casualzação c) controle local d) repetção e controle local e) repetção e casualzação f) casualzação e controle local g) nenhuma das respostas anterores 3.. A repetção tem a função de: a) fornecer uma estmatva do erro expermental b) valdar a estmatva do erro expermental c) controlar a heterogenedade das undades expermentas d) nenhuma das anterores 3.3. A casualzação tem a função de: a) fornecer uma estmatva do erro expermental b) valdar a estmatva do erro expermental c) controlar a heterogenedade das undades expermentas d) nenhuma das anterores 3.4. Um extensonsta, desejando comparar 0 rações para ganho de peso em anmas, procedeu da segunte forma: - tomou 0 anmas de uma propredade rural. Estes 0 anmas vsvelmente não eram homogêneos entre s, porque foram orundos de dferentes cruzamentos racas e apresentavam dades dferentes. - as rações que o extensonsta julgou ser as melhores foram desgnadas aos melhores anmas, e as rações que o extensonsta julgou ser as pores foram desgnadas aos pores anmas, de tal forma que cada anmal recebeu uma únca ração. - ao fnal de sua pesqusa, o extensonsta recomendou a ração que proporconou maor ganho de peso nos anmas. Baseado nestas nformações, pergunta-se: 3.4. Quantos e quas foram os tratamentos em teste nesta pesqusa? Justfque sua resposta Qual fo a consttução de cada undade expermental nesta pesqusa? Justfque sua resposta Qual(s) fo(ram) o(s) prncípo(s) básco(s) da expermentação utlzados nesta pesqusa? Justfque a sua resposta É possível estmar o erro expermental nesta pesqusa? Justfque sua resposta A conclusão dada pelo extensonsta ao fnal da pesqusa, é estatstcamente acetável? Justfque a sua resposta. 3

38 EST 0 Estatístca Expermental I/ Um boquímco desejando verfcar qual entre 5 enzmas (dentfcadas como E, E, E3, E4 e E5) produz maores fragmentos de DNA de células eptelas de cobaas, realzou o segunte ensao: - seleconou um conjunto de 5 cobaas (sstematcamente dentfcadas como,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3, 4 e 5) que eram supostamente homogêneas para as característcas essencas; - de cada uma das 5 cobaas, tomou uma amostra de tecdo eptelal de cada um dos seguntes membros: superor, medano e nferor. Procedeu posterormente a uma mstura das amostras coletadas dos três membros, denomnada de amostra composta; - cada amostra composta fo convenentemente tratada para a extração do DNA. A amostra obtda contendo apenas o DNA fo denomnada amostra genômca. As amostras genômcas foram dentfcadas de acordo com o número da cobaa que a orgnou, ou seja, a amostra genômca dentfcada como C, conteve DNA extraído da cobaa ; a amostra genômca dentfcada como C, conteve DNA extraído da cobaa ; e assm por dante. Ao fnal obteve-se as amostras genômcas C, C, C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9, C0, C, C, C3, C4 e C5; - cada uma das amostras genômcas fo tratada com um tpo de enzma. A dstrbução das enzmas às amostras fo feta da segunte forma sstemátca: E fo destnada às amostras genômcas C, C e C3; E fo destnada às amostras genômcas C4, C5 e C6; E3 fo destnada às amostras genômcas C7, C8 e C9; E4 fo destnada às amostras genômcas C0, C e C; e E5 fo destnada às amostras genômcas C3, C4 e C5; - uma amostra de ml de cada substrato químco dos fragmentos de DNA fo colocado para correr em um gel. O tempo, em mnutos, gasto por cada uma das 5 amostras para percorrer a dstânca de 5 cm fo regstrado para comparar o efeto das enzmas E, E, E3, E4 e E5. Com base nas nformações fornecdas deste ensao e das explcações fornecdas em sala de aula, pergunta-se: 3.5. Quas foram os tratamentos em teste neste expermento? Justfque a sua resposta Neste expermento os tratamentos surgram de uma forma aleatóra, premedtada ou sstemátca? Justfque a sua resposta Qual fo a undade expermental nesta pesqusa? Justfque a sua resposta O prncípo da repetção fo utlzado nesta pesqusa? Justfque a sua resposta. Em caso afrmatvo, explque porque dferentes observações obtdas para um mesmo tratamento não são guas. Em caso negatvo, faça uma análse crítca quanto à necessdade do uso de repetções num expermento O prncípo da casualzação fo utlzado nesta pesqusa? Justfque a sua resposta O prncípo do controle local fo utlzado nesta pesqusa? Justfque a sua resposta. Em termos geras, quando que o prncípo do controle local deve ser utlzado em um expermento? É possível estmar o erro expermental nesta pesqusa? Justfque a sua resposta. Em caso afrmatvo, a estmatva do erro expermental é válda? Justfque a sua resposta. Em caso negatvo, ndque o que devera ser feto de dferente neste ensao para ser possível estmar o erro expermental. Justfque a sua resposta Neste ensao, qual fo a varável resposta utlzada para comparar os efetos de tratamentos? Justfque a sua resposta. 33

39 Cap 3 Introdução à Expermentação 3.6. Um pesqusador desejava comparar os efetos que 8 tpos de óleo têm sobre o teor de gordura total em preparos de maonese. Com esta fnaldade, esse pesqusador procedeu da segunte forma: - para a avalação do teor de gordura total, o pesqusador tnha à sua dsposção 8 boquímcos. Devdo à falta de experênca dos boquímcos, o pesqusador tema que a medção dos mesmos pudesse nterferr na comparação dos tpos de óleo. Vsando controlar esta fonte de varação, o pesqusador decdu que cada um dos 8 boquímcos devera fazer a medção do teor de gordura dos preparos de maonese produzdos utlzando os 8 tpos de óleo; - baseado em expermentos anterores, o pesqusador saba que, apesar do controle de qualdade, hava varação entre os lotes de substrato de preparos de maonese. O substrato de preparo da maonese é o composto que tem todos os ngredentes do preparo da maonese, exceto o óleo. Como um lote de substrato não sera sufcente para testar os 8 tpos de óleo em todas as repetções desejadas, o pesqusador decdu que preparara 8 lotes de substrato e dvdra cada lote em 8 partes guas. Cada uma das 64 partes, assm obtdas, sera denomnada de amostra básca; - fo então realzada uma dstrbução ao acaso dos 8 tpos de óleo às amostras báscas, tendo as seguntes restrções na casualzação: a ) cada tpo de óleo devera ser aplcado em uma únca amostra básca de cada um dos 8 lotes de substrato. a ) os 8 tpos de preparo de maonese obtdos msturando cada uma das amostras báscas com cada um dos 8 tpos de óleo, deveram ser avaladas por cada um dos 8 boquímcos; No local que fo conduzdo o expermento, o pesqusador constatou que, após certo tempo do expermento ter sdo nstalado, houve uma pequena contamnação por fungo em algumas undades expermentas. O pesqusador, usando do seu conhecmento técnco na área, julgou que a contamnação não comprometera os resultados obtdos no expermento. Baseando-se nestas nformações, responda com objetvdade e clareza, as seguntes perguntas: 3.6. Quas foram os tratamentos em teste? Justfque a sua resposta Como você classfcara a fonte de varação contamnação por fungo, observada nesse expermento? Justfque a sua resposta Qual fo a undade expermental utlzada nesta pesqusa? Justfque a sua resposta O prncípo da repetção fo utlzado nesta pesqusa? Se sua resposta for afrmatva, responda qual fo o número de repetções utlzado. Se a sua resposta for negatva, responda se o procedmento do pesqusador está correto O prncípo da casualzação fo utlzado nesta pesqusa? Justfque a sua resposta O prncípo do controle local fo utlzado nesta pesqusa? Se a sua resposta for afrmatva, explque como este prncípo fo utlzado. Se a sua resposta for negatva, explque por que não houve a necessdade da utlzação deste prncípo Qual fo a característca utlzada pelo pesqusador para avalar o efeto de tratamentos neste expermento. Justfque a sua resposta. 34

40 EST 0 Estatístca Expermental I/ Um fabrcante de móves realzou um expermento para verfcar qual dentre cnco marcas de vernz proporcona maor brlho. Com esta fnaldade, procedeu da segunte forma: - Em sua fábrca dentfcou amostras de madera que estaram dsponíves para a realzação deste expermento. Verfcou que possuía cnco tábuas de Jatobá, cnco tábuas de Cerejera, cnco tábuas de Mogno, cnco tábuas de Goabão e cnco tábuas de Castanhera. Constatou também que as cnco tábuas de cada tpo de madera eram homogêneas para as característcas essencas e que hava uma grande varedade de cores entre os cnco tpos de madera (Jatobá, Cerejera, Mogno, Goabão e Castanhera). Sabe-se que a cor da madera pode nfluencar muto o brlho da mesma quando envernzada; - Resolveu então dstrbur ao acaso as cnco marcas de vernz às tábuas de madera, de tal forma que cada tpo de madera fosse testada com todas as marcas de vernz; - O brlho fo meddo por meo de um aparelho que mede a refletânca da luz branca projetado sobre a tábua de madera envernzada; Baseado nas nformações deste expermento, pergunta-se: Qual fo a undade expermental utlzada neste expermento? Justfque a sua resposta Quas foram os tratamentos comparados neste expermento? Justfque a sua resposta Quas foram os prncípos báscos da expermentação utlzados neste expermento? Justfque a sua resposta É possível estmar o erro expermental neste expermento? Justfque a sua resposta. Se a resposta for afrmatva, a estmatva do erro é válda? Justfque. Se a resposta fo negatva, explque o que devera ser feto para obter uma estmatva válda para o erro expermental O que faz surgr o erro num expermento? É possível elmnar totalmente o efeto do erro expermental em um expermento? Justfque a sua resposta O procedmento adotado pelo pesqusador de dstrbur as marcas de vernz ao acaso dentro de cada tpo de madera fo realmente necessáro? Justfque a sua resposta Um pesqusador de uma ndústra de almentos desejava verfcar se ses sabores de sorvete apresentavam o mesmo o teor de glcose. O pesqusador, baseado em expermentos anterores, saba que duas outras fontes de varação ndesejáves poderam nfluencar o valor mensurado do teor de glcose: o tpo de recpente utlzado para armazenagem do sorvete e o equpamento utlzado para mensuração do teor de glcose. Para controlar estas duas fontes de varação o pesqusador decdu que cada sabor devera ser avalado em cada um dos ses equpamentos dsponíves; e armazenado em cada um dos ses tpos de recpentes dsponíves. Com esta fnaldade, o pesqusador planejou o expermento da segunte manera: - preparar 6 lotes de 00 ml de cada sabor. O total de lotes a serem preparados sera de 36 lotes; - os lotes de sorvetes deveram ser dstrbuídos ao acaso aos recpentes, com a restrção de que cada tpo de recpente recebesse todos os 6 sabores uma únca vez; 35

41 Cap 3 Introdução à Expermentação - os lotes de sorvetes seram desgnados ao acaso aos equpamentos para a análse do teor de glcose, com a restrção de que cada equpamento avalasse cada um dos ses sabores uma únca vez. Baseando-se nestas nformações, pergunta-se: Quas foram os tratamentos em teste neste expermento? Justfque a sua resposta O prncípo da repetção fo utlzado neste expermento? Justfque a sua resposta O prncípo do controle local fo utlzado neste expermento? Justfque a sua resposta. Se a resposta for afrmatva, quantas vezes o mesmo fo utlzado? Se a resposta for negatva, dscuta sobre a necessdade do mesmo ser utlzado neste expermento. 36

42 EST 0 Estatístca Expermental I/ Delneamento Interamente Casualzado 4.. Introdução No Delneamento Interamente Casualzado (DIC) a dstrbução dos tratamentos às undades expermentas é feta nteramente ao acaso. Os outros delneamentos expermentas, por exemplo: blocos casualzados e quadrado latno, se orgnam do DIC pelo uso de restrção na casualzação. O DIC utlza apenas os prncípos báscos da repetção e da casualzação. Como não faz restrções na casualzação, o uso do DIC pressupõe que as undades expermentas estão sob condções homogêneas. Estas condções homogêneas geralmente são obtdas em locas com ambentes controlados tas como laboratóros, estufas e casas de vegetação. 4.. Quadro de tabulação dos dados A título de exemplo, consdere um expermento nstalado no DIC com I tratamentos e J repetções. A coleta de dados da pesqusa pode ser resumda, num quadro do tpo a segur: Tratamentos Repetções... I Y Y... Y I Y Y... Y I J Y J Y... J Y IJ Totas T T... T I Deste quadro pode-se retrar algumas nformações de nteresse: - n o de undades expermentas: N = I x J I,J I - Total geral: G = Yj = T = Y =,j = = - Total para o tratamento : T = Yj = Y J j= T - Méda para o tratamento : = J G - Méda geral do expermento: =. IJ 4.3. Modelo estatístco Exste um modelo estatístco específco para cada tpo de delneamento. O modelo estatístco dentfca quas são as fontes de varação dos valores de uma varável resposta em estudo. Para os dados orundos de um expermento nstalado segundo o DIC, o segunte modelo estatístco deve ser utlzado nas análses estatístcas: Y = m + t + e j j 37

43 EST 0 Estatístca Expermental I/008 em que, Y j é o valor observado para a varável resposta obtdo para o -ésmo tratamento em sua j-ésma repetção; m méda de todos os valores possíves da varável resposta; t é o efeto do tratamento no valor observado Y; j t = m m e é o erro expermental assocado ao valor observado j ej = Yj m O erro expermental ocorre em todos os expermentos, porque não é possível controlar o efeto de fontes de varações que ocorrem de forma aleatóra e desconhecda. Este erro é o responsável pela varação observada entre as observações obtdas nas repetções para cada tratamento Análse de Varânca É uma técnca de análse estatístca que permte decompor a varação total, ou seja, a varação exstente entre todas as observações, na varação devdo à dferença entre os efetos dos tratamentos e na varação devdo ao acaso, que também é denomnada de erro expermental ou resíduo. No entanto, para que esta técnca seja empregada é necessáro que sejam satsfetas as seguntes pressuposções: a ) os efetos do modelo estatístco devem ser adtvos; a ) os erros expermentas devem ser normalmente dstrbuídos, ndependentes, com méda zero e com varânca comum. Partndo do modelo estatístco, pode-se decompor a varação entre os valores observados nas dferentes causas de varabldade, como demonstrado a segur: Consdere o modelo estatístco para um expermento nstalado segundo o DIC: Y j = m + t + ej fazendo t = m m e e j = Y j m, tem-se: Y j m = ( m m) + ( Y j m ), substtundo m, m e e por seus estmadores tem-se: j ( ) + ( Y ) Y j = j, elevando ambos os membros ao quadrado ( Y ) [( ) ( )] j = + Yj, aplcando somatóro Y; j I,J I,J ( j ) = [ ( ) + ( Yj )] =,j = Y, =,j = I,J I,J I,J I,J ( Y j ) = ( ) + ( Yj ) + =,j = =,j = =,j = pode-se verfcar que: duplos produtos = 0. I,J =,j = =,j = duplos produtos Escrevendo de uma forma mas smplfcada a gualdade anteror temos: SQTotal = SQTrat + SQRes Por meo das fórmulas obtdas anterormente, pode-se obter os valores para as respectvas somas de quadrados. No entanto, essas fórmulas demandam mutos cálculos. 38

44 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Fórmulas de mas fácl aplcação podem ser obtdas, conforme é mostrado a segur. Incalmente trabalharemos com a fórmula da SQTotal. Tem-se que: SQTotal = desenvolvendo o quadrado perfeto, I,J ( Y j ) =,j = I,J I,J ( Y j ) = ( Yj Yj + ) =,j = =,j = aplcando-se as propredades de somatóro, temos: I,J I,J I,J I,J ( Y j ) = Yj Yj + =,j = =,j = =,j = =,j = I,J I,J I,J ( Y j ) = Yj Yj + IJ =,j = =,j = =,j = I,J =,j = =,j = Yj =,j = A méda geral pode ser escrta como: =, assm IJ I,J I,J I,J I,J Yj I,J Yj =,j = =,j = ( Yj ) = Yj Yj + IJ,j,j IJ = = = = =,j = IJ smplfcando tem-se, I,J I,J Y Y j j I,J I,J,j,j ( Yj ) = = = = = Yj + =,j = =,j = IJ IJ fnalmente temos: I,J Y j I,J I,J =,j = SQTotal = ( Yj ) = Yj IJ que é a fórmula mas prátca para se calcular a SQTotal. Para a SQTratamentos tem-se: SQTrat = desenvolvendo o quadrado perfeto, I,J ( ) =,j = I,J I,J ( ) = ( + ) =,j = =,j = aplcando-se as propredades de somatóro, temos: I,J ( ) = + =,j = I,J I,J I,J =,j = =,j = =,j = ( ) = J J =,j = I = = I I,J + IJ A méda geral e a méda para tratamentos podem ser escrtas respectvamente como: 39

45 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Yj =,j = = e IJ substtundo na expressão anteror, tem-se: sabe-se que T I,J ( ) =,j = = J Y j j= I,J ( ) =,j = smplfcando, tem-se. I,J, então = J = J ( ) =,j = I,J I,J Y T = J I j I T =,j = J = J IJ = I = = T J I = T J I,J j =,j = IJ Y I,J J IJ I,J j =,j = Y j =,j = T + IJ J J Y + + IJ I,J I,J j =,j = IJ I,J Y j =,j = Y j =,j = fnalmente tem-se: I,J Yj I,J I T =,j = SQTrat = ( ) = =,j = = J IJ A fórmula anteror é utlzada quando o número de repetções é gual para todos os tratamentos. No caso em que o número de repetções vara de acordo com o tratamento a fórmula aproprada é em que, SQTrat = I = N é o número de undades expermentas = r I,r j =,j = Y N r é número de undades expermentas do tratamento. A Soma de Quadrados do Resíduo (SQRes) é obtda por dferença, SQRes = SQTotal - SQTrat O quadro da análse de varânca, geralmente denotada por ANOVA (ANalyss Of VArance) para a análse de um expermento nstalado segundo o DIC, com gual número de repetções para todos os tratamentos é do segunte tpo: T r I = IJ IJ Y 40

46 EST 0 Estatístca Expermental I/008 FV GL SQ QM F F tab; α Tratamentos (I-) SQTrat SQTrat QMTrat I QMRes [(I-); I(J-)] Resíduo I(J-) SQRes SQRes I( J ) Total IJ - SQTotal A partr das SQTrat e SQRes, obtém-se os respectvos quadrados médos, por meo do quocente entre a soma de quadrados com o respectvo número de graus de lberdade. Para se conclur se exste dferença entre tratamentos, calcula-se o valor de F, que é obtdo pelo quocente do QMTrat com o QMRes. Este valor de F calculado deve ser comparado com o valor de F tabelado, o qual é obtdo na tabela de dstrbução da varável aleatóra F, de acordo com o nível de sgnfcânca do teste, graus de lberdade para tratamentos e graus de lberdade para resíduo. As hpóteses para o teste F da análse de varânca para tratamentos são as seguntes: H0 : m = m =... = mi = m, o que equvale a dzer que todos os possíves contrastes entre as médas dos tratamentos, são estatstcamente nulos, ao nível de probabldade que fo executado o teste. H a : não H 0, o que equvale a dzer que exste pelo menos um contraste entre as médas dos tratamentos, estatstcamente dferentes de zero, ao nível de probabldade que fo realzado o teste. A regra decsóra para o teste F é a segunte: - se o valor do F calculado for maor ou gual ao valor do F tabelado, então rejeta-se H 0 e conclu-se que os tratamentos tem efeto dferencado ao nível de sgnfcânca em que fo realzado o teste; - se o valor de F calculado for menor que o valor do F tabelado, então não rejeta-se H 0 e conclu-se que os tratamentos têm efetos guas ao nível de sgnfcânca em que fo realzado o teste Coefcente de Varação O coefcente de varação é calculado da segunte manera: CV = QMRes 00 O CV é utlzado para avalação da precsão de expermentos. Quanto menor o CV mas precso tende a ser o expermento. A título de classfcação geral pode-se utlzar a segunte tabela C.V. Avalação Precsão < 0% Baxo Alta 0 a 0% Médo Méda 0 a 30% Alto Baxa >30% Muto Alto Muto Baxa Porém o valor do CV não tem nada de absoluto, pos exste uma varabldade nerente a cada área de pesqusa. Por exemplo, expermentos realzados em locas com 4

47 EST 0 Estatístca Expermental I/008 ambente controlado geralmente são mas precsos e podem apresentar CV menores que 5% Vantagens e Desvantagens do delneamento nteramente casualzado Vantagens a) não exstem exgêncas quanto ao número de tratamentos e repetções; b) é o delneamento expermental que apresenta o maor valor para o número de graus de lberdade assocado ao resíduo. Desvantagens a) não é fácl consegur e manter total homogenedade das condções durante a toda a realzação do expermento; b) todas as varações exceto a devda a tratamentos, são consderadas como sendo varações que ocorrem ao acaso. Isto pode acarretar em uma estmatva muto alta para o erro expermental Exercícos 4.. Para comparar a produtvdade de quatro varedades de mlho, um agrônomo tomou vnte parcelas smlares e dstrbuu, nteramente ao acaso, cada uma das 4 varedades em 5 parcelas expermentas. A partr dos dados expermentas fornecdos abaxo, é possível conclur que exste dferença sgnfcatva entre as varedades com relação a produtvdade, utlzando o nível de sgnfcânca de 5%? Varedades A B C D Totas Médas Um trenador de corrda rústca, objetvando melhorar o desempenho de seus atletas, testou três novas técncas de preparação. Para tanto trabalhou com um grupo de 5 atletas completamente homogêneos para as característcas essencas. A desgnação das técncas de preparação aos atletas fo feta totalmente ao acaso e de tal forma que o número de atletas avalados em cada uma das técncas fosse o mesmo. Os resultados obtdos, após um determnado período de tempo de aprendzado da técnca pelos atletas, foram os seguntes (mnutos / 5 Km): 4

48 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Técncas de Preparação Repetções Totas De acordo com os resultados obtdos, pede-se. a) Quas foram os Prncípos Báscos da Expermentação utlzados pelo pesqusador neste expermento? b) Qual fo a undade expermental nesta pesqusa? c) É possível conclur que exste dferença entre as técncas de preparação com relação ao tempo médo gasto para percorrer a dstânca de 5 km? ( α = % ) d) Qual sera a técnca a ser recomendada? 4.3. Com o objetvo de dmnur o consumo dos motores à gasolna, uma determnada ndústra petroquímca testou 4 novas formulações de gasolna, as quas se dferencavam pelo tpo de adtvo que era acrescentado à mesma durante o seu processo de fabrcação. Para efetuar o teste, a ndústra petroquímca utlzou carros completamente homogêneos para todas as característcas. A desgnação das formulações aos carros fo feta nteramente ao acaso. Após os testes de rodagem, os resultados obtdos foram (km/l): Adtvo a base de Ácdo Forte Ácdo Fraco Base Forte Base Fraca Médas 4,8 6,56 0,06 0,09 Nº de carros SQResíduo=6,064 Com base nos resultados acma, pede-se: a) Exste dferença entre os 4 tpos de formulações? ( α = 5% ) b) Estabeleça um contraste entre o grupo à base de formulação ácda contra o grupo à base de formulação básca. Obtenha a estmatva para este contraste. c) Estabeleça um contraste para comparar adtvos de formulação ácda. Obtenha a estmatva para este contraste. d) Estabeleça um contraste para comparar adtvos de formulação básca. Obtenha a estmatva para este contraste Com o objetvo de verfcar se a parótda tem nfluênca na taxa de glcose no sangue, em ratos, um expermento no DIC fo realzado. Vnte e quatro ratos machos da raça W foram escolhdos aleatoramente e separados em três grupos. Os dados referentes as taxas de glcose, em mlgramas por 00 ml de sangue, segundo o grupo, em ratos machos com 60 das de dade são dados abaxo: Parotdectomzado 96,0 95,0 00,0 08,0 0,0 0,5 97,0 9,5 Pseudoparotdectomzado 90,0 93,0 89,0 88,0 87,0 9,5 87,5 85,0 Normal 86,0 85,0 05,0 05,0 90,0 00,0 95,0 95,0 Usando α = 5%, testar a hpótese de que as médas relatvas aos três grupos são guas, e conclur. 4.5.O resultado das vendas efetuadas por 3 vendedores de uma ndústra de pestcdas durante certo período é dado a segur. Ao nível de 5% de probabldade e consderando os 43

49 EST 0 Estatístca Expermental I/008 vendedores como tratamentos de um D.I.C., verfque se há dferença de efcênca entre os vendedores. Vendedores A B C Totas Baseado nas nformações fornecdas abaxo e supondo que os tratamentos que possuem as maores médas são os desejados, pergunta-se: Qual(s) tratamento(s) deve(m) ser recomendado(s)? Justfque a sua resposta. Use o nível de % de sgnfcânca. Médas de tratamentos: FV GL SQ QM F Tratamentos 4,80 7,40 Resíduo Total 4 78,40 = 8,6 = 8,4 3 = 30, Os seguntes dados referem-se a ganhos de peso, em kg, de anmas durante um período expermental. Repetções Rações 3 4 Totas A 7, 8,9 6,0 7,0 9,0 B 6, 8,8 4,9 6, 6,0 C 6,0 5,0 9, 3,9 4,0 D, 0,8 0,,9 44,0 E 7,0,3 0,0,7 40,0 63,0 Tas dados são descrtos segundo o modelo estatístco: Y j = m + t + e j. Baseando nas nformações fornecdas, pede-se: Proceda a análse de varânca dos dados (use α = 5%) De acordo com o resultado do teste F, pode-se conclur que exste efeto sgnfcatvo de rações com relação ao ganho de peso médo proporconado pelas mesmas? Proponha um contraste que compare as rações B e C juntas contra as rações D e E. Obtenha a estmatva para este contraste Calcule o coefcente de varação e nterprete-o. 44

50 Cap 5 Comparações Múltplas 5. Procedmentos para Comparações Múltplas 5.. Introdução O fator ou fatores em avalação em um expermento podem ser classfcados como qualtatvo ou quanttatvo. Um fator quanttatvo é aquele onde cada nível é descrto por uma quantdade numérca em uma escala. Como exemplos tem-se temperatura, umdade, concentração de um prncípo atvo, níves de nsumo, ph, etc... Para estudar o efeto deste tpo de fator recomenda-se realzar uma análse de regressão, assunto que será abordado no Capítulo 0. Por outro lado, um fator qualtatvo é aquele onde os níves dferem por algum atrbuto qualtatvo. Como exemplos têm-se varedades, tpos de defensvos, métodos de conduzr uma determnada tarefa, etc. Para estudar o efeto deste tpo de fator, deve-se proceder à análse de varânca dos dados e, se for convenente, proceder às comparações entre as médas dos níves do fator usando algum dos procedmentos para comparações múltplas descrtos neste capítulo. A análse de varânca, conforme vsto no capítulo anteror, serve para verfcar se exste alguma dferença sgnfcatva entre as médas dos níves de um fator a um determnado nível de sgnfcânca. Se o teste F para a fonte de varação que representa o fator em estudo for não-sgnfcatva, ou seja, a hpótese de nuldade (H o : m = m =... = m I ) não for rejetada, todos os possíves contrastes entre médas de tratamentos são estatístcamente nulos. Neste caso, não é necessáro a aplcação de nenhum procedmento de comparações múltplas. Por outro lado se o teste F for sgnfcatvo, ou seja a hpótese de nuldade for rejetada, mplca que exste pelo menos um contraste entre médas estatstcamente dferente de zero. Os procedmentos de comparações múltplas a serem vstos neste capítulo, vsam dentfcar qual(s) é(são) esse(s) contraste(s), para podermos por conseqüênca dentfcarmos qual(s) é(são) o(s) nível(s) do fator em estudo que apresentou(ram) maor(es) méda(s). Dentre os dversos testes exstentes na lteratura, serão vstos os quatro testes mas comumente utlzados. Estes testes podem ser dvddos em duas categoras prncpas de acordo com os tpos de contrastes que podem ser testados: a ) Procedmentos para testar todos os possíves contrastes entre duas médas dos níves do fator em estudo a) Teste de Tukey b) Teste de Duncan a ) Prodedmentos para testar todos os possíves contrastes entre médas dos níves do fator em estudo a) Teste t de Student b) Teste de Scheffé Todos os procedmentos se baseam no cálculo de uma dferença mínma sgnfcatva (dms). A dms representa o menor valor que a estmatva de um contraste deve apresentar para que se possa consderá-lo como sgnfcatvo. Por exemplo, para um contraste entre duas médas, a dms representa qual é o menor valor que tem que ser detectado entre as suas estmatvas para que se possa conclur que os dos tratamentos produzam efetos sgnfcatvamente dferentes. 45

51 EST 0 Estatístca Expermental I/008 A prncípo um determnado contraste, por exemplo, entre duas médas podera ser testado por cada um dos procedmentos aqu apresentados. A conclusão a respeto da sgnfcânca do contraste pode varar de um procedmento para outro, pos o valor da dms vara de um teste para outro, pos cada um se basea numa dstrbução de probabldades específca. Devdo a esta possbldade na dferença de conclusões a respeto da sgnfcânca do contraste, nós podemos dzer que um teste é mas conservador (ou rgoroso) que o outros. Na estatístca dzemos que um teste é mas conservador que o outro quando a dms dele é maor, pos ele tende a conservar a hpótese de gualdade entre médas como verdadera. Isto porque quanto maor a dms mas dfícl se torna rejetar a hpótese de nuldade. Este maor ou menor conservadorsmo de um teste pode ajudar o pesqusador a escolher um procedmento de comparação múltpla. Se por exemplo, por experênca própra o pesqusador sabe que as dferenças entre os efetos dos níves do fator em teste são pequenas e ele deseja detectar estas pequenas dferenças, então ele deve usar um procedmento menos conservador, ou seja, que apresenta uma menor dms. Se por outro lado, ele quer conclur que os níves do fator têm efetos dferentes somente quando a dferença nos seus efetos for realmente grande, então ele deve usar um teste mas conservador, ou seja, com maor dms. Vamos ver a partr de agora cada procedmento com mas detalhe. Consdere para tanto, que estamos nteressados em comparar as médas dos I níves de um fator qualtatvo, as quas foram obtdas a partr da realzação de um expermento no delneamento nteramente casualzado com J repetções, para o qual o teste F para fator fo sgnfcatvo; e que o número de graus de lberdade para o fator em estudo fo gual a n e para o resíduo fo gual a n, ou seja, FV GL SQ QM F Fator I- SQFator QMTrat sgnfcatvo Resíduo I(J-) SQRes QMRes Total IJ - SQTotal 5.. Alguns Procedmentos Para Comparações Múltplas Dentre város procedmentos exstentes para comparações múltplas, serão apresentados quatro: teste de Tukey, teste de Duncan, teste t de Student e teste de Scheffé. Teste de Tukey O teste de Tukey, pode ser utlzado para comparar a totaldade dos contrastes entre duas médas, ou seja, para os I(I )/ contrastes do tpo C=m m u ; para < u I, em que I é o número de níves do fator em estudo. Este teste basea-se na dferença mínma sgnfcatva (d.m.s.) representada por e dada por: = q Vˆ em que, = q (I,n ) é o valor tabelado da ampltude total estudentzada, que é obtdo em q α ( Ĉ) função do nível α de sgnfcânca do teste, número de níves do fator em estudo (I) e número de graus de lberdade do resíduo (n ) da análse de varânca. 46

52 Cap 5 Comparações Múltplas Vˆ ( ) Ĉ = QMRes + r r u No caso em que todos os tratamentos apresentaram o mesmo número de repetções, ou seja, r = r u = K, o valor de é smplfcado com a segunte expressão = q QMRe s K Para a realzação do teste Tukey,a um nível de sgnfcânca α, é necessáro:. enuncar as hpóteses: H 0 : C = 0 vs H a : C 0, em que C = m m u, para u;. obtenção das estmatvas dos contrastes, Ĉ = u, com base nos valores amostras; 3. cálculo do ; 4. conclur a respeto da sgnfcânca dos I(I )/ contrastes em teste, usando a segunte relação: se Ĉ, rejeta-se H 0 ; caso contráro, não se rejeta H 0. Neste caso, ndcar as médas guas, segudas por uma mesma letra. Consderações:. O teste de Tukey é váldo para a totaldade dos contrastes de duas médas.. O teste de Tukey exge, em prncípo, balanceamento. Mas, no caso dos tratamentos apresentarem números de repetções dferentes, o resultado obtdo por este teste é apenas uma aproxmação. 3. O teste de Tukey é exato para testar a maor dferença, nos demas casos é conservador. Teste de Duncan Tal como o teste de Tukey, o teste de Duncan é um procedmento seqüencal, váldo para a totaldade dos contrastes de duas médas do tpo C = m m u. O teste de Duncan necessta a préva ordenação das médas, dos níves do fator em estudo. Este teste basea-se na ampltude total mínma sgnfcatva ( ) D dada por: D = z Vˆ ( Ĉ) em que, z = z n, é o valor tabelado da ampltude total estudentzada, que é obtdo em ( ) α n função do nível α de probabldade, número de médas ordenadas abrangdas pelo contraste entre os níves do fator em estudo () e número de g.l. do resíduo da ANOVA (n ). Como se trata de um processo seqüencal, n vara seu valor durante a aplcação do teste; ( ) Vˆ Ĉ = QMRes + r r u No caso em que todos os tratamentos apresentaram o mesmo número de repetções, ou seja, r = r u = K, o valor de D é smplfcado com a segunte expressão D = z QMRe s K 47

53 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Para a realzação do teste Duncan a um nível de sgnfcânca α é necessáro:. enuncar as hpóteses: H 0 : C = 0 vs H a : C 0, em que C = m m u, para u;. ordenar as médas do fator em estudo em ordem crescente ou decrescente; 3. obter o valor da estmatva do contraste entre a maor e a menor méda, com base nos valores amostras; 4. calcular o valor de D, com base no número de médas ordenadas abrangdas pelo contraste. Neste prmero passo = I; 5. conclur a respeto da sgnfcânca do contraste em teste, usando o segunte crtéro: a) Se o valor de D for maor do que o módulo da estmatva do contraste, não rejeta-se H 0 e as médas são lgadas por um traço, ndcando que não há dferença entre elas; b) Caso contráro, reduzr de uma undade o valor de n. Calcula-se o novo valor de D e, para todos os pares de médas que não estejam lgadas por um mesmo traço e que envolvem n médas, repetr o procedmento que consta no tem 3 e nos seguntes; 6. Proceder ao tem 3 e seguntes até que =. Este teste tem como nconvenente, além de ser um teste trabalhoso, o fato das médas ordenadas não serem ndependentes e o valor de z em conseqüênca, não ser exato. Consderações:. O teste Duncan é um procedmento seqüencal váldo para a totaldade dos contrastes de duas médas.. Tal como o teste de Tukey, o teste de Duncan exge, em prncípo, balanceamento. Mas, no caso de serem dferentes os números de repetções este teste pode anda ser usado, mas então é apenas aproxmado. 3. Quando a maor méda não dferr sgnfcatvamente da menor, não se admtrá dferença sgnfcatva, entre as médas ntermedáras. Teste t de Student O teste t pode ser utlzado para testar contrastes envolvendo duas ou mas médas. Porém este teste exge que:. as comparações a serem realzadas sejam escolhdas a pror, ou seja, antes de serem examnados os dados;. podem-se testar no máxmo, tantos contrastes quantos são os graus de lberdade para tratamentos, e estes contrastes devem ser ortogonas. A ortogonaldade entre os contrastes ndca ndependênca lnear na comparação estabelecda por um contraste com a comparação estabelecda pelos outros contrastes. Entre I médas de um fator, podem ser obtdos I contrastes ortogonas. Consderemos um contraste de médas, entre os níves de um fator, em sua forma geral: C = a do qual obtemos a estmatva por meo do estmador m am... aimi Ĉ = a +, que pode ser testada pelo teste t, calculando-se a estatístca t, dada por. + a +... ai I 48

54 Cap 5 Comparações Múltplas t = Ĉ C Vˆ (Ĉ) = Ĉ C QMRes que tem dstrbução t de Student com n graus de lberdade, sendo n o número de graus de lberdade do resíduo e QMResíduo o quadrado médo resdual da análse de varânca. Caso o número de repetções seja o mesmo para todos os tratamentos, ou seja r =r =...=r I =K, então a fórmula para a aplcação do teste t é Ĉ C t = I QMRes a K Quando aplcamos o teste t a um contraste, C, geralmente o nteresse é testar as hpóteses: H 0 : C = 0 vs H a : C 0. O valor tabelado de t é obtdo por t tab =t α (n ). A regra de decsão, neste caso, é a segunte: Se t t tab rejeta-se H 0. Caso contráro não se rejeta H 0. Consderações:. O nível de sgnfcânca α é váldo para um únco contraste, e não para uma sére deles;. O nível de sgnfcânca α é váldo somente se o contraste for estabelecdo a pror e não sugerdo pelos dados, pos, pode fcar caracterzado uma estatístca de ordem ao querer comparar a maor com a menor méda, o que acarretara certa dependênca entre as médas. Teste de Scheffé Este teste pode ser aplcado para testar todo e qualquer contraste entre médas, mesmo quando sugerdo pelos dados. É freqüentemente utlzado para testar contrastes que envolvam grupos de médas. É um teste mas conservador que o teste t, porém não exge que os contrastes a serem testados sejam ortogonas e nem que estes contrastes sejam estabelecdos antes de se examnar os dados. Se o valor de F obtdo não for sgnfcatvo, nenhum contraste poderá ser sgnfcatvo pelo teste de Scheffé, e sua utlzação não se justfca. A estatístca do teste, denotada por S, é calculada por: S = (I )F tabvˆ (Ĉ) em que, I = é o número de níves do fator em estudo; F tab = F α (I-;n ) é o valor tabelado de F, obtdo em função do nível α de probabldade, número de graus de lberdade do fator em estudo, ou seja I-, e número de graus de lberdade do resíduo, ou seja n ; Vˆ (Ĉ) = QMRes I = a r = I = a r 49

55 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Caso o número de repetções seja o mesmo para todos os tratamentos, ou seja, r =r =...=r I =K, então a fórmula para a aplcação do teste Schheffé é S = (I )F QMRes I tab a K = Deve-se então, calcular a estmatva do contraste C, ou seja, Ĉ = a + a ai I Se verfcarmos que Ĉ S, dzemos que o contraste é sgnfcatvamente dferente de zero ao nível α de probabldade, ndcando que os grupos de médas confrontados no contraste dferem entre s a esse nível de probabldade. Consderações:. O teste de Scheffé é váldo para a totaldade dos contrastes.. Para testar um únco contraste, ou para testar um número pequeno deles, o teste de Scheffé é bastante rgoroso Vantagens e Desvantagens dos Procedmentos Para Comparações Múltplas O teste t não é recomendado para testar todas as possíves comparações entre médas de um expermento, pos este teste aponta pequenas dferenças como sgnfcatvas. O procedmento de Duncan também é senstvo, no sentdo de declarar pequenas dferenças como sgnfcatvas. Para estes dos testes, Duncan e t, o nível de sgnfcânca conjunto para um grande número de comparações é elevado. Quando são utlzados para esta fnaldade, estes testes podem apontar como sgnfcatvos contrastes, quando na verdade estes contrastes são não-sgnfcatvos. Neste acaso o erro tpo I tende a ocorrer mas frequentemente do que o estabelecdo pelo nível de sgnfcânca do teste. O teste de Tukey é bastante rgoroso no sentdo de apontar dferenças sgnfcatvas. Este teste é útl quando se deseja nformações prelmnares a respeto das dferenças entre os efetos dos níves de um fator. O procedmento de Scheffé é anda mas rgoroso que o Tukey para comparar pares de médas. Para a comparação de um número grande de médas, não há um procedmento deal. Testes como Tukey ou Scheffé, tornam-se extremamente rgorosos, pos o nível de sgnfcânca conjunto para a maora dos contrastes é muto menor do que o estabelecdo. O nverso ocorre com o teste t e Duncan Exercícos 5.. Aplque os testes Tukey e Duncan, aos exemplos dados ao fnal da apostla do Capítulo de Delneamento Interamente Casualzado. 5.. Para os dados fornecdos a segur, conclua pelo teste Duncan e Tukey ( α = 5% ). D 6 = 370 = 3 D 5 = 338 = 30, D 4 3 = 380 = 8,7 D 3 4 = 30 = 6 D 5 = 35 = 4,6 6 = 33 =

56 Cap 5 Comparações Múltplas 5.3. Aplcar o teste de Duncan às comparações múltplas obtdas com as médas dos tratamentos nstalados em um expermento segundo o Delneamento Interamente Casualzado (DIC).Conclur para α = 5% de probabldade. T = 45,6 T = 48,80 T3 = 44,56 T4 = 469,5 T5 = 439,48 T = 46,6 SQTratamento = 33,8677 SQTotal = 783,4964 r = Um expermento para avalar a nfluênca de 4 tpos de aletamento no ganho de peso de letões fo conduzdo utlzando-se o delneamento nteramente casualzado com 4 repetções. Foram obtdos os seguntes resultados parcas: Tratamentos 3 4 Totas 37, 44,8 3,6 3,8 FV GL SQ QM F Tratamento 6,76 Resíduo Total 33,8 Complete o quadro da ANOVA e, consderando-se α = %, responda qual(s) o(s) melhor(es) tpo(s) de aletamento. (Use o teste de Tukey, se necessáro) 5.5. Com o objetvo de verfcar se exste dferença, no tempo médo gasto para r de 0-00 km/h, entre 5 marcas de carro de mesma categora, 4 carros de cada marca foram escolhdos nteramente ao acaso da lnha de produção de cada marca e avalados em uma psta de provas aproprada. Os resultados obtdos, em segundos, foram: Marcas Usando o nível de 5% de probabldade a. Exste de dferença sgnfcatva entre as marcas de carro quanto ao tempo médo gasto para r de 0-00 km/h? b. Qual(s) é(são) a(s) marca(s) mas lenta(s) para r de 0-00 km/h, pelo teste de Duncan? c. Qual(s) é(são) a(s) marca(s) mas rápda(s) para r de 0-00 km/h, pelo teste de Tukey? d. Suponha que em termos de custo fnal ao consumdor pode-se classfcar os carros produzdos pela marca como de custo alto, os produzdos pelas marcas e 3 de custo médo e aqueles produzdos pelas marcas 4 e 5 como de custo alto. Suponha também que este expermento tnha como objetvos verfcar se exste dferença no tempo médo para r de 0-00 km/h entre: ) os carros de custo alto e os demas carros; ) entre os carros de custo médo e os de custo alto; 3) os carros de custo médo; e 4) os carros de 5

57 EST 0 Estatístca Expermental I/008 custo baxo. Utlze os testes de Scheffé e de t para verfcar se estas comparações são sgnfcatvas Quatro padaras da cdade de São Paulo, foram fscalzadas para verfcar a quantdade de bromato de potásso exstente nos pães franceses que elas produzem. Com esta fnaldade fo tomada uma amostra de pães, nteramente ao acaso, de cada padara e para cada um deles fo avalado o teor de bromato de potásso (mg de bromato de potásso/kg de pão). O resumo da avalação é fornecdo a segur: SQResíduo = 5 Padara 3 4 Teor médo Núm. de pães avalados Usando o nível de 5% de probabldade a. Pode-se conclur que exste dferença sgnfcatva no teor médo de bromato de potásso no pão entre as padaras avaladas? b. Suponha que as padaras e suprem a classe socal A, a padara 3 a classe B e a 4 a classe C. Verfque, por meo de um contraste, pelo teste de Scheffé e pelo teste t, se exste dferença no teor médo de bromato de potásso entre as padaras que suprem as classes A e C Com os dados fornecdos a segur orundos de um expermento nstalado no DIC com 4 repetções, para o qual o teste F da ANOVA para tratamentos fo sgnfcatvo, aplcar o teste de Duncan e o teste de Tukey para se conclur qual(s) tratamento(s) apresentou(aram) maor(es) méda(s) ao nível de 5% de probabldade. SQResíduo = 905,6790 T = 83,44 T = 79,5 T 3 = 786,3 T 4 = 66,5 T 5 = 755,44 T 6 = 6,50 5

58 Cap 6 Delneamento em Blocos Casualzados 6. Delneamento em Blocos Casualzados 6.. Introdução O prncpal objetvo do planejamento e execução de um expermento é apontar dferenças sgnfcatvas entre os efetos os níves de um fator em avalação. Incalmente sto é realzado medante o teste F para o fator. Se o teste F for não-sgnfcatvo, concluímos que os efetos são estatstcamente guas e nada mas precsa ser feto. Por outro lado, se o teste F for sgnfcatvo, concluímos que exste dferença sgnfcatva nos efetos dos nves do fator. O passo segunte sera o uso de um procedmento de comparações múltplas para dentfcar quas níves dos fatores proporconam efetos sgnfcatvamente dferentes entre s do ponto de vsta estatístco. Tal como o teste F, todos os procedmentos de comparação múltpla tem como base para o cálculo do valor da dferença mínma sgnfcatva a estmatva da varabldade assocada ao efeto do erro expermental, a qual é conhecda como Quadrado Médo do Resíduo (QMRes). Sendo assm fca fácl entender que, para o pesqusador consegur atngr o seu objetvo, apontar dferenças sgnfcatvas entre os efetos de níves do fator, ele deve planejar e executar o seu expermento de tal forma que a nfluênca do erro expermental seja a menor possível. O delneamento nteramente casualzado pressupõe para ser utlzado que, as undades expermentas sejam e estejam durante todo o expermento em condções ambentas completamente homogêneas. Caso o pesqusador perceba que algum fator perturbe a homogenedade das undades expermentas ou nas condções ambentas que as mesmas vão estar sujetas durante o expermento, é necessáro que o pesqusador controle o efeto deste fator pertubador. Entenda-se aqu fator pertubador como uma fonte de varação ndesejável entre as undades expermentas ou nas condções ambentas. Um exemplo sera a stuação em que um pesqusador deseja comparar o efeto de analgéscos em cobaas. No entanto as cobaas não são de mesma dade. Se o pesqusador achar que a dade da cobaa pode nfluencar na avalação dos analgéscos, ele deve controlar o efeto do fator pertubador dade. O controle do efeto do fator pertubador é feto pela formação de grupos, ou seja, blocos de undades expermentas homogêneas e fazendo com que todos os níves do fator em estudo sejam avalados em cada nível do fator pertubador, ou seja, em cada bloco de undades homogêneas. No delneamento em blocos casualzados (DBC), a dstrbução ao acaso dos níves do fator em estudo às undades expermentas, sofre a restrção de ser feta dentro de cada bloco. Portanto o DBC faz uso dos três prncípos báscos da expermentação: repetção, casualzação e controle na casualzação. Vale lembrar que no delneamento nteramente casualzado (DIC), não exste nenhuma restrção na casualzação, uma vez que os níves do fator em estudo são dstrbuídos nteramente ao acaso em relação a todas undades expermentas. Em expermentos nstalados segundo o DBC, espera-se que as condções expermentas de um bloco sejam dferentes das condções expermentas do outro bloco e que haja homogenedade das condções expermentas dentro de cada bloco. Se um pesqusador nstala o seu expermento segundo o DBC, o efeto do fator perturbador é controlado sendo portanto possível quantfcar o seu efeto e elmnar tal efeto na análse estatístca dos dados expermentas. Caso o pesqusador não controle o efeto do fator perturbador por meo da formação de blocos de undades expermentas homogêneas e controle na casualzação, o efeto do fator pertubador é absorvdo pelo erro expermental. Tal absorção tende a provocar um aumento no valor do QMRes, o que 53

59 EST 0 Estatístca Expermental I/008 pode acarretar em não dentfcar nenhuma dferença nos efetos dos tratamentos, quando de fato uma ou mas dferenças possam exstr. No entanto, a nstalação de um expermento no DBC quando o mesmo não é necessáro, pode mplcar na perda de efcênca do expermento, pos quando se nstala um expermento no DBC com J blocos, quando na verdade o DIC sera sufcente, são perddos (J-) graus de lberdade para o resíduo. No DBC o n o de graus de lberdade para o resíduo é menor. Conseqüente o F tabelado é maor. Portanto maor deverá ser a dferença entre os efetos dos níves do fator para que tas dferenças atnjam sgnfcânca estatístca. 6.. Quadro de tabulação dos dados A título de exemplo, consdere um expermento nstalado no DBC com I tratamentos e J repetções (blocos). A coleta de dados da pesqusa pode ser resumda, num quadro do tpo a segur: Tratamentos Blocos... I Totas Y Y... Y I B Y Y... Y I B J Y J Y... J Y IJ B J Totas T T... T I G Deste quadro pode-se retrar algumas nformações de nteresse: - nº de undades expermentas: N = I x J; I,J I J - Total geral: G = Yj = T = B j = Y ; =,j = = j= - Total para o tratamento : T = Yj = Y ; J j= - Total para o bloco j: B j = Yj = Y j ; I = T - méda para o tratamento : = ; J B j - méda para o bloco j: j = ; I G - méda geral do expermento: =. IJ 6.3. Modelo Estatístco Para o DBC o modelo estatístco é: Y j = m + t + b j + ej em que, Y j é o valor observado para a varável em estudo referente ao tratamento no bloco j, 54

60 Cap 6 Delneamento em Blocos Casualzados m méda de todas as undades expermentas para a varável em estudo. t é o efeto do partcular tratamento no valor observado Y : t = m m b j é o efeto do bloco j no valor observado Y j : b = m m ej é o erro assocado a observação e j Y: j j = Y j j + m m m j j 6.4. Análse de Varânca Para realzar a análse dos dados obtdos de um expermento nstalado segundo o DBC, deve-se decompor a varação total que exste entre todas as observações nas partes que a compõe. Neste tpo de delneamento, a decomposção é feta da segunte forma: Ou seja: SQTotal = SQTratamentos + SQBlocos + SQResíduo conforme é demonstrado a segur. Consdere o modelo estatístco para um expermento nstalado segundo o DBC: Y j = m + t + b j + ej fazendo t = m m e b = m m, tem-se: substtundo j j j j ( m m) + ( m j m) ej Y m = +, m m, m e e por seus estmadores tem-se: j ( ) + ( j ) êj Y j = +, elevando ambos os membros ao quadrado ( Y ) [( ) ( ) ] j = + j + êj, aplcando somatóro I,J I,J ( j ) = [ ( ) + ( j ) + êj ] =,j = Y, =,j = I,J I,J I,J I,J I,J ( Y j ) = ( ) + ( j ) + êj + =,j = =,j = =,j = =,j = =,j = duplos produtos SQTotal = SQTratamentos + SQBlocos + SQResíduo + duplos produtos pode-se verfcar que: duplos produtos = 0. I,J =,j = Por meo das fórmulas obtdas no desenvolvmento anteror, pode-se obter os valores para as respectvas somas de quadrados. No entanto, essas fórmulas são muto trabalhosas para se obter tas valores. São fornecdas a segur, fórmulas mas prátcas para se obter as somas de quadrados. I,J =,j = 55

61 EST 0 Estatístca Expermental I/008 SQTotal = I,J =,j = SQTratamen tos SQBlo cos = J = j= Y j I = B I j T J I,J j =,j = I,J Y IJ I,J =,j = j =,j = Y j IJ Y IJ SQResíduo = SQTotal - SQTratamentos - SQBlocos Estas fórmulas prátcas são deduzdas a partr das somas de quadrados, obtdas no desenvolvmento anteror, medante o desenvolvmento do quadrado do bnômo, aplcação dos somatóros a todos os termos e substtução de cada uma das médas pelo quocente do total pelo nº de observações que orgna cada total. As deduções são semelhantes àquelas apresentadas no capítulo de Delneamento Interamente Casualzado. O quadro da ANOVA para a análse de um expermento nstalado segundo o DBC é do segunte tpo: FV GL SQ QM F Blocos (J-) SQBlocos - - Tratamentos (I-) SQTratamentos SQTrat QMTrat I QMRe s Resíduo (I-)(J-) SQResíduo SQRe s ( I )( J ) - Total IJ - SQTotal - - Geralmente, o que nteressa na análse de um expermento, é avalar se exste dferença entre os tratamentos, o que pode ser verfcado por meo do teste F para tratamentos. As hpóteses para o teste F da análse de varânca para tratamentos são as seguntes: H0 : m = m =... = mi = m, o que equvale a dzer que todos os possíves contrastes entre médas de tratamentos, são estatstcamente nulos, ao nível de probabldade que fo executado o teste. H a : n ~ ao H 0, o que equvale a dzer que exste pelo menos um contraste entre médas, estatstcamente dferente de zero, ao nível de probabldade que fo realzado o teste. O teste F para blocos, ou seja, comparação entre blocos, geralmente é desnecessára, pos ao nstalar o expermento no DBC, o pesqusador utlzou os blocos para controlar uma causa de varação conhecda. Nos casos em que a varação entre blocos é duvdosa, o pesqusador pode realzar o teste F para blocos, para servr como orentação para a nstalação de futuros expermentos. 56

62 Cap 6 Delneamento em Blocos Casualzados 6.5. Exercícos 6.. Os dados abaxo, se referem a um expermento nstalado segundo o DBC, em que os tratamentos, 5 produtos comercas para suprr defcênca de mcronutrente em caprnos, foram fornecdos aos anmas os quas foram separados em 3 grupos segundo a dade. Os resultados obtdos, expressos em ppm de mcronutrente/ml de sangue, foram os seguntes: Produtos comercas Bloco Totas Totas Pede-se proceder a ANOVA e aplcar o teste Tukey e Duncan, usando o nível de 5% de probabldade. 6.. Com a fnaldade de aumentar a produção de lã de suas ovelhas, por meo de uma almentação mas aproprada um crador separou 8 ovelhas de sua cração. Como as ovelhas eram de dades dferentes, dvdu-as em 7 grupos, sendo que dentro de cada um destes grupos hava 4 ovelhas de mesma dade e homogenedade para as demas característcas. Dentro de cada grupo fo realzado um sorteo para dstrbur ao acaso, os 4 Tpos de Almentação (TA) às ovelhas do grupo. O expermento se ncou logo após as ovelhas terem sdo submetdas a uma tosqua e se encerrou quando já era o momento de se realzar uma nova tosqua da qual foram obtdos os seguntes resultados, expressos em undade de medda de lã por anmal: grupos TA Totas Totas Com base nas nformações anterores, pede-se ( α = % ): a) Qual o tpo de delneamento expermental que o crador utlzou? Justfque sua resposta. b) Exste dferença entre os tpos de almentação fornecdos às ovelhas com relação a produção de lã? c) Com base no teste Tukey, qual(s) sera(m) o(s) tpo(s) de almentação a ser(em) recomendada(s) às ovelhas? 57

63 EST 0 Estatístca Expermental I/ Um expermento no DBC com 4 repetções forneceu os dados abaxo: Blocos Tratamento 3 4 Total 4,36 44,78 45,9 38,88 57, 39,8 37,77 44,44 30,6 55,0 3 40,73 34,06 36,07 44, 554, ,88 35,83 36,97 36,36 560, ,49 65,0 5,75 50, 60,48 Total 76,74 77,46 74,4 700,8 858,80 Para o nível de 5% de sgnfcânca, pede-se: a) ANOVA b) Teste Tukey c) Teste Duncan d) Aplcar o teste Scheffé ao contraste C = m + m m 5 e) Aplcar o teste t aos contrastes C = m + m m C C 3 = m = m + m m 6.4. O resumo da Análse de Varânca de um expermento nstalado segundo o Delneamento em Blocos Casualzados, para verfcar se exste dferença entre 5 tpos de Levedura na produção de cerveja, é fornecdo a segur: Totas de Tratamentos: 3 m 4 m FV GL QM F Blocos Tratamentos Resíduo 4,895 Total T =,0 T = 5, T3 =,0 T4 = 4,0 T5 = 45,6 Ao nível de 5% de probabldade, pede-se: a)exste dferença entre os 5 tpos de Levedura, na produção de cerveja? b)pelo teste Tukey, qual(s) o(s) tpo(s) de Levedura que apresentou(aram) maor produção? c)pelo teste Duncan, qual(s) o(s) tpo(s) de Levedura que apresentou(aram) menor produção? 6.5. Um Engenhero-Agrícola, com o objetvo de verfcar qual tpo de pneu que proporcona menor consumo de combustível, para trabalhar em terrenos encharcados, testou 4 dferentes tpos de pneus. Como a área que dspunha para realzar o expermento era heterogênea com relação à declvdade, ele subdvdu a área total em 3 sub-áreas de tal forma que dentro de cada uma delas exsta unformdade com relação à declvdade. Após sto, dentro de cada sub-área realzou um sorteo ao acaso, dos tpos de pneus às undades expermentas. Com a realzação da pesqusa, obteve-se os seguntes resultados de consumo expressos em ltros/hora trabalhada. 4 58

64 Cap 6 Delneamento em Blocos Casualzados Pneu Sub-áreas Tpo Tpo Tpo 3 Tpo Por meo das nformações fornecdas acma, pede-se (use o nível de 5% de sgnfcânca, quando necessáro). a)quas foram os Prncípos Báscos da Expermentação utlzados neste expermento? Justfque sua resposta. b)qual fo o tpo de delneamento expermental utlzado pelo Engenhero-Agrícola? Justfque sua resposta. c)em termos do consumo, conclua com relação aos tpos de pneus, por meo de uma análse de varânca. d)qual tpo de pneu que proporcona o por consumo? Use o teste Duncan, se necessáro Suponha que alguém solcte sua ajuda, na aplcação de testes de médas aos dados de um expermento, nstalado segundo o DBC com 4 repetções, para o qual o F da Análse de Varânca para tratamentos fo sgnfcatvo. Para tanto você recebe as seguntes nformações: Tratamentos 3 Totas SQResíduo=360 α = 5% C = 3m m m 3 C = m m + m3 C3 = m m a)obtenha a V(C ) b)admta que ele deseja aplcar o teste de Scheffé em C e C. Proceda a aplcação do teste Scheffé de manera adequada conforme vsto em sala de aula. c)admta que ele deseja aplcar o teste t em C e C 3. Proceda a aplcação do teste t de manera adequada conforme vsto em sala de aula. d)obtenha um grupo de contrastes ortogonas a partr apenas de C 3, usando o método do sstema de equações lneares Um pesqusador fo encarregado de verfcar se hava dferença de durabldade entre 4 tpos de mcroaspersores presentes no mercado, produzdos por duas fábrcas dferentes, conforme quadro abaxo: Tratamentos Mcroaspersor Fabrcado por Tpo A Água Boa S.A. Tpo B Água Boa S.A. 3 Tpo C Água Boa S.A. 4 Tpo Únco Água Ardente Ltda. Desconsderando como o expermento fo conduzdo, bem como o tpo de nformação usado na avalação, consdere os seguntes dados, após uma análse parcal dos mesmos: 59

65 EST 0 Estatístca Expermental I/008 F.V. G.L. Q.M. F Médas dos Trat os Tratamentos 3 760,00 35, = 36 Bloco = 40 Resíduo 50,00 3 = 60 Total 9 4 = 40 Com base nas nformações acma pede-se: (use α=5%) a)cada tratamento fo repetdo quantas vezes? Justfque sua resposta. b)que hpótese estaríamos testando pela ANOVA? Qual a sua conclusão no presente caso? c)para responder qual é o melhor mcroaspersor, o que deveríamos fazer? Apenas comente rapdamente. d)faça um teste (à sua escolha) para saber se há dferença entre os resultados médos apresentados pelos mcroaspersores da fábrca Água Boa S.A. com o apresentado pelo mcroaspersor da fábrca Água Ardente Ltda Em um expermento com 5 varedades de batatnhas (A, B, C, D e E), em blocos casualzados, as produções, em toneladas por hectare, foram: Varedades Blocos A B C D E Para o nível de sgnfcânca gual a 5%, pede-se: a) O quadro da ANOVA b) Aplcar o teste de Duncan c) Teste t para o contraste : C = m A + mb m D 6.9. Obtenha o quadro da Análse de Varânca, proceda ao teste de méda se necessáro e conclua para α = %, consderando os dados do delneamento em blocos casualzados (DBC), fornecdos a segur: T 4 = 30,6 T = 83,4 B j = ,9 Y = j j=, j T 3 = 5,6 T ,70 = 85,6 T 5 = 43, 6.0. Um melhorsta de plantas nstalou um expermento vsando seleconar as melhores progênes para dar contnudade ao seu programa de melhoramento. Na nstalação do expermento, ele verfcou que a área a ser utlzada não era completamente homogênea. Então dvdu a área em 4 sub-áreas de tal forma que cada uma fosse completamente homogênea e pudesse conter todas as progênes em teste. Após esta dvsão, as progênes foram dstrbuídas ao acaso dentro de cada sub-área. Na época da colheta ele avalou a produção de grãos por planta (kg/planta), cujos resultados foram: 60

66 Cap 6 Delneamento em Blocos Casualzados Sub-áreas Progêne 3 4 Totas,7,8,9 3,3,7,7,5,8,4 0,4 3,6 3, 3,0 3,5,3 4,6 3,,8,5,0 5,7,8,8,5 0,8 Totas 3,3 4,4 4,3 4, 56, Com base nestas nformações, pede: (utlze α = 5% quando necessáro) Qual delneamento expermental fo utlzado? Justfque a sua resposta Verfcar se exste dferença entre as progênes com relação à produção. Faça a ANOVA e aplque o teste de Duncan, se necessáro, conclundo corretamente. (Dado: SQTotal =,5780) 6.. Uma nutrconsta formulou dos novos tpos de deta (A e B) para dmnur o peso de pessoas obesas. Desejando verfcar qual tpo de deta proporcona maor perda de peso, resolveu fazer um teste com os seus pacentes. Com esta fnaldade, solctou que aqueles que estvessem nteressados em partcpar deste teste se apresentassem como voluntáros. Um grupo de 8 ndvíduos apresentou-se para trabalhar com o nutrconsta. No entanto, a nutrconsta verfcou que naquele grupo de ndvíduos hava dferentes faxas de dade, sendo ndvíduos pertencentes à faxa nfantl, à faxa adolescente, à faxa adulta e à faxa dosa. Com receo de que a dferença de dade dos ndvíduos pudesse dmnur a precsão do seu expermento, a nutrconsta resolveu que cada um dos dos tpos de deta fosse testado em cada uma das faxas de dade. Para tanto, dvdu o grupo de 8 ndvíduos em subgrupos de tal forma que cada subgrupo ncluísse ndvíduos de mesma faxa de dade. Após sso, fez a dstrbução dos tpos de deta ao acaso dentro de cada subgrupo. As perdas de peso (em Kg) obtdas por cada um dos oto ndvíduos são fornecdas a segur: Faxa de Idade Deta Infantl Adolescente Adulta Idosa Totas A B Totas Dado: SQResíduo = 4,00 Com base nas nformações fornecdas pede-se: 6...Qual fo a undade expermental utlzada? a) cada faxa de dade b) cada deta c) cada ndvíduo d) todos os ndvíduos e) os dos tpos de deta f) nenhuma das alternatvas anterores 6... Qual(s) fo(ram) o(s) prncípo(s) básco(s) da expermentação utlzado(s)? a) repetção e casualzação b) repetção e controle local c) casualzação e controle local 6

67 EST 0 Estatístca Expermental I/008 d) controle local e) repetção f) casualzação g) controle local h) repetção, casualzação e controle local ) nenhuma das alternatvas anterores 6..3 Qual fo o delneamento expermental utlzado? a) Delneamento em Quadrado Latno b) Delneamento Interamente Casualzado c) Delneamento em Blocos Casualzados d) Delneamento em Látce e) nenhuma das alternatvas anterores De acordo com o teste F da análse de varânca para a fonte de varação deta, pode-se conclur ao nível de 5% de probabldade que: a) não exste dferença entre os tpos de deta b) o valor de F é menor que um e não é possível conclur c) a deta B possu a maor méda d) nenhuma das alternatvas anterores 6..5 Qual o tpo de deta devera ser recomendado? Use o teste Duncan e o nível de 5% de probabldade, se necessáro. a) qualquer uma das detas b) todas as detas c) nenhuma das detas d) a deta B e) a deta A f) nenhuma das alternatvas anterores 6.. Um expermento nstalado segundo o Delneamento em Blocos Casualzados produzu os seguntes resultados: Tratamentos 3 4 Totas Blocos Totas Dados: SQTotal = 4,43 SQTratamentos = 5,9 Com base nas nformações fornecdas, pede-se (use o nível de sgnfcânca de % quando necessáro): 6... Conclua a respeto dos efetos de tratamentos, com base na análse de varânca Se são desejados tratamentos que propcam menores médas, qual(s) tratamento(s) deve(m) ser recomendado(s)? Utlze o teste de Tukey, se necessáro. Caso contráro, justfque a sua resposta Quatro pesqusadores realzaram um expermento com 4 tratamentos (A, B, C e D) e 5 repetções segundo um delneamento em blocos casualzados (DBC), obtendo-se as seguntes médas de tratamentos: 6

68 Cap 6 Delneamento em Blocos Casualzados Tratamentos A B C D Médas 7,8 6,0 3,8 3,4 Dados: QMRes =,8; GLRes = ; F calculado = 8,34 e α = 5%. Os procedmentos adotados por cada um dos quatro pesqusadores foram os seguntes: - O pesqusador estabeleceu, a pror, três contrastes ortogonas com o objetvo de aplcar, separadamente a cada um deles, o teste de Scheffé. Os contrastes foram os seguntes: Y = 3m A m B m C m D, Y = m B + m C m D e Y 3 = m B m C - O pesqusador estabeleceu, a pror, os mesmos três contrastes ortogonas estabelecdos pelo pesqusador, porém com o objetvo de aplcar, separadamente a cada um deles, o teste t - O pesqusador 3 estabeleceu ses contrastes entre duas médas (Y 3 = m B m C Y 4 = m A m B, Y 5 = m A m C, Y 6 = m A m D, Y 7 = m B m D e Y 8 = m C m D ), com o objetvo de aplcar, separadamente a cada um deles, o teste de Tukey - O pesqusador 4, após observar os dados, estabeleceu o segunte contraste: Y 9 = m A + m B m C m D. No entanto, os pesqusadores, e 3, utlzando um mesmo valor para o nível de sgnfcânca, apresentaram dvergêncas com relação aos resultados das análses estatístcas para a característca estudada, conforme mostrado a segur: - O pesqusador obteve uma conclusão dferente da encontrada pelo pesqusador, em relação ao contraste Y 3 - O pesqusador 3 obteve uma conclusão dferente da encontrada pelo pesqusador em relação ao contraste Y 3 Pede-se: 6.3. Com base na dferença das conclusões encontradas pelos pesqusadores e em função da utlzação de testes dferentes, marque a alternatva correta e justfque a sua resposta. a) O procedmento adotado pelo pesqusador está correto e o procedmento adotado pelo pesqusador está errado b) O procedmento adotado pelo pesqusador está correto e o procedmento adotado pelo pesqusador está errado c) Ambos os procedmentos adotados pelos pesqusadores e estão corretos d) Ambos os procedmentos adotados pelos pesqusadores e estão errados Com base na dferença das conclusões encontradas pelos pesqusadores e 3 em função da utlzação de testes dferentes, marque a alternatva correta e justfque a sua resposta. a) O procedmento adotado pelo pesqusador está correto e o procedmento adotado pelo pesqusador 3 está errado b) O procedmento adotado pelo pesqusador 3 está correto e o procedmento adotado pelo pesqusador está errado c) Ambos os procedmentos adotados pelos pesqusadores e 3 estão corretos 63

69 EST 0 Estatístca Expermental I/008 d) Ambos os procedmentos adotados pelos pesqusadores e 3 estão errados O procedmento adotado pelo pesqusador 4 fo correto? Se a sua resposta for afrmatva, aplque o teste de Scheffé ao contraste Y 9. Se a sua resposta for negatva, justfque a sua resposta Consdere um expermento no delneamento em blocos casualzados, com 4 tratamentos e 3 repetções, para o qual o teste F para a fonte de varação tratamentos fo sgnfcatvo ao nível de 5% de probabldade. Baseando-se nestas nformações, pede-se: 6.4. Qual é a fórmula geral dos contrastes a serem testados pelo teste de Tukey? Qual é o número máxmo de contrastes a serem testados pelo teste de Tukey? Suponha que para este expermento, a dferença mínma sgnfcatva de Tukey fo gual a 0, ou seja = 0. Usando-se este, o segunte resultado fo obtdo para as comparações de médas de tratamentos 4 3 = = = = a ab bc c Pode-se observar que as médas e 4, médas 4 e 3 e médas 3 e são estatstcamente guas. Deste modo, pode-se conclur que as médas e são também estatstcamente guas? Justfque a sua resposta Caso dos outros pesqusadores realzassem o mesmo expermento e obtvessem, respectvamente = 5 e = 0, pelo teste de Tukey, qual dos dos pesqusadores obteve maor precsão expermental? Justfque a sua resposta Aplque o teste de Tukey às médas de tratamentos com base no = 0, consderando que o pesqusador obteve as mesmas médas lstadas no tem b, com teste F sgnfcatvo Se o nteresse fosse testar os quatro contrastes: Y Y = m m = m + m m 3 3 = m + m m 4 4 = m + m m3 m 4 Y Y Qual(s) o(s) teste(s) vsto(s) em sala de aula, que podera(m) ser aplcado(s) a todos estes contrastes? Justfque a sua resposta. 64

70 EST 0 Estatístca Expermental I/ Delneamento em Quadrado Latno 7.. Introdução No Delneamento em Quadrado Latno (DQL), além dos prncípos da repetção e da casualzação, é utlzado também duas vezes o prncípo do controle na casualzação para controlar o efeto de dos fatores perturbadores que causam varabldade entre as undades expermentas. Para controlar esta varabldade, é necessáro dvdr as undades expermentas em blocos homogêneos de undades expermentas em relação a cada fator perturbador. O número de blocos para cada fator perturbador deve ser gual ao número de tratamentos. Por exemplo, se no expermento estão sendo avalados I tratamentos, deve ser formado para cada fator perturbador I blocos e cada um destes blocos deve conter I undades expermentas. Ao fnal são necessáros I undades expermentas. Cada uma destas I undades expermentas é classfcada segundo cada um dos dos fatores perturbadores. Uma vez formados os blocos, dstrbu-se os tratamentos ao acaso com a restrção que cada tratamento seja desgnado uma únca vez em cada um dos blocos dos dos fatores perturbadores. Geralmente, na confguração de um expermento nstalado segundo o DQL, os níves de um fator perturbador são dentfcados por lnhas em uma tabela de dupla entrada e os níves do outro fator perturbador são dentfcados por colunas na tabela. Alguns exemplos lustratvos Exemplo - Num laboratóro devem ser comparados 5 métodos de análse (A, B, C, D e E), programados em 5 das útes e, em cada da, é feta uma análse a cada hora, num período de 5 horas. O quadrado latno assegura que todos os métodos sejam processados, uma vez em cada período e em cada da. O croqu abaxo lustra a confguração a ser adotada. Da Período A E C D B C B E A D 3 D C A B E 4 E D B C A 5 B A D E C Note que os níves de uma fonte formam as lnhas e os níves da outra fonte formam as colunas Exemplo - Num expermento com suínos pretende-se testar 4 tpos de ração (A,B,C,D), em 4 raças e 4 dades de anmas. Sendo nteresse fundamental o comportamento dos 4 tpos de ração, toma-se a raça e a dade como blocos, ou seja: Raça Idade R R R 3 R 4 I A B D C I B C A D I 3 D A C B I 4 C D B A Exemplo 3 - Um expermento de competção de 6 varedades de cana-de-açúcar em que a área expermental apresenta gradente de fertldade do solo em duas dreções. O 65

71 Cap 7 Delneamento em Quadrado Latno quadrado latno possblta a formação de blocos nas duas dreções, ou seja, procedemos a um duplo controle local. O croqu segunte lustra a dstrbução das varedades (A, B, C, D, E, F) nas parcelas. Colunas Lnhas F B C E D A B D E A F C 3 D F A C B E 4 A C D F E B 5 C E F B A D 6 E A B D C F 7.. Característcas do DQL a) O número total de undades expermentas necessáras para um expermento nesse delneamento é gual a I, sendo I o número de tratamentos; b) Cada tratamento é representado uma únca vez e ao acaso em cada lnha e em cada coluna; c) O número de tratamentos é gual ao número de repetções; d) Este delneamento é aconselhável quando o número de tratamentos oscla entre 3 e 0. Mas, para 3 e 4 tratamentos, somente quando se puder repetr o expermento em város quadrados latnos Casualzação no delneamento em quadrado latno Consderemos 5 tratamentos: A, B, C, D, E. o ) Faz-se a dstrbução sstemátca dos tratamentos dentro das lnhas, de manera que cada coluna contenha também todos os tratamentos; Colunas Lnhas A B C D E E A B C D 3 D E A B C 4 C D E A B 5 B C D E A o ) Em seguda dstrbu-se ao acaso as lnhas entre s, e depos as colunas, podendo-se obter um quadrado fnal semelhante ao apresentado abaxo. Casualzando as lnhas (, 4, 5,, 3) E A B C D C D E A B B C D E A A B C D E D E A B C 66

72 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Casualzando as colunas (3, 5,, 4, ) 7.4. Modelo estatístco B D E C A E B C A D D A B E C Quadrado fnal C E A D B A C D B E O delneamento em quadrado latno apresenta o segunte modelo estatístco: Y j(k) = m + l + c j + t k + ej(k), em que, Y j(k ) é o valor observado para a varável em estudo referente ao k-ésmo tratamento, na -ésma lnha e na j-ésma coluna; m é méda de todas as undades expermentas para a varável em estudo; l é o efeto da lnha ; c é o efeto da coluna j; j t k é o efeto do tratamento k; e j(k) é o erro expermental. Admtndo-se I tratamentos, conseqüentemente I lnhas e I colunas, o esquema da análse de varânca fca: FV GL Exemplo Exemplo Exemplo 3 Lnhas I Colunas I Tratamentos I Resíduo (I-)(I- 6 0 ) Total I Consderando L = Total da lnha ; C j = Total da coluna j; T k = Total do tratamento k; G = total geral; as somas de quadrados são dadas por: G G SQTotal = Yj C, onde C = =,j I I I I SQLnhas = L C I = J SQColunas = Cj C I j= K SQTratamentos = T I k= C 67

73 Cap 7 Delneamento em Quadrado Latno SQ Re sduo = SQTotal SQL SQC SQT Exercícos 7.. Num expermento de competção de varedades de cana forragera foram usadas 5 varedades: A=CO90; B=CO94; C=CO97; D=CO99 e E=CO95, dspostas em um quadrado latno 5x5. O controle feto através de blocos horzontas e vertcas teve por objetvo elmnar nfluêncas devdas a dferenças de fertldade em duas dreções. As produções, em kg/parcela, foram as seguntes: Colunas Lnhas Totas 43(D) 58(A) 458(B) 583(C) 33(E) 3 74(C) 478(E) 54(A) 550(B) 400(D) (E) 384(B) 556(C) 97(D) 40(A) (B) 500(D) 33(E) 486(A) 50(C) (A) 660(C) 438(D) 394(E) 38(B) 35 Totas Consderando α = 5%, pede-se: a. Análse de Varânca b. Qual a varedade a ser recomendada? Utlze teste de Tukey, se necessáro. 7.. Em um expermento no delneamento em quadrado latno com 5 tratamentos, são dados: = 50,0; = 60,0; 3 = 47,5; 4 = 40,0; 5 = 5,5 SQRe síduo = 388,80 a. Verfcar se exste efeto sgnfcatvo de tratamentos, pelo teste F, e conclur para α=5%. b. Qual o tratamento deve ser recomendado nos seguntes casos: b.. Se estvéssemos avalando a produção de uma certa cultura (em kg/ha)? b.. Se estvéssemos avalando a perda de grãos, durante a colheta, de uma certa cultura (em g/parcela)? Obs.: Utlze α = 5% e o Teste de Duncan (se necessáro) 7.3. Aplcar o teste de Tukey para comparar as médas de tratamentos, relatvos ao Quadrado Latno 5x5, dados: = 304,0; T = 549,0; T = 349,0; T = 970,0; T = 734,0 T SQRe sduo = 346,0 α = 5% 7.4. O objetvo de um expermento fo estudar o efeto da época de castração no desenvolvmento e produção de suínos. Dspunha-se para esse estudo, de 5 matrzes da mesma raça, que foram submetdas à mesma almentação e manejo durante o período de gestação. Os tratamentos foram: (A) Castração aos 56 das de dade; (B) Castração aos 7 das de dade; (C) Castração aos 36 das de dade; (D) Interos; (E) Castração aos das de dade. Fo utlzado o delneamento em quadrado latno buscando controlar a varação entre letegadas (lnhas) e a varação no peso ncal dos letões (colunas), sendo a parcela expermental consttuída de um letão. Os ganhos de pesos, em kg, após o período expermental (8 semanas), estão apresentados no quadro abaxo: 68

74 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Faxas de Peso Incal Letegadas Totas 93,0(A) 5,4(C) 6,9(E) 0,(D) 0,4(B) 545,9 0,6(C) 96,5(E) 08,9(B) 97,6(A),0(D) 55,6 3 0,(B) 08,6(D) 77,9(A) 0,0(E),7(C) 50,3 4 5,4(D) 94,9(A) 4,0(C) 00,(B) 8,5(E) 543,0 5 7,6(E) 4,(B) 8,7(D) 08,8(C) 80,(A) 539,4 Totas 538,7 59,5 536,4 58,8 53,8 656, Consderando α = 5%, pede-se: a. Faça a análse de varânca. DADO: SQTotal = 998, 484 b. Formule um contraste que permta avalar o efeto médo da prátca de castração. c. Teste o contraste obtdo no tem anteror. Utlze os teste de Scheffé e t Um expermento fo conduzdo numa regão do Pantanal com o objetvo de seleconar forrageras que garantssem uma maor produção de matéra seca. Fo utlzado o delneamento em quadrado latno, buscando controlar dferenças de fertldade em duas dreções, sendo avaladas 7 forrageras (A, B, C, D, E, F, G). Foram obtdos os seguntes resultados parcas com a realzação do expermento: Tratamentos A B C D E F G Totas 30,8 5, 9,6 4,0 3,3 9,8 8,4 Lnhas Totas 8,9 9,9 4,5 8, 5,6 7,4 6,7 SQTotal=7,36 SQColunas=,7 Verfcar se exste efeto sgnfcatvo de forrageras, pelo teste F, e conclur para α =% Um pesqusador nstalou um expermento para comparar 5 tpos de baclos (A, B, C, D, e E) usados para produção de ogurte. No momento da nstalação do expermento, o pesqusador verfcou que o materal expermental dsponível (5 undades de ltro de lete) não era completamente homogêneo entre s, pos apresentavam varação quanto ao teor de gordura e grau de acdez. Para controlar estas duas fontes de varação, o pesqusador dstrbuu os baclos ao acaso às amostras de lete de tal forma que cada baclo pudesse ser testado em todas as condções de teor de gordura e grau de acdez. O quadro dado a segur lustra a dstrbução dos baclos às amostras de lete bem como o volume (em ml) de ogurte produzdo: 69

75 Cap 7 Delneamento em Quadrado Latno Grau de Acdez Teor de Gordura Totas A E C D B C B E A D D C A B E E D B C A B A D E C 3980 Totas T A = 3395 T B = 4345 T C = 4080 T D = 3940 T E = 3550 Com base nas nformações fornecdas, pergunta-se: Qual fo a undade expermental utlzada? Quas foram os tratamentos em teste? Quantas vezes o prncípo do controle local fo utlzado neste expermento? Qual fo o Delneamento expermental utlzado nesta pesqusa? Usando os dados expermentas fornecdos anterormente e o teste F para testar a fonte de varação baclos, pode-se conclur que ao nível de 5% de probabldade que a) exste pelo menos um contraste entre médas de baclos estatstcamente dferente de zero b) todos os possíves contrastes entre médas de baclos são estatstcamente nulos c) o baclo A é o melhor d) o baclo B é o melhor e) o baclo C é o melhor f) nenhuma das alternatvas anterores O teste de Tukey ndca que o(s) baclo(s) que proporcona(m) maor(es) méda(s) de produção de ogurte é (são) (use o nível de 5% de sgnfcânca) fo(ram) a) o baclo A b) o baclo B c) o baclo C d) o baclo D e) o baclo E f) os baclos A, B e C g) os baclos B, C e D h) os baclos C, D e E ) os baclos A, D e E j) nenhuma das alternatvas anterores 70

76 Cap 8 Expermentos Fatoras 8. Expermentos Fatoras 8.. Introdução Expermentos fatoras são aqueles em que se estudam smultaneamente dos ou mas fatores, cada um deles com dos ou mas níves. O fatoral é um tpo de esquema, ou seja, uma das maneras de organzar os tratamentos e não um tpo de delneamento, que representa a manera pela qual os tratamentos são dstrbuídos às undades expermentas. Na verdade, os expermentos fatoras são montados segundo um tpo de delneamento expermental, como por exemplo: o DIC e o DBC. Nos expermentos fatoras, os tratamentos são obtdos pelas combnações dos níves dos fatores. Num expermento fatoral completo, cada nível de um fator combna com todos os níves dos outros fatores. A prncpal aplcação de expermentos fatoras é quando se quer saber sobre o efeto de dversos fatores que nfluencam na varável em estudo e o relaconamento entre eles. A smbologa comumente utlzada, para expermentos fatoras é ndcar o produto dos níves dos fatores em teste. Por exemplo: Expermento Fatoral x4x6. O produto x4x6 nforma que no expermento foram testados smultaneamente 3 fatores. O prmero possu níves, o segundo 4 níves e o tercero 6 níves. Quando o número de níves é gual para todos os fatores, pode-se utlzar a segunte smbologa: n F, em que F é o número de fatores n é o número de níves de cada fator. Por exemplo: Expermento Fatoral 4 3. A potênca 4 3 nforma que o expermento tem 3 fatores com 4 níves cada um. 8.. Tpos de efetos avalados em um expermento fatoral Nos expermentos fatoras, podem ser estudados os seguntes efetos: - Efeto Prncpal: é o efeto de cada fator, ndependente do efeto dos outros fatores; - Efeto de Interação: é o efeto smultâneo dos fatores sobre a varável em estudo. Dzemos que ocorre nteração entre os fatores quando os efetos dos níves de um fator são modfcados pelos níves do outro fator. O efeto da nteração pode ser mas faclmente compreenddo por meo de gráfcos. Para lustrar o efeto da nteração, consdere um expermento fatoral 3x, em que os fatores em testes são Varedade (V) e Espaçamento (E). Os tratamentos para este expermento são os seguntes: VE VE V3E VE VE V3E 7

77 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Suponha os seguntes resultados fctícos, para a varável altura de plantas (cm), deste expermento, nas seguntes stuações: ) Não há nteração Varedades Espaçamentos V V V3 E 8 0 E Quando não há nteração as dferenças entre os resultados dos níves de um fator são estatstcamente guas para todos os níves do outro fator. 0 Altura de plantas (cm) E E 0 V V V3 ) Há nteração Varedades Espaçamentos V V V3 E 4 6 E 5 0 Quando há nteração as dferenças entre os níves de um fator dependem dos níves do outro fator. 0 E 9 8 E 7 6 Altura de 5 plantas (cm) V V V Quadro de tabulação de dados Uma manera de tabular os dados de um expermento fatoral, com dos fatores A e B, com I e níves, respectvamente, nstalados segundo o DIC, com K repetções, é fornecda a segur: 7

78 Cap 8 Expermentos Fatoras A A AI Repetção B B... BJ B B... BJ... B B... BJ Y Y... Y J Y Y... Y J... Y I Y I... Y IJ Y Y... Y J Y Y... Y J... Y I Y I... Y IJ K Y K Y K... Y JK Y K Y K... Y JK... Y IK Y IK... Y IJK Total Y Y... Y Y Y... Y... Y Y... Y J Deste quadro, pode-se trar algumas nformações que posterormente serão útes na análse de varânca: K - Total do j-ésmo tratamento: ( AB) j = Yjk = Yj J k= J,K - Total do -ésmo nível do fator A: A = Yjk = Y j=,k = I,K - Total do j-ésmo nível do fator B: B j = Yjk = Y j =,k = I,J,K - Total Geral: G = Yjk = A = B j = YL =,j =,k = A - Méda do -ésmo nível do fator A: A = JK B j - Méda do j-ésmo nível do fator B: B =, IK G - Méda geral: = N - Número total de parcelas: N=IJK - Pode-se montar um quadro auxlar contendo os totas de tratamentos, cujos valores são obtdos pela soma de todas as repetções para o tratamento em questão. Este quadro faclta o cálculo das somas de quadrados devdo aos fatores A e B, e da nteração entre eles. Para a stuação ctada, o quadro de totas de tratamentos é do segunte tpo: I = J j= Fator A Fator B B B... BJ Totas A Y. Y.... Y J. A A Y. Y.... Y J. A AI Y I. Y I.... Y IJ. A I Totas B B... B j G I I IJ 73

79 EST 0 Estatístca Expermental I/ Modelo estatístco Consdere um expermento fatoral, com dos fatores: o fator A com I níves e o fator B com J níves, nstalados segundo o DIC, com K repetções. O modelo estatístco para um expermento como este é: Y jk = m + α + β j + ( αβ) j + ejk em que, Y jk é o valor observado para a varável em estudo referente a k-ésma repetção da combnação do -ésmo nível do fator A com o j-ésmo nível do fator B; m é a méda de todas as undades expermentas para a varável em estudo; α é o efeto do -ésmo nível do fator A no valor observado Y jk ; β j é o efeto do j-ésmo nível do fator B no valor observado Y jk ; ( αβ ) j é o efeto da nteração do -ésmo nível do fator A com o j-ésmo nível do fator B; e jk é o erro assocado a observação Y jk. Para um expermento fatoral nstalado segundo o DBC, com K blocos, o modelo estatístco sera: Y = m + α + β + ( αβ) j + ω + e jk j k jk em que, ω é o efeto do k-ésmo bloco na observação k Y jk Análse de Varânca A análse de varânca de um expermento fatoral é feta desdobrando-se a soma de quadrados de tratamentos nas partes devdo aos efetos prncpas de cada fator e na parte devdo à nteração entre os fatores. O quadro a segur apresenta como sera a análse de um expermento fatoral, com fatores A e B, com I e J níves, respectvamente, e K repetções, nstalado segundo o DIC. FV GL SQ QM F F tab;α A (I-) SQA B (J-) SQB AxB (I-)(J-) SQAxB SQAxB QMAxB ( I )( J ) QMRe s [(I-)(J-); n ] (Trat) (IJ-) (SQTrat) Resíduo n =IJ(K-) SQRes SQRe s IJ( K ) - - Total IJK SQTotal - - As fórmulas para a obtenção das somas de quadrados são as seguntes: 74

80 Cap 8 Expermentos Fatoras I,J,K jk =,j =,k = SQTotal = Y I,J SQTrat = = =,j Y j. K C J B j SQB = C IK j= SQResíduo = SQTotal SQTrat C C = Y jk,k = IJK I,J,K =,j = SQA = = I A C JK SQAxB = SQTrat SQA SQB O quadro abaxo apresenta como sera a análse de um expermento fatoral, com fatores A e B, com I e J níves, respectvamente, e K repetções (ou blocos), nstalado segundo o DBC. FV GL SQ QM F F tab,α A (I-) SQA B (J-) SQB AxB (I-)(J-) SQAxB SQAxB QMAxB ( I )( J ) QMRes [(I-)(J-); n ] (Trat) (IJ-) (SQTrat) Blocos K- SQBlocos Resíduo n =(IJ-)(K-) SQRes SQRe s (IJ ) ( K ) - - Total IJK - SQTotal Nesta stuação, K SQBlo cos = = em que, k W k IJ C Total do k-ésmo bloco: W k I,J = Y = jk =,j Conforme apresentado nas duas tabelas anterores, na análse dos dados orundos de um expermento fatoral, para os dos tpos de delneamentos, deve-se ncalmente proceder ao teste F para a nteração entre os fatores. As hpóteses para o teste F da nteração são: H 0 : Os fatores A e B atuam ndependentemente sobre a varável resposta em estudo. H a : Os fatores A e B não atuam ndependentemente sobre a varável resposta em estudo. O resultado deste teste F para a nteração ndca como as comparações dos níves de um fator devem ser realzadas. Temos dos resultados possíves para o teste F da nteração os quas serão apresentados a segur. = Y k 75

81 EST 0 Estatístca Expermental I/ Interação não-sgnfcatva Este caso ocorre quando a hpóteseh 0 para a nteração entre os fatores não é rejetada. Este resultado mplca que os efetos dos fatores atuam de forma ndependente. Portanto recomenda-se que as comparações dos níves de um fator sejam fetas de forma geral em relação ao outro fator, ou seja, ndependente dos níves outro fator. O passo segunte na análse estatístca dos dados expermentas é proceder ao teste F para cada fator como lustrado na tabela apresentada a segur para o caso do DBC. FV GL SQ QM F F tab, α A (I-) SQA SQA QMA ( I ) QMRes [(I-);n] B (J-) SQB SQB QMB ( J ) QMRes [(J-);n] AxB (I-)(J-) SQAxB SQAxB nãosgnfcatvo ( I )( J ) - (Trat) (IJ-) (SQTrat) Blocos K- SQBlocos Resíduo n =(IJ-)(K-) SQRes SQRe s (IJ ) ( K ) - - Total IJK - SQTotal As hpóteses para realzar o teste F para os efetos prncpas são Fator A H 0 :ma = ma =... = mai ou seja, todos os possíves contrastes entre as médas dos níves do fator A, são estatstcamente nulos, ao nível de probabldade em que fo executado o teste. H a :não H 0 ou seja, exste pelo menos um contraste entre as médas dos níves do fator A, que é estatstcamente dferente de zero, ao nível de probabldade em que fo executado o teste. Fator B H 0 :mb = mb =... = mbj ou seja, todos os possíves contrastes entre as médas dos níves do fator B, são estatstcamente nulos, ao nível de probabldade em que fo executado o teste. H a :não H 0 ou seja, exste pelo menos um contraste entre as médas dos níves do fator B, que é estatstcamente dferente de zero, ao nível de probabldade em que fo executado o teste. Se os fatores A e B forem qualtatvos, e o teste F para A e/ou B, for não sgnfcatvo, a aplcação do teste de médas é desnecessára. Se o teste F for sgnfcatvo, para A e/ou B, aplca-se um teste de médas para comparar os níves do fator. As estmatvas das médas dos níves dos fatores são obtdas por 76

82 Cap 8 Expermentos Fatoras Fator A Fator B A = Bj = A JK B j IK Para realzar o teste de Tukey para comparar as medas dos níves dos fatores em teste temos que usar A B q α QMRe s q (I;n ) JK QMRe s q (J;n ) IK Para o teste de Duncan temos que usar A B D z α z QMRe s JK (n A ;n ) z QMRe s IK (n B ;n ) Em que n A e n B são os números de médas ordenadas abrangdas pelo contraste sendo testados. As hpóteses para os testes Tukey e Duncan para comparar as médas dos níves dos fatores são Fator A H 0 : m A = m Au versus H a : m A m Au para u =,, 3,..., I Fator B H 0 : m Bj = m Bu versus H a : m Bj m Bu para j u =,, 3,..., J Para a aplcação do teste t temos que usar A B Ĉ A t C QMRe s JK Ĉ B C QMRe s IK A I = B J j= a b j t tab t α (n ) t α (n ) Em que C A = a m A + a m A a I m AI C B = b m B + b m B b I m BJ e 77

83 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Para a aplcação do teste Scheffé para testar os contrastes Y A e Y B temos que usar A B S I QMRes tab a JK = F tab S = (I )F F α [(I -); n ] QMRes S = (J )F F α [(J -); n ] tab b j IK j= J As hpóteses para os testes de Scheffé e t para testar os contrastes são Fator A H 0 : C A = 0 versus H a : C A 0 Fator B H 0 : C B = 0 versus H a : C B Interação sgnfcatva Este caso ocorre quando a hpótese H 0 para a nteração entre os fatores é rejetada. Este resultado mplca que os efetos dos fatores atuam de forma dependente. Neste caso as comparações entre os níves de um fator levam em consderação o nível do outro fator, pos o resultado sgnfcatvo para a nteração ndca que o efeto de um fator depende do nível do outro fator. Portanto, não é recomendado realzar o teste F para cada fator soladamente tal como fo apresentado para o caso da nteração nãosgnfcatva. O procedmento recomendado é realzar o desdobramento do efeto da nteração. Para realzar este desdobramento deve-se fazer uma nova análse de varânca em que os níves de um fator são comparados dentro de cada nível do outro fator, tal como apresentado nas tabelas a segur. Desdobramento para comparar os níves de A dentro de cada nível de B, ou seja, estudar A/B FV GL SQ QM F F tab, α A/B (I-) SQA/B SQA /B QMA /B ( I ) QMRes [(I-);n ] A/B (I-) SQA/B SQA /B QMA /B ( I ) QMRes [(I-);n ] A/BJ (I-) SQA/BJ SQA /BJ QMA /BJ ( I ) QMRes [(I-);n ] Resíduo n QMRes - Total IJK - SQTotal As hpóteses para testar as fontes de varação da tabela acma, para j=,, 3,..., J, são H 0 : m A/Bj = m A/Bj =... = m AI/Bj H a :não H 0 Desdobramento para comparar os níves de B dentro de cada nível de A, ou seja estudar B/A 78

84 Cap 8 Expermentos Fatoras FV GL SQ QM F F tab, α SQB / A B/A (J-) SQB/A ( J ) QMB / A QMRes [(J-);n ] B/A (J-) SQB/A SQB / A QMB / A ( J ) QMRes [(J-);n ] B/AI (J-) SQB/AI SQB / AI QMB / AI ( J ) QMRes [(J-);n ] Resíduo n QMRes - Total IJK - SQTotal As hpóteses para testar as fontes de varação da tabela acma, para =,, 3,..., I, são H 0 : m B/A = m B/A =... = m BJ/A H a :não H 0 Em que as SQA/Bj e SQB/A podem ser obtdas usando a fórmula geral para a soma de quadrados dada por SQ k X = = k = r r = Se os fatores forem qualtatvos, procede-se ao teste F para cada fonte de varação do desdobramento. Nas fontes de varação em que o teste F fo sgnfcatvo e o fator tem mas de dos níves, recomenda-se a aplcação de um teste de médas. As estmatvas das médas dos níves dos fatores são obtdas por Fator A Fator B A = Bj = A K B K j Para realzar o teste de Tukey para comparar as médas dos níves dos fatores em teste temos que usar k X A B q α QMRes q (I;n ) K QMRes q (J;n ) K 79

85 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Para o teste de Duncan temos que usar A B D z α z QMRe s K (n A ;n ) z QMRe s K (n B ;n ) Em que n A e n B são os números de médas ordenadas abrangdas pelo contraste sendo testados. As hpóteses para os testes Tukey e Duncan para comparar as médas dos níves dos fatores são Fator A H 0 : m A/Bj = m Au/Bj versus H a : m A/Bj m Au/Bj para u =,, 3,..., I e j =,,..., J Fator B H 0 : m Bj/A = m Bu/A versus H a : m Bj/A m Bu/A para j u =,, 3,..., J e =,,..., I Para a aplcação do teste t temos que usar A B Ĉ A t C QMRe s K Ĉ B C QMRe s K A I = B JI j= a b t tab t α (n ) t α (n ) Em que C A = a m A/Bj + a m A/Bj a I m AI/Bj para j =,,..., J e C B = b m B/A + b m B/A b J m BJ/A para =,,..., I Para a aplcação do teste Scheffé para testar os contrastes C A e C B temos que usar A B S I tab a K = F tab QMRe s S = (I )F F α [(I -); n ] QMRes S = (J )F F α [(J -); n ] J tab b j K j= As hpóteses para os testes de Scheffé e t para testar os contrastes são Fator A H 0 : C A = 0 versus H a : C A 0 Fator B H 0 : C B = 0 versus H a : C B 0 80

86 Cap 8 Expermentos Fatoras 8.6. Vantagens e desvantagens de um expermento fatoral 8.6. Vantagens a. Permte o estudo dos efetos prncpas e o efeto da nteração entre os fatores. b. O n o de graus de lberdade assocado ao resíduo é alto quando comparado com os expermentos smples dos mesmos fatores, o que contrbu para dmnur a varânca resdual, aumentando a precsão do expermento Desvantagem b. Requer maor número de undades expermentas em relação aos expermentos smples Exercícos 8.. Seja um expermento fatoral nstalado no DIC, com dos fatores: Irrgação (A) e Calagem (B), cada um deles com dos níves: presença ( A e B ) e ausênca ( A 0 e B 0 ). Os dados obtdos (kg de planta/parcela) para cada tratamento são fornecdos abaxo. Pede-se realzar a ANOVA e obter as conclusões sobre os fatores. Use α = 5%. A0B0 A0B AB0 AB Em um expermento fatoral no DIC em que foram combnadas duas doses de N e duas doses de fósforo, com 5 repetções, são dados: P0 P N0 0,5,0 9,8, 9,9,,0 0,4 3, 0,6 N,5,4 0,,7 0,4 4,0 4, 3,8 3,5 4, Consderando o nível de sgnfcânca de 5%, conclur sobre os efetos dos fatores Fo realzada uma pesqusa para testar dos tpos de ambente (com luz artfcal e sem luz artfcal no período da note) e dos tpos de ração (com cálco e sem cálco). Para tanto foram utlzadas 4 poederas smlares, escolhdas aleatoramente. Ao fnal da avalação foram obtdos os seguntes resultados (ovos/poedera): Ambente à note Ração com luz artfcal sem luz artfcal com cálco sem cálco

87 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Ao nível de % de probabldade e admtndo que se trata de um expermento nstalado segundo o DIC, pede-se: a) Pode-se afrmar que o tpo de Ração e o tpo de Ambente atuam ndependentemente na produção de ovos? b) Qual sera o tpo de Ração recomendada? (Use o teste Tukey se necessáro). c) Qual sera o tpo de Ambente recomendado? (Use o teste Tukey se necessáro) Para um expermento montado no DBC e que se pretenda verfcar o efeto dos fatores tpo de vaslhame e tpo de fonte nutrtva no crescmento de colônas bacteranas em laboratóro, foram obtdos os seguntes resultados, após o térmno da realzação do expermento: Totas de Tratamento para o n o de colônas bacteranas Fonte nutrtva (F) a base de Vaslhame (V) N P K Total Tubo de Ensao Placa de Petr Total Resumo da ANOVA FV GL SQ QM F V F VxF Blocos 4,7 Resíduo,05 Total Com base nos resultados fornecdos acma, pede-se, ao nível de 5% de probabldade: a) Os fatores fonte nutrtva e vaslhame atuam ndependentemente no n o de colônas bacteranas? Justfque sua resposta. b) Qual a melhor fonte nutrtva para o vaslhame placa de petr? (Use o teste Tukey, se necessáro). c) Qual o melhor vaslhame para a fonte nutrtva a base de K? (Use o teste Tukey, se necessáro) Um expermento, nstalado segundo o Delneamento Interamente Casualzado com 5 repetções, com o objetvo de verfcar o efeto de cultvares de Eucalpto e de espaçamentos na produção de carvão, forneceram os seguntes resultados: 8

88 Cap 8 Expermentos Fatoras Totas de Tratamentos Varedades Espaçamentos V V Totas E E Totas SQResíduo = 7,00 Usando o nível de sgnfcânca de 5% e aplcando o teste Tukey quando necessáro, pede-se: a) Os fatores varedades e espaçamentos atuam ndependentemente na produção de carvão? b) Qual fo a varedade que forneceu a menor produção? c) Qual fo o espaçamento que forneceu a maor produção? 8.6. Abaxo são fornecdos o Quadro da Análse de Varânca e o Quadro de Interação para um expermento fatoral nstalado segundo o Delneamento em Blocos Casualzados, com 4 repetções, que fo realzado por um zootecnsta para comparar 3 raças de suínos e tpos de rações com relação ao teor de gordura na carcaça. Totas de Tratamentos Raça Ração Totas Totas FV GL SQ QM F Ração 5, Raça,0000 Interação (Tratamentos) (0,3750) Blocos - Resíduo 5,0000 Total Ao nível de 5% de probabldade, pede-se: a)os fatores Raça e Ração atuam ndependentemente no teor de gordura dos suínos? b)proceda a análse do fator Ração, da manera adequada, conforme o resultado obtdo para o teste F da Análse de Varânca para a Interação Raça*Ração. 83

89 EST 0 Estatístca Expermental I/ Suponha que você esteja partcpando de uma seleção para um emprego numa empresa de pesqusa. Dentre as váras áreas em avalação, consta a área de Estatístca, que objetva avalar seus conhecmentos na área, não smplesmente pedndo-lhe para fazer "contas" (o que eles acham ser de menor mportânca), mas sm com respeto à estratéga de análse, nterpretação, dscussão e tomada de decsão. São fetas as seguntes perguntas: a) Como você fara um "lego" entender o que vem a ser INTERAÇÃO ENTRE DOIS FATORES A e B. Para explcar você pode usar exemplos, gráfcos, tabelas, etc, à sua escolha. b) Qual a estratéga de análse a ser efetuada (ou os passos da análse subseqüente) nos seguntes casos de um fatoral com dos fatores A e B: b.) INTERAÇÃO NÃO SIGNIFICATIVA; b.) INTERAÇÃO SIGNIFICATIVA Para se avalar o comportamento de 4 espéces de fungos (A, B, C e D) com relação ao crescmento em meo mínmo (m.m.) com (c/) ou sem (s/) a fonte nutrtva extrato de levedura, fo realzado um expermento fatoral 4x no D.B.C. com 5 repetções. Após a coleta e tabulação dos dados (numa undade de medda qualquer) fo montado o segunte quadro de nteração de totas de tratamentos: Meo Fungo A Fungo B Fungo C Fungo D Totas m.m.c/ m.m s/ Totas A análse de varânca dos dados no computador forneceu o segunte quadro (ncompleto) da ANOVA: F.V. G.L. QM Fator A 44,40 Fator B 3 9,40 Int. AxB 49,0 (Trat) ---- Blocos ---- Resíduo 0,00 Total Com base nos resultados fornecdos acma, pede-se: (obs.: use α=%) a) Cada valor nterno no quadro de nteração acma veo de quantas observações? Justfque. b) Complete a coluna de G.L. do quadro acma, explcando como obteve cada um deles. c) A que se refere o Fator A do quadro da ANOVA acma? E o Fator B? Justfque suas respostas. d) Os fatores em estudo atuam ndependentemente na varável em análse (crescmento)? Justfque sua resposta. e) Qual meo de cultura (meo mínmo com extrato de levedura ou meo mínmo sem extrato de levedura) você usara para propcar um maor crescmento do fungo B? Justfque sua resposta. 84

90 Cap 8 Expermentos Fatoras f) Compare por meo de um contraste, a méda do grupo de fungos A e B com a méda do grupo de fungos C e D pelo teste t e Scheffé quando o meo de cultura com extrato de levedura fo utlzado. Assuma que as pressuposções dos testes t e Scheffé foram satsfetas Em um expermento no esquema fatoral, com dos fatores qualtatvos A e B, em que se deseja estudar os efetos dos dos fatores, qual procedmento deve-se adotar quando: a) A nteração for não-sgnfcatva. b) A nteração for sgnfcatva Do fatoral 4x3, no DIC com 3 repetções, são dados: A A A3 A4 B B B Para o nível de sgnfcânca de 5%, pede-se: a) ANOVA b) Teste de Tukey c) Testar o contraste C = m + m m pelo teste de B/ A B / A B3 / A Scheffé. 8.. De um expermento no DBC, no esquema fatoral, foram obtdos os seguntes resultados: Totas de Tratamentos A A A3 B B B Y = jk Bloco 3 Total Pede-se ( α = 5% ): a) ANOVA b) Teste de Duncan 8.. Dzer o que você entende e como nterpreta uma nteração entre dos fatores A e B sgnfcatva, para um determnado α. 85

91 EST 0 Estatístca Expermental I/ Analsar os dados do fatoral x3, ambos qualtatvos, resumdos nos quadros de nterações e ANOVA, e aplcar o teste de Duncan, se for o caso, para α = %. Totas de Tratamentos B B B3 Total A 0,3,4 0,9 6,6 A,4,3 35,6 79,3 Total 4,7 43,7 56,5 4,9 Y = 84, 56. jk FV GL SQ Bloco 5 00,346 A 7,7469 B 0,7467 AxB 0,489 Resíduo Total 8.4. Com os dados do quadro de nteração do fatoral x6, no delneamento em Blocos Casualzados com repetções, e consderando α = 5% com os fatores A e B atuando dependentemente, pede-se : a) testar e conclur a respeto do fator A dentro do nível B4 b) Fazer o estudo do fator B dentro dos níves de A procedendo a análse de varânca e o teste de Tukey se necessáro B B B3 B4 B5 B6 Total A 46,8 48, 47,3 49,0 48,5 46,9 86,7 A 47, 60,8 69,3 7,6 6,5 46,8 357, Total 94,0 09,0 6,6 0,6 0,0 93,7 643,9 SQResíduo = 0, Em um expermento fatoral 4x no delneamento em Blocos Casualzados com 3 repetções, são dados: A A A3 A4 Total B 0,5 6, 3,0 36,5 4, B 5,6,4 6,4 9,8 93, Total 36, 47,6 57,4 66,3 07,4 SQTotal = 59,98 Blocos I II III Totas 60,4 74,6 7,4 Sabendo-se que os fatores A e B atuam ndependentemente e adotando-se α = 5%, pede-se: a) aplcar o teste de Scheffé ao contraste C = m + m + 3m 6m A A A3 A4 b) conclur a respeto do fator B 86

92 Cap 8 Expermentos Fatoras 8.6. Em um expermento fatoral em que foram combnados 4 níves do fator A com níves do fator B, no delneamento em Blocos Casualzados com 5 repetções, são dados: Níves de A A A A3 A4 Totas SQResíduo = 3,9680 Admtndo que os fatores atuam ndependentemente, aplcar o teste Tukey aos níves do fator A e conclur para α = 5% Em um expermento fatoral, no DIC foram combnados níves do fator A com 3 níves do fator B (ambos qualtatvos), com 3 repetções. Os valores obtdos para cada repetção nos tratamentos avalados, são dados abaxo. B B B3 A A Pede-se: a) Verfcar se os dos fatores atuam ndependentemente. Use α = 5%. b) Faça um estudo completo acerca dos níves do fator A. Conclur para α = 5% Num expermento com suínos foram comparadas três rações (A, B, C) e dos níves de proteína (-Alto, -Médo), utlzando um delneamento nteramente casualzado num esquema fatoral com 5 repetções. Ao fnal do expermento, obteve-se o segunte quadro de nteração para os totas de tratamentos: Proteína Rações A B C Totas Totas Ao nível de 5% de probabldade, pede-se: a. Complete o quadro da ANOVA e verfque se os fatores rações e níves de proteína atuam ndependentemente. FV GL SQ QM F Ração Proteína Interação 40,4667 0,34 (Tratamentos) Resíduo 4957,0 Total b. Qual sera a ração a ser recomendada? (Use o teste de Duncan se necessáro) 87

93 EST 0 Estatístca Expermental I/008 c. Qual sera o nível de proteína a ser recomendado? (Use o teste de Duncan se necessáro) Um pesqusador nstalou um expermento para avalar o efeto que o horáro de colheta e o tpo de colhetadera têm na perda de grãos. Para sto foram escolhdos três horáros de colheta (H, H e H3) e dos tpos de colhetadera (T e T). O pesqusador defnu como undade expermental uma área de 0 0 metros. Como as undades expermentas eram homogêneas, o pesqusador dstrbuu nteramente ao acaso os tratamentos, ou seja, as combnações dos níves dos fatores, HT, HT, HT, HT, H3T e H3T, às undades expermentas conforme lustrado na Fgura. Fgura Dstrbução dos tratamentos às undades expermentas e respectvas perdas (em gramas) observadas durante a colheta 0 m 0 m HT (43) HT (54) H3T (7) H3T (74) H3T (56) HT (65) HT (39) HT (67) H3T (73) HT (48) HT (49) H3T (59) HT (4) H3T (5) HT (35) HT (56) HT (6) HT (58) HT (6) HT (47) H3T (58) HT (59) HT (40) HT (64) HT (59) H3T (57) HT (38) H3T (77) HT (45) H3T (75) Valores observados tabulados H H H3 Total T T (30) Totas de Tratamentos H H H3 Totas T 08 (5) (5) T Totas 496 (0) (30) 88

94 Cap 8 Expermentos Fatoras Com base nas nformações fornecdas, pede-se: Os fatores, horáro de colheta e tpo de colhetadera, atuam ndependentemente na perda de grãos? Em qual(s) horáro(s) de colheta ocorreu maor(es) méda(s) de perda de grãos? Use o teste de Tukey e de Duncan Testar o contraste C = m H m H m H3 pelos testes de Scheffé e t. Suponha que todas as pressuposções para a realzação de tas testes sejam satsfetas Qual tpo de colhetadera ocorreu maor méda de perda de grãos? Use o teste de Tukey e de Duncan se necessáro Testar o contraste C = m T m T pelos testes de Scheffé e t. Suponha que todas as pressuposções para a realzação de tas testes sejam satsfetas Um Engenhero de Produção, objetvando aumentar a efcênca de uma lnha de produção, nstalou um expermento fatoral segundo o delneamento nteramente casualzado com 5 repetções. Neste expermento foram comparados dos tpos de controle de qualdade (A e A). Cada um dos dos tpos de controle de qualdade fo testado usando dos processos de fabrcação (B e B). O tempo gasto, em mnutos, para completar o processo de fabrcação fo meddo. O quadro de totas de tratamentos é fornecdo a segur: Totas de Tratamentos Fator A Fator B A A Totas B B 90 0 Totas Resumo da ANOVA FV GL SQ QM F A 0,05 B A*B Tratamentos 9,95 Resíduo Total,55 Com base nestas nformações, pede-se (use o nível de 5% de sgnfcânca): Os fatores controle de qualdade e processo de fabrcação atuam ndependentemente sobre o tempo gasto para fabrcação? Justfque a sua resposta. 89

95 EST 0 Estatístca Expermental I/ Qual processo de fabrcação é mas rápdo quando o controle de qualdade A é utlzado? Utlze o teste de Tukey, se necessáro. Justfque a sua resposta. 8.. Uma fábrca de automóves realzou um expermento fatoral segundo o delneamento nteramente casualzado com ses repetções, para verfcar o efeto de dos fatores sobre o consumo de combustível. O prmero fator se refere ao método de aceleração: eletrônca (A) ou va cabo mecânco (A). O outro fator se refere ao porte do motor: pequeno (B), médo (B) ou grande (B3). Os níves destes dos fatores foram combnados, obtendo-se um total de ses tratamentos. Foram montados 36 carros e o consumo destes carros, expresso em km/l, foram meddos. Os totas observados para cada tratamento foram Totas de Tratamentos Fator A Fator B A A Totas B B B Totas FV GL SQ QM F A 7, B,99 A*B Tratamentos Resíduo 48,67 Total 78,89 Baseado nestas nformações e usando o nível de % de sgnfcânca, pede-se: 8... Os fatores método de aceleração e porte do motor atuam ndependentemente sobre o consumo de combustível dos carros? Justfque a sua resposta Qual método de aceleração proporcona maor consumo? Utlze o teste de Duncan se necesáro. Justfque a sua resposta. 8.. Foram obtdos os seguntes resultados parcas com a realzação de um expermento com dos fatores A e B, nstalado segundo o DBC com 3 blocos: Resumo (ncompleto) da ANOVA FV GL SQ QM F A B AxB 035,33 (Trat) Blocos Resíduo 80,00 Total Totas de Tratamentos 90

96 Cap 8 Expermentos Fatoras B B Totas A A A A Totas Usando o nível de 5% de sgnfcânca, pede-se: 8.. Os fatores A e B atuam ndependentemente? 8.. Proceda ao estudo do fator B dentro do nível A e conclua (use o teste de Tukey se necessáro) Supondo que o teste F da análse de varânca para o estudo de A dentro de B fo sgnfcatvo, proceda ao teste de Tukey para comparar os níves de A dentro de B. 9

97 EST 0 Estatístca Expermental I/ Em um expermento fatoral nstalado segundo o delneamento nteramente casualzado, foram testados três tpos de suplementos mneras (Fator A) e dos tpos de suplementos vegetas (Fator B) no confnamento de bovnos. Os ganhos de peso obtdos pelos anmas em teste foram: Repetções Tratamentos 3 4 Totas AB 35, 36,0 35,0 35,4 4,6 AB 3,8 34,6 36,7 35, 39,3 AB 34,7 36,3 35, 36,4 4,5 AB 8,6 3, 9,0 8,6 7,3 A3B 33,8 9,4 8,8 9,, A3B 30,8 3,4 3,8 3,3 6,3 Fator B Fator A Totas 4,6 39,3 80,9 4,5 7,3 59,8 3, 6,3 47,5 Totas 405,3 38,9 788, FV GL SQ QM F A 7,34 B AxB (Trat) 54,33 Resíduo 33,59 Total 88, Com base nas nformações fornecdas, pede-se: 8.3. O valor do F calculado para testar o efeto da nteração entre os fatores A e B O valor do F calculado para comparar os níves de B dentro do nível A O valor do F calculado para comparar os níves de A dentro do nível B 9

98 Cap 8 Expermentos Fatoras 8.4. Em um expermento nstalado segundo o delneamento nteramente casualzado, com 4 repetções, foram estudados os fatores A e B, com 3 e níves respectvamente. Deste expermento, são fornecdas as seguntes nformações: FV GL SQ QM F A 9,86 B 9,08 AxB (Trat) (75,70) Resíduo Total 98,70 Ttotas de Tratamentos Fator B A Fator A A A3 Totas B 0,6 03,5 80, 86,3 B 0,3 78,3 85,3 64,9 Totas 03,9 8,8 65,5 55, Com base nas nformações fornecdas, pede-se (use o nível de % de sgnfcânca quando necessáro) Os fatores A e B atuam ndependentemente? Exste dferença entre os níves de A dentro do nível B? Qual o nível de B apresenta maor méda dentro do nível A? Use o teste de Tukey, se necessáro. 93

99 EST 0 Estatístca Expermental I/ Fo realzado um expermento, nstalado segundo o delneamento nteramente casualzado no esquema fatoral, para avalar o efeto do fator Recpente e do fator Espéce na altura da muda aos 80 das de dade. Os níves do fator recpente avalados foram saco plástco pequeno, saco plástco grande e saco lamnado, daqu por dante dentfcados como R, R e R3, respectvamente. Os níves do fator espéce avalados foram Eucalyptus ctrodora e Eucalyptus grands daqu por dante dentfcados como, E e E, respectvamente de eucalpto. Os valores observados, em cm, foram Repetções Tratamentos 3 4 Totas RE 6, 6,0 5,0 5,4 0,6 RE 4,8 4,6 6,7 5, 0,3 3 RE 5,7 6,3 5, 6,4 03,5 4 RE 9,6, 9,0 8,6 78,3 5 R3E,8 9,4 8,8 9, 80, 6 R3E 9,8,4,8,3 85,3 Usando α=% a) Os fatores, Recpente e Espéce, atuam ndependentemente na altura das mudas? b) Levando em consderação o teste F para a nteração entre os fatores, ndque qual(s) nível(s) de Recpente proporconou(aram) maor méda de altura das mudas? Use o teste de Tukey quando necessáro. c) Idem para Espéce. Use o teste de Tukey quando necessáro. d) Utlze os testes de Scheffé e t para testar os contrastes aproprados, os quas foram elaborados pelo pesqusador durante o planejamento deste expermento Fator Interação Recpente Espéce Sgnfcatva C = m R/E + m R/E m R3/E C = m E/R m E/R Não-sgnfcatva C 3 = m R + m R m R3 C 4 = m E m E Informação adconal: Quadro de Totas de Tratamentos Recpentes Espéces R R R3 Totas E 0,6 (4) 03,5 80, 86,3 () E 0,3 78,3 85,3 64,9 () Totas 03,9 (8) 8,8 65,5 55, (4) Observação: Este exercíco fo adaptado de BANZATTO e KRONKA (989) 94

100 EST 0 Estatístca Expermental I/ Expermentos em Parcelas Subdvddas 9.. Introdução Tal como no caso de fatoral, o termo parcelas subdvddas não se refere a um tpo de delneamento e sm ao esquema do expermento, ou seja, a manera pela qual os tratamentos são organzados. Nos expermentos em parcelas subdvddas, em geral, estuda-se smultaneamente dos tpos de fatores os quas são geralmente denomnados de fatores prmáros e fatores secundáros. Em um expermento em parcelas subdvddas, as undades expermentas são agrupadas em parcelas as quas devem conter um número de undades expermentas (subparcelas) gual ao número de níves do fator secundáro. Na nstalação os níves do fator prmáro são dstrbuídos às parcelas segundo um tpo de delneamento expermental (DIC, DBC, etc...). Posterormente os níves do fator secundáro são dstrbuídos ao acaso as subparcerlas de cada parcela. Como a varação resdual entre subparcelas é esperada ser menor do que entre parcelas, deve-se escolher como fator secundáro, o fator que se espera apresentar menor dferenças, ou para o qual deseja-se maor precsão. Às vezes o pesqusador pode optar entre um expermento com parcelas subdvddas e um expermento fatoral. Para a escolha do esquema em parcelas subdvddas, o pesqusador pode se basear nos seguntes crtéros (VIEIRA, 989): - a parcela é uma undade "físca" (um vaso, um anmal, uma pessoa) que pode receber város níves de um fator secundáro; - o fator prncpal exge "grandes parcelas" - como é o caso da rrgação e de processos ndustras; 3 - o pesqusador quer comparar níves de um fator secundáro com maor precsão. 9.. Modelo estatístco O modelo estatístco, para um expermento em parcelas subdvddas, vara de acordo com o tpo de delneamento utlzado. Assm, para um expermento nstalado segundo o DIC, em que o fator A é o fator prmáro e o fator B é o fator secundáro, o modelo estatístco é: Y jk = m + α + δk + βj + ( αβ) j + ejk em que, Y jk é o valor observado para a varável em estudo referente a k-ésma repetção da combnação do -ésmo nível do fator A com o j-ésmo nível do fator B; m é a méda de todas as undades expermentas para a varável em estudo; α é o efeto do -ésmo nível do fator A no valor observado Y jk ; β j é o efeto do j-ésmo nível do fator B no valor observado Y jk ; 95

101 Cap 9 Expermentos em Parcelas Subdvddas ( αβ ) j é o efeto da nteração do -ésmo nível do fator A com o j-ésmo nível do fator B; δ k é o efeto resdual das parcelas, caracterzado como componente do erro (a); e jk é o efeto resdual das subparcelas, caracterzado como componente do erro (b). Para um expermento em parcelas subdvddas nstalado segundo o DBC, com K blocos, o modelo estatístco sera: Y = m + α + δ + β + ( αβ ) j + ω + e jk k j k jk em que, ω k é o efeto do k-ésmo bloco na observação Y jk Quadro de tabulação de dados O quadro de tabulação de dados de um expermento em parcelas subdvddas é smlar ao usado para tabular os dados de um expermento em fatoral. O quadro a segur, lustra a tabulação de dados de um expermento em parcelas subdvddas, no qual o fator prmáro é representado pelo fator A com I níves, e o fator secundáro representado pelo fator B com J níves: A A AI Repetção B B... BJ B B... BJ... B B... BJ Y Y... Y J Y Y... Y J... Y I Y I... Y IJ Y Y... Y J Y Y... Y J... Y I Y I... Y IJ K Y K Y K... Y JK Y K Y K... Y JK... Y IK Y IK... Y IJK Total Y Y... Y Y Y... Y... Y Y... Y J Deste quadro, pode-se trar algumas nformações que posterormente serão útes na análse de varânca: K - Total do j-ésmo tratamento: ( AB) j = Yjk = Yj J k= J,K - Total do -ésmo nível do fator A: A = Yjk = Y j=,k = I,K - Total do j-ésmo nível do fator B: B j = Yjk = Y j =,k = I,J,K - Total Geral: G = Yjk = A = B j = YL =,j =,k = - Total de Parcelas: P = J I = z Y jk j= - Total de Blocos: W = I,J k Y jk =,j = J j= I I IJ 96

102 EST 0 Estatístca Expermental I/008 - Méda do -ésmo nível do fator A: - Méda do j-ésmo nível do fator B: G - Méda geral: = N - Número de parcelas Z = IK A A = JK B j B =, IK - Número total de subparcelas: N T =IJK Para expermentos em parcelas subdvddas, pode-se montar dos quadros auxlares. O prmero deles é dêntco ao vsto para expermentos fatoras que é o quadro de totas de tratamentos, cujos valores são obtdos pela soma de todas as repetções para o tratamento em questão. Para a stuação ctada, o quadro de totas de tratamentos é do segunte tpo: Fator A Fator B B B... BJ Totas A Y. Y.... Y J. A A Y. Y.... Y J. A AI Y I. Y I.... Y IJ. A I Totas B B... B j G O segundo quadro se refere ao quadro de totas de parcelas. Este quadro faclta o cálculo das somas de quadrados de parcelas. Para a stuação acma, o quadro de totas de parcelas é do segunte tpo: Parcela Fator A... Z Totas de A A Y. Y.... Y.Z A A Y. Y.... Y.Z A AI Y I. Y I.... Y I.. A I Totas de Parcelas P P... P Z G 9.4. Análse de varânca A análse de varânca de um expermento em parcelas subdvddas é feta desdobrando os efetos das parcelas e das subparcelas nas partes que as compõem. Para cada um destes desdobramentos, exste um resíduo, o qual é utlzado para testar o efeto das fontes de varação pertnentes. O quadro a segur apresenta como sera a análse de um expermento nstalado segundo o DBC com K repetções no esquema em parcelas subdvddas, em que o fator A com I níves fo desgnado às parcelas e o fator B com J níves fo desgnado às subparcelas 97

103 Cap 9 Expermentos em Parcelas Subdvddas FV GL SQ QM F F tab; α Blocos (K-) SQBlocos - - A (I-) SQA SQA (I ) - Resíduo(a) (I-)(K-) SQRes(a) SQRe síduo(a) (I )(K ) Parcelas IK- SQParcelas - - B (J-) SQB SQB (J ) - AxB (I-)(J-) SQAxB SQAxB QMAxB [(I-)(J-); n ] (I )(J ) QMRe s(b) Resíduo(b) n = I(J-)(K-) SQRes(b) SQRe síduo(b) I(J )(K ) - Total IJ K- SQTotal - - em que: I,J,K jk =,j =,k = SQTotal = Y C C = I,J,K =,j =,k IJK Y jk = K SQBlo cos = K= W IJ K C SQParcelas = Z z= P J z C I,J SQTrat = = =,j Y j. K C SQA = = I AI JK C J SQB = j= B J IK C SQAxB = SQTrat SQA SQB SQRes(a) = SQParcelas - SQBlocos - SQA SQRes(b) = SQTotal - SQParcelas - SQB - SQAxB Tal como no esquema fatoral, na análse dos dados orundos de um expermento em parcelas subdvddas deve-se ncalmente proceder ao teste F para a nteração entre os fatores. As hpóteses para o teste F da nteração são: H 0 : Os fatores A e B atuam ndependentemente sobre a varável resposta em estudo. H a : Os fatores A e B não atuam ndependentemente sobre a varável resposta em estudo. O resultado deste teste F para a nteração ndca como as comparações dos níves de um fator devem ser realzadas. Temos dos resultados possíves para o teste F da nteração os quas serão apresentados a segur. 98

104 EST 0 Estatístca Expermental I/ Interação não-sgnfcatva Este caso ocorre quando a hpótese H 0 para a nteração entre os fatores não é rejetada. Este resultado mplca que os efetos dos fatores atuam de forma ndependente. Portanto recomenda-se que as comparações dos níves de um fator sejam fetas de forma geral em relação ao outro fator, ou seja, ndependente dos níves outro fator. O passo segunte na análse estatístca dos dados expermentas é proceder ao teste F para cada fator como lustrado na tabela apresentada a segur para o caso do DBC. FV GL SQ QM F F tab; α Blocos (K-) SQBlocos - - A (I-) SQA SQA QMA (I ) QMRe s(a) [(I-); n ] Resíduo(a) n = (I-)(K-) SQRes(a) SQRe s(a) (I )(K ) - Parcelas IK- SQParcelas - - B (J-) SQB SQB QMB (J ) QMRe s(b) AxB (I-)(J-) SQAxB SQAxB (I )(J ) Resíduo(b) n 3 = I(J-)(K-) SQRes(b) SQ Re s(b) I(J )(K ) - Total IJ K- SQTotal - - [(J-); n 3 ] não-sgnfcatvo - As hpóteses para realzar o teste F para os efetos prncpas são Fator A H 0 :ma = ma =... = mai ou seja, todos os possíves contrastes entre as médas dos níves do fator A, são estatstcamente nulos, ao nível de probabldade em que fo executado o teste. H a :não H 0 ou seja, exste pelo menos um contraste entre as médas dos níves do fator A, que é estatstcamente dferente de zero, ao nível de probabldade em que fo executado o teste. Fator B H 0 :mb = mb =... = mbj ou seja, todos os possíves contrastes entre as médas dos níves do fator B, são estatstcamente nulos, ao nível de probabldade em que fo executado o teste. H a :não H 0 ou seja, exste pelo menos um contraste entre as médas dos níves do fator B, que é estatstcamente dferente de zero, ao nível de probabldade em que fo executado o teste. Se os fatores A e B forem qualtatvos, e o teste F para A e/ou B, for não sgnfcatvo, a aplcação do teste de médas é desnecessára. Se o teste F for sgnfcatvo, para A e/ou B, aplca-se um teste de médas para comparar os 99

105 Cap 9 Expermentos em Parcelas Subdvddas níves do fator. As estmatvas das médas dos níves dos fatores são obtdas por A Fator A Fator B A = Bj = JK B j IK Para realzar o teste de Tukey para comparar as medas dos níves dos fatores em teste temos que usar A B q α QMRe s(a) q (I;n ) JK QMRe s(b) q (J;n 3 ) IK Para o teste de Duncan temos que usar A B D z α QMRe s(a) z (n A ;n ) JK QMRe s(b) z (n B ;n 3 ) IK Em que n A e n B são os números de médas ordenadas abrangdas pelo contraste sendo testados. As hpóteses para os testes Tukey e Duncan para comparar as médas dos níves dos fatores são Fator A H 0 : m A = m Au versus H a : m A m Au para u =,, 3,..., I Fator B H 0 : m Bj = m Bu versus H a : m Bj m Bu para j u =,, 3,..., J Para a aplcação do teste t temos que usar A B Ĉ A t C QMRe s(a) JK Ĉ B C A B QMRe s(b) IK I = J j= a b t tab t α (n ) t α (n 3 ) Em que C A = a m A + a m A a I m AI C B = b m B + b m B b j m BJ e 00

106 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Para a aplcação do teste Scheffé para testar os contrastes C A e C B temos que usar A B S I QMRe s(a) tab a JK = F tab S = (I )F F α [(I -); n ] J QMRe s(b) tab b IK j= S = (J )F F α [(J -); n 3 ] As hpóteses para os testes de Scheffé e t para testar os contrastes são Fator A H 0 : C A = 0 versus H a : C A 0 Fator B H 0 : C B = 0 versus H a : C B Interação sgnfcatva Este caso ocorre quando a hpótese H 0 para a nteração entre os fatores é rejetada. Este resultado mplca que os efetos dos fatores atuam de forma dependente. Neste caso as comparações entre os níves de um fator levem em consderação o nível do outro fator, pos o resultado sgnfcatvo para a nteração ndca que o efeto de um fator depende do nível do outro fator. Portanto, não é recomendado realzar o teste F para cada fator soladamente tal como fo apresentado para o caso da nteração nãosgnfcatva. O procedmento recomendado é realzar o desdobramento do efeto da nteração. Para realzar este desdobramento deve-se fazer uma nova análse de varânca em que os níves de um fator são comparados dentro de cada nível do outro fator, tal como apresentado nas tabelas a segur. Para comparar os níves de um fator prncpal em cada nível do fator secundáro, é necessáro fazer uma combnação das duas estmatvas obtdas para o erro expermental bem como do número de graus de lberdade assocado as mesmas. Esta combnação é denomnada de resíduo combnado (ResComb). A estmatva do quadrado médo deste resíduo combnado é obtda por QMRe s(a) + QMRe scomb = ( J ) J QMRe s(b) O número de graus de lberdade assocado a esta estmatva é obtdo pela fórmula dos graus de lberdade de Satterhwatte (n*) dada por n* = [ QMRes( a) + ( J ) QMRes( b) ] [ QMRes( a) ] [( J ) QMRes( b) ] + g.l.re s( a) g.l.re s( b) Desdobramento para comparar os níves de A dentro de cada nível de B, ou seja estudar A/B 0

107 Cap 9 Expermentos em Parcelas Subdvddas FV GL SQ QM F F tab, α A/B (I-) SQA/B SQA /B QMA / B ( I ) QMRe scomb [(I-);n*] A/B (I-) SQA/B SQA /B QMA / B ( I ) QMRe scomb [(I-);n*] A/BJ (I-) SQA/BJ SQA /BJ QMA / BJ ( I ) QMRe scomb [(I-);n*] ResCom QMResCom n* b b - Total IJK - SQTotal As hpóteses para testar as fontes de varação da tabela acma, para j=,, 3,..., J, são H 0 : m A/Bj = m A/Bj =... = m AI/Bj H a :não H 0 Desdobramento para comparar os níves de B dentro de cada nível de A, ou seja estudar B/A FV GL SQ QM F F tab, α SQB / A B/A (J-) SQB/A QMB / A QMRe s(b) ( J ) [(J-);n 3 ] SQB / A QMB / A B/A (J-) SQB/A [(J-);n ( J ) 3 ] QMRe s(b) SQB / AI QMB / AI B/AI (J-) SQB/AI [(J-);n ( J ) 3 ] QMRe s(b) Res(b QMRes(b n ) 3 - ) Total IJK - SQTotal As hpóteses para testar as fontes de varação da tabela acma, para =,, 3,..., I, são H 0 : m B/A = m B/A =... = m BJ/A H a :não H 0 Em que as SQA/Bj e SQB/A podem ser obtdas usando a fórmula geral para a soma de quadrados dada por SQ = k = X r k = k X r = Se os fatores forem qualtatvos, procede-se ao teste F para cada fonte de varação do desdobramento. Nas fontes de varação em que o teste F fo sgnfcatvo e o fator tem mas de dos níves, recomenda-se a aplcação de um teste de médas. As estmatvas das médas dos níves dos fatores são obtdas por 0

108 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Fator A Fator B A = Bj = A K B K j Para realzar o teste de Tukey para comparar as médas dos níves dos fatores em teste temos que usar A B q α QMRe scomb q (I;n * ) K QMRe s(b) q (J;n 3 ) K Para o teste de Duncan temos que usar A B D z α z QMRe scomb K (n A ;n * ) z QMRe s(b) K (n B ;n 3 ) Em que n A e n B são os números de médas ordenadas abrangdas pelo contraste sendo testados. As hpóteses para os testes Tukey e Duncan para comparar as médas dos níves dos fatores são Fator A: H 0 : m A/Bj = m Au/Bj vs H a : m A/Bj m Au/Bj para u =,, 3,..., I e j =,,..., J Fator B: H 0 : m Bj/A = m Bu/A vs H a : m Bj/A m Bu/A para j u =,, 3,..., J e =,,..., I Para a aplcação do teste t temos que usar A B A t C A QMRe scomb K Ĉ Ĉ B C B QMRe s(b) K J j= I = b j a t tab t α (n * ) t α (n 3 ) Em que 03

109 Cap 9 Expermentos em Parcelas Subdvddas C A = a m A/Bj + a m A/Bj a I m AI/Bj para j =,,..., J e C B = b m B/A + b m B/A b j m BJ/A para =,,..., I Para a aplcação do teste Scheffé para testar os contrastes C A e C B temos que usar A B S I QMRe scomb tab a K = F tab S = (I )F F α [(I -); n * ] QMRe s(b) S = (J )F F α [(J -); n 3 ] tab b j K j= J As hpóteses para os testes de Scheffé e t para testar os contrastes são Fator A H 0 : C A = 0 versus H a : C A 0 Fator B H 0 : C B = 0 versus H a : C B Vantagens e desvantagens Em comparação com expermentos fatoras, expermentos em parcelas subdvddas são mas fáces de nstalar. No entanto, exste duas estmatvas de varânca resdual: uma assocada às parcelas e outra assocada às subparcelas. Este desdobramento da varânca resdual faz com que o número de graus de lberdade assocado a cada um dos resíduos seja menor do o assocado ao resíduo se o expermento tvesse sdo nstalado segundo o esquema fatoral. Conseqüentemente, há uma tendênca de se obter maor valor para a estmatva do erro expermental. Portanto, em expermentos com parcelas subdvddas, todos os efetos são avalados com menor precsão que nos expermentos fatoras correspondentes. Por sso, sempre que possível, é preferível utlzar expermentos fatoras em lugar dos expermentos em parcelas subdvddas. 04

110 EST 0 Estatístca Expermental I/ Exercícos 9.. Consdere um expermento nstalado segundo o DBC e no esquema em parcelas subdvddas no qual são comparadas 4 varedades de avea e 4 tratamentos de sementes (3 produtos químcos + testemunha não tratada) quanto aos efetos de produção. Na nstalação do expermento, as 4 varedades foram dstrbuídas ao acaso nas parcelas de cada um dos 4 blocos do expermento e os tratamentos de sementes foram dstrbuídos ao acaso nas 4 subparcelas de cada parcela (BANZATTO & KRONKA, 989). Com base nos resultados fornecdos a segur, pede-se, usando o nível de 5% de probabldade, proceder a análse de varânca e aplcar o teste Tukey, quando necessáro: Blocos Totas Varedades Sementes 3 4 Trat B Testemunha 4,9 4,6 8,9 30,8 44, A Vcland B Ceresan M 53,8 58,5 43,9 46,3 0,5 B3 Panogen 49,5 53,8 40,7 39,4 83,4 B4 Agrox 44,4 4,8 8,3 34,7 49, Totas de Parcelas 90,6 95,7 4,8 5, 679,3 B Testemunha 53,3 69,6 45,4 35, 03,4 A Vcland B Ceresan M 57,6 69,6 4,4 5,9,5 B3 Panogen 59,8 65,8 4,4 45,4,4 B4 Agrox 64, 57,4 44, 5,6 7, Totas de Parcelas 34,8 6,4 73,3 84,0 854,5 B Testemunha 6,3 58,5 44,6 50,3 5,7 A3 Clnton B Ceresan M 63,4 50,4 45,0 46,7 05,5 B3 Panogen 64,5 46, 6,6 50,3 3,5 B4 Agrox 63,6 56, 5,7 5,8 4, Totas de Parcelas 53,8, 04,9 99, 868,9 B Testemunha 75,4 65,6 54,0 5,7 47,7 A4 Branch B Ceresan M 70,3 67,3 57,6 58,5 53,7 B3 Panogen 68,8 65,3 45,6 5,0 30,7 B4 Agrox 7,6 69,4 56,6 47,4 45,0 Totas de Parcelas 86, 67,6 3,8 09,6 977, Totas de Blocos 965,3 936,8 733,8 743,9 3379,8 Totas de Parcelas (4) BLOCO BLOCO BLOCO 3 BLOCO 4 Totas (6) A 90,6 95,7 4,8 5, 679,3 A 34,8 6,4 73,3 84,0 854,5 A3 53,8, 04,9 99, 868,9 A4 86, 67,6 3,8 09,6 977, Totas (6) 965,3 936,8 733,8 743,9 3379,8 (64) Totas de Tratamentos (4) B B B3 B4 Totas (6) A 44, 0,5 83,4 49, 679,3 A 03,4,5,4 7, 854,5 A3 5,7 05,5 3,5 4, 868,9 A4 47,7 53,7 30,7 45,0 977, Totas (6) 8,0 883, 850,0 835,6 3379,8 (64) 05

111 Cap 9 Expermentos em Parcelas Subdvddas 9.. Para se estudar o brx de mangas de acordo com a varedade e a posção dos frutos em relação aos pontos cardeas, um pesqusador procedeu a coleta de 4 frutos, cada um deles de um ponto cardeal, em cada um dos 3 exemplares de cada uma das 5 varedades em teste. Com base nos resultados (brx) fornecdos a segur (GOMES, 987), pede-se usando o nível de 5% de probabldade, proceder a análse de varânca e o teste Duncan quando necessáro. Varedades B B B3 B4 Totas Norte Sul Leste Oeste Parc Totas 8,0 7, 7,6 7,6 70,3 A Carlota 7,5 8,8 8, 7, 7,6 7,8 6,9 7,6 6,5 68,8 Totas Trat 53,3 5,8 53,3 5,3 0,7 6,3 5,9 6,5 8,3 67,0 A Extrema 6,6 4,3 6,3 7,5 64,7 5,0 4,0 5,9 5, 60, Totas Trat 47,9 44, 48,7 5,0 9,8 6,0 6, 7,9 6, 66, A3 Olvera 9,5 4,9 5,0 5,3 64,7 6,3 6,4 6,0 6,4 65, Totas Trat 5,8 47,5 48,9 47,8 96,0 6,6 5, 4, 5,5 6,5 A4 Bourbon 5,9 3, 8,0 7,3 64,4 7,5 5,8 6,7 8,4 68,4 Totas Trat 50,0 44, 48,9 5, 94,3 8,9 8,6 5,3 7,0 69,8 A5 Imperal 8,5 3,7 8, 8,3 68,7,5 6,4 8,3 6,6 7,8 Totas Trat 58,9 48,7 5,8 5,9,3 Totas 6,9 37,4 5,6 53, 004, 004, Totas de Parcelas Totas de Tratamentos REP REP REP 3 Totas B B B3 B4 Totas A 70,3 7,6 68,8 0,7 A 53,3 5,8 53,3 5,3 0,7 A 67,0 64,7 60, 9,8 A 47,9 44, 48,7 5,0 9,8 A3 66, 64,7 65, 96,0 A3 5,8 47,5 48,9 47,8 96,0 A4 6,5 64,4 68,4 94,3 A4 50,0 44, 48,9 5, 94,3 A5 69,8 68,7 7,8,3 A5 58,9 48,7 5,8 5,9,3 004, Totas 6,9 37,4 5,6 53, 004, 06

112 EST 0 Estatístca Expermental I/ Um pesqusador, com o objetvo de verfcar o efeto da dose de adubação fosfatada e o seu tpo de aplcação na cultura do mlho, nstalou um expermento no qual cada uma as doses de adubação fosfatada consttuíram as parcelas as quas foram dstrbuídas segundo o DBC e o tpo de aplcação as subparcelas. Com base nos resultados fornecdos abaxo, referentes a produção de mlho (kg/ha), pede-se ao nível de 5% de probabldade, proceder a análse de varânca e ao teste Tukey quando necessáro (FERREIRA, 99). Blocos Doses Tpos de Aplcação I II III IV Totas de tratamentos cova sulco lanço Totas de Parcelas cova sulco lanço Totas de parcelas cova sulco lanço Totas de parcelas cova sulco lanço Totas de parcelas Totas de blocos Suponha que para um expermento nstalado segundo o delneamento nteramente casualzado e no esquema de parcelas subdvddas com 3 repetções, foram obtdos os seguntes resultados: FV GL SQ QM F Fator A 9,55 Resíduo(a) 5,7 (Parcelas) (45,6) Fator B 0,60 Interação A*B 0, Resíduo(b) 5,60 Total 37,58 Totas de Tratamentos B B B3 B4 Totas A 53,3 5,8 53,3 5,3 0,7 A 47,9 44, 48,7 5,0 9,8 A3 5,8 47,5 48,9 47,8 96,0 A4 50,0 44, 48,9 5, 94,3 A5 58,9 48,7 5,8 5,9,3 Totas 6,9 37,4 5,6 53, 004, 07

113 Cap 9 Expermentos em Parcelas Subdvddas Usando o nível de 5% de sgnfcânca quando necessáro, pede-se: Os fatores A e B atuam ndependentemente? Justfque sua resposta Exste dferença entre os níves de B pelo teste F da análse de varânca? Se o objetvo é obter menores médas, qual(s) o(s) nível(s) de B que devem ser recomendados? (Use o teste de Duncan, se necessáro) Consdere os resultados obtdos de um expermento nstalado segundo o delneamento nteramente casualzado no esquema de parcelas subdvddas e o nível de 5% de sgnfcânca quando necessáro: Totas de Parcelas Repetções 3 Totas A 50,3 5,6 48,8 50,7 A 7,0 4,7 0, 7,8 A3 6, 4,7 5, 76,0 A4,5 4,4 8,4 74,3 A5 69,8 68,7 7,8,3 Totas de Tratamentos B B B3 B4 Totas A 38,3 37,8 38,3 36,3 50,7 A 7,9 4, 8,7,0 7,8 A3,8 7,5 8,9 7,8 76,0 A4 0,0 4, 8,9, 74,3 A5 58,9 48,7 5,8 5,9,3 Totas 56,9 3,4 46,6 48, 584, Análse de Varânca FV GL SQ QM F A 97,95 Res(a) Parcelas B 0,59 Interação A*B Res(b) Total 405,97 Com base nestas nformações, pede-se: O valor do F calculado para testar a nteração entre os fatores A e B O valor do F calculado para o fator A O(s) nível(s) de A que apresentou(aram) a(s) maor(es) méda(s) usando o teste de Tukey O valor do F calculado para o fator B O(s) nível(s) de B que apresentou(aram) a(s) maor(es) méda(s) usando o teste de Tukey. 08

114 EST 0 Estatístca Expermental I/ Consdere os resultados obtdos de um expermento nstalado segundo o delneamento nteramente casualzado, com 3 repetções, no esquema de parcelas subdvddas e o nível de 5% de sgnfcânca, quando necessáro: Totas de Tratamentos B B B3 B4 Totas A 53,3 5,8 53,3 5,3 0,7 A 47,9 44, 48,7 5,0 9,8 A3 5,8 47,5 48,9 47,8 96,0 A4 50,0 44, 48,9 5, 94,3 A5 58,9 48,7 5,8 5,9,3 Totas 6,9 37,4 5, 53, 004, Análse de Varânca FV GL SQ QM F A 9,55 Res(a) (Parcelas) (45,6) B 0,60 AxB Res(b) Total 37,58 SQTratamentos = 70,6 Com base nas nformações fornecdas, pede-se: Os fatores A e B atuam ndependentemente? Justfque a sua resposta Baseado no resultado do teste F para a nteração, proceda ao estudo do fator B, ndcando qual(s) nível(s) de B que apresenta(m) maor(es) méda(s). Use o teste de Tukey, se necessáro Num artgo centífco foram apresentados os resultados abaxo referente a um expermento em parcelas subdvddas nstalado segundo o delneamento em blocos casualzados, com 5 repetções, em que o fator A fo dstrbuído às parcelas e o fator B fo dstrbuído às subparcelas: Quadro de MÉDIAS de Tratamentos A A A3 B 3,80 4,00 3,0 7,00 a B,60,60 3,60 5,60 b,70 A,8 B 3,40 B As médas segudas por uma mesma letra maúscula na lnha, ou por uma mesma letra mnúscula na coluna, não dferem entre s ao nível de 5% de probabldade, pelo teste de Tukey e pelo teste F, respectvamente. Dados: SQRes(b) = 6,60 09

115 Cap 9 Expermentos em Parcelas Subdvddas No entanto, o autor não mencona no seu artgo um teste para a nteração entre os fatores A e B. Com base nas nformações acma, pede-se usando α = 5% : Aplque o teste F para a nteração entre os fatores A e B Baseado no resultado do teste F obtdo no tem anteror, os procedmentos adotado para comparar os níves de A e os níves de B estão corretos? Justfque a sua resposta. Não é necessáro conferr os cálculos do autor, apenas dscuta se o procedmento adotado é coerente com o resultado do teste F para a nteração Abaxo, são mostrados os dados de um expermento em blocos ao acaso com parcelas subdvddas, onde o fator A com três níves fo casualzado nas parcelas e o fator B com dos níves fo casualzado nas subparcelas. Blocos Fator A Fator B 3 4 A B A B A B A B A3 B A3 B Efetue o teste F para a nteração AxB e proceda às comparações dos níves dos fatores A e B pelo teste de Tukey, se necessáro, de acordo com o resultado de sgnfcânca para a nteração. Utlze α = 5% Consdere um expermento em parcelas subdvddas no delneamento nteramente casualzado com 4 repetções, onde o fator A fo casualzado nas parcelas e fator B casualzado nas subparcelas, sendo dados: Totas de Tratamentos B B B3 A 0,4 9,7 3,3 7,4 A,3 0,6 8,0 39,9 3,7 30,3 50,3,3 SQParcelas = 55,9836 e SQTotal =,4907. Efetue o teste F para a nteração AxB e proceda às comparações dos níves dos fatores A e B pelo teste de Duncan, se necessáro, de acordo com o resultado de sgnfcânca para a nteração. Utlze α = 5%. 0

116 EST 0 Estatístca Expermental I/ Regressão 0.. Introdução Um fator em estudo num expermento pode ser classfcado como qualtatvo ou quanttatvo. Um fator qualtatvo é aquele onde os seus níves dferem por algum atrbuto qualtatvo. Como exemplos têm-se varedades, tpos de defensvos, métodos de conduzr uma determnada tarefa, etc. Por outro lado, um fator quanttatvo é aquele onde os níves se dferem com relação a quantdade do fator. Como exemplos têm-se temperatura, umdade, concentração de um prncípo atvo, níves de nsumo, ph, etc. Quando o fator é qualtatvo, deve-se proceder à análse de varânca dos dados e às comparações entre médas dos níves do fator usando algum dos procedmentos para comparações múltplas, quando o F for sgnfcatvo. Para o caso de um fator quanttatvo, deve-se estudar o efeto do fator quanttatvo pó r meo de uma relação funconal entre o mesmo e a varável resposta. A técnca ndcada neste caso é a análse de regressão. A análse de regressão consste na realzação de uma análse estatístca com o objetvo de verfcar se a relação funconal estabelecda entre um fator quanttatvo e uma varável resposta é sgnfcatva. Em outras palavras, consste na obtenção de uma equação que tenta explcar a varação sgnfcatva de uma varável resposta em função da varação dos níves de um ou mas fatores quanttatvos. 0.. Escolha do modelo para equaconar o fenômeno em estudo Para tentar estabelecer uma equação que representa o fenômeno em estudo, pode-se plotar um dagrama de dspersão para verfcar como se comportam os valores da varável resposta (Y) em função da varação dos níves do fator quanttatvo (X). O comportamento de Y em relação a X, pode se apresentar de dversas maneras: lnear, quadrátco, cúbco, exponencal, logarítmco, etc.... Para se estabelecer o modelo para explcar o fenômeno, deve-se verfcar qual tpo de curva e equação de um modelo matemátco que mas se aproxme dos pontos plotados no dagrama de dspersão. Contudo, pode-se verfcar que os pontos do dagrama de dspersão, não vão se ajustar perfetamente à curva do modelo matemátco proposto. Haverá na maora dos pontos, uma dstânca entre os pontos do dagrama e aqueles obtdos quando a curva do modelo proposto é traçada. Isto acontece, devdo ao fato do fenômeno que está em estudo, não ser um fenômeno matemátco e sm um fenômeno que está sujeto a nfluêncas de números fatores. Assm, o objetvo da regressão é obter um modelo matemátco que melhor se ajuste aos valores observados de Y em função da varação dos níves da varável X. O modelo matemátco que rá ser ajustado deve satsfazer as seguntes condções: - Modelo seleconado deve ser coerente para representar em termos prátcos, o fenômeno em estudo; - Modelo deve conter apenas as varáves que são relevantes para explcar o fenômeno Método para obter a equação estmada Como fo dto anterormente, os pontos do dagrama de dspersão fcam um pouco dstantes da curva do modelo matemátco escolhdo. Um dos métodos que se pode utlzar para obter a relação funconal, se basea na obtenção de uma equação estmada de tal forma que as dstâncas entre os pontos do dagrama e os pontos da curva do modelo matemátco, no todo, sejam as menores possíves. Este método é denomnado de Método dos Mínmos Quadrados (MMQ). Em resumo por este método a soma de quadrados das

117 Cap 0 Regressão dstâncas entre os pontos do dagrama e os respectvos pontos na curva da equação estmada é mnmzada, obtendo-se, desta forma, uma relação funconal entre X e Y, para o modelo escolhdo, com um mínmo de erro possível Modelo lnear de º grau O modelo estatístco para esta stuação sera: 0 e X Y + + β β = em que Y é o valor observado para a varável dependente Y no -ésmo nível da varável ndependente X; 0 β é a constante de regressão. Representa o ntercepto da reta com o exo dos Y; β é o coefcente de regressão. Representa a varação de Y em função da varação de uma undade da varável X; X é o -ésmo nível da varável ndependente X ( ),n,, K = ; e e é o erro que está assocado à dstânca entre o valor observado Y e o correspondente ponto na curva, do modelo proposto, para o mesmo nível de X. Para se obter a equação estmada, vamos utlzar o MMQ, vsando a mnmzação dos erros. Assm, tem-se que: 0 X Y e β β = elevando ambos os membros da equação ao quadrado, [ ] 0 X Y e β β = aplcando o somatóro, [ ] = = β β = n 0 n X Y e () Por meo da obtenção de estmadores de 0 e β β, que mnmzem o valor obtdo na expressão anteror, é possível alcançar a mnmzação da soma de quadrados dos erros. Sabemos do Cálculo que para se encontrar o mínmo de uma equação deve-se dervar a equação em relação à varável de nteresse, e gualar a dervada resultante ao valor zero. Portanto, dervando a expressão () em relação a 0 e β β e gualando-as a zero, obtém-se: ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) = β β = β β = β = β β = β β = β = = = = = = 0 X X ˆ ˆ Y 0 X X ˆ ˆ Y 0 e 0 X ˆ ˆ Y 0 X ˆ ˆ Y 0 e n 0 n 0 n n 0 n 0 0 n = β β = β β = β β = β β = = = = = = = = = = = 0 X ˆ X ˆ Y X 0 X ˆ X ˆ Y X 0 X ˆ n ˆ Y 0 X ˆ ˆ Y n n 0 n n n 0 n n n n 0 n 0 n

118 EST 0 Estatístca Expermental I/008 n = n = Y = nβˆ 0 Y X = βˆ + βˆ n 0 = n = X X + βˆ n = X Este é o sstema de equações normas, que permte a obtenção de estmatvas de β 0 e β, que mnmzam a soma de quadrados dos erros. Uma vez obtdas estas estmatvas, podemos escrever a equação estmada: Ŷ = βˆ + βˆ X Modelo lnear de º grau O modelo estatístco para esta stuação sera: Y = β0 + βx + β X + e em que, Y é o valor observado para a varável dependente Y no -ésmo nível da varável ndependente X; β é a constante de regressão; 0 β é o coefcente de regressão; X é o -ésmo nível da varável ndependente X ( =,, K,n ); β é o coefcente de regressão; X é o -ésmo nível da varável ndependente X, elevado ao quadrado; e é o erro que está assocado à dstânca entre o valor observado Y e o correspondente ponto na curva para o mesmo nível de X. Utlzando o MMQ, no modelo de º grau, chegar-se-á ao segunte sstema de equações normas, para se obter as estmatvas de β 0, β e β : n n n Y = nβˆ + βˆ 0 X + βˆ X = = = n n n n 3 Y X = βˆ 0 X + βˆ X + βˆ X = = = = n n n n 3 4 Y X = βˆ 0 X + βˆ X + βˆ X = = = = Uma vez obtdas estas estmatvas, podemos escrever a equação estmada: Ŷ = βˆ + βˆ X + βˆ X Análse de varânca da regressão A equação estmada obtda, apenas estabelece uma relação funconal, entre a varável dependente e a varável ndependente, para representar o fenômeno em estudo. Portanto a smples obtenção da equação estmada não responde ao pesqusador se a varação da varável ndependente nfluenca sgnfcatvamente na varação da varável dependente. Para se responder a esta pergunta, é necessáro realzar um teste estatístco para as estmatvas dos coefcentes da equação de regressão estmada. Um teste que pode 0 3

119 Cap 0 Regressão ser realzado para verfcar tal fato é o teste F da análse de varânca. Portanto, é necessáro realzar uma análse de varânca dos dados observados, em função do modelo proposto. Contudo, a estratéga da análse de varânca depende se houve ou não repetções no expermento Apenas um únco valor observado para cada nível da varável ndependente Nesta stuação não exste repetção. A únca estmatva da varânca resdual é aquela dada pela falta de ajuste dos valores observados ao modelo ajustado. O quadro para a análse de varânca para a regressão para esta stuação é do segunte tpo: FV GL SQ QM F F tab; α SQReg QMReg Regressão p SQReg (p;n--p) p QMInd SQInd Independente da Regressão n--p SQInd - n p Total n- SQTotal em que, p = n o de coefcentes de regressão (não nclu o β 0 ) n = n o de observações. As fórmulas para a obtenção das somas de quadrados total e da soma de quadrados do ndependente da regressão são as mesmas, tanto para o modelo lnear de o grau quanto para o de o grau, as quas são dadas a segur: SQTotal = n = Y n = Y n SQInd = SQTotal - SQRegressão SQRe gressão = βˆ Já a soma de quadrados para a regressão vara de acordo com o modelo em teste. º grau º grau n 0 = Y + βˆ n = Y X n = Y n SQRe gressão = βˆ n 0 = Y + βˆ n = Y X + βˆ n = Y X n = Y n H H As hpóteses estatístcas para o teste F são as seguntes: : β = β =... = βp 0, o que sgnfca dzer que as p varáves ndependentes não exercem nfluênca na varável dependente, segundo o modelo proposto. : β 0, para pelo menos um, o que sgnfca dzer que pelo menos uma das p varáves ndependentes exerce nfluênca na varável dependente, segundo o modelo proposto. 0 = a 4

120 EST 0 Estatístca Expermental I/008 O valor de F da análse de varânca, deve ser comparado, com o valor de F tabelado ( F tab ), o qual se obtém na tabela da dstrbução F de acordo com o nível de sgnfcânca do teste, e o número de graus de lberdade para a regressão e ndependente da regressão, ou seja: = F α p;n p. F tab ( ) A regra decsóra para o teste F é: - Se F F tab Rejeta-se H 0 ao nível de sgnfcânca que fo realzado o teste. Podese nferr que a varável ndependente nfluênca sgnfcatvamente a varável dependente Y. - Se F < F tab Não rejeta-se H 0 ao nível de sgnfcânca que fo realzado o teste. Pode-se nferr que a varável ndependente não nfluênca sgnfcatvamente a varável dependente Y Mas de um valor observado para cada nível da varável ndependente Nesta stuação, exste mas de um valor observado para cada nível da varável ndependente. Assm é possível obter uma estmatva da varânca resdual tal como aquela obtda em modelos de delneamento, o que não é possível quando se tem uma únca observação para cada nível da varável ndependente. Normalmente o que se faz numa stuação como esta é ncalmente proceder a uma análse de varânca usual consderando o efeto do fator quanttatvo como se fosse a fonte de varação tratamentos numa análse de varânca usual. Isto é realzado para que se quantfque a varânca resdual. Posterormente, o efeto de tratamentos é desdobrado nos efetos assocado a um ajuste de um modelo de regressão e também a falta de ajuste deste modelo. A escolha do modelo de regressão a ser ajustado é aquele que mas se aproxma dos pontos médos observados para cada nível da varável ndependente. O quadro abaxo resume o que acabou de ser descrto, para uma stuação geral em que se está testando I níves da varável ndependente em um expermento nstalado segundo o delneamento nteramente casualzado com K repetções. Pressupõe-se também que se está testando um modelo de regressão com p coefcentes de regressão. O total de observações neste expermento é gual a N=IK. FV GL SQ QM F F tab; α SQReg QMReg Regressão p SQReg [p; I(K )] p QMRes Falta de Ajustamento I p SQFalta [I p; I(K )] (Tratamentos) I SQTrat - - SQRes Resíduo I(K ) SQRes I(J ) Total IK SQTotal - - SQFalta QMFalta I QMRes O teste F para a falta de ajustamento é realzado para verfcar se o modelo adotado está se ajustando bem aos dados. Se o teste F para a falta de ajustamento for sgnfcatvo, ndca que o modelo ajustado não é aproprado e um novo modelo que se ajuste melhor aos dados deve ser testado. Se por outro lado, a falta de ajustamento for não-sgnfcatva ndca que o modelo adotado se ajusta bem aos dados. Conseqüentemente faz sentdo analsar o teste F para a fonte de varação regressão para saber se a varável ndependente tem nfluênca sgnfcatva sobre a varável dependente. 5

121 Cap 0 Regressão No caso de falta de ajustamento sgnfcatva não faz sentdo realzar o teste para a regressão, pos o modelo de regressão não se ajustou sgnfcatvamente aos dados. As hpóteses para a falta de ajustamento são: H 0 : a falta de ajustamento não é sgnfcatva H a : a falta de ajustamento é sgnfcatva O valor tabelado de F para a falta de ajustamento é encontrado usando F tab = F α ( p; I p) A regra decsóra para o teste F para a falta de ajustamento é: Se F F tab Rejeta-se H 0 ao nível de sgnfcânca que fo realzado o teste. O modelo adotado não se ajusta bem aos dados. Um novo modelo deve ser testado. Se F < F tab Não rejeta-se H 0 ao nível de sgnfcânca que fo realzado o teste. O modelo adotado se ajusta bem aos dados. Não há necessdade de se testar um novo modelo. Procede-se ao teste F para regressão. O teste F para a regressão é dêntco ao caso anteror, ou seja, com apenas uma observação para cada nível da varável ndependente Coefcente de determnação (R ) O coefcente de determnação fornece uma nformação auxlar ao resultado da análse de varânca da regressão, para verfcar se o modelo proposto é adequado ou não para descrever o fenômeno. Para o caso em que se tem uma únca observação para cada nível da varável ndependente, o R é obtdo por : SQRe g R = SQTotal Já para o caso em que se tem mas de um valor observado para cada nível da varável ndependente, o valor de R é obtdo por: SQRe g R = SQTrat O valor de R vara no ntervalo de 0 a. Valores próxmos de ndcam que o modelo proposto é adequado para descrever o fenômeno Exercícos 0.. Verfcar, utlzando os dados amostras fornecdos abaxo, se a temperatura tem nfluênca sgnfcatva sobre o comprmento de uma barra de aço. Utlze o modelo lnear de º grau e o nível de 5% de sgnfcânca. Temperatura (ºC) Comprmento (mm) Para verfcar se exste uma relação lnear de º grau entre Umdade Relatva (UR) do ar da secagem de sementes e a germnação das mesmas, um pesqusador realzou um teste com 4 dferentes valores para a % de UR do ar que atravessava as sementes armazenadas, obtendo-se os seguntes valores amostras: 6

122 EST 0 Estatístca Expermental I/008 UR (%) Germnação (%) Ao nível de 5% de probabldade, qual sera a conclusão do pesqusador? Qual sera a equação estmada? 0.3. Para o segunte conjunto de valores de X (varável ndependente) e Y (varável dependente), faça a análse de regressão segundo o modelo lnear de º grau e obtenha a equação de regressão estmada. Use o nível de sgnfcânca de 5%. X Y 0,3 8, 5, 35,6 43,0 50,0 59, 67,8 75, 85, De acordo com os dados fornecdos abaxo para a varável X (dose do mcronutrente Zn em ppm) e a varável Y (matéra seca em g/planta), verfque, usando o nível de 5% de probabldade e o modelo lnear de º grau, se a relação entre as varáves X (ndependente) e Y (dependente) é sgnfcatva. X,0,5 4,0 5,5 7,0 8,5 Y 0,3 3,3 34,6 35, 30, 9, O modelo lnear abaxo fo proposto para explcar a relação entre a quantdade de ração fornecda e produção de lete por cabras: Y = a + bx + e Pede-se por meo dos dados abaxo, verfcar se a ração nfluenca sgnfcatvamente a α = 5% : produção de lete ( ) Níves de Ração (g) Produção de lete (l/da),,7,0,, Para o modelo ajustado e dados fornecdos abaxo: Ŷ = 40, ,737X SQIndependente da Regressão = 68,69 7 Y = 094,800 Y = 77, 384 = = 7 7 0,000783X Y X = 6694,500 Y X = , 000 = = Proceder a análse de varânca da regressão e conclur ( α = 5% ) 7 7

123 Cap 0 Regressão 0.7. Para se avalar o efeto de dferentes dosagens de um mcronutrente no desenvolvmento de duas espéces vegetas, fo realzado em expermento fatoral 4x no D.B.C. com 5 repetções. Após a coleta e tabulação dos dados (em produção de matéra verde por determnada undade de área) fo montado o segunte quadro de totas de tratamentos: Dose Dose Dose 3 Dose 4 Espéce Espéce A análse de varânca dos dados no computador forneceu o segunte quadro (ncompleto) da ANOVA: F.V. G.L. S.Q. Q.M. Fator A Fator B 3 58, Int. AxB ,0 (Trat.) ---- Blocos ---- Resíduo ,00 Total ---- Com base nos dados apresentados acma, pede-se: (obs.: use α = 5%): a) Obtenha a soma de quadrados para o fator A. Apresente os cálculos. b) Os fatores em estudo atuam ndependentemente na varável em análse? JUSTIFIQUE. c) Qual espéce devera ser usada de modo a termos uma maor produção de massa verde, quando for usada a dose 3 do mcronutrente? JUSTIFIQUE. d) Como deveríamos contnuar a análse caso fosse de nosso nteresse determnar a melhor dose do mcronutrente? Descreva a estratéga de análse de manera resumda, apresentando a seqüênca dos procedmentos a serem realzados juntamente com algumas dscussões, mas sem precsar fazer nenhum tpo de cálculo 8

124 EST 0 Estatístca Expermental I/ Suponha que um colega seu tenha usado um programa de computador para realzar a análse de regressão de um expermento no DIC com 4 repetções, no qual fo avalado o efeto de 5 níves de adubo na produção de soja. O orentador desse seu colega pedu que ele testasse três modelos. Como seu colega "matou" todas as aulas de estatístca, ele fo pedr sua ajuda para a escolha do melhor modelo a partr dos dados abaxo, referentes à análse de cada modelo. Baseado no quadro fornecdo abaxo, pede-se escolher o melhor modelo. Explque, para cada modelo, a razão dele ter sdo seleconado ou elmnado. Use α = 5%. MODELO MODELO MODELO 3 F.V. G.L. S.Q. Q.M. Regressão Falta de Ajust (Tratamento) (4) 96 Resíduo Total 9 7 F.V. G.L. S.Q. Q.M. Regressão Falta de Ajust (Tratamento) (4) 96 Resíduo Total 9 F.V. G.L. S.Q. Q.M. Regressão ,3 Falta de Ajust. 0 0 (Tratamento) (4) 96 Resíduo Total 9 O gráfco de dspersão dos valores médos de produção em função das doses de adubo obtdo pelo seu colega fo Gráfco de Dspersão Produção (kg/und) Dose (kg/ha) Baseado nas nformações fornecdas acma, pede-se escolher o melhor modelo. Explque, para cada modelo, a razão dele ter sdo seleconado ou elmnado. Use α = 5%. 9

125 Cap 0 Regressão 0.9. Com o objetvo de estudar o efeto da temperatura no ganho de peso de determnada espéce de anmal de pequeno porte, fo realzado um estudo em que alguns anmas foram submetdos a dferentes temperaturas no local em que eram confnados. Com base nos dados de ganho de peso, obtdos depos de determnado período, ajustouse a segunte equação de regressão: Ŷ = 6,89 + 0,93X 0,0X Consderando que a análse de varânca da regressão resultou em F sgnfcatvo para regressão, pede-se: a) Qual sera o ganho de peso (em qulos) esperado, se fosse mantda constante, no local de confnamento do anmal em questão, a temperatura de 3 o C? b) Qual sera a temperatura a ser usada para que fosse obtdo o máxmo de ganho de peso? 0.0. Suponha que tenha sdo realzada uma pesqusa a respeto da nfluênca do tempo de estudo na nota da prova de determnada dscplna. Os dados obtdos com respeto a cnco alunos aleatoramente entrevstados são dados abaxo: X = Tempo de estudo (em horas) Y = Nota obtda (em 0) X = 0 X = 90 Y = 3 XY = 39 Y = 5 Pede-se: a) Ajuste um modelo de regressão lnear de o grau para tentar explcar a varação na nota do aluno em função do tempo de estudo. OBS.: Indque a resolução, nclusve apresentando o sstema de equações normas. b) Poderíamos dzer que o tempo de estudo nfluenca sgnfcatvamente a nota obtda? (use α = 5%). 0.. Com os dados relatvos à equação de regressão a ANOVA da regressão e conclur para α = 5%. DADOS: 0 = Y = 0,43 0 = X Y = 340,87 0 = Ŷ = â 0,38X +,08X, obter 0 X Y = 438,684 0 = Y = 8375,38 0 = X = 56,5 0 = X = 346, Obter a equação de regressão para o modelo Y = a + a X + a X + e e conclur 0 para α = %. X Y, 0, 3, 4,3 4,,7 8,5 0,3 0

126 EST 0 Estatístca Expermental I/ Fazer a análse de varânca da regressão, conclundo para α = %, dados : Ẑ = 0,40 + 5,46W, =,,3,...,5 Z = 69,80Z =,3 W =,46 W Z =, Suponha que um bólogo realzou um expermento no DIC com 3 repetções, para comparar o efeto de 5 dosagens (X, em mg) de uma droga farmacêutca desenvolvda para aumentar o tempo de sono (Y, em horas). A análse dos dados orundos deste expermento produzu as seguntes nformações: X Y Usando o nível de 5% de sgnfcânca, pede-se: Proceda ao teste para a falta de ajustamento e conclua se o modelo de regressão lnear de o grau é aproprado para descrever o tempo de sono em função da dosagem de sonífero O valor estmado para β é estatstcamente dferente de zero? Justfque a sua resposta De acordo com a equação de regressão estmada, qual sera o tempo de sono dos ratos se uma dosagem de 7 mg fosse usada? 0.5. Fo realzada uma pesqusa para estudar o efeto de determnado medcamento usado no controle de peso de cavalos de corrda. Ses doses do medcamento foram mnstradas a ses anmas. A perda de peso obtda para estes anmas, bem como a dose do medcamento mnstrada a cada um deles é fornecda na tabela a segur: Dose (mg) Perda de Peso (kg),0 4,5 6,0 7,5 5,8 4,3 Suponha que o pesqusador decda usar o segunte modelo lnear de segundo grau: Y = β + β X + β X + ε n = n = Y = 9, X = 95 n = n = YX = 000,50 X = n = YX = 35787,50 n n 3 X = 4865 = = X 4 = Com base nas nformações fornecdas, pede-se: 0.5. A estmatva do ntercepto (ou seja, constante da regressão) As estmatvas dos coefcentes de regressão, ˆβ e ˆβ A dose que proporcona o máxmo de perda de peso O valor do F da análse de varânca da regressão calculado para testar se exste efeto do medcamento sobre a perda de peso, segundo o modelo proposto Um expermento fo nstalado segundo o delneamento nteramente casualzado para verfcar se exste efeto sgnfcatvo do fator quanttatvo X sobre uma varável

127 Cap 0 Regressão dependente Y. Suponha que foram utlzadas repetções e que são fornecdas as seguntes nformações: Modelo adotado: Y = β o + β X + ε FV GL SQ QM F Regressão 76,05 Falta de Ajustamento (Tratamentos) (4) 0,60 Resíduo Total 6,0 Pede-se: O valor do F calculado para a regressão O valor do F calculado para a falta de ajustamento 0.7. Suponha que em uma pesqusa, 0 dosagens de uma droga foram mnstradas a um grupo de 0 ndvíduos, para verfcar se o efeto da mesma era capaz de reduzr o peso em seres humanos. Cada dosagem fo testada em um únco ndvíduo. O modelo lnear de o grau ajustado, a SQResíduo, as dosagens testadas e as respectvas perdas de peso observadas e alguns somatóros relaconados, foram: Ŷ =,5000 +,6674X 0,09564X SQRegressão=79,87 Dosagem (mg) Perda de peso (kg) = 0 = Y = 34 X = 0 0 = 0 = Y X = 990 = = Y X = = X = 400 = = Y X X 4 = 3876 = Com base nas nformações fornecdas acma e, usando o nível de 5% de sgnfcânca quando necessáro, pede-se: É possível conclur que o uso da droga resulta em uma perda de peso sgnfcatva? Qual a dosagem da droga que proporcona maor perda de peso? Qual sera a perda de peso esperada se a dosagem de 35 mg fosse utlzada?

128 EST 0 Estatístca Expermental I/ Suponha que um pesqusador, tendo como objetvo desenvolver uma bebda Láctea com sabor natural de laranja e temendo que o uso do suco natural resultasse em elevada acdez, resolveu testar 0 dosagens de suco natural (0, 5, 0, 5, 30, 35, 40, 45, 50 e 55 ml) com relação ao ph da bebda Láctea. Para tanto preparou um lote da fórmula básca da bebda Láctea. A fórmula básca é aquela que contém todos os ngredentes da bebda Láctea, exceto o suco de laranja. Como o lote era completamente homogêneo, dvdu o lote em 30 amostras. Procedeu-se então a dstrbução nteramente ao acaso das dosagens de suco de laranja às amostras. Ao fnal, cada dosagem fo desgnada a 3 amostras. Após a mstura do suco de laranja às amostras, o ph da bebda Láctea fo meddo. Um gráfco de dspersão da dosagem versus ph, mostrou que o modelo lnear de o grau era ndcado para estudar o fenômeno. Com base nos dados, as seguntes nformações foram obtdas: Quadro da ANOVA da Regressão FV GL SQ QM F F 5% Regressão 3,769 Falta de Ajustamento (Tratamentos) (4,370) Resíduo Total 5,50 Equação da regressão ajustada: Ŷ = 7, X Com base nas nformações fornecdas acma e usando o nível de 5% de sgnfcânca, pede-se: OBSERVAÇÃO: UTILIZAR QUATRO DECIMAIS NOS CÁLCULOS O modelo ajustado é adequado para descrever o fenômeno? A dosagem do suco de laranja tem efeto sgnfcatvo na acdez da bebda Láctea? Quanto se espera que vare o ph da bebda Láctea em função da varação de ml de suco de laranja? 0.9. Um padero resolveu testar 0 dferentes dosagens de um determnado tpo de fermento para verfcar se o mesmo nfluencava o peso fnal dos pães. Os resultados obtdos foram: Ŷ =,93 + 6,36X 0,45X SQTotal = 30,40 0 = 0 = Y = 94 X = 55 0 = 0 = Y X = 4074 = = Y X = 79 0 = X = 305 = = Y X X 4 = 846 = 5333 Com base nas nformações fornecdas acma e, usando o nível de 5% de sgnfcânca quando necessáro, pede-se: É possível conclur que as dosagens do fermento nfluencaram no peso fnal dos pães? De acordo com a equação de regressão ajustada, qual é a dosagem estmada que proporcona o maor peso fnal de pães? 3

129 Cap 0 Regressão 0.0. Uma droga desenvolvda para o controle do nível de açúcar (Y) fo testada em as doses 0, 30, 40, 50, 60, 70 e 80 mg (X). Os resultados apresentados abaxo foram publcados em uma revsta centífca: Ŷ = 86,3 + 0,83X SQTotal = 933,7 SQRegressão=905,75 Com base nestas nformações, pede-se: A droga tem nfluênca sgnfcatva sobre o teor de glcose? Qual é a estmatva do teor de glcose no sangue quando se usa a dose de 90 mg? 4

130 EST 0 Estatístca Expermental. Respostas dos Exercícos Pedmos aos estudantes que reportem erros nas respostas para o professor de sua turma, ou então para o professor Nerlson Terra Santos ([email protected]). Favor reportar apenas erros nas respostas que você tver certeza, por exemplo, a sua resposta e a de seus colegas para um determnado exercíco não confere com o que está nesta seção. A sua colaboração é muto mportante. Obrgado. 5

131 Cap Respostas dos Exercícos Capítulo.. t = 5,4 t % (4) = 4,60.. t =, t 5% (5) =,0.3. t =,6 t 5% (8) =,86 s c = 6, 5.4. t = -7,55 t 5% (6) =,94.5. t = -6,90 t 5% (4) =,3.6. F =,8 F 5% (6,9) = 3,37.7. F =,3 F 5% (5,5) = 5,05.8. t =,9 t (5%) () =,78 s c = 0, 9.9. t = -3,65 t (5%) (9) =,83 s d = 3, 4.0. t =, t 5% (8) =,0 s c = 8, 5.. t = 3,0 t 5% (7) =,90 s d = 7, 73.. t =,06 t 5% (0) =,8 s c = 65, t = 4,6 t % (3) = 3,0 s d = 75, t = 8,8 t 0% (8) =,86 s c = 8, t = -0,39 t % () =,68 s c =, F= 5,00 F (%) (5,5) = 0,97.7. t = 9,34 t 5% (8) =,86 s c =, t = -3,87 t % (4) =,6 s = 5.9. t = -,66 t 5% (9) =,83 s d = 5, 6.0. t = -3,07 t 5% (8) =,0 s c = 0, t =,54 t 5% (5) =,0 s d = 47, (c).. (c)..3 (c).3. t = -3,45 t % (4) =,4 s c = 95, 8.4. t = -,89 t 5% (9) = 3,5 s = 0, t = 0,84 t 5% (5) =,57 s d = 0, t =,6 t % (4) =,6 s c = 4, 8.7. t = 4,05 t 5% (9) =,83 s d =, t =,73 t 5% (4) =,76 s c = 8, 8.9. t = -9,53 t 5% (8) =,86 s c =, 7. Marca A..30. t = -,5 t 5% (8) =,94 s = 8, 90 6

132 EST 0 Estatístca Expermental.... Ĉ =,4 Ĉ = 3,0 Ĉ 3 =,6 Ĉ = 9,3 Ĉ = 0,7 Capítulo Ĉ 3 =,0 Vˆ ( Ĉ ) = 0, 355 Vˆ ( Ĉ ) = 0, 5 Vˆ ( Ĉ ) = 3 0, São ortogonas.4. Não são ortogonas.5. C = m + m + m 3 3m 4 C = m m m 3 C 3 = m m 3.6. Um dos possíves grupos de contrastes ortogonas que podem ser formados é C = m + m + m 3 + m 4 4m 5 C = m + m + m 3 3m 4 C 3 = m + m - m 3 C 4 = m - m.7. Um dos possíves grupos de contrastes ortogonas que podem ser formados é C = 3m + 4m + 4m 3 + 3m 4 4m 5 C = 3m + 4m + 4m 3 m 4 C 3 = 3m + 4m - 7m 3 C 4 = m - m.8. a) Ĉ =6,3 Ĉ = -7, Ĉ 3 = -8,4 b) V ( Ĉ ) = 0,8 V ( Ĉ )=0,54 V( Ĉ 3 ) = 0,9450 c) os contrastes são ortogonas.9. Não são ortogonas.0. a) C3 = m m3 b) 5,375 c) 0 7

133 Cap Respostas dos Exercícos.. É ortogonal. C=m + m 3m 3 + m 4.. É ortogonal. C=4m + 5m 4m 3 + 5m 4.3. C = m m 3.4. C = m + 4m 5m 3.5. C = m m 3.6. C 3 = m + m 3m 3 + m C 3 = m m C 3 = 3m m + 3m 3 5m C = m + m - m 3, Ĉ = 55 ;.9. C = 3m m m Compara o grupo de herbcda bológco com o grupo de químcos. Ĉ = Não. É necessáro aplcar um teste de hpóteses para verfcar se a estmatva encontrada é estatstcamente gual a zero C = 3m m m 3 m 4 ; C = m m 3 grupo químco ntrogêno com enxofre versus grupo químco ntrogêno com fósforo. Ĉ = C 3 = m + m 3 m 4 grupo químco com ntrogêno versus grupo químco com natvadores de enzmas. Ĉ 3 = a) C = m m 3 b) C = m m c) C 3 = m 3 m e 3.. a 3.3. b a) 9 b) 35,0 c) 0 d) são ortogonas. Capítulo 3 8

134 EST 0 Estatístca Expermental a) Dez rações. Esta fo a fonte de varação ntroduzda pelo pesqusador. b) Cada anmal. Cada anmal recebeu um dos tratamentos. c) Nenhum. d) Não. Pos o expermento não teve repetção. e) Não, pos não foram usados os prncípos báscos da expermentação As 5 enzmas. A comparação do efeto destas 5 enzmas, fo o que motvou o pesqusador a nstalar este ensao Premedtada. O pesqusador saba a prncípo quas enzmas desejava comparar Cada amostra genômca. Esta fo a undade que recebeu um tpo de tratamento Sm. Pos cada tratamento (enzma) fo desgnado a três undades expermentas (amostra genômca). Os efetos de ambente que não são passíves de controle, fazem com que as observações de um mesmo tratamento não sejam guas Não, pos os tratamentos foram desgnados de uma forma sstemátca às undades expermentas Não, pos não houve nenhum controle na casualzação. O prncípo do controle local deve ser utlzado quando não exste unformdade das condções expermentas Sm. Pos o prncípo da repetção fo utlzado. A estmatva do erro expermental não é válda pos o prncípo da casualzação não fo utlzado Tempo gasto, pelo substrato químco contendo fragementos de DNA, para percorrer uma dstâncas de 5 cm no gel Os oto tpo de óleo, pos esta fo a fonte de varação ntroduzda pelo pesqusador com o propósto de comparação de seus efetos Erro expermental (tpo aleatóra), pos esta fonte de varação surgu devdo ao efeto de ambente e não fo controlada pelo pesqusador Cada amostra básca, pos cada amostra básca recebeu um dos oto tpos de óleo Sm. Foram utlzados oto repetções Sm. Pos os tpos de óleo (tratamentos) foram dstrubuídos ao acaso às amostras báscas (undades expermentas) Sm. Houve duas restrções na casualzação de tal forma que cada boquímco avalou os oto tpos de óleo e cada lote recebeu os oto tpos de óleo O teor de gordura total, pos esta fo a característca avalada para comparar o efeto dos tpos de óleo Cada tábua de madera, pos cada uma delas recebeu um dos 5 tratamentos em teste As 5 marcas de vernz, pos o pesqusador tnha por objetvo comparar os efetos das 5 marcas de vernz com relação ao brlho proporconado pelas marcas

135 Cap Respostas dos Exercícos Repetção: cada marca de vernz fo aplcada a 5 tábuas (undade expermentas); Casualzação: a dstrbução das marcas de vernz às tábuas fo feta ao acaso; Controle local: a casualzação sofreu a restrção de que cada tpo de madera fosse testada com todas as marcas de vernz Sm, pos foram usadas repetções. A estmatva é válda pos fo usado o prncípo da casualzação Varações não controladas de ambente. Não, pos geralmente não se conhece a orgem destas varações não controladas Sm, pos saba-se que a dferença de cor entre os dversos tpos de madera podera afetar a avalação do vernz Os ses sabores de sorvete. Esta fo a fonte de varação ntroduzda pelo pesqusador no expermento Sm, pos cada sabor apareceu ses vezes no expermento Sm, pos houve controle na casualzação. Dos controles foram utlzados na casualzação. Capítulo Fcal = 7,79 Ftab 5% (3,6) = 3,4 Rejeta-se Ho 4.. a) Casualzação e repetção b) Cada atleta c) Fcal =,39 Ftab % (,) = 6,93 Não Rejeta Ho d) Qualquer técnca 4.3. a) Sm. Fcal = 685,06. Ftab 5% (3,36) =,87 CV% = 3,94 Rejeta H 0 b) Y= m + m - m 3 - m 4 Ŷ =, c) Y= m m Ŷ = 8,5 d) Y= m 3 m 4 Ŷ = -0, Fcal = 6,73 Ftab 5% (,) = 3,47 Rejeta H 0 As médas relatvas aos 3 grupos dferem entre s Fcal =,4 Ftab 5% (,) = 3,89 Não Rejeta-se Ho Fcal =,40 Ftab % (,) = 6,93 Não Rejeta-se Ho Fcal = 6,94 Ftab 5% (4,5) = 3,06 Rejeta-se Ho. 30

136 EST 0 Estatístca Expermental Exste efeto sgnfcatvo das rações com relação ao ganho de peso médo proporconado pelas mesmas C = m B + m c - m D - m E Ĉ = 8, CV = 0,68%. Valor alto ndcando baxa precsão expermental. Capítulo A numeração se refere aos exercícos do capítulo Tukey Duncan = 4,79 D 4 = 3,8 D 3 = 3,7 D = 3,54 = 3 a a d = 7 a b b b = 6 b b c c a = 3 b c 4.. F não-sgnfcatvo. Não é necessáro aplcar teste de médas Tukey Duncan = 0,49 D 4 = 0,40 D 3 = 0,39 D = 0,37 = 4,8 a a 4 = 0,09 b b = 0,06 b b 3 = 6,56 c c Tukey Duncan = 9,3 D 3 = 7,99 D = 7,6 = 0,37 a a = 95, a b a b 3 = 89,00 b b 4.5. F não-sgnfcatvo. Não é necessáro aplcar teste de médas F não-sgnfcatvo. Não é necessáro aplcar teste de médas. 3

137 Cap Respostas dos Exercícos 4.7. Tukey Duncan = 3,68 D 5 =,78 D 4 =,73 D 3 =,66 D =,53 d =,00 a a e = 0,00 a b a a = 7,5 b c b b = 6,50 b c b = 6,00 c b c 5.. Tukey Duncan = 33 D 6 = 3 D 5 = 30, D 4 = 8,7 D 3 = 6 = 380 a a 3 = 370 a b a = 367 a b a 6 = 338 b c b = 35 c b 5 = 30 c b Fcal =,64 Ftab 5% (5,8) =,77 Não exste dferença sgnfcatva entre os tratamentos. Portanto, o teste de Duncan não é necessáro Fcal = 5,3 Ftab % (3,) = 5,95 Rejeta-se Ho. De acordo com o teste de Tukey ( =,), os tpos de aletamentos e proporconaram as maores médas de ganho de peso ( = 9, 30 e =, 0 ) a. Fcal = 4,4 Ftab 5% (4,5) = 3,06 Rejeta-se Ho. b. De acordo com o teste de Duncan (D 5 =,58, D 4 =,55, D 3 =,5, D =,44), a marca E fo a mas lenta ( E = 3, 75 ). c. De acordo com o teste de Tukey ( =,0), as marcas E e A foram as mas lentas ( E = 3, 75 e A =, 75 ). d. C = 4m A m B m C m D m E Ĉ = +4,0 t c =,86 t 5%(5) =,3 NRH 0 ; S=7,48 NRH 0 C = m B + m C m D m E Ĉ = -7,0 t c =-7,63 t 5%(5) =,3 RH 0 ; S=3,34 RH 0 C 3 = m B m C Ĉ 3 =+3,5 t c =5,7 t 5%(5) =,3 RH 0 ; S=,36 RH 0 C 4 = m D m E Ĉ 4 = -,5 t c =-3,69 t 5%(5) =,3 RH 0 ; S=,36 RH a. Fcal = 6,4 Ftab 5% (3,6) =,98 Rejeta-se Ho. 3

138 EST 0 Estatístca Expermental b. Ĉ = 3. t =,4. t tab = t 0,05 (6) =,06. Rejeta-se Ho. S = 3,70 Não rejeta-se Ho Tukey Duncan =5,96 D 6 =,77 D 5 =,60 D 4 =,38 D 3 =,07 D =0,53 = 03,36 a a = 96,58 a b a b 3 = 88,86 a b b c 5 = 8,38 b c 4 = 65,38 c d = 53,0 c e 6 Capítulo Fcal = 33,58 Ftab 5% (4,8) = 3,84 Tukey Duncan = 3,54 D 5 = 9,75 D 4 = 9,6 D 3 = 9,39 D = 9 = 07 a a 5 4 = 9 b b = 87 b b 3 = 7 c c = 67 c c a) DBC, pos a dvsão fo realzada de modo que houvesse homogenedade entre as undades expermentas dentro de cada grupo, fcando a heterogenedade exstente entre os grupos passível de ser quantfcada e, assm, solando os reas efetos de tratamentos. b) Sm. Fcal = 78 Ftab % (3;8) = 5,09 Rho c) Tukey = 3,83 3 = 46 a = 3,6 b = 3,4 b =,6 c 4 a) Fcal = 5,87 Ftab 5% (4,) = 3,6 b) Tukey c) Duncan = 3, D 5 = 9,77 D 4 = 9,68 D 3 = 9,39 D = 8,96 33

139 Cap Respostas dos Exercícos 5 = 55, a a = 4,8 a b b 4 = 40,0 b b = 38,74 b b 3 = 38,0 b b d) Ŷ = -9,4 R H 0 S = 5,73 e) Não se aplca o teste t, pos os contrastes não são ortogonas a) Fcal = 7,67 Ftab 5% (4,) = 3,6 R.: Sm. b) Tukey = 4,99 5 =,4 a = 6,3 b 4 = 6,0 b 3 = 5,5 b = 3,0 b R.: Levedura tpo 5 Duncan D 5 = 3,7 D 4 = 3,68 D 3 = 3,57 D = 3,4 5 =,4 a = 6,3 b 4 = 6,0 b 3 = 5,5 b = 3,0 b R.: Leveduras tpo,,3e a) Repetção: cada tpo de pneu fo submetdo a três repetções. Casualzação; os tpos de pneus foram submetdos a sorteos dentro das respectvas sub-áreas. Controle Local: a área total fo submetdo a váras subdvsões, vsando proporconar maor precsão ao expermento. b) DBC: as sub-áreas formadas atuam como blocos no expermento. c) Fcal = 0,9 Ftab 5% (3,6) = 4,76 d) Duncan D 4 =,75 D 3 =,7 D =,67 4 = 33 a 3 = 3,3 b = 9,3 c = 8 c

140 EST 0 Estatístca Expermental a) V(c) = 0 b) C Não é contraste, logo não aplca teste de méda C = -30 S = 30,4 N RH 0 c) Não se aplca o teste t, pos os contrastes não são ortogonas. d) C= m + m m a) 5 vezes, pos o número de graus de lberdade para blocos é gual a 4. b) Testa-se se há dferença sgnfcatva entre a durabldade dos 4 mcroaspersores. Sendo F tabelado a 5% gual a 3,49 e enuncando as hpóteses: Ho: m = m = m 3 = m 4 vs Ha: Não Ho, verfca-se que o Fcal é sgnfcatvo, portanto exste pelo menos um contraste entre as médas de durabldade dos mcroaspersores estatstcamente dferente de zero. c) Deveríamos aplcar um teste de médas; Tukey ou Duncan, por exemplo. d) Ex.: Scheffé C = x40 = 6 S = 35,45 NRH a) Fcal = 37,7 Ftab 5% (4,) = 3,6 b) Duncan D 5 = 3,77 D 4 = 3,74 D 3 = 3,6 D = 3,45 = 5 a C B = 4,75 a E = 6,5 b D = c = 0, c A c) tcal = 3,99 ttab 5% () =,8 RHo 6.9. Fcal = 4,0 Ftab % (4,) = 5,4 Não Rejeta-se Ho Delneamento em Blocos Casualzados. Porque o melhorsta ao nstalar o expermento subdvdu a área total (heterogênea) em sub-áreas (homogêneas) entre s. Pode-se dzer também que o pesqusador utllzou os três prncípos báscos da expermentação (repetção, casualzação e controle local) Fcal =,0 Ftab 5% (4,) = 3,6 Não Rejeta-se Ho, consequentemente, não é necessáro proceder ao teste de Duncan (c) 6... (h) (c) (c) (d)

141 Cap Respostas dos Exercícos 6... Fcal = 77,99 Ftab % (3,8) = 5,09 Rejeta-se Ho = 3,84 O tratamento 4 apresentou a menor méda (,57) portanto é o desejado (c). Porque o teste de Scheffé pode ser aplcado a qualquer contraste sem nenhuma restrção e o teste t a contrastes estabelecdos a pror e ortogonas. Porém, os mesmos apresentam sensbldades dferentes em detectar dferenças sgnfcatvas (c). Porque o teste t pode ser aplcado para avalar contrastes estabelecdos a pror e ortogonas e o teste de Tukey a todos os possíves contrastes que envolvem duas médas. Porém os mesmos apresentam sensbldades dferentes em detectar dferenças sgnfcatvas Sm. S = 3,9. Ŷ =, 4. Não se rejeta Ho Y = m m j para j =,, 3 e 4. Número máxmo de contrastes = Não, pos a dferença entre e é gual a a qual é superor ao valor do O que obteve = 5, pos o é função do QMResíduo, o qual é um ndcatvo da precsão expermental = 00 a 4 3 = = 9 88 a b a b = 79 b O teste recomendado é o teste de Scheffé, pos exstem contrastes envolvendo duas ou mas médas e os contrastes não formarem um grupo de contrastes ortogonas. 7.. Capítulo 7 a) Fcal =,09 Ftab 5% (4,) = 3,6 b) Tukey = 07,54 = 604,8 a C A = 49,6 b B = 440,8 b D = 43,4 b E = 40 b A Varedade Co 97 deve ser recomendada

142 EST 0 Estatístca Expermental a) Fcal = 8,98 Ftab 5% (4,) = 3,6 b.) Duncan D 5 = 8,55 D 4 = 8,47 D 3 = 8, D = 7,84 = 60 a 5 = 5,5 a b = 50 b 3 = 47,5 b c 4 = 40 c Conclusão: os tratamentos e 5 devem ser recomendados b.) Conclusão: os tatamentos 3 e 4 devem ser recomendados Fcal = 7,84 Ftab 5% (4,) = 3,6 Tukey = 07,54 = 604,8 a = 509,8 a b 3 = 469,8 b c 4 = 394 c d = 346,8 d 5 a) Fcal = 9,0 Ftab 5% (4,) = 3,6 b) C = 4md ma mb mc me c) Scheffé Ŷ = 33,66 S = 54,05 Teste t tcal =,49 ttab 5% () =, Fcal = 3,73 Ftab % (6,30) =3,47 Rejeta-se Ho. Exste efeto sgnfcatvo de forrageras com relação a produção de matéra seca cada ltro de lete Delneamento em Quadrado Latno os tpos de baclos (a) vezes (g) Capítulo Ftab = 5,3 FcalcAxB =,8 RHo 8.. Ftab5% (,6) = 4,49 FcalcAxB = 4,95 RHo 8.3. a) Sm Ftab(;0) = 8,0 FcalcAxB = 0,5 NRHo b) FcalcA = 86,05 RHo 37

143 Cap Respostas dos Exercícos R = 49,67 a R = 4,08 b c) FcalcB = 5,80 Rho A = 47,50 a = 44,5 b A 8.4. a) Não. VxF: F tab = 3,49 F calc = 7,3 RHo b) F/V: F calc = 7,07 F tab (;0) = 3,49 Teste Tukey =,9 F/V = 8 a F/V = 4 b = 3 b F3/V c) V/F3: = 8 F tab (;0) = 4,35 RHo a) Sm. VxE: F calc = 0,75 F tab = 4,49 b) Ambas fornecem a mesma produção. V: F calc =,70 F tab = 4,49 c) O espaçamento ( = 7,7). E: F calc = 6,79 F tab = 4,49 a) Não FcalcRaçãoxRaça = 7,7 FtabRaçãoxRaça = 3,68 b) F Ração/Raça = 3,3 F Ração/Raça = 6,3 F Ração/Raça3 = 0,3 Ftab(;5) = 4, Questão teórca 8.8 a) 5 valores - Cada valor corresponde a um total de tratamento, repetdos 5 vezes. b) 3, 7, 4, 8, 39 c) Meo de Cultura e tpo de Fungo, respectvamente. d) Não. Fcalc = 4,9 Ftab = 4,57 e) Qualquer um Fcalc = 0,6 Ftab = 7, a) Estudar os fatores soladamente. b) Efetuar o desdobramento dos fatores 8.0. FA*B = 3,6* FA/B = 30,06 FA/B = 36,8* FA/B3 = 5,75* 38

144 EST 0 Estatístca Expermental 8.. FB/A = 8,7* FB/A = 7,64* FB/A3 = 3,778 FB/A4 = 4,56 B/A =,98 A/B = 3,9 FA = 0,8ns FB = 4,8* FA*B = 0,64ns Teste Duncan para fator B D 3 = 6,6 D = 49, Questão teórca -> ver teora FA = 7,45ns FB = 5,6ns FA*B = 5,0ns a) FA/B4 =,6* b) FB/A = 0,04ns FB/A = 5,0* =,9 a) Ĉ = -5,7ns S = 5,87 b) Fcal = 6,09* Ftab5% (,4) = 4, Tukey = 3,55 Médas dos nves de A A = 9,8 a A = 8,4 ab = 6, b A3 = 5,4 b A a) FA*B = 9,33* b) FA/B = 0,095ns FA/B = 4,8* FA/B3 = 0,097ns 8.8. Interação: Ftab5%(,4) = 3,40. Não Rejeta-se Ho a 5% de probabldade. Ração: Fcal = 4,34 Ftab5%(,4) = 3,40. Rejeta-se Ho a 5% de probabldade. D 3 = 3,93. D = 3,5. A ração A deve ser recomendada. Proteína: Fcal = 5, Ftab5%(,4) = 4,6. Rejeta-se Ho a 5% de probabldade. O nível alto de proteína dever ser recomendado. 39

145 Cap Respostas dos Exercícos FV GL SQ QM F F tab; 5% T = 394,3 H 3 = 33,47 T*H = 0,7 0,3 0,80 (; 4) = 3,40 (Tratamentos) ( 3) = ,87 - Resíduo 9 5 = 4 304,00,67 Total ( 3 5) = 9 404,87 Conclusão: 0,80 < 3,40 Não RH 0 a 5% de probabldade. Logo, os fatores, horáro de colheta e tpo de colhetadera, atuam ndependentemente na perda de grãos FV GL SQ QM F F tab; 5% H 33,47 66,73 5,4 (; 4) = 3,40 Resíduo 4 304,00,67 H 0 : m H = m H = m H3 H a : Não H 0 Conclusão: 5,4 > 3,40 RH 0 a 5% de probabldade. Logo exste pelo menos um contraste estatstcamente dferente de zero entre médas de horáro de colheta com relação a perda de grãos. Teste de Tukey e Duncan Hpóteses H 0 : m H m Hu = 0 para u =,, 3. H a : m H m Hu 0 DMS QMRes,67 = =,3 I K 5 QMRes Tukey: = qtab = 3,53,3 = 3,99 5 q tab = q 0,05 (3; 4) = 3,53 Duncan: D = z QMRes 5 = 3 z 3 = 3,07 D 3 = 3,47 = z =,9 D = 3,30 Totas de Tratamentos 40

146 EST 0 Estatístca Expermental H H H3 Totas T 08 (5) (5) T Totas 496 (0) (30) Médas Tukey Duncan ˆm H3 = 65 5 = 65, a a ˆm H = = 53,4 b b ˆm H = = 49,6 b c Cˆ = = 65, 53,4 49,6 = 7,40 H 0 : C = 0 H a : C 0 H H H3 ( ) 3 ( ˆ QMRes,67 ) ( ) ( ) V C = a = + + = 7,6 J K 5 ( ˆ ) = Ĉ 7,40 t = = = 9,94 t tab = t 5% (4) =,06 ˆV C 7,6 Conclusão: 9,94 >,06 RH 0 a 5% de probabldade ( ) ˆ ˆ ( ) S = I F V(C) = 3 3,40 7,6 = 7,9 tab Conclusão: 7,40 >7,9 RH 0 a 5% de probabldade FV GL SQ QM F F tab; 5% T = 394,3 394,3 89,0 (; 4) = 4,0 Resíduo 9 5 = 4 304,00,67 H 0 : m T = m T H a : Não H 0 Conclusão: 89,0 > 3,40 RH 0 a 5% de probabldade. Logo exste pelo menos um contraste estatstcamente dferente de zero entre médas de tpo de colhetadera com relação a perda de grãos. Teste de Tukey e Duncan 4

147 Cap Respostas dos Exercícos Observação: A aplcação de tas testes é desnecessára, pos o teste F ( GL para T) já é conclusvo. Apresentamos apenas para mostrar as dferenças entre aplcar para um fator com três níves (H) e um fator com dos níves (T) Hpóteses H 0 : m Tj m Tu = 0 para j u =, H a : m Tj m Tu 0 DMS QMRes,67 = = 0, QMRes Tukey: = qtab =,9 0,9 =, q tab = q 0,05 (; 4) =,9 Duncan: D = z QMRes 3 5 = z =,9 D =,68 Totas de Tratamentos H H H3 Totas T 08 (5) (5) T Totas 496 (0) (30) Médas Tukey Duncan ˆm T = = 65,00 a a ˆm = = 47,3 b b T Observação: A aplcação de tas testes é desnecessára, pos o teste F ( GL para T) já é conclusvo. Apresentamos apenas para mostrar as dferenças entre aplcar para um fator com três níves (H) e um fator com dos níves (T) Cˆ = = 47,3 65,00 = - 7,87 T H 0 : C = 0 H a : C 0 T 4

148 ( ˆ QMRes,67 ) j ( ) j= EST 0 Estatístca Expermental ( ) V C = a = + =,69 I K 3 5 Ĉ 7,87 t = = = 3,75 t tab = t 5% (4) =,06 ˆV C, 69 ( ˆ ) Conclusão: -3,75 >,06 RH 0 a 5% de probabldade ( ) ˆ ˆ ( ) S = J F V(C) = 4,0,69 =,67 tab Conclusão: -7,87 >,67 RH 0 a 5% de probabldade Interação: Fcal = 49,97 Ftab 5% (,6) = 4,49. Rejeta-se Ho. Os fatores não atuam ndependentemente B/A: Fcal =,6 Ftab 5% (,6) = 4,49. Rejeta-se Ho. Quando se usa o controle de qualdade A processo de fabrcação B é o mas rápdo Interação: Fcal = 0,037 Ftab % (,30) = 5,39. Não rejeta-se Ho. Os fatores atuam ndependentemente Fator A: Fcal = 4,39. Ftab % (,30) = 7,56. Não rejeta-se Ho. Os dos métodos de aceleração proporconam em méda gual consumo Interação: Fcal = 67,58. Ftab 5% (3,4) = Rejeta-se Ho. Os fatores A e B não atuam ndependentemente B/A : Fcal = 95,73. Ftab 5% (,4) = 4,60. Rejeta-se Ho. Logo a méda de B /A é estatístcamente maor do que a de B /A = 8,5 = 35,00 a A3 / B A4 / B A/ B A / B = = = 99,67 8,33 9, OSERVAÇÃO: VALORES APROXIMADOS , , ,39 b c d Interação: Fcal = 5,0. Ftab % (,8) = 6,0. Rejeta-se Ho. Os fatores A e B não atuam ndependentemente A/B: Fcal = 34,03. Ftab % (,8) = 6,0. Rejeta-se Ho. Exste pelo menos um contraste, estatstcamente dferente de zero, entre médas do fator A dentro do nível de B. 43

149 Cap Respostas dos Exercícos B/A: Fcal = 6,0. Ftab % (,8) = 8,9. Rejeta-se Ho. O nível B apresenta maor méda quando o nível de A é consderado FV GL SQ QM F F tab; % Recpentes (R) 9, Espéce (E) 9, Interação RxE 63,76 3,88 4,9 * * (; 8) = 6,0 (Tratamentos) (5) (75,70) - - Resíduo 8 3,09,8 Total 3 98,79 * * Sgnfcatvo ao nível de % de probabldade R/E FV GL SQ QM F F tab; % R/E 87, 43,56 34,03 * * (; 8) = 6,0 R/E 69,50 34,75 7,5 * * (; 8) = 6,0 Resíduo 8 -,8 * * Sgnfcatvo ao nível de % de probabldade R/E =,66 03,5 R / E = 4 = 5,875 a R/ E = = 5,650 a = = 0,050 b R3 / E R/E =,66 0,3 a = 5,35 R/E = 4 R3 / E = =,35 b = = 9,575 b R /E E/R FV GL SQ QM F F tab; % E/R 0, 0, 0,6 (;8) = 8,9 E/R 79,38 79,38 6,0 * * (;8) = 8,9 E/R 3 3,5 3,5,54 Resíduo 8 -,8 * * Sgnfcatvo ao nível de % de probabldade 44

150 EST 0 Estatístca Expermental Capítulo Interação AxB sgnfcatva: Fcal AxB= 3, Ftab 5% (9,36) =,6 QMRes combnado = 3,4 N* = 7 Estudo A/B A/B SQ= 404 QM= 468,06 Fcal= 4,4 Ftab 5% (3,7) =,96 A/B SQ= 43 QM= 37,66 Fcal= 4,5 A/B3 SQ= 35 QM= 08,6 Fcal= 3,34 A/B4 SQ= 93 QM= 430,86 Fcal= 3, Resíduo GL= 7 QM= 3,4 Teste de Tukey A/B = Para A/B A4/B = 6,9 a = 53,9 a b A3/B A/B = 50,9 b = 36, c A/B Para A/ B a Para A/B3 a Para A/B4 a a b a b a b a b a b b b Estudo: B/A B/A SQ= 583,49 QM= 94,50 Fcal= 9,58 B/A SQ= 45, QM= 5,07 Fcal= 0,74 B/A3 SQ= 56,96 QM= 8,99 Fcal= 0,94 B/A4 SQ= 7,34 QM= 3,78 Fcal=,7 Teste Tukey = 6,06 B/A = a = a b B3/A = b B4/A3 = b B/A4 9.. Interação AxB não sgnfcatva Fcal AxB= 0,98 Ftab 5% (,30) =,09 Fcal A = 4,7 Ftab 5% (4,0) = 3,48 Fcal B = 3,99 Ftab 5% (3,30) =,9 Teste Duncan Fator A (D5=,4 D4 =, D3 =,9 D =,4) Médas = 7,6 a A5 A = 7,56 a = 6,33 b A3 = 6,9 b A4 45

151 Cap Respostas dos Exercícos A = 5,98 b Teste Duncan Fator B (D4=,056 D3=,09 D= 0,978) Médas B = 7,43 a B4 = 6,88 a = 6,77 a b B3 = 5,83 b B 9.3. F para nteração não sgnfcatvo Fcal AxB =,08 Ftab 5% (6,4) =,5 Fcal A =,7 Ftab 5% (3,90) = 3,86 Fcal B = 3,57 Ftab 5% (,4) = 3,40 Fator B Teste tukey Médas sulco = 350,5 a = 333,7 ab lanço cova = 307,4 b Interação: Fcal=0,97. Ftab 5% (,30) =,09. Não rejeta-se Ho. Os fatores atuam ndependentemente Fator B: Fcal = 4,00. Ftab 5% (3,30) =,9. Rejeta-se Ho. Exste pelo menos um contraste entre médas de nves do fator B estatstcamente dferente de zero D 4 =,05 D 3 =,0 D = 0,97 = 7,46 a B B4 B3 B = 6,88 a = 6,77 a b = 5,8 b 9.5. OBSERVAÇÃO: VALORES APROXIMADOS , , nível , nves, 3 e Interação: Fcal = 0,97. Ftab 5% (,30) =,09. Não rejeta-se Ho. Os fatores A e B atuam ndependentemente Fator B: Fcal =3,99. Ftab 5% (3,30) =,9. Rejeta-se Ho. Exste pelo menos um contraste entre médas de nves de B estatstcamente dferente de zero. 46

152 EST 0 Estatístca Expermental Tukey ( =,3) B B4 B3 B = 7,46 = 6,88 = 6,75 = 5,83 a a b a b b Interação: Fcal =,74. Ftab 5% (,) = 3,89. Não rejeta-se Ho. Os fatores A e B atuam ndependentemente Como a nteração fo não sgnfcatva, o autor procedeu da forma correta, pos ele comparou os nves de um fator ndependente do outro fator Interação: Fcal = 0,03. Ftab 5% (,9) = 4,6. Rejeta-se Ho. Os fatores não atuam ndependentemente. Estudo: A/B QMResíduo Combnado: 9,83. GL = 7. A/B: Fcal =,58. Ftab 5% (,7) = 4,74. Rejeta-se Ho. Exste pelo menos um constraste estatstcamente dferente de zero, entre médas de nves de A dentro do nível B. A/B: Fcal = 0,58. Ftab 5% (,6) = 5,4. Rejeta-se Ho. Exste pelo menos um constraste estatstcamente dferente de zero, entre médas de nves de A dentro do nível B. Médas - A/B A/B = 8.5 a A3/B = 7.50 a = 56.5 b A/B - A/B A3/B = a A/B = a A/B = 4.75 b B/A B/A: Fcal = 66,39. Ftab 5% (,9) = 5,. Rejeta-se Ho. Exste pelo menos um constraste estatstcamente dferente de zero, entre médas de nves de B dentro do nível A. B/A: Fcal = 89,55. Ftab 5% (,9) = 5,. Rejeta-se Ho. Exste pelo menos um constraste estatstcamente dferente de zero, entre médas de nves de B dentro do nível A. B/A3: Fcal = 7,05. Ftab 5% (,9) = 5,. Rejeta-se Ho. Exste pelo menos um constraste estatstcamente dferente de zero, entre médas de nves de B dentro do nível A

153 Cap Respostas dos Exercícos Interação: Fcal = 0,4. Ftab 5% (,) = 3,89. Não rejeta-se Ho. Os fatores atuam ndependentemente. Fator A: Fcal =,05. Ftab 5% (,6) = 5,99. Rejeta-se Ho. Exste pelo menos um contraste estatstcamente dferente de zero entre médas de nves do fator A. Fator B: Fcal = 5,83. Ftab 5% (,) = 3,39. Rejeta-se Ho. Exste pelo menos um contraste estatstcamente dferente de zero entre médas de nves do fator B. Teste de Duncan Fator A: não é necessáro. Teste F já é conclusvo. Fator B D3 =.87 e D =.78 Médas B3 = 6,9 a B = 3,96 b = 3,79 b B Capítulo ˆβ 0 = 997,4 ˆβ = 0,56 x Fcal= 84,3. A varável ndependente nfluenca sgnfcatvamente a varável dependente. 0.. ˆβ 0 = 9,7 ˆβ = 0,08x Fcal= 3,55 A varável ndependente não nfluenca sgnfcatvamente a varável dependente ˆβ 0 = 5 ˆβ = 4,8 F sgnfcatvo. A varável ndependente nfluenca sgnfcatvamente a varável dependente ˆβ 0 =,4 ˆβ = 0,4677 x ˆβ = -,35 F cal=3,4. A varável ndependente nfluenca sgnfcatvamente a varável dependente ˆβ 0 = 0,7 ˆβ = 0,0 x F cal= 67,5. A varável ndependente nfluenca sgnfcatvamente a varável dependente F cal=,4. A varável ndependente nfluenca sgnfcatvamente a varável dependente

154 EST 0 Estatístca Expermental a) 44,4 b)não. F cal nteração fo sgnfcatvo. c) Espéce GL= F conclusvo. d)fazer uma análse por meo de regressão. Escolhendo o modelo mas adequado Modelo 3 F falta ajustamento n.s F regressão sgnfcatvo F cal= 5,06 R²=78,% a) 3,9 kg b) 3,5 C 0.0. a)f cal= 5* b) Sm. F sgnfcatvo da regressão. 0.. ˆ0 β 0,44 F = 44,49 = cal 0.. Ŷ = 6, 0,6x 0.9x Fcal = 97, F =,097 n.s Ftab = 9, Falta de Ajustamento: Fcalc = 0,4. Ftab 5% (3,0) = 3,7. Não rejeta-se Ho. O modelo lnear de o grau é aproprado para descrever o tempo de sono em função da dosagem de sonífero Regressão: Fcalc =. Ftab 5% (,0) = 4,96. Rejeta-se Ho. O coefcente β é estatstcamente dferente de zero Não é recomendável fazer tal estmatva, pos a dose de 7 mg não está dentro do ntervalo de dosagem testada OBSERVAÇÃO: VALORES APROXIMADOS , ,88 e -0, , , , ,74 49

155 Cap Respostas dos Exercícos Fcalc = 43,68. Ftab 5% (,7) = 4,74. Rejeta-se Ho. A droga resulta em uma perda de peso sgnfcatva , Como 35 mg está fora do ntervalo testado, então a equação de regressão ajustada não pode ser usada para estmar a perda de peso para esta dosagem Falta de Ajustamento: Fcal =,93. Ftab 5% (8,0) =,45. Não rejeta-se Ho. Logo o modelo ajustado é adequado para descrever o fenômeno Regressão: Fcalc = 609,47. Ftab 5% (,0) = 4,35. Rejeta-se Ho. A dosagem do suco de laranja tem efeto sgnfcatvo na acdez da bebda láctea , Fcal =,69. Ftab 5% (,7) = 4,74. Rejeta-se Ho. O fermento tem nfluênca sgnfcatva no peso fnal dos pães , Fcal = 340,3. Ftab 5% (,5) = 6,6. Rejeta-se Ho. A droga tem nfluênca sobre o nível de açúcar Não é possível obter tal estmatva, pos a dose de 90 mg está fora do ntervalo testado. 50

156 EST 0 Estatístca Expermental I/008 EST 0 Estatístca Expermental Anexo - Formuláro e Tabelas Observações: - As tabelas que aqu constam, foram adaptadas do lvro: Curso de Estatístca Expermental (ª ed) de Frederco Pmentel Gomes, Este materal será usado em provas e portanto não deverá conter nformações adconas Nome: Matrícula: 5

157 Anexo Formuláro e Tabelas Formuláro = t = n = n x m s n 0 SQ s k = SQ = GL t = = X r k = k X r = ( ) ( m m ) s c n + n s = s ( ) t = D m sd n D s = s D n = n = n s d c ( n ) s + ( n ) s > s = F = n + n < s s D = n = d n d = n n = q Vˆ ( Ĉ) D = z Vˆ ( Ĉ) ( ˆ ) ˆV C S a = = QMRes a I I C = r = r QMResíduo = q D z K QMResíduo K = S = ( I F ) Vˆ ( Ĉ) tab t = Vˆ Ĉ ( Ĉ) n* = SQ k X = = k = r r = k X [ QMRe s( a) + ( J ) QMRe s( b) ] [ QMRe s( a) ] [( J ) QMRe s( b) ] + g.l.re s( a) g.l.re s( b) CV (%) = 00 QMRe síduo T = r QMRe s(a) + QMRe scomb = ( J ) J = G N QMRe s(b) 5

158 EST 0 Estatístca Expermental I/ β = β + β β = = = = = = n n 0 n n 0 n X ˆ X ˆ Y X X ˆ n ˆ Y + β + β = β + β + β = β + β + β β = = = = = = = = = = = = n n 4 3 n 0 n n n 3 n 0 n n n 0 n X ˆ X ˆ X ˆ Y X X ˆ X ˆ X ˆ Y X X ˆ X ˆ n ˆ Y n Y Y SQTotal n n = = = SQTotal SQRe gressão R = SQTratamentos SQRe gressão R = n Y Y X ˆ Y ˆ SQRe gressão n n n 0 + β = β = = = n Y Y X ˆ Y X ˆ Y ˆ SQRe gressão n n n n 0 + β + β = β = = = =

159 Anexo Formuláro e Tabelas Tabela - Valores de t em níves de 0% a 0,% de probabldade (Tabela Blateral) Graus de 0% 5% % % 0,5% 0,% lberdade 6,3,7 3,8 63,66 7,3 636,6,9 4,30 6,97 9,9 4,09 3,60 3,35 3,8 4,54 5,84 7,45,94 4,3,78 3,75 4,60 5,60 8,6 5,0,57 3,37 4,03 4,77 6,86 6,94,45 3,4 3,7 4,3 5,96 7,90,36 3,0 3,50 4,03 5,4 8,86,3,90 3,36 3,83 5,04 9,83,6,8 3,5 3,69 4,78 0,8,3,76 3,7 3,58 4,59,80,0,7 3, 3,50 4,44,78,8,68 3,06 3,43 4,3 3,77,6,65 3,0 3,37 4, 4,76,4,6,98 3,33 4,4 5,75,3,60,95 3,9 4,07 6,75,,58,9 3,5 4,0 7,74,,57,90 3, 3,97 8,73,0,55,88 3,0 3,9 9,73,09,54,86 3,7 3,88 0,73,09,53,84 3,5 3,85,7,08,5,83 3,4 3,8,7,07,5,8 3, 3,79 3,7,07,50,8 3,0 3,77 4,7,06,49,80 3,09 3,75 5,7,06,49,79 3,08 3,73 6,7,06,48,78 3,07 3,7 7,70,05,47,77 3,06 3,69 8,70,05,47,76 3,05 3,67 9,70,04,46,76 3,04 3,66 30,70,04,46,75 3,03 3,65 40,68,0,4,70,97 3,55 60,67,00,39,66,9 3,46 0,65,98,36,6,86 3,37,65,96,33,58,8 3,9 54

160 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Tabela - Lmtes unlateras de F ao nível de % de probabldade, para o caso de F > n n ,50 99,00 99,7 99,5 99,30 99,33 99,36 99,37 99,39 99,40 99,4 99,4 99,4 99,43 99,43 99,44 99,45 99,46 99,47 99,47 99,48 99,49 99, , 30,8 9,46 8,7 8,4 7,9 7,67 7,49 7,35 7,3 7,3 7,05 6,98 6,9 6,87 6,83 6,69 6,60 6,50 6,4 6,3 6, 6,3 4,0 8,00 6,69 5,98 5,5 5, 4,98 4,80 4,66 4,55 4,45 4,37 4,30 4,4 4,0 4,5 4,0 3,93 3,84 3,75 3,65 3,56 3,46 5 6,6 3,7,06,39 0,97 0,67 0,46 0,9 0,6 0,05 9,96 9,89 9,83 9,77 9,7 9,68 9,55 9,47 9,38 9,9 9,0 9, 9,0 6 3,75 0,9 9,78 9,5 8,75 8,47 8,6 8,0 7,98 7,87 7,79 7,7 7,66 7,60 7,56 7,5 7,40 7,3 7,3 7,4 7,06 6,97 6,88 7,5 9,55 8,45 7,85 8,46 7,9 6,99 6,84 6,7 6,6 6,54 6,47 6,4 6,35 6,3 6,7 6,6 6,07 5,99 5,9 5,8 5,74 5,65 8,6 8,65 7,59 7,0 6,63 6,37 6,8 6,03 5,9 5,8 5,74 5,67 5,6 5,56 5,5 5,48 5,36 5,8 5,0 5, 5,03 4,95 4,86 9 0,56 8,0 6,99 6,4 6,06 5,80 5,6 5,47 5,35 5,6 5,8 5, 5,05 5,00 4,96 4,9 4,8 4,73 4,65 4,57 4,48 4,40 4,3 0 0,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,0 5,06 4,94 4,85 4,78 4,7 4,65 4,60 4,56 4,5 4,4 4,33 4,5 4,7 4,08 4,00 3,9 9,65 7, 6, 5,67 5,3 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54 4,46 4,40 4,34 4,9 4,5 4, 4,0 4,0 3,94 3,86 3,78 3,69 3,60 9,33 6,93 5,95 5,4 5,06 4,8 4,64 4,50 4,39 4,30 4, 4,6 4,0 4,05 4,0 3,98 3,86 3,78 3,70 3,6 3,54 3,45 3,36 3 9,07 6,70 5,74 5, 4,86 4,6 4,44 4,30 4,9 4,0 4,0 3,96 3,90 3,85 3,8 3,78 3,66 3,59 3,5 3,43 3,34 3,5 3,7 4 8,86 6,5 5,56 5,04 4,69 4,46 4,8 4,4 4,03 3,94 3,86 3,80 3,75 3,70 3,66 3,6 3,5 3,43 3,35 3,7 3,8 3,09 3,00 5 8,68 6,36 5,4 4,89 4,56 4,3 4,4 4,00 3,89 3,80 3,73 3,67 3,6 3,56 3,5 3,48 3,37 3,9 3, 3,3 3,05,96,87 6 8,53 6,3 5,9 4,77 4,44 4,0 4,03 3,89 3,78 3,69 3,6 3,55 3,50 3,45 3,4 3,37 3,6 3,8 3,0 3,0,93,84,75 7 8,40 6, 5,8 4,67 4,34 4,0 3,93 3,79 3,68 3,59 3,5 3,46 3,40 3,35 3,3 3,7 3,6 3,08 3,00,9,83,75,65 8 8,9 6,0 5,09 4,58 4,5 4,0 3,84 3,7 3,60 3,5 3,44 3,37 3,3 3,7 3,3 3,9 3,08 3,00,9,84,75,66,57 9 8,8 5,93 5,0 4,50 4,7 3,94 3,77 3,63 3,5 3,43 3,36 3,30 3,4 3,9 3,5 3, 3,00,9,84,76,67,58,49 0 8,0 5,85 4,94 4,43 4,0 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 3,30 3,3 3,8 3,3 3,09 3,05,94,86,78,69,6,5,4 8,0 5,78 4,87 4,37 4,04 3,8 3,64 3,5 3,40 3,3 3,4 3,7 3, 3,07 3,03,99,88,80,7,64,55,46,36 7,95 5,7 4,8 4,3 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35 3,6 3,8 3, 3,07 3,0,98,94,83,75,67,58,50,40,3 3 7,88 5,66 4,76 4,6 3,94 3,7 3,54 3,4 3,30 3, 3,4 3,07 3,0,97,93,89,78,70,6,54,45,35,6 4 7,8 5,6 4,7 4, 3,90 3,67 3,50 3,36 3,6 3,7 3,09 3,03,98,93,89,85,74,66,58,49,40,3, 5 7,77 5,57 4,68 4,8 3,85 3,63 3,46 3,3 3, 3,3 3,05,99,94,89,85,8,70,6,54,45,36,7,7 6 7,7 5,53 4,64 4,4 3,8 3,59 3,4 3,9 3,8 3,09 3,0,96,9,86,8,77,66,58,50,4,33,3,3 7 7,68 5,49 4,60 4, 3,78 3,56 3,39 3,6 3,5 3,06,98,93,88,83,78,74,63,55,47,38,9,0,0 8 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,3 3, 3,03,95,90,85,80,75,7,60,5,44,35,6,7,06 9 7,60 5,4 4,54 4,04 3,73 3,50 3,33 3,0 3,09 3,00,9,87,8,77,73,68,57,49,4,33,3,4, ,56 5,39 4,5 4,0 3,70 3,47 3,30 3,7 3,07,98,90,84,79,74,70,66,55,47,39,30,,,0 40 7,3 5,8 4,3 3,83 3,5 3,9 3,,99,89,80,73,66,6,56,5,49,37,9,0,,0,9, ,08 4,98 4,3 3,65 3,34 3,,95,8,7,63,56,50,45,40,35,3,0,,03,94,84,73,60 0 6,85 4,79 3,95 3,48 3,7,96,79,66,56,47,40,34,9,4,9,6,03,95,86,76,66,53,38 6,63 4,6 3,78 3,3 3,0,80,64,5,4,3,4,8,,07,04,99,88,79,70,59,47,3,00 n = número de graus de lberdade do numerador n = número de graus de lberdade do denomnador 55

161 Anexo Formuláro e Tabelas Tabela 3 - Lmtes unlateras de F ao nível de 5% de probabldade, para o caso de F > n n ,4 99,5 5,7 4,6 30, 34,0 36,8 38,9 40,5 4,9 43,0 43,9 44,4 45,0 45,9 46,0 48,0 49, 50, 5, 5, 53,3 54,3 8,5 9,00 9,6 9,5 9,30 9,33 9,35 9,37 9,38 9,40 9,40 9,4 9,4 9,4 9,43 9,43 9,45 9,45 9,46 9,47 9,48 9,49 9,50 3 0,3 9,55 9,8 9, 9,0 8,94 8,89 8,85 8,8 8,79 8,76 8,74 8,7 8,7 8,70 8,69 8,66 8,64 8,6 9,59 8,57 8,55 8,53 4 7,7 6,94 6,59 6,39 6,6 6,6 6,09 6,04 6,00 5,96 5,93 5,9 5,89 5,87 5,86 5,84 5,80 5,77 5,75 5,7 5,69 5,66 5,63 5 6,6 5,79 5,4 5,9 5,05 4,95 4,88 4,8 4,77 4,74 4,70 4,68 4,66 4,64 4,6 4,60 4,56 4,53 4,50 4,46 4,43 4,40 4,36 6 5,99 5,4 4,76 4,53 4,39 4,8 4, 4,5 4,0 4,06 4,03 4,00 3,98 3,96 3,94 3,9 3,87 3,84 3,8 3,77 3,74 3,70 3,67 7 5,59 4,74 4,35 4, 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,60 3,57 3,55 3,5 3,5 3,49 3,44 3,4 3,38 3,34 3,30 3,7 3,3 8 5,3 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,3 3,8 3,5 3,3 3, 3,0 3,5 3, 3,08 3,04 3,0,97,93 9 5, 4,6 3,86 3,63 3,48 3,37 3,9 3,3 3,8 3,4 3,0 3,07 3,04 3,0 3,0,98,94,90,86,83,79,75,7 0 4,96 4,0 3,7 3,48 3,33 3, 3,4 3,07 3,0,98,94,9,88,86,85,8,77,74,70,66,6,58,54 4,84 3,98 3,59 3,36 3,0 3,09 3,0,95,90,85,8,79,76,74,7,70,65,6,57,53,49,45,40 4,75 3,89 3,49 3,6 3, 3,00,9,85,80,75,7,69,66,64,6,60,54,5,47,43,38,34,30 3 4,67 3,8 3,4 3,8 3,03,9,83,77,7,67,63,60,57,55,53,5,46,4,38,34,30,5, 4 4,60 3,74 3,34 3,,96,85,76,70,65,60,56,53,50,48,46,44,39,35,3,7,,8,3 5 4,54 3,68 3,9 3,06,90,79,7,64,59,54,5,48,45,43,40,39,33,9,5,0,6,,07 6 4,49 3,63 3,4 3,0,85,74,66,59,54,49,45,4,39,37,35,33,8,4,9,5,,06,0 7 4,45 3,59 3,0,96,8,70,6,55,49,45,4,38,35,33,3,9,3,9,5,0,06,0,96 8 4,4 3,55 3,6,93,77,66,58,5,46,4,37,34,3,9,7,5,9,5,,06,0,97,9 9 4,38 3,5 3,3,90,74,63,54,48,4,38,34,3,8,6,3,,6,,07,03,98,93,88 0 4,35 3,49 3,0,87,7,60,5,45,39,35,3,8,5,3,0,8,,08,04,99,95,90,84 4,3 3,47 3,07,84,68,57,49,4,37,3,8,5,,0,8,5,0,05,0,96,9,87,8 4,30 3,44 3,05,8,66,55,46,40,34,30,6,3,0,8,5,3,07,03,98,94,89,84,78 3 4,8 3,4 3,03,80,64,53,44,37,3,7,4,0,7,4,3,0,05,0,96,9,86,8,76 4 4,6 3,40 3,0,78,6,5,4,36,30,5,,8,5,3,,09,03,98,94,89,84,79,73 5 4,4 3,39,99,76,60,49,40,34,8,4,0,6,3,,09,06,0,96,9,87,8,77,7 6 4,3 3,37,98,74,59,47,39,3,7,,8,5,,0,07,05,99,95,90,85,80,75,69 7 4, 3,35,96,73,57,46,37,3,5,0,6,3,0,08,06,03,97,93,88,84,79,73,67 8 4,0 3,34,95,7,56,45,36,9,4,9,5,,09,06,04,0,96,9,87,8,77,7,65 9 4,8 3,33,93,70,55,43,35,8,,8,4,0,07,05,03,00,94,90,85,8,75,70, ,7 3,3,9,69,53,4,33,7,,6,,09,06,04,0,99,93,89,84,79,74,68,6 40 4,08 3,3,84,6,45,34,5,8,,08,04,00,97,95,9,90,84,79,74,69,64,58,5 60 4,00 3,5,76,53,37,5,7,0,04,99,95,9,89,86,84,8,75,70,65,59,53,47,39 0 3,9 3,07,68,45,9,7,09,0,96,9,86,83,80,77,75,73,66,6,55,50,43,35,5 3,84 3,00,60,37,,0,0,94,88,83,79,75,7,69,67,64,57,5,46,39,3,,00 n = número de graus de lberdade do numerador n = número de graus de lberdade do denomnador 56

162 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Tabela 4 - Valores da ampltude total estudentzada (q), para uso no teste de Tukey, ao nível de % de probabldade I n ,03 35,0 64,3 85,6 0, 5,8 7, 37,0 45,6 53, 60,0 66, 7,8 77,0 8,8 86,3 90,4 94,3 4,04 9,0,9 4,7 6,63 8,0 9,53 30,68 3,69 3,59 33,40 34,3 34,8 35,43 36,00 36,53 37,03 37,50 3 8,6 0,6,7 3,33 4,4 5,00 5,64 6,0 6,69 7,3 7,53 7,89 8, 8,5 8,8 9,07 9,3 9,55 4 6,5 8, 9,7 9,96 0,58,0,55,93,7,57,84 3,09 3,3 3,53 3,73 3,9 4,08 4,4 5 5,70 6,98 7,80 8,4 8,9 9,3 9,70 9,97 0,4 0,48 0,70 0,89,08,4,40,55,68,8 6 5,4 6,33 7,03 7,56 7,97 8,3 8,6 8,87 9,0 9,30 9,48 9,65 9,8 9,95 0,08 0, 0,3 0,43 7 4,95 5,9 6,54 7,00 7,37 7,68 7,94 8,7 8,37 8,55 8,7 8,86 9,00 9, 9,4 9,35 9,46 9,55 8 4,75 5,64 6,0 6,6 6,96 7,4 7,47 7,68 7,86 8,03 8,8 8,3 8,44 8,55 8,66 8,76 8,85 8,94 9 4,60 5,43 5,96 6,35 6,66 6,9 7,3 7,3 7,50 7,65 7,78 7,9 8,0 8,3 8,3 8,3 8,4 8,50 0 4,48 5,7 5,77 6,4 6,43 6,67 6,88 7,06 7, 7,36 7,48 7,60 7,7 7,8 7,9 7,99 8,08 8,5 4,39 5,5 5,6 5,97 6,5 6,48 6,67 6,84 6,99 7,3 7,5 7,36 7,46 7,56 7,65 7,73 7,8 7,88 4,3 5,05 5,50 5,84 6,0 6,3 6,5 6,67 6,8 6,94 7,06 7,7 7,6 7,36 7,44 7,5 7,59 7,66 3 4,6 4,96 5,40 5,73 5,98 6,9 6,37 6,53 6,67 6,79 6,90 7,0 7,0 7,9 7,7 7,34 7,4 7,48 4 4, 4,90 5,3 5,63 5,88 6,08 6,6 6,4 6,54 6,66 6,77 6,87 6,96 7,05 7,3 7,0 7,7 7,33 5 4,7 4,84 5,5 5,56 5,80 5,99 6,6 6,3 6,44 6,56 6,66 6,76 6,84 6,93 7,00 7,07 7,4 7,0 6 4,3 4,79 5,9 5,49 5,7 5,9 6,08 6, 6,35 6,46 6,56 6,66 6,74 6,8 6,90 6,97 7,03 7,09 7 4,0 4,74 5,4 5,43 5,66 5,85 6,0 6,5 6,7 6,38 6,48 6,57 6,66 6,73 6,8 6,87 6,94 7,00 8 4,07 4,70 5,09 5,38 5,60 5,79 5,94 6,08 6,0 6,3 6,4 6,50 6,58 6,66 6,7 6,79 6,85 6,9 9 4,05 4,67 5,05 5,33 5,55 5,74 5,89 6,0 6,4 6,5 6,34 6,43 6,5 6,58 6,65 6,7 6,78 6,84 0 4,0 4,64 5,0 5,9 5,5 5,69 5,84 5,97 6,09 6,9 6,8 6,37 6,45 6,5 6,59 6,65 6,7 6,77 4 3,96 4,55 4,9 5,7 5,37 5,54 5,68 5,8 5,9 6,0 6, 6,9 6,6 6,33 6,39 6,45 6,5 6, ,89 4,46 4,80 5,05 5,4 5,40 5,54 5,65 5,76 5,85 5,93 6,0 6,08 6,4 6,0 6,6 6,3 6, ,8 4,37 4,70 4,93 5, 5,6 5,39 5,50 5,60 5,69 5,76 5,84 5,90 5,96 6,0 6,07 6, 6,6 60 3,76 4,8 4,60 4,8 4,99 5,3 5,5 5,36 5,45 5,53 5,60 5,67 5,73 5,78 5,84 5,89 5,93 5,97 0 3,70 4,0 4,50 4,7 4,87 5,00 5, 5, 5,30 5,38 5,44 5,50 5,56 5,6 5,66 5,7 5,75 5,79 3,64 4, 4,40 4,60 4,76 4,88 4,99 5,08 5,6 5,3 5,9 5,35 5,40 5,45 5,49 5,54 5,57 5,6 I = número de níves do fator em teste n = número de graus de lberdade do resíduo 57

163 Anexo Formuláro e Tabelas Tabela 4 - Valores da ampltude total estudentzada (q), para uso no teste de Tukey, ao nível de % de probabldade (contnuação) I n ,0 304,7 30,8 36,3 3,3 36,0 330,3 334,3 338,0 34,5 344,8 358,9 370, 379,4 387,3 394, 400, 37,95 38,76 39,49 40,5 40,76 4,3 4,84 4,33 4,78 43, 43,6 45,33 46,70 47,83 48,80 49,64 50,38 3 9,77 0,7 0,53 0,86,6,44,70,95,7,39,59 3,45 4,3 4,7 5,9 5,6 5,99 4 4,40 4,68 4,93 5,6 5,37 5,57 5,75 5,9 6,08 6,3 6,37 6,98 7,46 7,86 8,0 8,50 8,77 5,93,6,36,54,7,87 3,0 3,5 3,8 3,40 3,5 4,00 4,39 4,7 4,99 5,3 5,45 6 0,54 0,73 0,9,06,,34,47,58,69,80,90,3,65,9 3,6 3,37 3,55 7 9,65 9,8 9,97 0, 0,4 0,36 0,47 0,58 0,67 0,77 0,85,3,5,77,99,7,34 8 9,03 9,8 9,3 9,45 9,57 9,68 9,78 9,87 9,96 0,05 0,3 0,47 0,75 0,97,7,34,49 9 8,58 8,7 8,85 8,97 9,08 9,8 9,7 9,36 9,44 9,5 9,59 9,9 0,7 0,38 0,57 0,73 0,87 0 8,3 8,36 8,48 8,60 8,70 8,79 8,88 8,97 9,04 9, 9,9 9,49 9,73 9,93 0,0 0,5 0,39 7,95 8,08 8,0 8,30 8,40 8,49 8, 58 8,65 8,73 8,80 8,86 9,5 9,38 9,57 9,73 9,88 0,00 7,73 7,85 7,96 8,07 8,6 8,5 8,33 8,40 8,47 8,54 8,60 8,88 9,09 9,8 9,43 9,57 9,69 3 7,55 7,66 7,77 7,87 7,96 8,04 8, 8,9 8,6 8,33 8,39 8,65 8,86 9,04 9,9 9,3 9,44 4 7,40 7,5 7,6 7,70 7,79 7,87 7,95 8,0 8,08 8,5 8,0 8,46 8,66 8,83 8,98 9, 9, 5 7,6 7,37 7,47 7,57 7,65 7,73 7,80 7,87 7,93 7,99 8,05 8,30 8,49 8,66 8,80 8,9 9,04 6 7,5 7,6 7,36 7,44 7,53 7,60 7,67 7,74 7,80 7,86 7,9 8,5 8,35 8,5 8,65 8,77 8,87 7 7,05 7,6 7,5 7,34 7,4 7,49 7,56 7,63 7,69 7,74 7,80 8,03 8, 8,38 8,5 8,63 8,74 8 6,97 7,07 7,6 7,5 7,3 7,40 7,46 7,53 7,59 7,64 7,70 7,9 8, 8,6 8,39 8,5 8,6 9 6,89 6,99 7,08 7,7 7,4 7,3 7,38 7,44 7,50 7,55 7,60 7,83 8,0 8,6 8,9 8,40 8,50 0 6,8 6,9 7,0 7,09 7,7 7,4 7,30 7,36 7,4 7,47 7,5 7,74 7,9 8,07 8,9 8,30 8,40 4 6,6 6,70 6,79 6,86 6,94 7,00 7,06 7, 7,7 7, 7,7 7,48 7,64 7,78 7,90 8,00 8,0 30 6,4 6,49 6,57 6,64 6,7 6,77 6,83 6,88 6,93 6,98 7,0 7, 7,37 7,50 7,6 7,7 7, , 6,9 6,36 6,43 6,49 6,55 6,60 6,65 6,70 6,74 6,78 6,96 7,0 7, 7,33 7,4 7, ,0 6,09 6,6 6, 6,8 6,33 6,38 6,4 6,47 6,5 6,55 6,7 6,84 6,95 7,05 7,3 7, 0 5,83 5,90 5,96 6,0 6,07 6, 6,6 6,0 6,4 6,8 6,3 6,47 6,59 6,69 6,78 6,85 6,9 5,64 5,7 5,77 5,8 5,87 5,9 5,95 5,99 6,03 6,06 6,09 6,3 6,34 6,43 6,5 6,58 6,64 I = número de níves do fator em teste n = número de graus de lberdade do resíduo 58

164 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Tabela 5 - Valores da ampltude total estudentzada (q), para uso no teste de Tukey, ao nível de 5% de probabldade I n ,97 6,98 3,8 37,08 40,4 43, 45,40 47,36 49,07 50,59 5,96 53,0 54,33 55,36 56,3 57, 58,04 58,83 59,56 6,09 8,33 9,80 0,88,74,44 3,03 3,54 3,99 4,39 4,75 5,08 5,38 6,65 5,9 6,4 6,37 6,57 6,77 3 4,50 5,9 6,83 7,50 8,04 8,48 8,85 9,8 9,46 9,7 9,95 0,5 0,35 0,53 0,69 0,84 0,98,,4 4 3,93 5,04 5,76 6,9 6,7 7,05 7,35 7,60 7,83 8,03 8, 8,37 8,53 8,66 8,79 8,9 9,03 9,3 9,3 5 3,64 4,60 5, 5,67 6,03 6,33 6,58 6,80 7,00 7,7 7,3 7,47 7,60 7,7 7,83 7,93 8,03 8, 8, 6 3,46 4,34 4,90 5,3 5,63 5,90 6, 6,3 6,49 6,65 6,79 6,9 7,03 7,4 7,4 7,34 7,43 7,5 7,59 7 3,34 4,7 4,68 5,06 5,36 5,6 5,8 6,00 6,6 6,30 6,43 6,55 6,66 6,76 6,85 6,94 7,0 7,0 7,7 8 3,6 4,04 4,53 4,89 5,7 5,40 5,60 5,77 5,9 6,05 6,8 6,9 6,39 6,48 6,57 6,65 6,73 6,80 6,87 9 3,0 3,95 4,4 4,76 5,0 5,4 5,43 5,60 5,74 5,87 5,98 6,09 6,9 6,8 6,36 6,44 6,5 6,58 6,64 0 3,5 3,88 4,33 4,65 4,9 5, 5,3 5,46 5,60 5,7 5,83 5,94 6,03 6, 6,9 6,7 6,34 6,4 6,47 3, 3,8 4,6 4,57 4,8 5,03 5,0 5,35 5,49 5,6 5,7 5,8 5,90 5,98 6,06 6,3 6,0 6,7 6,33 3,08 3,77 4,0 4,5 4,75 4,95 5, 5,7 5,40 5,5 5,6 5,7 5,80 5,88 5,95 6,0 6,09 6,5 6, 3 3,06 3,74 4,5 4,45 4,69 4,89 5,05 5,9 5,3 5,43 5,53 5,63 5,7 5,79 5,86 5,93 6,00 6,06 6, 4 3,03 3,70 4, 4,4 4,64 4,83 4,99 5,3 5,5 5,36 5,46 5,55 5,64 5,7 5,79 5,85 5,9 5,97 6,03 5 3,0 3,67 4,08 4,37 4,60 4,78 4,94 5,08 5,0 5,3 5,40 5,49 5,57 5,65 5,7 5,79 5,85 5,90 5,96 6 3,00 3,65 4,05 4,33 4,56 4,74 4,90 5,03 5,5 5,6 5,35 5,44 5,5 5,59 5,66 5,73 5,79 5,84 5,90 7,98 3,63 4,0 4,30 4,5 4,7 4,86 4,99 5, 5, 5,3 5,39 5,47 5,54 5,6 5,68 5,73 5,79 5,84 8,97 3,6 4,00 4,8 4,50 4,67 4,8 4,96 5,07 5,7 5,7 5,35 5,43 5,50 5,57 5,63 5,69 5,74 5,79 9,96 3,59 3,98 4,5 4,47 4,65 4,79 4,9 5,04 5,4 5,3 5,3 5,39 5,46 5,53 5,59 5,65 5,70 5,75 0,95 3,58 3,96 4,3 4,45 4,6 4,77 4,90 5,0 5, 5,0 5,8 5,36 5,43 5,49 5,55 5,6 5,66 5,7 4,9 3,53 3,90 4,7 4,37 4,54 4,68 4,8 4,9 5,0 5,0 5,8 5,5 5,3 5,38 5,44 5,49 5,55 5,59 30,89 3,49 3,85 4,0 4,30 4,46 4,60 4,7 4,8 4,9 5,00 5,08 5,5 5, 5,7 5,33 5,38 5,43 5,48 40,86 3,44 3,79 4,04 4,3 4,39 4,5 4,64 4,74 4,8 4,90 4,98 5,04 5, 5,6 5, 5,7 5,3 5,36 60,83 3,40 3,74 3,98 4,6 4,3 4,44 4,55 4,65 4,73 4,8 4,88 4,94 5,00 5,06 5, 5,5 5,0 5,4 0,80 3,36 3,69 3,9 4,0 4,4 4,36 4,47 4,56 4,64 4,7 4,78 4,84 4,90 4,95 5,00 5,04 5,09 5,3,77 3,3 3,63 3,86 4,03 4,7 4,9 4,39 4,47 4,55 4,6 4,69 4,74 4,80 4,85 4,89 4,93 4,97 5,0 I = número de níves do fator em teste n = número de graus de lberdade do resíduo 59

165 Anexo Formuláro e Tabelas Tabela 5 - Valores da ampltude total estudentzada (q), para uso no teste de Tukey, ao nível de 5% de probabldade (contnuação). I N ,9 6, 63, 64,3 65,5 66,0 66,8 67,56 68,6 68,9 7,73 73,97 75,8 77,40 78,77 79,98 7,3 7,45 7,75 8,0 8,7 8,50 8,7 8,9 9, 9,8 0,05 0,66,6,59,96,9 3,47,68,87,05,,36,50,63,75,87 3,36 3,76 4,08 4,36 4,6 4,8 4 9,4 9,58 9,74 9,88 0,00 0, 0,3 0,34 0,44 0,53 0,93,4,5,73,9,09 5 8,37 8,5 8,64 8,76 8,88 8,98 9,08 9,7 9,5 9,33 9,67 9,95 0,8 0,38 0,54 0,69 6 7,73 7,86 7,98 8,09 8,9 8,8 8,37 8,45 8,53 8,60 8,9 9,6 9,37 9,55 9,70 9,84 7 7,30 7,4 7,53 7,63 7,73 7,8 7,90 7,97 8,04 8, 8,40 8,63 8,8 8,99 9,3 9,6 8 7,00 7, 7, 7,3 7,40 7,48 7,55 7,63 7,69 7,76 8,03 8,5 8,43 8,59 8,7 8,84 9 6,76 6,87 6,97 7,06 7,5 7, 7,30 7,36 7,43 7,49 7,75 7,96 8,3 8,8 8,4 8,53 0 6,58 6,69 6,78 6,87 6,95 7,0 7,09 7,6 7, 7,8 7,53 7,73 7,90 8,04 8,7 8,8 6,44 6,54 6,63 6,7 6,79 6,86 6,93 6,99 7,05 7, 7,35 7,55 7,7 7,85 7,97 8,08 6,3 6,4 6,50 6,59 6,66 6,73 6,80 6,86 6,9 6,97 7, 7,39 7,55 7,69 7,80 7,9 3 6, 6,3 6,40 6,48 6,55 6,6 6,68 6,74 6,80 6,85 7,08 7,7 7,4 7,55 7,67 7,77 4 6,3 6, 6,3 6,39 6,46 6,53 6,59 6,65 6,70 6,75 6,98 7,6 7,3 7,44 7,55 7,65 5 6,06 6,5 6,3 6,3 6,38 6,45 6,5 6,56 6,6 6,67 6,89 7,07 7, 7,34 7,45 7,55 6 6,00 6,08 6,7 6,4 6,3 6,37 6,43 6,49 6,54 6,59 6,8 6,98 7,3 7,5 7,36 7,46 7 5,94 6,03 6, 6,8 6,5 6,3 6,37 6,43 6,48 6,53 6,74 6,9 7,05 7,8 7,8 7,38 8 5,89 5,98 6,06 6,3 6,0 6,6 6,3 6,37 6,4 6,47 6,68 6,85 6,99 7, 7, 7,3 9 5,85 5,93 6,0 6,08 6,5 6, 6,7 6,3 6,37 6,4 6,63 6,79 6,93 7,05 7,5 7,4 0 5,8 5,89 5,97 6,04 6,0 6,7 6, 6,8 6,33 6,37 6,58 6,74 6,88 6,99 7,0 7,9 4 5,68 5,76 5,84 5,9 5,97 6,03 6,09 6,3 6,8 6,3 6,4 6,58 6,7 6,8 6,9 7,0 30 5,56 5,64 5,7 5,77 5,83 5,89 5,94 5,99 6,04 6,08 6,7 6,4 6,54 6,65 6,74 6, ,44 5,5 5,58 5,64 5,70 5,75 5,80 5,85 5,89 5,93 6, 6,6 6,38 6,48 6,57 6, ,3 5,39 5,45 5,5 5,57 5,6 5,66 5,7 5,75 5,79 5,96 6,09 6, 6,30 6,39 6,46 0 5,0 5,7 5,33 5,38 5,43 5,48 5,53 5,57 5,6 5,64 5,80 5,93 6,04 6,3 6, 6,8 5,08 5,4 5,0 5,5 5,30 5,35 5,39 5,43 5,46 5,50 5,65 5,76 5,86 5,95 6,0 6,09 I = número de níves do fator em teste n = número de graus de lberdade do resíduo 60

166 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Tabela 6 - Valores da ampltude total estudentzada (z), para uso no teste de Duncan, ao nível de % de probabldade n n ,00 90,00 90,00 90,00 90,00 90,00 90,00 90,00 90,00 90,00 90,00 90,00 90,00 90,00 90,00 90,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 3 8,6 8,50 8,60 8,70 8,80 8,90 8,90 9,00 9,00 9,00 9,0 9,0 9,30 9,30 9,30 9,30 4 6,5 6,80 6,90 7,00 7,0 7,0 7,0 7,0 7,30 7,30 7,40 7,40 7,50 7,50 7,50 7,50 5 5,70 5,96 6, 6,8 6,6 6,33 6,40 6,44 6,50 6,60 6,60 6,70 6,70 6,80 6,80 6,80 6 5,4 5,5 5,65 5,73 5,8 5,88 5,95 6,00 6,00 6,0 6,0 6,0 6,30 6,30 6,30 6,30 7 4,95 5, 5,37 5,45 5,53 5,6 5,69 5,73 5,80 5,80 5,90 5,90 6,00 6,00 6,00 6,00 8 4,74 5,00 5,4 5,3 5,3 5,40 5,47 5,5 5,50 5,60 5,70 5,70 5,80 5,80 5,80 5,80 9 4,60 4,86 4,99 5,08 5,7 5,5 5,3 5,36 5,40 5,50 5,50 5,60 5,70 5,70 5,70 5,70 0 4,48 4,73 4,88 4,96 5,06 5,3 5,0 5,4 5,8 5,36 5,4 5,48 5,54 5,55 5,55 5,55 4,39 4,63 4,77 4,86 4,94 5,0 5,06 5, 5,5 5,4 5,8 5,34 5,38 5,39 5,39 5,39 4,3 4,55 4,68 4,76 4,84 4,9 4,96 5,0 5,07 5,3 5,7 5, 5,4 5,6 5,6 5,6 3 4,6 4,48 4,6 4,69 4,74 4,84 4,88 4,94 4,98 5,04 5,08 5,3 5,4 5,5 5,5 5,5 4 4, 4,4 4,55 4,63 4,70 4,78 4,83 4,87 4,9 4,96 5,00 5,04 5,06 5,07 5,07 5,07 5 4,7 4,37 4,50 4,58 4,64 4,7 4,77 4,8 4,84 4,90 4,94 4,97 4,99 5,00 5,00 5,00 6 4,3 4,34 4,45 4,54 4,60 4,67 4,7 4,76 4,79 4,84 4,88 4,9 4,93 4,94 4,94 4,94 7 4,0 4,30 4,4 4,50 4,56 4,63 4,68 4,7 4,75 4,80 4,83 4,86 4,88 4,89 4,89 4,89 8 4,07 4,7 4,38 4,46 4,53 4,59 4,64 4,68 4,7 4,76 4,79 4,8 4,84 4,85 4,85 4,85 9 4,05 4,4 4,35 4,43 4,50 4,56 4,6 4,64 4,67 4,7 4,76 4,79 4,8 4,8 4,8 4,8 0 4,0 4, 4,33 4,40 4,47 4,53 4,58 4,6 4,65 4,69 4,73 4,76 4,78 4,79 4,79 4,79 3,99 4,7 4,8 4,36 4,4 4,48 4,53 4,57 4,60 4,65 4,68 4,7 4,74 4,75 4,75 4,75 4 3,96 4,4 4,4 4,33 4,39 4,44 4,49 4,53 4,57 4,6 4,64 4,67 4,70 4,7 4,74 4,74 6 3,93 4, 4, 4,30 4,36 4,4 4,46 4,50 4,53 4,58 4,6 4,65 4,67 4,69 4,73 4,73 8 3,9 4,08 4,8 4,8 4,34 4,39 4,43 4,47 4,5 4,56 4,60 4,6 4,65 4,67 4,7 4,7 30 3,89 4,06 4,6 4, 4,3 4,36 4,4 4,45 4,48 4,54 4,58 4,6 4,63 4,65 4,7 4,7 40 3,8 3,99 4,0 4,7 4,4 4,30 4,34 4,37 4,4 4,46 4,5 4,54 4,57 4,59 4,69 4, ,76 3,9 4,03 4, 4,7 4,3 4,7 4,3 4,34 4,39 4,44 4,47 4,50 4,53 4,66 4, ,7 3,86 3,98 4,06 4, 4,7 4, 4,5 4,9 4,35 4,38 4,4 4,45 4,48 4,64 4,65 3,64 3,80 3,90 3,98 4,04 4,09 4,4 4,7 4,0 4,6 4,3 4,34 4,38 4,4 4,60 4,68 n = nº de médas ordenadas abrangdas pelo contraste n = nº de graus de lberdade do resíduo 6

167 Anexo Formuláro e Tabelas Tabela 7 - Valores da ampltude total estudentzada (z), para uso no teste de Duncan, ao nível de 5% de probabldade n n ,0 8,0 8,0 8,0 8,0 8,0 8,0 8,0 8,0 8,0 8,0 8,0 8,0 8,0 8,0 8,0 6,09 6,09 6,09 6,09 6,09 6,09 6,09 6,09 6,09 6,09 6,09 6,09 6,09 6,09 6,09 6,09 3 4,50 4,50 4,50 4,50 4,50 4,50 4,50 4,50 4,50 4,50 4,50 4,50 4,50 4,50 4,50 4,50 4 3,93 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 5 3,64 3,74 3,79 3,83 3,83 3,83 3,83 3,83 3,83 3,83 3,83 3,83 3,83 3,83 3,83 3,83 6 3,46 3,58 3,64 3,68 3,68 3,68 3,68 3,68 3,68 3,68 3,68 3,68 3,68 3,68 3,68 3,68 7 3,35 3,47 3,54 3,58 3,60 3,6 3,6 3,6 3,6 3,6 3,6 3,6 3,6 3,6 3,6 3,6 8 3,6 3,39 3,47 3,5 3,55 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 9 3,0 3,34 3,4 3,47 3,50 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 0 3,5 3,30 3,37 3,43 3,46 3,47 3,47 3,47 3,47 3,47 3,47 3,47 3,47 3,48 3,48 3,48 3, 3,7 3,35 3,39 3,43 3,44 3,45 3,46 3,46 3,46 3,46 3,46 3,47 3,48 3,48 3,48 3,08 3,3 3,33 3,36 3,40 3,4 3,44 3,44 3,46 3,46 3,46 3,46 3,47 3,48 3,48 3,48 3 3,06 3, 3,30 3,35 3,38 3,4 3,4 3,44 3,45 3,45 3,46 3,46 3,47 3,47 3,47 3,47 4 3,03 3,8 3,7 3,33 3,37 3,39 3,4 3,4 3,44 3,45 3,46 3,46 3,47 3,47 3,47 3,47 5 3,0 3,6 3,5 3,3 3,36 3,38 3,40 3,4 3,43 3,44 3,45 3,46 3,47 3,47 3,47 3,47 6 3,00 3,5 3,3 3,30 3,34 3,37 3,39 3,4 3,43 3,44 3,45 3,46 3,47 3,47 3,47 3,47 7,98 3,3 3, 3,8 3,33 3,36 3,38 3,40 3,4 3,44 3,45 3,46 3,47 3,47 3,47 3,47 8,97 3, 3, 3,7 3,3 3,35 3,37 3,39 3,4 3,43 3,45 3,46 3,47 3,47 3,47 3,47 9,96 3, 3,9 3,6 3,3 3,35 3,37 3,39 3,4 3,43 3,44 3,46 3,47 3,47 3,47 3,47 0,95 3,0 3,8 3,5 3,30 3,34 3,36 3,38 3,40 3,43 3,44 3,46 3,46 3,47 3,47 3,47,93 3,08 3,7 3,4 3,9 3,3 3,35 3,37 3,39 3,4 3,44 3,45 3,46 3,47 3,47 3,47 4,9 3,07 3,5 3, 3,8 3,3 3,34 3,37 3,38 3,4 3,44 3,45 3,46 3,47 3,47 3,47 6,9 3,06 3,4 3, 3,7 3,30 3,34 3,36 3,38 3,4 3,43 3,45 3,46 3,47 3,47 3,47 8,90 3,04 3,3 3,0 3,6 3,30 3,33 3,35 3,37 3,40 3,43 3,45 3,46 3,47 3,47 3,47 30,89 3,04 3, 3,0 3,5 3,9 3,3 3,35 3,37 3,40 3,43 3,44 3,46 3,47 3,47 3,47 40,86 3,0 3,0 3,7 3, 3,7 3,30 3,33 3,35 3,39 3,4 3,44 3,46 3,47 3,47 3,47 60,83,98 3,08 3,4 3,0 3,4 3,8 3,3 3,33 3,37 3,40 3,43 3,45 3,47 3,48 3,48 00,80,95 3,05 3, 3,8 3, 3,6 3,9 3,3 3,36 3,40 3,4 3,45 3,47 3,53 3,53,77,9 3,0 3,09 3,5 3,9 3,3 3,6 3,9 3,34 3,38 3,4 3,44 3,47 3,6 3,67 n = nº de médas ordenadas abrangdas pelo contraste n = nº de graus de lberdade do resíduo 6

168 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Tabela 8 - Valores crítcos (d c ) para o teste de Lllefors (adaptado de Barbetta et al.004) n α=5% α=% 4 0,38 0, ,337 0, ,39 0, ,300 0, ,85 0,33 9 0,7 0,3 0 0,58 0,94 0,49 0,84 0,4 0,75 3 0,34 0,68 4 0,7 0,6 5 0,0 0,57 6 0,3 0,50 7 0,06 0,45 8 0,00 0,39 9 0,79 0,35 0 0,90 0,3 5 0,73 0, ,6 0,87 N>30 0,886,03 d c = d c = N N 63

169 Anexo Formuláro e Tabelas Tabela 9 Valores da função de dstrbução acumulada da normal padrão, Z, tal que F(z) = P(0 Z z) z

170 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Tabela 0 Valores crítcos para teste de Cochran para homogenedade de Varâncas α = % I K I α = 5% K Em que: I= nº de tratamentos e K: nº de repetções 65

171 Anexo Formuláro e Tabelas Tabela Valores crítcos (d c ) para o teste de Kolmogorov-Smrnov (adaptado de Barbetta et al.004) N α=5% α=% 0,975 0,995 0,84 0,99 3 0,708 0,89 4 0,64 0, ,563 0, ,59 0,67 7 0,483 0, ,454 0,54 9 0,430 0,53 0 0,430 0,490 0,409 0,468 0,39 0, ,375 0,43 4 0,36 0,48 5 0,349 0, ,338 0,39 7 0,37 0,8 8 0,38 0,37 9 0,309 0,36 0 0,30 0,35 5 0,94 0, ,64 0, ,4 0, ,4 0,5 45 0,0 0, ,98 0,7 N>50,36 d c = N,36 d c = N Em que N= nº de undades expermentas (N=I*K; I: nº de tratamentos e K:nº de repetções) 66

172 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Anexo - Fórmula geral para o cálculo de soma de quadrados Suponha que se deseje estmar a varação entre os níves de uma determnada Fonte de Varação, dgamos T. Para estmar esta varação, calcula-se o Quadrado Médo de T (QMT) de acordo com a fórmula geral dada por: SQ QMT = gl Em termos geras, a fórmula de Soma de Quadrados para T (SQT) pode ser escrta como: SQT X X k = = k = r r = em que: X = total observado para cada nível de T. Este total se refere à soma de todas as observações contdas no -ésmo nível de T; r = número de observações que foram somadas para se obter o total k = número de níves de T. Em termos geras, pode-se dzer que na fórmula de SQT, cada valor elevado ao quadrado deve ser dvddo pelo número de observações que orgnou aquele valor. Pode-se também vsualzar dos termos na fórmula de SQT. O termo com snal postvo, consdera os totas ndvduas de cada -ésmo nível de T. Já o termo com snal negatvo, consdera a soma conjunta dos totas de todos os - ésmos níves de T. Neste segundo termo, o numerador se refere à soma de todos os totas ( X ) ncluídos no prmero termo e, o denomnador, se refere à soma de todas as observações ( r ) ncluídas no prmero termo. O denomnador da fórmula de QMT, número de graus de lberdade, se refere à dferença entre o número de termos que estão sendo somados e subtraídos no cálculo da SQT. De acordo com a defnção da fórmula geral, o número de graus de lberdade assocado à T é gual a k, pos no cálculo da k X SQT exstem k valores sendo somados, ou seja,, e exste um valor sendo r subtraído, ou seja, k = k X r =. k = X ; 67

173 Anexo Fórmula Geral para Cálculo de Soma de Quadrados Para o uso da fórmula geral, para cada fonte de varação, é necessáro apenas dentfcar o que representa X e o que representa r. Como relatado anterormente, X é o total observado para cada -ésmo nível da FV e r é o número de observações que orgnou o respectvo total X. Veja na tabela a segur, o que representam X e r para algumas possíves fontes de varação de uma análse de varânca. Fonte de X r Varação Total cada observação gual a um Tratamentos total do -ésmo número de observações assocado ao tratamento total do -ésmo tratamento Blocos total do -ésmo bloco número de observações assocado ao total do -ésmo bloco Lnhas total da -ésma lnha número de observações assocado ao total da -ésma lnha Colunas total da -ésma coluna número de observações assocado ao total da -ésma coluna Fator A total do -ésmo nível de A número de observações assocado ao Fator A / B J total do -ésmo nível de A dentro do j-ésmo nível de B total do -ésmo nível de A número de observações assocado ao total do -ésmo nível de A dentro do j- ésmo nível de B Parcelas total da -ésma parcela número de observações assocado ao total da -ésma parcela OBSERVAÇÕES: - Esta fórmula geral não se aplca para o cálculo das fontes de varação: resíduo, nteração entre fatores e regressão; - Esta será a únca fórmula fornecda em prova para o cálculo de soma de quadrados; - Cabe ao aluno pratcar a aplcação desta fórmula nos exercícos exstentes. 68

174 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Anexo 3 - Introdução ao uso do programa SAS Instalação do programa SAS em computadores conectados na rede da UFV O programa SAS encontra-se dsponível na rede da UFV. Para nstalar este programa em seu computador, sga as seguntes nstruções: - r no "Incar/Localzar/Computador" da barra de tarefas que fca na lnha nferor da tela do seu computador; - escrever no campo aproprado "estatstcos" (sem aspas e sem acento) e clcar com o mouse em "Localzar Agora"; 3 - quando aparecer o computador estatstcos clcar duas vezes com o mouse nele va aparecer uma nova janela com a pasta "SAS-V8", "clcar" UMA únca vez nela; 4 - na parte superor da janela, onde aparece a pasta "SAS-V8", escolher "Arquvo/Mapear Undade de Rede", va aparecer uma nova janela onde se tem a opção de escolher a "Letra da Undade", escolha a letra "S" (você pode marcar ou não a caxnha de "Reconectar ao ncar", em geral não é recomendável), fnalmente clque em "OK"; 5 - na nova janela aparece uma nova pasta "SAS", clque nela duas vezes; ao aparecer um novo grupo de arquvos clque duas vezes na pasta "V8" e procure pelo arquvo "SAS.EXE" (o ".EXE" fnal pode ou não aparecer dependendo de como seu mcro esta confgurado, mas trata-se de um ícone cnza, uma prâmde com a ponta para baxo e uma bolnha vermelha orbtando a prâmde); 6 - com o mouse, aperte o botão esquerdo (sem soltar) neste ícone e arraste-o para sua tela de computador (será crado um atalho para o executável do SAS); 7 - pode-se agora fechar todas as janelas abertas neste processo; Basta agora clcar duas vezes no ícone do "SAS" crado na sua tela prncpal para que o SAS seja executado. Se o computador que você está nstalando o SAS tver o Wndows 98 como sstema operaconal, possvelmente você obterá uma mensagem de erro na janela LOG que sgnfca que o Enhanced Edtor não fo nstalado. Para nstalar este edtor, sga os passos fornecdos a segur: - Feche todos os aplcatvos; - r no "Incar/Localzar/Computador" da barra de tarefas que fca na lnha nferor da tela; 3 - escrever no campo aproprado "estatstcos" (sem aspas e sem acento) e clcar com o mouse em "Localzar Agora"; 4 - quando aparecer o computador estatstcos clcar duas vezes com o mouse nele; va aparecer uma nova janela com a pasta "SAS-V8", "clcar" DUAS únca vez nela; 5 - na nova janela aparece uma nova pasta "SAS", clque nela duas vezes; ao aparecer um novo grupo de arquvos "clque" duas vezes na pasta "BUNDLES"; 6 na nova janela aparece uma pasta Eedtor. Clcar duas vezes nela. 7 na nova janela, procure pelo ícone Setup. Clcar duas vezes nele. Sga todos os passos para a nstalação do Enhanced Edtor. 69

175 Anexo 3 Introdução ao Uso do Programa SAS 8 após sto, clcar duas vezes no ícone do SAS. O programa agora deve conter 3 janelas abertas: Log, Output e Edtor OBS: Estas nstruções foram adaptadas do README que consta no computador estatstcos onde o SAS encontra-se nstalado. Concetos Báscos no SAS Esta seção tem como objetvo ntroduzr o usuáro ao ambente SAS. Incalmente as janelas exstentes no SAS são apresentadas. É por meo delas que o usuáro se nterage com o SAS.. Janelas exstentes no programa SAS Exstem três janelas prncpas no ambente SAS. São elas: edtor de programas, log e output. Detalhes de cada uma delas são apresentados a segur... Janela do Edtor de Programas (Edtor Program wndow) A janela do Edtor de Programas é usada para edtar programas e arquvos de dados. O usuáro também pode submeter os seus programas usando esta janela. Na versão 8.0 exstem dos tpos de edtores: Program Edtor e Enhanced Edtor. O últmo tem as mesmas característcas do prmero com a vantagem de ndcar erros de programação por meo de um jogo de cores no códgo do programa. 70

176 EST 0 Estatístca Expermental I/008.. Janela de Mensagens (Log wndow) Nesta janela são apresentadas mensagens relaconadas a execução de programas do usuáro submetdos ao SAS. É aconselhável que, antes de submeter um novo programa, deletar as mensagens exstentes. Aconselha-se também que, o usuáro verfque as mensagens referentes ao programa que submeteu. Em geral, mensagens em azul ndcam que não exstem erros de programação. Mensagens em verde, ndcam que pequenos erros de programação foram encontrados, mas que o própro SAS concertou (com c mesmo, pos pode ser que o concerto dele não seja correto). Mensagens em vermelho, ndcam que o SAS encontrou um erro de programação grave. Tas erros, podem mpedr que uma programa seja executado e consequentemente nenhuma saída é obtda...3 Janela de Saída (Output wndow) Os resultados da execução de um programa são apresentados nesta janela. Vale lembrar que saídas poderão ser geradas mesmo quando exstrem erros de programação. Portanto, é sempre bom olhar a janela de mensagens, antes de começar a nterpretar os resultados mostrados na janela de saída.. Elaboração de programas do SAS (SAS jobs) Um programa no SAS nada mas é do que um conjunto de comandos própros (palavras chaves) do SAS, que são usados em uma sequênca lógca, para realzar um conjunto de tarefas. Como menconado anterormente, os programas do SAS são normalmente edtados na Janela do Edtor de programas. Um programa no SAS, em geral, consste de dos passos (steps) dstntos:.. o Passo: Data step No data step, dados são ldos e convertdos em um arquvo de trabalho do SAS. Neste passo deve ser nformado o nome de todas as varáves, bem como o seu tpo (caracter ou alfanumérca), suas posções no arquvo de dados. O conjunto de dados, se pequeno, pode ser nserdo no programa. Se ao contráro, o conjunto de dados for grande, o mesmo deve ser salvo em arquvo à parte e o camnho para o SAS buscá-lo deve ser nformado no DATA step. Normalmente, arquvos de dados gerados em outros softwares (excel, word, etc...) devem ser mportados para o programa SAS. Consulte o help do SAS para verfcar como sto deve ser realzado. O exemplo a segur lustra um DATA step. 7

177 Anexo 3 Introdução ao Uso do Programa SAS data a; nput x $ x x3; x4 = x + x3; cards; a 4. a 4. Data step b 6.3 b 7.3 ; run; Comentáros: ) a palavra chave DATA nforma que o SAS deve crar um novo arquvo de trabalho, cujo nome é o que segue a palavra chave DATA. Este arquvo de trabalho, geralmente é deletado ao sar do SAS. As seguntes regras devem ser observadas ao dar um nome para um arquvo de trabalho do SAS: - o nome deve conter de a 8 caracteres; - comece com qualquer letra ou _ (sublnhado) ; - contnue com números, letras ou _ ; ) a palavra chave INPUT nforma ao SAS os nomes das varáves exstentes no arquvo de dados. Neste exemplo, o conjunto de dados possu três varáves cujos nomes são x x x3. O snal $ depos do nome da prmera varável, nforma ao SAS que a varável x é alfanumérca. A ausênca deste snal após os nomes das varáves x e x3, ndca que elas são apenas numércas. Como não fo nformado as colunas que cada uma delas ocupa no arquvo de dados, supõe-se que as mesmas ocupam as mesmas posções ao longo de todo o conjunto de dados e que também elas estejam separadas por pelo menos um espaço em branco; 3) uma nova varável, x4, é crada. Esta é o resultado da soma da varável x e x3. As regras para nomear varáves são as mesmas dadas anterormente para nomear SAS data sets; 4) a palavra chave CARDS nforma ao SAS que, lnhas a segur são lnhas que contém os valores das varáves declaradas em INPUT; 5) as lnhas a segur são os valores das varáves; 6) o ponto e vírgula na lnha medatamente após a últma lnha de dados, nforma ao SAS que o conjunto de dados chegou ao fm; 7) a palavra chave RUN nforma ao SAS que aquele passo, no caso DATA step, acabou e que ele pode executar esta parte da análse; 8) observe que ao fnal de cada lnha de comandos (exceto as lnhas que contém os dados, exste um ponto e vírgula. Este ponto e vírgula ao fnal de cada lnha, nforma ao SAS que aquele comando termnou. A falta de um ponto e vírgula em qualquer uma das lnhas de comando, pode fazer com que o SAS não execute aquele passo. Este é um erro muto comum para prncpantes do SAS. Se o usuáro estver usando o Enhanced 7

178 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Edtor, tas erros podem ser mnmzados, pos a falta de um ponto e vírgula faz com que palavras chaves não apareçam em cores dstntas; 9) a dentação das lnhas não é requerda, embora ajude ao usuáro saber onde começa e termna cada passo do programa. Se o conjunto de dados enconta-se em arquvo separado, por exemplo no dsco C, na pasta Meus Dados e arquvo arq.txt, então o camnho para o SAS ler este arquvo deve ser nformado usando a palavra chave INFILE, como lustrado a segur: data step data a Infle C:\Meus Dados\arq.txt nput x $ x x3 x4 = x + x3 run Comentáros adconas para este exemplo: ) a palavra chave INFILE nforma ao SAS que o conjunto de dados encontra-se em um arquvo em separado do programa, cujo camnho é nformado a segur; ) o camnho para o arquvo é escrto entre apóstrofes;.. o Passo: PROCedure step Neste passo deve-se nformar que tpo tarefa (análse estatístca, ordenação de valores, gráfcos, etc...) deseja-se realzar com um determnado arquvo de trabalho do SAS. O SAS possu uma varedade muto grande de procedmentos. O exemplo a segur lustra o uso do procedmento PRINT. proc step proc prnt data=a; var x x x3; run; O exemplo anteror é um exemplo muto smples, pos váras opções podem ser acrescentadas ao procedmento PRINT. No entanto, o objetvo agora é apenas fornecer uma déa geral do passo PROC. Outros procedmentos e opções dos mesmos serão apresentados posterormente. Comentáros: ) um procedmento sempre nca com a palavra chave PROC seguda do nome do procedmento que se deseja executar. No exemplo, o procedmento solctado é o PRINT. Este procedmento pode ser usado para mprmr na tela conteúdos de um arquvo de trabalho do SAS. ) segundo o nome do procedmento desejado, deve-se nformar qual arquvo de trabalho do SAS deve ser utlzado neste passo. Caso o usuáro não ndque o nome do arquvo de trabalho, o SAS utlzará o arquvo de trabalho que fo mas recentemente crado. Ao fnal desta lnha deve exstr um ponto e vírgula; 73

179 Anexo 3 Introdução ao Uso do Programa SAS 3) a palavra chave VAR é usada para nformar ao SAS, quas varáves devem ter seus valores mpressos; 4) a últma lnha do procedmento deve conter a palavra chave RUN, seguda de ponto e vírgula. A presença desta palavra chave nforma ao SAS que os comandos contdos naquele passo podem ser executados. Em um únco programa, qualquer um destes dos passos podem se repetr númeras vezes. Ou seja, dferentes procedmentos podem ser solctados para um mesmo conjunto de dados, e dferentes conjunto de dados podem ser nformados num mesmo programa..3 Erros comuns na elaboração de um programa SAS Como todo qualquer programa computaconal, erros de programas SAS podem comprometer parcal ou totalmente sua execução. O SAS é um programa robusto, no sentdo que se alguma palavra chave for escrta errada, o programa por s procede a correção e contnua a execução com a versão corrgda. Neste caso, correções fetas pelo SAS são mostradas como lnhas em verde na janela LOG. Erros deste tpo produzem saída. Vale lembrar, que cabe ao usuáro verfcar se a correção realzada pelo SAS é coerente ao desejado pelo usuáro, e assm o mesmo poderá decdr se a saída obtda é satsfatóra ou não. Por outro lado, exstem erros de programação que o SAS não corrge tas como: - esquecer um ponto e vírgula no fnal de uma declaração; - esquecer uma RUN statement; - esquecer de fechar aspas. Tas erros não produzem saídas. O SAS nforma que dentfcou tas erros na janela LOG por meo de lnhas vermelhas. 3 Análses Estatístcas 3. Varáves classfcatóras vs analítcas Para realzar análses estatístcas, o SAS faz dstnção entre varáves classfcatóras e analítcas. 3.. Varáves classfcatóras Em termos estatístcos, varáves classfcatóras são aquelas que poderíamos classfcar como qualtatvas. Por exemplo, a varável que dentfca tratamentos numa análse de varânca. São também conhecdas, em alguns casos, como varáves ndependentes. Estas varáves podem ser: - numércas ou alfanumércas; - representar categoras dscretas, se elas forem contínuas; - dentfcar classes ou categoras nas quas os cálculos são efetuados. 74

180 EST 0 Estatístca Expermental I/ Varáves análtcas Em termos estatístcos, varáves analítcas são as varáves que vamos usar para estudar o efeto de tratamentos, ou em outras palavras, elas são as varáves respostas, ou valores observados em um expermento. São também conhecdas como varáves dependentes. Por sua vez, estas varáves são: - numércas; - apropradas para o cálculo de médas, somas, ou outras estatístcas; - contínuas (na maor parte dos casos). 4 Análse de dados orundos de delneamentos expermentas Delneamentos expermentas são utlzados para obter um maor controle do efeto do erro experemental. A escolha de qual delneamento utlzar para nstalar um expermento depende das condções do materal expermental, por exemplo, unformdade das undades expermentas. O tpo de delneamento utlzado, defne o modelo estatístco a ser usado para a análse dos dados. O programa SAS pressupõe que o usuáro saba qual delneamento fo utlzado e consequentemente o modelo estatístco a ser adotado na análse. Bascamente o SAS tem dos procedmentos para a análse de dados de expermentos: ANOVA e GLM. O procedmento ANOVA é ndcado quando os dados são balanceados e não exstem valores perddos. Por outro lado, o procedmento GLM é ndcado quando os dados são desbalanceados. A segur são apresentados exemplos de programas para a análse de dados orundos de expermentos nstalados em dferentes tpos de delneamentos expermentas. A parte do programa que altera de delneamento para delneamento é apenas a referente a declaração MODEL, a qual está dretamente relaconada com o modelo estatístco do delneamento expermental. 4. Delneamento Interamente Casualzado (DIC) A estrutura geral do programa abaxo pode ser utlzada para a análse de um expermento nstalado segundo o DIC, com dados balanceados. proc anova data=a; class trt; model y = trt; means trt / duncan alpha=0.05; run; qut; onde: - proc ANOVA solcta que o procedmento ANOVA seja utlzado; - data=a ndca que o arquvo de trabalho do SAS a deve ser utlzado na análse; - A declaração CLASS nforma quas fatores do modelo estatístco são classfcatóras; 75

181 Anexo 3 Introdução ao Uso do Programa SAS - A declaração MODEL nforma qual modelo estatístco deve ser adotado durante a análse. No caso de um delneamento nteramente casualzado, apenas a varável que dentfca tratamentos deve ser nformada, uma vez que o efeto da méda geral e do erro estão presentes no modelo de todos os delneamentos; - A declaração MEANS é opconal. Com ela é possível comparar médas de tratamentos e estabelecer o nível de sgnfcânca do teste de médas. Dentre outros testes, pode ser solctado o teste de Duncan, Tukey e Bonferron; - qut nforma ao SAS que ele pode abandonar a execução do procedmento ANOVA. Exemplo: Os dados deste programa são do exercíco 4. optons nodate nocenter nonumber; ttle 'Delneamento Interamente Casualzado'; data exerc_4_; nput vared cards; ; run; proc anova data=exerc_4_; class vared; model prod = vared; means vared / tukey alpha=0.05; means vared / duncan alpha=0.05; run; qut; A sentença optons nforma opções do formato da saída de um programa SAS. A opção nodate solcta ao SAS que não mprma a data da execução, a opção nocenter solcta que o texto da saída seja alnhado à esquerda; e a opção nonumber solcta que as págnas da saída não sejam numeradas. A sentença ttle possblta personfcar as saídas do SAS. Exstem 0 níves de título de saída que podem ser defndos. O nível é dentfcado pelo número após ttle, ou seja ttle se refere ao segundo nível de título. 4. Delneamento em Blocos Casualzados (DBC) As úncas dferenças para o programa anteror estão nas declarações CLASS e MODEL. Ambas devem conter, adconalmente, REP, pos, o fator repetção é 76

182 EST 0 Estatístca Expermental I/008 uma varável classfcatóra e é parte do modelo estatístco do DBC. Assm uma forma geral de programa para este tpo de delneamento sera: proc anova data=a; class rep trt; model y = rep trt; means trt / duncan alpha=0.05; run; Exemplo Os dados deste programa são do exercíco 6. optons nodate nocenter nonumber; ttle 'Delneamento em Blocos Casualzados'; data exerc_6_; nput ta grupo cards; ; run; proc anova data=exerc_6_; class ta grupo; model prod = ta grupo; means ta / tukey alpha=0.05; means ta / duncan alpha=0.05; run; qut; 4.3 Delneamento em Quadrado Latno (DQL) Em relação ao DIC, as declarações CLASS e MODEL devem ser alteradas para também conter as varáves que dentfcam a lnha e a coluna de cada valor observado. Uma forma geral para análse de um expermento nstalado segundo o DQL sera: proc anova; class lnha coluna trt; model y = lnha coluna trt; means trt / duncan; run; 77

183 Anexo 3 Introdução ao Uso do Programa SAS Exemplo Os dados deste programa são do exercíco 7.4 optons nodate nocenter nonumber; ttle 'Delneamento em Quadrado Latno'; data exerc_7_4; nput let faxa castracao $ cards; A 93.0 C E D 0. 5 B 0.4 C 0.6 E B A D.0 3 B 0. 3 D A E C.7 4 D A C B E E B D C A 80. ; run; proc glm data=exerc_7_4; class let faxa castracao; model ganho = let faxa castracao; means castracao / tukey alpha=0.05; means castracao / duncan alpha=0.05; run; qut; 4.4 Expermentos Fatoras Em expermentos fatoras, exstem no mínmo dos fatores sendo estudados smultaneamente num expermento. O nteresse, nesta stuação, é verfcar se é sgnfcatvo o efeto da nteração e dos efetos prncpas. Expermentos fatoras podem ser nstalados usando város tpo de delneamentos. Para contemplar análses de expermentos fatoras, o programa proposto para o DIC deve ser modfcado nas declarações CLASS e MODEL. Suponha que os dos fatores em estudos, dtos A e B, estão sendo estudados e que o expermento fo nstalado segundo o DBC. Uma forma geral para um programa como este sera proc glm; class rep a b; model y = rep a b a*b; run; Veja que o termo da nteração fo ncluído na declaração MODEL, para que seja realzado o teste F para o efeto da mesma. No caso da nteração ser sgnfcatva, sera desejável proceder ao estudo de um fator dentro de cada nível do outro fator. Para atngr tal objetvo, nclua as seguntes lnhas após a declaração MODEL: lsmeans a*b / slce=b; lsmeans a*b / slce=a; 78

184 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Se a nteração for não sgnfcatva, podemos estudar um fator ndependente do outro. Neste caso as seguntes lnhas poderam ser ncluídas no programa ncal: lsmeans a / tukey; lsmeans b / tukey; Exemplo O enuncado para este exemplo fo fornecdo em sala de aula, o qual fo retrado do lvro BANZATTO e KRONKA (989). optons nodate nocenter nonumber; ttle 'Expermentos Fatoras'; data exemplo_8_extra; nput recpente espece cards; ; run; proc glm data=exemplo_8_extra; class recpente espece; model altura = recpente espece recpente*espece; lsmeans recpente*espece / slce=espece; lsmeans recpente*espece / slce=recpente; run; qut; 4.5 Expermentos em Parcelas Subdvddas Tal como no caso de expermentos fatoras, expermentos em parcelas subdvddas são usados quando se deseja estudar dos ou mas fatores smultaneamente num mesmo expermento. A dferença é que em expermentos em parcelas subdvddas um fator, dto prncpal, é desgnado segundo um tpo de delneamento as parcelas que contém váras undades expermentas. O segundo fator, é então desgnado aleatoramente às subparcelas de cada parcela. O objetvo em parcelas subdvdas também é verfcar se os efetos prncpas e nteração entre fatores são sgnfcatvos. O programa para esta stuação dfere no fato de ser necessáro ndcar o resíduo correto para testar o fator prncpal uma vez que o SAS assume que todos os fatores devem ser testados contra o erro(b). A segur está uma forma geral para a análse de um expermento em parcelas subdvddas, consderando que o fator A é o fator 79

185 Anexo 3 Introdução ao Uso do Programa SAS prncpal e o fator B é o secundáro e que o expermento fo nstalado segundo o DBC: proc glm; class rep a b; model y = a rep a*rep b a*b; test h=a e=a*rep; run; qut; Exemplo Os dados deste programa são do exercíco 9. optons nodate nocenter nonumber; ttle 'Expermentos em Parcelas Subdvddas'; data exemplo_9_; nput varedade defensvo bloco cards; ; run; proc glm data=exemplo_9_; class varedade defensvo bloco; model producao = varedade defensvo bloco varedade*bloco varedade*defensvo; test h=varedade e=varedade*bloco; run; qut; 80

186 EST 0 Estatístca Expermental I/008 5 Regressão Lnear Regressão é geralmente usada quando deseja-se verfcar se um fator quanttatvo exerce nfluênca sob uma varável dependente. No programa SAS, exstem dos procedmentos dstntos para tal fnaldade, GLM e REG. O procedmento REG é mas usado quando se ajusta um modelo contendo apenas fatores quanttatvos como varáves ndependentes. Já o procedmento GLM possblta o ajuste de modelos de covarânca, ou seja, modelos que ncluem tanto fatores qualtatvos como quanttatvos como varáves ndependentes. A segur é fornecdo explcações mas detalhadas a respeto de cada um deles. 5. PROC REG O procedmento REG usa o método dos quadrados mínmos para estmar os parâmetros num modelo lnear. Com este procedmento é possível. A estrutura geral de um programa usando o procedmento REG é: proc reg data=a; var varables; model y = x x... / optons; output out=newset keyword=name keyword=name; test equaton, equaton; run; Comentáros: - a declaração REG solcta que o SAS utlze o procedmento REG; - a declaração DATA nforma ao SAS qual DATA set deve ser utlzado neste procedmento; - a declaração VAR especfca todas as varáves que serão utlzadas na análse; - a declaração MODEL especfca que y é a varável dependente e x, x,... são as varáves ndependentes; - a declaração OPTIONS solcta ao SAS que algumas saídas adconas sejam mpressas. Algumas das possbldades são: + p: mprme valores predtos; + r: mprme resíduos; + xpx: mprme a matrz X X; + : mprme a nversa da matrz X X; + covb: mprme a matrz de varânca e covarânca das estmatvas dos parâmetros; - a declaração OUTPUT statement cra um SAS DATA set com as varáves defndas nas declarações KEYWORD. Para este procedmento as KEYWORD s podem ser PREDICT, RESIDUAL, etc... - TEST statement é usada para realzar teste de sgnfcânca para cada uma das equações lstadas. Por exemplo, TEST X=0, X=0; testa se os coefcentes de X e X são smultaneamente guas a zero. 8

187 Anexo 3 Introdução ao Uso do Programa SAS Exemplos ) Regressão Lnear Smples Os dados deste programa são do exercíco 0.5. O programa a segur produz uma regressão lnear de y em x. Usando a declaração OUTPUT, é possível salvar os valores predtos (yhat) e resduas (resd) em outro arquvo de trabalho (new). optons nodate nocenter nonumber; ttle 'Regressão Lnear Smples de o grau'; data exerc_0_5; nput x cards; ; run; proc reg data=exerc_0_5; model y = x; output out=new p=yhat r=resd; run; qut; ) Regressão lnear polnomal Para modelos de regressão polnomal, é necessáro crar as potêncas das varáves logo depos da declaração INPUT. Os dados deste programa são do exercíco 0.4. O programa lustra análse de dados segundo um modelo lnear de o grau. optons nodate nocenter nonumber; ttle 'Regressão Lnear Smples de o grau'; data exerc_0_4; nput x x = x*x; cards; ; run; proc reg data=exerc_0_4; model y = x x; output out=new p=yhat r=resd; run; qut; 8

188 EST 0 Estatístca Expermental I/008 6 Saídas do Programa SAS Para dentfcar a qual programa pertence cada saída, basta comparar a a lnha de cada págna destas saídas com o que está escrto na declaração ttle do programa. Por exemplo: Programa: optons nodate nocenter nonumber; ttle 'Delneamento Interamente Casualzado'; data exerc_4_; a lnha da saída do programa:... Delneamento Interamente Casualzado OBSERVAÇÃO: O conteúdo das saídas aqu mostradas é apenas um resumo de uma saída normal do SAS. Aqu são apresentadas apenas os resultados mas mportantes de uma saída de um programa do SAS. 83

189 Anexo 3 Introdução ao Uso do Programa SAS Delneamento Interamente Casualzado The ANOVA Procedure Class Level Informaton Class Levels Values var Dependent Varable: y Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model Error Corrected Total R-Square Coeff Var Root MSE y Mean Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F var Tukey's Studentzed Range (HSD) Test for y Alpha 0.05 Error Degrees of Freedom 6 Error Mean Square 7 Crtcal Value of Studentzed Range Mnmum Sgnfcant Dfference Means wth the same letter are not sgnfcantly dfferent. Tukey Groupng Mean N var A B A B B Duncan's Multple Range Test for y Alpha 0.05 Error Degrees of Freedom 6 Error Mean Square 7 Number of Means 3 4 Crtcal Range Means wth the same letter are not sgnfcantly dfferent. Duncan Groupng Mean N var A B C B C

190 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Delneamento em Blocos Casualzados The ANOVA Procedure Class Level Informaton Class Levels Values ta grupo Number of observatons 8 Dependent Varable: y Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model <.000 Error Corrected Total R-Square Coeff Var Root MSE y Mean Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F ta <.000 grupo Tukey's Studentzed Range (HSD) Test for y Alpha 0.05 Error Degrees of Freedom 8 Error Mean Square Crtcal Value of Studentzed Range Mnmum Sgnfcant Dfference Means wth the same letter are not sgnfcantly dfferent. Tukey Groupng Mean N ta A B B C Duncan's Multple Range Test for y Alpha 0.05 Error Degrees of Freedom 8 Error Mean Square Number of Means 3 4 Crtcal Range Means wth the same letter are not sgnfcantly dfferent. Duncan Groupng Mean N ta A B B C

191 Anexo 3 Introdução ao Uso do Programa SAS Delneamento em Quadrado Latno The GLM Procedure Class Level Informaton Class Levels Values let faxa castracao 5 A B C D E Number of observatons 5 Dependent Varable: ganho Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model Error Corrected Total R-Square Coeff Var Root MSE ganho Mean Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F let faxa castracao Tukey's Studentzed Range (HSD) Test for ganho Alpha 0.05 Error Degrees of Freedom Error Mean Square Crtcal Value of Studentzed Range Mnmum Sgnfcant Dfference Tukey Groupng Mean N castracao A D A.00 5 C A E A B B A Duncan's Multple Range Test for ganho Alpha 0.05 Error Degrees of Freedom Error Mean Square Number of Means Crtcal Range Duncan Groupng Mean N castracao A D A.00 5 C A E A B B A 86

192 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Expermentos Fatoras The GLM Procedure Class Level Informaton Class Levels Values recpente 3 3 espece Number of observatons 4 Expermentos Fatoras Dependent Varable: altura Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model <.000 Error Corrected Total R-Square Coeff Var Root MSE altura Mean Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F recpente <.000 espece recpente*espece <.000 recpente*espece Effect Slced by espece for altura Sum of espece DF Squares Mean Square F Value Pr > F < <.000 recpente*espece Effect Slced by recpente for altura Sum of recpente DF Squares Mean Square F Value Pr > F <

193 Anexo 3 Introdução ao Uso do Programa SAS Expermentos em Parcelas Subdvddas The GLM Procedure Class Level Informaton Class Levels Values varedade defensvo bloco Number of observatons 64 Dependent Varable: producao Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model <.000 Error Corrected Total R-Square Coeff Var Root MSE producao Mean Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F Varedade <.000 defensvo bloco <.000 varedade*bloco varedade*defensv Tests of Hypotheses Usng the Type III MS for varedade*bloco as an Error Term Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F Varedade

194 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Regressão Lnear Smples de o grau The REG Procedure Dependent Varable: y Analyss of Varance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F Model Error Corrected Total Root MSE R-Square Dependent Mean Adj R-Sq Coeff Var Parameter Estmates Parameter Standard Varable DF Estmate Error t Value Pr > t Intercept x Regressão Lnear Smples de o grau The REG Procedure Dependent Varable: y Analyss of Varance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F Model Error Corrected Total Root MSE R-Square Dependent Mean Adj R-Sq Coeff Var.3587 Parameter Estmates Parameter Standard Varable DF Estmate Error t Value Pr > t Intercept x x

195 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Anexo 4 p-valor O p-valor representa a probabldade estmada no expermento, de rejetar Ho quando Ho é verdadera, de acordo com o número de graus de lberdade (gl) e do teste de hpóteses utlzado. Portanto, quanto menor for o p- valor, mas forte será a evdênca de que Ho deverá ser rejetada. Em termos prátcos, tem-se a segunte regra de decsão em relação ao nível de sgnfcânca α de referênca: Se p-valor α rejetar Ho; Se p-valor > α não rejetar Ho. No Excel (nserr função estatístca), os p-valores e os valores tabelados do teste t são obtdos, como seguem: DISTT ( t cal ; gl; ) = p-valor Ha blateral; DISTT ( t cal ; gl; ) = p-valor Ha unlateral; INVT (α; gl) = t tab Ha blateral; INVT (α; gl) = t tab Ha unlateral. No Excel (nserr função estatístca), os p-valores e os valores tabelados do teste F são obtdos, como seguem: DISTF (F cal ; gl numerador; gl denomnador) = p-valor Ha unlateral; INVF (α; gl numerador; gl denomnador) = F tab Ha unlateral. 90

196 Anexo 5 Exemplo Extra ANOVA Tratamentos ANOVA Repetções FV GL SQ QM F Tratamentos Resíduo Total 4 0 Totas Médas Tratamentos ANOVA Repetções FV GL SQ QM F Tratamentos Resíduo Total Totas Médas Tratamentos ANOVA Repetções FV GL SQ QM F Tratamentos ,5 Inf Resíduo Total 4 30 Totas Médas Tratamentos ANOVA Repetções FV GL SQ QM F Tratamentos ,5 7, Resíduo 0 0, Total 4 40 Totas Médas

197 Anexo 6 Pressuposções ANOVA Pressuposções da Análse de Varânca Na análse de varânca, os valores observados Y k de uma varável resposta são descrtos em termos de um modelo estatístco. Uma das pressuposções para a realzação da análse de varânca é que o modelo estatístco seja composto pela soma de efetos, os quas podem ser fxos ou aleatóros. Em geral, o efeto do fator em estudo é consderado fxo. Enquanto que o efeto do erro expermental é consderado aleatóro. Por exemplo, para os valores observados em um expermento nstalado segundo o delneamento nteramente casualzado (DIC) com I tratamentos e K repetções, o modelo estatístco é Y k = m + t + e k em que, Y k : é o valor observado para a varável resposta obtdo para o -ésmo tratamento em sua k-ésma repetção; m: é a méda fxa de todos os valores possíves da varável resposta; t : é o efeto fxo do tratamento no valor observadoy k ; t = m m e k : é o efeto aleatóro do erro ou resíduo expermental assocado ao valor observado Y k, defndo por e k = Y k - m As pressuposções para a valdade dos resultados da análse de varânca são que os erros expermentas. Sgam uma dstrbução normal;. Tenham varânca comum e 3. Sejam ndependentes A estmatva do erro expermental, no DIC, é obtda pela dferença entre o valor observado e o respectvo valor predto Ŷ, ou seja, k O valor predto é obtdo por ê k = Y k - Ŷ k. 9

198 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Ŷ k = + tˆ A estmatva do efeto do tratamento, tˆ, por sua vez é obtda por Portanto temos que tˆ = k Ŷ = Então a estmatva do resíduo expermental, ê k, de acordo como o modelo estatístco apresentado anterormente é obtda por ê k = Y k -. Portanto, antes de nterpretar os resultados da análse de varânca recomenda-se verfcar, por meos dos procedmentos descrtos a segur, se as estmatvas dos resíduos satsfazem as pressuposções da análse de varânca. ª Pressuposção) Normaldade da dstrbução dos erros expermentas Para verfcar se os resíduos assocados ao modelo estatístco utlzado aderem a uma dstrbução normal, pode-se realzar o teste de hpóteses de Lllefors. As hpóteses para este teste são: H 0 : os resíduos expermentas seguem uma dstrbução normal H a : os resíduos expermentas não seguem uma dstrbução normal. Este teste se basea na comparação da freqüênca acumulada empírca com a freqüênca acumulada teórca, as quas são obtdas para cada valor do resíduo expermental. Após a ordenação crescente dos valores resduas, a freqüênca acumulada empírca, S(ê k ) é obtda por nº de valores < êk S(ê k ) = n Por outro lado, para obter o valor da freqüênca acumulada teórca, F(ê k ), para cada valor ê k, é necessáro especfcar a que dstrbução normal os resíduos expermentas tendem a se aderr. Uma dstrbução normal é especfcada pelos parâmetros méda e varânca. Na realzação deste teste, assume-se que os parâmetros da suposta 93

199 Anexo 6 Pressuposções ANOVA dstrbução normal dos resíduos são guas aos valores da méda e varânca dos resíduos expermentas. A partr da especfcação dos parâmetros da dstrbução normal é possível calcular a freqüênca acumulada teórca. A dstrbução acumulada é defnda como F(ê ) = P(Ê ê ). k k k Supondo que a dstrbução dos resíduos expermentas tenha sdo defnda como Ê k N(m; σ ), então o valor de F(ê k ) é obtdo por F(ê ê k k ) = f(êk )d(ê k ) = êk π σ e ( ê m) k σ d(ê k ) Uma representação genérca para os gráfcos de uma dstrbução normal e respectva dstrbução acumulada teórca são apresentados na Fgura - (a) e (b), respectvamente. Fgura Dstrbução normal (a) e respectva dstrbução acumulada (b) Espera-se que para cada valor ê k os valores obtdos para S(ê k ) e F(ê k ) sejam bem smlares, caso os resíduos expermentas sgam a dstrbução normal especfcada. É por esta razão que o teste de Lllefors se basea na comparação destes dos valores de dstrbução acumulada. Após a ordenação em ordem crescente (j =,,..., n) dos resíduos expermentas são obtdos, para cada ê k, os módulos das dferenças entre F(ê k ) j S(êk ) j e entre F(ê k ) j S(ê k )( j ). O teste de Lllefors se basea na maor dferença absoluta encontrada. Esta dferença é defnda como sendo a estatístca d obtda por 94

200 d = ma x j EST 0 Estatístca Expermental I/008 { F(ê ) S(ê ), F(ê ) S(ê ) } k j k j k j k ( j ) O valor da estatístca d é então comparado com o valor tabelado d tab de acordo com o nível de sgnfcânca α e do número de resíduos expermentas na Fgura apresenta as stuações com um bom ajustamento a uma dstrbução normal e outra com um mal ajustamento. Nesta Fgura, a curva representa a dstrbução acumulada teórca, e a escada representa a dstrbução acumulada empírca. Fgura Ilustrações de um bom ajuste a um mal ajuste de uma dstrbução normal Suponha os dados do Exemplo 4. Para comparar a produtvdade de quatro varedades de mlho, um agrônomo tomou vnte parcelas smlares e dstrbuu, nteramente ao acaso, cada uma das 4 varedades em 5 parcelas expermentas. Varedades Totas Médas Neste caso como fo utlzado o DIC temos que o modelo estatístco é Y k = m + t + e k Portanto, segundo o exposto anterormente, são apresentados na Tabela os valores observados e respectvos valores predtos resduas. 95

201 Anexo 6 Pressuposções ANOVA Tabela Valores observados (Y k ) e respectvos valores predtos ( Ŷ k ) e resíduas (ê k ) Varedade Repetção Y k Ŷ k êk Méda - 6,75 6,75 0 Varânca - 4,5 8,6 5,89 Desvo-padrão - 3,8,94,43 N A partr da Tabela, podemos obter as dstrbuções de freqüênca dos valores resduas apresentadas na Tabela Estas dstrbuções de freqüêncas serão denomnadas daqu para frente de dstrbuções de freqüênca empírcas. 96

202 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Tabela Dstrbuções de freqüêncas empírcas dos resíduos ( ê k ) e respectvas freqüêncas acumuladas teórcas nas quas os resíduos aparecem em ordem (j) crescente j êk Smples Freqüêncas Empírcas Relatva Acumulada S( ê k ) Freqüênca Teórca Acumulada F( ê k ) F( ê k ) j - S( ê k ) (j-) F( ê k ) j - S( ê k ) (j) Na Tabela também é apresentada a dstrbução acumulada de freqüênca teórca para os valores resduas ê k. A freqüênca teórca acumulada fo obtdo supondo que os resíduos seguem uma dstrbução normal com méda gual a zero e varânca gual a 5,89, ou seja, êk N(0;5,89). Para encontrar o valor da freqüênca teórca acumulada, por exemplo, para os valores dos resíduos gual a 4 e 3, foram utlzados 4 ê k = -4 3 ê k = -3 f(ê)d(ê) = 4 3 π e 5,89 ( ê 0) 5,89 ( ê 0) d(ê) = 0,0497 5,89 f(ê)d(ê) = e d(ê) = 0,083 π 5,89 Para obter estes valores sem calcular estas ntegras basta converter tas valores usando a dstrbução normal padrão ou seja, 4 0 ê k = -4 z = =, 65 P(Z < -,65) = 0,0495 5, ê k = -3 z = =, 3 P(Z < -,3) = 0,093 5,89 Como pode ser notado os valores não são exatamente guas aos apresentados na Tabela Isto ocorre devdo as aproxmações realzadas durante o cálculo. Para gerar os valores apresentados na Tabela, fo utlzada a função INV.NORMP do software Excel. Para os resíduos -4 e -3 foram utlzadas INV.NORMP(-4;0;,43) e INV.NORMP(-3;0;,43), respectvamente. 97

203 Anexo 6 Pressuposções ANOVA Ao observarmos a Tabela podemos verfcar que a estatístca d d = ma x j { F(ê ) S(ê ), F(ê ) S(ê ) } k j k j k j k ( j ) para os dados do Exemplo 4. é gual a 0,450. O respectvo valor tabelado, obtdo na Tabela 3, para α=5% e n=0 é d tab =0,0. As hpóteses para este teste são: H 0 : os resíduos expermentas seguem uma dstrbução normal H a : os resíduos expermentas não seguem uma dstrbução normal Como 0,450 < 0,0 não devemos rejetar H 0. Portanto, conclu-se que os resíduos expermentas segundo o modelo estatístco adotado não dferem de uma dstrbução normal. As dstrbuções, empírca e teórca, são apresentadas na Fgura 3. Fgura 3 Dstrbuções empírca e teórca obtda para o Exemplo 4. Empírca Teórca Freqüênca Acumulada Resíduos 98

204 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Tabela 3 Valores crítcos (d c ) para o teste de Lllefors (adaptado de Barbetta et al.004) n α=5% α=% 4 0,38 0, ,337 0, ,39 0, ,300 0, ,85 0,33 9 0,7 0,3 0 0,58 0,94 0,49 0,84 0,4 0,75 3 0,34 0,68 4 0,7 0,6 5 0,0 0,57 6 0,3 0,50 7 0,06 0,45 8 0,00 0,39 9 0,79 0,35 0 0,90 0,3 5 0,73 0, ,6 0,87 0,886,03 n>30 d c = d c = n n Uma avalação vsual da dstrbução normal também pode ser realzada por meo do gráfco da probabldade normal. Neste gráfco são plotados os valores da varável normal correspondente as dstrbuções acumulada empírca e acumulada teórca. Os valores da dstrbução teórca ajustam-se perfetamente a uma reta. Caso os resíduos apresentarem dstrbução normal, os valores da dstrbução empírca tenderam a se concentrar em torno da reta. Para os dados do Exemplo 4., os valores da varável z, correspondentes aos valores das dstrbuções empírca e teórca, são apresentados na Tabela 4 e o gráfco da probabldade normal é apresentado na Fgura 4. Tabela 4 Valores do resíduo, respectvas freqüêncas acumuladas teórca e empírca e valores da dstrbução normal (Z) Freqüênca Acumulada Z Resíduo Empírca Teórca Empírco Teórco E

205 Anexo 6 Pressuposções ANOVA Fgura 4 Gráfco de probabldade normal para os dados do Exemplo 4. Z Teórco Z Empírco Z Resíduos ª Pressuposção) Homogenedade das varâncas resduas Para uma varável resposta Y, consdere I tratamentos, cada um com K repetções, para os quas se deseja avalar se a varânca resdual é dêntca para todos os tratamentos. As hpóteses a serem testadas são H 0 : σ E = σ E =... = σ EI = H a : pelo menos um tratamento apresenta varânca resdual dferente dos demas. Em termos prátcos estamos querendo verfcar se o efeto do erro expermental afetou gualmente todos os tratamentos. Caso sto ocorra, as varâncas dentro de tratamentos tenderam a apresentar valores bem smlares, sendo, portanto, vável a obtenção de um estmador comum para a varânca dentro de tratamentos. Na análse de varânca, o cálculo do quadrado médo do resíduo é o estmador comum da varânca dentro de tratamentos. Portanto, antes de nterpretar os resultados da análse de varânca faz-se necessáro realzar um teste de hpóteses para a homogenedade da varânca dentro de tratamentos. Um dos testes que podem ser utlzados é o teste de Cochran. Este teste só pode ser aplcado quando o número de graus de lberdade for o mesmo para todas as varâncas, ou seja, quando o número de repetções por tratamento for o mesmo. A estatístca do teste de Cochran é defnda como σ E 00

206 EST 0 Estatístca Expermental I/008 maor se C cal =. I s Se C cal C tab (α, I, K ), rejeta-se H 0. Caso contráro, se C cal < C tab, não se rejeta H 0 e conclu-se que exste homogenedade de varâncas resduas entre os tratamentos. Para os dados do Exemplo 4. as varâncas dentro de tratamento são apresentadas na Tabela 5. Tabela 5 Valores orgnas e ajustados de Y e estmatvas dos efetos do erro expermental = E Trat Rep Y k Ŷk ê k s E s E = 6,5 s E = 7,5 s E3 = 7,5 s E4 = 6,5 As hpóteses testadas na pressuposção de homogenedade de varâncas são guas a: H 0 : σ E = σ E = σ E3 = σ E4 = E σ E ; H a : pelo menos uma σ ( =,, 3 e 4) dfere das demas. O valor da estatístca de Cochran, para os dados deste exemplo, é obtdo por C = 7,5 cal 6,5 + 7,5 + 7,5 + 6,5 = 0,679 e C tab (5%, 4, 4) = 0,687; Como C cal < C tab não rejeta-se H 0. Portanto, consdera-se satsfeta a pressuposção de homogenedade de varâncas. 0

207 Anexo 6 Pressuposções ANOVA A análse gráfca da homogenedade de varâncas pode ser feta por meo da dspersão dos valores observados para cada nível do fator em estudo. Para o exemplo em estudo este gráfco de dspersão é apresentado na Fgura 5. Pode ser observado que a varabldade da produção dentro de cada varedade, tende a ser a mesma em todas as varedades. Fgura 5 Dspersão das produções observadas em cada varedade 40 Produção Varedade Um exemplo em que vsualmente poderíamos ter um ndcatvo de que a varânca não é a mesma para todos os tratamentos é apresentado na Fgura 6. Fgura 6 - Exemplo de gráfco de dspersão quando as varânca dentro de tratamento não é homogênea 8 Resíduo Varedade 0

208 EST 0 Estatístca Expermental I/008 3ª Pressuposção) Independênca dos erros A ndependênca dos erros da análse de varânca sgnfca que os erros não são correlaconados. Uma das stuações que podem fazer com que este resultado não aconteça é aquela em que o valor do erro tende dmnur na seqüênca cronológca em que os valores são observados. Isto pode ocorrer quando, por exemplo, um laboratorsta está aprendendo a usar um equpamento. No níco, o erro assocado a letura é grande. À medda que são fetas novas leturas o erro tende a ser menor. Portanto, para fazer a avalação da ndependênca dos erros é necessáro ter nformações adconas, por exemplo ordem de coleta das observações. A ordem de coleta das observações dos dados do Exemplo 4. é apresentada na Tabela 6 e o gráfco de dspersão dos resíduos versus a ordem de coleta é apresentada na Fgura 7. Pode-se observar na Fgura 7 que não exste nenhuma tendênca nos resíduos em relação a ordem de coleta. Tabela 6 Valores observados com os respectvos valores predtos, resduas e ordem de coleta Ordem de Varedade Repetção Y coleta k Ŷk êk

209 Anexo 6 Pressuposções ANOVA Fgura 7 Gráfco de dspersão dos resíduos versus a ordem de coleta das observações Resíduo Ordem A Fgura 8 apresenta o gráfco de dspersão em que os erros não são ndependentes. Nesta Fgura 8 pode-se observar que nas prmeras coletas, os valores resduas tendem a ser maores do que nas últmas coletas. Uma possível explcação para sto é o aprendzado na realzação do expermento. Fgura 8 Dspersão dos resíduos em função da ordem de coleta 04

210 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Capítulo 4 Delneamento Interamente Casualzado Exercícos extras ) Consdere que para o Exercíco 4.7 é fornecda a ordem de coleta dos valores de ganho de peso, conforme tabela abaxo Ração Repetção Ganho de Peso Ordem A 7. A 8.9 A A B 6. 7 B B B C 6.0 C 5.0 C C D. 6 D D D E E.3 0 E E Com base nestas nformações, pede-se a) aplcar o teste de Llefors; b) aplcar o teste de Cochran; c) avalar a ndependênca dos erros; d) traçar o gráfco de probabldade normal; e) traçar o gráfco para avalar a homogenedade de varâncas. 05

211 Anexo 6 Pressuposções ANOVA ) Consdere que para um expermento em que foram avalados 5 tratamentos com 4 repetções no DIC sejam fornecdas as seguntes nformações Tratamento Repetção Y k Ordem Com base nestas nformações, pede-se a) aplcar o teste de Llefors; b) aplcar o teste de Cochran; c) avalar a ndependênca dos erros; d) traçar o gráfco de probabldade normal; e) traçar o gráfco para avalar a homogenedade de varâncas. 06

212 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Respostas (parcas) ) a) d = b) C = 0.33 c) Resíduo Ordem d) Z Teórco Z Empírco 3 Z Resíduos e) 4 Ganho de Peso Ração 07

213 Anexo 6 Pressuposções ANOVA ) a) d = 0.73 b) C = 0,97 c) Resíduo Ordem d) Z Teórco Z Empírco 4 3 Z Resíduos e) Ganho de Peso Ração 08

214 EST 0 Estatístca Expermental I/008 Observação: o exercíco abaxo não se refere as pressuposções da ANOVA, mas sm a uma transparênca apresentada pelos professores em sala de aula. Exercíco: Consdere 4 resultados possíves (R, R, R3 e R4) para a realzação de um expermento no DIC em que foram avalados os efetos de 5 tratamentos em 3 repetções. Para cada uma destas stuações, pede-se: a) Proceda a ANOVA para R, R, R3 e R4; b) Para um ou mas dos resultados (R, R, R3 e R4) a SQ para uma ou mas FV apresentou valor zero. Explque a razão de ter sdo obtdo tas valores guas a zero. R Tratamentos Repetções Totas Médas R R3 R4 Tratamentos Repetções Totas Médas Tratamentos Repetções Totas Médas Tratamentos Repetções Totas Médas