Controle Estatístico de Qualidade. Capítulo 8 (montgomery)

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1 Controle Estatístco de Qualdade Capítulo 8 (montgomery)

2 Gráfco CUSUM e da Méda Móvel Exponencalmente Ponderada Introdução Cartas de Controle Shewhart Usa apenas a nformação contda no últmo ponto plotado Ignora qualquer nformação dada pela sequênca ntera de pontos Tas característcas tornam esse tpo de gráfco nsensível a pequenas mudanças no processo (menores que 1,5σ) O uso de testes para sequênca ou lmtes de alerta servem como palatvo, mas não resolvem o problema. Na verdade, tas regras reduzem sua smplcdade e facldade de nterpretação. Duas alternatvas efcazes aos gráfcos Shewhart para detectar pequenas mudanças no processo são: Gráfco de Controle da Soma Acumulada (CUSUM) Gráfco de Controle da Méda Móvel Exponencalmente Ponderada

3 Gráfco de Controle da Soma Acumulada (CUSUM) Motvação No gráfco de controle abaxo as 2 prmeras observações foram extraídas de uma dstrbução normal com méda µ = 1 e σ = 1. As 1 últmas de uma N(11;1) (processo fora de controle) I Chart Indvdual Value UCL=13 _ X=1 LCL=7 O gráfco falhou em detectar a mudança Motvo: magntude relatvamente pequena da mudança Observaton

4 Gráfco de Controle da Soma Acumulada (CUSUM) Motvação O gráfco CUSUM fo proposto prmeramente por Page(1954). O gráfco CUSUM ncorpora toda a nformação da sequênca de valores, plotando as somas acumuladas dos desvos dos valores da amostra em relação a um valor-alvo (µ ). = ( x j µ ) = ( x ) + C 1 j= 1 C µ O gráfco CUSUM são partcularmente efcazes com amostras de tamanho n=1. = ( x j µ ) = ( x ) + C 1 j= 1 C µ

5 Gráfco de Controle da Soma Acumulada (CUSUM) Motvação Note que se o processo permanece sob controle, C será um passeo aleatóro com méda zero. Se a méda se desloca para um valor µ 1 >µ, C deverá apresentar uma tendênca postva. Caso contráro, uma tendênca para baxo se desenvolverá em C. Gráfco da Soma Acumulatva C Amostra

6 Gráfco de Controle da Soma Acumulada (CUSUM) Motvação Iremos nos concentrar no gráfco CUSUM para méda do processo. No entanto, é possível planejar procedmentos de somas acumuladas para Varabldade do processo (Montgomery, 1981) Varáves Posson e Bnomal Gráfcos de controle de somas acumuladas tem sdo estudados por: Ewan (1963), Page (1961), Gan (1991), Lucas (1976), Hawkns (1981), entre outros.

7 Gráfco CUSUM Tabular O CUSUM Tabular pode ser construído para montorar a méda do processo. Será tratado, prmeramente, o caso onde n=1. Seja x a -ésma observação do processo dstrbuída normalmente com méda µ (valor-alvo) e desvo padrão σ quando o processo está sob controle. O CUSUM Tabular trabalha acumulando os desvos de µ que estão acma do alvo em uma estatístca C +, e acumulando os desvos de µ que estão abaxo do alvo em outra estatístca C -. As estatístcas C + e C - são chamadas cusums unlateras superor e nferor, sendo defndas por:

8 Gráfco CUSUM Tabular C C + onde os valores ncas são O Cusum Tabular = max, = max,( [ ] + x ( µ + K) + C 1 [ ] µ K) x + C C + C = = 1 K é chamado de valor de referênca (ou valor de tolerânca). Normalmente representa o ponto médo entre o valor alvo (µ ) e o valor da méda fora de controle (µ 1 ) que estamos nteressados em detectar rapdamente.

9 Gráfco CUSUM Tabular Se a mudança K que queremos detectar é expressa em undades de desvo-padrão por µ 1 = µ + δσ ou δ = µ 1 - µ /σ Então a magntude da mudança (K) pode ser expressa por C + ou C δ K = σ = 2 µ 1 µ 2 Se tanto excederem o ntervalo de decsão H (lmtes de tolerânca), o processo será consderado fora de controle. A escolha de H será dscutda posterormente. Normalmente, usase H = 5σ

10 Gráfco CUSUM Tabular Exemplo Valor alvo (µ ) = 1 n = 1 σ = 1 Magntude da mudança 1σ, logo K = ½ H = 5σ = 5 Amostra X 1 9,45 2 7,99 3 9, , ,16 6 1,18 7 8,4 8 11,46 9 9,2 1 1, , , , ,4 15 1,8 16 9, , , ,52 2 1, ,9 22 9, , ,5 25 1, ,8 27 1, , ,31 3 1,52

11 Gráfco CUSUM Tabular Exemplo Os valores de C + e C - para amostra 1 são: C C = max = max + [ ;9,45 (1 +,5) + C ] =, [ ;(1,5) 9,45 + C ] =, 5 Os valores de C + e C - para amostra 2 são: C C = = max max [ ;7,99 (1 +,5) + ] =, [ ;(1,5) 7,99 +,5] = 1, 56 A segur, apresentamos os cálculos restantes. As quantdades N + e N - ndcam os períodos consecutvos em que C + e C - foram não-nulos.

12 C + > H Processo fora de controle Amostra X X - (m + K) C+ N+ (m - K) - X C- N- 1 9,45-1,5,5, ,99-2,51 1,51 1, ,29-1,21,21 1, ,66 1,16 1,16 1-2, ,16 1,66 2,82 2-2,66 6 1,18 -,32 2,5 3 -,68 7 8,4-2,46,4 4 1,46 1, ,46,96 1, 5-1,96, 9 9,2-1,3, ,34 -,16 -, ,3-1,47, ,47,97,97 1-1, ,51,1,98 2-1,1 14 9,4-1,1,1, ,8 -,42 -, ,37-1,13,13, ,62,12,12 1-1, ,31 -,19 -, ,52-1,98,98, ,84,34,34 1-1, ,9,4,74 2-1,4 22 9,33-1,17,17, ,29 1,79 1,79 1-2, ,5 1, 2,79 2-2, 25 1,6,1 2,89 3-1, ,8,58 3,47 4-1, ,38 -,12 3,35 5 -, ,62 1,12 4,47 6-2, ,31,81 5,28 7-1,81 3 1,52,2 5,3 8-1,2

13 Exemplo: Gráfco de status do CUSUM Mntab CUSUM Chart 5, UCL=5 Cumulatve Sum 2,5, -2,5-5, LCL= Sample

14 Recomendações para o Planejamento do CUSUM O CUSUM Tabular é planejado através da escolha do valor de referênca (K = kσ) e do ntervalo de decsão (H = hσ). Recomenda-se que tas parâmetros sejam seleconados de modo a fornecer um bom CMS (comprmento médo da sequênca), por exemplo CMS próxmo a 37 (processo sob controle). Na prátca, tem-se observado bons resultados com h=4 ou h=5 e k = ½. A segur apresentamos um comparatvo do CMS para o Gráfco CUSUM vs Gráfco de Shewhart para méda.

15 Recomendações para o Planejamento do CUSUM Hawkns (1993) fornece uma tabela com valores de k e h, no qual CMS será gual a 37: k,25,5,75 1, 1,25 1,5 h 8,1 4,77 3,34 2,52 1,99 1,61 Segmund (1985) apresenta uma aproxmação do cálculo do CMS para um cusum unlateral (C + ou C - ): CMS exp( 2 b) + 2 b onde = δ* - k para C +, = -δ* - k para C - e b = h + 1,166. Se =, pode-se usar CMS = b 2 = Lembre-se que δ* é a mudança na méda, em undades de σ, para qual deve ser calculado o CMS.

16 Recomendações para o Planejamento do CUSUM O CMS para um cusum blateral é obtdo a partr das estatístcas unlateras dgamos CMS + e CMS - : 1 CMS Exemplo: Consdere k = ½, h = 5 e δ* = (sob controle) Logo = -½ e b = 6,166. Assm, CMS 1 = + + CMS CMS exp( 2( 1/ 2)(6,166)) + 2( 1/ 2)(6,166) 1 2 2( 1/ 2) + = = Como δ* = temos, excepconalmente, CMS + = CMS -. Logo, o CMS blateral é dado por 1 CMS 1 1 = + CMS 938,2 938,2 1 = 469,1 938,2

17 Recomendações para o Planejamento do CUSUM Consderações Note que a aproxmação de Segmund está próxma do verdadero valor de CMS Para σ=1, por exemplo, o gráfco Cusum detectara uma mudança mas rápdo do que o gráfco de Shewhart. CMS entre os gráfcos Cusum e Shewhart convergem a medda que σ (tamanho da mudança) aumenta. Valores Exatos para o Comprmento Médo da Sequenca (CMS) Multplo de sgma k = 1/2 h=4 h=5 Shewhart, 168, 465, 37,4,25 74,2 139, 281,1,5 26,6 38, 155,2,75 13,3 17, 81,2 1, 8,38 1,4 43,9 1,5 4,75 5,8 15, 2, 3,34 4, 6,3 2,5 2,62 3,1 3,2 3, 2,19 2,6 2, 4, 1,71 2, 1,2

18 CUSUM Padronzado Prncpal vantagem: possblta termos os mesmos valores de k e h para dversos gráfcos CUSUM, vsto que as escolhas desses parâmetros não ram mas depender da escala das varáves. Seja y = µ σ Os CUSUM padronzados são defndos por x C C + = = max ; max ; [ ] + y k + C 1 [ k y + C ] 1

19 Subgrupos Raconas O desenvolvmento do CUSUM tabular se estende faclmente ao caso de méda de subgrupos raconas (n>1). x Basta substtur por (a méda amostral ou do subgrupo) nas fórmulas anterores e substtur σ por σ = σ x / n x No entanto, Montgomery dscute que o uso das médas dos subgrupos (ou seja n>1) NÃO melhora o desempenho do Gráfco Cusum, ao contráro dos gráfcos de Shewhart.

20 Subgrupos Raconas Por exemplo, se pudermos escolher entre a retrada de uma amostra de tamanho n=1 a cada 3mn ou um subgrupo de tamanho n=5 a cada 2,5horas, o CUSUM funconará melhor, em geral, com a escolha de n=1. Segundo Montgomery, apenas se houver uma economa de escala sgnfcatva ou alguma outra razão válda para se tomar amostras de tamanho maor é que os subgrupos devem ser usados.

21 Melhorando o CUSUM para Grandes Mudanças Uma abordagem para melhorar a habldade do gráfco em detectar grandes mudanças é o procedmento combnado cusum-shewhart (Lucas, 1982) Construr um gráfco Shewhart para C+ e C - Neste caso, recomenda-se o uso de lmtes de controle de 3,5σ. O aumento de,5σ nos lmtes de controle no gráfco de Shewhart é justfcado pelo fato de estarmos nteressados em detectar grandes mudanças O gráfco CUSUM fcara responsável por pequenas alterações na méda ou no valor-alvo, enquanto que o gráfco de Shewhart se encarregara em detectar grandes alterações. Um snal fora de controle em qualquer (ou ambos) os gráfcos consttu num snal de ação

22 Resposta Incal Rápda (RIR) ou Headstart Procedmento elaborado por Lucas e Croser (1982) para melhorar a senstvdade do CUSUM no níco do processo. A resposta ncal rápda (RIR), ou headstart, coloca os + valores ncas de C guas a um valor não-nulo, e C normalmente gual a H/2. Isso é chamado de headstart de 5%. Benefícos do headstart Se o processo começa sob controle (no valor-alvo), o CUSUM rapdamente cará para zero e o headstart terá pouco efeto; No entanto, caso o processo comece em algum nível dferente do valor alvo, o headstart permtrá ao CUSUM detectar sso rapdamente.

23 Consderações Fnas em relação ao CUSUM Tabular Cusum Unlateral Note que o gráfco CUSUM é construído a partr de dos procedmento unlateras (C + e C - ) Há stuações onde apenas um procedmento é utl. Por exemplo: Em um processo químco a característca de nteresse é a vscosdade de um produto. Consdere que se a vscosdade fcar abaxo do valor-alvo não há problema. No entanto, qualquer aumento na vscosdade deve ser detectado rapdamente. O CMS podera ser calculado faclmente a partr da aproxmação de Segmund.

24 Consderações Fnas em relação ao CUSUM Tabular Cusum com Senstvdades Dferentes É também possível planejar CUSUMs com senstvdades dferentes nos lados superor e nferor Isso sera útl em stuações onde, por exemplo, uma mudança acma do alvo é mas crítca do que mudanças abaxo do alvo.

25 Gráfco de Controle da Méda Móvel Exponencalmente Ponderada Introdução É também uma boa alternatva aos gráfcos de Shewhart quando estamos nteressados em detectar pequenas mudanças. Tem desempenho equvalente ao gráfcos de controle CUSUM tabular. É, de certa forma, mas fácl de estabelecer e operar. É tpcamente usado para observações ndvduas (n=1). No entanto, também veremos o caso de subgrupos raconas de tamanho n>1. Fo ntroduzdo por Roberts em 1959

26 Gráfco de Controle da Méda Móvel Exponencalmente Ponderada Defnções O gráfco da Méda Móvel Exponencalmente Ponderada (MMEP) é defndo como z = λx + ( 1 λ) z 1 onde < λ 1é uma constante, e o valor ncal exgdo para =1 é o alvo do processo, ou seja z = µ Quando o valor alvo não é conhecdo, a méda artmétca dos dados pode ser usado z = x

27 Gráfco de Controle da Méda Móvel Exponencalmente Ponderada Defnções Note que z é uma méda ponderada de todas as observações anterores: Contnuando a substtur recursvamente z -j, j=2, 3,..., t, obtemos = + = 1 ) 1 ( z x z λ λ [ ] ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 + + = = + + = z x x z z x x z λ λ λ λ λ λ λ λ 1 ) (1 ) 1 ( z x z j j j λ λ λ + = =

28 Gráfco de Controle da Méda Móvel Exponencalmente Ponderada Defnções Os pesos λ(1-λ) j decrescem geometrcamente com a dade da méda amostral. Como a MMEP pode ser consderada uma méda de todas as observações passadas e corrente, o gráfco da MMEP é nsensível a hpótese de normaldade. Assm, tal gráfco é deal para ser usado com observações ndvduas.

29 Gráfco de Controle da Méda Móvel Exponencalmente Ponderada Defnções Se as observações x são varáves aleatóras ndependentes com varânca σ 2, então a varânca de z é dada por: [ ] z j j j j j j j j z Var z Var z Var x Var z Var z x Var z Var ) (1 1 2 ) ( ) (1 ) ( ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) (1 ) ( λ λ λ σ σ σ λ λ λ λ λ λ λ λ = = = + = = + = = = = Progressão Geométrca

30 Gráfco de Controle da Méda Móvel Exponencalmente Ponderada Defnções O gráfco de controle MMEP pode ser construído através da plotagem de z versus o número da amostra. A lnha central e os lmtes de controle são: LSC LM LIC = µ + = µ = µ Lσ Lσ λ 2 λ λ 2 λ [ ] 2 1 (1 λ) [ ] 2 1 (1 λ) Em breve dscutremos sobre a escolha de L e λ.

31 Gráfco de Controle da Méda Móvel Exponencalmente Ponderada Defnções Note que [1-(1- λ) 2 ] se aproxma de 1 quando se torna grande. Logo, após alguns períodos de tempo, os lmtes de controle se aproxmarão dos valores de estado estaconáro, dados por: LSC = µ + LIC = µ Lσ Lσ λ 2 λ No entanto, recomenda-se enfatcamente na prátca o uso dos lmtes exatos. λ 2 λ

32 Gráfco MMEP Exemplo Valor alvo (µ ) = 1 σ = 1 n = 1 λ =,1 L = 2,7 Amostra X 1 9,45 2 7,99 3 9, , ,16 6 1,18 7 8,4 8 11,46 9 9,2 1 1, , , , ,4 15 1,8 16 9, , , ,52 2 1, ,9 22 9, , ,5 25 1, ,8 27 1, , ,31 3 1,52

33 Gráfco MMEP Exemplo Os valores para a amostra 1 são: z1 =,1.(9,45) + (1,1).1 = 9,945 LSC = 1 + 2,7(1) LIC = 1 2,7(1),1 2,1,1 2,1 [ 1 (1,1) ] 2.(1) = 1,27 [ ] 2.(1) 1 (1,1) = 9, 73

34 Gráfco MMEP Exemplo Os valores para a amostra 2 são: z2 =,1.(7,99) + (1,1).9,945 = 9,7495 LSC = 1 + 2,7(1) LIC = 1 2,7(1),1 2,1,1 2,1 [ 1 (1,1) ] 2.(2) = 1,36 [ ] 2.(2) 1 (1,1) = 9, 64

35 Amostra X Z 1 9,45 9, ,99 9, ,29 9, ,66 9, ,16 1, ,18 1, ,4 9, ,46 1, ,2 9, ,34 1, ,3 9, ,47 1, ,51 1, ,4 1, ,8 1, ,37 9, ,62 1, ,31 1, ,52 9, ,84 1, ,9 1, ,33 1, ,29 1, ,5 1, ,6 1, ,8 1, ,38 1, ,62 1, ,31 1, ,52 1,6341 Valores além dos lmtes

36 Gráfco MMEP Mntab 1,75 EWMA Chart 1,5 +2,7SL=1,619 1,25 EWMA 1, _ X=1 9,75 9,5-2,7SL=9, Sample

37 Planejamento de um Gráfco de Controle MMEP O gráfco MMEP é muto efcaz contra pequenas mudanças no processo. Os parâmetros do planejamento do gráfco MMEP são L e λ. É possível escolher esses parâmetros de modo a obtermos um bom desempenho do CMS, próxmo ao observado no gráfco CUSUM. Lucas e Saccucc (199) apresentam um estudo com o CMS para alguns valores de (L, λ).

38 Planejamento de um Gráfco de Controle MMEP CMS para város Esquemas de Controle MMEP (adaptado de Lucas e Saccucc (199)) Multplo de sgma L = 3,54 L=2,998 L=2,962 L=2,812 L=2,615 lamb.=,4 lamb.=,25 lamb.=,2 lamb.=,1 lamb.=,5 Shewhart, 5, 5, 5, 5, 5, 37,4,25 224, 17, 15, 16, 84,1 281,1,5 71,2 48,2 41,8 31,3 28,2 155,2,75 28,4 2,1 18,2 15,9 16,4 81,2 1, 14,3 11,1 1,5 1,3 11,4 43,9 1,5 5,9 5,5 5,5 6,1 7,1 15, 2, 3,5 3,6 3,7 4,4 5,2 6,3 2,5 2,5 2,7 2,9 3,4 4,2 3,2 3, 2, 2,3 2,4 2,9 3,5 2, 4, 1,4 1,7 1,9 2,2 2,7 1,2

39 Planejamento de um Gráfco de Controle MMEP Conclusões: Estudo de Lucas e Saccucc(199) Valores de,5 λ,25 funconam bem na prátca λ =,5, λ =,1 e λ =,2 são escolhas populares. Utlzar valores menores de λ para detectar pequenas mudanças. L = 3 funcona razoavelmente bem com valores maores de λ (λ >,25) Quando λ,1, deve-se trabalhar com 2,6 L 2,7.

40 Planejamento de um Gráfco de Controle MMEP O gráfco MMEP não funcona bem para grandes mudanças Uma abordagem para melhorar a habldade do gráfco em detectar grandes mudanças é o procedmento combnado MMEP-Shewhart (Lucas, 1982) Construr um gráfco Shewhart para z Neste caso, recomenda-se o uso de lmtes de controle de 3,25σ ou 3,5σ. O aumento de,25σ ou,5σ nos lmtes de controle no gráfco de Shewhart é justfcado pelo fato de estarmos nteressados em detectar grandes mudanças O gráfco MMEP fcara responsável por pequenas alterações na méda, enquanto que o gráfco de Shewhart se encarregara em detectar grandes alterações. Um snal fora de controle em qualquer (ou ambos) os gráfcos consttu num snal de ação

41 Subgrupos Raconas O gráfco MMEP se estende faclmente ao caso de méda de subgrupos raconas (n>1). Basta substtur x por x (a méda amostral ou do subgrupo) nas fórmulas anterores e substtur σ por σ x = σ / n

42 Robustez do MMEP à Não- Normaldade Lembre-se que o gráfco de Shewhart para observações ndvduas era muto sensível a não-normaldade, acarretando em um número excessvo de alarmes falsos. Borror, Montgomery, Runger (1999) comparam o desempenho do CMS (sob controle) do gráfco de Shewhart e do gráfco MMEP para observações ndvduas. No estudo foram utlzadas: A dstrbução Gama para representar o caso de dstrbuções assmétrcas; A dstrbução t-student para representar dstrbuções smétrcas com caudas mas pesadas que a Normal. Os resultados são apresentados a segur:

43 Robustez do MMEP à Não- Normaldade Comprmento Médo da Sequenca sob Controle (CMSo) Dstrbuções Assmétrcas Shewhart Lambda,5,1,2 1 L 2,492 2,73 2,86 3 Normal Gama(4,1) Gama(3,1) Gama(2,1) Gama(1,1) Gama(.5,1)

44 Robustez do MMEP à Não- Normaldade Comprmento Médo da Sequenca sob Controle (CMSo) Dstrbuções Smétrcas Shewhart Lambda,5,1,2 1 L 2,492 2,73 2,86 3 Normal t(5) t(4) t(3) t(2) t(15) t(1) t(8) t(6) t(4)

45 Robustez do MMEP à Não- Normaldade Conclusões Importantes do Estudo Dstrbuções Não-Normas tem o efeto de reduzr sensvelmente o CMS sob controle do gráfco de Shewhart para observações ndvduas. Isso aumentará drastcamente o número de alarmes falsos. Um MMEP escolhdo adequadamente terá um desempenho muto bom em relação a dstrbuções tanto Normas quanto Não-Normas Logo, é extremamente recomendado o uso de um gráfco MMEP bem planejado como gráfco de controle para meddas ndvduas.

46 Exemplo 1 Uma máquna é usada para encher latas com óleo adtvo de motor. Uma únca lata é amostrada a cada hora e o seu peso, meddo. Como o processo de enchmento é automátco, ele tem uma varabldade muto estável, e uma experênca longa ndca que σ=,5 oz. As observações ndvduas para 24 horas de operação são mostradas a segur.

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48 a) Suponha que o alvo do processo seja 8,2 oz, estabeleça um cusum tabular para esse processo. Planeje o cusum usando os valores h=4,77 e k=,5. b) Suponha que os dados representem observações tomadas medatamente após um ajuste que pretenda levar o processo de volta ao alvo deµ=8,. Estabeleça e aplque um cusum RIR (headstart de 5%) para montorar esse processo. c) Estabeleça um gráfco de controle MMEP com λ=,2 e L=3 para esse processo. Interprete os resultados.

49 Exemplo 2 Gere 2 valores de X, X~N(1,1), e outros 2 para X~N(9,1). Cra um vetor com os 4 valores gerados (na mesma sequênca). Descubra qual dos dos dspostvos, algortmo CUSUM (k=4,774 e k=,5) ou o gráfco MMEP (L=2,859 e λ=,2), snalza com mas rapdez o deslocamento na méda do processo (de 1 para 9).