PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADAS À HIDROLOGIA

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1 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADAS À HIDROLOGIA Mauro aghettn Mara Manuela Portela DECvl, IST, 0

2 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADAS À HIDROLOGIA Mauro aghettn Professor Assocado, Escola de Engenhara da Unversdade Federal de Mnas Geras, Belo Horzonte, Brasl. Mara Manuela Portela Professora Auxlar, Insttuto Superor Técnco da Unversdade Técnca de Lsboa, Portugal. (ota: o presente texto fo produzdo a partr de capítulo homónmo do lvro Hdrologa Aplcada, a ser publcado entre 0 e 0 pela Assocação Braslera de Recursos Hídrcos, ABRH. O ntuto é o de proporconar noções fundamentas de probabldades e estatístca aplcadas à hdrologa, nclundo concetos relaconados com a análse de ncertezas)

3 Índce do texto. Introdução.... Caracterzação prelmnar das ncertezas presentes nos fenómenos hdrológcos Defnções báscas ota préva Espaço de resultados ou espaço amostral Acontecmento aleatóro Complementar de um acontecmento aleatóro Combnação de acontecmentos aleatóros. Unão e ntersecção Probabldade Dependênca e ndependênca estatístcas Varáves aleatóras dscretas e contínuas Funções dstrbução de probabldade Meddas descrtvas populaconas das varáves aleatóras ota préva Valor esperado Varânca, desvo-padrão e coefcente de varação da população Coefcente de assmetra Modelos de dstrbução de probabldades de varáves aleatóras dscretas ota préva Dstrbução geométrca. Período de retorno Dstrbução Bnomal. Rsco hdrológco Modelos de dstrbução de probabldades de varáves aleatóras contínuas Estmação de parâmetros e de quants das dstrbuções de probabldade Procedmento geral. Método dos momentos Factores de probabldade Análse de frequênca de varáves hdrológcas ota préva Análse de frequênca com base na aprecação vsual do ajustamento (em gráfcos de probabldade). Probabldade empírca de não-excedênca Aprecação da qualdade do ajustamento e escolha do modelo dstrbutvo. Teste de Kolmogorov-Smrnov e do Qu-Quadrado Avalação das ncertezas assocadas às estmatvas de quants Correlação e regressão smples de varáves hdrológcas Pág.

4 Referêncas bblográfcas Índce de Tabelas Precptações dáras máxmas anuas, Pdma, no posto udométrco de Pava (0I/0G), na baca hdrográfca do ro Tejo, no período de 94 anos hdrológcos, entre 9/ e 004/05. Prncpas estatístcas amostras ou descrtvas, respectvas fórmulas de cálculo, sgnfcados e valores tendo por base a amostra de precptações dáras máxmas anuas da Tabela. 3 úmero de faces resultantes do lançamento smultâneo de duas moedas. 4 Prncpas modelos de dstrbução de probabldades de varáves aleatóras contínuas hdrológcas e hdrometeorológcas. 5 Prncpas característcas das dstrbuções de probabldades de varáves aleatóras contínuas hdrológcas e hdrometeorológcas. 6 Função dstrbução de probabldade, FDP, da dstrbução ormal padrão, z ( z) = π exp( z )dz Φ. 7 Expressões de cálculo dos factores de frequênca F K DIST para dversas dstrbuções. 8 Fórmulas para estmação de probabldades empírcas de não excedênca. 9 Precptações dáras máxmas anuas no posto udométrco de Pava, de acordo com a Tabela. Probabldades empírcas de não-excedênca, P( x)=f(x), de acordo com a fórmula de Grngorten apresentada na Tabela 8. 0 Valores crítcos da estatístca do teste de Kolmogorov Smrnov em função da dmensão da amostra,, e do nível do sgnfcânca, α, D,α. Quants da dstrbução do Qu-Quadrado em função do número de graus de lberdade, ν, e do nível de confança, (-α), χ ν,(-α). Partções (número e lmtes) do domíno da função dstrbução de probabldade, F(x), na aplcação do teste do Qu-Quadrado em função da dmensão da amostra, (adaptada de Henrques, 990). 3 Aplcação dos testes de Kolmogorov-Smrnov, KS, e do Qu-Quadrado, χ, à amostra de precptações dáras máxmas anuas no posto udométrco de Pava (0I/0G) da Tabela. 4 Intervalo de confança a 95%, para a estmatva fornecda pela le de Gumbel para a precptação dára máxma anual no posto udométrco de Pava (0I/0G) com a probabldade de não-excedênca de 99% (período de retorno de 00 anos). 5 Pares de valores de caudas nstantâneos, Q, e das correspondentes alturas hdrométrcas, h, relatvos a uma estação hdrométrca. b 6 Cálculo dos parâmetros da curva de vazão defnda por Q = a (h h 0 ).

5 Índce de Fguras Varabldade temporal das precptações dáras máxmas anuas (mm) no posto udométrco de Pava (0I/0G), na baca hdrográfca do ro Tejo, no período de 94 anos hdrológcos, entre 9/ e 004/05. Funções massa e acumulada de probabldades da varável aleatóra dscreta do exemplo da Tabela 3. 3 Funções densdade e acumulada de probabldades de uma varável contínua. 4 Função densdade de probabldade da varável aleatóra contínua. 5 Exemplos de funções densdade (ou massa) de probabldade smétrcas e assmétrca. 6 Cheas máxmas anuas como lustração de um processo de Bernoull. 7 Esquema de desvo provsóro de um ro. 8 Modelo GEV: relação entre κ e γ. 9 Papel de probabldade da le ormal. 0 Probabldades empírcas de não-excedênca fornecdas pelas fórmulas da Tabela 8 para duas amostras, uma, com 50 elementos (à esquerda) e, outra, com 0 elementos (à dreta). Precptações dáras máxmas anuas no posto udométrco de Pava, de acordo com a Tabela. Probabldades de não-excedênca, P( x)=f(x) empírcas (fórmula de Grngorten) e de acordo com as les ormal, de Gumbel e log-ormal para papes de probabldade das les ormal gráfco superor e de Gumbel gráfco nferor. Aplcação do teste de Kolmogorov-Smrnov, KS, à amostra de precptações dáras máxmas anuas no posto udométrco de Pava (0I/0G) da Tabela. Representação gráfca do valor da estatístca do teste. 3 Intervalos de confança a 95%, para os quants fornecdos pela le de Gumbel para as precptações dáras máxmas anuas no posto udométrco de Pava (0I/0G). 4 Hstogramas das estmatvas fornecdas pelas séres sntétcas (em número de W=5000) da precptação dára máxma anual no posto udométrco de Pava (0I/0G) para a probabldade de não excedênca de 99%. 5 Alguns exemplos de assocações denotando correlação entre as varáves Y e. 6 Coefcentes de regressão pelo método dos mínmos quadrados. 7 Curvas de vazão para os dos possíves modelos defndos no exercíco 6. Índce de Exercícos Pág. Exercíco... 9 Exercíco... 3 Exercíco Exercíco

6 Exercíco Exercíco Exercíco 7... Exercíco 8... Exercíco Exercíco Exercíco... 3 Exercíco... 3 Exercíco Exercíco Exercíco Exercíco v

7 v

8 . Introdução Os fenómenos naturas, nomeadamente, hdrológcos contêm ncertezas que lhes são nerentes sendo que exstem duas fontes para tas ncertezas: () a aleatoredade natural assocada às possíves ocorrêncas (ou realzações) de um certo fenómeno; e () e as mperfeções e/ou nsufcêncas do conhecmento humano sobre os processos que determnam tas ocorrêncas. As ncertezas do prmero tpo ou aleatóras podem ser expressas em termos da maor ou menor varabldade de uma ou mas das varáves (ou grandezas mensuráves) assocadas ao fenómeno em estudo. As ncertezas do segundo tpo resultam da nterpretação mperfeta ou mprecsa da realdade subjacente ao referdo fenómeno, por parte dos modelos teórcos e/ou físcos utlzados para o caracterzar. As ncertezas aleatóras não podem ser reduzdas ou modfcadas porque são ntrínsecas à varabldade dos fenómenos em observação. Em geral, essas ncertezas apenas podem ser parcalmente estmadas pelo padrão da varabldade exbdo pelas amostras referentes a realzações desses fenómenos ou das varáves que nele ntervêm. Já as ncertezas que decorrem das lmtações do conhecmento humano acerca dos menconados fenómenos podem ser reduzdas, seja pela obtenção de dados e de nformação adconas, seja pela especfcação de novos modelos teórcos (ou físcos) mas conformes com a realdade. Em ambos os casos, os concetos e métodos da teora de probabldades e da estatístca consttuem conhecmentos ndspensáves para ldar com as ncertezas e para as nterpretar (Ang e Tang, 007). As consequêncas que as ncertezas acarretam no projecto e no planeamento de estruturas e sstemas de engenhara, em geral, e de engenhara de recursos hídrcos, com partcular ênfase, são muto mportantes. De facto, num contexto de ncerteza, o projecto e o planeamento de estruturas e sstemas de aprovetamento e de controlo de recursos hídrcos envolvem rscos, os quas envolvem probabldades de ocorrênca de certos acontecmentos crítcos e das suas respectvas consequêncas, e, fnalmente, a formulação de processos de tomada de decsões. De modo deal, a tomada de uma decsão, por exemplo, quanto às dmensões do descarregador de superfíce de uma barragem, devera levar em consderação: () a probabldade de que, ao longo da vda útl do empreendmento, o caudal máxmo para o qual fo projectado seja ultrapassado pelas caudas de chea que efectvamente se constate ser necessáro descarregar; () as possíves consequêncas da eventual subestmação do caudal de projecto; e () a formulação de planos de tomada de decsões assentes em soluções de compromsso entre avalações quanttatvas dos rscos, custos e benefícos das dversas soluções alternatvas estudadas. Assm, num quadro completo e raconal de tomada de decsões relaconadas com o projecto e o planeamento de nfra-estruturas e de sstemas de recursos hídrcos, é precso levar em consderação as ncertezas assocadas aos fenómenos hdrológcos ntervenentes. A teora de probabldades e a estatístca consttuem um campo de saber e fornecem ferramentas adequadas para nterpretar as característcas de alguns desses fenómenos e para equaconar parte da ncerteza que lhes possa estar assocada. o presente documento sstematzaram-se alguns dos concetos daquela teora mas relevantes e frequentemente ntervenentes em estudos do âmbto da engenhara dos recursos hídrcos, com ênfase para a hdrologa. Pretendendo-se que se trate de um documento ddáctco, foram ncluídos exemplos e exercícos de aplcação de modo a tornar mas explíctos aqueles concetos.

9 . Caracterzação prelmnar das ncertezas presentes nos fenómenos hdrológcos As ocorrêncas de mutos dos fenómenos relevantes no âmbto da engenhara dos recursos hídrcos, nclundo a componente de hdrologa, contêm ncertezas aleatóras, que não podem ser prevstas com absoluta precsão. Em geral, esses fenómenos são caracterzados por uma ou mas varáves mensuráves na natureza (ou em laboratóro), de modo normalzado e sstemátco. Sob as mesmas condções de observação, os dados ou regstos de uma mesma varável podem apresentar valores muto dferencados entre s, alguns com menor frequênca e outros com maor. A varabldade dos dados apresenta um certo padrão, o qual exemplfca apenas uma realzação ou amostra da varação ntrínseca do fenómeno natural a que se referem tas dados. Consdere a amostra de precptações dáras máxmas anuas, Pdma, apresentadas na Tabela, relatva ao posto udométrco de Pava (0I/0G) (localzado na baca hdrográfca do ro Tejo) no período de 94 anos hdrológcos, entre 9/ e 004/05. Recorda-se que tal amostra é consttuída por um valor por ano hdrológco, a máxma precptação em 4 h em cada ano. Como é do conhecmento geral, em Portugal o ano hdrológco decorre entre de Outubro e 30 de Setembro. Tabela Precptações dáras máxmas anuas, Pdma, no posto udométrco de Pava (0I/0G), na baca hdrográfca do ro Tejo, no período de 94 anos hdrológcos, entre 9/ e 004/05. Ano Pdma Ano Pdma Ano Pdma Ano Pdma Ano Pdma hdrológco (mm) hdrológco (mm) hdrológco (mm) hdrológco (mm) hdrológco (mm) 9/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / O padrão de varabldade temporal das precptações dáras máxmas anuas apresentadas na anteror tabela pode ser vsualzado pelo dagrama de sére temporal ou dagrama cronológco da Fgura (a) e, de forma mas elaborada, pelo hstograma da Fgura (b). Para construr o hstograma da Fgura (b) obtveram-se as ocorrêncas ou as frequêncas absolutas com que os sucessvos valores da precptação estão compreenddos entre os lmtes de dferentes ntervalos de classe para o que foram consderadas classes com ampltude de.5 mm. O resultado, em cada classe, do quocente entre a correspondente frequênca absoluta e o número total de valores da amostra ou dmensão da amostra,, a saber no exemplo da Fgura,

10 =94, é a frequênca relatva nesse ntervalo de classe (exo prncpal das ordenadas no dagrama do lado dreto), que, na fgura, fo expressa em percentagem. Para fxar o número de ntervalos de classe do hstograma adoptou-se a regra de Sturges, ou seja, IC = + 3.3log0( ), na qual IC denota o número recomendado daqueles ntervalos e tem o sgnfcado antes explctado. (a) Dagrama da sére temporal ou dagrama cronológco Precptação dára máxma anual, Pdma (mm) Ano cvl de níco do ano hdrológco (b) Hstogramas amostral e teórco de frequêncas relatvas e densdade de probabldade Frequênca relatva (%) Densdade de probabldade (%) Hstograma amostral Hstograma teórco e densdade de probabldade Precptações dáras máxmas anuas (mm) Fgura Varabldade temporal das precptações dáras máxmas anuas (mm) no posto udométrco de Pava (0I/0G), na baca hdrográfca do ro Tejo, no período de 94 anos hdrológcos, entre 9/ e 004/05. Suponha-se agora que, tendo em vsta um problema de análse de cheas, se pretenda estmar o caudal de ponta de chea para a precptação dára máxma anual de 03 mm, superor a qualquer valor da amostra da Tabela. Com base uncamente nessa amostra, poder-se-a conclur que, não tendo ocorrdo no passado um valor dessa ordem de grandeza, sera mprovável que o mesmo se realzasse no futuro, especalmente estando-se em presença de uma amostra consderavelmente longa. Em contrapartda, poder-se-a admtr que, não obstante esta últma constatação, se a amostra tvesse maor dmensão ou se respetasse a outro ntervalo de tempo, eventualmente contera valores guas ou mesmo superores a 03 mm. Para averguar se poderão ou não ocorrer valores para além dos contdos numa dada amostra é necessáro obter, de algum modo, o padrão completo de varabldade da varável a que se refere essa amostra (ou seja, o hstograma de um número nfnto de observações da mesma) através de um função teórca de dstrbução de probabldade ou, de modo equvalente, da correspondente função teórca de densdade de probabldade, para o que é necessáro estabelecer os modelos matemátcos que exprmem essas funções, com estmação, a partr da amostra, dos respectvos parâmetros. Um exemplo de uma dessas funções, no caso em menção, referente à le de Gumbel de dos parâmetros (objecto do tem 4), está ndcado na Fgura (b) pela curva a vermelho que, lda em correspondênca com o exo secundáro das ordenadas (exo de densdade de probabldade), representa a função densdade de probabldade de tal le. A mesma curva lda em correspondênca com o exo prncpal das ordenadas (exo de frequênca relatva) traduz o hstograma teórco, também de acordo com a menconada le. 3

11 Embora o estudo e o ajuste de modelos paramétrcos sejam tratados apenas em tens subsequentes, anota-se, desde já, que a probabldade de ocorrer uma precptação dára máxma anual superor a 03 mm segundo a le de Gumbel com parâmetros estmados a partr da amostra apresentada na Tabela, é de 0.5%, ou seja, embora pequena, não é nula. A anteror probabldade pode ser entendda como sgnfcando que, em méda, nos próxmos 00 anos, poderá ocorrer uma dessas precptações em um ano qualquer. Poder-se-a dar o caso de o crtéro de projecto requerer uma precptação mas excepconal, por exemplo, susceptível de ocorrer em qualquer um dos próxmos 000 anos. Uma precptação de projecto tão elevada assegurara condções de dmensonamento certamente mas robustas. Contudo, convém sublnhar, que, por regra, a decsão de adoptar um crtéro de projecto mas excepconal mplca, por um lado, maores custos de construção e, por outro lado, rsco de falha ou mesmo de colapso menor. A opção por um dado valor de projecto, para além de reflectr eventuas condconalsmos legas (tas como normas ou regulamentos), deve decorrer de uma análse de custos/benefícos e rscos, avalados tendo em conta o horzonte da vda útl esperada para a estrutura hdráulca em cujo dmensonamento ntervém, a par com as consequêncas da falha/colapso dessa estrutura. Um processo complementar para caracterzar de modo sntétco a varabldade de uma sére temporal de uma varável hdrológca, como a apresentada na Tabela, utlza as desgnadas estatístcas amostras ou estatístcas descrtvas que não são mas do que meddas numércas, calculadas a partr da amostra, que descrevem as característcas essencas do hstograma, tas como a abcssa de seu centro geométrco, a dspersão com que os pontos amostras se dstrbuem em torno do valor central e a eventual assmetra entre as caudas nferor e superor do dagrama. A Tabela contém o resumo das prncpas estatístcas amostras, as fórmulas de cálculo dessas estatístcas e, especfcamente para a amostra de precptações dáras máxmas anuas da Tabela, os respectvos valores numércos. Explctam-se, anda, os sgnfcados das estatístcas enquanto descrtores da forma do hstograma. As prncpas meddas de tendênca central são a méda, a moda e a medana. A prmera corresponde à abcssa do centro geométrco do hstograma, enquanto a moda é o valor mas frequente da amostra e é dada pela abcssa da maor ordenada do polígono de frequêncas. Este polígono é formado pela junção dos pontos médos dos topos dos rectângulos que consttuem o hstograma, para o que é necessáro consderar duas classes adconas, uma em cada extremdade, ambas com ordenadas nulas. Por sua vez, a medana de uma amostra classfcada por ordem crescente {x (), x (),, x () } tal que x () é nferor ou gual a x (+) corresponde ao elemento de ordem (+)/, se é ímpar, ou à méda artmétca entre os elementos de ordens (/) e [(/)+], se é par. Uma das prncpas meddas de dspersão é a varânca, a qual é dada pela méda dos quadrados das dferenças entre os elementos amostras e a respectva méda, multplcada pelo factor /(-) para corrgr o chamado vés. A raz quadrada da varânca é o desvo-padrão, sendo que o quocente entre este desvo e a méda recebe a desgnação de coefcente de varação, grandeza admensonal muto útl para comparar as dspersões relatvas de dferentes varáves. Outra grandeza admensonal de grande utldade para a análse estatístca de varáves hdrológcas é o coefcente de assmetra, calculado conforme também ndcado na Tabela. Relatvamente a tal coefcente, anota-se que, no caso de acontecmentos hdrológcos extremos, a soma das dferenças cúbcas entre os elementos da amostra e a respectva méda é 4

12 frequentemente postva, em consequênca de os valores mas elevados estarem muto mas afastados da méda do que os valores que lhe são nferores. Como estão em causa dferenças ao cubo, resulta um coefcente de assmetra postvo. É este o caso do hstograma da Fgura (b) e de tantos outros hstogramas de amostras de varáves hdrológcas, o que torna necessáro o estudo de dstrbuções de probabldade capazes de reproduzr essa assmetra, como, por exemplo a de Gumbel a que se refere a curva de densdade de probabldade representada naquela fgura. Contudo, pode dar-se o caso de uma amostra exbr um coefcente de assmetra, quer nulo, sendo o correspondente hstograma smétrco, quer negatvo, traduzdo, neste caso, por uma cauda nferor do hstograma relatvamente mas prolongada/estendda do que a cauda superor. Tabela Prncpas estatístcas amostras ou descrtvas, respectvas fórmulas de cálculo, sgnfcados e valores tendo por base a amostra de precptações dáras máxmas anuas da Tabela. Desgnação Tpo otação Fórmula cálculo ou conceto Interpretação Méda Moda Medana ou º quartl º quartl 3º quartl Ampltude nterquarts Momento central de ordem r Tendênca central Tendênca central Tendênca central Cauda nferor Cauda superor MO MD ou Q Q Q 3 = = x Elemento da amostra com maor frequênca 50% dos valores ordenados abaxo e 50 % acma Medana dos 50% menores valores Medana dos 50% maores valores Abcssa do centro geométrco do hstograma Abcssa da maor ordenada do polígono de frequêncas Abcssa que dvde ao meo a área do hstograma Abcssa que dvde em 5-75% a área do hstograma Abcssa que dvde em 75-5% a área do hstograma Ampltude entre as Dspersão AIQ AIQ = Q 3 Q abscssas Q 3 e Q Varânca Dspersão Desvo- -padrão - ' ' r m r m r = ( x ) = ' S S = m Dspersão S S = S Potênca r da méda dos desvos em relação à méda Méda dos desvos quadrátcos, em relação à méda Raz quadrada do desvo quadrátco médo Valor para a amostra da Tabela 39.5 mm 40. mm 36.4 mm 34. mm 38.4 mm 4. mm mm 7. mm Coefcente de varação Dspersão CV S Desvo-padrão expresso CV = em fracção da méda Coefcente de assmetra Assmetra g g = ' 3 m ( )( )( S ) 3 Coefcente admensonal.49 Coefcente de curtose Curtose k k ' ( + ) m4 = 4 ( ) ( ) ( 3) ( S ) 3 ( + ) ( ) ( 3) Coefcente admensonal (achatamento).699 5

13 Em complemento dos elementos precedentes referentes à análse prelmnar de dados hdrológcos, recomenda-se a consulta do capítulo do lvro de aghettn e Pnto (007), sendo que tal lvro se encontra dsponível na sua versão completa, medante acesso à segunte URL: A prátca profssonal assocada à engenhara dos recursos hídrcos exge a formulação de modelos matemátcos com o objectvo de representar/caracterzar os processos físcos e, assm, possbltar a tomada de decsões, por exemplo, quanto ao planeamento e ao projecto dos sstemas para aprovetamento e/ou controlo das dsponbldades hídrcas de superfíce. o essencal, tas modelos podem ser determnístcos e não determnístcos, sendo que, naquele prmero tpo se ncluem os modelos empírcos e os fscamente baseados, e, no segundo tpo, os modelos probablístcos e os estocástcos, Quntela e Portela (00). Uma vez que os modelos são representações mperfetas e aproxmadas da realdade, as estmatvas e as prevsões a que conduzem estão necessaramente sujetas a mprecsões e, portanto, contêm ncertezas. Como antes menconado, essas ncertezas decorrem da nsufcente montorzação e/ou conhecmento assocado ao processo físco em causa e, sempre que possível, devem se consderadas em smultâneo com as ncertezas aleatóras, ntrínsecas do processo, para assegurar uma completa caracterzação das ncertezas e das suas mplcações nos actos de tomada de decsões de engenhara (Ang e Tang, 007). Algumas dessas ncertezas podem ser reduzdas pela aqusção de dados adconas e/ou pela formulação de modelos alternatvos, expectavelmente mas aptos a representar o fenómeno em estudo. Ao pretender-se caracterzar as precptações dáras máxmas anuas no posto de Pava (0I/0G) a que se refere a Tabela medante adopção da le de probabldades de Gumbel, conforme antes consderado, ntroduz-se, necessaramente uma smplfcação na nterpretação do processo natural que produz tas precptações que, porventura, poderam ser melhor descrtas por uma outra função de dstrbução de probabldade ou mesmo por uma combnação de váras dessas funções. Mesmo que a dstrbução de Gumbel consttuísse a verdadera síntese matemátca do processo físco conducente àquelas precptações, tal dstrbução possu parâmetros, cujas estmatvas são obtdas a partr de uma amostra com dmensão sempre muto lmtada face à nfntude do unverso de onde provém, pelo que aqueles parâmetros necessaramente dferem dos verdaderos, embora desconhecdos, parâmetros do unverso. Em consequênca das anterores ncertezas, ao afrmar-se que à precptação dára máxma anual de 03 mm (ou seja, ao quantl de 03 mm) está assocada a probabldade de excedênca de 0.5%, está smplesmente a falar-se de um valor esperado, ou seja, de um valor médo em torno do qual se pode construr um ntervalo de valores que conterá o verdadero e desconhecdo valor do quantl, com uma certa confança, por exemplo, de 95%. A nclusão destas e de outras ncertezas na prátca da engenhara de recursos hídrcos requer alguns fundamentos da teora de probabldades e estatístca que a segur se descrevem. 6

14 3. Defnções báscas 3.. ota préva Apresentam-se a segur algumas defnções báscas e os prncpas fundamentos que enquadram as aplcações da teora de probabldades e estatístca à hdrologa. 3.. Espaço de resultados ou espaço amostral O espaço de resultados ou espaço amostral é o conjunto de todos os resultados elementares, mutuamente exclusvos e colectvamente exaustvos de uma experênca aleatóra. Em geral, denota-se esse conjunto por Ω dstngundo-se entre espaços numeráves e não numeráves e entre espaços fntos e nfntos. Um acontecmento é um qualquer subconjunto do espaço amostral. Exemplos: () Ω :{número de das chuvosos num ano} { 0,,,..., 365} espaço amostral numerável e fnto; () Ω :{número de das consecutvos sem chuva} { 0,,,... } espaço amostral numerável e nfnto; () Ω 3 :{precptação dára máxma anual no posto udométrco de Pava {P; P R + } espaço amostral não numerável e nfnto Acontecmento aleatóro Um acontecmento aleatóro é uma stuação específca que se pretende que ocorra cada vez que se realza uma experênca aleatóra. Um acontecmento aleatóro pode ser um elemento ou um subconjunto do espaço amostral Ω. Exemplos: () A:{méda da precptação nos das com chuva no posto udométrco de Pava (0I/0G) no ano hdrológco de 96/7}; () B:{número anual de das com chuva no posto udométrco de Pava (0I/0G) durante a década de 980 a 990} Complementar de um acontecmento aleatóro O complementar, E c, de um acontecmento aleatóro, E, é o acontecmento que ocorre quando não ocorre E. O complementar é, portanto, o conjunto formado por todos os elementos pertencentes a Ω e que não pertencem a E. Exemplo: Se a experênca aleatóra consstsse na contagem do número anual de das com chuva no posto udométrco de Pava a que se refere a Tabela e se, para o ano hdrológco de 96/7, resultasse no evento de 8 das com chuva, ter-se-a E c :{0,,,..., 80, 8, 83, 84,..., 365}. 7

15 3.5. Combnação de acontecmentos aleatóros. Unão e ntersecção Unão A unão de dos acontecmentos A e B, representada por A B, é o conjunto formado pelos elementos pertencentes a A ou a B ou a ambos. Por exemplo, se A se refere aos anos em que, em dada estação hdrométrca, ocorreram caudas nstantâneos superores a 80 m 3 /s e B aos anos em que a máxma precptação dára num posto udométrco stuado na baca hdrográfca daquela estação hdrométrca fo superor a 40 mm, então A B representa os elementos de A ou B ou de ambos. Intersecção A ntersecção de dos acontecmentos A e B, representada por A B, é o conjunto formado pelos elementos que smultaneamente pertencem a A e a B. o exemplo anteror, a ntersecção de A com B desgna os anos em que smultaneamente ocorreram caudas nstantâneos superores a 80 m 3 /s e máxmas precptações dáras superores a 40 mm. Se a ntersecção de A com B é um conjunto vazo, ou seja, se A B=, então os acontecmentos não ocorrem smultaneamente, recebendo a desgnação de acontecmentos mutuamente exclusvos, ncompatíves ou dsjuntos. Qualquer acontecmento e o seu complementar, A e A c, consttuem exemplos de acontecmentos dsjuntos Probabldade Uma vez defndos o espaço amostral e os acontecmentos aleatóros, pode assocar-se uma probabldade a cada um desses acontecmentos, podendo entender-se por tal uma medda relatva da sua possbldade de ocorrer, compreendda entre os valores extremos de 0 (mpossbldade de ocorrênca ou acontecmento mpossível) e de (certeza de ocorrênca ou acontecmento certo). Segundo a defnção mas usual, a probabldade de um acontecmento A de um espaço amostral Ω, P(A), é um número não negatvo que deve satsfazer os seguntes axomas: (a) 0 P(A) ; (b) P(Ω)=; e (c) para qualquer sequênca de acontecmentos mutuamente exclusvos E, E,... E, a probabldade da unão desses acontecmentos é gual à soma das respectvas probabldades ndvduas, ou seja, Ρ( U E ) = Ρ( ). = E = Dos anterores axomas, decorrem os seguntes coroláros: P(A c )=-P(A) P(Ø)=0 Se A e B são dos acontecmentos do espaço amostral Ω e A B, então P(A) P(B). Desgualdade de Boole (ou lmte da unão): se A, A,..., A k são acontecmentos defndos num espaço amostral, então, Ρ( U A ) Ρ( ). = A = 8

16 Regra da adção de probabldades: se A e B são dos acontecmentos do espaço amostral Ω, então, Ρ ( A B) = Ρ( A) + Ρ( B) Ρ( A B) Dependênca e ndependênca estatístcas Um acontecmento A depende estatstcamente de B se o facto de B ocorrer altera a probabldade de A ocorrer. este caso, a probabldade de que o acontecmento A ocorra, dado que o acontecmento B ocorreu, é referda como probabldade condconal de A dado B e P(A B) = P A B P B. Ao denotada por P(A B). Em termos formas, é calculada por ( ) ( ) contráro, se a probabldade de ocorrênca do acontecmento A não é afectada pela ocorrênca P (A B) = P A, então A é dto estatstcamente ndependente de B sendo a de B, ou seja, se ( ) probabldade da ocorrênca smultânea dos acontecmentos A e B dada por P(A B)=P(A).P(B). Exercíco Consdera-se que dos acontecmentos naturas podem produzr a ruptura de uma dada barragem stuada numa regão pouco montorzada do ponto de vsta hdrológco e sujeta a tremores de terra: a ocorrênca de um caudal de ponta de chea superor ao caudal de projecto do descarregador de superfíce (acontecmento A) e o colapso estrutural devdo a um tremor de terra (acontecmento B). Admtndo que as probabldades anuas dos anterores acontecmentos são, respectvamente, P(A)=0.0 e que P(B)=0.0, estme a probabldade da barragem romper num ano qualquer. Solução: A ruptura da barragem pode ser devda a uma chea, a um tremor de terra ou à acção conjunta dos dos acontecmentos; tratando-se, portanto, de um acontecmento composto pela unão dos acontecmentos A e B, a respectva probabldade é dada por Ρ ( A B) = Ρ(A) + Ρ(B) Ρ(A B), sendo que não se conhece Ρ ( A B). o ( ) ) pressuposto de que, mesmo que exsta alguma dependênca estatístca entre A e B, Ρ ( A B) deverá apresentar um valor muto baxo e atendendo à desgualdade de Boole, resulta, de modo conservador, que Ρ A B Ρ(A) + Ρ(B = =0.03. Admtndo-se que os acontecmentos A e B são ndependentes, obter-sea ( A B) = Ρ(A) + Ρ(B) P(A) P(B) = Ρ Varáves aleatóras dscretas e contínuas Seja E uma experênca aleatóra e Ω o respectvo espaço amostral. Por varável aleatóra entende-se uma função que assoca a cada elemento s Ω um número x(s). Para melhor explctar o sgnfcado de, consdere-se a experênca E: {lançamento smultâneo de duas moedas dstnguíves entre s} cujo espaço amostral é Ω:{ff, cc, fc, cf}, onde f smbolza face ou cara, e c coroa. Se a varável for defnda como o número de faces / caras decorrentes da menconada experênca, os seus valores possíves são os ndcados na Tabela 3. Tabela 3 úmero de faces resultantes do lançamento smultâneo de duas moedas. Acontecmento Valores da varável aleatóra Probabldade de ocorrênca A:{ff} x= 0.5 B:{cc} x=0 0.5 C:{fc} x= 0.5 D:{cf} x= 0.5 9

17 Em condções normas de realzação da experênca, os acontecmentos A, B, C e D são consderados equprováves, ou seja, P(A)=P(B)=P(C)=P(D)=0.5. As probabldades de que a varável aleatóra assuma cada um dos seus possíves valores são: P(=)=P(A)=0.5, P(=0)=P(B)=0.5 e P(=)=P(C D)=P(C)+P(D)=0.50; observe-se que os acontecmentos C e D são dsjuntos e, em consequênca, P ( C D) = 0. este exemplo, a varável aleatóra apenas pode assumr valores postvos e nteros, em conformdade com as possíves realzações da experênca E, no espaço amostral Ω. Em geral, a notação usada para expressar a probabldade de uma varável aleatóra assumr um dado valor x é P( = x) = p ( x) ou smplesmente P( x) = p( x) =. Varável aleatóra dscreta Uma varável aleatóra dscreta pode assumr somente valores nteros, correspondendo a espaços amostras fntos ou nfntos, porém susceptíves de serem enumerados, ou seja, espaços amostras numeráves. o caso da experênca E:{lançamento smultâneo de duas moedas dstnguíves entre s} a que se refere a Tabela 3, sendo o número de caras obtdas num lançamento, é uma varável aleatóra dscreta. Varável aleatóra contínua Uma varável aleatóra contínua pode assumr qualquer valor real num dado ntervalo, correspondendo a espaços amostras fntos ou nfntos, porém não numeráves. Exemplfcandose, consdere a experênca A:{medção da precptação dára num dado posto udométrco}. A varável aleatóra representatva da precptação dára máxma anual nesse posto é uma varável aleatóra contínua pos, teorcamente, pode assumr qualquer valor real entre 0 e, embora com dferentes probabldades. 0

18 4. Funções de dstrbução de probabldade As funções de dstrbução de probabldade são funções que descrevem o comportamento de uma varável aleatóra, dscreta ou contínua. Assm, para caracterzar as probabldades assocadas aos possíves valores de varáves aleatóras,, do tpo dscreto, P( = x) = p ( x), utlzam-se as desgnadas funções de probabldade ou funções massa de probabldade, fmp. Qualquer fmp tem de satsfazer as seguntes condções: () (x) p 0, x ;e p. () ( x) =, x A soma das ordenadas de uma fmp relatvas aos sucessvos valores de x, conduz à desgnada função acumulada de probabldades, FAP ou seja, F (x) = Ρ x = p x = p x,. A Fgura lustra as duas anterores funções ( ) ( ) ( ) x x tendo por base o exemplo da Tabela 3. x x (x) p.0 F (x) = p (x) x 0 x Fgura Funções massa e acumulada de probabldades da varável aleatóra dscreta do exemplo da Tabela 3. Se a varável aleatóra puder assumr qualquer valor real, ou seja, se for do tpo contínuo, a função equvalente à fmp é denomnada por função densdade de probabldade, fdp. Esta função não negatva, em geral denotada por f (x) ou smplesmente por f(x), está exemplfcada na Fgura 3, representando o caso lmte de um polígono de frequêncas para uma amostra de tamanho nfnto e, portanto, com as ampltudes dos ntervalos de classe a tender para zero. É mportante notar que, contraramente à função fmp relatva ao caso dscreto, a fdp num dado ponto x 0, f(x 0) não fornece a probabldade de para o argumento x 0 e, sm, a ntensdade com que a probabldade de ocorrerem valores menores ou guas do que x 0 se altera na vznhança desse argumento.

19 f (x) F (x) x a b b Ρ( a < x b) = f ( x) dx = F ( b) F ( a) a a b Fgura 3 Funções densdade e acumulada de probabldades de uma varável contínua. A área entre dos lmtes a e b, defndos no exo das abcssas representatvo dos possíves valores da varável aleatóra contínua,, fornece a probabldade de a varável estar compreendda entre esses lmtes, como lustrado na Fgura 3. Portanto, para uma fdp f (x), é válda a equação: b ( a < < b) = Ρ( a b) = f (x) dx = F (b) F (a) = F(b) F(a) Ρ...() a Consequentemente, ao fazer-se convergr o lmte nferor da anteror ntegração, a, para o correspondente lmte superor, b, a representação da área do gráfco entre aqueles lmtes tende, por assm dzer, para uma recta no plano real com área, por prncípo, nula. Conclu-se, portanto, que, para uma varável aleatóra contínua, P(=x)=0. Em correspondênca com o caso dscreto, a função acumulada de probabldade, também smplesmente desgnada por função dstrbução de probabldade, FDP, de uma varável aleatóra contínua, representada por F (x) ou smplesmente por F(x), fornece a probabldade assocada a valores nferores ou guas ao argumento x, ou seja, a probabldade de não-excedênca de x, Ρ ( x). Inversamente, a fdp correspondente pode ser obtda pela dferencação de F (x), em relação a x. Tal como no caso dscreto, a FDP de uma varável aleatóra contínua é uma função não decrescente, sendo váldas as expressões F (- )=0 e F (+ )=.

20 Exercíco Consdere que a Fgura 4 representa a função densdade de probabldade da varável aleatóra contínua caudal médo dáro máxmo anual (m 3 /s), numa dada estação hdrométrca. Determne: (a) P(<00 m 3 /s); (b) P(>300 m 3 /s). f (x ) y x Fgura 4 Função densdade de probabldade da varável aleatóra contínua. z Solução: (a) Se f (x) é uma função densdade de probabldades, a área do trângulo deve ser gual a. Assm, (400y)/=, o que resulta em y=/00. Logo, P( 00 m 3 /s), correspondente à área do trângulo até a abcssa 00, é (00y)/=0.5. (b) P(>300), ou [- P( 300)], corresponde à área do trângulo à dreta da abcssa 300. A ordenada z pode ser calculada por semelhança de trângulos, ou seja, (y/z)=300/00, o que resulta em z=/600. Logo, P(>300)=

21 5. Meddas descrtvas populaconas das varáves aleatóras 5.. ota préva A população de uma varável aleatóra corresponde ao unverso ou espaço amostral dos todos os seus possíves resultados, cujas frequêncas de ocorrêncas podem ser sntetzadas por uma fmp p (x) ou por uma fdp, f (x), consoante é uma varável aleatóra dscreta ou contínua, respectvamente. Em ambos os casos e de modo equvalente às estatístcas descrtvas de uma amostra extraída daquela população, objecto do tem, as característcas de forma das funções p (x) ou f (x) podem ser sntetzadas por meo de meddas descrtvas populaconas. Tas meddas são obtdas através de médas, ponderadas por p ( x ) ou f (x), de funções da varável aleatóra e ncluem o valor esperado, a varânca e o coefcente de assmetra, entre outras. 5.. Valor esperado O valor esperado ou a esperança matemátca de é o resultado da soma de todos os valores possíves da varável aleatóra, ponderados por p (x) ou por f (x). O valor esperado, denotado por E[], equvale à méda populaconal, µ, ndcando, portanto, a abcssa do centro de massa ou centróde das funções p (x) ou f (x), pelo que tem as mesmas undades de. A defnção formal de E[] é dada por: E [ ] µ = x p( x ) x =...() para o caso dscreto; e por E [ ] µ = x f ( x) + para o caso contínuo. = dx...(3) O valor esperado pode ser entenddo como um operador matemátco e ser generalzado para qualquer função g() da varável aleatóra, conforme expresso pelas equações (4) e (5) para dscreta ou contínua, respectvamente. E g( ) = g x p x x...(4) [ ] ( ) ( ) [ g( ) ] g( x) f ( x) + E = dx...(5) As prncpas propredades do operador valor esperado E(.) são: E[c]=c, para c constante. E[cg()]=cE[g()], para c constante e g() com o sgnfcado antes apresentado. E[c g () ± c g ()]=c E[g ()] ± c E[g ()], para c e c constantes e g () e g () funções de. E[g ()] E[g ()], se g () g (). 4

22 Exercíco 3 Calcule o valor esperado para a função massa de probabldades especfcada pela Fgura. Solução: A aplcação da equação () resulta em E[]=µ = = que, de facto, é o centróde da função massa de probabldades. Exercíco 4 Consdere uma varável aleatóra contínua, cuja função densdade de probabldade é dada por f (x) = θ exp( x θ), para x 0 e θ 0, tratando-se, portanto, da dstrbução de probabldade exponencal, que, de facto, é uma famíla de curvas, a depender do valor numérco do parâmetro θ. essas condções: (a) calcule o valor esperado de ; (b) supondo que o valor numérco de θ é gual a, calcule a probabldade assocada a valores da varável aleatóra superores a 3, ou seja, P ( > 3) ; e (c) supondo que θ=, calcule a medana da varável aleatóra exponencal. Solução: (a) Para a dstrbução em questão, E [ ] = µ = x f ( x) dx = ( x θ) exp( x θ) ser resolvda por partes, ou seja, = ( θ) exp( x θ) dx v = exp( x θ) 0 0 dx. Esta ntegração pode dv e u = x du = dx. Resulta, assm, udv = uv ] 0 vdu = x exp( x θ) ] θ exp( x θ) ] = θ. Portanto, para a forma paramétrca exponencal, o valor esperado, ou seja, a méda da população µ é gual ao parâmetro θ; por outras palavras, a abcssa do centróde da função densdade de probabldade, fdp, exponencal é θ. (b) A probabldade pedda é calculada por P 3 = P 3 = F 3 F x é a função dstrbução de probabldade, FDP, dada por ( > ) ( ) ( ) em que ( ) F ( x) ( θ) exp( x θ) dx e cuja solução é ( x) = exp( x θ) = x 0 P ( 3) = + exp( 3 ) = 0. 3 P( x) = P( x) = F ( x) = Invertendo-se a função F ( x), obtém-se x( F) θln( F) exercíco, a medana é x ( 0.50) = ln( 0.50) =. 39. F. Para os dados do exercíco, >. (c) A medana é o valor de x que corresponde a =. Para os dados do 5.3. Varânca, desvo-padrão e coefcente de varação da população A varânca da população de uma varável aleatóra, representada por Var[] ou por σ, é defnda como sendo o momento central de segunda ordem, ou µ, e corresponde à medda populaconal mas frequentemente utlzada para caracterzar a dspersão das funções massa, p (x), ou densdade, f (x) de probabldade. Obtém-se, assm: Var [ ] σ = µ = E ( µ ) [ ] = E[ ( E[ ] ) ] =...(6) Expandndo o quadrado contdo na anteror equação e usando as propredades do operador esperança matemátca, resulta: Var [ ] σ = µ = E[ ] E[ ] ( ) =...(7) Logo, a varânca populaconal de uma varável aleatóra é gual ao valor esperado do quadrado dessa varável menos o quadrado do valor esperado de, ou seja, o quadrado da méda de. A varânca de tem as mesmas undades de e as seguntes propredades: Var[c]=0, para c constante. Var[c]=c Var[]. Var[c+d]=c Var[], para d constante. 5

23 De modo equvalente às estatístcas descrtvas amostras, o desvo-padrão da população σ é a raz quadrada (postva) da varânca, σ, possundo, portanto, as mesmas undades de. Defne-se, gualmente, uma medda relatva admensonal da dspersão de p (x) ou f (x) por meo do coefcente de varação populaconal CV, dado por: CV σ =...(8) µ Exercíco 5 Calcule a varânca, o desvo-padrão e o coefcente de varação para a função massa de probabldade especfcada pela Fgura. Solução: A aplcação da equação (7) requer o cálculo de E[ ] para o qual resulta E [ ] = x p (x = =.5. Atendendo a que, de acordo com o exercíco 3, E[]=µ =, ) obtém-se para a equação (7), Var [] = σ =.5-.0 =0.5. O desvo padrão é, portanto, σ = 0.7 e o coefcente de varação, CV = 0.7/.0= Coefcente de assmetra O coefcente de assmetra γ de uma varável aleatóra é uma grandeza admensonal defnda por 3 3 ( σ ) 3 [( µ ) ] ( σ ) 3 µ E γ = =...(9) O numerador do segundo membro da equação (9) é o momento central de ordem 3, ou seja, é o valor esperado do cubo dos desvos da varável aleatóra em relação à respectva méda µ, podendo ser postvo, negatvo ou nulo. Se tal numerador e, consequentemente, o coefcente de assmetra, forem nulos, a função densdade (ou massa) de probabldade será smétrca. Se os valores de superores à méda µ estverem relatvamente muto mas afastados do que os nferores, os cubos dos desvos postvos rão prevalecer sobre os negatvos e o coefcente γ será postvo, confgurando uma função densdade (ou massa) com assmetra postva. Caso contráro, ter-se-á uma função densdade (ou massa) de probabldade com assmetra negatva. A Fgura 5 lustra três funções densdades de probabldade: uma smétrca, portanto, com o coefcente de assmetra nulo, outra com assmetra postva gual a γ=.4 a e a tercera com a assmetra negatva de γ=-.4. Outras meddas, como os momentos de ordens superores a 3 e o coefcente de curtose, embora consttuam mportantes complementos para a caracterzação da forma das funções densdade (ou massa) de probabldade, encontram aplcações menos frequentes na modelação de varáves aleatóras hdrológcas. Ao letor nteressado em aprofundar os seus conhecmentos sobre estes tópcos, recomenda-se a consulta dos lvros de Rao e Hamed (000) e Hoskng e Walls (997). 6

24 fdp Coef. assmetra nulo Coef. assmetra de.4 Coef. assmetra de x Fgura 5 Exemplos de funções densdade (ou massa) de probabldade smétrcas e assmétrca. 7

25 6. Modelos de dstrbução de probabldades de varáves aleatóras dscretas 6.. ota préva Um modelo de dstrbução de probabldades é uma forma matemátca abstracta capaz de representar, de modo concso, as varações contdas numa amostra de uma varável aleatóra. Um modelo de dstrbução de probabldades também é uma forma paramétrca, ou seja, é um modelo matemátco contendo parâmetros, cujos valores numércos o defnem completamente e o partcularzam para uma dada amostra de uma varável aleatóra. Uma vez estmados os valores numércos desses parâmetros, o modelo de dstrbução de probabldades passa a caracterzar o comportamento plausível da varável aleatóra a que respeta aquela amostra podendo, como tal, ser utlzado para nterpolar ou extrapolar probabldades e/ou quants não contdos na mesma. Os prncpas modelos de varáves aleatóras dscretas que encontram aplcações em hdrologa estão relaconados com repetções ndependentes dos chamados processos de Bernoull. Estes modelos são as dstrbuções geométrca e bnomal que a segur se descrevem de modo sucnto. 6.. Dstrbução geométrca. Período de retorno Por prova de Bernoull entende-se a experênca aleatóra em que somente dos resultados dcotómcos são possíves: sucesso ou falha, sm ou não, 0 ou, postvo ou negatvo são exemplos. Tal conceto serve de base a váras dstrbuções teórcas. Suponha-se que a escala temporal assocada a uma determnada varável aleatóra fo dscretzada em ntervalos com ampltude defnda, por exemplo, em ntervalos anuas. Suponhase também que, em cada ntervalo de tempo, possa ocorrer um únco sucesso, com probabldade p, ou uma únca falha, com probabldade (-p), e que essas probabldades não são afectadas pelas ocorrêncas anterores, nem afectem as ocorrêncas posterores. O processo composto pela anteror sequênca de repetções ndependentes de uma prova de Bernoull consttu uma sucessão de provas de Bernoull. Para melhor lustrar a aplcação dos processos de Bernoull à hdrologa, consdere que o caudal médo dáro correspondente ao extravasamento/transbordamento de uma secção transversal de um curso de água é Q 0, conforme se esquematza na Fgura 6. Consdere, anda, que, em tal secção, o regme fluval se encontra em regme natural (ou seja, não é nfluencado pelo Homem), que se dspõe na mesma de regstos contínuos durante anos de caudas médos dáros - sére completa de caudas médos dáros e que, para analsar as condções de transbordamento da secção, se consttu a sére de caudas médos dáros máxmos anuas max formada em cada ano pelo máxmo caudal médo dáro nesse ano, Q sére reduzda de max Q, com dmensão, representada na Fgura 6. Em qualquer ano, com, o sucesso, max em termos de transbordamento, é dado pelo acontecmento S:{ Q > Q 0 }, sendo a falha' o max acontecmento complementar F:{ Q Q 0 }. Tratando-se de um problema de génese de cheas num trecho fluval em regme natural, é váldo admtr que a probabldade de ocorrênca de um sucesso (ou de uma falha ), em um ano qualquer, não é afectada pelas ocorrêncas em anos anterores e em nada afecta as ocorrêncas em anos posterores. Supondo que a probabldade max anual do acontecmento { S : Q > Q 0 } é gual a p, verfca-se, assm, o preenchmento de todos os requstos para consderar essa sequênca ndependente como um processo de Bernoull. 8

26 max Q τ τ max Q τ k Q 0 sucesso falha Q Índce de ano Fgura 6 Cheas máxmas anuas como lustração de um processo de Bernoull. A varável aleatóra dscreta Y correspondente à dstrbução geométrca refere-se ao número ntero de experêncas (ou ntervalos dscretos de tempo) necessáros para que um únco sucesso ocorra. Portanto, se o valor da varável é Y=y, sto sgnfca que ocorreram (y-) falhas antes da ocorrênca do sucesso, exactamente, na y-ésma tentatva. As funções massa e acumulada da dstrbução geométrca são dadas pelas seguntes equações: p y ( y) = p( y) = p ( p), y =,,3,... e 0 < p Y < y ( y) F(y) = p ( p), y =,,3,...,...(0) FY =...() = nas quas a probabldade anual de ocorrênca de um sucesso, p, representa o únco parâmetro da dstrbução. Demonstra-se que valor esperado de uma varável geométrca, resultado da soma nfnta de termos, decorrente da aplcação da equação (), é E [ Y] =...() p ou seja, quando o número de repetções (ou ntervalos dscretos de tempo) tende para nfnto, o valor médo de uma varável geométrca é o nverso da probabldade de sucesso p. Introduza-se, neste ponto, um conceto de grande mportânca em hdrologa, que é o de período de retorno. Para tanto, consdere-se que, nas condções da Fgura 6, a varável τ desgna o número de anos entre sucessos (transbordamentos) consecutvos. Adoptando-se para orgem da escala de tempos o ano do prmero sucesso, a Fgura 6 ndca que seram necessáros τ =3 max anos para uma nova ocorrênca do acontecmento S:{ Q = 4 > Q 0 }. A partr do segundo sucesso, τ = ano e assm sucessvamente até τ k =5 anos. Se, por hpótese, =50 anos e se nesse período de tempo tvessem ocorrdo 5 sucessos, depreender-se-a que o número de anos que, em méda, 9

27 separara as ocorrêncas de caudas superores a Q 0 sera de τ =0 anos, sgnfcando que o caudal Q 0 é superado com a frequênca anual méda de a cada 0 anos. É fácl verfcar que a varável τ se enquadra ntegralmente na defnção de uma varável aleatóra dscreta geométrca e que, portanto, a ela se podem assocar as característcas populaconas defndas pelas equações (0), () e (). Em partcular, pode defnr-se o período de retorno, denotado por T e expresso em anos, como o valor esperado da varável geométrca τ. Com essa defnção e usando a equação (), resulta: T = E[ τ] =...(3) p O período de retorno, T, não se refere, portanto, a um tempo cronológco. De facto, T é uma medda da tendênca central dos tempos cronológcos. Por outras palavras, o período de retorno, T, assocado a um certo acontecmento de referênca de um processo de Bernoull necessaramente defndo numa base temporal anual, corresponde ao número médo de anos necessáros para que o acontecmento ocorra num ano qualquer desses anos e é gual ao nverso da probabldade de esse acontecmento ocorrer num ano qualquer desses anos, ou seja, é gual ao nverso da probabldade anual de ocorrênca desse acontecmento. Em hdrologa, o conceto de período de retorno é vulgarmente utlzado, por exemplo, no estudo probablístco de acontecmentos máxmos anuas, tas como caudas nstantâneos ou dáros máxmos anuas ou, anda, precptações máxmas anuas com dada duração. Tas varáves aleatóras são contínuas e, portanto, têm o seu comportamento defndo por funções densdade de probabldade genercamente desgnadas por f ( x). Se, para uma dessas varáves, denotada por, se defnr um quantl de referênca x T, de modo que o sucesso seja a ocorrênca de valores superores a x T, então, o período de retorno, T, assocado a esse quantl de referênca á dado pelo número médo de anos necessáro para que o acontecmento {>x T } ocorra uma vez, num qualquer desses anos. De acordo com a equação (3), resulta que o período de retorno corresponde ao nverso de P(>x T ), ou seja, ao nverso de [ F ( x T )]. Exercíco 6 Consdere a stuação descrta no exercíco, na qual a varável se refere ao caudal médo dáro máxmo anual (m 3 /s). Determne: (a) o período de retorno para x=300 m 3 /s; e (b) o caudal médo dáro máxmo anual com o período de retorno T=50 anos. Solução: (a) Estando-se em presença de uma varável defnda numa base anual é váldo aplcar a noção de período de retorno. Atendendo a que tal período é dado pelo nverso da probabldade de excedênca e tendo-se estmado no exercíco que P(>300)=0.083 resulta que o período de retorno assocado a esse caudal é de T=/0.083=.05 anos. (b) Ao período de retorno de T=50 anos corresponderá um caudal x 50 compreenddo entre 300 e 400 m 3 /s já que P(>x 50 )=[- P( x 50 )]=0.0. De entre as possíves vas de resolução do problema, optou-se por atender à equação da recta que passa pelos pontos (00; /00) e (400; 0) dada por f (x)=f(x)=-x/60000+/50. De acordo com o pretenddo, a área do trângulo com base dada pelo segmento de recta defndo pelas abcssas x 50 e 400 e com altura dada por f(x 50 )=-x 50 /60000+/50 é gual a 0.0, ou seja (400-x 50 )(-x 50 /60000+/50)/=0.0. A anteror equação do segundo grau tem duas raízes, uma maor do que 400 m 3 /s e que, portanto, está fora do domíno de defnção de, e a outra de sensvelmente x 50 =35 m 3 /s e que consttu a solução do problema. esse ponto, o valor de f (x) é de aproxmadamente , verfcando-se que se obtém de facto para a área do trângulo (400-35)/=0.0. 0

28 6.3 Dstrbução Bnomal. Rsco hdrológco Anda referente ao processo de Bernoull anterormente descrto, consdere-se que a varável aleatóra dscreta Y representa o número de sucessos, de entre possbldades (ou ntervalos dscretos de tempo). A varável Y pode ter qualquer valor entre 0,,...,. Em resultado da hpótese de ndependênca entre as experêncas de Bernoull, cada ponto do espaço y y amostral com y sucessos e (-y) falhas terá probabldade de ocorrênca gual a p ( p).! y! y! modos Entretanto, os y sucessos e as (-y) falhas podem ser combnados de [ ( ) ] y y dferentes, cada um deles com probabldade gual a p ( p) dada por p ( y) = y!! ( y) p! y y y y ( p) = p ( p), y = 0,,..., e 0 < p y Y <. Portanto, a fmp da varável Y é...(4) que consttu a dstrbução bnomal, com parâmetros e p. A FAP da dstrbução bnomal fornece a probabldade de ser menor ou gual ao argumento x e é dada por y F Y( y) = p ( p), y = 0,,,...,...(5) = 0 O valor esperado e a varânca da dstrbução bnomal são respectvamente guas a p e p(-p). A fmp bnomal é smétrca quando p=0.5 e apresenta assmetra postva, se p<0.5, e negatva, em caso contráro. Exercíco 7 as condções da Fgura 6, suponha-se que a dmensão da séres caudas médos dáros máxmos caudas, Q max, é de =0 anos e que o período de retorno assocado ao caudal Q 0 é de 4 anos. Pergunta-se: (a) qual é a probabldade de que o caudal Q 0 tenha sdo superado exactamente em dos 0 anos? (b) qual é a probabldade de que o caudal Q 0 tenha sdo superado em pelo menos dos 0 anos? Solução: É fácl verfcar que o cenáro lustrado pela Fgura 6 se adequa a um processo de Bernoull e a varável número de sucessos em anos, a uma varável bnomal Y. (a) A probabldade de que o caudal Q 0 tenha sdo superado exactamente vezes em 0 anos pode ser calculada drectamente pela equação 4, sabendo-se que a probabldade anual p (de sucesso ) é o nverso do período de retorno T=4 anos, ou seja, p=0,5. Logo, 8 py ( ) = [ 0! (! 8! )] 0.5 ( 0. 5) = (b) A probabldade de que o caudal Q 0 tenha sdo exceddo pelo menos vezes em 0 anos é gual à probabldade de que o acontecmento tenha ocorrdo, 3, 4,..., 0 vezes, em 0 anos, ou seja, é gual à soma dos resultados da função massa para todos os argumentos compreenddos entre e 0, nclusve. Entretanto, tal cálculo é equvalente ao cálculo do complementar, em relação a ocorrênca, da soma das probabldades de que o acontecmento não tenha ocorrdo ou que tenha ocorrdo apenas vez. Portanto, nesse entendmento, Ρ ( Y ) = Ρ( Y < ) = p ( 0) p ( ) Y Y = Um conceto assocado ao período de retorno refere-se à defnção de rsco hdrológco, tal como aplcado em projectos de estruturas hdráulcas de controlo de cheas ou de desvo provsóro de um curso de água durante as obras de construção de uma barragem. Seja x T o valor da varável hdrológca, por exemplo, caudal de ponta de chea, para o período de retorno T. estas condções, o rsco hdrológco, R, não é mas do que a probabldade de ocorrer um ou mas valores da varável hdrológca guas ou superores a x T num período de anos. Em geral, o quantl de referênca x T corresponde à chea para a qual fo projectada a estrutura hdráulca, enquanto o período de anos corresponde à sua vda útl da obra ou período durante o qual é necessáro assegurar o desvo do curso de água. A dedução da expressão do

29 rsco hdrológco, R, pode recorrer à dstrbução bnomal. Com efeto, a probabldade de que pelo menos um sucesso ocorra num período de anos é equvalente à probabldade do acontecmento complementar, em relação a, de que nenhum sucesso ocorra nesse período. Portanto, usando a notação Y para o número de sucessos em anos, tem-se que 0 0 R = Ρ( Y ) = Ρ( Y = 0) = p ( p)...(6) 0 Se o quantl de referênca x T tem período de retorno T, a probabldade de um sucesso, em um ano qualquer, é gual a T. Substtundo este resultado na equação (6), segue-se que R =...(7) T Um racocíno alternatvo, embora smplfcado, para alcançar a noção de rsco hdrológco utlza fundamentalmente o conceto de período de retorno e a ndependênca temporal dos sucessos ou dos nsucessos. Com efeto, representando x T o valor da varável hdrológca com o período de retorno T, a probabldade de, em qualquer ano, ocorrer x T é, como antes afrmado, gual a /T. Logo, a probabldade de x T não ocorrer em qualquer ano é -/T. Atendendo a que a não ocorrênca de x T num dado ano em nada altera a probabldade de não ocorrer no ano ou nos anos seguntes (pos os acontecmentos são ndependentes) concluu-se que a probabldade de x T não ocorrer em nenhum dos anos do período consderado é de (-/T). Logo, o rsco hdrológco, sendo a probabldade de x T ocorrer uma ou mas vezes durante esses anos, não é mas do que o acontecmento complementar daquele outro acontecmento, correspondendo-lhe, portanto, uma probabldade complementar, do que precsamente resulta a equação 7. Se o rsco hdrológco fo fxado à pror, por exemplo, em função da tpologa, da mportânca e das dmensões da estrutura hdráulca, bem como das consequêncas (nclundo eventual danos materas e perda de vdas humanas) do seu eventual colapso, pode empregar-se a equação 7 para determnar o período de retorno que deve ser adoptado como crtéro de projecto, em face do período de vda útl da obra de anos a que tal crtéro de projecto se aplca. Exercíco 8 A Fgura 7 mostra o esquema do desvo provsóro de um ro durante a construção de uma barragem, compreendendo a execução de duas ensecaderas A e B e de um túnel de desvo provsóro nserdo na margem dreta e ncando-se a montante da ensecadera de montante e fnalzando a jusante da ensecadera de jusante. T A B Fgura 7 Esquema de desvo provsóro de um ro. Deste modo e até dadas condções de projecto, não exstrão caudas crculantes no trecho fluval compreenddo entre ensecaderas. Suponha-se que o período de construção da obra é de 5 anos e que o rsco de nundação do trecho fluval entre ensecaderas fo fxado em 0% (probabldade de a capacdade de vazão do túnel ser excedda e de as ensecaderas serem galgadas uma ou mas vezes durante o período de construção de apenas 0%). Com base nesses elementos, determne o período de retorno do caudal de ponta de projecto a consderar no dmensonamento do túnel e na fxação da cota do topo das ensecaderas.

30 Solução: A nversão da equação 7 fornece para T: T = ( R) Para R=0.0 e =5 a anteror equação conduz a T=47.95 anos. Deste modo, a secção transversal do túnel e a cota do topo das ensecaderas devem ser dmensonadas para o caudal de ponta de chea com período de retorno de aproxmadamente 50 anos. 3

31 7. Modelos de dstrbução de probabldades de varáves aleatóras contínuas De modo análogo às varáves aleatóras dscretas, exste um grande conjunto de modelos probablístcos para as varáves aleatóras contínuas, com funções densdade de probabldade, fdp, e dstrbução de probabldade, FDP, defndas por parâmetros. A partr desse conjunto, elaboraram-se as Tabelas 4 e 5 contendo uma lsta não exaustva dos modelos com maor aplcação às varáves hdrológcas, bem como a especfcação dos respectvos parâmetros e característcas prncpas. De acordo com as característcas ntrínsecas mas vulgarmente patentes nas amostras de certas varáves hdrológcas, especfcam-se, segudamente, alguns dos modelos probablístcos que prevsvelmente melhor se adequam a essas varáves. Assm, () as dstrbuções ormal e log-ormal ou de Galton são frequentemente aplcáves a valores anuas da precptação e do escoamento; () as dstrbuções log-ormal, de Gumbel para máxmos ou Gumbel Max (por regra, referencada apenas por dstrbução de Gumbel), Pearson III, log-pearson III e Generalzada de Valores Extremos (GEV), a valores extremos máxmos, tas como, precptações máxmas anuas com dada duração ou caudas nstantâneos máxmos anuas; e () os modelos de Gumbel para mínmos ou Gumbel Mn e de Webull, a valores mínmos, por exemplo, de estagem, tas como caudas médos dáros ou, anda, em períodos de 7 das, uns e outros, mínmos anuas. A prevsível adequação de alguns modelos a dadas varáves hdrológcas decorre, quer de consderações teórcas, quer de certas característcas de forma das dstrbuções de probabldades, com ênfase, para as referentes à assmetra. Anota-se que a dstrbução log-ormal aplca o formalsmo da dstrbução ormal à transformada logarítmca da varável aleatóra objecto desta últma dstrbução, passando-se outro tanto entre as dstrbuções log-pearson III e Pearson III. A adequação da dstrbução ormal à descrção de algumas varáves hdrológcas resulta do chamado teorema do lmte central, segundo o qual a soma (ou a méda) de um grande número de varáves aleatóras ndependentes tende a ser normalmente dstrbuída. Racocíno análogo pode ser elaborado para a dstrbução log-ormal, no que respeta ao produto de um grande número de varáves ndependentes. o caso de valores máxmos ou mínmos, a teora de valores extremos fornece as bases teórcas para a utlzação dos modelos que dela dervam, nomeadamente, as dstrbuções Gumbel Max e GEV, para máxmos, e as de Gumbel Mn e Webull, para mínmos. Apesar de a aplcação dessas consderações teórcas às varáves hdrológcas não ser senta de controvérsa ver, por exemplo, Benjamn e Cornell (970) ou aghettn e Pnto (007), por regra, os modelos das Tabelas 4 e 5 e as ndcações de algumas das suas potencas aplcações são adequadas. Para lustrar o cálculo de probabldades com dstrbuções de varáves aleatóras contínuas, consdere-se o caso da dstrbução ormal a qual descreve o comportamento de uma varável aleatóra contínua que se dspõe smetrcamente em torno de um valor central (a méda), com funções densdade, fdp, e dstrbução, FDP, de probabldades defndas pelos parâmetros de posção (méda), µ, e de escala (desvo-padrão), σ, de acordo com as equações da Tabela 4. 4

32 Dstrbução Tabela 4 Prncpas modelos de dstrbução de probabldades de varáves aleatóras contínuas hdrológcas e hdrometeorológcas. Aplcação Varável Domíno ormal M/T (, + ) log-ormal ou de Galton Gumbel Max (ou apenas Gumbel) M/T Max Y = ln() Pearson III Max log-pearson III [ 0, + ) Função densdade de probabldade, fdp [f x (x) ou f Y (y)] f f Y (x) = σ (y) x µ exp π σ y µ exp π Y σ 5 Função dstrbução de probabldade, FDP [F x (x) ou F Y (y)] x f ( x) dx ou Φ( z) µ com Z = σ Parâmetro Posção Escala Forma σ (>0) µ y Y σ Y = f ( ) σ Y y dy µ Y Y x β x β x β Max (, + ) f (x) = exp exp exp exp β α α α α Max Y = ln() GEV Max x δ α 0: [δ, ) f α<0: (-,δ] (x) = exp ( x) α Γ( β) α α α Y 0: [exp( δ ), ) Y α Y <0: (-,exp( Y κ<0: x > ( β + α) κ κ<0: x < ( β + α) κ κ=0: GEV Gumbel f Y y δ Y (y) = α Γ β α β βy x δ δ )] ( ) Y Y Y f x β (x) = κ α α y δ exp α Y x β exp κ α κ κ x β x β Gumbel Mn Mn (, + ) f (x) = exp exp α α α Webull Mn [ 0, + ) Observações: x δ δy (>0) α (>0) f dx δ α β (>0) y β f Y ( y) dy Y δ Y α Y x β exp κ α κ x β exp exp α α α α α x x x β f (x) = exp exp β β β β (>0) ) Dstrbuções adequadas a amostras de valores: M/T, médos ou de totas anuas; Max e Mn: extremos, nclundo, respectvamente, máxmos anuas e mínmos anuas. ) Γ(β)=função Gama completa para o argumento β ou ( ) β 3) A dstrbução GEV, para κ=0, torna-se na dstrbução de Gumbel Max ou smplesmente de Gumbel. Γ β = 0 x exp( x)dx (ver resolução do Exercíco 0 e o Anexo 4 de aghettn e Pnto, 007). β β α (>0) α (>0) (>0) κ α (>0)

33 Dstrbução Tabela 5 Prncpas característcas das dstrbuções de probabldades de varáves aleatóras contínuas hdrológcas e hdrometeorológcas. Varável Parâmetro Posção Escala Forma σ ormal µ (>0) log-ormal ou de Galton Gumbel Max (ou apenas Gumbel) Pearson III log-pearson III GEV (ver obs. ) Gumbel Mn (ver obs. ) Webull (ver obs. ) Y = ln() µ Y β σ Y (>0) α (>0) δ α Y = ln() Méda E[] ou, havendo varável transformada Y, médas E[] e E[Y] Varânca Var[] ou, havendo varável transformada Y, varâncas Var[] e Var [Y] 6 Coefcente de assmetra γ ou, havendo varável transformada Y, coefcentes de assmetra γ e γ Y µ σ σ Y µ = exp µ Y + µ Y β α β (>0) δ Y α Y β Y (>0) β β α (>0) α (>0) β (>0) exp ( δ ) Y αβ + δ α α Y βy + δ Y Y βy σ = µ [ exp ( σy ) ] σ Y π 6 α α β βy β δ e Y α Y α Y (ver Grffs e Stednger, 007) α Y βy Y γ = 3CV + σ CV = = µ ( CV ) γ Y = 0 3 com exp( σy ) Função de quants x(f) ou havendo varável transformada Y, funções de quants x(f) e y(f) µ + z( F) σ com z F = Φ F exp ( ) ( ) [ µ + z( F) σ ] Y ( F) Y µ Y + z σ Y com z( F) = Φ ( F) +,396 β αln [ ln ( F) ] ão há forma analítca smples para a função β (ver Rao e Hamed, 000) 3 [ ] 3 E[ ] E[ ] E[ ] E + { Var [ ] } 3 { } (ver Grffs e Stednger, 007) Γ( + 3κ) + 3Γ( + κ) Γ( + κ) α κ β + [ Γ( + κ) ] α [ Γ( + κ) Γ ( + κ) ] 3 Γ ( + κ)] / Γ( + κ) Γ ( + κ) β α α (>0) Observação: ) Γ(β)=função Gama completa para o argumento β ou ( ) β Γ β = κ κ α π β Γ + β Γ + Γ + α α α 0 6 β Y [ 3 [ ] multplcar o resultado por - se κ for negatvo. 3 ão há forma analítca smples para a função (ver Rao e Hamed, 000) β + α κ k { [ ln ( F) ] } β + αln [ ln ( F) ] 3 3 Γ + 3Γ + Γ + + Γ + α α α α Γ + Γ + α α 3 β [ ln ( F) ] x exp( x)dx (ver resolução do Exercíco 0 e o Anexo 4 de aghettn e Pnto, 007). / α

34 A FDP de uma varável normal requer uma ntegração sem solução analítca sendo que a correspondente solução numérca depende, por sua vez, dos valores numércos dos parâmetros µ e σ. O cálculo de probabldades de varáves aleatóras normas é facltado pela utlzação da varável normal reduzda Z. Com efeto, se é uma varável ormal e Z é uma combnação lnear de, da forma Z = ( µ ) σ, então a varável Z, também é dstrbuída segundo uma le ormal com parâmetros µ Z =0 e σ Z =. A dstrbução de Z é geralmente referda como dstrbução ormal padrão ~(0,) e a varável Z, por normal reduzda. A ntegração numérca da função densdade de probabldade da dstrbução ~(0,), para dstntos argumentos z, Φ(z), encontra-se tabelada Tabela 6. Dada a smetra da fdp da le ormal e, obvamente, da le ormal padrão, a um argumento negatvo, -z, smétrco de um outro tabelado, z, corresponde uma probabldade de não-excedênca, Φ(-z) complementar da tabelada para aquele outro valor, ou seja, Φ(-z)=-Φ(z). A função Φ(z) consta também das funções mplementadas no software Mcrosoft Excel (DIST.ORMP e ORMSDIST nas versões, respectvamente, em Português e em Inglês). O exercíco 9 exemplfca o cálculo de probabldades para a dstrbução ormal. Exercíco 9 Consdere que a varável escoamento anual (m 3 /s) num dado curso de água em regme natural é normalmente dstrbuída com méda de 00 m 3 /s e desvo-padrão de 50 m 3 /s. Calcule (a) a probabldade de ocorrerem caudas nferores ou guas a 50 m 3 /s, ou seja, P(Q 50)=F(50); e (b) o escoamento anual com o período de retorno T=50 anos. Solução: (a) Por meo da transformação ( µ ) σ Z =, verfca-se que a probabldade pedda é dada por P(Q 50)=F(50)=P(z (50-00)/50)=P(z -)= Φ ( ). A Tabela 6, referente à dstrbução ormal padrão, fornece Φ( z) apenas para valores postvos de z, sendo necessáro recorrer à propredade da smetra da dstrbução ormal, ou seja, Φ ( ) =- Φ ( +) =-0.843= (b) De acordo com a defnção de período de retorno aplcada a uma varável aleatóra defnda numa base anual, resulta que T=/(-F) em que F desgna a probabldade de nãoexcedênca. Para T=50 anos, obtém-se F(q)=P(Q q)=0.98. De acordo com a Tabela 6 para Φ ( z) =0.98 obtém-se, por nterpolação lnear, z=.054. Logo, o caudal q com T=50 anos corresponde ao quantl q= m 3 /s. Conforme antes menconado, as amostras de algumas varáves hdrológcas, tas como de precptações ou de caudas máxmos anuas apresentam, em geral, coefcentes de assmetra postvos e hstogramas assmétrcos à dreta (ver Fgura 5), em consequênca de os processos naturas subjacentes aos acontecmentos hdrometeorológcos e hdrológcos raros e extremos serem normalmente caracterzados por desvos, em relação à méda, dos valores extremos superores a essa méda, consderavelmente maores do que os desvos dos valores extremos nferores à méda. Para o caso de valores máxmos anuas, as Tabelas 4 e 5 dentfcam as dstrbuções mas frequentemente empregadas, a saber, os modelos log-ormal ou de Galton e de Gumbel Max (ou smplesmente de Gumbel), descrtos por dos parâmetros, e os modelos Pearson III, log-pearson III e GEV, com três parâmetros. Deste grupo, com excepção da dstrbução Gumbel Max, cujo coefcente de assmetra, γ, é fxo e gual a +.396, as dstrbuções restantes possuem coefcentes de assmetra varáves, facto que as torna mas flexíves no que concerne à forma (ver Tabela 5). 7

35 Tabela 6 Função dstrbução de probabldade, FDP, da dstrbução ormal padrão, z ( z) = π exp( z )dz Φ. z Julga-se pertnente ntroduzr aqu uma mportante ressalva relatva aos modelos Pearson III, Log-Pearson III e GEV. Com efeto, tas modelos podem apresentar coefcentes de assmetra negatvos (dependendo dos valores numércos de seus parâmetros), conducentes a funções de dstrbução de probabldade que, de algum modo, defnem lmtes superores para os valores máxmos da varável em estudo a que correspondem probabldades de excedênca, para 8

36 todos os efetos, guas a zero. estes casos partculares, atendendo à ncerteza nerente à estmação de parâmetros populaconas a partr das amostras, em geral pequenas, de varáves hdrológcas, é prudente não recomendar o emprego de dstrbuções lmtadas superormente. O exercíco 0 lustra o cálculo de probabldades para a le Generalzada de Valores Extremos (GEV). Exercíco 0 Seja a varável aleatóra caudal médo dáro máxmo anual. Suponha-se que, numa dada secção da rede hdrográfca, E[]=500 m 3 /s, Var[]=47 05 (m 3 /s) e γ =.40. Tendo por base a le Generalzada de Extremos, GEV, calcule o caudal médo dáro máxmo anual com o período de retorno 00 anos. Solução: Conforme decorre das equações da Tabela 5 referentes à le GEV, a relação entre o parâmetro de forma κ e o coefcente de assmetra γ é bunívoca sendo apresentada no gráfco da Fgura 8. Para γ =.40 resulta κ Recorrendo novamente à Tabela 5, nomeadamente, às equações da GEV que relaconam Var[] com α e E[] com α e β, obtém-se prmeramente α=59.97 e, segudamente, fazendo ntervr este resultado, β= Anota-se que o software Mcrosoft Excel dspõe de uma função estatístca LGAMA, na versão em Português, e GAMML, na versão em Inglês que corresponde ao logartmo neperano da função Gama para um dado argumento, pelo que a exponencal dessa função fornece Γ para esse argumento. O caudal médo dáro máxmo anual com o período de retorno de T=00 anos é dado pela função de quants da GEV (últma coluna da Tabela 5), ou seja, x(00)=09 m 3 /s. Coefcente de assmetra, γ Parâmetro de forma, κ Fgura 8 Modelo GEV: relação entre κ e γ. 9

37 8. Estmação de parâmetros e de quants das dstrbuções de probabldade 8. Procedmento geral. Método dos momentos Tomada a decsão quanto ao modelo de dstrbução de probabldades a aplcar à amostra de uma varável aleatóra e determnados os valores numércos dos parâmetros que o defnem, é possível calcular as probabldades assocadas a quasquer valores da varável em questão. Importa, contudo, regstar que, mesmo que tal modelo represente fdedgnamente a varável aleatóra, só sera possível conhecer os verdaderos valores numércos dos seus parâmetros se toda a população tvesse sdo amostrada, o que, na prátca e pelo menos no que respeta às varáves hdrológcas, é mpossível. Assm, na posse de apenas uma amostra fnta de observações de uma varável aleatóra como a amostra de precptações dáras máxmas anuas apresentada na Tabela, pretenderse-á, por regra: () dentfcar o modelo de dstrbução de probabldades da população donde provém a amostra; e () proceder à estmatva dos valores numércos dos parâmetros que descrevem tal modelo. Os métodos que permtem estabelecer a assocação entre a realdade físca contda num conjunto de observações (ou seja, numa amostra) e a concepção abstracta de um modelo probablístco são geralmente denomnados de nferênca estatístca. A população é, de certa forma um conceto abstracto, pos remete para um conjunto nfnto de elementos potencalmente observáves, mas que não exstem no sentdo físco. Por outro lado, a amostra é consttuída por um conjunto de observações reas { x, x,..., x }, as quas se supõem terem sdo aleatoramente sorteadas, uma a uma, de modo ndependente entre s, de uma únca população, cujo comportamento probablístco é dado por uma certa função densdade de probabldades f (x) ou f(x), defnda por parâmetros θ, θ,..., θk. as anterores x, x,..., consttu uma amostra aleatóra smples (AAS). As condções de amostragem, { x } observações {, x,..., } x representam os factos concretos, a partr dos quas, são obtdas as x estmatvas das característcas populaconas, tas como a méda, a varânca e o coefcente de assmetra, assm como as nferêncas sobre a respectva dstrbução de probabldades e sobre os valores dos seus parâmetros. Em alguns casos, a forma de f (x) pode ser deduzda a partr das característcas físcas do fenómeno em questão ou de algumas estatístcas amostras. Entretanto, mesmo que f (x) tenha sdo correctamente postulada, as estmatvas θ ˆ, θˆ ˆ ˆ,..., θ,..., θk, dos seus parâmetros θ, θ,..., θ,..., θk, têm de ser necessaramente nferdas a partr de uma amostra. Se outras amostras, todas com a mesma dmensão da anteror amostra, estvessem dsponíves sera de esperar que cada uma delas produzsse estmatvas, ˆθ, dstntas dos parâmetros da dstrbução, θ. Se as amostras com dmensão susceptíves de serem consttuídas fossem em grande número, as sucessvas estmatvas assm obtdas para cada um daqueles parâmetros constturam, elas própras, uma varável aleatóra e, portanto, uma dstrbução da estatístca amostral em causa, a qual tera de conter o verdadero valor populaconal desse parâmetro, embora de forma mas ou menos dspersa, em conformdade com o grau de ncerteza decorrente do processo de estmação dos parâmetros populaconas a partr de amostras fntas de tamanho. Há uma varedade de métodos de estmação de parâmetros, entre os quas se destacam: () o método dos momentos; () o método da máxma verosmlhança; () o método dos momentos- L; (v) o método da máxma entropa; (v) o método dos mínmos quadrados; e (v) o método 30

38 generalzado dos momentos. o presente documento apenas o método dos momentos será objecto de apresentação, por ser o método mas frequente utlzado e de mas fácl mplementação. Ao letor nteressado noutros métodos de estmação de parâmetros de dstrbuções estatístcas, recomendam-se as seguntes referêncas: Rao e Hamed (000), Hoskng e Walls (997), Meylan et al. (008) e o capítulo 6 de aghettn e Pnto (007). O método dos momentos consste em gualar os momentos amostras aos momentos populaconas. O resultado dessa operação fornece as estmatvas dos parâmetros da dstrbução de probabldades em questão. Formalmente, sejam { x, x,..., x } as observações consttuntes de uma amostra aleatóra smples consttuída a partr de uma população de uma varável aleatóra com função densdade de probabldade com k parâmetros, representada por f ( x; θ, θ,..., θ,..., θk ) ou, numa anotação smplfcada, por f ( x;θ,θ,...,θ,...,θ k ). Se µ j e m j representam, respectvamente, os momentos populaconas e amostras, o sstema fundamental k equações a k ncógntas do método dos momentos é dado por: ( θ θ,..., θ,..., θ ) = m com,,..., k µ...(8), k j = As soluções θ ˆ,ˆ θ,...,ˆ θ,...,ˆ θ do anteror sstema de equações consttuem as estmatvas dos k parâmetros θ pelo método dos momentos. Os exercícos a segur exemplfcam a aplcação de tal método. Exercíco Seja x, x, x 3,..., x uma amostra aleatóra smples retrada da população de uma varável aleatóra θ, cuja função densdade de probabldade, com um únco parâmetro, θ, é dada por ( x; θ) = ( θ + ) x para 0 x. Pede-se para: (a) determnar o estmador de θ pelo método dos momentos; e (b) supondo-se que a amostra de seja consttuída pelos seguntes elementos {0.0; 0.90; 0.05; 0.47; 0.56; 0.80; 0.35}, calcular o valor do anteror estmador, ou seja, a estmatva de θ pelo método dos momentos, θ ) e a probabldade de ser maor do que 0.8. Solução: (a) De acordo com o método dos momentos, havendo apenas um parâmetro a estmar, então, o momento de ordem fornecerá esse parâmetro, ou seja, µ =m. De acordo com a equação (3), o prmero momento populaconal é θ dada por µ = E( ) = x( θ + ) x dx= ( θ + ) ( θ + ) sendo que o prmero momento amostral é a méda da amostra, ou 0 ) ) ) seja, m ( ) x θ + θ + = θ =. A últma equação dá o estmador de θ = =. Logo, ( ) ( ) ( ) ( ) = pelo método dos momentos. (b) A amostra fornecda conduz a = Entrando com este resultado na equação antes determnada para o estmador de θ, obtêm-se θ ˆ = ( ) ( ) = A função dstrbução de probabldade, FDP, é dada por ( x) = F(x) = ( θ + ) 0.867= x θ+ F x dx = x. Logo P(>0.8)=-P( 0.8)=-F (0.8)=- 0 θ f Exercíco Consdere a amostra de precptações dáras máxmas anuas no posto udométrco de Pava (0I/0G) a que se refere a Tabela. Conforme se explctou na Tabela, foram estmadas as seguntes estatístcas amostras: méda, = 39.5 mm ; desvo-padrão, s = 7. mm ; e coefcente de assmetra, g =.49. Determne: (a) os estmadores dos parâmetros da dstrbução de Gumbel para máxmos (ou smplesmente dstrbução de Gumbel) pelo método dos momentos; e (b) as estmatvas dos anterores parâmetros. Calcule: (c) a probabldade de a precptação dára máxma anual ser superor a 65 mm; e (d) a precptação dára máxma anual com o período de retorno de 00 anos. Solução: (a) Conforme se explcta na Tabela 5, a dstrbução de Gumbel é defnda pelos parâmetros α e β, os quas se relaconam com os dos prmeros momentos da população pelas equações µ = E[ ] = β α e 3

39 [ ] = π 6 µ = Var α. Igualando a varânca da amostra, s, à da população, µ, e resolvendo a segunda das ) anterores equações em ordem a α obtém-se o estmador α = 6s π. Igualando a méda da amostra,, à da população, µ, ntroduzndo o estmador α ) na prmera das anterores equações e resolvendo-a em ordem a β obtémse o estmador β = α. (b) α ) e β ) consttuem os estmadores pelo método dos momentos dos parâmetros ) ) da le de Gumbel. As correspondentes estmatvas obtêm-se muto smplesmente atendendo aos valores numércos dos momentos amostras, e s, em conformdade com a amostra em estudo, do que resulta α ) ) ) = 6s π = 6 7. π = 3.4 e β = α = = (c) Atendendo a que P(>65)=- F(65), bem como à equação de quants da le de Gumbel (apresentada na Tabela 5) e às anterores estmatvas dos parâmetros α e β dessa dstrbução, obtém-se que P(>65)=-F(65)= =-0.996= (d) Para o período de retorno T=00 anos, correspondente à probabldade de não-excedênca de F(x T )=0.99, a função de quants da Tabela 5 fornece x 00 =93.5 mm. ota: o anteror procedmento de cálculo pode ser estenddo às dstrbuções log-ormal ou de Galton e GEV, a partr das equações de momentos e de quants da Tabela 5. o caso partcular da dstrbução GEV, pode usar-se a Fgura 8, para uma prmera estmatva do parâmetro de forma κ a partr da estmatva do coefcente de assmetra g=.49. Em seguda ou alternatvamente, pode obter-se uma maor precsão na estmatva de κ, com base em aproxmações sucessvas, medante uso da função LGAMA/GAMML do software Mcrosoft Excel, referda a propósto daquela fgura. 8. Factores de probabldade Uma abordagem, ntroduzda por Chow (954), e que faclta muto o cálculo dos quants, refere-se à utlzação dos factores de probabldade. Segundo essa abordagem, o quantl x T, da varável aleatóra, para a probabldade de não-excedênca, F, ou, de modo equvalente para o correspondente período de retorno, T tal que T=/(-F), pode ser estmado através de: x T = µ + K σ...(9) F DIST em que K F DIST denota o factor de probabldade, dependente de F e da dstrbução estatístca para a qual se pretende estmar quants. Se a méda e o desvo-padrão populaconas, a saber, µ e σ, forem substtuídos pelas suas respectvas estmatvas amostras, e s, a abordagem passa a ser uma extensão do método dos momentos e a equação (9) toma a forma: x = + K s...(0) T F DIST a qual exprme o facto de os produtos dos factores de probabldade pelo desvo-padrão, s, representam desvos crescentes, em relação à méda amostral,, à medda que as probabldades de não-excedênca e, consequentemente, os períodos de retorno, aumentam. A Tabela 7 apresenta as equações mas vulgares para cálculo dos factores de probabldade para as dstrbuções ormal, log-ormal, de Gumbel, GEV, Pearson III e log-pearson III. Observa-se que, no caso das les ormal e log-ormal o factor de probabldade para dado valor da probabldade de não-excedênca, F, ou, de modo equvalente, para o valor correspondente do período de retorno, T, é gual ao valor da normal reduzda para esse valor de F, z, conforme se sstematzou na Tabela 7. Anota-se que as equações da Tabela 7 fornecem exactamente os mesmos resultados para os quants estmados pelas funções de quants da Tabela 5. 3

40 Tabela 7 Expressões de cálculo dos factores de probabldade F K DIST para dversas dstrbuções. Dstrbução (DIST) Factor de probabldade ( K ) F DIST Equação de quants ( x F ) Observação ormal log-ormal ou de Galton Gumbel GEV Pearson-III log-pearson III F x F = + K ormal s Z(F): Tabela 6 K F ormal = z(f) F x F = exp( Y + Kormal sy ) Z(F): Tabela 6 Y = ln 6 K F Gumbel { ln [ ln (/ F) ]} π F [rgorosamente, K Gumbel depende da dmensão da amostra,, Kte (988)] κ F κ { Γ( + κ) [ ln( F) ] } K GEV = κ Γ + κ Γ + κ K K F Pearson F Pearson 6 K K K ( ) ( ) Transformação de Wlson-Hlferty 3 F g g K ormal + g 6 6 K T ormal F Pearson F Pearson 6 K T ormal ) k (K Alternatva T + (Kormal ) k + (K 3 T ormal 3 ) k + K T ormal T ormal 3 k Transformação de Wlson-Hlferty 3 F gy gy K ormal + gy 6 6 K T ormal T ormal ) k (K Alternatva T + (K ormal ) k + (K 3 T ormal 3 ) k + K T ormal T 3 ormal k k + k 3 F com ( ) F F Gumbel x = + K s F F GEV x = + K s x = + K F x = exp + F Pearson s F ( Y K s ) Pearson com Y = ln( ) Y Z(F): Tabela 6 a transformação de Wlson- Hlferty g <. Para outras assmetras consultar Rao e Hamed (000) a equação alternatva g x k = 6 Z(F): Tabela 6 a transformação de Wlson- Hlferty g Y < Para outras assmetras consultar Rao e Hamed (000) a equação alternatva g y k = 6 Exercíco 3 Estme a precptação méda dára máxma anual com o período de retorno de 00 anos a que se refere a alínea (d) do exercíco no pressuposto de aplcação da le de Pearson III. Solução: Conforme se especfcou no exercíco, as estatístcas amostras são = 39.5 mm, s = 7. mm e g =.49. Assm, recorrendo ao factor de probabldade e às expressões pertnentes da Tabela 7, obtém-se 0.99 sucessvamente: T=00 anos; F=-/T=0.99; K ormal =z(0.99)=.36 (Tabela 6); K 0 Pearson. 99 = Portanto, a precptação dára máxma anual com o período de retorno de 00 anos de acordo com a le de Pearson III é dada 00 por: x = + K s = = 93.3 mm. T Pearson 33

41 9. Análse de frequênca de varáves hdrológcas 9. ota préva A análse de frequênca de amostras de varáves hdrológcas tem por objectvo estmar valores dessas varáves para dadas probabldades de não-excedênca, F, ou, de modo equvalente, para dados períodos de retorno, T, adoptados como crtéro de projecto para o que utlza dstrbuções de probabldade supostamente capazes de descrever as varáves. Os resultados de tal análse ntervêm na solução de números problemas da engenhara hdráulca e não só, tas como a caracterzação das ocorrêncas extremas assocadas a cheas e a secas; o projecto de descarregadores de cheas de barragens; o dmensonamento de albuferas de regularzação, de dques de protecção margnal ao longo dos cursos de água ou de obras de drenagem de vas de comuncação; o projecto de pontes, por exemplo, no que respeta à fxação do vão lvre ou da cota do tabulero ou, anda, o estudo das erosões em torno dos plares; etc. As amostras utlzadas na análse de frequênca devem ser representatvas da varável a que se referem, não apresentando erros de observação ocasonas e/ou sstemátcos, devendo ter um número sufcente de elementos que permta realzar extrapolações merecedoras de confança. Além dsso, é necessáro assegurar que se tratam de amostras aleatóras smples, ou seja, que os dados são homogéneos e ndependentes, além de sorteados ao acaso. A condção de homogenedade pretende assegurar que todas as observações tenham sdo extraídas de uma mesma população, descrta por uma únca dstrbução de probabldades. Por exemplo, para o caso de análse de escoamento, em condções de chea ou não, pretende-se assegurar que o uso e a ocupação da baca hdrográfca não tenham sdo sgnfcatvamente modfcados ou, anda, que não tenham sdo mplantadas estruturas hdráulcas que tenham alterado o regme do escoamento natural. Por outro lado, a condção de ndependênca procura assegurar que não exste dependênca seral entre os elementos que consttuem a amostra, tornando-a apta a ser analsada medante aplcação de procedmentos da análse estatístca. Os testes estatístcos de sgnfcânca para verfcar a adequação das amostras aos anterores requstos encontram-se descrtos no capítulo 7 de aghettn e Pnto (007). 9.. Análse de frequênca com base na aprecação vsual do ajustamento (em gráfcos de probabldade). Probabldade empírca de não-excedênca Para proceder à análse de frequênca de uma amostra, concretamente, para dentfcar as dstrbuções estatístcas susceptíves de serem aplcadas a essa amostra é frequente recorrer-se ao ajustamento vsual, tendo por base a representação gráfca dos pontos da amostra e das les Uma amostra de uma varável aleatóra é consstente se, ao longo do respectvo período de observação, não exste alteração do erro sstemátco de medção da grandeza a que se refere a amostra. Consttuem exemplos de quebra de consstênca a mudança de local do aparelho de medção da precptação (udómetro) ou a cração de obstáculos junto ao mesmo ou o ncorrecto nvelamento na mudança do sstema de regstos de alturas ou níves hdrométrcos (Quntela, 996). Uma amostra de uma varável hdrológca dz-se homogénea quando, ao longo do respectvo período de observação, não exstrem alteração nos factores que condconam o fenómeno traduzdo pela grandeza a que se refere a amostra. o pressuposto de que, à escala do tempo abrangdo pela amostra, não ocorreram mudanças clmátcas, as quebras de homogenedade, a regstarem-se, devem-se a alterações em factores físcos, tas como os assocados à desflorestação ou anda os decorrentes da construção de barragens. Em certas crcunstâncas, é possível elmnar uma quebra de homogenedade, procedendo à reconsttução da amostra natural (Quntela, 996). 34

42 teórcas postuladas para representar essa amostra. Para o efeto, é necessáro atrbur a cada ponto da amostra uma probabldade empírca de não-excedênca, F (na desgnação nglesa, plottng poston). Em geral, o ajustamento gráfco utlza os desgnados papés de probabldade, nos quas os exos das ordenadas estão graduados nas undades dos elementos das amostra e os exos das abcssas, em escalas transformadas de probabldades, tas que, para a le a que se refere cada um desses papés, a relação entre os valores da varável aleatóra e as respectvas probabldades teórcas de não-excedênca é lnear. Os prncpas papés de probabldade referem-se às dstrbuções Exponencal, ormal, log-ormal e de Gumbel, e todos assentam no mesmo prncípo: escala das abcssas de modo a lnearzar a menconada relação para a dstrbução de probabldades a que se refere o papel. A Fgura 9 exemplfca o papel de probabldades ormal sendo que o segmento de recta aí representada fornece as probabldades de não-excedênca para os valores da amostra a que se refere o exo das ordenadas. o caso da le ormal, a lnearzação da relação resulta muto smplesmente de atrbur a cada estmatva da varável aleatóra o valor da normal reduzda para a probabldade de não-excedênca correspondente a essa estmatva. Para melhor elucdar o conceto de papel de probabldade ncluíram-se na Fgura 9, por assm dzer, três exos das abcssas: dos na parte nferor do gráfco um lnear em valores da normal reduzda, z e outro, com os valores correspondentes da probabldade de não-excedênca, F, a qual, no exo superor fo transcrta em termos dos períodos de retorno, T, que lhe correspondem. Varável aleatóra, T (anos) F=P( x) z Fgura 9 Papel de probabldade da le ormal. Como menconado, na representação em papel de probabldade, a cada valor de uma amostra é assocada uma probabldade empírca de não-excedênca, F (plottng poston, como antes especfcado). Se a amostra representasse toda a população, a probabldade de não-excedênca assocada a cada elemento seu sera dada pelo quocente entre o número de elementos da amostra nferores ou guas ao consderado e a dmensão da amostra, (ou seja, sera a fracção dos elementos da amostra com valor nferor ou gual a cada elemento seu). uma amostra sem valores repetdos, se representasse o número de ordem de um dado elemento após ordenação dos elementos dessa amostra por valores crescentes, tal probabldade 35

43 sera smplesmente dada por /. De acordo com essa noção, a probabldade de ocorrerem elementos com valor, tanto nferor ao elemento com menor valor da amostra, como superor ao elemento com maor valor da amostra sera nula (acontecmentos mpossíves). Em face de amostras fntas representatvas de populações nfntas, o pressuposto de que nunca poderão ocorrer elementos com valores para além da gama de valores patente na amostra não tem sentdo. Surgram, assm, fórmulas de estmação de probabldades empírcas que corrgem esse pressuposto. Tas fórmulas fazem ntervr o número de ordem de cada elemento da amostra, após ordenação dos elementos da mesma por valores crescentes ( gual a para o menor valor da amostra e gual a, para o maor valor) e são frequentemente casos partculares da segunte fórmula geral, em que e têm os sgnfcados antes especfcados e ω é uma constante compreendda entre 0 e e que determna a qualdade do ajustamento entre probabldades empírcas e teórcas de acordo com as les postuladas: ω F = P( x) =...() n + ω A fórmula a aplcar deve atender à dstrbução teórca que se supõe ser válda para a população de onde provém a amostra em estudo. A Tabela 8 apresenta algumas das fórmulas de cálculo de probabldades empírcas de não-excedênca, os correspondentes valores de ω e recomendações quanto à sua aplcabldade. Tabela 8 Fórmulas para estmação de probabldades empírcas de não-excedênca. Fórmula Autor Valor de ω. Atrbutos de aplcação F = Webull ω= Probabldades de excedênca não + envesadas para todas as dstrbuções 0.44 F = Grngorten ω= Usada para quants das + 0. dstrbuções de Gumbel, GEV e Webull F = Blom ω= Quants não envesados para as dstrbuções ormal e Log-ormal 0.5 F = Hazen ω= Usada para quants da dstrbução Pearson III 0.40 F = Cunnane ω= Quants aproxmadamente não envesados para todas as dstrbuções a Fgura 0 comparam-se as probabldades empírcas de não-excedênca obtdas pelas fórmulas da Tabela 8 para duas amostras, uma com 50 elementos (gráfco do lado esquerdo) e outra com 0 elementos (gráfco do lado dreto). À semelhança do papel de probabldade da le ormal, os exos das abcssas de ambos os gráfcos foram graduados numa escala lnear de valores da normal reduzda. Como se pode observar, os resultados fornecdos pelas dferentes fórmulas apenas surgem dferencados (pontos representatvos das dferentes probabldades ntdamente não concdentes) para probabldades extremas muto baxas ou muto elevadas, dstngundo-se tanto mas, quanto menor a dmensão da amostra a que respetam. 36

44 Probabldade empírca de não-excedênca F.0 Probabldade empírca de não-excedênca F Webull Grngorten Blom Hazen Cunnane Webull Grngorten Blom Hazen Cunnane ormal reduzda, z ormal reduzda, z Fgura 0 Probabldades empírcas de não-excedênca fornecdas pelas fórmulas da Tabela 8 para duas amostras, uma, com 50 elementos (à esquerda) e, outra, com 0 elementos (à dreta). Sstematzam-se, segudamente, as etapas requerdas pela representação, para uma dada amostra, da dstrbução das probabldades empírcas de não-excedênca: () ordenação dos valores da amostra por valores crescentes; () atrbução, a cada valor já ordenado, x, da respectva probabldade empírca de nãoexcedênca, F por aplcação de uma das fórmulas da Tabela 8; () selecção de um tpo de papel de probabldades consoante a expectatva da le com melhor ajuste (exponencal, ormal, log-ormal ou Gumbel), embora, desconhecendose tal le, se possa adoptar o papel de probabldades da le ormal; (v) representação gráfca dos pares de valores (F, x ). A Tabela 9 e a Fgura exemplfcam a estmação da dstrbução empírca das precptações dáras máxmas amuas no posto udométrco de Pava (0I/0G) a que se refere a Tabela, medante o recurso à fórmula de Grngorten e aos papés de probabldade das les ormal (gráfco superor) e de Gumbel (gráfco nferor). os gráfcos da Fgura os exos das abcssas são lneares tendo sdo completados por um segundo exo secundáro, no topo de cada gráfco, graduado em probabldades de não-excedênca, F. Incluíram-se, nos gráfcos, as curvas resultantes do ajustamento das dstrbuções ormal, de Gumbel e log-ormal aos pontos da amostra. Tas curvas foram calculadas recorrendo à técnca dos factores de probabldade, conforme antes descrto. Como resulta da observação dos gráfcos, no papel de probabldade da le ormal (gráfco superor) tal le é representada por um segmento de recta, acontecendo outro tanto com a le de Gumbel, quando é utlzado o papel dessa le (gráfco nferor). 37

45 Tabela 9 Precptações dáras máxmas anuas no posto udométrco de Pava, de acordo com a Tabela. Probabldades empírcas de não-excedênca, P( x)=f(x), de acordo com a fórmula de Grngorten apresentada na Tabela 8. Pdma P( x)= Pdma P( x)= Pdma P( x)= Pdma P( x)= Pdma P( x)= (mm) =F(x) (mm) =F(x) (mm) =F(x) (mm) =F(x) (mm) =F(x) Precptação dára máxma anual (mm) F=P( x) ormal Gumbel log-ormal Amostra 0 Precptação dára máxma anual (mm) F=P( x) z ormal Gumbel log-ormal Amostra Fgura Precptações dáras máxmas anuas no posto udométrco de Pava, de acordo com a Tabela. Probabldades de não-excedênca empírcas (fórmula de Grngorten) e de acordo com as les ormal, de Gumbel e log-ormal para papes de probabldade das les ormal gráfco superor e de Gumbel gráfco nferor. K Gumbel 38

46 9.3. Aprecação da qualdade do ajustamento e escolha do modelo dstrbutvo. Teste de Kolmogorov-Smrnov e do Qu-Quadrado Em face de uma dada amostra, a representação gráfca em papel de probabldade das dstrbuções, por um lado, empírca e, por outro lado, teórcas referentes às les se afguram capazes de representar aquela amostra permte avalar vsualmente a adequação de cada uma daquelas les à amostra e, assm, aprecar a qualdade do ajustamento de um dado modelo dstrbutvo teórco relatvamente a outro(s), prncpalmente no ramo das curvas de frequênca que maores consequêncas poderão ter nas decsões de engenhara: cauda superor, para máxmos e para valores extremos, e cauda nferor, para mínmos. A opção por um modelo dstrbutvo apela a alguma prudênca e a um certo conservadorsmo, do que deve resultar a escolha, em crcunstâncas pratcamente equvalentes, do modelo mas exgente em termos de valores de projecto, facto tanto mas justfcável quanto as decsões de engenhara requerendo a análse de probabldades contêm ncertezas ntrínsecas. Outra mportante preocupação na comparação de modelos probablístcos refere-se ao número dos respectvos parâmetros. Em geral, os modelos de três parâmetros apresentam maor flexbldade e, com sso, maor adequação ou aderênca aos pontos das amostras. Entretanto, a maor aderênca é obtda à custa de um tercero parâmetro, cuja estmação a partr da amostra, ntroduz ncertezas adconas. Se não há grande dferença entre os quants dos modelos de dos ou de três parâmetros, deve ser dada preferênca ao modelo com o menor número de parâmetros, a despeto da sua relatvamente menor aderênca aos dados prncípo da parcmóna de parâmetros. Além da aprecação vsual baseada na representação gráfca em papel de probabldades, exstem dversos testes estatístcos de sgnfcânca aplcáves à avalação da qualdade do ajustamento de um modelo dstrbutvo teórco a uma certa amostra os quas, em lnhas geras, verfcam se os dados dessa amostra são compatíves com aquele modelo. Os testes mas conhecdos são os testes de aderênca ou de ajustamento do Qu-Quadrado, de Kolmogorov-Smrnov, de Anderson-Darlng e de Fllben. Embora propcem uma avalação quanttatva do grau de aderênca, estes testes apresentam as seguntes defcêncas: () não são objectvamente decsvos no que respeta à qualdade do ajustamentos das caudas superores das dstrbuções de valores máxmos, onde, em geral exstem poucos pontos amostras; e () não foram concebdos para comparar, em termos relatvos e por meo das suas estatístcas, as dferentes dstrbuções teórcas aplcadas a uma dada amostra. O presente tem aborda apenas a aplcação dos testes de Kolmogorov-Smrnov, KS, e do Qu-Quadrado, χ, ao ajustamento de les teórcas a amostras. Ao letor nteressado noutros testes e meos para avalar a qualdade do ajustamento (dagramas de momentos convenconas e de momentos-l), recomenda-se a consulta das referêncas Rao e Hamed (000), Meylan et al. (008) e do capítulo 7 de aghettn e Pnto (007). Os testes de ajustamento confrontam (por meo operadores desgnados por estatístcas dos testes) a nformação contda numa amostra com a que decorre do pressuposto de uma função de dstrbução de probabldades, medante a análse da chamada hpótese nula ( H 0 ) de que o modelo dstrbutvo teórco se ajusta bem aos pontos daquela amostra e que as dferenças encontradas são fortutas, ou seja, decorrentes de meras flutuações amostras, não sendo, portanto, estatstcamente sgnfcatvas. 39

47 Uma de duas decsões resulta do anteror confronto: a de não rejetar ou a de rejetar a veracdade da hpótese H 0 de a le teórca postulada se ajustar aos pontos da amostra. Importa realçar que o teste nunca permte acetar tal le teórca uma vez que a decsão de não rejetar mplca apenas que não exstem elementos sgnfcatvos que nvaldem a hpótese nula H 0. a aplcação de um teste de ajustamento é necessáro fxar a pror um certo nível de sgnfcânca, α, ou seja, a probabldade, por regra pequena entre e 5%, de se tomar uma decsão ncorrecta (rejetar H0 ajustando-se bem o modelo dstrbutvo). Ao complementar do nível de sgnfcânca, α, ou seja, a (-α) atrbuu-se a desgnação de nível de confança. A estatístca do teste de ajustamento de Kolmogorov-Smrnov, KS, é dada pela máxma dferença entre as funções de probabldades acumuladas empírca e teórca de varáves aleatóras contínuas. O teste não é aplcável a varáves aleatóras dscretas. Consdere-se que representa uma varável aleatóra contínua, de cuja população se x, x,...,. A hpótese nula a ser testada é dada por extrau a amostra { } x H0 : P( x) = F (x) = F(x), ou seja, pretende-se averguar se F(x) é uma dstrbução de probabldade adequada à descrção do comportamento probablístco da varável. Para x, x,..., por ordem mplementar o teste KS, classfcam-se os elementos da amostra { } crescente, de modo a consttur a sequênca {, x,..., x,, } ( ) () (m) x () x x K na qual m denota a ordem de classfcação. Para cada elemento x (m) a dstrbução empírca é fornecda pela proporção de valores amostras nferores ou guas a x (m), ou seja, é gual a m/. Para tal elemento calcula-se também a respectva probabldade de não-excedênca teórca, F( x (m) ), aplcando os métodos anterormente descrtos, por ventura, baseados na nversão, em ordem à varável aleatóra, das equações que utlzam o factor de probabldade. Os anterores cálculos são efectuados para os sucessvos valores x (m), A estatístca do teste KS, D, é dada por D = max < x < m / F ( x ) (m)...() correspondendo, portanto, ao valor absoluto da maor dferença entre as probabldades empírca e teórca. Se H 0 é verdadera, quando, a estatístca é um valor fnto, a estatístca D deverá ser da ordem de grandeza de D tenderá para zero. Por outro lado, se e, portanto, a quantdade D não rá tender a zero, mesmo para valores muto elevados de. Para amostras com dmensão superor a 40, os valores crítcos da estatístca de teste D são.358, para o nível de sgnfcânca de α=0.05, e.676, para α=0.0. Para amostras com dmensão nferor a 40, os valores crítcos de D devem ser obtdos na Tabela 0. Se a estatístca calculada pela equação () for maor do que o valor crítco tabelado, as dferenças são, de facto, sgnfcatvas para o nível de sgnfcânca α e, portanto, a decsão é a de rejetar a hpótese H 0. Em caso contráro, a hpótese nula não deve ser rejetada. 40

48 Tabela 0 - Valores crítcos da estatístca do teste de Kolmogorov-Smrnov em função da dmensão da amostra,, e do nível do sgnfcânca, α, D,α. D, 0.0 D, 0.05 D, 0.0 D, 0.0 D, 0.0 D, 0.05 D, 0.0 D, > a aplcação do teste do Qu-Quadrado, χ, o domíno da função de dstrbução é dvddo em M ntervalos de partção sendo que o teste compara os números de elementos da amostra efectvamente contdos nos sucessvos ntervalos com as esperanças matemátcas, ou seja, com os valores esperados, dos números desses elementos, avalados em conformdade com o modelo postulado. A estatístca do teste χ é defnda por: χ = M j= ( O E ) j E j j...(3) em que O j é o número de elementos da amostra efectvamente contdos no ntervalo j e E j, o valor esperado do número de elementos no mesmo ntervalo j, dado por E j = Pj em que P j é a ampltude do ntervalo j expressa em probabldade e, a dmensão da amostra. O teste estatístco pode formular-se do segunte modo: rejetar H 0 com um nível de confança (-α) se χ > χ, em que χ é o quantl (-α) da dstrbução χ Tabela. ( α ) ( α ) Os valores da estatístca χ dependem do número de lmtes, M, e dos lmtes dos ntervalos de partção do domíno da função de dstrbução de probabldade, F. ão exstem, contudo, regras para selecconar o número de ntervalos e a ampltude de cada ntervalo. Mann e Wald (94), ctados em Henrques (990), recomendam a partção dos M ntervalos de modo a que as probabldades assocadas a cada ntervalo sejam dêntcas. Sendo M o número de ntervalos, os lmtes de cada ntervalo devem ser defndos por forma a se ter E j = /M (j=,,, M). Atendendo a este crtéro, a estatístca do teste χ smplfca-se para: χ = M M j= O j...(4) a Tabela apresentam-se as partções da função de dstrbução de probabldade, F (x) ou F (x), em função da dmensão da amostra,, sugerdas por Henrques (990). 4

49 Tabela Quants da dstrbução do Qu-Quadrado em função do número de graus de lberdade, ν, e do nível de confança, (-α), χ ν,(-α).. Graus de lberdade, ν ível de sgnfcânca, α ível de confança, - α Tabela Partções (número e lmtes) do domíno da função dstrbução de probabldade, F(x), na aplcação do teste do Qu-Quadrado em função da dmensão da amostra, (adaptada de Henrques, 990) M Probabldades F(x) correspondentes aos lmtes dos M ntervalos de partção >

50 Quando E j depende de m parâmetros estmados a partr da amostra por um método dferente do método da máxma verosmlhança, a estatístca do teste χ tem, aproxmadamente a dstrbução χ com um número de graus de lberdade compreenddo entre M- e M-m-, se H 0 for verdadera. Observa-se que o teste de Kolmogorov-Smrnov, KS, faz uso mas completo dos dados dsponíves do que o teste do Qu-Quadrado, χ. Com efeto, sendo a dstrbução postulada contínua, o teste KS examna o ajustamento em cada um dos pontos da amostra, enquanto que o teste do Qu-Quadrado apenas o faz para cada uma das partções do domíno da função de dstrbução. Exercíco 4 Consdere a amostra de precptações dáras máxmas anuas no posto udométrco de Pava (0I/0G) a que se refere a Tabela. Conforme se explctou na Tabela, foram estmadas as seguntes estatístcas amostras: méda, = 39.5 mm, desvo-padrão, s = 7. mm e coefcente de assmetra, g =.49. Por aplcação dos testes de Kolmogorov-Smrnov (KS) e do Qu-Quadrado, χ, aprece a qualdade do ajustamento da le Gumbel à menconada amostra. Adopte o nível de sgnfcânca de 5%. Solução: A prmera parte da Tabela 3, ncluída na págna segunte, contém os sucessvos resultados da aplcação do teste de Kolmogorov-Smrnov, KS, à amostra em estudo. Tas resultados estão parcalmente representados na Fgura, que permte vsualzar o valor da estatístca do teste. Função dstrbução de probabldade, m/ e F(x (m) ) Seres m/ Seres F(x (m) ) Precptação dára máxma anual (mm) Fgura Aplcação do teste de Kolmogorov-Smrnov, KS, à amostra de precptações dáras máxmas anuas no posto udométrco de Pava (0I/0G) da Tabela. Representação gráfca do valor da estatístca do teste. Conforme se ndca na Tabela 3, para o nível de sgnfcânca adoptado, a estatístca do teste (0.0704) é nferor ao correspondente valor crítco (0.403) pelo que a decsão é a de não rejetar o ajustamento da dstrbução de Gumbel à amostra de precptações dáras máxmas anuas no posto udométrco de Pava (0I/0G) A segunda parte da Tabela 3 refere-se à aplcação do teste do Qu-Quadrado. Atendendo à dmensão da amostra (94), foram adoptadas 0 partções com ampltude de 0.0, conducentes a um número esperado de elementos da amostra por ntervalo de 9.4. Para a nível de sgnfcânca de 5%, a estatístca do teste (6.85) é nferor ao valor da dstrbução χ, tanto para M-=9 como para M-m-=7 graus de lberdade, uma vez que foram estmados dos parâmetros a partr da amostra. Q decsão é também a de não rejetar o ajustamento da dstrbução de Gumbel à amostra de precptações dáras máxmas anuas no posto udométrco de Pava (0I/0G). 43

51 Tabela 3 Aplcação dos testes de Kolmogorov-Smrnov, KS, e do Qu-Quadrado, χ, à amostra de precptações dáras máxmas anuas no posto udométrco de Pava (0I/0G) da Tabela. a) Teste de Kolmogorov-Smrnov, KS m x (m) m/ F(x (m) ) m/ - F(x (m) ) m x (m) m/ F(x (m) ) m/ - F(x (m) ) m x (m) m/ F(x (m) ) m/ - F(x (m) ) Estatístca do teste, máx m/n -F(x (m) ) : Valor crítco da estatístca do teste para o nível do sgnfcânca, α, de 5%: Partção do domíno da função dstrbução de probabldade b) Teste do Qu-Quadrado, χ Factor de probabldade da le de Gumbel Valor da varável aleatóra Efectvo, F F + K K + x x + O j ( ) M M O j E j M Estatístca do teste, χ = = O j : E j= j j= Valor crítco da estatístca do teste para o nível de sgnfcânca, α, de 5% Para ν=m-=9 graus de lberdade Para ν=m-m-=7 graus de lberdade úmero de elementos por classe Esperado, E j =M/

52 9.4. Avalação das ncertezas assocadas às estmatvas de quants A estmatva do quantl x ) F, relatvo à probabldade de não excedênca, F, obtdo por um método de estmação contém, ndependentemente desse método, erros que são nerentes às ncertezas presentes na estmação das característcas e dos parâmetros populaconas a partr de amostras de dmensão, necessaramente reduzda face à nfntude daquela população, como já repetdamente afrmado. Uma medda frequentemente usada para quantfcar a varabldade ntrínseca de x ) F, e, portanto, ndcar a confança das estmatvas de quants de varáves hdrológcas, é dada pelo erro padrão da estmatva, S F, defndo por: S F ) ) [{ xf E[ x F] } ] = E...(5) O erro padrão da estmatva leva em conta apenas os erros orundos do processo de estmação a partr de amostras fntas e, portanto, não consdera o eventual erro devdo à selecção de uma dstrbução de probabldades nadequada. Admtndo que a dstrbução F (x) tenha sdo correctamente especfcada, o erro padrão da estmatva compreende os erros nerentes às estmatvas dos parâmetros de F (x). Os dferentes métodos de estmação produzrão dferentes erros-padrão das estmatvas. O método de estmação com maor efcênca, do ponto de vsta estatístco, é o que resultar no menor valor de S F. A teora estatístca de amostragem demonstra que a dstrbução de x ) F é assmptotcamente ormal, com méda gual à estmatva do quantl, x ) F, e desvo-padrão S F, quando a dmensão da amostra tende para nfnto, ou seja,. o que respeta a amostras fntas com dmensão, o anteror resultado teórco pode ser usado para construr ntervalos de confança aproxmados, para o nível 00(-α)%, cujos lmtes são expressos por: xˆ F ± z S...(6) α F onde z α representa a varável ormal padrão para a probabldade de não-excedênca de α. A dfculdade de aplcar o procedmento descrto para estmar ntervalos de confança assocados a estmatvas de quants decorre do cálculo de S F que é muto complexo para todos os métodos de estmação e para quase todas as dstrbuções, com partcular ênfase para as de três parâmetros ver Kte (988), Rao e Hamed (000) e o capítulo 6 de aghettn e Pnto (007). Uma alternatva para assocar ntervalos de confança a quants, muto menos complexa do que a aproxmação expressa pela equação (6), utlza a geração, por recurso à técnca de Monte Carlo, de um grande número de amostras com o mesmo tamanho da amostra orgnal amostras sntétcas da dmensão com estmação a partr de cada uma dessas amostras, do quantl pretenddo, ao qual é posterormente assocado uma dstrbução empírca de probabldades. Suponha-se que, à amostra { x, x,..., } genérca F (x), cujos parâmetros x, se ajustou uma dstrbução de probabldades, θ,... θ k foram estmados a partr de um método qualquer de θ, estmação desgnado por EM. A aplcação da técnca de Monte Carlo tendo em vsta construr ntervalos de confança em torno das estmatvas de k quants x ) processa-se de acordo com as seguntes etapas sequencas: F k 45

53 Para cada valor de (j), varável entre (prmera amostra sntétca) e W (últma amostra sntétca, com W muto grande, da ordem dos mlhares, por exemplo, 5000), geração da amostra sntétca de ordem (j) com dmensão, medante a geração de ( j) números aleatóros unformes entre 0 e, u, com =,,, sendo a dmensão das amostra, quer orgnal, quer sntétca de ordem (j). o entendmento de que, para a amostra sntétca de ordem (j), cada um dos anterores ( j) valores de u representa uma probabldade de não-excedênca, ou seja, ( j) ( j) u F (x ) = ( j) = F, cálculo dos quants ( j) xˆ, com =,,, seja por nversão, seja recorrendo ao método dos factores de probabldade, ( j) drecta da função F conforme Tabela 7, num e noutro caso, tendo por base as estmatvas dos parâmetros obtdas a partr da amostra orgnal, θ, θ,..., θ k. ( j) Da etapa precedente resulta uma amostra sntétca de dmensão, xˆ, de um conjunto W dessas amostras, com W muto elevado, da ordem dos mlhares, conforme antes explctado. v Estrtamente com base na amostra sntétca de ordem (j) e medante utlzação do ( j) ( j) ( j) método de estmação EM, cálculo das estmatvas dos parâmetros θ, θ,... θ, e, v conhecdos estes parâmetros, dos quants pretenddos, ( j) F k, x ), seja por nversão da função ( j) F, seja recorrendo ao método dos factores de probabldade, conforme Tabela 7, num e noutro caso, tendo por base as estmatvas dos parâmetros obtdas a partr da ( j) ( j) ( j) amostra sntétca de ordem (j), θ, θ,... θ ;, Repetção das etapas () a (v) para W amostras sntétcas (W=,, 5000, ). v o fnal do anteror processo, dspõe-se, para cada quantl k x ) F k, de W estmatvas, com j=, W, as quas são ordenadas por ordem, por exemplo, crescente. k ( j) x ) F k, v Sendo W muto grande, para defnr os lmtes do ntervalo de confança a 00 (- α/)% para cada um desses quants basta reter os quants com ordens de classfcação W(α/) e W(-α/). A Tabela 4 e a Fgura 3 lustram a obtenção, segundo a le de Gumbel, com parâmetros estmados pelo método dos momentos, dos ntervalos de confança a 95% dos quants das precptações dáras máxmas anuas no posto udométrco de Pava (0I/0G) a que se refere a Tabela. A anteror tabela exemplfca o procedmento de cálculo de acordo com as etapas anterormente descrtas, no pressuposto de geração de W=5000 séres sntétcas de precptações dáras máxmas anuas, cada uma com dmensão gual à da sére hstórca, ou seja, com =94 valores. Por razões óbvas, apenas se ncluíram uns escassos resultados referentes às prmeras cnco e às últmas cnco séres sntétcas, nomeadamente, alguns dos números aleatóros unformes gerados entre 0 e (prmero quadro da tabela) e as correspondentes estmatvas de precptações dáras máxmas anuas avaladas por recurso ao método dos factores de probabldade para a le de Gumbel, atendendo à méda e ao desvo-padrão da sére hstórca. 46

54 Tabela 4 Intervalo de confança a 95%, para a estmatva fornecda pela le de Gumbel para a precptação dára máxma anual no posto udométrco de Pava (0I/0G) com a probabldade de não-excedênca de 99% (período de retorno de 00 anos) Méda (mm) Desvo-padrão (mm) Estmatva para F=0.99 (mm) Ordem da sére sntétca Ano Ano Séres de 94 números aleatóros unformes entre 0 e úmero de orde m da sé re Séres sntétcas de precptações dáras máxmas anuas com dmensão de 94 anos (mm) Estmatva para F=0.99, ou seja, para T=00 anos Para cada sére sntétca Ordenada por valores crecentes úmero de orde m da sé re Ordem da sére sntétca Estmatva para F=0.99, ou seja, para T=00 anos Para cada sére sntétca Ordenada por valores crecentes (mm) (mm) (mm) (mm) ota: Os lmtes do ntervalo de confança estão destacados a negrto e sombreado. 47

55 Pdma (mm) F=P( x) Quantl ou méda das 5000 estmatvas do quantl Intervalo de confança a 95%: Eq. (5) e (6) Geração de 5000 séres sntétcas K F Gumbel Fgura 3 Intervalos de confança a 95%, para os quants fornecdos pela le de Gumbel para as precptações dáras máxmas anuas no posto udométrco de Pava (0I/0G). Resultaram, assm, 5000 séres sntétcas de precptações dáras máxmas anuas (segundo quadro da tabela), sendo que se ncluíram na tabela as médas e os desvos-padrões das séres aí parcalmente exemplfcadas, bem como as respectvas estmatvas das precptações máxmas dáras anuas para a probabldade de não-excedênca de 0.99 (período de retorno de 00 anos), obtdas também por aplcação do método dos factores de probabldade, mas, agora, fazendo ntervr as estatístcas amostras (méda e desvo-padrão) de cada uma das sucessvas séres sntétcas. O tercero quadro ncluído na Tabela 4 exemplfca o procedmento de cálculo do ntervalo de confança da precptação para o quantl de 99%. Conforme aí ndcado, obtdas as 5000 estmatvas das precptações máxmas dáras anuas para a probabldade de nãoexcedênca de 0.99 e ordenadas tas estmatvas por valores crescentes, os lmtes do ntervalo de confança, por exemplo, a 5% são dados pelas estmatvas que ocupam as posções ordenadas = 5 e = 4875, com os valores de, respectvamente, e mm, destacados na tabela. Recorda-se que, em conformdade com o Exercíco, a estmatva da precptação dára máxma anual fornecda pelo método dos momentos baseado no factor de probabldade para aquela probabldade de não-excedênca fo de 93.5 mm. A Fgura 3 contém as curvas que defnem os lmtes do ntervalo de confança a 95% para a generaldade dos quants fornecdos, por um lado, pela geração de 5000 séres sntétcas, de acordo com o procedmento exemplfcado na Tabela 5 e, por outro lado, por aplcação das equações (5) e (6), para o que fo necessáro especfcar o erro padrão, S F, para o que se utlzou a segunte equação, válda no caso de aplcação do método dos momentos a uma dstrbução estatístca de dos parâmetros: 48

56 F S K F T = + K γ + ( γ )...(7) 4 S em que é a dmensão da amostra; K F, o factor de probabldade; S, a varânca da amostra; e γ e γ os coefcentes de assmetra e de curtose da população que, para a le de Gumbel, são guas a, respectvamente,.396 e 5.4. A Fgura 3 suscta algumas observações pertnentes, a prmera das quas relatva ao segmento de recta assnalada a preto. Conforme se explctou na legenda da fgura, tal segmento representa: os quants estmados por aplcação do método dos momentos baseado no factor de probabldade a partr das estmatvas da méda e do desvo-padrão da amostra (39.5 mm e 7. mm, respectvamente, conforme Tabela ), sendo que concde exactamente com o segmento de recta referente à le de Gumbel ncluído no gráfco nferor da Fgura ; a menos de desvos pratcamente mperceptíves, a méda das 5000 estmatvas de cada um dos sucessvos quants. Importa recordar que está em causa um segmento de recta e não uma curva pos trata-se de uma representação da função de dstrbução de probabldade da le de Gumbel em papel de probabldade dessa mesma le. Concluu-se, assm, que sendo o número de séres sntétcas sufcentemente elevado, as médas das estmatvas dos sucessvos quants que resultam das séres sntétcas concdem com as estmatvas desses quants fornecdas pela amostra hstórca. A título exemplfcatvo, obteve-se a Fgura 4 que contém o hstograma das 5000 estmatvas da precptação que decorrem das séres sntétcas para a probabldade de não-excedênca de A tas estmatvas ajustou-se a le ormal, conforme representado na fgura. A méda dessas estmatvas com o valor ndcado na fgura de cerca de 93. mm é pratcamente concdente com a estmatva do quantl obtda a partr da amostra, dada por: x F T Gumbel = = + K s = mm...(8) resultado, alás, antes obtdo no Exercíco, não obstante o método de estmação então aplcado ter sdo dferente. Retomando a análse da Fgura 3, verfca-se que os lmtes fornecdos pelo recurso à geração de 5000 de séres sntétcas ou por aplcação das equações (5) e (6) são pratcamente concdentes, sendo que aquela técnca, embora computaconalmente exgente, assenta num formalsmo matemátco smples e faclmente aplcável a dferentes dstrbuções obvando a grande complexdade de cálculo do erro padrão da estmatva, S F, conforme antes referdo. Importa anotar que o esforço computaconal exgdo pela técnca de Monte Carlo pode ser mnmzado pela aplcação Pytha-Statstcal Analyss do software gratuto Hydrognomon, desenvolvdo pela Unversdade Técnca de Atenas e dsponível para download a partr de acesso à URL 49

57 Frequênca absoluta Quants para a probabldade de não-excedênca de 0.99 (mm) Fgura 4 Hstograma das estmatvas fornecdas pelas séres sntétcas (em número de W=5000) da precptação dára máxma anual no posto udométrco de Pava (0I/0G) para a probabldade de não-excedênca de 99%. Observa-se, por fm, que, tal como representado na Fgura 3, os lmtes do ntervalo de confança a 95% se dstancam progressva e sgnfcatvamente da curva de quants, à medda que a probabldade de não-excedênca e, logo, o período de retorno aumentam. Com efeto e tal como anterormente explctado, para F=0.99 (T=00 anos), o ntervalo a 95% assocado à correspondente estmatva da precptação dára máxma anual, de 93.5 mm, é [80.79 mm, mm], apresentando, portanto, desvos, relatvamente àquela estmatva, sensvelmente entre -3.6 e +5.0 %, de modo a conter as ncertezas devdas à estmação de parâmetros e de quants. O entendmento assocado ao anteror ntervalo é de que o mesmo contém o verdadero, embora desconhecdo, quantl da precptação para o período de retorno de 00 anos, com a probabldade de 95%. O afastamento progressvo das curvas que defnem os ntervalos de confança para probabldades de não-excedênca crescentes reflecte as ncertezas progressvamente maores subjacentes à análse de frequênca com amostras fntas de tamanho. Esta constatação aponta no sentdo de ser necessáro um cudado especal na extrapolação da curva de frequêncas para probabldades de não-excedênca correspondentes a períodos de retorno muto superores à dmensão,, da amostra dsponível. Embora dependendo da qualdade do ajustamento a uma amostra de tamanho, de modo geral, não se recomenda a extrapolação da curva de frequêncas para períodos de retorno superores a 4. Se essa extrapolação for mesmo necessára, poder-se-á recorrer a métodos complementares, nclundo a análse regonal de frequêncas, que, de algum modo, ntroduz alguma compensação nas amostras de pequeno tamanho, pela agregação de nformações referentes a outras estações de montorzação, localzadas numa mesma regão consderada homogénea no que respeta ao fenómeno traduzdo pela varável hdrológca para a qual se pretendem estmar quants. Para detalhes sobre a análse regonal de frequêncas, o letor pode consultar Hoskng e Wals (997) e o capítulo 0 de aghettn e Pnto (007). 50

58 0. Correlação e regressão smples de varáves hdrológcas a prátca da engenhara de recursos hídrcos, com alguma frequênca, é necessáro estabelecer a forma e o grau da assocação entre duas ou mas varáves, como, por exemplo, no estudo das relações entre: () as ntensdades médas, as durações e as frequêncas assocadas a precptações ntensas; () os módulos dos caudas médos dáros em dferentes bacas e as áreas de drenagem dessas bacas; () as alturas anuas médas da precptação e as alttudes dos postos udométrcos; ou (v) os níves hdrométrcos e os caudas afluentes numa estação hdrométrca, entre outros exemplos. Para tanto é necessáro analsar o comportamento smultâneo das duas varáves aleatóras em presença, Y e, verfcando se a varação (no sentdo do aumento ou da dmnução) de uma delas está assocada à varação (no mesmo sentdo ou em sentdos contráros) da outra, ou mesmo, se não há qualquer dependênca estatístca entre as varáves. Uma medda quanttatva do grau de assocação lnear entre Y e é dada pelo coefcente de correlação de Pearson (frequentemente, desgnado apenas por coefcente de correlação), cuja estmatva, a partr de uma amostra de pares de valores {x, y ; =,,, }, é dada por: [ ( ) ] ( x ) ( y Y) SY r = xy = SSY SSY =...(9) onde S Y denota a covarânca de e Y (expressa, portanto, nas undades de e de Y) e S e S Y, os respectvos desvos-padrão. Contraramente à covarânca, o coefcente de correlação lnear de Pearson é admensonal e vara entre - e +. Deste modo, as undades de e Y não afectam o valor do coefcente de correlação. Caso os pares {x, y } se alnhem perfetamente ao longo de uma recta com declve postvo, ter-se-á uma correlação lnear postva perfeta, sendo o coefcente de correlação gual a. A correlação lnear negatva perfeta ocorre quando os pares {x, y } se alnham perfetamente ao longo de uma recta com declve negatvo, sendo o coefcente de correlação neste caso é gual a -. O sgnfcado de valores ntermedáros do coefcente é fácl e ntutvamente perceptível. A Fgura 5 apresenta alguns hpotétcos dagramas de dspersão de duas varáves, com as respectvas estmatvas do coefcente de correlação. ota-se que um valor nulo para o coefcente de correlação não mplca que não haja nenhuma assocação entre e Y. De facto, tal como lustrado na Fgura 5 apesar de r=0, pode haver assocação não lnear entre as varáves. Anda a respeto de coefcente de correlação, cabe sublnhar que um elevado valor de r, embora estatstcamente sgnfcatvo, não mplca necessaramente numa relação de causa e efeto entre as varáves. De facto, um elevado coefcente de correlação ndca smplesmente que há uma assocação na varação conjunta daquelas varáves, a qual pode ser explcada, por exemplo, por ocorrêncas de um factor causal comum a ambas. A smples vsualzação de um dagrama de dspersão pode sugerr, mutas vezes, a exstênca de uma relação funconal entre as varáves Y e, o que ntroduz o problema de se determnar a função que formalza essa dependênca. Uma técnca estatístca para o efeto dsponível é a análse de regressão. 5

59 r=0.00 r=0.90 r=0.70 r=.00 Fgura 5 Alguns exemplos de assocações denotando correlação entre as varáves Y e. esse contexto, suponha-se que a varação de Y, denomnada varável dependente (de resposta ou explcada), possa ser compreendda e modelada a partr da varação de, chamada varável ndependente (ou explcatva). A forma funconal, ou modelo de regressão, que relacona Y e, deve ser capaz de explcar uma parcela sgnfcatva da varação conjunta de ambas varáves. Contudo, pela natureza das dependêncas estatístcas, parte da varação pode permanecer nexplcada, devendo ser atrbuída ao acaso. outros termos, admte-se a exstênca de uma função que explca, em termos médos, a varação de Y a partr de. Os pares de observação {x, y } apresentarão uma varação aleatóra em torno da lnha estabelecda pela função de regressão, que é denomnada varação resdual. Portanto, a equação que defne o modelo de regressão fornece o valor médo de Y em função de. Se a forma funconal do modelo de regressão for conhecda (ou prescrta), haverá que estmar os coefcentes (ou parâmetros) da equação (ou modelo) de regressão. Admta-se que a equação de regressão entre Y e seja descrta por uma recta: Y = α + β + ε...(30) onde α e β são os coefcentes de regressão e ε denota os erros ou resíduos da regressão. Os coefcentes α e β têm de ser estmados a partr dos pares de observações {x, y ; =,,, }, resultando na segunte estmatva: ŷ = α ˆ + βˆ x = a + bx...(3) onde ŷ é o valor estmado da varável dependente a partr de valor observado ndependente e α ˆ = a e β ˆ = b as estmatvas dos coefcentes de regressão. x da varável O método mas usual para realzar a estmação de α e β é o método dos mínmos quadrados, cujo objectvo é encontrar a função de regressão que mnmza a soma dos quadrados dos desvos (ou resíduos quadrátcos) entre os pontos observados e os calculados pela função ajustada, como se esquematza na Fgura 6. 5

60 Fgura 6 Coefcentes de regressão pelo método dos mínmos quadrados De acordo com o anteror método, para o ponto com ordem de, a dstânca quadrátca é dada por: ( y a bx ) = y y a y bx + a + abx b x e = +...(3) Logo, para todos os elementos da amostra, resulta: Z = ε = + a + ab = Como Z = f ( a, b) y = x + = b a y = b x = (x + = y)...(33), os valores dos coefcentes a e b que mnmzam a soma dos quadrados dos desvos são obtdos gualando a zero as dervadas parcas de Z em relação àqueles coefcentes. Esta operação resulta no segunte sstema de duas equações e duas ncógntas: y a b = (x y ) a = x = 0 = x b =...(34) x = 0 = cujas soluções são as estmatvas de α e β, dadas pelas seguntes equações: y x = a = b = = Y b...(35) b (x y ) y = ( x ) x = = =...(36) x = = Algumas funções não lneares podem ser lnearzadas medante o uso de transformações adequadas, permtndo, assm, a aplcação das equações da regressão lnear smples. Um exemplo b é a função potencal do tpo Y = a, a qual, medante aplcação de logartmos pode ser transformada no modelo lnear Z = k + bv, no qual Z = ln Y, k = ln a e V = ln. As equações (35) e (36) podem, então, ser aplcadas às varáves transformadas Z e V. 53

61 Para modelos lneares e não lneares, a qualdade do ajustamento é avalada pelo coefcente de determnação, R, dado pela equação: = = ( y ŷ ) R =...(37) ( y Y) O coefcente de determnação representa a fracção da varânca total de Y que fo explcada pelo modelo de regressão. Um valor próxmo de sgnfca que o modelo de regressão é quase perfeto. Ao contráro, se próxmo de zero, sgnfca que o modelo de regressão tem pouquíssmo valor ao tentar explcar a varânca de Y. o caso de um modelo lnear, o quadrado do coefcente de correlação, R, avalado pela equação (9), corresponde também ao coefcente de determnação. Ao letor nteressado em detalhes sobre outras funções não lneares, testes estatístcos referentes aos coefcentes de correlação e de regressão, análse dos resíduos da regressão e extensão dos concetos aqu apresentados para mas de uma varável explcatva, sugere-se a consulta de Montgomery e Peck (99) e do capítulo 9 de aghettn e Pnto (007). Exercíco 5 Deduzr as equações normas para o segunte modelo parabólco Q = a + b h + c h. Solução: A varável dependente é Q e a ndependente é h, com três coefcentes de regressão (a, b, c). Procedendo exactamente de acordo com as equações (3) e (33), obtém-se a uma expressão relatva à soma dos desvos quadrátcos Z, a qual, neste caso, é uma função de a, b e c. As equações normas resultam de se gualarem a zero as dervadas parcas de Z, em relação a a, b e c, com obtenção do segunte sstema de equações: Q = a + b h + c h 3 (Q h) = a h + b h + c h 3 4 (Q h ) = a h + b h + c h Exercíco 6 - A Tabela 5 contém os caudas nstantâneos, Q, consderados no estabelecmento da curva de vazão numa dada estação hdrométrca, bem como as alturas hdrométrcas, h, para esses caudas. Estabeleça a equação da curva de vazão: a) usando o modelo de regressão parabólca dado por Q = a + b h + c h ; b) consderando que a sua forma é do tpo Q = a (h h 0 ). b Tabela 5 Pares de valores de caudas nstantâneos, Q, e das correspondentes alturas hdrométrcas, h, relatvos a uma estação hdrométrca. h(m) Q (m 3 /s) h(m) Q (m 3 /s) h(m) Q (m 3 /s) h(m) Q (m 3 /s) Solução: a) A solução das equações normas de regressão (ver exercíco 5) necessta dos seguntes valores =5, Q = m 3 /s, h =64.4 m, (Q h ) = m4 /s, (Q h ) = m 5 /s, = m 4. A substtução destes valores nas equações normas h = m, 3 h = m 3 e 4 h do modelo parabólco conduz às estmatvas dos coefcentes de regressão a=-33.95, b= e c= A Fgura 7 mostra o gráfco do modelo de regressão ajustado à amostra de pares de valores (h,q). O coefcente de 54

62 determnação, calculado pela equação (37), resulta em R = e sgnfca a parcela da varânca dos caudas nstantâneos que fo explcada pelas alturas hdrométrcas. Altura hdrométrca h (m) Seres3 Regstos Seres Q = h h Seres Q = (h-0.04) Caudal, Q (m 3 /s) Fgura 7 Curvas de vazão para os dos possíves modelos defndos no exercíco 6. b b) Aplcando logartmos à equação Q = a (h h 0 ), resulta ln Q = ln a + b ln (h h 0 ) que traduz a equação de uma recta em que as abcssas são os valores de ln (h h 0) e as ordenadas, os de ln Q. Deste modo, é váldo aplcar a análse de regressão lnear smples aos pares de valores ( ln (h h 0), ln Q ). Exstem, contudo, três parâmetros da curva de vazão a estmar a, b, h 0 ou seja, mas um do que os susceptíves de serem drectamente obtdas por aquela análse. Para resolver o problema, basta arbtrar o valor de h 0 que mas aproxma de uma recta a relação entre ln (h h 0) e ln Q, e aplcar a análse de regressão lnear para estmar os restantes dos parâmetros. Para cada valor de h 0 arbtrado resulta uma equação para a curva de vazão que, aplcada às alturas hdrométrcas utlzadas no seu estabelecmento, h, conduz a estmatvas de caudas, Q ), que naturalmente dferem dos caudas que também foram utlzados naquele estabelecmento, Q. A solução do problema traduzr-se-á no conjunto de três parâmetros - a, b, h 0 - que obedeçam a um certo crtéro de optmzação, por exemplo, maxmzar a correlação entre os caudas observados, Q, e os estmados a partr da curva de vazão, Q ). A Tabela 6 exemplfca o cálculo descrto. Tabela 6 Cálculo dos parâmetros da curva de vazão defnda por Q = a (h h 0 ). h Q h 0 (m) h 0 (m) h 0 (m) ln Q ln (h-h (m) (m 3 0 ) Q ) ln Q ln (h-h /s) (m) (m 3 0 ) Q ) ln Q ln (h-h /s) (m) (m 3 0 ) Q ) /s) (m) (m 3 /s) ln a a b Coefcente de correlação entre Q e Q ) b 55

63 Conforme ndcado na tabela, partu-se de um valor ncal de h 0 =-.000, depos do que se alterou para h 0 =0.000, com obtenção, após váras terações, do valor fnal de sensvelmente h 0 =0.04, correspondente aos valores, também fnas, dos parâmetros da curva de vazão de a=54.05 e b=.89, obtdos a partr dos valores ntermédos de y = ln Q , = ln (h h ) = ( x y) = ln (h h 0 ) ln Q e = x [ ln (h h 0 )] = = x 0, [ ] = a solução, o coefcente de correlação entre caudas observados, Q, e estmados a partr da curva de vazão, Q ), é gual a R= e o correspondente coefcente de determnação de R =0.9989, ou seja, para a precsão numérca adoptada, gual ao do modelo parabólco. A curva de vazão para o b modelo defndo por Q = a (h h 0 ) está também representada na Fgura 7. Anota-se que, estando-se em presença de um problema de análse de regressão lnear, embora no campo de transformada logarítmcas, os coefcentes de regressão que fguram nas equações (35) e (36) podem ser obtdos a partr da amostra de pares de valores utlzados naquela análse por funções mplementadas no software Mcrosoft Excel, desgnadamente pela função ITERCEPÇÃO (versão em Português) ou ITERCEPT (versão em Inglês) para a ordenada na orgem, a, e função ICLIAÇÃO (versão em Português) ou SLOPE (versão em Inglês), para o declve da recta de regressão, b. 56

64 Referêncas bblográfcas Ang, A.H.S.; W. T. Tang (007). Probablty concepts n engneerng. Emphass on Applcatons to Cvl and Envronmental Engneerng, a Edção, John Wley & Sons Inc., ova Iorque, EUA. Benjamn, J.; C. A. Cornell (970). Probablty, statstcs and decsons for Cvl Engneers, McGraw-Hll, ova Iorque, EUA. Chow, V. T. (954). The log-probablty law and ts engneerng applcatons, Proceedngs of the Amercan Socety of Cvl Engneers 80, Paper o. 536, p. -5. Grffs, V. W.; J. R. Stednger (007). Log-Pearson type 3 dstrbuton and ts applcaton n flood frequency analyss. II: parameter etmaton methods, Journal of Hydrologc Engneerng, Vol., o 5, p Henrques, A. G. (990). Modelos de dstrbução de frequêncas de caudas de chea. Dssertação de Doutoramento em Engenhara Cvl, Insttuto Superor Técnco, Lsboa. Hoskng, J. R. M.; J. R. Walls (997). Regonal frequency analyss: an approach based on L- moments. Cambrdge Unversty Press, Cambrdge, Reno Undo. Kte, G.W. (988). Frequency and rsk analyss n Hydrology, Water Resources Publcatons, Lttleton (CO), EUA. Meylan P., A. C. Favre; A. Musy (008). Hydrologe fréquentelle une scence prédctve, Presses Polytechnques et Unverstares Romandes, Lausanne, Suça. Montgomery D. C.; E. A. Peck (99). Introducton to lnear regresson analyss, a Edção, John Wley & Sons, ova Iorque, EUA. aghettn M.; E. J. A. Pnto (007). Hdrologa estatístca, CPRM, Belo Horzonte (MG). Rao A. R.; K. Hamed (000). Flood frequency analyss, CRC Press, Boca Raton (FL), EUA. Quntela, A.C.; Portela, M.M. (00). A modelação hdrológca em Portugal nos últmos 5 anos do século nas perspectvas determnístca, probablístca e estocástca, Revsta Braslera de Recursos Hídrcos, RBRH, Vol. 7 (4) Edção Comemoratva, pp. 5-64, ISS 44 38, Brasl. 57