Energia de deformação na flexão

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1 - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA PROFESSORA: SALETE SOUZA DE OLIVEIRA BUFFONI DISCIPLINA: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Energa de deformação na flexão Aplcações: Vgas que se comportam de uma manera elástca lnear, ou seja, o materal segue a le de Hooke e as deflexões e rotações precsam ser pequenas. Seja uma vga bapoada submetda à flexão pura. A curva de deflexão é um arco M crcular quase plano de curvatura constante κ =. O ângulo θ compreenddo por esse EI arco é gual a L ρ, onde L é o comprmento da vga e ρ o rao de curvatura. Dessa forma, tem-se: L ML θ = = κl = (1) ρ EI Fgura 1 - Vga em flexão pura. A relação (1) é mostrada na Fgura. Conforme os bnáros de flexão aumentam gradualmente em magntude desde zero até seus valores máxmos, eles realzam o trabalho W representado pela área hachurada abaxo da lnha OA e é dado por: Mθ W = U = () 1

2 Fgura - Dagrama mostrando a relação lnear entre os momentos fletores M e o ângulo θ. Teorema de Castglano Combnando as equações (1) e () obtém-se a expressão da energa de deformação armazenada em uma vga em flexão pura: M L EIθ U = ; U = (3a, b) EI L Flexão Não-Unforme As equações 3a e b aplcam-se a um elemento de vga como na Fgura 3 e ntegra-se ao longo do comprmento, onde, d ν dθ = κdx = (4) dx Fgura 3 - Vsta lateral de um elemento de uma vga submetda ao momento fletor M. A energa de deformação du do elemento é dada por qualquer uma das seguntes equações: M dx du = ; EI ( dθ ) EI du = dx = EI dx d ν dx dx EI d ν = dx dx (5a, b)

3 Integrando-se as equações anterores ao longo do comprmento de uma vga tem-se: M EI d U = dx ; EI ν U = dx dx (6a, b) Se a força de csalhamento for consderada será armazenada na vga uma energa de deformação adconal. Exercíco: Uma vga engastada AB está submetda a um carregamento P em sua extremdade lvre A. Determne a energa de deformação da vga e a deflexão vertcal δ A devdo ao carregamento P na extremdade A da vga. Fgura 4 - Vga engastada e lvre suportando um carregamento smples P. P L Resposta: U =, 6EI 3 δ A = PL 3 3EI Teorema de Castglano Objetvo: Encontrar as deflexões de uma estrutura a partr da deformação da estrutura. Seja uma vga engastada com um carregamento P atuando na extremdade lvre como na Fgura 4. A energa de deformação dessa vga é dada por: 3 P L U = (7) 6 EI 3

4 Dervando-se a expressão (7) em relação ao carregamento P tem-se du dp 3 3 d P L PL = = dp 6EI (8) 3EI A equação (8) mostra que a dervada da energa de deformação com relação ao carregamento é gual a deflexão correspondente ao carregamento. O teorema de Castglano é uma afrmação generalzada dessa observação. Dedução do teorema de Castglano para Qualquer número de Carregamentos Hstórco Um dos mas famosos teoremas na análse estrutural fo descoberto por Carlos Alberto Po Castglano ( ), engenhero talano. Consderações Consderemos uma vga submetda a qualquer número de carregamentos, dgamos n carregamentos com suas respectvas deflexões como está apresentada na Fgura 5. Fgura 5 - Vga suportando n carregamentos. Quando os carregamentos são aplcados à vga, eles aumentam gradualmente de em grandeza desde zero até seus valores máxmos. Ao mesmo tempo, cada um dos carregamentos move-se através de seus deslocamentos correspondentes e produz trabalho. O trabalho total realzado pelos carregamentos é gual a Energa de deformação U armazenada na vga: W é uma função dos carregamentos atuantes na vga. W=U (9) 4

5 Consderemos que o enésmo carregamento é aumentado levemente pela quantdade dp enquanto os outros carregamentos são mantdos constantes. Esse aumento no carregamento rá causar um pequeno aumento du na energa de deformação da vga. Esse aumento na energa de deformação pode ser expresso como a taxa de varação de U com relação a P vezes o pequeno aumento P. Dessa forma o aumento na energa de deformação é: du = dp (10) P Em que U P é a taxa de varação de U com relação a P (Uma vez que U é uma função de todos os carregamentos, a dervada com relação a qualquer um dos carregamentos é uma dervada parcal). A energa de deformação da vga é dada por: U + du = U + dp (11) P onde U é a energa de deformação da eq. (9). Como o prncípo da superposção mantém-se para essa vga, a energa de deformação total é ndependente da ordem em que os carregamentos são aplcados. Quando o carregamento dp é aplcado prmero, ele produz energa de deformação gual à metade do produto do carregamento dp e seu deslocamento correspondente dδ. A quantdade de energa de deformação devdo o carregamento dp é: dp dδ (1) Quando todos os carregamentos são aplcados a força dp se move através do deslocamento δ. Fazendo sso ela produz trabalho adconal gual ao produto da força e da dstânca através da qual ela se move dado por: dpδ (13) A energa de deformação fnal para a segunda seqüênca de carregamento é: dp dδ + U + dp δ (14) Igualando (11) e (14) dp dδ + U + dp δ = U + dp (15) P Podemos descartar o prmero termo porque ele contém o produto de dos dferencas e é nfntesmalmente pequeno comparado aos outros termos. Obtemos então a segunte relação: δ = (16) P Essa é a equação conhecda como Teorema de Castglano A dervada parcal da energa de deformação de uma estrutura com relação a qualquer carregamento é gual ao deslocamento correspondente aquele carregamento. 5

6 Referêncas Bblográfcas: 1. BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resstênca dos Materas, 3.º Ed., Makron Books, Gere, J. M. Mecânca dos Materas, Edtora Thomson Learnng 3. HIBBELER, R.C. Resstênca dos Materas, 3.º Ed., Edtora Lvros Técncos e Centífcos, 000. Observações: 1- O presente texto é baseado nas referêncas ctadas. - Todas as fguras se encontram nas referêncas ctadas. 6