APLICAÇÕES DE MÉTODOS DE ENERGIA A PROBLEMAS DE INSTABILIDADE DE ESTRUTURAS

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1 PONTIFÍCI UNIVERSIDDE CTÓLIC DO RIO DE JNEIRO DEPRTMENTO DE ENGENHRI CIVIL PLICÇÕES DE MÉTODOS DE ENERGI PROBLEMS DE INSTBILIDDE DE ESTRUTURS Julaa Bragh Ramalho Raul Rosas e Slva lua de graduação do curso de Egehara Cvl da PUC-Ro Professor do Departameto de Egehara Cvl da PUC-Ro.

2 SUMÁRIO. INTRODUÇÃO METODOLOGI PRINCÍPIO DO TRBLHO VIRTUL MÉTODO D CRG UNITÁRI PR CÁLCULO DOS DESLOCMENTOS TEOREMS RECÍPROCOS ENERGI DE DEFORMÇÃO E ENERGI COMPLEMENTR MÉTODO D ENERGI DE DEFORMÇÃO MÉTODO D ENERGI POTENCIL MÉTODO DE RYLEIGH-RITZ....8 TEOREM DE CROTTI-ENGESSER....9 MÉTODO DS FORÇS SEGUNDO TEOREM DE CSTIGLINO ENERGI DE DEFORMÇÃO E MÉTODO D FLEXIBILIDDE CONCLUSÕES... 6 GRDECIMENTOS... 7 REFERÊNCIS... 7

3 . INTRODUÇÃO aálse estrutural se reveste de fudametal mportâca a costrução cvl, uma vez que ela compreede a dealzação do comportameto das estruturas, sedo este defdo em fução de dversos parâmetros. De uma forma geral, o objetvo da aálse estrutural é determar esforços teros e exteros (cargas e reações de apoo) e as correspodetes tesões resultates, bem como a determação dos deslocametos e deformações da estrutura, especalmete as que são estatcamete determadas. Detro desta defção, também é mportate compreeder os cocetos de trabalho e eerga, para que etão o estudo possa ser aprofudado o trabalho vrtual, a eerga de deformação, a eerga potecal e a eerga complemetar, vsto que esses cocetos permtem que o comportameto das estruturas seja mas bem compreeddo. lém dsso, com a cração e desevolvmeto de programas de computação gráfca, a aálse estrutural passou a ser vsta como uma ótma ferrameta para smular o comportameto das estruturas. Com sso, o desevolvmeto de métodos dervados de teoremas como Teorema Recíproco de Maxwell, os º e º Teoremas de Castglao e o Teorema de Crott-Egesser passaram a se mostrar efcetes, permtdo a obteção de resultados mas precsos o estudo de estruturas leares e ão-leares, com efetos de stabldade.. METODOLOGI. PRINCÍPIO DO TRBLHO VIRTUL palavra vrtual sgfca que as quatdades são magáras e que ão exstem o setdo real ou físco. Logo, deslocameto vrtual é magáro e arbtraramete mposto sobre o sstema estrutural. Já o trabalho realzado por forças reas durate um deslocameto vrtual é chamado de trabalho vrtual. Se sstema de cargas em equlíbro atua sobre um corpo rígdo, pode-se dar a ele um deslocameto vrtual cosstdo uma traslação, rotação ou uma combação de ambas. Durate esse deslocameto vrtual, o trabalho realzado pelas forças deve ser gual a zero porque as forças estão em equlíbro. Esta afrmação cosste o prcípo dos deslocametos vrtuas. Também é possível aplcar o prcípo dos deslocametos vrtuas aos casos de estruturas deformáves. Para sto, deve-se levar em cosderação o trabalho vrtual das forças exteras e teras. Para esta stuação, pode-se magar uma estrutura em equlíbro, sob a ação de forças, mometos fletores, torques e carga dstrbuída. dmte-se que a estrutura é submetda a uma deformação vrtual que cosste em uma pequea mudaça a sua forma. Durate a deformação vrtual, cada elemeto da estrutura será deslocado para uma ova posção, acarretado a deformação da própra estrutura. Coseqüetemete, as forças exercdas um elemeto (tesões resultates e cargas exteras) realzarão trabalho vrtual. Este trabalho vrtual é dado por dw e e pode ser subdvddo em: dw r (trabalho causado pelo deslocameto do elemeto como corpo rígdo traslação e rotação) e dw (trabalho assocado à deformação do elemeto). Logo: d dw dw + dw () e r d 3

4 Como o elemeto está em equlíbro, o trabalho realzado pelas forças exteras e teras durate o deslocameto do corpo é ulo ( dw r 0). ssm: dw e dwd, ou seja, o trabalho vrtual total é gual ao trabalho vrtual realzado por estas forças durate a deformação vrtual do elemeto. Fazedo a tegração para toda a estrutura: dw e dwd () tegral do prmero membro da equação é gual ao trabalho vrtual das forças exteras atuates sobre a estrutura, sedo chamado de trabalho extero, W ext. tegral do segudo correspode ao trabalho vrtual assocado à deformação do elemeto. Este trabalho clu os efetos de todas as forças que atuam o elemeto, tesões resultates e forças exteras. Etretato, quado um elemeto se deforma, somete as tesões resultates realzam algum trabalho. Portato, o segudo membro da equação (.) represeta o trabalho vrtual das tesões resultates apeas. Este trabalho vrtual é gual ao realzado pelas tesões resultates quado os elemetos os quas elas atuam são deformados vrtualmete. quatdade total deste trabalho vrtual obtdo pelo somatóro de todos os elemetos é chamada de trabalho tero, W t. ssm, obtém-se a segute equação: W ext W t (3) equação acma represeta o prcípo do trabalho vrtual e pode ser defda da segute forma: quado a uma estrutura deformável, em equlíbro, sob a ação de um sstema de cargas, é dada uma pequea deformação vrtual, o trabalho realzado pelas forças exteras é gual ao trabalho vrtual realzado pelas forças teras. Observações mportates: a) deformação vrtual, ou o deslocameto vrtual, deve ser compatível com os suportes da estrutura e mater sua cotudade. mudaça vrtual a forma pode ser arbtraramete mposta à estrutura e ão deve ser cofudda com deformações causadas por cargas reas. b) O prcípo do trabalho vrtual aplca-se a todas as estruturas a despeto do materal se comportar learmete ou ão, elástca ou elastcamete.. MÉTODO D CRG UNITÁRI PR CÁLCULO DOS DESLOCMENTOS O método da carga utára pode ser utlzado para determação de deslocametos das estruturas estatcamete determada (estruturas que podem ter seus esforços teros e exteros determados apeas por codções de equlíbro) e determada, a partr do prcípo do trabalho vrtual. Para a aplcação desse método, devem ser cosderados dos sstemas de carregameto: 4

5 º sstema: cosste a estrutura submetda a cargas reas, mudaças de temperatura ou outras causas que provoquem deslocameto. º sstema: cosste em uma carga utára que age sozha a estrutura. Por carga utára etede-se uma carga fctíca ou substtuta, troduzda para se calcular o deslocameto da estrutura causado por forças reas, podedo este ser uma traslação, rotação, um deslocameto relatvo ou uma rotação relatva. Quado a carga utára atua a estrutura, ela produz reações os apoos e tesões os membros ( N U, MU, VU e TU ) que, combadas com a carga utára e as reações, formam um sstema de forças em equlíbro. De acordo com o prcípo do trabalho vrtual, ao mpor uma pequea deformação vrtual, o trabalho vrtual das forças exteras será gual ao trabalho vrtual das forças teras. O método da carga utára correlacoa-se com o prcípo do trabalho vrtual a medda em que é precso escolher adequadamete a deformação vrtual. Neste caso, tomam-se as deformações reas da estrutura causada pelo prmero sstema de carregameto, como as deformações vrtuas a serem mpostas sobre o segudo sstema (a estrutura com carga utára). O trabalho vrtual extero que ocorre durate essa deformação vrtual, é realzado pela carga utára, pos está é a úca carga extera atuado a estrutura. Temos assm: W (4) ext Já o trabalho vrtual tero é realzado pelas tesões resultates ( N U, MU, VU e TU ), quado os elemetos da estrutura são deformados vrtualmete. Etretato, as deformações vrtuas são escolhdas para serem as mesmas das deformações reas ( dδ, dθ, dλ e dφ) que ocorrem a estrutura que suporta as cargas reas. Logo: Como Resumdo: Wt NU dδ + MU dθ + VU dλ+ TU dφ (5) W ext Wt, etão temos a equação fudametal da carga utára: NU dδ + MU dθ + VU dλ+ TU dφ (6) : deslocameto a ser calculado (traslação, rotação, deslocameto relatvo e rotação relatva). N U MU, VU e TU, : tesões resultates (força axal, mometo fletor, força cortate e mometo de torção causados pela carga utára correspodete a ). d δ, dθ, dλ e dφ : deformações causadas pelas cargas reas. equação fudametal do método da carga utára é bastate geral, ão estado sujeta a ehuma restrção relatva ao comportameto lear do materal ou da 5

6 estrutura, ou seja, ão é ecessáro que o prcípo da superposção seja váldo. stuação mas comum, o etato, ocorre quado o materal segue a Le de Hooke e a estrutura tem comportameto lear. Neste caso, é possível obter expressões para as deformações d δ, dθ, dλ e dφ. Represetado-se as tesões resultates a estrutura causadas por cargas reas por N L, M L, VL e TL, etão a equação do método da carga utára passa a ser: N N dx E M M EI dx α V V G dx U L U L s U L TU TL dx GJ (7) equação acma pode ser usada a determação do deslocameto em qualquer poto da estrutura, quado o materal é learmete elástco e o prcípo da superposção for váldo. Se os deslocametos são causados por efetos que ão cargas, como a mudaça de temperatura, é ecessáro utlzar expressões apropradas para d δ, dθ, dλ e dφ..3 TEOREMS RECÍPROCOS O prcípo dos trabalhos vrtuas pode ser utlzado para formular dos teoremas que são útes a aálse de estruturas leares. Esses teoremas são chamados de recprocdade e podem ser: Teorema de Maxwell e a sua versão geeralzada, o Teorema de Bett. Cosderado dos sstemas estruturas, e B (Fg. ), tem-se: é composto de um sstema de forças ( F, f ) assocado a uma cofguração deformada ( D, d ). F são as forças exteras atuado sobre a estrutura, em equlíbro com F, D é o campo de deslocametos exteros, e deslocametos teros. f são os esforços teros d são os O sstema B é aálogo ao e composto de um sstema de forças ( F B, f B ) assocado a uma cofguração deformada ( D B, d B ). Fgura Teorema de Maxwell para forças geeralzadas utáras. 6

7 O prcípo dos trabalhos vrtuas pode ser aplcado a esses sstemas de duas maeras: ou cosderado o sstema como real e o sstema B como vrtual e a outra ao cotráro. ssm: F DB f d B (8a) FB D f B d (8b) Como a estrutura apreseta um comportameto lear: f d B f B d (9) Com sso, pode-se eucar o Teorema de Bett: se uma estrutura lear é submetda a dos sstemas de forças geeralzadas, o trabalho realzado pelas forças geeralzadas do prmero sstema com os correspodetes deslocametos geeralzados do segudo é gual ao trabalho realzado pelas forças geeralzadas do segudo sstema com os correspodetes deslocametos geeralzados do prmero. Logo: F D F D (0) B s forças são dtas geeralzadas, pos evolvem cargas cocetradas, cargas dstrbuídas e mometos aplcados. Os deslocametos são dtos geeralzados, pos podem evolver deslocametos e rotações. Um caso partcular do Teorema de Bett é o Teorema de Maxwell. Este ocorre quado as soluções são costtuídas de forças geeralzadas utáras soladas. Para forças geeralzadas utáras aplcadas, o Teorema de Maxwell tem o segute eucado: em uma estrutura lear elástca, o deslocameto geeralzado o poto j provocado por uma força geeralzada utára atuado o poto é gual ao deslocameto geeralzado o poto provocado por uma força geeralzada utára B atuado o poto j ( θ J ). Na versão para deslocametos geeralzados utáros, o eucado fca assm: em uma estrutura lear elástca, a força geeralzada que atua o poto j ecessára para provocar um deslocameto geeralzado utáro atuado o poto é gual à força geeralzada o poto ecessára para provocar um deslocameto geeralzado B M P. utára atuado o poto j ( ) J B.4 ENERGI DE DEFORMÇÃO E ENERGI COMPLEMENTR Para demostrar os cocetos de eerga, cosdera-se uma barra sujeta a uma força axal P que produz uma tesão σ P e deformação ε δ. O materal da L barra é cosderado elástco, com curva tesão-deformação ão-lear, mostrada a Fg. b. Etão, a relação carga-deflexão (Fg. c) terá a mesma forma da curva tesãodeformação. 7

8 Fgura Eerga de deformação e eerga complemetar O trabalho realzado pela carga P é: δ 0 W P dδ () e pode ser terpretado como sedo a área abaxo da curva carga-deflexão (Fg. c). Como a barra se comporta elastcamete e as perdas de eerga durate o carregameto e descarregameto são desprezadas (o sstema é coservatvo), todo o trabalho realzado pela carga será armazeado a barra em forma de eerga de deformação elástca, que poderá ser recuperado durate o descarregameto. Logo, a eerga de deformação é gual ao trabalho: δ U W P dδ ou ada U 0 u dv () ode a eerga de deformação, u, por udade de volume do materal pode ser obtda pela expressão abaxo, represetado a área sob a curva tesão-deformação a Fg. b. ε u σ dε (3) 0 Outra formulação mportate é o trabalho complemetar, W, represetado pela área etre a curva carga-deflexão ão-lear e o exo vertcal (Fg. c). P W δ dp (4) 0 Geometrcamete, esse trabalho complemeta W, pos ele completa o retâgulo mostrado a Fg. c. eerga complemetar, U, portato, é gual ao trabalho complemetar das cargas, tal que: U W δ dp (5) 0 P 8

9 Smlarmete: σ ε dσ u e 0 u U dv (6) Os cocetos de eerga de deformação também são aplcáves a estruturas sujetas a ouros tpos de carregameto, tas como torção e flexão. Normalmete, há váras cargas atuado em uma estrutura e, por esta razão, as eergas de deformação e complemetar deverão ser obtdas medate somatóros: U P dδ e U δ dp (7).5 MÉTODO D ENERGI DE DEFORMÇÃO Para esta stuação, pode-se magar, calmete, uma estrutura sob a ação de cargas P, P, P, cada qual com seu respectvo deslocameto δ, δ, δ. relação etre P e δ é ão-lear e represetam força e deslocameto correspodetes. eerga de deformação da estrutura, U, correspode, portato, ao trabalho realzado por todas as cargas durate a sua aplcação, tal que cada uma das forças P será expressa em fução de seu deslocameto, através da segute expressão: U P dδ (8) Logo, a expressão resultate para a eerga de deformação será fução do deslocameto δ. Se um deslocameto δ sofrer um aumeto de pequea quatdade, etão também ocorre aumeto da eerga de deformação, du, equato os demas deslocametos são metdos costates. Neste caso: du δ dδ (9) equação acma forece as segutes observações: a) Quado o deslocameto δ sofre um aumeto de pequea quatdade, dδ, o trabalho realzado é pela força correspodete, P, e ão qualquer das outras forças, vsto que os outros deslocametos ão se alteram. b) O trabalho realzado pela força correspodete também é gual ao aumeto da eerga de deformação a estrutura, sto é: dw du P dδ (0) Jutado-se as duas equações para du, tem-se: 9

10 P () δ equação acma é chamada de Prmero Teorema de Castglao e dca que a dervada parcal da eerga de deformação, em relação a qualquer deslocameto δ, é gual à força correspodete P. O Prmero Teorema de Castglao é, portato, um método de utlzação da eerga de deformação a aálse de estruturas ão-leares, ode as cógtas são os deslocametos dos ós (também chamados de deslocabldades) provocados por cada uma das cargas atuates. ssm, aplcado-se o Prmero Teorema em relação a cada deslocameto da estrutura, obtém-se um cojuto de equações de equlíbro que podem ser resolvdas para cada deslocameto do ó: P P... P () Como pode ser observado, o método utlza os deslocametos como cógtas e requer a solução das equações de equlíbro sedo chamado, portato, de método dos deslocametos. De forma smplfcada, o método dos deslocametos cosste em somar uma sére de soluções báscas que satsfazem soladamete as codções de compatbldade, mas que ão satsfazem as codções de equlíbro da estrutura orgal, para a superposção restabelecer as codções de equlíbro. Portato, quado uma estrutura ão-lear estver sedo aalsada, será usado o termo método dos deslocametos, equato que para o estudo de estruturas leares a deomação utlzada será método da rgdez. Cosderado agora uma estrutura lear, obtém-se uma relação geral etre os coefcetes de rgdez e a eerga de deformação: S j U j (3).6 MÉTODO D ENERGI POTENCIL Como se sabe, a eerga potecal é defda como o trabalho realzado por todas as forças atuates em uma estrutura (teras e exteras), quado ela é movda de sua cofguração com carga para uma posção sem carregameto. eerga potecal das forças teras é a eerga de deformação, U, armazeada a estrutura com carga, pos se a mesma for deslocada de sua forma real para outra sem carregameto, a quatdade de trabalho recuperado será gual à eerga de deformação. Já a eerga potecal das forças exteras é egatva, porque cada carga a estrutura executa trabalho egatvo, caso retore da posção fal para a cal, sedo dada por Pδ, ode é o úmero de cargas. Logo, a eerga potecal total é: PE U P D (4) 0

11 uma vez que a eerga de deformação é expressa em fução dos deslocametos descohecdos. Dervado em relação a um dos deslocametos: PE P (5) Do Prmero Teorema de Castglao, P. ssm, coclu-se que: PE 0 D (6) plcado-se a equação acma a cada um dos deslocametos, é possível obter: PE 0 PE 0 PE... 0 D (7) s coclusões que podem ser tradas, comparado essas expressões com as equações (5) e () são as segutes: a) Estas últmas são equações do equlíbro o método dos deslocametos. b) plcar a eerga potecal tem como resultado as equações obtdas quado se utlza o método da eerga de deformação. c) s equações: PE 0 PE 0 PE... 0 D são uma represetação do prcípo da eerga potecal estacoára, sto é, o caso de a eerga potecal de uma estrutura (lear ou ão-lear) ser expressa em fução dos deslocametos descohecdos dos ós, a estrutura estará em equlíbro quado estes forem tas que levem a eerga potecal total atgr um valor estacoáro. d) Se a estrutura está em equlíbro estável, etão a eerga potecal total terá um valor mímo (prcípo da eerga potecal míma). e) Se a estrutura é stável, etão a eerga potecal total terá um valor máxmo ou eutro..7 MÉTODO DE RYLEIGH-RITZ Coforme vsto, o método da eerga potecal é utlzado para ecotrar soluções aproxmadas. Quado se usa esse método, as expressões para a eerga de deformação, U, são smples, uma vez que a quatdade de deslocametos descohecdos é pequea. Etretato, quado uma estrutura apreseta um úmero de graus de lberdade muto

12 grade, o cálculo da eerga potecal é feto aproxmado-se a sua forma através de uma fução que coteha um ou mas parâmetros de deslocameto determados. Sabedo-se ada que, o prcípo da eerga potecal estacoára, os deslocametos devem ser tas que dêem à eerga potecal um valor estacoáro, etão, é possível usar as dervadas parcas da eerga potecal em relação a cada um dos parâmetros de deslocameto e gualar estas a zero. Como resultado, tem-se um cojuto de equações que é proporcoal ao úmero de parâmetros descohecdos. Resolvedo as equações para esses parâmetros determa-se a forma fletda que se admtu para a estrutura e calculam-se os valores para as reações e tesões resultates. Normalmete, os resultados ecotrados são meos precso que os própros deslocametos, uma vez que são obtdos através da dferecação de fuções deslocametos. ssm, para obter melhores resultados, deve-se escolher a fução que seja a mas próxma da verdadera forma, de modo a satsfazer as codções de cotoro da estrutura. Smlarmete, quato maor for o úmero de parâmetros de deslocameto para defr a aproxmação, mas precsa será a forma real da estrutura. Esse método de obteção de aproxmações a solução de problemas de equações dferecas deoma-se Método de Raylegh-Rtz, podedo ser aplcado em estruturas leares e ão-leares. Também é bastate empregado para o método de elemetos ftos, ode a estrutura é dvda em úmeros pequeos elemetos, tal que as fuções deslocametos são usadas para represetá-los. s aplcações do Método de Raylegh-Rtz em problemas de flambagem e vbração são fetas de forma smlar, recado-se em um problema de autovalor..8 TEOREM DE CROTTI-ENGESSER Para lustrar o teorema, cosdera-se calmete uma estrutura ão-lear, sujeta a cargas, P, P, P, que provocam os respectvos deslocametos δ, δ, δ. eerga complemetar será calculada através da equação: U δ dp (8) Supodo que uma carga sofra um pequeo aumeto, dp, equato as outras permaecem costates, a eerga complemetar também terá um aumeto de: du P dp (9) Outro meo de se obter uma expressão para du é cosderar o trabalho complemetar das cargas, quado a força P sofre um aumeto dp. Esse trabalho é o mesmo que o aumeto du a eerga complemetar da estrutura, sto é: du δ dp (30) Neste caso, a úca carga que realza trabalho complemetar é P, pos as outras forças ão sofreram alteração. Igualado as expressões, obtém-se outra equação que represeta o Teorema de Crott-Egesser:

13 δ (3) P É teressate observar que este teorema é muto parecdo com o Prmero Teorema de Castglao, como mostra as expressões a segur: Teorema de Crott-Egesser: δ P Prmero Teorema de Castglao: P δ Como se pode coclur, equato a eerga de deformação, defda o Prmero Teorema de Castglao, é expressa em fução dos deslocametos para se obter as cargas correspodetes; a eerga complemetar, defda o Teorema de Crott- Egesser, é expressa em fução das cargas para se obter os deslocametos correspodetes..9 MÉTODO DS FORÇS Para o estudo do método das forças, são aplcados os cocetos de eerga complemetar e o Teorema de Crott-Egesser. De forma smplfcada, o método das forças cosste em somar uma sére de soluções báscas que satsfazem as codções de equlíbro, mas que ão satsfazem as codções de compatbldade da estrutura orgal, para a superposção restabelecer as codções de compatbldade. estrutura utlzada para superposção de soluções báscas é uma estrutura sostátca auxlar, chamada de Sstema Prcpal, obtda a partr da estrutura orgal pela elmação de vículos. s tesões resultates e reações assocadas aos vículos lberados são as cógtas do problema e são deomados hperestátcos. Para melhor compreesão do método, pode-se magar, calmete, uma estrutura ão-lear com graus de determação. partr da escolha dos hperestátcos X, X, X, elmam-se os vículos da estrutura orgal, obtedo uma estrutura sostátca auxlar. Neste caso, que o sstema prcpal está sujeto tato às cargas reas quato aos hperestátcos. solução do problema pelo Método das Forças reca, portato, em ecotrar os valores X, X, X que fazem com que as codções de compatbldade sejam restabelecdas. Idcado D, D, D como os deslocametos da estrutura correspodetes aos hperestátcos X, X, X etão, pelo Teorema de Crott-Egesser, têm-se as segutes expressões: D D... D (3) ode a eerga complemetar, U, é fução das cargas e dos hperestátcos. 3

14 Como pode ser observado, o método utlza hperestátcos como cógtas e requer a solução das equações de compatbldade sedo chamado, portato, de método das forças. O método das forças é smlar ao método da flexbldade. úca dfereça resde o fato de que este últmo é utlzado a aálse de estruturas leares. Portato, quado uma estrutura ão-lear estver sedo aalsada, será usado o termo método das forças, equato que para o estudo de estruturas leares a deomação utlzada será método da flexbldade. É mportate observar também que o método dos deslocametos é aálogo ao método das forças (Tabela ), ao passo que em ambos os métodos a solução da estrutura cosdera as codções de equlíbro, as codções de compatbldade etre deslocametos, e codções mpostas pelas les costtutvas dos materas. Quado ão há deslocametos a estrutura orgal, as equações fcam: U 0 U X (33) Estas equações represetam as codções de um valor estacoáro da eerga complemetar. No caso de estruturas em equlíbro estável, o valor estacoáro é mímo e, por sso, represetam o prcípo da eerga complemetar míma. Este prcípo afrma que X, X, X têm valores que toram míma a eerga, desde que ão haja deslocametos correspodetes aos hperestátcos da estrutura orgal. MÉTODO DS FORÇS MÉTODO DOS DESLOCMENTOS Icógta: hperestátcos. Estrutura utlzada a solução básca: Sstema Prcpal (estrutura sostátca, obtda a partr da elmação de vículos da estrutura orgal). Codções da estrutura orgal satsfetas: codções de equlíbro. eerga complemetar é expressa em fução das cargas e hperestátcos. Utlza-se o Teorema de Crott-Egesser para obter as equações de compatbldade. É utlzado para estruturas ão-leares. Icógta: deslocabldades. Estrutura utlzada a solução básca: Sstema Hpergeométrco (estrutura obtda a partr da adção de vículos para mpedr as deslocabldades). Codções da estrutura orgal satsfetas: codções de compatbldade. eerga de deformação é expressa em fução dos deslocametos descohecdos dos ós. Utlza-se o Prmero Teorema de Castglao para obter as equações de equlíbro. É utlzado para estruturas ão-leares. Tabela Dfereça etre métodos das forças e método dos deslocametos. 4

15 .0 SEGUNDO TEOREM DE CSTIGLINO Dferetemete dos estudos aterores, voltados apeas para comportameto de estruturas ão-leares, o desevolvmeto deste teorema volta-se a ateção para as estruturas leares, tal que a eerga complemetar, U, e a eerga de deformação, U, da estrutura são guas. dmtdo assm uma estrutura lear sujeta às cargas P, P, P e seus respectvos deslocametos δ, δ, δ, etão se pode substtur U por U o Teorema de Crott-Egesser e obter: δ (34) P equação acma é chamada de Segudo Teorema de Castglao e dca que a dervada parcal da eerga de deformação, em relação a qualquer carga P é gual ao deslocameto correspodete δ. Para eteder como fucoa a aplcação do teorema, supõe-se uma vga egastada, b-apoada, sujeta à carga P e mometo M (Fgura 3). o Fgura 3 Ilustração do Segudo Teorema de Castglao. eerga de deformação é dada por: U 3 M dx L P L PM ol M o L ( Px M o) dx EI EI + + (35) 0 6EI EI EI Para ecotrar a deformada a extremdade lvre da vga e o âgulo de rotação, aplca-se o Segudo Teorema de Castglao e toma-se a dervada parcal de U em relação à P. Logo: 3 PL M ol δ + e P 3EI EI PL M ol θ + (36) M EI EI o Esse teorema só pode ser aplcado o cálculo de deslocametos que correspodam às cargas atuates a estrutura. Para calcular o deslocameto em uma regão sem 5

16 aplcação de carga, será ecessáro colocar uma carga fctíca a estrutura, equvalete ao deslocameto desejado. Com sso, faz-se o cálculo do deslocameto usado o Segudo Teorema de Castglao; o resultado mostra que esse valor é expresso em relação às reas e fctícas. Por fm, gualado-se a carga fctíca a zero a expressão fal, obtém-se o deslocameto desejado devdo às cargas reas.. ENERGI DE DEFORMÇÃO E MÉTODO D FLEXIBILIDDE Cosderado agora uma estrutura lear para o caso do método das forças, a aplcação do Segudo Teorema de Castglao leva às expressões: D X D... D (37) Pode-se etão observar o segute: a) s expressões são de compatbldade do método da flexbldade. b) Essas equações são um caso partcular das equações de compatbldade do método das forças, para estruturas leares. Se os hperestátcos ão realzam deslocameto, etão: X (38) Estas equações represetam as codções de um valor estacoáro da eerga de deformação. No caso de estruturas em equlíbro estável, o valor estacoáro é mímo e, por sso, represeta o prcípo da eerga de deformação míma. Este prcípo afrma que X, X, X têm valores que toram míma a eerga de deformação, se ão houver deslocametos correspodetes aos hperestátcos da estrutura orgal. 3. CONCLUSÕES O trabalho apresetado baseou-se a mportâca dos cocetos de eerga de deformação e eerga complemetar, que formam a base de algus métodos bastate efcetes a aálse estrutural. Estes métodos podem ser aplcados para estruturas leares e ão-leares, como é o caso do prcípo do trabalho vrtual e o método da carga utára. Etretato, os teoremas recíprocos, o método da flexbldade e o método da rgdez baseam-se o prcípo da superposção e, por sso, aplcam-se somete a estruturas de comportameto lear. ssm, mesmo com o crescete uso da tecologa a favor de desevolver essas teoras e cocetos cada vez mas precsos, ada exste muta vestgação a ser feta e estudada a cerca da cocepção estrutural. Já fo cado o estudo de problemas de autovalores e autovetores, o cálculo de freqüêcas e cargas crítcas, com respectvos modos, usado o Método de Raylegh- Rtz. Este assuto será aprofudado o próxmo relatóro. 6

17 4. GRDECIMENTOS gradeço ao professor Raul Rosas e Slva pela oretação proporcoada durate todo o desevolvmeto da cação, e pela sua dsposção em ajudar o trabalho a fcar mas erquecedor e teressate. 5. REFERÊNCIS MRTH, L. F. postla de Métodos Báscos da álse de Estruturas do Curso CIV 7. Ro de Jaero: Depto. de Eg. Cvl, PUC-Ro, 005. MSON, J. e SOUZ, J. M. de. Métodos de Eerga com plcações a Problemas Elástcos. Ro de Jaero: Itercêca Ltda., 976, 57 p. TIMOSHENKO, S. P. e GERE, J. M. Mecâca dos sóldos, vol.. ª ed. Ro de Jaero: Lvros Téccos e Cetífcos,