Uma Calculadora Financeira usando métodos numéricos e software livre

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1 Uma Calculadora Facera usado métos umércos e software lvre Jorge edraza Arpas, Julao Sott, Depto de Cêcas e Egeharas, Uversdade Regoal ItegradaI, URI , Frederco Westphale, RS Resumo.- Neste trabalho apresetamos e dscutmos aspectos teórcos dos algortmos faceros quado a operação facera de crédto é com pagametos parcelados fxos. A segur mostramos que estes algortmos pem ser mplemetados usado o software lvre QT-Desger. 1 Itrução A maora dos softwares para executar cálculos faceros exstetes o mercado são oretadas a operadores de crédto ates do que a usuároscosumdores destas operações. Esta stuação é mas crítca, ada, quado se trata do cálculo da taxa de juros de uma operação de crédto com pagameto parcelado. Ate etão, um cosumdor que compra em prestações, um eletroméstco, por exemplo, ão tem como verfcar se a taxa de juros mesal, que o vededor dz estar aplcado, é mesmo verdade. Algo smlar acotece quado alguém pede um empréstmo, ou usa o cheque especal do baco do qual ele(a) é clete. Etão, com esta motvação, a Uversdade Regoal Itegrada, campus Frederco Westphale, URI-FW, decdmos apresetar o projeto de cação cetífca Costrução de uma Calculadora Facera usado Métos Numércos respedo ao Edtal do programa IIC. Esta calculadora efatzara o calculo da taxa de juros de uma maera smples, de mo que um usuáro comum pudesse usar esta ferrameta sem dfculdade. O projeto fo aprovado sob o úmero de processo 13 e o apoo da URI é com uma bolsa de Icação Cetífca ao segudo dos autores deste documeto, acadêmco do curso de Cêca da Computação. Uma outra motvação fo mostrar uma aplcação do aálse matemátco elemetar os algortmos faceros. A escolha de usar a ferrameta Qt-Desger para a mplemetação deste projeto fo pela boa documetação exstete, seu maual [Trolltech, 004] possu um excelete tutoral. Na segute etapa, do projeto, pretedemos amplar esta mplemetação usado GTK, específcamete a ferrameta Glade, com o qual esta calculadora facera estara bolssta de Icação Cetífca IIC/URI dspoível para ambos os ambetes KDE e GNOME, os mas populares o mudo do software lvre. O aplcatvo para KDE já esta a versão v0.05 e dspoblzamos o mesmo o síto web do projeto arpas/facera/dex.php. Neste sto também exste uma outra calculadora o-le, com a mesma base teórca, mplemetada usado o software lvre H que calcula exclusvamete taxas de juros. elas característcas do H, esta últma calculadora é acessível, também, a usuáros de sstemas operatvos que o estão o uverso do software lvre. Este documeto esta orgazado assm a seguda seção é dscutdo a parte teórca do projeto. É feta uma dscussão detalhada do comportameto da fução taxa de juros usado téccas de aálse real e os algortmos umércos mas comus para ecotrar as raízes desta fução [Lma, 199, Ruggero M., 1996]. Na tercera seção são apresetados exemplos de uso do aplcatvo para ambete KDE. Aspectos teórcos da Calculadora.1 Operações faceras atecpadas: compra de prutos com etrada e pagameto parcelado O fudameto prcpal das operações faceras atecpadas cujo exemplo mas mportate é a compra de prutos para serem pagos em prestações, é a equação [Morgado A., 000] e A = E (1 + ) + + (1 + ), (1) A= preço atual ou preço à vsta. E=valor do pagameto o mometo em que é efetuada a operação, também cohecda como etrada. Uma relação mportate de A e de E é que A E > 0, pos em caso cotráro, se A E = 0 etão é uma compra à vsta, e A E < 0 é um absurdo facero.

2 =valor da prestação ou parcela a partr do segute pero de tempo. Como A E > 0 etão > 0. =taxa de juros da operação. O valor desta taxa é sempre maor do que zero e cosderaremos taxa máxma de 100%, sto é, 0 < =úmero de parcelas, referdo períos de tempo os mesmo que que majortaramete são meses. Desde que > 0 etão 1. O valor total a ser pago T é a soma dos valores das parcelas e o valor da etrada E, sto é T = E +, () e uma cção mportate é que o preço total T deve ser maor do que o preço à vsta A, sto é T = E + > A (3) Em caso cotráro, se fosse T = + E = A a equação (1), teramos = 0, ou seja taxa de juros zero e se fosse T = + E < A teramos < 0, taxa de juros egatva, um absurdo..1.1 Cálculo dos valores da parcela, e úmero de prestações Usado a detdade algébrca 1 x +1 1 x = 1 + x + x + + x (4) a equação fudametal (1) coverte-se em A = E + ( ) 1 (1 + ) (1 + ) 1, (5) de pemos obter, por mapulações puramete algébrcas, o valor da prestação (A E) =, (6) 1 (1 + ) e também o úmero de parcelas que pe servr báscamete para verfcação = log(1 ( )) log(1 + ) (7) Um coceto mportate em operações faceras, que o caso ão tem mportâca para o usuáro de pagametos parcelados é o valor futuro F do preço à vsta daqu a meses Usado (5) teremos F = E + A(1 + ) (8) F = E + ((1 + ) 1) (9) 3 par 3 ímpar Fgura 1: Fução taxa de juros f() = ą ć + (1 + ) 1, para par e ímpar Uma observação é que o valor total T de () é sempre meor do que F. Com efeto, basta cosderar que a fução lear f(x) = ax + 1 é meor do que a fução expoecal g(x) = (1 + a) x para to x > 1, e a > 0. Se x = 1 teremos f = g. Etão + 1 < (1 + ) < (1+) 1 < ((1+) 1) E + < E + ((1+) 1) T < F.1. Cálculo da taxa de juros Já para calcular a taxa de juros as mapulações algébrcas são sufcetes em razão de que ão há como dexar em evdeca esta varável a partr da equação fudametal (1). Etão, para resolver sto, usado a equação (6), obtemos de ( A E A E = 1 (1 + ) ) + (1 + ) 1 = 0 sto é, cohecdas as varáves A, E,, e a taxa de juros pe ser terpretada como uma raz da fução ( ) A E f() = + (1 + ) 1 (10) Vamos fazer uma aálse desta fução. Em prmero lugar o domío da mesma é D f = R { 1}. O comportameto da fução em toro da assítota = 1, e os ftos e + é: lm 1 +[f()] = { + + se par lm 1 [f()] = se ímpar lm [f()] = lm + [f()] = +.

3 or outro lado f é dervável em to D f, sedo a dervada f() = (1 + ) 1, para to 1. Os potos crítcos obtemos fazedo f() = 0. Se é par teremos um úco poto crítco que é = +1 1 que é um valor postvo, vde Fgura 1. Se é ímpar obtemos dos potos crítcos 1 = +1 1 > 0 e = +1 1 < 1 < 0, vde Fgura 1. Desde que f(0) = 0 e f(0) < 0, etão exste 0 > 0 tal que f() < 0 para to (0, 0 ). Escolha α arbtráro, porem fxo, tal que 0 > α > 0 etão f(α) < 0. or outro lado, f(1) = ( 1) 1 = + ( 1 1 ) > 0 ) 1 + (1 + ortato a cotudade de f em (α, 1) D f, garate a exstêca γ [α, 1] tal que f(γ) = 0. Este valor γ é a taxa de juros que pe ser ecotrada por métos umércos teratvos de cálculo de raízes de uma fução, tas como o méto da Bssecção e o méto de Newto-Raphso. No presete projeto usamos o algortmo da Bssecção mostrado a segur ALGORITMO beg //Iformar A, E,,, //Iformar ɛ do a 1 = α b 1 = 1 1 = a 1+b 1 k = 1 whle b k a k > ɛ do f f(a k ) f( k ) > 0 a k+1 = k b k+1 = b k k+1 = a k+1+b k+1 elsf f(a k ) f( k ) < 0 a k+1 = a k b k+1 = k k+1 = a k+1+b k+1 else break f k = k + 1 do Taxa de juros = k //com aproxmação ɛ Raz de juros aproxmada = f( k ) ed. Operações faceras postecpadas: compra de prutos sem etrada e pagameto parcelado e postergado, empréstmos bacaros O fudameto prcpal das operações faceras postecpadas cujos exemplos mas mportates são a compra de prutos para serem pagos em prestações, e os empréstmos bacáros, é a equação A = e (1 + ) m + (1 + ) m (1 + ) m+ 1, (11) m=úmero de períos de tempo da postergação, usualmete meses. Esta postergação ão pe ser meor do que 1, sto é, m 1. A= preço atual ou preço à vsta. =valor da prestação ou parcela a partr do pero de tempo m. Como A > 0 etão > 0. =taxa de juros da operação. O valor desta taxa é sempre maor do que zero e cosderaremos taxa máxma de 100%, sto é, 0 < 1 =úmero de parcelas ou períos de tempo, os mesmos que majortaramete são meses. Desde que > 0, etão 1. Note que para m = 1, teremos que (11) covertese em A = 1+ + (1+) + + (1+), que cocde como a equação (1) sem etrada,.e., com E = 0. O valor total ou fal T a ser pago é a soma dos valores das parcelas, sto é T =, (1) elas mesmas cosderações usadas em (3), este caso também devemos ter que o preço fal T deve ser maor do que o preço à vsta A, sto é T = > A. (13)..1 Cálculo dos valores da parcela, e úmero de prestações Usado, de ovo, a detdade algébrca (4), a equação fudametal postecpada (11) coverte-se em A = (1 + ) m ( ) 1 (1 + ) 1 (1 + ) 1 = (1 (1 + ) ) (1 + ) m 1, de pemos obter, por mapulações puramete algébrcas, o valor da prestação = A(1 + )m 1, (14) 1 (1 + ) e também o úmero de parcelas que pe servr báscamete para verfcação = log(1 ( A )(1 + )m 1 ) log(1 + ) (15)

4 .. Cálculo da taxa de juros Do mesmo mo que para o caso das operações atecpadas, para o cálculo da taxa de juros, o caso postecpado, as mapulações algébrcas são sufcetes em razão de que ão há como dexar em evdeca esta varável a equação fudametal (11). Etão, para resolver sto, usado a equação (14), obtemos de [1 (1 + ) ] = A(1 + ) m 1 A (1 + )m 1 + (1 + ) 1 = 0 sto é, cohecdas as varáves A,, e m a taxa de juros pe ser terpretada como uma raz da fução f() = A (1 + )m 1 + (1 + ) 1 (16) Note que se em (10) E = 0, e em (16) m = 1, ambas as equações cocdem. O domío da fução (16) é D f = R { 1} e é dervável e portato cotíua. O comportameto da fução em toro da assítota = 1, e os ftos e + é: lm 1 +[f()] = { + + se par lm 1 [f()] = { se ímpar + se m par lm [f()] = se m ímpar lm + [f()] = +. Claramete temos que f(0) = 0 e para a dervada f() = m A (1+)m 1 (m 1) A (1+)m (1+ ) 1, temos f(0) = A que pela cção (13) tem sal egatvo. Isto mplca que exste 0 > 0 tal que f() < 0 para to (0, 0 ). Escolha α arbtráro, porem fxo, tal que 0 > α > 0 etão f(α) < 0. or outro lado, f(1) = A.1.m = A m 1 + ( 1 1 ) > 0, pos m 1. ortato a cotudade de f em (α, 1) D f, garate a exstêca γ [α, 1] tal que f(γ) = 0. Este valor γ é a taxa de juros que pe ser ecotrada pelo méto da Bssecção descrto acma. 3 Implemetação da calculadora usado os software lvre QT-Desger O algortmo da bssecção juto com as fórmulas dervadas de (1), para o caso atecpado, e (11), para o caso postecpado foram mplemetados com QT-Desger para costrur o aplcatvo, segudo as oretações do maual de esta ferrameta [?] Fgura : Cálculo da taxa de juros mesal em mo atecpado 3.1 A Calculadora Facera possu dos mos: o Atecpado e o ostecpado. ara escolher etre o mo Atecpado e o mo ostecpado basta clcar o ítem correspete detro do quadro deomado Mo Mo Atecpado O Mo Atecpado, ou atecpação, é usado quado é paga uma etrada e as prestações são pagas os meses subseqüetes. No Mo Atecpado pe-se escolher os segutes ítes para serem calculados: preço à vsta preço fal etrada valor da parcela taxa de juros úmero de parcelas Exemplo 1 Supoha que você va a uma loja de eletroméstcos para comprar uma máqua de lavar roupa cujo preço à vsta é 1180 reas. Um

5 dos esquemas de facameto da máqua que o vededor lhe oferece é etrada de 400 reas mas 3 prestações mesas de 80 reas cada. Qual é a taxa de juros mesal aplcada?. Os campos da calculadora(para este exemplo) devem ser preechdos assm: Valor atual=1180, Etrada=310, Valor da arcela=310, Numero de arcelas=3 As resposta da calculadora mostrado o campo Resultado da Cosulta será: 3.41%, coforme mostrado a Fgura 3.1. Mo ostecpado O mo postecpado, é usado quado se começa a pagar algus meses após a compra, por exemplo: compre em dezembro e só comece a pagar em março do próxmo ao. No Mo ostecpado pe-se escolher os segutes ítes para serem calculados: preço à vsta preço fal valor da parcela taxa de juros úmero de parcelas Exemplo Supoha agora que você quer adqurr um empréstmo 3000 reas do seu baco para ser pago em 1 parcelas mesas e guas. O operador do seu baco lhe dz que cada mês você va pagar 340 reas. A prmera parcela terá que pagar depos de dos meses. Qual é a taxa de juros mesal que você va pagar ao baco? Fgura 3: Cálculo da taxa de juros mesal em mo postecpado [Trolltech, 004] Trolltech, I. (004). Qt Assstat - Qt Referece Documetato (free edto). Os campos da calculadora(para este exemplo) devem ser preechdos assm: Valor atual=3000, Valor da arcela=30, Mês Atual=03/005, Mês do prmero agameto=05/005, Numero de arcelas=1 As resposta da calculadora mostrada o campo Resultado da Cosulta será: 4,33%, coforme mostrado a Fgura 3 Referêcas Aálse Real, vol- [Lma, 199] Lma, E. (199). ume 1. IMA. [Morgado A., 000] Morgado A., E. Wager, S. Z. (000). rogressões e Matemátca Facera. IMA, Ro de Jaero, 4ta edto. [Ruggero M., 1996] Ruggero M., V. L. (1996). Cálculo Numérco: Aspectos Teórcos e Computacoas. Ed. Makro Books, São aulo, da edto.