1.1 Apresentação. do capítulo

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1 apítulo Matemátca Facera. Apresetação do capítulo A Matemátca Facera trata da comparação de valores moetáros que estão dspersos ao logoo do tempo. Através de seu estudo, podemos aalsar e comparar alteratvas de vestmeto e facameto, como por exemplo: Qual o valor de R$ ml hoje, daqu a um ao? omo comparar valores o tempo (R$5 ml hoje com R$5,4 ml daqu a um mês ou com R$597,6 daqu a um ao)? Quas as alteratvass de tomar emprestado cosderado os custos embutdos que você deverá arcar para saldar as suas dívdas futuras? O objetvo deste capítulo é apresetar os cocetos báscos ecessáros para o bom etedmeto das prcpas fórmulas da matemátca facera, seus elemetos e seus respectvos cálculos. Ao fal deste capítulo você terá vsto: A defção de juros e de taxa de juros; Os regmes de captalzação; A dfereça das taxass de juros omas, efetvas e reas; Uma vsão geral da aalse dos dferetes fluxos de caxa, do Valor Presete Líqudo VPL e da Taxa Itera de Retoroo TIR. Na pága segute você ecotra o quadro de oretações de estudo para a prova de certfcação do PQO BM&FBOVESPA deste capítulo. Idetfque a prova que rá fazer e estude os tópcos sugerdos. Bos Estudos!!!

2 Quadro de oretações de estudo para a prova de certfcação do PQO BM&FBOVESPA Tpos de Provas Item. Pág. Item. Pág. 4 Item.4 Pág. 7 Item.5 Pág. 8 Item.6 Pág. 8 Item.7 Pág. 9 Operações BM&FBOVESPA Operações BOVESPA Operações BM&F omercal omplace Rsco BackOffce BM&FBOVESPA BackOffce BOVESPA BackOffce BM&F

3 Matemátca Facera. Juros e Taxa de Juro Os juros represetam o custo do dhero tomado emprestado, ou, aalogamete, a remueração pelo sacrfíco de adar uma decsão de gasto/cosumo e aplcar o captal ( ) por certo úmero de períodos (). Defções aptal: valor aplcado por meo de alguma operação facera. Também cohecdo como: Prcpal, Valor Atual, Valor Presete ou Valor Aplcado. Em geral, o aptal costuma ser deotado por. Número de períodos: tempo, prazo ou período, em determada udade de tempo (das, meses, aos etc.) em que o captal é aplcado. Em geral, o úmero de períodos costuma ser smbolzado por. Supoha que você resolva veder o seu apartameto pelo valor de R$ ml e recebe uma proposta de compra por R$98 ml a vsta, quado da emssão do boleto de compra veda ou R$8 ml esse ato e mas R$ ml quado da escrturação, que será realzada das depos. Qual será o melhor egóco para você: receber R$98 ml hoje ou as duas parcelas sugerdas pelo comprador? Para resolver a questão acma precsamos eteder o que são juros. Qual a dfereça etre juros e taxa de juro? Juros (J): valor expresso em dhero (por exemplo, em reas), referete a um determado captal e para um determado período. Pode também ser defda como a remueração do captal, ou seja, o valor pago pelos devedores aos emprestadores em troca do uso do dhero. Ao fazer uma aplcação facera, o motate fal resgatado após períodos () deve ser gual ao captal cal ( ) aplcado mas os juros (J) gahos a operação. Logo, podemos escrever: Motate fal = aptal Ical + J ou: = + J Portato: J = Taxa de juro (): é a porcetagem aplcada ao captal cal que resulta o motate de juros (J). ocetualmete, a taxa de juros é o custo de oportudade do captal, sto é, a taxa paga/recebda para que um captal seja aplcado e resgatado o futuro, e ão gasto o presete. A taxa de juro pode ser calculada da segute forma: A taxa de juros é sempre expressa em porcetagem, para tal, basta multplcar o resultado por %. Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

4 Matemátca Facera A partr do cálculo da taxa de juros, é possível calcular dretamete o motate de juros, observe: sedo a fórmula da taxa de juros dada por: esta fórmula pode ser escrta como: sedo o motate de juros calculado como: J J substtudo J a fórmula da taxa de juros: J Portato, pode se obter o motate de juros por: Assmlado este coceto, você optara por receber R$98 ml hoje ou R$8 ml hoje e mas R$ ml em um mês? Logcamete, a resposta depederá da taxa de juro pratcada o mercado. oforme a taxa vgete, poderá ser mas vatajoso receber os R$98 ml hoje e aplcá los em uma sttução facera durate um mês ou receber R$8 ml hoje, aplcá los por um mês e, o fal desse período, receber mas R$ ml do comprador. Observe que para tomar esta decsão, é precso comparar um valor de hoje com um valor em uma data futura. Exemplos de cálculos de juros, taxas de juros e do captal: a) ompre um título por R$98.9, que va pagar R$., em um mês. Qual a taxa mesal da aplcação e o motate de juros recebdo? Solução: pelos dados do problema: = R$98.9, = R$., = mês =? J =? Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

5 Matemátca Facera., 98.9,,99 ao mês Para obter a taxa em porcetagem, basta multplcá la por :,99 x % =,99% ao mês. J =., 98.9, =.96,78 Ou: J,9998.9,.96,78 Repare que, ao calcular a taxa de juros, o resultado está especfcada a perodcdade da taxa, o que é muto mportate. No caso, como a aplcação fo de um mês, a taxa calculada é a taxa mesal, ou ao mês. b) A taxa de juro é gual a % ao ao. Qual o valor, hoje ( ), de um título cujo valor de resgate é R$5., e que vece daqu a um ao? Solução: o eucado do problema os dz que: =? = R$5., = ao = % ao ao 5.,, 4.666,67 Ou seja, se for feta hoje uma aplcação o valor de R$4.666,67 à taxa de % ao, após um ao será resgatado R$5.,. Utlzado a fórmula usada aterormete para calcular a taxa de juros, futuro pode ser faclmete ecotrado:, o valor Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

6 Matemátca Facera 4 Pelos dados do exemplo ateror, tem se que:, 5., 4.666,67 x. O motate fal ( ) obtdo a aplcação facera também é cohecdo como VALOR FUTURO (VF). Exemplo: se eu aplcar R$5., por um ao à taxa de juro de % ao ao, qual o valor futuro do resgate? 5., x, 56.5, Neste caso, o motate de juros é: J,5., 6.5,, que é a dfereça etre o captal aplcado e o valor futuro esperado.. Regmes de aptalzação As taxas de juros foram calculadas apeas para um úco período, etretato, para resolver problemas de cálculo de taxas de juros em dos ou mas períodos é ecessáro trabalhar com a oção de regme de captalzação. Defções Regme de aptalzação: é a forma como a taxa de juro cde sobre o captal cal em város períodos de tempo. É possível destacar os segutes regmes de captalzação: Regme de aptalzação Smples: os juros de cada período são sempre calculados em relação ao aptal Ical ( ); Regme de aptalzação omposta: os juros de cada período são calculados com base o aptal Ical ( ), acrescdo dos juros relatvos aos períodos aterores. Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

7 Matemátca Facera 5 A taxa de juro do Regme de aptalzação Smples é cohecda como taxa de juro smples. Já o Regme de aptalzação omposta, a taxa é defda como taxa de juro compostos. Algumas característcas são guas os dos regmes de captalzação: os juros são pagos ou recebdos ao fal de cada período de captalzação; o captal, aplcado ou emprestado, é captalzado a cada período de tempo; os períodos de tempo são dscretos, sto é, são potuas, por exemplo: das, meses e aos. A segur serão detalhados os regmes de captalzação. REGIME DE APITALIZAÇÃO SIMPLES OU JUROS SIMPLES No regme de captalzação smples, como dto aterormete, as taxas de juros () deomadas de juros smples recaem sempre sobre o captal cal ( ). Dessa forma, ao resgatar a aplcação corrgda por juros smples, o motate fal ( ) ou valor futuro (VF) será o captal cal depostado acrescdo do motate de juros gahos os períodos em que o captal fcou aplcado. Para eteder o fucoameto do regme de captalzação smples, supoha que você aplcou R$.,, a uma taxa de juro smples de % ao mês (a.m.), por quatro meses, corrgdo o captal sempre ao fal de cada mês. Qual o motate fal da aplcação? Vamos acompahar esta operação passo a passo: Período aptalzação Fórmula Data (da da operação) = R$. = % a.m. =, a.m. = 4 meses Não há correção do captal cal, que ocorrerá somete a partr do prmero mês da aplcação. = valor futuro (VF) ao fal do mês Mês.,...,,. Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

8 Matemátca Facera 6 Mês Mês Mês 4 = valor futuro (VF) ao fal do mês.,.,..,,.,.,4.,4. 4 = valor futuro (VF) ao fal do mês.,,..,,.,.,6., = valor futuro (VF) ao fal do mês ,,. 4.,, 4. 4, 4 4.,8.,8. 8 Note acma que, a cada mês, as taxas de juros recaem sempre sobre o captal cal ( x ), parcelas que são somadas ao valor futuro do mês ateror, até chegar ao valor fal de resgate ( 4 ). Assm, a cada mês, o valor do motate de juros ovos é sempre o mesmo (este exemplo, gual a R$,). Assm podemos defr a expressão matemátca de aptalzação Smples para um úmero de períodos como: Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

9 Matemátca Facera 7 Ode: valor presete (captal cal) valor futuro após períodos úmero de períodos taxa de juro Importate O prazo da operação (úmero de períodos ) e a taxa de juro () devem estar expressos a mesma udade de tempo. aso, por exemplo, a taxa de juro esteja expressa ao ao, o úmero de períodos deve se referr à quatdade de aos. Exemplo de Regme de aptalzação Smples: Ao aplcar um motate de R$.,, a uma taxa de juro de % a.m, por sete meses, qual é o valor de resgate desta operação? Solução: substtudo os valores dados o problema a fórmula de captalzação smples, temos: ,7,,. Dessa forma, após sete meses, à taxa de juros smples de % ao mês, o valor de resgate será de R$.,. O motate de juros somado a cada mês ao captal cal é de: No total dos sete meses: J = x =, x. = por mês J = x x = 7 x, x. = que é justamete o motate adcoado ao captal cal para chegar ao valor de resgate. VARÁVEIS DA FÓRMULA DE JUROS SIMPLES A partr da fórmula de captalzação smples, é possível extrar três outras fórmulas muto útes para os cálculos faceros. Observe a segur. Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

10 Matemátca Facera 8 ) Valor presete: Para ecotrar a fórmula do valor presete (ou captal cal) a partr da fórmula do valor futuro a captalzação smples, basta solar o termo a equação: ) Taxa de juros: ohecedo o valor cal, o valor fal e o prazo da aplcação, é possível ecotrar a taxa de juro pela segute fórmula: ) Prazo da operação: Dada uma determada taxa de juro, o valor cal do vestmeto e o valor fal que se deseja alcaçar, qual o prazo que o captal deve permaecer a aplcação? Essa perguta pode ser dretamete respodda pela fórmula a segur: Exemplos: ) Você fez um empréstmo de R$., a uma taxa de juro smples de,5% ao mês a ser pago em meses. Qual o motate fal deste empréstmo?...,5,8,8.8 Logo, ao fal do empréstmo você rá pagar ao credor R$.8,. ) Qual é o valor presete de um empréstmo que deve ser pago em ses meses, cujo valor futuro é de R$.4,, admtdo uma taxa de juro smples de % ao mês? Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

11 Matemátca Facera 9.4,6.4,.4.964,8, Assm, para resgatar R$.4, em ses meses, à taxa de % ao mês, deve se aplcar hoje R$.964,8. ) Se você aplcar R$5., a uma taxa de juro smples de % ao ao, quatos aos vão demorar para trplcar este valor, atgdo, portato, R$5.,? 5. 5., 6,67aos, Isto é, para atgr R$5.,, aplcado R$5., à taxa de juros smples de % ao ao, o captal deve permaecer aplcado 6,67 aos. 4) Uma aplcação de R$., fo resgatada meses depos, resultado em um valor fal de R$.,. Qual a taxa de juro da operação, cosderado que fo feta captalzação smples?..,,77 ao mês,77% ao mês Assm, o captal cal de R$., deve ser corrgdo à taxa de juro smples de,77% ao mês para que se resgate R$., após meses. Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

12 Matemátca Facera Importate: Note que a udade de tempo dos períodos das aplcações e da taxa de juro deve ser a mesma. Ou seja, quado os prazos estão em meses, a taxa de juro resultate deve ser expressa ao mês. Se o prazo está expresso em aos, a taxa de juro deve ser expressa ao ao. Taxa Proporcoal No regme de captalzação smples duas taxas são dtas proporcoas, quado aplcadas a um mesmo captal, e por um mesmo prazo, geram o mesmo motate. Pelo método de cálculo de juros smples, duas taxas de juro, e, serão cosderadas proporcoas se, ao aplcar dos motates cas guas ( ), por dos períodos dsttos de captalzação, e, os motates fas resgatados forem guas após determado período de tempo, ou seja: Em que: valor presete valor futuro após períodos úmero de períodos taxa de juro e omo os motates fas ( ) são guas, é possível escrever: Logo, as taxas e são dtas proporcoas quado: O que pode ser reescrto da segute forma:. Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

13 Matemátca Facera Esta últma fórmula mostra que é possível calcular a taxa de juro, proporcoal à taxa de juro, cohecedo se apeas o prazo de captalzação e os dados da outra aplcação ( e ). Exemplo: ) Qual é a taxa aual proporcoal à taxa de juro de,5% ao mês? = taxa proporcoal aual a ser ecotrada (?) = ao =,5% ao mês = meses Logo:, 5%. 8% ao ao ) Qual é a taxa ao da proporcoal à taxa de juro de % ao ao, cosderado se 6 das corrdos? = taxa proporcoal ao da a ser ecotrada (?) = 6 das corrdos = % ao ao = ao %.,55% ao da Logo: 6 Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

14 Matemátca Facera Regme de aptalzação omposta ou Juros ompostos No regme de aptalzação omposta, os juros de cada período cdem sobre o captal cal ( ) acrescdo do motate de juros dos períodos aterores, e ão somete sobre o em cada período, como a captalzação smples. Dessa forma, o crescmeto do valor futuro passa a ser expoecal, e ão mas lear como o regme de captalzação smples. Vamos aalsar uma aplcação feta sob a captalzação composta para compreeder a formação do valor futuro (VF) este tpo de operação. Supoha que você aplcou R$.,, a uma taxa de juro composta de % ao mês, por quatro meses. Qual o motate fal da aplcação? Vamos acompahar esta operação passo a passo: Período aptalzação Fórmula Data (da da operação) = R$. = % a.m. =, a.m. = 4 meses Não há correção do captal cal, que ocorrerá somete a partr do prmero mês da aplcação. = valor futuro (VF) ao fal do mês Mês.,...,,. Mês = valor futuro (VF) ao fal do mês.,,.,.,.,44.44 Mês = valor futuro (VF) ao fal do mês Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

15 Matemátca Facera.,,.,.,.,68.6,8 Mês 4 4 = valor futuro (VF) ao fal do mês ,, 4 4., 4 4., 4 4.,84.84, Veja pela tabela acma que a taxa de juro () é captalzada sempre sobre o valor cal, somado aos juros do período ateror. Isso caracterza o regme de captalzação composta. Assm podemos defr a expressão matemátca da captalzação composta para um úmero de períodos como: Ode: : valor presete (captal cal) : valor futuro após períodos : úmero de períodos : taxa de juro em porcetagem Esta expressão mostra como um captal cal ( ), aplcado por períodos, a uma taxa de juro () composta, trasforma se o valor futuro ( ). Importate Assm como o regme de captalzação smples, o prazo da operação (úmero de períodos) e a taxa de juro devem estar expressos a mesma udade de tempo. aso, por exemplo, a taxa de juro esteja expressa ao ao (% ao ao, por exemplo), o úmero de períodos deve se referr à quatdade de aos. Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

16 Matemátca Facera 4 Varáves da fórmula de juros compostos São quatro (4) as varáves a composção da fórmula de juros compostos. Observe: ohecedo três elemetos da expressão, é possível calcular o restate, bastado, para sso, realzar algumas trasformações a fórmula básca. ) Valor presete: Para calcular o valor do captal cal (valor presete) que deve ser aplcado, a uma dada taxa de juro, para resgatar um determado motate, basta solar em um dos lados da equação do valor futuro da captalzação composta, resultado em: J J J J J Podemos ada obter o valor presete a partr dos juros do período. Observe abaxo: ) Motate de juros: osderado que o motate de juros (J) é defdo pela expressão: J =, o valor de J é ecotrado dretamete quado substtuímos o valor futuro ( ) pela sua fórmula de cálculo. Assm: ) Taxa de juro: J ou: J O motate de juros também pode ser ecotrado dretamete pela taxa de juro. A fórmula dreta da taxa de juro dervada a partr do valor futuro é: Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

17 Matemátca Facera 5 4) Prazo da operação: Por fm, o prazo da operação pode ser dretamete calculado por : l l Exemplos: ) Você aplcou R$., a uma taxa composta de,% ao mês por sete meses. Qual é o motate,, acumulado ao fal deste período? alcule o motate de juros acumulado o período. Solução: Valor futuro (motate acumulado):.,.,., ,9 7 7 Motate de juros: J. J. J. 7,,569, , 9 ) alcule o captal cal de uma aplcação que, aplcada por dos meses à taxa de juro de 4% ao mês, acumulou o motate fal de R$6.,. No aexo A você ecotra os procedmetos para cálculo do LN. Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

18 Matemátca Facera 6 Solução: 6.,4 6., ,89,86 ) Determe o captal, que aplcado durate ses meses a uma taxa de juro composta de % ao mês, obteve um redmeto de juros de R$.,. Solução:. 6,., 6.,66., ,85 Logo, ao aplcar R$58.58,85 durate ses meses, à taxa de juro de % ao mês, o retoro obtdo total será de R$.,. 4) Você aplcou R$5 ml a uma taxa de juro composto de % ao ao. Quatos aos serão ecessáros para trplcar o valor? Solução: Ao trplcar o valor aplcado de R$5., o valor de resgate será de x 5. = 5.. om este dado, é possível chegar à solução usado a fórmula dreta do prazo da operação: Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

19 Matemátca Facera 7 5. l 5. l, l l,,986, 9,69 aos Este resultado mostra que são ecessáros 9,69 aos para trplcar o captal cal de R$5. aplcados à taxa de juro de % ao. 5) Se forem aplcados R$., pelo regme de captalzação composta, obtedo um resgate de R$., após meses, qual a taxa de juro da aplcação? Solução:..,,769,65,65 ao mês Em porcetagem:,65 x % =,65% ao mês Portato, a taxa de juro da aplcação é de,65 % ao mês. Importate: Assm como a captalzação smples, a udade de tempo dos períodos das aplcações e da taxa de juro deve ser a mesma. Ou seja, quado os prazos estão em meses, a taxa de juro resultate deve ser expressa ao mês. Se o prazo está expresso em aos, a taxa de juro deve ser expressa ao ao. No etato, pode haver a ecessdade de alterar a perodcdade da taxa de juro e/ou do prazo. Para sto ser possível, será precso aalsar o coceto de taxas equvaletes o regme de captalzação composta. Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

20 Matemátca Facera 8 Taxa Equvalete Duas taxas de juro são equvaletes se, ao aplcar um motate cal, por prazos dêtcos, mas com perodcdades dferetes, o motate fal, captalzado por cada uma das taxas, for o mesmo. No regme de juros compostos, duas taxas de juro e são cosderadas equvaletes se ao captalzar um motate cal pelo mesmo prazo, mas com perodcdades dsttas e, resultar em um mesmo motate fal. Dessa forma, é possível escrever que: e Em que: valor presete valor futuro após períodos úmero de períodos taxa de juro em porcetagem omo os motates fas são guas, etão: Elevado os dos lados da gualdade por chega se a: e fazedo algumas mapulações algébrcas Assm, é possível ecotrar a taxa, equvalete à taxa de juro, cohecedo os períodos de captalzação para cada uma das taxas, e. Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

21 Matemátca Facera 9 Exemplos de Taxa Equvalete: ) Qual a taxa dára equvalete a 6% ao mês, pelo regme de captalzação composta? = taxa equvalete dára a ser ecotrada (?) = das = 6% ao mês = mês Logo:,6,94 ao da Em porcetagem:,94 x % =,94% ao da. ) Qual a taxa aual equvalete a,5% ao mês, pelo regme de captalzação composta? = taxa equvalete aual a ser ecotrada (?) = ao =,5% ao mês = meses Logo:,5,956 ao ao Em porcetagem:,956 x % = 9,56% ao ao. Taxas Acumuladas A taxa acumulada de juros em um período é obtda medate a aplcação da Fórmula de Fsher. Esta taxa é amplamete utlzada o mercado facero para cálculo do redmeto de vestmetos que mudam sua remueração a cada período (exemplo: fudos de vestmeto atrelados aos Depóstos Iterfaceros de da). Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

22 Matemátca Facera Fórmula de Fsher:... acumulada acumulada : taxa de juro referete ao período : taxa de juro referete ao período : taxa de juro referete ao período... : taxa de juro referete ao período... Lembrete : A fórmula da taxa de juro real, advém da Fórmula de Fsher, com a qual se obtém uma taxa acumulada em um período de tempo a partr das taxas que ocorreram em seus subperíodos. Assm, sedo: acumulada... ( ) Pode se defr: ( ) efetva ( efetva ) de ode: real ( ) f lação real f lação Exemplos: aso : Um vestdor está aplcou dhero em um fudo que apresetou as retabldades ctadas abaxo. ohecedo os dados, calcule a retabldade acumulada o trmestre do ao. Outubro:,65% Novembro:,% Dezembro:,86%. Este coceto sera melhor dscutdo o tem.4 Taxa Nomal, Efetva e Real Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

23 Matemátca Facera, 65, 86 ( acumulada ),,65,,86, e acumulada 56aotrmestr Em porcetagem: acumulada =,56 x % = 5,6% ao trmestre aso : Um agete de mercado aplcou certa quata em títulos prefxados durate 96 das, cuja retabldade era de 8% ao ao. Após o resgate, aplcou ovamete em títulos por das, que garatram retabldade de 8,5%a.a. alcule a retabldade acumulada o período. Note que, este caso, é precso calcular a taxa equvalete para as duas aplcações. acumulada,8,85 acumulada,454,58,596 acumulada acumulada 96 6,58,596 Em porcetagem: acumulada =,596 x % =,596% ao período aso : No período abaxo, um dexador regstrou as taxas de flação dcadas abaxo em certo ao. alcule a flação acumulada o período. Jaero:,% Feverero:,% Março:,4% Abrl:,5% Mao:,% Juho:,% acumulada,,,4,5,, acumulada,,,4,5,,,656 acumulada acumulada,656,656 6 Em porcetagem: =,656 x % = 6,56% ao período Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

24 Matemátca Facera Taxas otíuas Nos regmes de captalzação smples e composta, os juros são pagos ou recebdos ao fal de cada período de captalzação. O captal, aplcado ou emprestado, é captalzado e tem aumeto a cada tervalo de tempo cosderado, sedo este dscreto. À dfereça dos regmes de captalzação acma ctados, o regme de captalzação cotíua, exste pagameto de juros a cada período ftesmal de tempo. om sso, o captal cresce cotuamete o tempo a uma taxa de juro statâea. Veja, a segur, os cocetos relatvos a este tpo de captalzação, etededo os procedmetos de cálculos. No regme de captalzação composta, ao vestr um determado captal ( ), a uma taxa de juro (), pelo período de aos, obteremos um valor gual a: Se a captalzação ocorrer k vezes ao ao, o valor de resgate será dado por: k k aso o úmero de captalzações teda ao fto (k ), temos o regme de captalzação cotíua. Neste caso, o valor de resgate é dado por: e r Ode: r = taxa de juro statâea. Para calcular a taxa de juro statâea (r) equvalete a uma dada taxa de juro composta (), tem se: e l e r ( ) r l( ) r l e l( ) r l e l( ) r l( ) Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

25 Matemátca Facera Exemplos de Taxas otíuas: ) osderado uma taxa de juro de 6% ao ao, o regme de captalzação composta, calcule a taxa statâea de juro para das. Solução: A taxa de juro statâea ao ao é gual a: r = l ( +,6) =,484 ao ao Em porcetagem: r =,484 x % = 4,84% ao ao. Para um período de trta das, a taxa é de: r,484 6,4 ao mês Em porcetagem: r =,4 x % =,4% ao mês. ) A partr de uma taxa de juro composta de % ao.mês, qual é a taxa statâea de juro ao semestre? Solução: osderado o período de um mês, temos a segute taxa de juro statâea: r = l ( +,) =,98 ao mês Em porcetagem: r =,98 x % =,98% ao mês. A taxa ao semestre é de: r =,98 6 =,88 ao semestre Em porcetagem: r =,88 x % =,88% ao semestre. ) Qual é a taxa de juro mesal e aual o regme de captalzação cotíua, sabedo que a taxa statâea de juro semestral é de 5%. Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

26 Matemátca Facera 4 Solução: r = l ( +,5) =,4879 ao semestre Em porcetagem: r =,4879 x % = 4,879% ao semestre. A taxa mesal é de: r,4879,8 ao mês 6 Em porcetagem: r =,8 x % =,8% ao mês alculado a taxa aual, tem se: r aual =,4879 =,9758 ao ao Em porcetagem: r =,9758 x % = 9,758% ao ao. TAXAS EQUIVALENTES NA APITALIZAÇÃO ONTÍNUA A razão etre o valor de resgate ( ) e valor cal ( ) os regmes de captalzação cotíua e de captalzação composta é dada pelas respectvas fórmulas: / = e I :Regme de aptalzação otíua / = ( + r) :Regme de aptalzação omposta Sedo, r a taxa de juro a captalzação composta. É possível, etão, coclur que: e I = ( + r) e I = ( + r) Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

27 Matemátca Facera 5 E, portato,: = l( + r) Exemplos de taxas equvaletes a captalzação cotíua a) Dadas as taxas de juro compostas, calcule a taxa de juro cotíua equvalete. r % a.m. = l ( +,) = 9,5% a.m % a.a. = l ( +,) = 9,6% a.a.,5% a.t. = l ( +,5) =,44% a.t. b) Dadas as taxas de juro statâeas, calcule a taxa de juro composta equvalete. r 5% a.m. r = e,5 = 5,% a.m 7% a.a. r = e,7 = 8,5% a.a % a.t. r = e, =,% a.t Note que os exemplos apresetados cosderaram os mesmos períodos de tempo as duas taxas de juro. Podem exstr casos, o etato, que uma taxa de juro (r) o regme de captalzação composta é forecda para um período e solcta se a taxa statâea de juro () equvalete para um período dferete do ateror. O prmero passo para este tpo de questão cosste em achar a taxa statâea de juro, cosderado o mesmo prazo da taxa de juro composta. Feto sso, obtém se a taxa de juro equvalete àquela obtda. Para tato, é fudametal saber que, o regme de captalzação cotíua, as taxas de juro equvaletes são learmete proporcoas. Ou seja, uma taxa de juro statâea de 6% ao semestre equvale a uma taxa aual de %. Veja o exemplo a segur. Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

28 Matemátca Facera 6 Exemplos de taxas cotíuas a) osderado uma taxa de juro de 6% a.a. o regme de captalzação composta, calcule a taxa statâea de juro para das. A taxa de juro statâea para um ao é gual a: = l ( +,6) = 4,84 % a.a Para um período de trta das, a taxa é de: =,484 / 6 =,4% a.m b) A partr de uma taxa de juro composta de % a.m, qual é a taxa statâea de juro ao semestre? osderado o período de um mês, temos a segute taxa de juro statâea: = l ( +,) =,98% a.m A taxa ao semestre é de: =,98 6 =,88% a.s c) Qual é a taxa de juro mesal e aual o regme de captalzação cotíua, sabedo que a taxa statâea de juro semestral é de 5%. mesal =,5 /6 =,8% a.m aual =,5 = % a.a Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

29 Matemátca Facera 7.4 Taxas Nomal, Efetva e Real Uma taxa de juro é defda como omal quado é calculada em relação ao valor omal da aplcação ou empréstmo, coforme o valor acordado o cotrato ou título. Dessa forma, é possível otar que se trata de um valor aparete. Em stuações em que a taxa de juro é calculada sobre o valor efetvamete emprestado ou aplcado, defe se a taxa como efetva. Adcoalmete, quado este valor é corrgdo pela flação do período da operação, a taxa de juro calculada é defda como real. Esta últma é obtda pela segute fórmula: Taxa real ( Taxa Efetva) ( Taxa de Iflação) Exemplo de Taxas Nomal, Efetva e Real osdere que a empresa TNK obteha um empréstmo do baco com a qual trabalha o valor de R$ 7 ml, sedo que terá que pagar R$ 85 ml após quatro meses da cotratação. O baco solcta que o clete mateha % do valor do empréstmo como saldo médo durate o período da operação. Além dsso, fo cobrada uma taxa de abertura de crédto de R$ 8,; a qual fo paga o ato da cotratação. Nestes quatro meses, a taxa de flação acumulada fo gual a 7%. alcule a taxa de juro omal, efetva e real da operação. a) Taxa omal o m al Juros pagos aptal (85. 7.) cal 7.,4%a.p ou 4,97%a.m. b) Taxa efetva Juros pagos efetva aptal cal efetvo 85., , , 7. efetva,97%a.p ou 5,5%a.m. Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

30 Matemátca Facera 8 omo o baco cobrou uma taxa para o empréstmo e estpulou que a empresa deve dexar % do valor do empréstmo como saldo médo em cota correte, observe que o valor efetvo do empréstmo é de R$ 6.9, (= R$ 7., R$ 7. R$ 8,) e que o valor de resgate é gual a R$ 78. (o pagameto do empréstmo é completado pelos R$ 7. matdos como saldo médo). c) Taxa real real ( ( efetva f lação ) ) real (,97) (,7) real 5,86%a.p. Lembrete: Na lteratura sobre este assuto, exste uma outra abordagem relatva ao coceto de taxa omal e efetva. A taxa omal de juros cosste a taxa em que a udade de tempo para a qual ela fo defda ão cocde com a udade de tempo para a qual fo captalzada. Já para a taxa efetva, exste tal cocdêca. Observe: Supoha que temos uma taxa de juro de 4% a.a. captalzada mesalmete: a) Taxa de juro Nomal = / º de captalzações =,4 / =, = % a.m. b) Taxa de juro Efetva=,, 68 = 6,8% a.a..5 Aálse dos dferetes fluxos de caxa Supoha que você decda comprar uma televsão de polegadas para o seu flho. Para tato, ca uma pesqusa de preços em váras lojas da cdade. Ao observar o ível dos preços para este eletroeletrôco, chega à coclusão que ão será possível realzar a compra a vsta. Assm, dos orçametos, cosderado vedas a prazo, parecem ser os mas atraetes: A loja EletroSom está vededo televsores de polegadas da marca X a R$55, a vsta ou em parcelas guas e mesas de R$59,64, sedo o prmero pagameto feto das depos da compra; Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

31 Matemátca Facera 9 A loja MultSom auca o mesmo televsor a R$55, a vsta ou em parcelas guas e mesas de R$49,94, sedo o prmero pagameto feto o ato da compra. Qual das alteratvas é a mas vatajosa? Aalsado cocetualmete este exemplo, podemos perceber que algus potos dferem da aálse ateror, quado trabalhamos com a déa da exstêca de um vestmeto ou empréstmo de um motate de captal (ou Valor Presete VP) por um período de tempo () a uma taxa de juros () que resultara em um Valor Futuro (VF). Neste capítulo: os pagametos e os recebmetos serão fetos em determados prazos; as etradas ou saídas terão vecmetos peródcos; a prmera prestação ou aplcação pode cdr o começo do período, ou seja, o ato da compra (termos atecpados) ou o fal (termos postecpados). Esta stuação ocorre em város tpos de facametos e empréstmos credáros, leasg, rédto Dreto ao osumdor (D) e etc. Acompahe os cocetos apresetados a segur e ao fal você aprederá como avalar qual é a melhor opção para a compra do televsor. FLUXOS DE AIXA HOMOGÊNEOS Pagametos postecpados Fluxos de axa Homogêeos Em stuações, em que a prmera prestação (ou aplcação) é paga (ou recebda) um período após a cotratação, temos um fluxo de caxa com termos postecpados. Quado as prestações são guas ao logo do período temos um fluxo de caxa homogêeo. Veja os esquemas a segur. Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

32 Matemátca Facera Prestações Iguas Pagameto Postecpado VP PMT = valor das prestações Aplcações Iguas Ivestmeto Postecpado PMT = valor das aplcações VF Observe que, o prmero caso, o captal cal (Valor Presete, VP) será gual à somatóra dos valores presetes das prestações (PMT), cosderado a taxa de juros () pratcada. Ou seja: PMT PMT VP ( ) ( ) PMT ( ) PMT ( ) A partr desta expressão, é possível coclur que: VP PMT ( ) PMT VP ( ) Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

33 Matemátca Facera No segudo caso, o Valor Futuro (VF) será gual à somatóra das aplcações corrgdas pela taxa de juros vgete. Ou seja: VF PMT ( ) PMT ( ) PMT ( ) PMT ( ) Realzado algumas trasformações algébrcas, chegamos a: VF PMT PMT VF ( ) Em cada fórmula, verfque que temos quatro varáves: o captal cal (Valor Presete, VP) ou o captal fal (Valor Futuro, VF), a taxa de juros (), o período () e a prestação (PMT). om sso, uma sére de stuações pode ocorrer, tedo como cógta uma destas varáves. Acompahe os exemplos a segur. Exemplos de pagametos postecpados (Fluxos de axa Homogêeos): ) A loja Promocoal está aucado a veda de televsores de polegadas a R$6, a vsta ou em parcelas guas e mesas, sedo o prmero pagameto feto das depos da compra. A taxa de juros pratcada pela loja é de,5%ao mês om base estas formações, calcule o valor das prestações. Solução: ote que temos o Valor Presete (VP = R$ 6,), a taxa de juros ( =,5% ao mês), período ( = meses) e sabemos que o pagameto é postecpado. O objetvo é calcular o valor das prestações (PMT), cuja fórmula é: PMT VP ( ),5 PMT 6,5 $65,6 R (,5) Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

34 Matemátca Facera ) O Sr. Edvdado obteve um facameto, a modaldade D rédto Dreto ao osumdor. Restam parcelas mesas para serem amortzadas, clusve a que vece o fal deste mês, o valor de R$.759,. A taxa de juros pratcada pela sttução facera é de,5% ao mês om tas dados, calcule o valor presete do facameto. Solução: foram dados pelo problema: o valor das parcelas (PMT = R$.759,), período ( = meses), a taxa de juros ( =,5%ao mês) e a formação de que o pagameto é postecpado. Devemos achar o valor presete da segute forma: VP PMT ( ),5 VP.759, (,5) R$5.,4,5 ) A cocessoára Bom Passeo está vededo um carro X a R$., a vsta ou em 6 parcelas mesas de R$.75,, sedo o prmero pagameto feto em das. alcule a taxa de juros mesal pratcada pela empresa. Solução: este caso, temos o Valor Presete (VP = R$.,), o valor das parcelas (PMT = R$.75,), período ( = 6 meses) e sabemos que o pagameto é postecpado. Para calcular a taxa de juros, precsa se do auxílo de uma calculadora facera, pos o resultado deve ser alcaçado por processo teratvos (pos ão possuímos uma fórmula como o caso de PV, ou FV).: PMT VP ( ).75,. ( ) 6 6,99% a. m. 4) erto clete ecessta tomar um facameto o valor de R$7., para a compra de um veículo, porém pode apeas dspor para pagameto um valor de R$555, mesas. Sabedo que a taxa de juros da sttução facera que realzará este facameto é de,5%ao mês e que o pagameto é postecpado, calcule o período de tempo que esta pessoa amortzará sua dívda. Solução: foram dados pelo problema: valor presete (VP = R$7.), valor das parcelas (PMT = R$555,), a taxa de juros ( =,5%ao mês) e a formação de que o pagameto é Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

35 Matemátca Facera postecpado. Assm como caso do cálculo da taxa de juros, é ecessáro cotar com uma calculadora facera para ecotrar o resultado. Neste caso o resultado é: VP PMT ( ), (,5),5 5 meses 5) Sabedo que a cadereta de poupaça está tedo um redmeto médo de,9% ao mês, um vestdor gostara de saber quato ele deve aplcar mesalmete para obter após meses a quata de R$.,. osdere que a prmera aplcação será feta daqu a das. Solução: o problema, este caso, é achar o valor das prestações, PMT. Sabemos o Valor Futuro (VF = R$.,), a taxa de juros ( =,9%ao mês) e o período de tempo ( = meses). Além dsso, temos que o pagameto é postecpado. Veja os cálculos abaxo:,9 PMT VF PMT. PMT ( ) (,9) R $ 79,88 6) O Sr. Ecoômco aplca todo mês uma quata de R$., em um fudo que vem rededo,5%ao mês osderado que esta aplcação seja efetuada durate 8 meses, calcule o valor futuro (ou valor de resgate) deste vestmeto. Utlze o coceto de termos postecpados. Solução: agora, a questão cosste em achar o Valor Futuro, sabedo a taxa de juros ( =,5%ao mês), a prestação (PMT = R$.) e o período de tempo ( = 8 meses). Observe os cálculos, adotado que os termos são postecpados. VF PMT,5 VF.,5 8 VF R$4.978,75 IMPORTANTE: Verfque que estes problemas seguem sempre a mesma lógca. A partr dos prcípos apresetados, é possível também calcular a taxa de juros e o úmero de prestações em stuações em que se realzam aplcações. Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

36 Matemátca Facera 4 Pagametos Atecpados Fluxos de axa Homogêeos Os termos atecpados são caracterzados quado a prmera prestação (ou aplcação) é paga (ou recebda) o ato da cotratação. Observe, a segur, os respectvos fluxos os casos em que se realza o pagameto de prestações para abater o saldo devedor. Prestações Iguas Pagameto Atecpado PMT = valor das prestações VP Aplcações Iguas Ivestmeto Atecpado PMT = valor das prestações + VF No caso, acma apresetado, cosderado termos atecpados, temos: VP PMT ( ) ( ) PMT VP ( ) ( ) No caso de aplcações de certos valores (homogêeos) para resgate futuro, temos: Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

37 Matemátca Facera 5 Em stuações em que se deseja obter o Valor Futuro de aplcações guas e cosecutvas, utlza se: VF PMT ( ) PMT VF ( ) ( ) Da mesma forma que o caso dos pagametos com termo postecpado, em cada fórmula, temos quatro varáves: captal cal (Valor Presete, VP) ou captal fal (Valor Futuro, VF), a taxa de juros (), o período () e a prestação (PMT). Neste setdo, os problemas forecerão três varáves e determaremos a quarta. Para efetuar os cálculos é recomedável o uso de calculadoras faceras que cotem váras das fuções dscutdas até aqu, clusve a de dferecar etre o cálculo quado o fluxo é postecpado ou atecpado. Veja a segur algus exemplos: Exemplos de pagametos atecpados (Fluxos de axa Homogêeos): ) Uma pessoa físca obteve um facameto a modaldade D (rédto Dreto ao osumdor) o valor de R$5.,, para ser amortzado em parcelas mesas, guas e cosecutvas. Sabedo que a taxa de juros pratcada é de 6%ao ao e que os pagametos são atecpados, calcule o valor das aplcações. Solução: este problema, temos: o Valor Presete (VP = R$5.), o período de tempo ( = ) e a taxa de juros ( = 6%ao ao). Observe que será precso dexar a taxa de juros e o período com a mesma udade de tempo. omo é ecessáro calcular o valor das prestações em termos mesas, passaremos a taxa de juros de aual para mesal. = [(+,6) / 6 ] x =,445% ao mês Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

38 Matemátca Facera 6 Sabedo que os termos são atecpados, aplcamos a fórmula: PMT VP ( ) ( ) PMT,445, (,445) (,445) PMT R$794,77 ) alcule o valor presete do facameto feto por um cosumdor para a compra de uma geladera, sabedo que o pagameto deve ser feto da segute forma: etrada de R$85, mas prestações de R$85,, com taxa de juros de,85%ao mês Solução: para obter o valor presete deste facameto, basta aplcar a fórmula: VP PMT ( ) ( ),85 VP 85 (,85) R$9,4 (,85),85 ) alcule a taxa de juros mesal de um facameto o valor de R$5. para a compra de um veículo, sedo que a amortzação ocorrerá em 4 parcelas, mesas e cosecutvas de R$.66,6, com a prmera delas vecedo o ato da cotratação. Solução: sabemos o Valor Presete, o período do facameto e o valor das parcelas. Para calcular a taxa de juros, aplcamos a expressão abaxo, porém, em fução da complexdade dos procedmetos de cálculo, utlza se a calculadora facera para chegar a taxa de juro. VP PMT ( ) ( ) 5..66,6 ( ) 4 4 ( ) =,%ao mês Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

39 Matemátca Facera 7 4) Um lojsta toma um facameto o valor de R$., para realzar algus reparos em seu estabelecmeto. Tedo coscêca de que pode apeas horar parcelas de o máxmo R$4, mesas e sabedo que a taxa de juros do baco com o qual trabalha é de,99%ao mês, calcule o período de tempo ecessáro para qutar sua dívda. osdere que o pagameto seja com termos atecpados. Solução: este exercíco, temos o Valor Presete, o valor das prestações e a taxa de juros do baco. Assm, para achar o úmero de parcelas do facameto, é precso calcular com ajuda da calculadora facera, o que produz o resultado dcado abaxo. VP PMT ( ) = 4 meses,99 ( ). 4 (,99) (,99),99 5) alcule a quata que devo car a aplcar hoje (valor da aplcação) em títulos prvados com taxa de juros compostos de,6% ao mês para obter um valor futuro (ou de resgate), daqu a 4 meses, de R$.,. osdere que os termos sejam atecpados. Solução: PMT VF ( ) ( ),6 PMT. (,6) 4 (,6) PMT = R$.8,87 6) erto clete do baco XLS deseja saber o valor futuro a ser resgatado daqu a meses, caso ce a aplcar mesalmete % de seu saláro de R$.95, em um fudo de reda fxa com taxa de juros de,%ao mês Solução: VF PMT VF = R$ 5.6,6, ( ) VF 95, (,) Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

40 Matemátca Facera 8.6 Valor Presete Líqudo (VPL) O método do Valor Presete Líqudo (VPL) é amplamete utlzado para aálse e avalação de projetos de vestmeto. Seu objetvo cosste em determar o valor do projeto o state cal do fluxo de caxa, dados a taxa de juro (), o período de tempo (cotíuo ou ão), as despesas e as recetas futuras. Vale ressaltar que a taxa de juro cosderada cosste em uma taxa míma de retoro esperada. Ao se deparar com a possbldade de um vestmeto, o agete de mercado possu outras opções que lhe garatem uma taxa de retoro (aplcações o mercado facero, por exemplo). Dessa forma, o vestmeto será vável se a taxa de retoro obtda o projeto for gual ou maor à taxa de retoro destas outras aplcações. Ou seja, o retoro esperado pelo vestmeto deverá ser maor que o seu custo de oportudade (este caso, sera o retoro obtdo estas outras aplcações lvres de rsco), o que, assm, vablzara o projeto. Para obter o VPL, deduzmos o valor do fluxo cal, sedo, em geral, um vestmeto (com sso, represeta uma saída) dos fluxos futuros de caxa cosderados a valor presete. Ou seja: VPL VP VF VF VF... VF Sedo: VPL = valor presete líqudo VP = valor presete do fluxo de caxa VF t = valor futuro do fluxo de caxa pode ser tato egatvo (saída) como postvo (etrada); = taxa de juro cosderada míma para o vestmeto aso: VPL, coclu se que a taxa de retoro do vestmeto é meor que a míma desejada (). Ou seja, a realzação do projeto ão é recomedável. VPL, coclu se que a taxa de retoro do vestmeto é maor que a míma desejada (). Ou seja, a realzação do projeto é recomedável. VPL =, coclu se que a taxa de retoro do vestmeto é gual à míma desejada (). Ou seja, exste uma dfereça etre realzar ou ão o vestmeto. Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

41 Matemátca Facera 9 Neste setdo, é possível coclur que quato maor o VPL, maor será o retoro de um vestmeto. om sso, pode se avalar a vabldade de um projeto em comparação com as alteratvas exstetes. Exemplo de Valor Presete Líqudo (Fluxos de axa Homogêeos): ) O Sr. Buld está aalsado a possbldade de realzar um vestmeto que provavelmete lhe proporcoará recetas auas guas a R$ 5., durate aos. O fluxo abaxo mostra que ao realzar um vestmeto cal de R$45.,, projetam se retoros futuros auas ão varáves. Qual o Valor Presete Líqudo do fluxo de caxa apresetado abaxo, cosderado um taxa de juros aual de 4%? O vestmeto deverá ou ão ser realzado? R$ 5., R$ 5., R$ 5., R$ 45., Solução: VPL 45.,4,4,4 R $.4,8 Sedo VPL>, coclu se que o valor do vestmeto é meor que o valor presete dos retoros futuros. Ou seja, a taxa de retoro obtda o vestmeto é maor que a taxa míma aceta. Assm, o Sr. Buld deve realzar o vestmeto..7 Taxa Itera de Retoro (TIR) Outro método para aálse de projetos de vestmeto e aplcações faceras cosste o cálculo da Taxa Itera de Retoro (TIR). osste em uma taxa que equalza o valor presete de um ou mas pagametos com o valor presete de um ou mas recebmetos. Ou seja, é a taxa que zera o Valor Presete Líqudo. Veja a fórmula e o gráfco abaxo: Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

42 Matemátca Facera 4 VP VF VF VF... VF Sedo: VP = valor presete do fluxo de caxa VF t = valor futuro do fluxo de caxa = taxa tera de retoro (TIR) VPL TIR > TIR = TIR < É mportate ressaltar que VF represeta as saídas e as etradas os fluxos, tedo, portato, valores egatvos e postvos, respectvamete. Observe que para defr a TIR, é precso obter a raz que tora a equação polomal acma gual a zero. Lembrete: Por se tratar de uma equação polomal, é possível ecotrar duas ou mas raízes (exstêca de taxas teras de retoro múltplas). aso sso ocorra, recomeda se a utlzação do método do Valor Presete Líqudo para avalação do projeto de vestmeto. Tal stuação pode surgr quado temos mas de uma versão de sal o fluxo de caxa. om sso, pode se coclur que a TIR só é aplcável em projetos de Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.

43 Matemátca Facera 4 vestmeto com apeas uma versão de sal, ou seja, quado temos, por exemplo, uma despesa a data cal e um fluxo de recetas líqudas as datas futuras (como cosderada a fórmula apresetada aterormete) ou um valor cal postvo e um fluxo de despesas as datas posterores. Nestes casos, é possível provar matematcamete a exstêca de apeas uma raz real postva. Ao obter a TIR, compara se com a taxa de juro míma acetável ao vestmeto. aso a TIR seja maor que esta taxa míma, o projeto pode ser cosderado vável. Exemplo de Taxa Itera de Retoro (Fluxos de axa Homogêeos): ) O Sr. José solctou um empréstmo de R$ 9 ml que será pago medate prestações mesas cosecutvas de R$ 45 ml. Determe a taxa tera de retoro desta operação sob a ótca do credor. Solução: o credor possu o segute fluxo de caxa: R$ 9., R$ 45., R$ 45., R$ 45., FLUXOS DE AIXA HETEROGÊNEOS Pagametos postecpados Fluxos de axa Heterogêeos Os pagametos postecpados são caracterzados pela prestação (ou aplcação) paga (ou recebda) um período após a cotratação. Quado as prestações possuem valores dferetes ao logo do período temos um fluxo de caxa heterogêeo. Veja os esquemas a segur. Matemátca Facera Últma atualzação: 8// opyrght Assocação BM&F Dretos de Edção reservados por Assocação BM&F. A volação dos dretos autoras é crme estabelecdo a Le º 9.6/98 e pudo pelo artgo 84 do ódgo Peal.