Métodos Quantitativos Aplicados a Contabilidade

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1 Isttuto de Pesqusas e Estudos Cotábes MBA GESTÃO CONTÁBIL DE EMPRESAS INTEGRADA À CONTABILIDADE INTERNACIONAL Métodos Quattatvos Aplcados a Cotabldade Professor Reato Ragel Felpe Noroha

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3 Sumáro. Itrodução Elemetos e Termologa Captal Juros Motate Valor Presete Valor Futuro Taxa de Juros Valor Nomal Fluxo de Caxa Regme de Captalzação Smples Juros Smples Taxa Proporcoal Juro Comercal Taxa de juros dára comercal Juro comercal Descotos descoto racoal e descoto comercal Descoto Racoal ou Descoto por Detro Descoto Comercal ou Descoto Bacáro ou Descoto por Fora Regme de Captalzação Composta Taxa de Juros Equvalete Taxa de juros efetva Taxa de juros omal Descoto em Juros Compostos Descoto racoal ou Descoto real Descoto Comercal Comparação etre os Regmes de Captalzação Smples e Composto Séres Peródcas Uformes Prestações Iguas Reda Postecpada Relação etre valor dos pagametos () e valor presete da reda () Relação etre valor dos pagametos () e motate da reda (FV) Reda Atecpada Relação etre valor dos pagametos () e valor presete da reda () Relação etre valor dos pagametos () e motate da reda (FV) Reda Dferda Relação etre valor dos pagametos () e valor presete da reda () Relação etre valor dos pagametos () e motate da reda (FV) Reda Perpétua Sstemas de Amortzação Sstema de Amortzação Fracês ou Tabela prce Sstema de Amortzação Costate SAC Sstema Amercao Iflação Ídce de Preços Ídce e taxa de flação (ou de correção moetára) Taxas de juros aparete (ou omal) e real Ídce de correção moetára como flator e como deflator Itrodução aos Métodos e Crtéros de Avalação de Ivestmetos Método do Valor Presete Líqudo VPL Método do pay-back descotado Método da Taxa Itera de Retoro TIR Problemas da TIR: problema do revestmeto

4 7.3. Problemas da TIR: múltplas taxas de retoro Problemas da TIR: projetos mutuamete excludetes e com escalas dferetes Problemas da TIR: projetos mutuamete excludetes com escala semelhate mas com dfereça da dstrbução (tmg) dos fluxos de caxa Rsco x Retoro Defções Tradeoff etre Rsco e Retoro Efeto da Dversfcação Tpos de Rsco Rsco de Mercado Rsco de Lqudez Rsco de Crédto Rsco Operacoal Estatístca População e Amostra Varável Aleatóra e Probabldade Esperaça e Méda Amostral Varâca e Desvo Padrão Covarâca e Correlação A Dstrbução Normal Quats Varâca e Desvo Padrão de uma Cartera Aplcação Coceto de Value at Rsk (VaR) Bblografa

5 . Itrodução Matemátca Facera é o ramo da matemátca que estuda a evolução do dhero o tempo. Itutvamete, sabemos que R$.000,00 hoje ão são guas a R$.000,00 daqu a um ao, por exemplo. O valor do dhero cresce o tempo devdo à taxa de juros. Para car o estudo da Matemátca Facera, é ecessáro que se estabeleça uma lguagem comum para desgar os dversos elemetos que serão abordados.. Elemetos e Termologa.. Captal Captal, do poto de vsta facero, é o valor moetáro cal de uma operação facera. O Captal também é cohecdo como Prcpal ou Valor Dspoível. Geralmete é represetado pela letra C... Juros É defdo como a remueração pelo uso do captal ou o custo do dhero tomado emprestado. Geralmete é represetado pela letra J e seu valor, em um tervalo de tempo, pode ser obtdo pela dfereça etre o captal o fal do tervalo (M) e o captal o íco do tervalo...3 Motate J = M C Deoma-se Motate (M) a soma do captal (C) e do juro (J) que fo acordado a operação facera e que é devdo ao fal da mesma...4 Valor Presete M = C + J Valor Presete () é o valor de uma operação facera a data presete. É um valor termedáro etre o captal (C) e o motate (M), coforme pode ser observado a fgura... J C FV M (VN) 0 data atual - Tempo (períodos) Fgura..: Ilustração de cocetos báscos da Matemátca Facera: C,, FV, J e M. 5

6 Essa omeclatura se justfca para operações cadas o passado e que se prologam até uma data futura. Observe que, para uma operação facera cada hoje, o captal e o valor presete cocdem; por essa razão, a expressão valor presete é, freqüetemete, utlzada como sôma de captal, apesar da dfereça cocetual exstete...5 Valor Futuro Valor futuro (FV) é o valor de uma operação facera em qualquer data compreedda etre a data presete e o vecmeto da operação, como pode ser vsto a fgura... De modo aálogo ao valor presete e ao captal, o valor futuro é, freqüetemete, tomado como sômo de motate...6 Taxa de Juros Taxa de juros () é a razão etre os juros recebdos (ou pagos) o fm de um período de tempo e o captal calmete empregado. Os Juros são fxados por meo de uma taxa percetual que sempre se refere a uma udade de tempo. As prcpas perodcdades das taxas de juros são: % a.d. Taxa de juros dára % a.m. Taxa de juros mesal % a.t. Taxa de juros trmestral % a.s. Taxa de juros semestral % a.a. Taxa de juros aual A taxa de juros de um determado período podem ser obtdos pela fórmula:..7 Valor Nomal J C Valor omal (VN) é o valor que está expresso o própro título ou operação facera. Pode ser tato o valor cal (captal), como o valor fal da operação (motate). Algus autores adotam a omeclatura valor de face ao vés de valor omal. Um exemplo prátco da aplcação do termo Valor Nomal é a dfereça etre o valor omal de uma LTN (título prefxado) e de uma LFT (título pós-fxado). O Valor Nomal da LTN, também cohecdo como Valor Nomal o Vecmeto, é gual a R$.000,00. Já o valor omal da LFT é R$.000,00 a data base (que é uma data de refereca para o co da cotablzação do valor do título), e é atualzado daramete pela taxa SELIC. O valor da LFT atualzada até a data atual é chamado de Valor Nomal Atualzado (VNA). No caso do valor omal ser superor ao valor de emssão, dz-se que a colocação fo efetuada com descoto de emssão ou abaxo do par. Na stuação versa, dz-se que a colocação fo efetuada com prêmo de emssão ou acma do par. 6

7 ..8 Fluxo de Caxa Fluxo de Caxa de um projeto, vestmeto, ou operação facera é o cojuto de etradas e saídas de valores faceros ao logo do tempo. Covecoaremos que as etradas de caxa são valores postvos e as saídas de caxa são valores egatvos. Assm, o fluxo de caxa, pode ser represetado através do segute dagrama da fgura... + $ + $ + $ Tempo $ - Fgura..: Exemplo de dagrama de Fluxo de Caxa. As operações faceras são mas faclmete aalsadas quado são represetadas grafcamete por seus fluxos de caxa. Algus detalhes mportates sobre o dagrama de fluxo de caxa: valores faceros postvos (etradas de caxa) são represetados por setas vertcas para cma, equato os egatvos (saídas de caxa) são represetados por setas para baxo; valores em uma mesma data podem ser somados algebrcamete; valores em datas dferetes são gradezas que podem ser comparadas e somadas algebrcamete após serem movmetadas para uma mesma data, com a correta aplcação da taxa de juros; a escala horzotal represeta o tempo dvddo em períodos dscretos (pode estar expresso em das, semaas, meses aos, etc). O poto zero represeta a data cal e o o fal do prmero período; os tervalos de tempo são guas; A segur serão apresetados algus exemplos para cosoldação dos cocetos apresetados esse capítulo. Exemplo..: Um captal de $.000,00 rede juros de $ 50,00 em um ao. Qual a taxa de juros? Qual o Motate da operação? Desehe o dagrama de fluxo de caxa da operação. Solução: De acordo com o eucado da do exemplo, sabemos que o Capal (C) vale R$.000 e os juros (J) foram de R$ 50 o período () de aos. A taxa de juros pode ser obtda pela equação ,05 5% a. a. J C. Portato: 7

8 O motate (M) pode ser obtdo pela fórmula M = C + J. Portato: M = = R$.050,00 O dagrama de fluxo de caxa dessa operação facera pode ser represetado pela fgura..3: R$ Tempo em aos R$ 000 Fgura..3: Dagrama de Fluxo de Caxa da operação facera do exemplo... Exemplo..: Uma empresa precsa captar recursos para vestr o seu egóco. Ela obteve duas propostas: uma delas para receber R$ ,00 hoje e pagar R$40.000,00 após quatro meses; outra para receber hoje R$ ,00 e pagar R$ 3.000,00 daqu a quatro meses. Image que as duas propostas atedam as ecessdades da empresa. Qual a melhor proposta? Solução: O juro da prmera proposta é de R$ ,00 equato que o juro da seguda proposta é R$ 4.000,00. Esses úmeros que espelham os juros a serem pagos são absolutos e, portato, ão são dretamete comparáves, porque suas bases cas são dferetes (R$ e R$ ); assm, tora-se dfícl verfcar qual a melhor proposta. Uma comparação mas efcaz pode ser feta se obtvermos a taxa de juros cobrada em cada uma das propostas. Proposta C = M = J = M C = = J C ,0 0% a. q. Proposta C = M = J = M C = = J C ,,% a. q. Comparado as duas propostas, a proposta possu a meor taxa de juros. Portato é a melhor proposta. Repare que a udade de tempo utlzada fo o quadrmestre. 8

9 . Regme de Captalzação Smples.. Juros Smples No regme de captalzação smples, os juros são gerados exclusvamete pelo captal (C) vestdo calmete. Como coseqüêca, o juro devdo em cada período de cdêca é costate. Os juros de uma operação facera com captalzação lear podem ser calculados pela fórmula: J =. C. Ode é o úmero de períodos da aplcação. O motate da aplcação pode ser calculado pela equação: M = C + J = C +. C. M = C ( +. ) Pela fórmula descrta aterormete, percebe-se que, o regme de juros smples, a remueração do captal (juro) é dretamete proporcoal ao valor do captal e ao tempo, e é devda somete ao fal da operação facera cosderada. Exemplo..: Para dar cotudade ao egóco, uma empresa solcta um empréstmo a um baco o valor de R$0.000,00 para pagar em uma úca parcela ao fal de cco (5) aos. O baco lhe forma que a lha de facameto opera com uma taxa de juros de 5% a.a. e em regme de juros smples. Qual o valor que deverá ser pago ao baco ao fal da operação? Solução: O dagrama de fluxo de caxa desta operação será: M 0 Tempo em aos R$ Fgura..: Dagrama de Fluxo de Caxa da operação facera do exemplo... O motate da operação pode ser obtdo pela fórmula: M = C ( +. ) Ode C = R$0.000,00; = 5% a.a. e = 5 aos. Repare que tato a taxa de juros, quato a perodcdade devem estar a mesma udade de tempo, esse caso aos. Substtudo os valores a fórmula: M = ( + 5 x 5%) = R$ 7.500,00 Apeas para lustrar, se o cálculo de juros fosse feto ao a ao, teríamos: 9

10 Ao Período Base de Cálculo SD k Juros J k = C. SDf k = SD k + J k J = C. = x 5% = J = C. = x 5% = J 3 = C. = x 5% = J 4 = C. = x 5% = J 5 = C. = x 5% = Total de Juros J = J + J + J 3 + J 4 + J 5 = (acumulado ao fal do período) Tabela..: Evolução dos juros da operação facera do exemplo... Note que o termo SD k represeta o saldo da operação o íco do período, equato SDf k represeta o saldo da operação ao fal do período. Aprovetado os resultados do exemplo.., A fgura.. lustra a evolução do captal do prmero ao quto período da operação facera. A partr da fgura, podemos trar algumas coclusões: M = C = J = Tempo (períodos) Fgura..: Evolução do captal da operação facera do exemplo... o captal cresce learmete com o tempo; o captal cresce em progressão artmétca de razão J = C. ; os juros só estarão dspoíves para o credor o fal da operação facera; a taxa de juros e o tempo deverão estar expressos a mesma udade de tempo. Assm, se a taxa de juros for expressa em aos (a.a.), o tempo deverá estar expresso em aos, se a taxa de juros for expressa em meses (a.m.) o tempo deverá estar expresso em meses e assm por date... Taxa Proporcoal Em juros smples, duas taxas e são proporcoas quado, ao serem aplcadas ao mesmo captal, pelo mesmo tempo, gerarem o mesmo motate: M = C ( +. ) e M = C ( +. ) Como, pela defção, M = M e C = C, teremos: C ( +. ) = C ( +. ) ( +. ) = ( +. ). =. devedo os tempos e estarem expressos a mesma gradeza. 0

11 Exemplo..: Coverta a taxa de juros de % a.a. em taxa de juros mesal, por proporcoaldade. Solução: Sabemos que: = % a.a; = ao; Portato: = ao = meses..3. Juro Comercal..% % a. m. É coveete, em algumas stuações, fazer uma dstção etre o ao cvl (365 das) e o ao comercal (360 das). Essas stuações ocorrem quado exste a ecessdade de se trabalhar com taxas de juros expressas em das. Algumas aplcações executam seus cálculos com base em taxas de juros dáras, mas expressam essas taxas de juros em termos mesas ou auas; portato, tora-se ecessára a utlzação de taxas proporcoas dáras e para o seu cálculo é obrgatóra a defção de uma base de cálculo: a) ao cvl de 365 das ou b) ao comercal de 360 das. A base de cálculo escolhda (360 ou 365 das) leva às defções de juros exatos (base 365 das) e juros comercas (base 360 das)..3.. Taxa de juros dára comercal A taxa de juros dára comercal dc é calculada dvddo-se uma taxa de juros expressa em ao a por 360 das (a base de cálculo é o ao comercal de 360 das):.3.. Juro comercal a dc 360 É o juro obtdo quado o período está expresso em das e se utlza para os cálculos a taxa de juros dára comercal e o prazo em das, de acordo com a expressão: J c = C* dc * expresso em das dc taxa de juros dára comercal Uma outra forma de expressar o juro comercal pode ser obtda assm: J c = C* dc * Combado as duas fórmulas: J c e C.. a 360 a dc 360 Exemplo.3.: Cosdere um vestmeto que promete remuerar o captal a 0% a.a., em regme de juros smples. Se o vestdor pretede mater o seu captal de R$.000,00 vestdo por 30 das, que motate receberá ao fal? Repare que a taxa de juros do exemplo acma é uma valor aual, equato o prazo aplcado está determado em das. As formações passadas o texto são: = % a.a.; = 30 das; C=.000,00 e M =?

12 Solução: Prmeramete, deve-se calcular a taxa de juros dára equvalete: d a a %. d. 0,033333% a. d. 360 Com base a taxa dára, podemos calcular o motate da operação: M = C*( + d *) =.000* ( + 0,033333%*30) = R$.00,00.4. Descotos descoto racoal e descoto comercal O problema do descoto surge quado o detetor de um título de crédto ecessta trasformá-lo em dhero ates da data do vecmeto; esse caso, ele poderá egocar com um agete facero que lhe atecpará um valor feror ao valor omal o vecmeto. A dfereça etre o valor omal do título e o valor pago por ele, uma certa data (ateror a data do vecmeto), é o que se chama descoto. Assm, ode: D = FV - D FV ou (VN) descoto valor omal do título (o vecmeto); valor atual do título (pago pelo Agete Facero). Esse coceto pode ser mas bem vsualzado a fgura.4.. A segur serão abordados dos tpos de descotos em regme de captalzação smples: o prmero é o descoto racoal ou por detro; o segudo é o descoto comercal ou por fora que também é deomado descoto bacáro. D D = FV - FV 0 Tempo (períodos) Fgura.4.: Dagrama represetado o coceto de Descoto..4. Descoto Racoal ou Descoto por Detro Defe-se o descoto racoal como o valor do juro gerado o tempo e à taxa de juros r, calculado sobre o valor omal. A segute omeclatura será adotada:

13 FV valor omal ou valor futuro; valor presete, valor atual ou valor descotado; r taxa de juros de descoto por período; tempo ou tempo de atecpação, em períodos (tempo que decorre etre a data do descoto e a data de vecmeto do título); D r descoto racoal ou por detro. Da defção de descoto racoal tem-se: D r = * r * Usado a equação acma e a própra defção de descoto (D r = FV - ), tem-se: D r = * r * = FV FV = + * r * FV = ( + r * ) ou = FV/ ( + r * ) Combado as expressões D r = * r * e = FV/ ( + r * ): D r = FV* r * / ( + r * ) Se você observar cudadosamete as fórmulas acma verá que o descoto racoal correspode ao juro smples (J) da operação proposta; em outras palavras, o descoto racoal se vale de todas as fórmulas vstas para juros smples, por operar exatamete esse regme. Exemplo.4.: Um título de valor omal de R$ 0.000,00 que vece daqu a 0 das é levado a um baco para descoto. O baco opera em descoto racoal smples e cobra juros de 5% a.m. (ao mês). Qual o valor do descoto e qual o valor recebdo pelo detetor do título? Solução: O exercíco os forecesse as segutes formações: FV = 0.000; = 4 meses; = 5% a.m.. A Perguta é sobre o valor do descoto (D r ) e o valor recebdo pelo título (). Sabemos que D r = FV. Como o valor de FV é dado, se obtvermos o valor de, coseqüetemete chegaremos ao valor de D r. = FV/ ( + r * ) = / (+5% * 4) = 8.333,33 D r = FV = ,33 D r =.666,67.4. Descoto Comercal ou Descoto Bacáro ou Descoto por Fora O segudo modo de se operacoalzar o descoto de títulos é deomado de descoto bacáro, comercal ou por fora. Para se defr o descoto comercal será adotada a segute omeclatura: FV valor omal o vecmeto; valor atual ou valor descotado; c taxa de descoto por período; tempo ou tempo de atecpação, em períodos; D c descoto comercal ou por fora. 3

14 Defe-se o descoto comercal como o valor dos juros gerados o tempo, à taxa de descoto c, calculado sobre o valor omal FV do título. Da defção de descoto comercal tem-se: D c = FV * c * Usado a equação acma e a própra defção de descoto (D c = FV - ), tem-se: D c = FV * c * = FV = FV - FV * c * = FV * ( - c * ) ou FV = / ( - c * ) Combado as expressões D c = FV * c * e FV = / ( - c * ): D c = * c * / ( - c * ) Em descoto comercal a base de cálculo é o valor omal ou motate. Defdo desta maera, o descoto comercal ão segue o modelo puro do regme de captalzação smples. A taxa de descoto aplcada à FV descaracterza o regme de juros smples. Exemplo.4.: Um título de valor omal de $ 0.000,00, com vecmeto para 0 das é levado a um baco para descoto. O baco opera em descoto comercal smples e cobra juros de 5% am (ao mês). Qual o valor do descoto e qual o valor recebdo pelo detetor do título? Solução: O exercíco os forecesse as segutes formações: FV = 0.000; = 4 meses; = 5% a.m.. A Perguta é sobre o valor do descoto (D c ) e o valor recebdo pelo título (). Sabemos que D c = FV. Como o valor de FV é dado, se obtvermos o valor de, coseqüetemete chegaremos ao valor de D r. = FV * ( - c * ) = * ( - 5% * 4) = 8.000,00 D r = FV = ,00 =.000,00 Aalsado os exemplos 3.4. e 3.4., é possível verfcar que, para mesmos valores de taxa, prazo e valor omal, o descoto comercal gera um valor de descoto maor que o descoto racoal (R$.000,00 > R$.666,67). Esse resultado será demostrado a segur. Cosdere o descoto de um título de valor omal (FV) pelos crtéros racoal e comercal. Pelo crtéro de descoto racoal, teremos: D r = FV* r * / ( + r * ), ou seja: FV = D r ( + r * ) /( r * ) Pelo crtéro de descoto comercal, teremos D c = FV * c *, ou seja: FV = D c / ( c * ) Cosderado que o valor omal é o mesmo (mesmo título descotado de dos modos dferetes): 4

15 Como por hpótese r = c = : D r ( + r * ) /( r * ) = D c / ( c * ) D c = D r ( + * ) Portato, o valor do descoto comercal (D c ) é maor que o valor do descoto racoal (D r ). Quado ldamos com o descoto comercal, aparece o coceto de taxa de juros efetva. A taxa efetva correspode à taxa de juros que, aplcada sobre o valor descotado (descoto comercal), gera o período cosderado um motate gual ao valor omal. No fal das cotas, a taxa efetva correspode a taxa de juros do descoto racoal que produz o mesmo valor presete () do descoto comercal. O valor dessa taxa de juros racoal (custo efetvo - f ) é dretamete depedete do prazo do descoto comercal, embora seja sempre superor à taxa de descoto comercal. FV c = c ( + f * ) Ode FV c e c são, respectvamete, o captal e o motate da operação de descoto comercal. 5

16 3. Regme de Captalzação Composta Como já fo aalsado aterormete, o regme de captalzação smples caracterza-se pelo fato de apeas o captal (C) reder juros, e esse ser proporcoal ao tempo e à taxa. No regme de juros compostos, o juro remuerado pela aplcação é corporado à mesma, passado a partcpar da geração de juros o período segute. Dzemos etão que os juros são captalzados. Como ão só o captal rede juros (os juros são devdos em cma de um valor que egloba captal e juros acumulados aterormete), temos o ome de juros compostos. O regme de captalzação composta é a forma de captalzação mas utlzada as prátcas faceras o Brasl. A tabela 3., costruída a partr do coceto básco de juros compostos, permte deduzr, por recorrêca, a fórmula geral deste regme de juros. Nessa tabela, os períodos de tempo estão apresetados a prmera colua (data), os saldos exstetes o íco de cada período (SD k ) estão apresetados a seguda colua, a tercera colua mostra a fórmula de cálculo dos juros e o resultado desse cálculo e a quarta colua mostra o saldo o fal de cada período (SD fk ). A costrução da quarta colua (SD fk ) obedece à fórmula básca da matemátca facera M = C + J, sedo o resultado da soma ordeada dos valores da seguda com a tercera coluas. As expressões fas que aparecem a colua 4 dcam a soma SD k + J k e o resultado de operações de fatoração algébrca. Data SD k Juros J k = C. p = SD k. p SDf k = SD k + J k C C. p C + C. p = C. (+ p ) C. (+ p ) C. (+ p ). p C. (+ p ) + C. (+ p ). p = C. (+ p ) 3 C. (+ p ) C. (+ p ). p C. (+ p ) + C. (+ p ). p = C. (+ p ) C. (+ p ) - C. (+ p ) -. p C. (+ p ) - + C. (+ p ) -. p = C. (+ p ) Tabela 3.: Exemplo de captalzação de juros em operação facera de juros compostos. Note que o termo SD k represeta o saldo da operação o íco do período, equato SDf k represeta o saldo da operação ao fal do período. Por recorrêca, o captal cal (C = ), ao fal de períodos de aplcação, a uma taxa de juros p ao período, gerará um motate (M) ou valor futuro (FV) de: M = C. (+ p ) O problema verso ao da captalzação é o descoto, ou seja, dado um determado motate (M) cohecdo, determar qual o valor do captal (C) a ele equvalete, para uma taxa de juros p e para o tempo a decorrer, expresso em períodos; a resposta é medata e decorre de: C = M / (+ p ) = M. (+ p ) - Deve-se observar que a taxa de juros utára p se refere ao período de captalzação e é, como se verá a segur, uma taxa efetva de juros. A fgura 3. lustra a evolução dos juros compostos o tempo. A omeclatura adotada em juros compostos será: : valor presete (ao vés de C) FV: valor futuro (ao vés de M) 6

17 M C M = C. ( + p ) C = M / ( + p ) Tempo (períodos) Fgura 3.: Evolução dos juros compostos o tempo. Exempo 3.: Calcular o motate de um captal de R$ 5.000,00 aplcado por 6 meses a uma taxa de juros de 3% a.m., sabedo-se que a captalzação é mesal. Solução: O exemplo os forma os segutes parâmetros: = 5.000,00; = 6 meses e = 3% a.m.. Perguta-se qual o valor de. Sabemos que: FV =. (+ p ) = (+3%) 6 3. Taxa de Juros Equvalete FV = ,9405 = 5.970,5 Em juros compostos, duas taxas de juros são equvaletes quado ao serem aplcadas ao mesmo captal e pelo mesmo prazo, gerarem motates guas. Usado a defção de juros compostos: FV =. (+ ) e FV =. (+ ) Como FV = FV :. (+ ) =. (+ ) Como = : (+ ) = (+ ) O detalhe é que e devem estar a mesma gradeza. Assm, por exemplo, se tvermos uma taxa aual a e desejarmos achar sua taxa equvalete em das d (cosderado que um ao possu 360 das ao comercal), teremos: (+ d ) 360 = (+ a ) (+ d ) = (+ a ) /360 d = (+ a ) /360 - Calculado a taxa equvalete para dversas perodcdades (aual, semestral, mesal, etc): (+ a ) = (+ s ) = (+ t ) 4 = (+ m ) = (+ d ) 360 Utlzado o mesmo coceto apresetado o regme de captalzação smples, percebe-se que o regme de juros compostos, taxas de juros proporcoas ão 7

18 são equvaletes. Em coseqüêca, o prmero passo para se trabalhar este regme de juros é compatblzar taxas de juros e períodos de captalzação. 3. Taxa de juros efetva Uma taxa de juros é dta efetva, quado está expressa em udade de tempo gual à udade de tempo do período de captalzação. Assm, são taxas efetvas de juros:,5% a.m. com captalzação mesal; 4% a.t. com captalzação trmestral; 6% a.s. com captalzação semestral; e % a.a. com captalzação aual. Exemplo 3.. O govero braslero emte dívda através de títulos de dívda (títulos públcos) em dversos dexadores: SELIC (taxa de juros), IPCA (flação), prefxado, etc. Um dos títulos prefxados emtdos pelo govero são as NTN-Fs. Tratam-se de títulos que pagam juros semestras a taxa de 0% a.a. Calcule a taxa efetva deste título. Solução: O exemplo apreseta um título que provê remueração semestral a taxa de 0% a.a.. Para calcula a taxa efetva deste título, devemos aplcar a fórmula de taxa de juros equvalete: ( + s ) = ( + a ) ( + s ) = ( + 0%) + s = ( + 0%) / =,0488 s = 0,0488 = 4,88% Portato, em regme de juros compostos é ecessáro que se coheça a taxa de juros efetva, que é a taxa utlzada os cálculos. Isso exge a explctação do período de captalzação. 3.3 Taxa de juros omal Em juros compostos, uma taxa de juros é dta omal quado está expressa em udade de tempo dferete da udade de tempo do período de captalzação. Assm, são taxas omas de juros: 36% a.a. com captalzação trmestral; 0% a.t. com captalzação mesal e 0% a.s. com captalzação aual. A taxa omal, apesar de ser bastate utlzada o mercado, ão represeta uma taxa efetva. Portato estas ão devem ser utlzadas dretamete os cálculos. A taxa que deve ser utlzada é a taxa efetva mplícta a taxa omal utlzada. Essa taxa efetva é calculada de forma proporcoal, com a utlzada em juros smples. Por exemplo, a taxa efetva mesal oruda de uma taxa omal de % a.a. é:. =.. =. % = % a.m. 3.4 Descoto em Juros Compostos Em juros compostos utlza-se mas freqüetemete o modelo de descoto racoal, sto é, aquele em que a base de cálculo dos juros é o valor presete (). 8

19 3.4. Descoto racoal ou Descoto real A omeclatura utlzada o estudo do descoto racoal em juros compostos será: captal ou valor presete; FV motate ou valor futuro; taxa de juros efetva por período; D r descoto racoal; e, úmero de períodos. A fgura 3.4. descreve com é realzado o descoto racoal. r D r = FV - D r FV Tempo (períodos) Fgura 3.4.: Dagrama lustrado o Descoto Racoal para captalzação composta. Combado a defção de descoto com a fórmula de juros compostos, teremos: Se usarmos a fórmula = FV / (+) D r = FV e FV =. (+) D r =. (+) D r =. [(+) ] D r = [FV / (+) ]. [(+) ] D r = FV. [ (+) ] / (+) Exercíco 3.4.: Um título de valor omal R$ 0.000,00 fo descotado ses meses ates do seu vecmeto. Sabedo que a taxa de juros é % a.m., qual o valor presete recebdo em modelo racoal? Qual o valor do descoto? Solução: As formações forecdas o exemplo são: FV = 0.000,00; = 6 meses; = % a.m. As pergutas são: quas os valores de e D r? Sabemos que: FV=.(+) e, coseqüetemete, = FV /(+). Portato: 3.4. Descoto Comercal = FV / (+) = / ( + %) 6 = 7.759,43 D r = FV = ,43 =.40,57 O descoto comercal em juros compostos é pouco utlzado a prátca. O descoto por fora cosste a aplcação sucessva da taxa de descoto ( d ) sobre o valor omal do título (FV), o qual é deduzdo, em cada período, dos descotos obtdos os períodos aterores. 9

20 Valor Aplcado essa defção em forma versa, sto é, voltado da data de vecmeto do título para a data do descoto, obtém-se as segutes expressões: para o prmero período: FV FV * ( - ) para o segudo período: para o -ésmo período: FV d FV * ( - d ) [ FV* (-d )]* (-d ) FV* (-d ) FV ) - FV- * ( - d ) [ FV* (-d ) ]* (-d ) FV* (-d Em resumo, o valor presete é expresso pela segute equação: FV* (- d ) Cohecdo o valor presete () pode-se determar o valor do descoto comercal que é dado pela segute fórmula: Dc FV FV FV* ( -d ) D FV[ ( c d ) ] 3.5 Comparação etre os Regmes de Captalzação Smples e Composto Em geral as pessoas acham que, adotado as mesmas premssas de captal, taxa de juros e prazo, os juros compostos, por ser acumulatvo, sempre superam os valores dos juros smples. Mas sso ão é de todo certo. Se aalsamos com ateção o gráfco da fgura 3.5., podemos otar que, para prazos ferores a período, o regme de captalzação smples supera o composto. Juros Smples Juros Composto , 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,,,3,4,5,6,7,8,9 Fgura 3.5.: Gráfco com um exemplo comparado a evolução do valor futuro em captalzação smples e em captalzação composta. Prazo Esta mesma coclusão pode ser obtda aaltcamete: Por juros smples, temos que: FV s = ( + ) Por juros compostos, temos que FV c = ( + ) Para 0, temos que ( + ) > ( + ), e portato FV s > FV c Para =, temos que ( + ) = ( + ), e portato FV s = FV c Para, temos que ( + ) > ( + ), e portato FV c > FV s 0

21 4. Séres Peródcas Uformes Prestações Iguas Séres Peródcas Uformes, também chamadas de Redas Certas, são a base para os prcpas modelos de facametos de dívdas exstetes o mercado e as relações exstetes etre o valor presete, os pagametos e o valor futuro de uma reda. Cosste em uma sucessão de pagametos (ou recebmetos) guas. Bascamete, essa estrutura de pagametos substtu o valor de um úco pagameto o vecmeto. A fgura 4. lustra esse coceto Fgura 4.: Exemplo de sére uforme ou audade. As Redas Certas podem ser dvddas em séres postecpadas, séres atecpadas e séres dferdas. Nas séres postecpadas, os pagametos (ou recebmetos) ocorrem o fm de cada período, e ão a orgem. Nas séres atecpadas, os pagametos são fetos o íco de cada período. Nas séres dferdas, o período de carêca costtu-se em um prazo que separa o íco da operação do período de pagameto da prmera parcela. Em todos os casos apresetados, o cojuto dos pagametos costates () é equvalete ao captal o íco ou ao motate o fal da operação. A relação básca de juros compostos (FV = ( + ) ) cotua válda. As fguras 4., 4.3 e 4.4 lustram os três tpos de redas certas. FV Tempo (períodos) Fgura 4.: Exemplo de sére postecpada. FV Fgura 4.3: Exemplo de sére atecpada. Tempo (períodos)

22 FV Carêca m 0... m m+ m+... m+(-) m+ Fgura 4.4: Exemplo de sére dferda. Tempo (períodos) Para facltar osso estudo, a segute omeclatura será utlzada esse capítulo: valor dos termos da reda devdo em cada período; úmero de pagametos da reda; m período de dfermeto da reda (carêca); taxa de juros efetva de cada período; valor da reda a data focal 0; e FV valor da reda a data focal (m + ). 4. Reda Postecpada O úmero de termos da reda é fto, seus termos tem valor gual, são peródcos e devdos ao fal de cada período. A segur lhe são mostradas as relações etre e e etre FV e para este tpo de reda. 4.. Relação etre valor dos pagametos () e valor presete da reda () Será apresetado o modelo básco de reda represetado a fgura 4.., evdecado a relação exstete etre o seu valor presete () e o valor dos seus termos da reda (), de e de. Descotado para a orgem (t = 0) Tempo (períodos) Fgura 4..: Exemplo de sére postecpada e sua relação com o valor presete da operação. O valor presete equvalete dessa reda ada mas é do que a soma dos valores de todos os termos descotados para a orgema (data 0) por uma dada taxa de juros, coforme mostra a equação a segur:

23 3 O termo etre colchetes da equação represeta a soma fta de uma progressão geométrca de fator, cujo prmero termo da soma é e últmo termo. Sabemos que a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrca fta é dada por: q q a a S Ode a é o prmero termo da soma a é o últmo termo da soma q é o fator de progressão geométrca Portato, o valor de fca: Chamado de a %;, teremos: a %; Observe a expressão acma: ela mostra a relação etre o valor atual da reda () e o valor de cada termo da reda () em fução de e de.

24 Exemplo 4.. Uma mercadora cujo valor à vsta é R$.350,00 fo facada em quatro prestações, mesas, guas e sucessvas com o prmero pagameto se dado trta das depos da compra. Qual o valor das prestações mesas devdas se a loja operar com taxa de juros de 5% a.m.. Solução Este exemplo descreve uma reda postecpada. Pelo exercíco, sabemos que: = 500; = 4 e = 5%. O prmero pagameto se dá um mês após a data 0, ou seja, a data , , % 4 5% 5% 4, Relação etre valor dos pagametos () e motate da reda (FV) De maera aáloga ao tem ateror, você poderá cohecer, para este modelo básco de reda, a relação que exste etre o valor dos termos da reda () e o respectvo motate (FV) para um dado par de valores [;]. O motate ou valor futuro (FV) de um fluxo de caxa ada mas é do que a soma dos valores futuros de cada um dos pagametos da audade, ou seja, a soma dos valores de todos os pagametos captalzados para a data focal para uma dada taxa de juros. Uma forma mas smples de se obter esse valor é aprovetar a equação do valor presete () e captalzá-lo até a data. Portato: e FV Substtudo: FV FV Chamado de S %;, teremos: FV S%; 4

25 5 4. Reda Atecpada A determação da relação etre valor dos pagametos e valor atual pode ser feta de modo aálogo ao vsto em redas postecpadas, sto é, com o racocío de que o valor presete da reda é a soma dos valores de todos os pagametos devdamete descotados para a data focal Relação etre valor dos pagametos () e valor presete da reda () Tempo (períodos) Descotado para a orgem (t = 0) Fgura 4..: Exemplo de Reda Atecpada. Fazedo os descotos dos pagametos () e somado-se os valores tem-se: 0 0 Temos que o termo etre colchetes da equação represeta a soma fta de uma progressão geométrca de fator, cujo prmero termo da soma é ( 0 = ) e últmo termo. Aplcado a fórmula da soma fta de termos de uma progressão geométrca:

26 a %; Se você comparar esta fórmula com aquela deduzda para o modelo postecpado, va perceber que elas são muto semelhates e dferem apeas pelo fator ( + ). Itutvamete, aalsado-se os gráfcos das redas atecpada e postecpada, otamos que a reda postecpada é gual a reda atecpada deslocada um período para dreta. Como dhero tem valor o tempo, para deslocarmos todos os fluxos (s) para a dreta, devemos multplcá-los por ( + ). Esse é o motvo do surgmeto do termo ( + ). Usaremos essa tução apresetada aqu para deduzr as fórmulas do modelo dferdo (com carêca). 4.. Relação etre valor dos pagametos () e motate da reda (FV) O motate ou valor futuro (FV) de um fluxo de caxa ada mas é do que a soma dos valores futuros de cada um dos pagametos da audade, ou seja, a soma dos valores de todos os pagametos captalzados para a data focal para uma dada taxa de juros. Uma forma mas smples de se obter esse valor é aprovetar a equação do valor presete () e captalzá-lo até a data. Portato: e FV Substtudo e após algum algebrsmo: FV S%; Se o desejo for obter o valor futuro a data -, teremos: e FV Substtudo e após algum algebrsmo: FV S%; Exemplo 4.. Cosdere uma reda atecpada costtuída por uma sére de 4 pagametos mesas, guas e sucessvos, o valor de R$ 5.000,00. Determe o captal e o valor futuro o mês 3 dessa reda para uma taxa de juros de 3% a.m.. 6

27 Solução: Sabemos que: = 5.000; = 4 meses; = 3% a.m.; =?; FV =? 3% 3% % = R$ 8.585,49 4 3% 3% ,77098 FV ,49 3% R$ 0.308, Reda Dferda Aalsado-se a fgura 4.3., percebe-se que, com algus ajustes, podemos tratar a reda dferda como se fosse uma reda postecpada. Descotado para 0 m Captalzado para (+m) FV 0... m- m m+ m+... m+j... m+- m+ Dfermeto - m Fgura 4.3.: Exemplo de reda dferda. Tempo (períodos) 4.3. Relação etre valor dos pagametos () e valor presete da reda () Segudo a lha tutva, percebe-se que, para torar uma reda dferda em reda postecpada, deveríamos deslocar os s m vezes para a esquerda a lha do tempo. Como já abemos, toda vez que adamos a lha do tempo para a para cada período adado. A ova reda esquerda, devemos usar o fator dfererda fcara: d Ode d são os pagametos deslocados o tempo para torar a reda dferda em reda postecpada. Para que os s de uma reda dferda ocorram os prazos de uma reda postecpada, deveremos deslocar m períodos para a esquerda: Substtudo: d m m 7

28 Após algum algebrsmo: a %; m a%; m 4.3. Relação etre valor dos pagametos () e motate da reda (FV) Obtdo o valor de podemos captalzá-lo até chegar-se ao valor de FV: m m e FV Substtudo e após algum algebrsmo: FV m m FV S%; Exemplo 4.3.: Cosdere uma compra facada em quatro pagametos mesas, guas, sucessvos, postecpados e costates o valor de $ 5.000,00. Cosderado-se uma carêca de meses e uma taxa de juros de 4% a.m., determe qual o valor a vsta da compra efetuada e qual o valor futuro desta operação ao fal dos 6 meses. Solução: = 5.000; = 4 meses; m = meses; = 4% am; =? FV =? FV m 4% 4% % 4 4% 4% , , m , 4%.3, Carêca m = Tempo (meses) 4.4 Reda Perpétua São as redas cujo úmero de pagametos é fto (ou, em casos prátcos, é muto grade). Nesse caso, só há teresse em determar a relação etre o valor presete da reda e a reda peródca assocada. A fgura 4.4. mostra um exemplo de uma reda perpétua

29 9 Fgura 4.4.: Exemplo de reda perpétua. O valor presete de uma reda perpétua postecpada pode ser defdo por: Temos que o termo etre colchetes da equação represeta a soma fta de uma progressão geométrca de fator, cujo prmero termo da soma é. Sabemos que a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrca fta é dada por: q a S Ode a é o prmero termo da soma; q é o fator de progressão geométrca. Esta relação pode ser estedda para séres que, ao vés de pagametos costates o tempo, apresetam pagametos crescetes a uma taxa costate (em geral esta taxa é deomada com g), porém este crescmeto deve ser meor que a taxa de descoto aplcada. Estededo este ovo coceto: 3 3 g g g g Temos que o termo etre colchetes da equação represeta a soma fta de uma progressão geométrca de fator g, cujo prmero termo da soma é. Aplcado a fórmula da soma das parcelas de uma P.G fta: g g g g g

30 As duas relações apresetadas este tem são muto útes em algumas aplcações prátcas mportates, como em cálculos atuaras e avalação de empresas (valuato). Exemplo 4.4.: Uma ação promete pagar dvdedos de R$ 6,50 ao ao. Estmado-se que os dvdedos cresçam a uma taxa costate de 4% a.a.. calcular o valor da ação se o custo de oportudade do captal for de 5% a.a.. Cosdere os dvdedos como uma perpetudade. Solução: Iformações proveetes do exemplo: = 6,50; g = 4%; = 5%. Apeas como formação extra, uma das maeras de se calcular o preço de uma ação é descotado-se o valor esperado dos dvdedos pagos durate a exstêca da empresa. Portato, o exemplo quer saber o valor de. g 6,50 5% 4% 6,50 % R$59,09 5. Sstemas de Amortzação Um sstema de amortzação ada mas é do que um plao de pagameto de uma dívda. Em geral, esses plaos de pagameto são baseados os modelos de redas estudados o capítulo ateror. Detre os dversos plaos de pagameto, cada pagameto () costuma clur: juro do período (J k ), que é calculado sobre o saldo da dívda o íco do período(sd k ); amortzação do prcpal (A k ), que correspodete ao pagameto parcal ou tegral do prcpal da dívda. Com essas cosderações, os pagametos () esses sstemas de amortzação obedecem, de modo geral, à segute relação: = J k + A k (k é o período a que se refere o pagameto). 5. Sstema de Amortzação Fracês ou Tabela prce Também cohecdo como sstema de prestações costates, caracterza-se por pagametos de prestações guas, peródcas e sucessvas. É o sstema mas utlzado pelas sttuções faceras e comérco em geral. Como os juros cdem sobre o saldo devedor que, por sua vez, decrescem a medda que as prestações são pagas, eles são decrescetes, e, coseqüetemete, as amortzações são crescetes. Você pode ver a fgura 5.. o modelo geral desse tpo de sstema de amortzação. 30

31 = SD = A+J = A+J = A+J 0... Tempo (períodos) Fgura 5..: Exemplo de sstema de amortzação do tpo Tabela Prce. O captal ou prcpal será deomado ou SD e o valor dos pagametos será deomado, sempre que os pagametos forem costates. É possível determar o saldo devedor (SD k ), a parcela de juros e a amortzação em cada período de tempo. Utlzado a fórmula de redas certas postecpadas, a parcela de pagameto de dívda () pode ser obtda por: O prmero valor de juros da operação pode ser obtdo por: J J SD J A prmera amortzação será: A O prmero Saldo devedor, como já hava sdo mecoado, era gual a. O saldo devedor cal do segudo período (que é gual ao saldo devedor fal do prmero período) é gual ao saldo devedor do prmero período meos o valor amortzado: SD SD f SD A O saldo devedor cal o período ( SD ) fo o que restou da dívda o período. O cálculo do juros o segudo período ( J ) deve ser baseado o ovo saldo devedor ( SD ). Esse tpo de cálculo deve ser executado até o pagameto da últma parcela da dívda, obtedo-se todos os valores de juros e amortzação em cada período. As fórmulas para cálculo de saldo devedor, juros e amortzação em cada um dos períodos são dadas a segur: A J k k k k 3

32 SD fk k Observações: A k e J k são os valores da amortzação e dos juros cotdos a k-ésma parcela, SD fk é o saldo devedor exstete medatamete após o pagameto da k- ésma prestação; em outras palavras, é o saldo devedor fal do período k e saldo devedor cal do período k+. A segur será dado um exemplo para cosoldar o etedmeto do fucoameto do sstema fracês de pagametos. Exemplo 5..: Cosdere um empréstmo de $ 0.000,00 a ser pago em quatro prestações auas sucessvas postecpadas, para o qual se covecoou uma taxa de juros efetva de 0%a.a.. Qual o valor da prestação aual? Motar um quadro demostratvo da operação. Solução: Pelo eucado: = SD = 0.000,00; = 4 aos; = 0% a.a.; =? % 0% 3.54,70 4 0% Para motar o quadro geral, teremos que calcular o valor do saldo, juros e amortzação para os quatro períodos em questão: SD = = 0.000,00 SD % J.000 A J 3.54, ,70 SD SD A , ,30 SD f SD f 7.845,30 J SD 7.845,300% 784,53 A J 3.54,70 784,53.370,7 SD SD A 7.845,30.370, ,3 SD f 3 SD f 5.475,3 J 3 SD ,30% 547,5 A J 3.54,70 547,5.607,9 3 3 SD f 3 SD 3 A ,3.607,9 SD 4 SD f 3.867,94 J 4 SD 4.867,940% 86,79 A 4 J ,70 86,79.867,9 SD f 4 SD 4 A4.867,94.867,9 0,03.867,94 0 3

33 O quadro demostratvo fca: A k = - J k SDf k = SD k - A k , ,00.000,00.54, , , ,30 784,53.370, , , ,3 547,5.607,9.867, ,70.867,94 86,79.867,9 0,03 0 Período SD k J k = SD k. 5. Sstema de Amortzação Costate SAC Nos modelos aterores, os pagametos (prestações) eram costates. Neste sstema de amortzação os pagametos são decrescetes o tempo e são compostos, de modo aálogo aos casos aterores, por dos elemetos: amortzação (A) costate ao logo de todo o plao de pagametos; juro (J), calculados sobre os saldos devedores dos períodos medatamete aterores. O pagameto ou reda devdo em cada período é: = J k + A k = = J k + A O valor das amortzações costates A pode ser obtdo dvddo-se o saldo cal SD (ou ) pelo úmero de parcelas : A k A SD Observe que este sstema o que permaece costate é a parcela de amortzação, equato que o Sstema Fracês o que permaece costate é o valor da prestação. Mas uma vez, vamos descrever o modelo postecpado de pagametos. Segudo a lógca que fo abordada o Tabela Prce, os juros, os saldos cas e fas e as parcelas podem ser obtdos por: J k SD SD k k SD k A SD fk k k J k A Geeralzado as fórmulas: SD k SD fk k J k k A k J k k k k 33

34 Observação: J k é uformemete decrescete em k; k é uformemete decrescete em k; No sstema do tpo dferdo, a dfereça resde o fato do saldo devedor ser captalzado durate o período de carêca. A segur será dado um exemplo para cosoldar o etedmeto do fucoameto do sstema de amortzação costate. Exemplo 5..: Cosdere um empréstmo de $ 0.000,00 a ser pago pelo SAC em quatro prestações auas sucessvas postecpadas, para o qual se covecoou uma taxa de juros de 0%a.a.. Qual o valor da prestação aual? Motar um quadro demostratvo da operação. Solução: Pelo eucado: = SD = 0.000,00; = 4 aos; = 0% a.a.; =? A ,00 Para motar o quadro geral, teremos que calcular o valor do saldo, juros e parcelas para os quatro períodos em questão: SD 0.000,00 SD % J.000 A A.500,00 A j 3.500,00 SD SD A ,00 SD f SD f 7.500,00 J SD 7.500,000% 750,00 A A.500,00 A j 3.50,00 SD SD A 7.500,00.500,00 SD f 3 SD f 5.000,00 J 3 SD ,000% 500,00 A 3 A.500,00 A j 3.000, , ,00 SD f 3 SD 3 A ,00.500,00.500,00 SD 4 SD f 3.500,00 J 4 SD 4.500,000% 50,00 A 4 A.500,00 34

35 SD SD 4 A4 j4.750,00 f 4 4 A4.500,00.500,00 O quadro demostratvo fca: Período A k = J k = SD k. / SD k SDf k = SD k - A k 0.500,00.000, , , ,00.500,00 750, , , , ,00 500, , ,00.500, ,00 50,00.750,00.500, Sstema Amercao 0 No sstema amercao, o prcpal é pago de uma só vez ao fal do prazo do empréstmo, e o juro devdo é pago perodcamete. A fgura 5.3. lustra o modelo. = SD = +J = J = J - = J Tempo (períodos) Fgura 5.3.: Exemplo de sstema amercao. O juro devdo em cada período é costate; o vecmeto da operação são pagos o prcpal e a últma parcela do juro. Os juros, a amortzação e as parcelas podem ser obtdos por: J k A A A 0 A J Exemplo 5.3. Cosdere um empréstmo de $ 0.000,00 a ser pago pelo sstema amercao em quatro prestações auas, para o qual se covecoou uma taxa de juros efetva de 0%a.a.. Qual o valor da prestação aual? Motar um quadro demostratvo da operação. 35

36 Solução = SD = 0.000,00; = 4 aos; = 0% a.a.; =? J k A A A % A A4 J O quadro demostratvo fca: Período A k J k = SD k. SDf SD k = SD k - k A k ,00.000, , , ,00.000, , , ,00.000, , , ,00.000,00.000, , Iflação A flação é um desajuste de ordem ecoômca que se reflete em um processo de aumeto geeralzado de preços de produtos e servços. A flação cra uma sére de problemas de ordem prátca (a par dos problemas de ordem socal), algus dos quas estão lstados abaxo: dfculta o plaejameto facero em todos os íves; tora lusóros os regstros cotábes e as projeções ecoômco-faceras deles decorretes; cra um mposto flacoáro a medda em que trbuta lucros fctícos; dfculta as operações do mercado facero ao troduzr uma compoete de prevsão certa, além de outros. Para corrgr essas dfculdades e mmzar os problemas de ordem socal, craramse mecasmos de dexação ecoômca que serão, em parte, estudados este capítulo. 6. Ídce de Preços Um ídce de preços é um úmero ídce estruturado e costruído para medr a mudaça que ocorre os preços de bes e servços em um dado período de tempo e que toma como base o úmero 00. Esses ídces são compostos sob crtéros metodológcos específcos e tomam como referêca uma cesta básca de cosumo de bes e/ou servços que satsfaçam a uma determada ecessdade. É possível costrur ídces a partr de cesta básca de costrução cvl, de almetos, de cosumo de famílas que pertecem à determada faxa de reda e outras. 36

37 Para o etedmeto do fucoameto do processo vamos utlzar a tabela 6.. de ídces de preços. Mês \ Ao Ja - 08,0 44,3 Fev - 0,0 46,8 Mar -,49 48,54 Abr - 3,0 5, Ma 00,00 4,45 54,45 Ju 0,33 6,34 - Jul 0,45 0,40 - Ago 03,60 4,53 - Set 04, 3,63 - Out 05,08 35,6 - Nov 05,99 39,38 - Dez 06,79 4, - Tabela 6..: Exemplo de sére de ídce de preços. Se você observar a lha do mês de mao para os três aos, ecotrará os valores 00; 4,45 e 54,45. Isto sgfca que, para comprar a mesma cesta básca de bes, você precsou de 00 udades moetáras em mao de 009, de 4,45 em mao de 00 e de 54,45 em mao de 0. O dhero perdeu valor porque você precsa de maor quatdade dele para comprar a mesma cesta. 6. Ídce e taxa de flação (ou de correção moetára) O ídce de flação etre os períodos j e m (tomado como base) é dado por: I j / m IP IP j m IP j ídce de preço do mês j, e IP m ídce de preço do mês m. Se você quser saber o ídce de flação etre outubro de 00 e mao de 0, basta fazer a relação etre os úmeros ídces correspodetes, da segute maera: I IP 54,45 35,6 ma0 ma0/ out00 IPout 00,389 O que Sgfca dsto? Os preços de mao de 0 são,389 vezes mas elevados que os preços de outubro de 00; em outras palavras: Preços de ma0 =,35*Preços de out00. A taxa de flação () pode ser calculada a partr do ídce de flação (I), do segute modo: I = ( + ) Observe que os valores da tabela são fctícos, ão refletdo a evolução de qualquer ídce de flação exste. 37

38 Para o período cosderado (out 0 a ma ) a taxa de flação fo:,35 = + = 0,35 ou,35% a.p. Exemplo 6.. Supoha um empréstmo tomado em mao de 009 o valor de R$ 0.000,00 a serem pagos 90 das depos (agosto). Qual o valor corrgdo da dívda? Solução o ídce de correção para o período é dado pela relação etre: IP ma = 00 e IP ago = 03,60 I ago/ma = 03,60/00 =,0360 Valor da dívda em agosto de 009 = 0.000*,0360 = 0.360,00 Os dcadores moetáros utlzados pelos goveros são atualzados permaetemete por algum dos ídces de flação calculados por sttuções específcas, a exemplo do IBGE, da FIPE, da FGV e outras. Em geral, o Govero Federal arbtra um ídce que é utlzado para a correção moetára de balaços e obrgações prevdecáras e fscas. Nos das de hoje, a correção moetára ofcal é feta pela taxa referecal de juros (TR). Em operações partculares há lberdade para se fxar ídces de correção dferecados. 6.3 Taxas de juros aparete (ou omal) e real Ao se cosderar a flação, tem-se um complcador os cálculos faceros, porque há duas taxas a serem cosderadas: a taxa de flação ou correção moetára e a taxa real de juros. Chamado C = captal cm = taxa de correção moetára ap = taxa de juros aparete (egloba a flação e a taxa de juros real) r = taxa de juros real (cosderado a moeda costate) O motate aparete (juros mas correção moetára) desse captal em um período será; M = C * ( + ap ) Outra forma de se calcular esse motate é separar a correção moetára da captalzação de juros; assm: a) corrgr o captal pela taxa de flação, C # = C * ( + cm ) b) proceder a captalzação do captal corrgdo pela taxa de juros real, M = C # * ( + r ) = C* ( + cm ) * ( + r ) 38

39 Comparado-se as expressões, tem-se: ( + ap ) = ( + cm ) * ( + r ) Esta fórmula permte a você relacoar as três taxas cosderadas: a aparete, a real e a de correção moetára. Exemplo 6.3.: Em um ao o qual a flação fo 0%, uma aplcação de R$ 0.000,00 lhe redeu R$ 3.000,00. Qual fo o seu gaho real descotada a flação? Solução: A taxa de juros omal pode ser calculada aplcado-se a fórmula: ap C J % ap 30% r,0833 r 0% cm 8,33% Gaho Re al % , Ídce de correção moetára como flator e como deflator Sempre que você se deparar com uma sére temporal de valores faceros, em regme flacoáro, terá a ecessdade de reduz-la a valores faceros equvaletes para aalsar a sua evolução real. Cosdere a sére temporal abaxo, correspodete ao faturameto de uma empresa fctíca: Data Receta (R$) Ja ,00 Fev ,00 Mar ,00 Abr0.8.00,00 Ma ,00 Para se cohecer a evolução real do faturameto da empresa, os úmeros devem ser ajustados para refletr o mesmo poder de compra, levado em cota a flação verfcada o período. Os dversos valores umércos são trasformados para uma úca data de referêca, utlzado-se os ídces de flação ou de correção moetára. Os procedmetos padrozados para realzar esse ajuste são: a) coverter os valores das recetas da empresa para valores de jaero de 0 deflacoado os valores mas recetes. Isto correspode a utlzar o ídce de correção moetára como deflator. b) coverter os valores das recetas da empresa para valores de mao de 0 flacoado os valores mas atgos para a data mas recete. Isto sgfca utlzar o ídce de correção moetára como flator. 39

40 Em geral, para realzar este tpo de trasformação, utlza-se a correção pelo método do deflator. 7. Itrodução aos Métodos e Crtéros de Avalação de Ivestmetos Exstem váras téccas e crtéros que são utlzados o processo decsóro da realzação de vestmetos. Neste captulo dscutremos os métodos geralmete utlzados para motar e avalar os fluxos de caxa de projetos. As prcpas etapas desse processo de avalação são: Estmatva dos fluxos de caxa do projeto; Avalação do rsco do projeto, culmado com a determação da taxa de descoto; Cálculo dos dcadores ecoômcos (como VPL e TIR, por exemplo) que permtem a escolha do melhor projeto; Recohecmeto das lmtações dos modelos; Tomada de decsão Neste capítulo remos os cocetrar as prcpas téccas utlzadas para avalação de projetos: Valor Presete Líqudo; Pay-back descotado; Taxa Itera de Retoro. O valor de um projeto é baseado em sua capacdade de gerar fluxos de caxa futuros, ou seja, a capacdade de gerar reda ecoômca. Assm, as alteratvas de vestmeto só podem ser comparadas se seus valores forem meddos de um poto o tempo em comum. Etre os métodos de fluxo de caxa descotado, os mas utlzados são o VPL e a TIR. Nos casos em é ecessáro se ter uma déa do tempo de recuperação de vestmeto, o método do pay-back descotado é a ferrameta mas dcada. 7. Método do Valor Presete Líqudo VPL O método do Valor Presete Líqudo (VPL) tem como faldade valorar em termos de valor presete o mpacto de evetos futuros assocados a um projeto ou alteratva de vestmeto, ou seja, mede o valor presete dos fluxos de caxa gerados pelo projeto ao logo da sua vda útl. A fgura 7.. mostra um exemplo de dagrama de fluxo de caxa de um projeto. FC FC FC FC I Fgura 7..: Exemplo de dagrama de fluxo de caxa de um projeto. 40

41 O VPL pode ser defdo pela segute equação: VPL I FC FC FC VPL I t Ode: FC t é o fluxo de caxa o t-ésmo período; I é o vestmeto cal; é a taxa de descoto usada o projeto, também deomada custo de captal. O objetvo do VPL é ecotrar projetos ou alteratvas de vestmeto que valham mas para os patrocadores do que custam, ou seja, projetos com VPL postvo. O processo de descoto utlzado esse modelo coverte os fluxos de caxa futuros em valores presetes, pos fluxos de épocas dferetes ão podem ser comparados ou agregados equato ão sofrerem deslocameto o tempo para uma data comum. Exemplo 7..: Uma empresa estuda a possbldade de reformar uma máqua. A reforma está orçada em R$ e dará uma sobrevda de cco aos ao equpameto, proporcoado uma dmução os custos operacoas da ordem de R$ ao ao. Cosdere um custo de captal de 5% a.a.e usado o método do VPL, aalsar a vabldade ecoômca da reforma do equpameto. Solução: Pelo eucado do problema, teremos: FC t I = = 5% Uma a reda certa de 5 aos cujo valor de é VPL I t FC t t 5% 5% 5 5% % 5% VPL VPL R$ ,40 7. Método do pay-back descotado 0 t a ,356 5%;5 Esse método é dervado do método pay-back, com a dfereça que cosdera-se o valor o tempo dos fluxos de caxa. Mutas vezes é ecessáro sabermos o tempo de recuperação de um vestmeto, ou seja, quatos períodos de tempo (em geral aos) decorrerão até o valor presete dos fluxos de caxa prevstos se guale ao motate de vestmeto cal. O pay-back descotado bascamete cosste em determar o prazo T a segute equação: I T t FC t t Em geral utlza-se o pay-back descotado como um complemeto ao VPL. 4

42 Exemplo 7..: Olhado apeas pela ótca do pay-back descotado, qual dos equpametos abaxo, A e B, é mas adequado para realzar uma determada operação? Cosdere um custo de captal de 0 % a.a.. Equpameto Ivestmeto Fluxo de Vda útl Caxa/Ao A aos B -3,5 8 aos Solução: Pelo eucado do problema, teremos: I A = I B = 3 = 0% Uma a reda certa de 8 aos cujo valor de é 3 para A e,5 para B. I T t FC t t Para A, teremos: 3 a a 4 0%; T 0%; A TA 3,5 a 0%; T a0 %; B TB Para B, teremos: 5, O valor de a 5,. a 0 %;TA ão deve ser feror a 4, e o valor de a 0 %;TB ão deve ser feror Para T A = 6, a 4, %;6 0%;8 Para T B = 8, a 5, Portato: Pay-back de A vale 6 aos. Pay-back de B vale 8 aos. 7.3 Método da Taxa Itera de Retoro TIR Por defção, a TIR é a taxa de retoro esperada do projeto de vestmeto. O método da TIR ão tem como faldade a avalação da retabldade absoluta a um determado custo de captal, como o VPL. Seu objetvo é ecotrar uma taxa tríseca de redmeto. Matematcamete, a TIR é uma taxa hpotétca de descoto que aula o VPL, ou seja, é aquele valor de * que satsfaz a segute equação: VPL I t FC t * t 0 Para decdrmos se um projeto é ecoomcamete vável, deve-se ter * >, ou seja, a Taxa Itera de Retoro deve ser maor que o custo de captal do projeto. A fgura 7.3. mostra um gráfco com a evolução do VPL em fução da taxa de descoto. Nele, a TIR é dada pelo tercepto da curva que represeta o polômo do VPL com o exo das abscssas, ou seja, o poto em que o VPL é zero. 4

43 0% % 4% 6% 8% 0% % 4% 6% 8% 0% % 4% 6% 8% 30% 3% 34% 36% 38% 40% VPL O apelo tutvo provavelmete respode pelo uso geeralzado do método da TIR. As pessoas geralmete têm preferêca para tomar decsões fazedo comparações em termos percetuas. Porém, como veremos mas adate, exstem algus problemas relacoados à TIR TIR Taxa de Descoto Fgura 7.3.: Exemplo de dagrama de fluxo de caxa de um projeto. Exemplo 7.3.: Aalse o projeto do exemplo 7.. pelo método da TIR. Solução: Pelo eucado do problema, teremos: I = = 5% Uma a reda certa de 5 aos cujo valor de é I FC t * t * * 5 t * 8,65% 5% 7.3. Problemas da TIR: problema do revestmeto Um problema ou lmtação da TIR é cohecdo como problema do revestmeto. Observe as alteratvas de vestmeto a segur: Alteratva Ivestmeto Fluxo de Caxa Ao TIR R % S % A fgura 7.3. a segur mostra a relação fucoal etre o VPL das alteratvas R e S e o custo de captal: A taxa em que as duas curvas se ecotram é cohecda como taxa cremetal de Fsher. Aplcado-se o método da TIR, alteratva R sera a escolhda, pos possu maor TIR. Porém, pelo crtéro do VPL, a alteratva S sera a selecoada. Portato, esse caso, a TIR coduzra a uma escolha errada. 43

44 VPL Essa dfereça ocorre pelo fato da TIR cosderar que os fluxos de caxa do projeto serão aplcados a própra taxa TIR, quado o mas correto sera cosderar que eles seram aplcados ao custo de captal, como ocorre o VPL S 6 4 R 0-0,0% 5,0% 0,0% 5,0% 0,0% 5,0% 30,0% 35,0% 40,0% Taxa de Descoto 45,0% 50,0% 55,0% 60,0% 65,0% 70,0% Fgura 7.3.: Evolução do VPL dos projetos R e S de acordo com a taxa de descoto Problemas da TIR: múltplas taxas de retoro Este problema ocorre quado projetos ão possuem fluxos covecoas. Os fluxos covecoas são aqueles em que ocorre um vestmeto cal (com valor egatvo) e os fluxos de caxa segutes são postvos. Se, por algum motvo, essa característca ão acotece (por exemplo, a preseça de fluxos de caxa postvos e egatvos alteradamete), podem ocorrer múltplas taxas teras de retoro. O exemplo a segur lustra melhor esse problema. Exemplo 7.3.: Uma empresa rá vestr R$.600,00 em um projeto, espera receber R$ de retoro o prmero ao e rá pagar R$ o segudo ao. O custo de captal do projeto é de 0%. Calcule a TIR desse projeto e verfque sua vabldade. Solução: Pelo eucado do problema, teremos: I =.600 = 0% FC = FC = I.600 FC t.600 * t * * t * * * * 44

45 VPL Isso os remete a uma equação quadrátca do tpo a b c 0, cujo solução é: b b 4a c a * Fazedo, a. 600, b e c * * 5% ou * 400%, teremos: A solução apreseta duas Taxas Iteras de Retoro: 5% e 400% (A fgura mostra o gráfco do VPL em fução da taxa de descoto). Além dsso, ambas são maores que o custo de captal (0%) % 40% 60% 80% 00% 0% 40% 60% 80% 00% 0% 40% Taxa de Descoto 60% 80% 300% 30% 340% 360% 380% 400% Fgura 7.3.: Evolução do VPL do projeto do exemplo 7.3. de acordo com a taxa de descoto. A prmera vsta, este resultado pode os fazer acredtar que o projeto é ecoomcamete vável, porém, se aalsarmos o VPL do projeto: VPL I t FC t t 0% 0% 773,55 O VPL de R$ 773,55 dca redução o valor da empresa se ele decdr realzar o projeto, portato, o método da TIR, quado este apreseta múltplas soluções, pode levar a coclusões erradas. Além dsso, em algus casos, o método da TIR pode apresetar soluções defdas, com a preseça de úmeros magáros. 45

46 7.3.3 Problemas da TIR: projetos mutuamete excludetes e com escalas dferetes O método da TIR pode levar a cosstêcas decsóras quado estamos comparado projetos mutuamete excludetes e com escalas (porte) dferetes. Como a TIR tem seus resultados expressos em termos relatvos (porcetages), tede a favorecer alteratvas de meos escala e que possuem chace de produzr um retoro percetual maor que alteratvas de maor escala. O exemplo a segur lustra esse problema. Exemplo 7.3.3: Uma empresa deve decdr se veste em um dos projetos apresetados a segur. Sabedo que o custo de captal para ambos os projetos vale 0%, calcule o VPL e a TIR dos projetos e dga qual deve ser o projeto escolhdo. Alteratva Ivestmeto Fluxo de Caxa Ao F - R$ 0 R$ 40 G -R$ 40 R$ 70 Solução: Os cálculos de VPL e TIR os levam as segutes soluções: Alteratva TIR VPL F 00% R$ 6,36 G 75% R$ 3,64 Pelos resultados apresetados, percebe-se um coflto etre os dos métodos: pela TIR a alteratva F é a melhor, equato pelo VPL o vestmeto o projeto G parece mas adequado. De modo geral, o VPL é o método a segur quado há dfereça de tamaho etre projetos mutuamete exclusvos Problemas da TIR: projetos mutuamete excludetes com escala semelhate mas com dfereça da dstrbução (tmg) dos fluxos de caxa Mesmo em projetos com escalas semelhates, a TIR pode os coduzr a escolhas errôeas em projetos mutuamete excludetes. Em geral, sto acotece quado exste dfereça o tmg dos fluxos de caxa dos projetos. O exemplo a segur lustra esse problema. Exemplo 7.3.4: Uma empresa deve decdr se veste em um dos projetos apresetados abaxo. Sabedo que o custo de captal para ambos os projetos vale 0%, calcule o VPL e a TIR dos projetos e dga qual deve ser o projeto escolhdo. Alteratva Ivestmeto Fluxo de Caxa Ao Fluxo de Caxa Ao - R$ 00 R$ 0 R$ 0 Y -R$ 00 R$ 00 R$ 3,5 Solução: Os cálculos de VPL e TIR os levam as segutes soluções: Alteratva TIR VPL 0% R$ 7,36 Y 5% R$ 6,74 Exste uma maera de usar a TIR este tpo de caso que leva a coclusões corretas a seleção de projetos mutuamete excludete. A metodologa, cohecda como TIR do fluxo cremetal utlza a taxa cremetal de Fsher e pode ser vsta com mas profuddade em Samaez (00). 46

47 Pelos resultados apresetados, percebe-se um coflto etre os dos métodos: pela TIR a alteratva Y é a melhor, equato pelo VPL o projeto parece mas adequado. De modo geral, o VPL é o método a segur quado há dfereça de tamaho etre projetos mutuamete exclusvos. Percebe-se que, apesar dos dos projetos possuírem escalas semelhates (vestmetos guas), eles possuem tmg dferetes (projeto possu valores de fluxo de caxa mas cocetradas o fal, equato o projeto Y elas estão cocetradas o começo). No exemplo 7.3.4, a dfereça de tmg leva a resultados cotradtóros do método da TIR. De modo geral, a regra decsóra do VPL é a melhor regra a segur quado há dfereça etre tmg etre projetos mutuamete excludetes. Etretato, um poto a ser ressaltado é que o VPL ão revela muta cosa sobre a retabldade do projeto, pos dos projetos podem ter o mesmo VPL e um deles apresetar um vestmeto substacalmete maor que o outro. Portato, a aplcação do VPL em sempre ecerra a dscussão sobre aálse e seleção de alteratvas de vestmeto, mas os propca um sóldo poto de partda. 8. Rsco x Retoro 8.. Defções Ao realzar um vestmeto, os defrotamos com a certeza sobre o resultado da operação. No caso do vestmeto em uma ação, o preço pode varar lvremete de acordo com as codções de mercado. Até mesmo em um vestmeto em reda fxa, ão sabemos ao certo o resultado da operação, pos a cotraparte pode ão horar sua dívda. Para dscutr esta certeza, é útl aalsar o caso em que ão há certeza. Supoha um vestmeto um título prefxado do govero. Supodo que ão exste possbldade de calote (hpótese fctíca?), a decsão etre vestr ou ão é baseada um úco úmero: a taxa de juros da operação. Por exemplo, se o retoro do título for de 0%, o vestdor poderá realzar o vestmeto caso julgue que esta taxa de juros é superor ao que ele cosegura em outro mercado equvalete. O mportate do exemplo é que ão há ecessdade de aalsar outro úmero seão a taxa de juros da operação. Olhado para o caso em que exste certeza, supoha um vestmeto em ações da Vale um horzote de mês. Não sabemos qual será a varação do preço da ação o próxmo mês. Como decdr etão etre vestr a Vale ou em outra ação? Podemos até ter uma dea de qual será o retoro esperado desta ação: podemos atrbur uma probabldade aos dferetes valores de retoro que podem ocorrer, etão a méda destes possíves retoros sera o retoro esperado do vestmeto. Mesmo assm, ão sabemos se o resultado efetvo será maor ou meor que o resultado esperado do vestmeto. Assm, vemos que a exstêca de certeza mplca que o vestdor ão pode se basear em um úco úmero para decdr com relação ao vestmeto. Neste cotexto, podemos cosderar rsco como a medda do grau de certeza sobre um eveto qualquer. No estudo de faças, estamos teressados em medr o grau de certeza sobre o valor futuro de um atvo facero, ou ada, sobre o seu retoro, que é uma medda da varação do valor do atvo com relação ao seu valor orgal. Seja 0 o valor cal do atvo, e t o valor após um tervalo de tempo t, etão podemos defr o retoro do período como: 47

48 r t 0 0 Ifelzmete, em geral ão sabemos qual será o retoro de um determado atvo durate um período futuro. Retomado o exemplo do vestmeto a Vale, atrbuímos probabldades aos dferetes valores de retoro que podem ocorrer. Chamamos de volatldade a dspersão destes valores. Podemos utlzar a volatldade para medr o rsco do vestmeto: como apeas valor se realzará etre os retoros possíves, quato maor a dspersão dos possíves valores de retoro, mas certo será o resultado do vestmeto, portato maor será o rsco. 8.. Tradeoff etre Rsco e Retoro Supoha agora que temos 3 possíves vestmetos: A, B e C. Para cada vestmeto, fo feta uma aálse de retoro esperado e volatldade. Veremos as próxmas seções como obter efetvamete estes valores. Para este exemplo, vamos supor que já temos os resultados, e eles estão represetados o gráfco a segur. Retoro Esperado C A B Volatldade Qual é o melhor vestmeto? Comparado A e B, vemos que A é mas atratvo, pos, para um mesmo ível de retoro esperado, A apreseta meor rsco que B. Comparado B e C, vemos que C é mas atratvo, pos, para um mesmo ível de rsco, C apreseta maor retoro esperado. À prcípo, ão podemos determar se A é preferível a C. Esta escolha depede das preferêcas do vestdor com relação ao rsco, ou seja, do quato o vestdor está propeso a trocar rsco por retoro. O recado desta aálse é que ão podemos escolher smplesmete o vestmeto com maor retoro esperado: temos que avalar o quão arrscado ele é. Em geral, um vestmeto de maor retoro esperado será mas arrscado. Exemplo: ações em comparação com títulos do govero. 48

49 8.3. Efeto da Dversfcação No caso de uma cartera de vestmetos, a aálse é um pouco mas complexa. O rsco de uma cartera ão é o somatóro dos rscos dvduas de cada compoete. Ele depede da possbldade de que os retoros dos atvos varem cojutamete um mesmo setdo, ou em setdos opostos (coceto de correlação). Um resultado mportate é que, em geral, há uma redução de rsco quado se mota uma cartera dversfcada de atvos, caso os preços dos atvos ão varem perfetamete em cojuto Tpos de Rsco Podemos classfcar os tpos de rsco em categoras, facltado o desevolvmeto de téccas de gestão e modelos teórcos. É mportate ter em mete que exstem outras classfcações possíves, mas que se referem bascamete aos mesmos tpos de rsco aqu apresetados Rsco de Mercado É o rsco da perda assocado a movmetos os preços de atvos egocados o mercado. No caso de ações e moedas estrageras, o rsco de mercado está assocado à possível varação adversa a cotação destes atvos. Se estvermos comprados em ações da Petrobrás, aalsaremos a probabldade da cotação desta ação car. No caso de títulos de reda fxa e debêtures, o fator de rsco em questão será a estrutura a termo das taxas de juros egocadas o mercado. Se estvermos comprados um título zero-coupo com vecmeto em ao, teremos uma perda o portfolo se a taxa de juros de mercado com prazo de ao subr, vsto que temos uma relação versa etre a taxa de juros e o preço do título. No caso de opções, temos város fatores que poderam afetar o seu valor. Por exemplo, bastara uma queda a volatldade do atvo subjacete para termos uma dmução o valor desta opção. Logo, um dos fatores de rsco de mercado sera a própra volatldade do atvo subjacete ao cotrato da opção Rsco de Lqudez Podemos aalsar o Rsco de Lqudez de duas formas: o Rsco de Lqudez de Atvos, e o Rsco de Lqudez de Facameto (Fudg). O Rsco de Lqudez de Atvos, também desgado Rsco de Lqudez de Mercado, aparece quado uma determada trasação ão pode ser efetuada pelo preço de mercado correte por cota do tamaho da posção a ser lqudada. O Rsco de Lqudez de Fudg, ou Rsco de Fluxo de Caxa, se refere ao rsco de ão ser possível captar recursos com o objetvo de cobrr desequlíbros de fluxo de caxa. 49

50 8.4.3 Rsco de Crédto É o rsco que tem como orgem a possbldade de uma cotraparte de um cotrato facero ão horar tegralmete suas obrgações. Quado um baco cocede um empréstmo, e a cotraparte ão efetua pagameto dos juros devdos, temos um eveto de rsco de crédto. É comum classfcar a qualdade credtíca de empresas usado um sstema de Ratg. Agetes especalzados, como a S&P e Moody s, aalsam úmeras formações sobre uma determada empresa (estrutura do balaço, codções do mercado, etc.) e atrbuem uma ota a ela, que é o ratg. Uma ota alta mplca que a empresa tem uma maor probabldade de horar com seus compromssos faceros Rsco Operacoal É o rsco assocado a falhas em processos, pessoas, sstemas, ou evetos exteros. Em geral, todo tpo de rsco que ão se equadra as classfcações aterores é cosderado rsco operacoal. Exemplos: Falhas em sstemas, treameto adequado de pessoal, falhas humaas, fraudes, rsco legal. 9. Estatístca 9.. População e Amostra Em estatístca, o osso objetvo é extrar formações de uma coleção de elemetos. Chamamos esta coleção de População. Em geral, é mpossível examar todos os elemetos de uma População. Por exemplo, sera mpossível ao IBGE etrevstar todos os brasleros durate o Ceso para saber qual é a dade méda da população. Nestes casos, em vez de aalsar toda a população, aalsamos apeas um subcojuto da mesma, que chamamos de amostra. No caso do Ceso do IBGE, a amostra aalsada é composta pelas pessoas efetvamete etrevstadas. Dado que o objetvo é ferr sobre a população total, a amostra deve ser, de alguma forma, represetatva da população total. Em geral, uma amostra ão pode ser cosderada represetatva se ela ão tver sdo obtda através de uma escolha (ou amostragem) aleatóra. Por exemplo, supoha que, para a pesqusa de dade méda, o Ceso escolha como amostra um grupo de pessoas que moram em um aslo. Dada a fução de um aslo, é razoável supor que ecotraremos pessoas com dade avaçada em relação ao resto da população do país. Embora pareça um paradoxo, a melhor forma de obter uma amostra represetatva é escolhedo elemetos de forma completamete aleatóra. Assm, ão estaremos escolhedo elemetos que estão assocados etre s por alguma regra, e dexamos apeas ao acaso a formação de uma amostra que possu as mesmas característcas da população. 50

51 Da mesma forma que o acaso os ajuda a obter uma amostra represetatva da população, estamos sempre sujetos a erros de amostragem: podemos obter uma amostra ão represetatva apeas por azar. Por sso, dferecamos as característcas da população (por exemplo, dade méda da população) das estmatvas realzadas va amostragem (dade méda amostral). É atural corrermos em um erro (ou desvo) etre a estmatva obtda va amostragem do real valor do atrbuto da população. 9.. Varável Aleatóra e Probabldade Quado aalsamos um expermeto aleatóro (jogar um dado, por exemplo), em geral estamos teressados em estudar algum valor ou quatdade de teresse. Estas quatdades de teresse que são determadas pelo resultado de um expermeto aleatóro são chamadas de Varáves Aleatóras. Ao jogar um dado, o resultado pode varar detro de um cojuto de valores possíves:,, 3, 4, 5, 6. Etretato, ao jogar o dado, apeas um destes valores será observado. Neste exemplo, chamamos de varável aleatóra o úmero que obtemos ao jogar o dado. Podemos assocar uma probabldade a cada valor possível de uma varável aleatóra. No caso de um dado, se for um dado justo, teremos a mesma probabldade para cada valor possível da varável aleatóra. Seja o valor da varável aleatóra, podemos expressar esta formação costrudo a tabela a segur. P P P P P P Esta tabela represeta a dstrbução de probabldades da varável aleatóra, ou seja, o cojuto de probabldades assocadas a cada possível valor da varável aleatóra. Outra fução útl é a dstrbução de probabldades acumulada da varável aleatóra. Podemos defr a dstrbução acumulada como: F a P a 5

52 Observe que para qualquer dstrbução de probabldades, temos que ter a segute gualdade: x P x Ou seja, o somatóro das probabldades de cada valor possível da varável aleatóra deve ser gual a. Exercíco: Seja Y a varável aleatóra defda como a soma dos resultados de dados, costrua a tabela de dstrbução de probabldades da varável aleatóra Y. Costrua também um gráfco para a dstrbução de probabldades acumulada. Quado temos mas de uma varável aleatóra, defmos uma fução de dstrbução de probabldades cojuta etre as duas varáves. Por exemplo, se temos as varáves aleatóras e Y, a dstrbução de probabldades cojuta será dada por p(x,y j ), ode: p x, y P x, Y y j j No caso de atvos faceros com rsco, a varável aleatóra de teresse será o retoro do vestmeto. Por exemplo, se temos a cartera uma ação da Vale, ão sabemos qual será o preço de fechameto de amahã. Portato, o retoro do preço da Vale etre hoje e amahã é uma varável aleatóra Esperaça e Méda Amostral A Esperaça é uma medda de valor médo de uma varável aleatóra. Seja uma varável aleatóra, defmos como Esperaça ou Valor Esperado de, deotado por E[], como: E x P x Exemplo: esperaça do resultado de um dado justo. E Deste exemplo, observamos que a esperaça em sempre resulta em um úmero que a varável aleatóra pode assumr. Não podemos terpretar a esperaça como o valor que esperamos que a varável vá assumr, mas sm como a méda dos valores que a varável aleatóra rá assumr após uma quatdade grade de expermetos. Sejam a e b duas costates, temos a segute propredade para a Esperaça. E a b ae b 7 5

53 Demostração: b ax bp x a x P x b P x ae b E a x x Utlzado a dstrbução de probabldades cojuta de duas varáves aleatóras, é possível mostrar que: E Y E EY A Esperaça é o valor médo esperado de uma varável aleatóra quado olhamos a população. Como vmos, temos que cohecer a dstrbução de probabldades da varável para calcular a Esperaça. Em geral, ão cohecemos de forma exata a dstrbução de probabldades de uma população. Neste caso, temos que recorrer a uma estmação através da aálse de uma amostra. O estmador da Esperaça é a Méda Amostral, defda como: x x Exemplo: Estme o valor esperado do retoro de uma ação com base a amostra apresetada a tabela a segur. Da Preço Retoro % % % 4 0.% Resolução: utlzado como estmador a méda amostral, temos um retoro médo de 0,5%. 0 0,9 8,6, 0, Varâca e Desvo Padrão A Varâca e o Desvo Padrão são meddas de dspersão de uma varável aleatóra com relação a sua méda (Esperaça). Aqu, utlzaremos o Desvo Padrão como medda de volatldade do retoro de um atvo facero. A Varâca (da população) é defda como o erro quadrátco médo: Var E E 53

54 54 Uma fórmula alteratva é dada por: E E E E E E E E E E E E E E E E E Var Exemplo: varâca do resultado de um dado justo x P x E Como 7 E, etão: E E Var Sejam a e b duas costates, uma propredade mportate da varâca é a segute: Var a b E a b a E b a Var Assm como fo o caso da Esperaça, em geral temos que estmar a varâca de uma varável aleatóra através da aálse de uma amostra. A Varâca Amostral é calculada como: x s O Desvo Padrão Amostral é obtdo como a raz quadrada da Varâca Amostral: x s Exemplo: Com base a mesma tabela de preços de uma ação da seção ateror, estme a volatldade do retoro da ação utlzado o desvo padrão amostral. Resolução: Para facltar as cotas, podemos calcular o desvo quadrátco x para cada elemeto da amostra, crado uma ova colua da tabela. Sabemos do exemplo ateror que % 0,5.

55 Da Preço Retoro Desvo Quadrátco % 0.90% %.30% % 0.75% 4 0.%.% Soma dos desvos quadrátcos = 4,08%. s 4,08% 3,66% 9.5. Covarâca e Correlação A covarâca etre duas varáves aleatóras mede a assocação lear etre elas. Esta medda também é afetada pela varabldade das varáves. Tudo mas costate, varáves aleatóras com maor desvo padrão possuem maor covarâca. A correlação é uma medda pura da assocação lear etre duas varáves, obtda a partr da covarâca, retrado este efeto que a varabldade tem sobre a medda de covarâca. Duas varáves possuem correlação postva quado temos uma assocação lear etre as duas tal que os choques costumam ocorrer ao mesmo tempo em ambas as varáves e a mesma dreção. Exemplo: retoro de ações de um mesmo setor. A correlação egatva ocorre quado estes choques costumam ocorrer em dreções opostas. Exemplo: é comum observar uma queda a cotação do dólar um da em que a bolsa sobe. A correlação ula ocorre quado ão há assocação lear etre as duas varáves. Se uma varável ão tem ehum assocação com a outra, a correlação etre elas será zero. A covarâca etre duas varáves e Y, Cov(,Y), é defda por: Cov, Y E E Y EY Podemos estmar a covarâca etre duas varáves A e B através do estmador: A, B A B A B ode µ A e µ B são as médas das varáves. A correlação etre estas varáves será a covarâca ormalzada pelo produto dos desvos padrões destas varáves: A, B A, B A B 55

56 A correlação está sempre etre - e +, de forma que podemos terpretar seu sgfcado. Uma correlação próxma de + dca forte depedêca lear etre as varáves. Uma correlação próxma de zero dca exstêca de depedêca lear. Podemos represetar os valores de duas varáves A e B um sstema cartesao para avalar a correlação etre elas, motado um gráfco de dagrama de dspersão. A segur temos 3 dagramas smulados de varáves com as segutes correlações: +0,97, -0,63, 0,00. Exemplo: estme a correlação etre a ação do exemplo ateror, e a ação cujo hstórco de preços é mostrado a tabela abaxo. Da Preço Retoro % % % % Gabarto: A partr dos dados da tabela, temos os segutes resultados: - desvo padrão = 6,4% - Covarâca = 0, correlação = 6,67% 9.6. A Dstrbução Normal A dstrbução ormal é bastate utlzada a modelagem de retoros faceros. Esta dstrbução é utlzada a modelagem de város feômeos empírcos, pos, através do Teorema Cetral do Lmte, város feômeos de atureza aleatóra seguem, ao meos aproxmadamete, a dstrbução ormal. A fução desdade de probabldade de uma varável ormal é uma curva smétrca em relação à méda, e em formato de so. A fução é determada por apeas dos parâmetros: méda e desvo padrão. A equação desta curva é dada por: f ( x) exp x 56

57 ode µ é a méda, e σ é o desvo padrão. Esta fórmula está programada o Excel através da fução DIST.NORM(x, méda, desv. Pad., FALSO). A área sob esta curva etre dos potos quasquer e os forma a probabldade da varável estar etre os valores e. Para cálculos deste tpo, é útl laçar mão da fução de dstrbução de probabldade (acumulada), que os forma a probabldade acumulada até um determado poto qualquer x. Matematcamete, a fução dstrbução de probabldade é dada por: F ( x) P x x f x Esta fórmula está programada o Excel através da fução DIST.NORM(x, méda, desv. Pad., VERDADEIRO). Se é uma varável aleatóra ormal com méda µ e desvo padrão σ, utlzaremos a otação ~ N(µ,σ ) para represetar esta formação (ote que σ é a varâca da dstrbução). A dstrbução ormal com méda zero e varâca, Z ~ N(0,), é chamada de ormal padrão. É comum desgar a fução dstrbução de probabldade acumulada da ormal padrão por. No Excel, você pode utlzar a fução x DIST.NORMP() para a ormal padrozada. A segur, temos uma lustração da fução desdade de probabldade e da dstrbução de probabldade de uma ormal padrão. dx, 0,8 0,6 f(x) F(x) 0,4 0, É útl ter em mete os segutes valores para as áreas sob uma desdade ormal padrão: Área sob a curva - a 68,7% - a 95,45% -3 a 3 99,73% 57

58 É possível demostrar que se tem dstrbução ormal N(µ,σ ), etão dstrbução ormal padrão. Assm, observado a tabela acma, deduzmos que a probabldade de ~ N(µ,σ ) pertecer ao tervalo [ µ - σ, µ + σ ] é de 95,45% Quats tem Seja F a fução dstrbução de probabldade acumulada de uma varável aleatóra. Para qualquer valor q etre 0 e, temos que F q é o quatl q desta dstrbução. Por exemplo, para o caso da dstrbução ormal padrão, temos que o quatl de % da dstrbução é -,36. Ou seja, se ~ N(0,), etão P,36 0,. 0 Como a ormal é uma dstrbução smétrca, o quatl de 99% será +,36. A tabela a segur resume algus quats útes. No Excel, a fução versa da desdade de probabldade acumulada ormal é mplemetada a fórmula INV.NORM(prob., méda, desv. Pad.). Quats N(0,) 90%,8 95%,645 99%,36 Utlzado a propredade da dstrbução ormal, temos que o quatl q de uma varável ~ N(µ,σ ) é dado por: q Varâca e Desvo Padrão de uma Cartera Quado temos mas de tpo de atvo a cartera, temos que levar em cosderação a correlação etre eles para calcular a volatldade da cartera. Cosderado uma cartera com atvos, e supodo dstrbução ormal para o retoro dos atvos, o retoro R p do portfolo é dado por: R p R w R w R R ~ N 0, ~ N 0, ode w e w são os pesos de cada atvo ( w + w = ), R e R são as varáves aleatóras dos retoros dos atvos e respectvamete. Seja V(x) a varâca da varável aleatóra x, é possível mostrar que a varâca da cartera será dada por: R Vw R wr w w w w, V p 58

59 ode σ, é a covarâca etre R e R. A correlação etre os atvos é dada por,,. Observe que podemos escrever a fórmula da varâca da cartera utlzado otação matrcal, geeralzado para uma quatdade qualquer de atvos. Seja w uma matrz lha com os pesos e Σ a matrz de covarâcas, temos que: V T R ww p Para o caso de uma cartera com atvos, as matrzes seram: w w, w, 9.9. Aplcação Utlzado uma sére de cotações hstórcas de ações, obter:. Sére dos retoros de cada ação.. Estmação da méda e desvo padrão dos retoros. 3. Gráfco da fução desdade de probabldade dos retoros, supodo dstrbução ormal. 4. Cálculo dos quats: %, 5%, 0%, 90%, 95%, 99%. 5. Gráfco de dspersão das ações. 6. Estmação da correlação etre os retoros das ações. 7. Compare o desvo padrão de cada ação com o desvo padrão de uma cartera formada por estas duas ações, uma proporção de 50% para cada ação. 59

60 0. Coceto de Value at Rsk (VaR) Value at Rsk (VaR) é uma medda de rsco que fo crada pelo baco J. P. Morga, cuja metodologa fo torada públca em 994. Atualmete, a maor parte dos modelos de rsco utlzados em bacos e recomedados por reguladores são baseados em VaR. Esta medda cosegue stetzar um úco úmero uma medda de rsco fácl de eteder e de dvulgar. Podemos defr o Value at Rsk (Valor em Rsco) como o valor moetáro da perda máxma de uma determada cartera, para um determado horzote de tempo, para um determado ível de cofaça. Ou seja, esta medda está sempre assocada a três elemetos:. uma moeda,. um tervalo de tempo (holdg perod), durate o qual cosderamos que o portfolo ão muda; 3. um ível de cofaça, que dca a frequêca com que observaremos perdas maores ou guas ao VaR calculado. Por exemplo, se o VaR calculado hoje, cosderado um horzote de tempo (holdg perod) de da, e com ível de cofaça de 99%, for gual a R$.000,00, etão esperamos que vez a cada 00 das ocorra uma perda maor ou gual a R$.000,00 se a stuação do mercado ão mudar com relação ao que sabemos hoje. Na prátca, a stuação do mercado muda a cada da. Mas, se cosderarmos que atualzaremos o cálculo do VaR daramete, e se utlzarmos sempre o ível de cofaça de 99%, etão esperamos que vez a cada 00 das ocorra a stuação em que a perda realzada é maor ou gual ao VaR reportado para aquela data. Seja a varável aleatóra que represeta o P&L da cartera 3 para o holdg perod cosderado, (-α) o ível de cofaça 4, etão o VaR é defdo matematcamete como: P VaR ode P(.) dca a probabldade de um eveto. Ou seja, podemos terpretar o VaR como o α-quatl da dstrbução de probabldade do P&L da cartera. Observe que, à prcípo, o coceto do VaR é smples de compreeder. A dfculdade está em obter uma dstrbução de probabldade para o P&L da cartera: quato mas complexo forem os atvos faceros que fazem parte da cartera, mas complcada será a modelagem desta dstrbução. O método paramétrco para cálculo do Value at Rsk cosste em atrbur uma dstrbução de probabldade cohecda aos retoros dos atvos que compõem a cartera. Dzemos que o modelo é paramétrco pos ele é determado pelos parâmetros estmados para a dstrbução de probabldade escolhda. 3 P&L, ou Proft ad Loss, é a varação o valor da cartera. 4 α é chamado ível de sgfcâca. 60

61 Para o caso de uma cartera com um úco atvo, seja 0 o valor de mercado cal da cartera. Supodo que temos uma sére R de retoros dáros, ode modelamos que R ~ N0,, tal que σ é estmatva de volatldade dára, utlzado um método qualquer de estmação. Podemos coverter a varável aleatóra em uma ormal padrozada Z: R 0 Z ~ N0, R Z Seja Z α o α-quatl da ormal padrão, etão o α-quatl de R será dado por: Por Re toro Z ode (PorRetoro) é o meor retoro assocado à medda de VaR. Como a méda de R é zero, (PorRetoro) será um valor egatvo pos é um quatl da cauda esquerda da dstrbução. Assm, o VaR será calculado por: Por toro VaR 0 PorCaso 0 0 Re 0Z Tpcamete, o VaR é reportado em valores absolutos (em módulo), mesmo que represete um valor egatvo. Exemplo: supoha que a volatldade da Vale teha sdo estmada em,6%, utlzado dados dáros. Se temos uma cartera de R$.000,00 aplcada em ações da Vale, etão o VaR com ível de cofaça de % e holdg-perod de da é calculado como: VaR = 000 x,6% x,36 = 9,3. Ou seja, matedo as codções atuas de mercado, teremos uma perda superor a 9,3 em da a cada 00 das. 6

62 Bblografa ELTON, Edw. GRUBER, Mart. Modera Teora de Carteras e Aálse de Ivestmetos. São Paulo: Atlas, 004. JORION, Phlppe. Value at Rsk: The New Bechmark for Maagg Facal Rsk. Mc-Graw Hll, 007, 3a Edção. MARTINS, Glberto de Adrade. FONSECA, Jaro Smo da. Curso de Estatístca. São Paulo: Atlas, 996, 6ª Edção. MARTINS, Glberto de Adrade. Estatístca Geral e Aplcada. São Paulo: Atlas, 005, 3ª Edção. PUCCINI, Abelardo de Lma. Matemátca Facera Objetva e Aplcada. São Paulo: Campus, 0 (9ª Edção) PUCCINI, Abelardo de Lma. Matemátca Facera. Mato Grosso do Sul: UFMS Edtora, 00 (ª Edção) ROSS, Sheldo M. Itroducto to Probablty ad Statstca for Egeers ad Scetsts. Elsever, 004, 3a Edção. RUPPERT, Davd. Statstcs ad Face: A Itroducto. Sprger, 006. SAMANEZ, Carlos Patrco. Matemátca Facera - Aplcações à Aálse de Ivestmetos. São Paulo: Pearso Pretce Hall, 00 (3ª Edção) SECURATO, José Roberto. Cálculo Facero das Tesouraras Bacos e Empresas. São Paulo: Sat Paul, 009 (4ª Edção) 6