Prof. Eugênio Carlos Stieler

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1 UNEMAT Uversdade do Estado de Mato Grosso Matemátca Facera SÉRIE DE PAGAMENTOS 1. NOÇÕES SOBRE FLUXO DE CAIXA Prof. Eugêo Carlos Steler Estudar sem racocar é trabalho perddo Fluxo de caxa pode ser eteddo como uma sucessão de recebmetos ou de pagametos, em dhero, prevstos para determado período de tempo. A fm de facltar o etedmeto dos problemas a serem apresetados, será utlzada a represetação gráfca do fluxo de caxa, como mostra o exemplo a segur, correspodete a um fluxo mesal. Recebmetos prevstos Pagametos prevstos Da Valor ($) Da Valor ($) , , , , , , , ,00 Represetação gráfca do fluxo mesal meses Um baco cocede um empréstmo de R$ ,00 a um clete, para pagameto em 6 prestações guas de R$ 9.000,00. Represete grafcamete o fluxo de caxa. Do poto de vsta do baco, a represetação gráfca do fluxo de caxa é a segute: ou seja, há uma saída cal de caxa o valor de R$ ,00 e a etrada de ses parcelas de R$ 9.000,00 cada uma os meses segutes. Do poto de vsta do clete, a oretação das setas é feta o setdo verso, como segue: Sére de Pagametos Pág.1

2 UNEMAT Uversdade do Estado de Mato Grosso Matemátca Facera Prof. Eugêo Carlos Steler Estudar sem racocar é trabalho perddo Exemplos: 1. Você resolve aplcar, em uma sttução facera, quatro parcelas guas, mesas e cosecutvas de $ 4.000,00. Sabedo-se que a prmera parcela será efetvada hoje e que você deseja saber o valor do motate o fal do 4º mês, represetar o fluxo de caxa correspodete. A represetação gráfca será a segute: (hoje) Motate? SÉRIES DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS VENCIDOS (OU POSTECIPADOS) Cada termo da sére de pagametos ou recebmetos guas será represetado por R ; as demas varáves serão represetadas pelos símbolos já cohecdos: = taxa de juros, coerete com a udade de tempo (mês, trmestre, ao etc.). = úmero de prestações quase sempre cocdete com o úmero de períodos utáros. VP = prcpal, captal cal, valor atual ou valor presete. = motate ou valor futuro Fator de Acumulação de Captal (FAC) Exemplo: 2. Determar o valor do motate, o fal do 5º mês, de uma sére de cco aplcações mesas, guas e cosecutvas, o valor de R$ 100,00 cada uma, a uma taxa de 4% ao mês, sabedo-se que a prmera parcela é aplcada o fal do prmero mês, ou seja, a 30 das da data torada como base ( mometo zero ), e que a últma, o fal do 5º mês, é cocdete com o mometo em que é peddo o motate. R = 100 = 4% = 5 =? Em termos de fluxo de caxa, o problema pode ser esquematzado como segue: Motate? (meses) Sére de Pagametos Pág.2

3 UNEMAT Uversdade do Estado de Mato Grosso Matemátca Facera Prof. Eugêo Carlos Steler Estudar sem racocar é trabalho perddo 3. Quato terá, o fal de quatro aos, uma pessoa que aplcar R$ 500,00 por mês, durate esse prazo, em um Fudo de Reda Fxa, á taxa de 3% ao mês? Esquematcamete, teros: Motate? (meses) R = 500 = 48 prestações (porque durate quatro aos teros 48 meses) = 3% ao mês (aplcações mesas) =? 2.2. Fator de Formação de Captal (FFC) O FFC é obtdo faclmete a partr da fórmula do motate deduzda o tem ateror: [( 1+ = R Essa fórmula, como vmos, é utlzada para obter o valor do motate, quado são cohecdos: o valor das prestações, a taxa e o úmero de prestações. Quado a cógta do problema é o valor das prestações, basta fazer: R = [( 1+ em que ( 1+ ) 1 R [( 1+ = é chamado Fator de Formação de Captal. 4. Quato uma pessoa terá de aplcar mesalmete um Fudo de Reda Fxa, durate cco aos, para que possa resgatar R$ ,00 o fal do período, sabedo que o fudo proporcoa um redmeto de 2% ao mês? Esquematcamete: Motate= (meses) R R R R R Sére de Pagametos Pág.3

4 UNEMAT Uversdade do Estado de Mato Grosso Matemátca Facera Prof. Eugêo Carlos Steler Estudar sem racocar é trabalho perddo R =? = 60 prestações (porque durate cco aos teros 60 meses) = 2% ao mês (aplcações mesas) = Quatas prestações de $ 4.000,00 devem ser aplcadas trmestralmete, á taxa de 7% ao trmestre, para acumular um motate de $ ,08 o fal do período? Esquematcamete: Motate= , (meses) R = 4.000,00 por trmestre = ,08 = 7% ao trmestre =? (º de trmestres) Observação: Como a udade de tempo está coerete com a taxa, ão é ecessára ehuma coversão. Problema em que a taxa é a cógta: 6. A que taxa devo aplcar $ ,28 por ao para que eu teha um motate de R$ ,00 o fal de 10 aos? Esquematcamete: = R=15.036,28 R= ,28 = ,00 = 10 aos = 10 prestações =? ao ao = R x [( 1+ Sére de Pagametos Pág.4

5 UNEMAT Uversdade do Estado de Mato Grosso Matemátca Facera Prof. Eugêo Carlos Steler Estudar sem racocar é trabalho perddo ,00 = ,28 ou 33,2529 = ( x ( A solução desta equação somete pode ser obtda por tetatva e erro. Mesmo as calculadoras faceras, que solucoam problemas como este de forma smples e rápda, utlzam esse processo. Ele cosste em atrbur valores sucessvos à até que o resultado da expressão ( que é o Fator de Acumulação de Captal (FAC), seja exatamete gual a 33, Assm, para = 10%, o valor da expressão é 15,93742, o que evdeca que a taxa procurada é maor; para = 20%, o resultado é 25,95868, o que sgfca que a taxa ada tem de ser maor; já para = 30%, o resultado 42,61950 dca que a taxa desejada deve ser meor. Fazedo-se = 25% obtém-se 33,25290, que cocde com o valor formado. Portato, a taxa procurada é de 25% ao ao Fator de Valor Atual (FVA) Exemplo: 7. Qual o valor que, facado à taxa de 5% ao mês, pode ser pago ou amortzado em 5 prestações mesas, guas e sucessvas de R$ 100,00 cada uma? O que se deseja é o valor presete desta sére de 5 parcelas guas. Usado o que já cohecemos, podemos calcular o motate desta sére, e após faremos uma descaptalízação de 5 meses usado a fórmula da captalzação composta para calcular o valor atual, ou o valor facado. Costrudo o fluxo de caxa, temos (meses) VP R = 100 = 5% ao mês = 5 parcelas mesas VP =? R[( 1+ Sabemos que = (1) e também que =VP(1 + ou VP= (2) ( 1+ Substtudo (1) em (2) temos: Sére de Pagametos Pág.5

6 UNEMAT Uversdade do Estado de Mato Grosso Matemátca Facera Prof. Eugêo Carlos Steler Estudar sem racocar é trabalho perddo VP= =. Logo o valor do facameto pode ser dado pela fórmula: Sedo assm o problema acma temos: 5 100[ 0,05) VP = dode VP=432,95 5 [0,05. 0,05) ] Logo o valor facado o problema acma é de R$ 432,95 VP= Fator Recuperação de Captal Exemplo 8. Um empréstmo de R$ ,00 é coceddo por uma Isttução Facera para ser lqudado em 12 prestações guas, mesas e cosecutvas. A Isttução Facera cobra uma taxa de juros de 3,5% ao mês para esse tpo de facameto, calcular o valor de cada prestação. Esquematcamete P= R R R R R R R R R R R R VP= = 12 prestações mesas = 3,5% ao mês = 0,035 R =? Utlzado o que já cohecemos temos que VP= como queremos o valor da parcela,. solado, 12 VP ,035. 0,035) R =,substtudo valores temos: R = = 1.034, [ [ 0,035) Logo o valor da parcela que pode amortzar o facameto acma é de R$ 1.034,84 Problemas em que ão é cohecdo: 9. Calcule em quatas prestações bmestras de R$ 100,00 cada uma, pode-se lqudar um facameto de R$ 1.240,90, a taxa de 7% ao bmestre, sedo a prmera parcela paga em 60 das. Esquematcamete VP=1.240, VP=1.240,90 = x prestações bmestras = 7% ao bmestre = 0,07 R = 100 Sére de Pagametos Pág.6

7 UNEMAT Uversdade do Estado de Mato Grosso Matemátca Facera Prof. Eugêo Carlos Steler Estudar sem racocar é trabalho perddo Solução: Usado a fórmula do valor presete VP. 100[ 0,07) 0,07. 0,07) = temos: 1240,90= 100[(1,07) 1240,90= podemos, para um melhor etedmeto, fazer (1,07) = x, daí 0,07(1,07) 100[ x 1240,90= => 1240,90 x 0,07x = 100x -100 => 86,863x - 100x = -100 => 0,07. x => -13,137x = -100 => x = 7,61209 como (1,07) = x; temos que (1,07) = 7,61209 Usado logartmo, temos: log 1,07 = log 7,61209 => log 7,61209 = =30 prestações bmestras. log1,07 3. SÉRIES DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS ANTECIPADOS Nas séres com termos atecpados, os pagametos ou recebmetos ocorrem o íco de cada período utáro. Assm a prmera prestação é sempre paga ou recebda o mometo zero, ou seja, a data do cotrato do empréstmo ou facameto, ou qualquer outra operação que mplque em uma sére de pagametos, ou recebmetos Fator de Acumulação de Captal Exemplo: Qual o motate daqu a 12 meses, resultate da aplcação de 12 parcelas mesas de R$100,00, a taxa de 4% ao mês, sabedo-se que a prmera aplcação é feta hoje. Esquematcamete temos: Motate =? = 12 = 4% mês R = 100 por mês Solução: R[( 1+ 1 Se usarmos a fórmula = o valor de motate será ecotrado o mometo da últma aplcação, este caso, o mometo 11. Como desejamos o motate o mometo 12 teremos que captalzar um período a mas, ou seja = assm teremos o motate o fal dos 12 meses [ 0,04) = 0,04) = 1.562,68 0,04 Coclusão: Sére de Pagametos Pág.7

8 UNEMAT Uversdade do Estado de Mato Grosso Matemátca Facera Prof. Eugêo Carlos Steler Estudar sem racocar é trabalho perddo Para calcular o Motate de uma sére de pagametos ou recebmetos com termos atecpados, devemos utlzar a fórmula: = 3.2. Fator de Valor atual Exemplo: Uma TV 29 polegadas fo facada em 12 parcelas mesas guas e cosecutvas de R$100,00, sabedo-se que a taxa de juro cobrada pela Loja é de 5% ao mês e que a prmera prestação fo paga o ato da compra, quato pagara pela TV se comprasse a vsta? Esquematcamete temos: Valor facado VP =? = 12 = 5% mês R = 100 por mês Solução: Aprovetado o que já sabemos, temos que =, como desejamos saber o valor de VP pela fórmula da captalzação composta =P => VP= temos que; ( 1+ VP = => VP= [ 0,05) Dode: VP = 0,05) = 930, ,05 0,05) Coclusão: Para calcular o Valor Presete de uma sére de pagametos ou recebmetos com termos atecpados, devemos utlzar a fórmula: VP= Para saber mas. Bblografa cosultada: 12 parcelas mesas VIEIRA SOBRINHO, Jose Dutra. Matemátca Facera. São Paulo: Atlas, Sére de Pagametos Pág.8

9 UNEMAT Uversdade do Estado de Mato Grosso Matemátca Facera Exercícos Prof. Eugêo Carlos Steler Estudar sem racocar é trabalho perddo 1. Calcular o motate, o fal de 2 aos, correspodete à aplcação de 24 parcelas guas e mesas de R$1.000,00 cada uma, detro do coceto de termos vecdos, sabedo-se que a taxa de juros é de 3,5% ao mês. Resposta; , Calcular, para as taxas de 2%, 3%, 4% e 5% ao mês, quas os motates obtdos o fal de 5 aos pela aplcação de 60 parcelas guas de $ 2.000,00, de acordo com o coceto de termos vecdos. Respostas: ,08 para 2% ao mês ,87 para 3% ao mês ,37 para 4% ao mês ,44 para 5% ao mês. 3. Quato devo aplcar mesalmete, durate 15 meses, à taxa de 3,25% ao mês, para que teha $ ,00 o fal do 15 mês, detro dos cocetos de termos atecpados e vecdos? Respostas: $ 7.669,04 (para termos atecpados). $ 7.918,29 (para termos vecdos). 4. Sabedo se que uma sttução facera paga 46,41% ao ao para aplcações programadas, calcular que motate será obtdo o fal de 18 meses por uma pessoa que aplca 6 parcelas trmestras de $ ,00 cada uma, sedo a prmera aplcação efetuada hoje. Resposta: , Sabedo-se que um empréstmo pode ser lqudado em 12 parcelas mesas de R$ 2.500,00 cada uma, e que a taxa cobrada pela sttução facera é de 4,75% ao mês, calcular o valor líqudo a ser etregue ou credtado ao facado: a) de acordo com o coceto de termos vecdos; b) de acordo com o coceto de termos atecpados. Respostas: a) ,89. b) , Determar a que taxa de juros a aplcação de $ 5.000,00 por mês gera um motate de $ ,47 o fal de 4 aos e meo, sabedo-se que a prmera parcela é aplcada o fal do 1 mês. Resposta: 3,0% ao mês. 7. Um veículo zero Km fo adqurdo por $ ,00, sedo 70% facados em 12 parcelas guas. Sabedo-se que a facera cobra uma taxa de 4,5% ao mês, calcular o valor da prestação mesal. Resposta: , Uma TV, o valor de $ ,00, é facada por uma loja, para pagameto em 13 parcelas guas de $5.328,31, sedo a prmera paga o ato da compra. Calcular a taxa de juros cobrada pela loja. Resposta: 6% ao mês. 9. A Facadora Carga Pesada S.A. apreseta, em suas tabelas, um coefcete de 0,06043 para facameto de camhões em 36 parcelas mesas. Qual a taxa de juros que essa sttução está cobrado? Resposta: 5% ao mês. 10. Que taxa mesal é cobrada um facameto de $ ,00, a ser lqudado em 12 prestações guas de $1.360,24, vecíves o fal de cada mês? Resposta: 4% ao mês. 11. Em quatos pagametos trmestras de $ 5.700,25 podemos lqudar um facameto de R$ ,00, à taxa de 3,228% ao mês, de acordo com o coceto de termos vecdos ou postecpados? Resposta: 22 trmestres. 12. Qual o valor da prestação bmestral referete a um facameto de R$ ,00, a ser lqudado em 2 aos, à taxa de 9% ao bmestre, sedo que a 1ª prestação vece a 180 das da data do cotrato? Resposta: 4.628,24 Sére de Pagametos Pág.9

10 UNEMAT Uversdade do Estado de Mato Grosso Matemátca Facera Prof. Eugêo Carlos Steler Estudar sem racocar é trabalho perddo 13. Uma TV está sedo ofertada por uma loja para pagameto em 12 parcelas mesas, sem etrada. Sabedo-se que o valor da 1ª prestação, que vece o fal do 1 mês, é de $ 400,00; da 2 de $ 600,00, da 3 de $400,00, e assm alteradamete, até o fal, e que a taxa de juros cobrada pela loja é de 5% ao mês, calcular o valor facado. Resposta: 4.675, Qual o motate, o fal de 20 meses, resultate da aplcação de 14 parcelas guas, mesas e cosecutvas de $ 1.800,00 cada uma, sabedo-se que a taxa cotratada é de 3,5% ao mês e que a prmera aplcação é feta hoje? Resposta: , Um veículo é facado para pagameto em 36 prestações mesas, á taxa de 4,5% ao mês. Sabedo-se que o valor facado fo de $ ,00, calcular o valor das prestações: a) de acordo com o coceto de termos vecdos; b) de acordo com o coceto de termos atecpados. Respostas: a) ,42. b) , A aplcação de 15 parcelas mesas, guas e cosecutvas gerou um motate de $ ,00 o fal de 30 meses. Sabedo-se que a taxa de juros da operação fo de 3% ao mês e que a prmera parcela é aplcada hoje, calcular o valor de cada aplcação. Resposta: , Determar a taxa de juros cobrada por uma sttução facera, uma operação de crédto dreto ao cosumdor, que apreseta os segutes dados: valor facado: $ ,78; valor das prestações mesas: $ ,00 cada uma; úmero de prestações: 12; prazo do cotrato: 18 meses (portato, com 6 meses de carêca). Resposta: 4%. 18. Quato devo aplcar hoje, de uma só vez, para que teha o fal de 60 meses o equvalete ao motate costtuído por aplcações mesas de $ 500,00, à taxa de 2% ao mês, sedo a prmera aplcação de hoje a 30 das? Resposta: $ , Em quatas prestações auas de $ ,00 podere amortzar uma dívda de $48.711,40, à taxa de 2,21045% ao mês? Resposta: Quato tere o fal de 60 meses se aplcar $ 100,00 por mês em fudo de reda fxa, à taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o coceto de termos vecdos ou postecpados? Resposta: $ , Quato devere aplcar mesalmete, à taxa de 3% ao mês, para ter um motate de $ ,00 o fal do 12 mês, de acordo com os cocetos de termos vecdos e atecpados? Rospostas a) $ 1.409,24. b) $ 1.368, No fal de quatos meses tere o motate de $ ,78, aplcado $ 400,00 por mês, a uma taxa mesal de 2%, de acordo com o coceto de termos vecdos? Resposta: 100 meses. 23. Quato tere o fal de 18 meses se aplcar $200,00 a cada bmestre, à taxa de 2,4695% ao mês, sedo a prmera aplcação a 60 das de hoje? Resposta: $ 2.205,31. Sére de Pagametos Pág.10

11 UNEMAT Uversdade do Estado de Mato Grosso Matemátca Facera Prof. Eugêo Carlos Steler Estudar sem racocar é trabalho perddo 24. Quato tere o fal de 30 meses se aplcar $ 500,00 por mês, durate os 25 prmeros meses, a uma taxa de 3,5% ao mês, de acordo com o coceto de termos vecdos e atecpados? Respostas: a) $23.130,11 (termos vecdos). b)$ ,66 (termos atecpados). 25. Quato devo aplcar hoje para ter, o fal de 15 meses, um valor gual ao motate obtdo, essa mesma data, com a aplcação de 15 parcelas guas, mesas e cosecutvas de $ 1.000,00, à taxa de 3,5% ao mês? Resposta: $ , Um cosumdor adqure uma mercadora, para pagameto em 12 parcelas mesas, sedo as 6 prmeras de $3.000,00 e as 6 restates de $ 5.000,00. Qual o valor facado, sabedo-se que a taxa de juros cobrada fo de 3,5% ao mês? Resposta: $ , Uma pessoa resolve aplcar $ 1.000,00 por mês em fudo de reda fxa à taxa de 3% ao mês, durate 18 meses. Como essa pessoa recebe gratfcações semestras, deverá, o fal do 6 e do 12 mês, fazer aplcações extras de $ 5.000,00 cada uma. Qual o valor do motate global o fal do 18 mês, de acordo com o coceto de termos atecpados? Resposta: $ , Uma pessoa adqure uma casa para ser paga em 20 prestações mesas e guas, á taxa de 3,5% ao mês. Sabedo-se que a 1ª prestação vece o fal do 5 mês e a últma o fal do 24 mês, e que o valor facado fo de $ ,00, pede-se calcular o valor da prestação. Resposta: $ , Quato tere, o fal de 42 meses, se aplcar 10 parcelas trmestras, guas e cosecutvas de $ 5.000,00, a partr de hoje, a uma taxa de 10% ao trmestre? Resposta: $ , Uma loja faca um automóvel, para ser pago em 20 prestações guas de $ 6.000,00. Sabedo-se que a taxa cobrada é de 5% ao mês, determar o valor facado pela loja segudo os cocetos de: a) Séres de pagametos com termos vecdos ou postecpados. b) Séres de pagametos com termos atecpados. Respostas: a) $ ,26. b) $78.511, Uma pessoa aplca $ 1.200,00 por mês em um fudo de reda fxa, durate 30 meses cosecutvos, a uma taxa de 2,0% ao mês. Determar o motate dessa aplcação o fal do 30 mês, de acordo com os cocetos de: a) Séres de pagametos com termos vecdos ou postccpados. b) Séres de pagametos com termos atecpados. Respostas: a) $ ,70. b) $ , Uma pessoa aplca $ 5.000,00 por mês, durate os 10 prmeros meses cosecutvos, a uma taxa de 3,25% ao mês. Segudo o coceto de séres de pagametos com termos vecdos, determar: a) o valor do motate o fal do 15 mês. b) o valor presete dessa aplcação (valor o íco do 1 mês). Respostas: a) $ ,78. b) $42.111, Qual o valor facado que pode ser lqudado em 18 prestações mesas, à taxa de 4% ao mês, sedo as 9 prmeras prestações de $ 4.000,00 e as 9 restates de $ 3.000,00? Resposta: $ ,23. Sére de Pagametos Pág.11

12 UNEMAT Uversdade do Estado de Mato Grosso Matemátca Facera Prof. Eugêo Carlos Steler Estudar sem racocar é trabalho perddo 34. Um empréstmo de $ ,00 deve ser lqudado em 12 prestações guas. Sabedo-se que a prmera prestação vece o fal do 4 mês e que a taxa de juros cobrada pela sttução facera é de 5% ao mês, determar o valor da prestação. Resposta: $ 6.530, Quato terá o fal do 13 mês uma pessoa que aplcar 13 parcelas mesas, guas e cosecutvas de $2.000,00 cada uma, à taxa de 3% ao mês, sedo que a aplcação da prmera parcela ocorre hoje? Resposta: $ , O facameto de um veículo deverá ser amortzado em 20 parcelas mesas e guas. Sabedo-se que o valor de cada parcela é de $ 3.500,00 e que a taxa cobrada pela sttução facera é de 4% ao mês, calcular o valor da prestação úca, com vecmeto o 10 mês, que podera substtur o plao cal. Resposta: $ , Em quatas prestações trmestras de $ 8.000,00 podere lqudar uma dívda de $ ,64, à taxa de 10% ao trmestre, sabedo que as prestações são pagas o fal de cada trmestre? Resposta: 15 prestações. 38. Determar quatas aplcações bmestras e guas de $ ,00 são ecessáras para ter um motate de $ ,83, cosderado-se uma taxa de 5% ao bmestre, e de acordo com o coceto de termos vecdos Resposta: 13 aplcações. 39. Um corretsta resolve aplcar em um fudo de reda fxa que paga 1% ao mês, parcelas mesas guas de $ 500,00 durate 10 aos. Determar o motate que ele terá o fal do período.(termos vecdos) Resposta: , Uma pessoa obtém um facameto, para a compra de um veículo, a ser lqudado em 18 meses, com carêca de 4 meses. Sabedo-se que o valor das sete prmeras prestações é de $ 1.400,00 cada uma e das sete últmas de $ 2.000,00 cada uma, e que a taxa cobrada pela facera é de 4,25% ao mês, calcular o valor facado. 41. Um terreo está sedo oferecdo por $ ,00 a vsta, ou $ ,00 de etrada e mas 24 prestações mesas de $ ,00 cada uma. Cosderado uma taxa de juros de 3,5% ao mês, mostrar qual o plao ecoomcamete melhor. 42. Admtdo que um baco possua um plao de aplcações programadas e que pague juros de 10% ao ao para essas aplcações, determar quato ecessto depostar o da em que mha flha completar 7 aos de dade, para que ela possa retrar $ 2.000,00 por ocasão dos seus 21, 22, 23, 24 e 25 aversáros, ecerrado-se a cota após este últmo saque. Resposta: 2.196, A Facera do Brasl S.A. cocede um facameto para aqusção de um trator, para ser lqudado um prazo de 24 meses, em 12 prestações guas de $10.000,00. como segue: as 6 prmeras pagas mesalmete a partr do fal do 7 mês até o fal do 12 mês e as 6 últmas pagas mesalmete a partr do fal do 19 mês até o fal do 24 mês. Sabedo-se que a taxa de juros cobrada é de 4% ao mês, calcular o valor facado. Resposta: $ , Uma pessoa aplca $ 5.000,00 por mês durate os 10 prmeros meses cosecutvos, a uma taxa de 38,478% ao ao. Segudo o coceto de termos vecdos, calcular o motate o fal do 20 mês. Resposta: $ ,16. Sére de Pagametos Pág.12