CAPÍTULO 5. Ajuste de curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados

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1 CAPÍTULO Ajuste de curvas pelo Método dos Mímos Quadrados Ajuste Lear Smples (ou Regressão Lear); Ajuste Lear Múltplo (ou Regressão Lear Múltpla); Ajuste Polomal; Regressão Não Lear

2 Iterpolação polomal Potos dados 8 Iterpolação polomal 8

3 Que recta melhor se adequa aos dados? Iterpolação vs Ajuste lear smples 8 Iterpolação vs Ajuste lear smples 8

4 Método dos mímos quadrados Iterpolação polomal 8 Iterpolação vs Ajuste lear smples 8

5 Objectvo: determar a recta y = ax + b que melhor se adequa aos dados, um certo setdo y = ax + b Por exemplo, supohamos cohecdos os dados da tabela: x 8 80 y Sejam a, b R, ŷ = ax + b e d = y ŷ (desvo ou resíduo) O método dos mímos quadrados cosste em determar a e b que mmzem D = d = Este problema resolve-se ecotrado a solução do sstema de equações ormas assocado à expressão ateror: D a = (y b ax ) = 0 = D b = (y b ax )x = 0 = A solução deste sstema é: a = x y = x y = = ; b = x ( x ) = = y a = = x

6 Coefcete de determação Represeta-se por R e pretede medr a relação etre a recta dos mímos quadrados e os dados cohecdos Vara etre 0 e ; dzemos que os dados seguem um modelo fortemete lear se R 08 Neste caso, o ajuste lear é um bom ajuste aos dados do problema Caso cotráro, dzemos que a relação etre os dados ão é bem explcada por um modelo lear R = ( x y x y ) ( x ( x ) )( y ( y ) ) Exercíco : Ajustar os potos da tabela segute a uma recta e determar o coefcete de determação x 0 0 y

7 Sabemos que: a = x y = = = x y = = ; b = x ( x ) y a = = x Neste caso: = ; x = 9 ; y = ; x y = 9 ; x = ; y = 8 Logo: a = ( 9) e b = a 9 Resposta: y = 098x + R = y= 098x+ 0 0

8 O Ajuste Lear Múltplo aplca-se os casos em que y é uma fução lear de duas ou mas varáves leares Neste caso, procuram calcular-se os valores de b 0, b, b,b,, b tas que a relação etre eles seja aproxmada por uma expressão do tpo: y = b 0 + b x + b x + b x + + b x No caso do ajuste lear múltplo, resolver o sstema de equações ormas é resolver o sstema: x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x b 0 b b b y y x = y x y x O coefcete de determação é, este caso, dado por: R = (y ŷ ) y ( y ), ode ŷ = b 0 + b x + b x + + b x Exercíco : Determar: ) a equação do tpo y = b 0 + b x + b x que melhor se ajusta à tabela segute; ) o coefcete de determação x 0 x 0 y 9 9 8

9 Neste caso, o sstema a resolver é: b 0 b b = 9 A solução é: b 0 b b = 9 E portato a fução ajuste é: y = 9 + x x R = 09 O caso do ajuste polomal cosste em determar um polómo (que pode ser de qualquer grau) y = b 0 + b x + b x + b x + + b x, e resolve-se adaptado o caso ateror com as mudaças: x = x, x = x, x = x, x = x,, x = x Fcamos etão com o sstema p x x x x x x x x x x + x + x x + x + x b 0 b b b = y y x y x y x Quato a R, calcula-se como o caso ateror Exercíco : Ajustar os potos da tabela a uma expressão do tpo e calcular o coefcete de determação y = b 0 + b x + b x x 0 0 y

10 Neste caso, o sstema a resolver é: b 0 b b = A solução é: b 0 b b = 08 E portato a fução ajuste é: y = 08 + x x R =

11 A regressão ão lear utlza-se sempre que, pela aálse gráfca dos dados do problema, se ecotre um modelo alteratvo ao lear e polomal que, aparetemete, melhor explque os dados dspoíves Por exemplo: Neste caso, poderíamos optar por tetar adequar um modelo expoecal aos dados Ou seja, determar a e b tas que os dados fossem bem explcados por uma fução do tpo: Outro tpo de ajustes ão leares: y = ae bx E também os casos de ajustes ão leares múltplos: y = ax b ; y = a x x + b ; y = abx y = e b 0+b x +b x ; y = b 0 + b x + b x

12 Learzação de modelos ão leares Objectvo: determar a e b de tal forma que y = ae bx seja um modelo para os dados da tabela: x y Learzação: y = ae bx l(y) = l(ae bx ) l(y) = l(a) + l(e bx ) l(y) = l(a) + bx A learzação cosste em cosderar a correspodêca: l(y) = l(a) + bx y = b + a x e, portato, passamos a ter um problema do géero y = a x + b Já sabemos que: a = x y x y y x ( a x x ) ; b = Etão este caso: a = x l(y ) x l(y ) l(y x ( ) a x x ) ; b =

13 Cálculos: x y x = 0, l(y ) = 88, x l(y ) = 09 Logo: a = ; b = 88 a e etão: a = 00 e b = Logo a = b = 00 e b = l(a) a = e b = 0 R =