Em muitas situações duas ou mais variáveis estão relacionadas e surge então a necessidade de determinar a natureza deste relacionamento.

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1 Prof. Lorí Vl, Dr. Em muts stuções dus ou ms vráves estão relcods e surge etão ecessdde de determr turez deste relcometo. A álse de regressão é um técc esttístc pr modelr e vestgr o relcometo etre dus ou ms vráves. De fto regressão pode ser dvdd em dos prolems: o d especfcção e o d determção. O prolem d especfcção é descorr detre os possíves modelos ler, qudrátco, expoecl, etc. qul o ms dequdo. O prolem d determção é um vez defdo o modelo ler, qudrátco, expoecl, etc. estmr os prâmetros d equção.

2 Normlmete é suposto que exst um vrável depedete ou respost, que está relcod k vráves depedetes ou regressors,,..., k. A vrável respost é letór, equto que s vráves regressors são ormlmete cotrolds. O relcometo etre els é crcterzdo por um equção deomd de equ equção de regressão Qudo exstr pes um vrável regressor tem-se regressão smples, se depeder de dus ou ms vráves regressors, etão tem-se regressão múltpl ltpl. Vmos supor que regressão é do tpo smples e que o o modelo sej ler, sto é, vmos supor que equção de regressão sej do tpo: α + β + U y α + β + U; x x x x O termo U é o termo erro, sto é, U represet outrs fluêcs sore vrável, lém d exercd pel vrável. A vrção resdul termo U é suposto de méd zero e desvo costte e gul σ.

3 Ou d pode-se dmtr que o modelo forece o vlor médo de, pr um ddo x, sto é, E/x α + β α + β + U; E/x α + β, sto é, EU 0 V/x σ ; CovU, Uj 0, pr j; A vrável permece fx em oservções sucessvs e os erros U são ormlmete dstruídos. O modelo suposto E/x α + β é populcol. Vmos supor que se teh pres de oservções, dgmos: x, y, x, y,..., x, y e que trvés deles queremos estmr o modelo cm. por: A ret estmd será represetd Ŷ + ou + + E Ode é um estmdor de α e é um estmdor de β, sedo Ŷ um estmdor de E/x. Exstem dversos métodos pr determção d ret desejd. Um deles, deomdo de MMQ Métodos dos Mímos Qudrdos, cosste em mmzr som dos qudrdos ds dstâcs d ret os potos. Tem-se: + x + E, Etão: E - + x 3

4 4 Deve-se mmzr: φ Ŷ E E + + E y ŷ x Dervdo prclmete tem-se: x φ φ Iguldo s dervds prcs zero vem: 0 x 0 Isoldo s cógts, tem-se: + + Resolvedo pr e, segue: y

5 Lemrdo que: Fzedo: Um egehero químco está vestgdo o efeto d tempertur de operção do processo o redmeto do produto. O estudo resultou os ddos d tel, o ldo. Determr lh de regressão. Tempertur, C Redmeto D mesm form que pr 0 96 clculr o coefcete de correlção é ecessáro costrução de três ovs colus. Um pr, um pr e outr pr

6 Tem-se: Etão: , , ,3 93,0 A equção de regressão, será, etão:, ,74 0,4830 0,48 67,30 0, ˆ, ,48 x A pergut que ce gor é: este modelo represet em os potos ddos? A respost é dd trvés do erro pdrão d regressão. O ojetvo do MMQ é mmzr vrção resdul em toro d ret de regressão. Um vlção dest vrção é dd por: E 6

7 O cálculo d vrâc resdul, por est expressão, é muto trlhoso, pos é ecessáro prmero determr os vlores prevstos. Etretto é possível oter um expressão que ão requer o cálculo dos vlores prevstos, sto é, de ˆ + Erro pdrão d regressão s E Cosderdo os vlores do exemplo teror, determr o erro pdrão d regressão. Tem-se: 93, ,4830 Etão: s , ,9503 0,

8 Ŷ Ŷ x Ŷ Ŷ + Ŷ Ŷ + Ŷ VT VR + VE VR Vrção Totl: VT VT Vrção Resdul: VR Ŷ VT VE c Vrção Explcd: VE VE ˆ Um mer de medr o gru de derêc dequção de um modelo é verfcr o quto d vrção totl de é explcd pel ret de regressão. Pr sto, tom-se o quocete etre vrção explcd, VE, pel vrção totl,vt: R VE / VT Este resultdo é deomdo de Coefcete de Determção ão. R VE VT Este resultdo mede o quto s vrções de um ds vráves são explcds pels vrções d outr vrável. Ou d, ele mede prcel d vrção totl que é explcd pel ret de regressão, sto é: VE R A vrção resdul correspode : VR R Assm R é o Coefcete de Idetermção. 8

9 O % de mpurezs o gás oxgêo produzdo por um processo de destlção supõem-se que estej relcodo com o % de hdrocroo o codesdor prcpl do processdor. Os ddos de um mês de operção produzrm segute tel:,0,,43,,0 0,95, 0,87,43,0 86,9 89,85 90,8 86,34 9,58 87,33 86,9 9,86 95,6 89,86,46,55,55,55,40,5,0 0,99 0,95 0,98 96,73 99,4 98,66 96,07 93,65 87,3 95,00 96,85 85,0 90,56 Ajuste um modelo ler os ddos; Determe o vlor de R pr este modelo; 0 3,65 9,03 836, , ,0635,85 9,880,064975, ,4730 9

10 A equção de regressão, será, etão:,5678,800,80, ,880,800.,85 77, ,86 ˆ 77,86 +,80 x O coefcete de determção R, ,9%, Ou sej, 38,9% ds vrções em são explcds pels vrções em x 0