Universidade Federal da Bahia UFBA. Adriano Pedreira Cattai

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1 Uversdde Federl d Bh UFBA Deprtmeto de Mtemátc Cálculo Dferecl e Itegrl II :: 6. Adro Pedrer Ctt [clcr Eso ] Itegrl Defd ou de Rem Notção Sgm A defção d tegrl defd utlz som de mutos termos. Assm, pr epressr ts soms, troduzmos otção greg, cujo símolo é que correspode à letr S pr sgfcr som de todos os termos. Por eemplo, em vez de escrever podemos escrever. Tomdo coveção de que ssume vlores de té 6. Ou sej 6 = som dos ses prmeros úmeros teros postvos. Eemplo : k = ( ) = = = (som dos prmeros úmeros turs ímpres). Em gerl, P ( ) = P ( ) + P ( + ) Pk ( ), ode k e são úmeros teros com k. = Os. O úmero é chmdo de lmte feror d som e, k o lmte superor d som. O é deomdo ídce d som. Áre d Regão Lmtd so o Gráfco de um Fução Geometrcmete, os fudmets prolems do cálculo são o de ecotrr clção d tgete à um curv e, determção d áre de um regão lmtd por curvs. A dervd está relcod com tgete e tegrl defd com o cálculo de áres de certs regões do plo crtes. Semos que, áre de um regão lmtd por rets é fclmete clculável empregdo s fórmuls cohecds. Por eemplo, áre de um retâgulo é o produto do seu comprmeto pel su ltur. A áre de trâgulo é o produto de um se pel metde d ltur correspodete. A áre de um polígoo pode ser otd decompodo-o em trâgulo. Adro Pedrer Ctt :: pctt@yhoo.com.r Pág de 9

2 No cálculo de áre de regões delmtds por gráfcos de fuções utlzmos teor de lmte e métodos de cálculos lgércos. Pr ess fldde, cosdermos um regão R em um plo coordedo, delmtd por dus rets vertcs = e = e pelo gráfco de um fução f cotíu e ão egtv o tervlo fechdo [, ], coforme fgur o. Como pr todo em [, ], o gráfco de f ão tem prte lgum o do eo-. Por coveêc tommos regão R so o gráfco de f de. E cosdermos um úmero A como áre d regão R. Queremos defr áre A d regão R. Pr chegrmos est defção, dvdmos regão R em mutos retâgulos de gul lrgur tl que cd retâgulo estej completmete scrto o gráfco de f, e tercepte o gráfco em pelo meos um poto, coforme lustrtção o. 6 retâgulos scrtos retâgulos scrtos A froter formd pel totldde desses retâgulos é chmdo de polígoo retgulr scrto. Usremos otção AP pr represetr áre desse polígoo. Se lrgur dos retâgulos fgur cm é pequeo etão prece que AP A. Adro Pedrer Ctt :: pctt@yhoo.com.r Pág de 9

3 Ess dé sugere fzermos lrgur dos retâgulos teder pr zero e defr A como o lmte d som ds áres AP dos polígoos retâgulos scrtos. Assm, se é um tero postvo rtráro, dvdmos o tervlo [, ] em sutervlos do mesmo comprmeto Δ =, tomdo = e = e Δ = o cojuto,,,..., de elemetos de [, ], com =,, 3,..., Note que =, = + Δ, = + Δ, 3 = +3 Δ,..., = + Δ,..., = + Δ =, Sej [ -, ] o -ésmo sutervlo de [, ]. Como f é cotíu em [, ], etão el o é tmém em [ -, ]. Dí, pelo teorem do vlor etremo, este um úmero c em cd sutervlo pr o qul f tom um vlor mímo soluto. Assm, pr cd costruímos um retâgulo de lrgur Δ = e ltur f(c ). Dí, áre do -ésmo retâgulo é f(c ) Δ e áre AP do polígoo retgulr scrto é som ds áre dos retâgulos. Isto é, AP = f(c ) Δ + f(c ) Δ f(c ) Δ ou sej AP = = f ( c ) Δ. Ode f(c ) é o vlor umérco de f em [ -, ]. Se é muto grde ou equvletemete Δ é pequeo, etão som AP deve Assm, temos segute defção. promr-se d áre d regão R. Defção (Áre): Sej f um fução cotíu o tervlo fechdo [, ], com pr todo em [, ] e que regão R é lmtd pel curv y = f(), pels rets = e = e o eo-. Dvddo o tervlo [, ] em sutervlos de comprmetos Δ = e [ -, ] o -ésmo sutervlo. Etão, se f(c ) for o vlor mímo soluto d fução em [ -, ], medd d áre A d regão R é dd por A = lm AP = lm f( c ) Δ. = Adro Pedrer Ctt :: pctt@yhoo.com.r Pág 3 de 9

4 A equção cm sgfc que, pr qulquer ε > este um δ > tl que f ( c ) Δ A < ε Sempre que > δ ode Ν. = 3 A Itegrl Defd A áre so o gráfco de um fução f o tervlo [, ] como vmos cm é o lmte Restrgremos f e Δ como segue: Δ lm f ( c ) Δ. =.) f cotíu o tervlo fechdo [, ];.) f() é ão-egtv pr todo em [, ]; 3.) Todos os sutervlos [ -, ] têm o mesmo comprmeto Δ ; 4.) úmero c é escolhdo de modo que f(c ) sej o mímo (ou mámo) de f em [ -, ]. Etretto, há muts plcções que evolvem este tpo de lmte, em que, em tods s codções cm são stsfets. Assm, é coveete cosderr s segutes lterções:.) A fução f pode ser descotíu em lgum poto do tervlo [, ];.) f pode ssumr vlores egtvos em lgum poto em [, ;] 3.) Os comprmetos dos sutervlos podem ser dferetes; 4.) O úmero c pode ser qulquer em [ -, ]. Ateção: Note que, se.) ocorrer o lmte ão é ms áre so o gráfco de f. Cosdermos, portto um ov termolog e otção ode o lm Δ = f ( c ) Δ é um cso especl. Sej f um fução defd em um tervlo fechdo [,]. Dvddo esse tervlo em sutervlos [, ], [, ],..., [ -, ], ão ecessrmete de mesmo comprmeto, ode é um tero postvo, e = =. O Cojuto P de todos esses sutervlos [ -, ] com é chmdo um Prtção do tervlo fechdo [, ]. Ode Δ = - deot o comprmeto de -ésmo sutervlo. O comprmeto do mor sutervlo d prtção P é chmdo orm d prtção e, é deotdo por P. Escolhemos um poto em cd sutervlo d prtção P. Sej z o poto escolhdo em [, ], tl que z e, z o poto escolhdo em [, ], tl que z e, Adro Pedrer Ctt :: pctt@yhoo.com.r Pág 4 de 9

5 ssm sucessvmete de modo que z o poto escolhdo em [ -, ] de tl sorte que - z. Formmos som ou ( ) ( ) ( ) ( ) f z Δ + f z Δ + + f z Δ + + f z Δ R P Δ = lm f ( z ) Δ, ode z [ -, ], =,, 3,..., = Est som é deomd Som de Rem. No somtóro cm f(z ) ão é ecessrmete um mámo ou mímo de f em [ -, ]. Além dsso, R P em sempre represet um som de áres de retâgulos. A dscussão cm se resume segute defção de um fução tegrável um ddo tervlo fechdo [, ]. Defção (Itegrl Defd): Sej f um fução defd em um tervlo fechdo [, ]. A tegrl defd de f desde deotd por é f P = ( ) = lm f ( z ) Δ Desde que o lmte este. Se o lmte este, dremos que f é tegrável em [, ]. O processo de determr o lmte defção teror é chmdo cálculo d tegrl defd. Note que o vlor de um tegrl defd é um úmero, e ão um fmíl de tdervds como ocorr com tegrl defd. N otção os úmeros e são os lmtes de tegrção; ode é o lmte feror e é o lmte superor, f() é chmdo tegrdo, e o símolo que sucede f() está ssocdo o cremeto de Δ. Oservção. N defção d fução tegrável cm, dzer que P é equvlete dzer que. Assm, de um modo gerl temos: Defção: Se f é um fução cotíu em [, ] e pr todo em [, ], R é regão lmtd pel curv y = f(), o eo- e s rets = e = etão, medd d áre ( lm d regão R e dd por A = f ) = f ( z ) Δ. = Adro Pedrer Ctt :: pctt@yhoo.com.r Pág 5 de 9

6 4 O Teorem Fudmetl do Cálculo (TFC) O TFC fo estelecdo depedetemete por Sr Isc NEWTON (64-77) Iglterr e por Gottfred Wlhelm LEIBNIZ (646-76) Alemh. É por est rzão que estes dos grdes mtemátcos têm o mérto de terem descoerto o cálculo. Teorem (TFC): Sej f um fução cotíu em [, ]. () Se fução G é defd por = G ( ) f ( t) dt, [, ], etão G é um tdervd de f em [, ]. () Se F é um tdervd de f em [, ], etão = F( ) F( ). f ( ) = F = F ( ) F ( ) Notção: ( ) Eemplo 6: Ecotre o vlor eto d tegrl defd 3. Iterpretdo geometrcmete o resultdo otdo. Eemplo 7: Idem pr s tegrs defds o: 5 3 ) 6 ) 4 d) ( + 6) e) f ) Um Coseqüêc do TFC Um coseqüêc ms teórc ds dus versões do TFC é dervldde de certs fuções defds por tegrs. Vejmos um eemplo como lustrção. Sej fução f ( ) = cos, e como el é cotíu em, temos que ddo um úmero rel, f é cotíu o tervlo [, ] e, portto, podemos ssocr o úmero costdt. Estmos ssm fldo de um fução h defd pel epressão h ( )= costdt. Adro Pedrer Ctt :: pctt@yhoo.com.r Pág 6 de 9

7 Como s t é um prmtv pr cos t, e do TFC, segue que: e portto, h ( ) = costdt= st = s ( ) s() = s ( ) h é dervável com h'( ) = cos ( ). Se G ( ) é um prmtv d fução f ( ) = cos( ), etão d dervd, pos é um costte. e portto, h' ( ) = G' ( ) ( ) = G' ( ) () ( ) ( ), h ( ) = cos tdt= Gt = G G Como G ( ) é um prmtv pr f ( ) = cos( ), etão G'( ) cos( ). Oserve que G() ão cotru com d pr =, e dí h' ( ) cos( ) =. Em gerl, se f um fução cotíu um tervlo I, e α ( ) e β ( ) pertecem o tervlo I, β ( ) () podemos defr fução h ( ) = f tdt. α O teorem segur es como dervr h ( ). ( ) Teorem: Se f é cotíu e α e β são derváves, etão h ( ) = α ( ) ( ) h'( ) = f β( ) β '( ) f α( ) α'( ) β ( ) ( ) () f tdt é dervável e 5 Propreddes d Itegrl Defd Os. Pr o cálculo do lmte defção teror pr tegrl defd podemos restrgr osss prtções o cso em que todos os sutervlos [ -, ] têm o mesmo comprmeto Δ. Um prtção deste tpo é dto Prtção Regulr. Os. N otção d tegrl defd pode-se usr outrs letrs que ão sej. Isto é, se f é tegrável em [, ], etão = f ( s) ds = f ( t) dt = f ( z) dz etc. Por ess rzão letr defção d tegrl defd, é chmd de vrável mud. Adro Pedrer Ctt :: pctt@yhoo.com.r Pág 7 de 9

8 Os. A defção d tegrl defd pode ser plcd de modo cosderr o cso em que o lmte feror é mor do que o lmte superor. Isto é, se c > d etão d ( ) = c f Os. Se os lmtes de tegrção são gus, e se f() este etão = c d P () : Se f é tegrável e pr todo [, ], etão áre A d regão so o gráfco de f de é temos fgur o ldo. A =. Grfcmete P () : Se f é cotíu em [, ], etão f é tegrável em [, ]. Os. As tegrs de fuções descotíus podem estr ou ão, depededo do tpo de descotuddes. P (3) : Se f é um fução costte dd por f() = c, etão A = c = c( ) Geometrcmete, propredde frm que um retâgulo com lrgur e ltur c tem áre c (-). c Em prtculr = e = P (4) : Se f é um fução tegrável em [, ] e c é um úmero rel rtráro etão cf é tegrável em [, ] e c = c. Geometrcmete qudo f é multplcdo por c os retâgulos promdores som de Rem têm sus lturs multplcds por c, cosequetemete sus áres são multplcdos por c. P (5) : Propredde Adtv Se f e g são fuções tegráves em [, ] etão f tegráves em [, ] e, [ ± g( )] = ± g( ) ± g são fuções A propredde P (5) pode ser estedd um úmero fto rtráro de fuções f, f,... f tegráves em [, ]. Assm, [ f( ) + + ] = f( ) + + Adro Pedrer Ctt :: pctt@yhoo.com.r Pág 8 de 9

9 P (6) : Se < c < é f um fução tegrável tto em [, c]quto em [c, ], etão f é tegrável em [, ] e c = + c A A A A P (7) : Comprção Se f e g são fuções tegráves em [, ] e etão g( ). g( ) pr todo em [, ], P (8) : Teorem do Vlor Médo pr Itegrs Se f é um fução cotíu em um tervlo fechdo [, ], etão este um úmero z o tervlo erto (, ) tl que = f ( z)( ) ou equvletemete f ( z) = ( ) Questão: Nos segutes tes, che áre d regão mtd pels curvs dds. () f()= 4, = e =3; () f()= 3 5+6, = e =; (c) f()=, = e =5; (d) f()=4, eo-; (e) f()= 6+5, eo-; (f) f()=se(), eo-, = e =π. Teto composto em Mcrosoft Offce Word, APC, gosto/6 Adro Pedrer Ctt :: pctt@yhoo.com.r Pág 9 de 9