Capítulo V INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE
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- Wagner Carvalhal Espírito Santo
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1 Cpítulo V INTEAIS DE SUPEFÍCIE
2 Cpítulo V Iters de Superfíce Cpítulo V Vmos flr sobre ters sobre superfíces o espço tr-dmesol Estes ters ocorrem em problems evolvedo fluídos e clor electrcdde metsmo mss e cetro de rvdde Defção Se C é um curv smples o espço tr-dmesol e f ( é cotíu em C etão o terl de lh de f sobre C em relção o comprmeto de rco é defdo subdvddo C em rcos e defdo o terl de lh como o lmte: f ( ds lm f ( S ode ( ordem e C S é o comprmeto do rco de ordem Est é um defção de terl de lh que os v permtr defr terl de superfíce de modo áloo: Se um superfíce o espço com áre superfcl ft e se f ( um fução cotíu defd em é um poto o rco de Como se pode ver fur subdvd-se s prtes com áres S S e forme-se som f ( S S ode ( é um poto rbtráro em Se repetrmos o processo de subdvsão dvddo em ms e ms prtes de tl modo que dmesão mám de cd prte se prome de ero verfc-se que se f ( qudo lm S se prom de um lmte que ão depede do modo como s subdvsões são fets ou como os potos ( são escolhdos etão este lmte é chmdo o terl de superfíce de sobre e é otdo por f ( ds lm f ( ( f C S ( Cálculo dos Iters de Superfíce Estem város processos de cálculo dos ters de superfíce depededo de como 8 Prof Alr Ds
3 Cpítulo V Iters de Superfíce superfíce é represetd O Teorem seute dc como clculr um terl de superfíce qudo é d form ( ou d form ( ( ou Teorem ( Se um superfíce com equção ( e se su proecção o plo Se tver prmers dervds prcs cotíus em e ( for cotíu em etão teremos que f ( ds f f [ ( ] da (b Se um superfíce com equção ( e se su proecção o plo Se tver prmers dervds prcs cotíus em e ( for cotíu em etão teremos que f ( ds f f [ ( ] da (c Se um superfíce com equção ( e se su proecção o plo Se tver prmers dervds prcs cotíus em e ( for cotíu em etão teremos que f ( ds f f [ ( ] da Pr lustrr como s fórmuls presetds este Teorem podem ser obtds cosdere-se o cso ode é represetdo por um equção d form ( sobre um reão do plo Neste cso pode escrever-se f ( ds * * * * * ( ( ( A lm f ( lm f * * * * ( ( A ( Como o lmte est equção é um terl duplo sobre reão pode reescrever-se equção como f ( ds 8 Prof Alr Ds
![etão teremos que f ( ds f f [ ( ] da (c Se um superfíce com equção ( e se su proecção o plo Se tver prmers dervds prcs cotíus em e ( for cotíu em etão teremos que f ( ds f f [ ( ] da Pr lustrr como s](/docs-images/57/8169631/images/page_3.jpg "fórmuls presetds este Teorem podem ser obtds cosdere-se o cso ode é represetdo por um equção d form ( sobre um reão do plo Neste cso pode escrever-se f ( ds * * * * * ( ( ( A lm f ( lm f * * * * ( (")
4 Cpítulo V Iters de Superfíce ( ( ( ( f da f ( ( da ou equvletemete f ( ds Eemplo Clcule o terl de superfíce ds ode é prte do plo que fc o prmero octte A equção do plo pode ser escrt como que é d form ( Cosequetemete podemos plcr fórmul f ( ds f ( ( da ( e f ( com Assm e portto f ( ds tor-se ds ( ( ( da ode é proecção de o plo eescrevedo o terl duplo como um terl tertvo vem ds ( dd ( ( ( d d Áre de Um Superfíce Como Iterl de Superfíce No cso especl em que f ( é fórmul f ( ds ( lm f S tor-se ds lm S Ms pr todos os vlores de o somtóro é áre superfcl d superfíce ; e portto tmbém o lmte o é C 8 Prof Alr Ds
5 Cpítulo V Iters de Superfíce Deste modo áre superfcl d superfíce pode ser epress por S ds f da Eemplo Use fórmul ( ds f [ ( ] pr mostrr que áre superfcl do hemsféro superor de ro ddo pel equção é π Como se vê fur proecção do hemsféro o plo é reão crculr de ro cetrdo orem No etto ão podemos plcr o Teorem drectmete porque s dervds prcs e ão estem froter d reão um ve que í De form ultrpssr este problem clcul-se o terl duplo sobre um reão crculr lermete ms peque ρ de ro ρ e dee-se ρ promr de Temos etão ds lm da lm da lm da e ssm ds ρ ρ lm π ρ r rdrdθ lm π é ds lm π ( ρ π ( froter de ( ( ρ ( froter de ( ρ ρ r ρ ρ π ] r dθ lm ( ρ dθ sto Mss de Um Lâm Curv Como Iterl de Superfíce Defe-se um lâm curv como um obecto deldo o espço tr-dmesol 84 Prof Alr Ds
6 Cpítulo V Iters de Superfíce que é sufcetemete fo pr poder ser olhdo como um superfíce Um lâm curv pode precer-se com um prto rquedo: ou pode ecerrr um reão do espço tr-dmesol como csc de um ovo Se composção de um lâm curv é A espessur de uforme etão lâm é deomd homoée e um lâm curv é despreável su desdde é defd como sedo mss totl dvdd pel su áre superfcl totl No etto se lâm ão é homoée etão desdde vr de poto pr poto e este cso desdde de um lâm curv é descrt por um fução de desdde δ ( cuo vlor o poto ( é: δ ( o qul M lm S S M e S represetm áre superfcl de um peque secção de lâm cotedo o poto ( : ssm se lâm é subdvdd em ( é um poto prte de peques prtes e se ( ordem e de ( S é áre superfcl d prte de ordem etão M δ lm mss M dess prte pode ser promd como S S M ( S como M M δ ( δ e ssm mss M d lâm ter pode ser promd S Se or umetrmos de tl modo que s dmesões ds prtes se promem de ero o vlor ecto de M será ddo pelo terl de superfíce M δ ( ds Eemplo Um lâm curv é porção do prbolóde bo do plo e tem desdde costte ( seue-se que Um ve que ( e Substtudo ests epressões e ( δ ( ( δ em M δ ( δ δ δ Ecotre mss d lâm δ δ δ vem M ds ( ( da ds 85 Prof Alr Ds
7 Cpítulo V Iters de Superfíce 4 4 da ode é reão crculr fechd por Pr δ clculr o terl usmos coordeds polres: M δ 4r rdrdθ ( 4 π δ 5 πδ r dθ dθ ( 5 5 π r π Fluo de Um Cmpo Vectorl Atrvés de Um Superfíce Alomete um cmpo esclr que determ um esclr pr cd poto um reão trdmesol S um cmpo vectorl ssoc um vector F M ( N ( P( pr cd poto ( Como o poto ( em S : se desloc sobre S o vector correspodete F pode vrr tto em módulo quto em drecção Por eemplo se um fludo se move trvés de um reão trdmesol S o vector F pode represetr velocdde de um prtícul do fludo o poto ( No que se seue hbtulmete supomos que s fuções compoetes esclres M N e P do cmpo vectorl F são cotumete dferecáves Aor supoh-se que é um superfíce o espço e que N deot um vector utáro orml o poto ( : Supomos que como o poto ( superfíce N se desloc sobre o vector utáro orml N vr de modo cotíuo Supoh que está cotd um reão trdmesol S qul o cmpo vectorl F está defdo Pr um melhor precsão vsulmos F como o cmpo velocdde de um fludo que se move Cosdere-se um reão ftesml de áre da um poto sobre superfíce e se N o vector utáro orml à superfíce este poto: N Após um udde de tempo o fludo que pssou trvés de da form um sóldo clídrco F ftesml de ltur h F N e com volume dv hda dv F NdA O volume ftesml dv de fludo deslocdo trvés d O ( F 8 Prof Alr Ds
8 Cpítulo V Iters de Superfíce reão ftesml da em uddes de tempo é chmdo de fluo trvés de da Iterdo dv sobre superfíce totl obtemos o volume totl de fludo deslocdo trvés de udde de tempo; loo defmos o fluo do cmpo vectorl F trvés d superfíce como sedo o terl de superfíce Outrs mers de represetr o mesmo terl são da S dv F NdA F ou d F ds Eemplo Se porção do plo que está compreedd cm d reão D : o plo Clcule o fluo do cmpo vectorl F trvés d superfíce drecção d orml N que f um âulo udo com o eo Escrevedo equção do plo form ecotrmos que o vector N é orml o plo Loo o vector N N Vsto que N tem um compoete postv seue-se que N f um âulo udo com o eo postvo Normldo N obtemos o vector utáro orml desedo N N Loo N ( ( F N ; ssm o fluo trvés de é ddo por F NdA da D dd ( ( F NdA dd D 4 5 ( dd d d Pr clculr o fluo de F trvés de um superfíce oretd é prmero ecessáro ecotrr um fórmul pr o vector orml ( que prece ser terdo Ts fórmuls depedem d form em como superfíce é epress A 87 Prof Alr Ds
9 Cpítulo V Iters de Superfíce Prof Alr Ds 88 Tbel seute preset s dus oretções possíves e s fórmuls pr ( N ou ( pr superfíces d form ( ( e ( As fórmuls d Tbel podem ser deduds cosderdo que s superfíces ( ( e ( podem ser epresss form ( deslocdo fução pr o ldo esquerdo d equção Nos três csos superfíce é um superfíce de ível pr ( seue-se que rdete é orml em ( e portto e são vectores utáros orms em ( Estes são os vectores que precem Tbel Por eemplo se ( etão ( ( e etão ssm que é orml pr oretção postv de ( mostrd Tbel Multplcdo por produ-se oretção etv Tbel ( ( ( Compoete postv Oretção postv (pr cm Compoete postv Oretção postv (pr cm Compoete postv Oretção postv (pr cm Compoete etv Oretção postv (pr bo Compoete etv Oretção postv (pr bo Compoete etv Oretção postv (pr bo
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