Módulo de Matrizes e Sistemas Lineares. Operações com Matrizes

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1 Módulo de Mtrzes e Sstems Lneres Operções com Mtrzes

2 Mtrzes e Sstems Lneres Operções com Mtrzes 1 Exercícos Introdutóros Exercíco 1. Encontre o vlor de () 2 A. 1/2 A. 3 A. Exercíco 2. Determne ) A + B. b) A B c) A B. Exercíco 3. A A Consdere s mtrzes 2 2 e B Consdere s mtrzes A B C , Determne o vlor de A + B + C. Exercíco 4. determne o vlor de , 0 A 0 I + A + A 2 + A A 100. Exercíco 5. () Exercíco 6. Determne os produtos de mtrzes: () Determne A 2. Determne A A Determne A n, pr n N Exercíco 7. Exercíco 8. Determne, b, c e d ts que 2 2 c A b d Determne x e y de modo que s mtrzes x stsfçm AB BA., B 2 Exercícos de Fxção y 1/2 2 3/2 Exercíco 9. Consdere s mtrzes qudrds A ( j ) 3 3 e B (b j ) 3 3 que stsfzem j 2 + j 2 e b j 2j. Determne som dos elementos d dgonl prncpl de A + B. 1 mtemtc@obmep.org.br

3 Exercíco 10. Exercíco 11. Determne x e y de modo que 1 3x + 0 2y y 0 x 4 Determne x e y de modo que x 3 4 y Exercíco 12. Encontre um mtrz A ( j ) 2 2, com coefcentes res, tl que Exercíco As mtrzes A ( j ) 3 3 e B (b j ) 3 3 stsfzem j j e b j j. Determne mtrz C A B. Exercíco 14. Determne A A Exercíco 15. A ( j ) 2 2 é um mtrz tl que A 2 0, determne o Exercíco 16. Determne o vlor de bcd se s mtrzes são gus. + b b c + d c d e Exercícos de Aprofundmento e de Exmes Exercíco 18. Prove que se A e B são mtrzes qudrds de mesm ordem com AB BA então () (A + B) 2 A 2 + 2AB + B 2. A 2 B 2 (A + B)(A B). (A + B) n n 0 (n )A B n. Exercíco 19. Determne tods s mtrzes com coefcentes res que comutm com Exercíco 20. K Prove que A c b d,, stsfz equção x 2 ( + d)x + (d bc) 0. Exercíco 21. Dd mtrz A 0 1, e o polnômo p(x) x x 2017, determn os elementos d mtrz p(a). Exercíco 22. Consdere sequênc de Fboncc defnd por: F 0 F 1 0 e F n+1 F n + F n 1. A mostre que se n N, então A n F n+1 F n, F n F n 1. Exercíco 17. A cos α sen α sen α cos α, determne A n, pr n N. 2 mtemtc@obmep.org.br

4 1. () 2. Temos ) A + B b) A B c) 3. Temos A + B + C 4. Perceb que Resposts e Soluções. A A A A 2 e Portnto, 5. () 6. () A 3 I + A + A 2 + A A 100 I + A + A A 2 A 3 A 2 A mtemtc@obmep.org.br

5 Suponh que pr k N, tenhmos Então Portnto, A k A k+1 A k A 1 k 1 k A n 1 k n, Anlogmente, temos BA 3y 2 y x/ x/2. Pr que ocorr guldde, devemos ter 4y 2x 0 e y x/2 0. Esss equções são equvlentes e ssm pr qulquer pr (x, y) com x 2y occorre guldde. 9. c j denot s entrds d mtrz som, temos Portnto, c j 2 + j 2 + 2j ( + j) 2. c 11 + c 22 + c A som ds mtrzes é gul 1 3x + 2y x + y 4. pr todo n N 7. A multplcção ds dus prmers mtrzes produz + 2c 2 2c b + 2d 2b 2d Portnto, precsmos resolver o sstem: + 2c 5 b + 2d 7 2 2c 2 2b 2d 2. Resolvendo o sstem nteror, encontrmos 1, b 1, c 2 e d Temos AB 3 1 y 1/2 4 x 2 3/2 3y 2 0 4y 2x 2 + 3x/2 Pr que ocorr guldde, devemos ter 3x + 2y 8 x + y 3 Resolvendo o sstem nteror, obtemos x 2 e y O produto ds dus prmers mtrzes é Queremos que 2x + y 3x + 4y 2x + y 3. 3x + 4y 7 A solução desse sstem é (x, y) (1, 1). 12. O produto ds dus prmers mtrzes é Queremos que mtemtc@obmep.org.br

6 Um solução do sstem nteror é 11 4 e A solução gerl é com t e k res. ( 11, 12, 21, 22 ) (4 2t, t, 5 2k, k), 13. c j são s entrds d mtrz C, então Portnto, C 3A. c j 1 b 1j + 2 b 2j + 3 b 3j j + j + j 3j 3 j 14. Podemos encontrr s potêncs de A recursvmente A 2 A 3 A 2 A A 4 A 3 A c j denotm s entrds d mtrz A 2, então 0 0 c 11 c Portnto, 11 ± , então Consderemos gor o cso com Anlsndo s entrds c 12 e c 21, obtemos 0 c e 0 c Como 11 0, então Logo, A 2 é um mtrz dgonl de entrds 1 e Isso mplc que 11 0 e temos um bsurdo. Consequentemente, Como s mmtrzes são gus, podemos construr o sstem + b 5 c + d 3. b 3 c d 1 Resolvendo o sstem nteror, obtemos 4, b 1, c 1 e d 2. Assm, bcd Suponh que ddo k N tenhmos Dí, A k A k+1 A k A Portnto, pr todo n N 18. cos kα sen kα cos kα sen kα sen kα cos kα. sen kα cos α cos kα sen α cos(k + 1)α sen(k + 1)α sen(k + 1)α cos(k + 1)α A n cos nα sen nα sen nα cos nα.. sen α cos α () Pel propredde de dstrbutvdde e d relção AB BA, temos (A + B)(A + B) A 2 + AB + BA + B 2 A 2 + 2AB + B mtemtc@obmep.org.br

7 Pel propredde de dstrbutvdde e d relção AB BA, temos (A + B)(A B) A 2 + BA AB B 2 A 2 B 2. Suponh que pr k N tenhmos (A + B) k k 0 ( ) k A B k Portnto, pel propredde de dstrbutvdde, temos (A + B) k+1 (A + B) ( k 0 ( ) k k 0 A +1 B k + ( ) k A B k ) k 0 ( ) k BA B k Como AB BA, segue que BA B k A B k+1. Além dsso, pel relção de Stfel, ( ) ( ) ( ) k k k l 1 l l Assm, o somtóro nteror pode ser reorgnzdo, fzendo l 1, como ( ) k + 1 A l B k+1 l k+1 l0 l Isso mostr que fórmul dd tmbém serve pr k + 1. gue que vlerá pr todo n N. 19. Suponh que comut com K, então c + b c + d T c b d TK KT, + c c b + d Um condção necessár e sufcente pr que els comutem é que + c + b b + d c + d d d Portnto c 0 e d. Dí, s mtrzes que comutm com K são s mtrzes d form com e b res. 20. b 0, A 2 ( + d)a + (d bc)i 2 + bc b + bd 2 + d b + bd c + dc bc + d 2 c + cd d + d 2 d bc + d bc + d bc d bc 21. Clculemos nclmente s prmers potêncs de A: Dí, Assm A 2 A 3 A 2 A I 0 1 p(a) A A 2017 (A 3 ) (A 3 ) 672 A ( I) ( I) 672 A I + A mtemtc@obmep.org.br

8 22. Clculemos nclmente s prmers potêncs de A: Dí, A 2 A 3 A 2 A I 3 2 Suponh que pr k N A k Então A k+1 A k A Portnto frmção vle pr todo n N. Produzdo por Arqumedes Curso de Ensno contto@cursorqumedes.com 7 mtemtc@obmep.org.br