AUTOVALORES E AUTOVETORES

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1 UTOLOES E UTOETOES Defnção Sej T : um operdor lner Um vetor v, v, é dto utovetor, vetor própro ou vetor crcterístco do operdor T, se exstr λ tl que T v) = λ v O esclr λ é denomndo utovlor, vlor própro ou vlor crcterístco do operdor lner T ssocdo o utovetor v Exemplos: ) T : ) T : x, x,8x,) é utovetor de T ssocdo o utovlor λ =, pos T,) =,6) =, ) x, x + y + z,y + z,y +,,) é utovetor de T ssocdo o utovlor λ = 4, pos T,,) = 4,4,8) = 4,, ) e,,) é utovetor de T ssocdo o utovlor λ =, pos T,,) =,,) =,, ) Sej v é um utovetor do operdor lner T ssocdo o utovlor λ então utovetor de T ssocdo o utovlor λ, pr todo k, k kv tmbém é um Exemplo: Sej o operdor lner T x, = x,8x O vetor v =, ) é utovetor ssocdo o utovlor λ = Como T,)) = T,4) = 6,) =,4), o vetor,4) é tmbém utovetor de T ssocdo λ = Sej λ é um utovlor do operdor lner T O conjunto = { v T v) λv de todos os λ = utovetores ssocdos λ juntmente com o vetor nulo, é denomndo utoespço correspondente o utovlor λ Exemplo: Consdere o operdor T x, = x,8x O utoespço = { x, T x, = x, = { x,x), x corresponde o utovlor λ =

2 Cálculo de utovlores, utovetores e utoespços Sej o operdor lner T : tl que dm = n Por defnção, T v) = λ v, com v, v e λ Consdere o operdor dentdde ssm, T v) = λi v) I : tl que I v) = v Então, T v) λ I v) Pel defnção de multplcção por esclr em trnsformções lneres, T v) λ I ) v) Pel defnção de dção de trnsformções, T λ I ) v) Então, o vetor v, v, deve pertencer o núcleo do operdor T λi ), sto é, v Ker T λi ), com v Portnto, o operdor lner T λi ) não é njetvo, consequentemente, não é bjetvo, nem nvertível O fto do operdor lner não ser nvertível é equvlente o do determnnte de su mtrz ssocd, dd um cert bse, ser zero equção det[ T ] λ I n ), onde I n é mtrz dentdde de ordem n, é denomnd de equção crcterístc O polnômo det[ T ] λi ) é denomndo polnômo crcterístco de T, e sus rízes em são os utovlores do operdor lner T n Exemplo: Sej T : tl que T x, x,8x = e consdere bse cnônc do λ ssm, [T ] = e λi = λ = 8 λ Então, T ] λi [ = 8 λ λ = λ 8 λ λ det[ T ] λi ) = det = 8 λ λ = det[ T ] λi ) λ = Logo, λ = e λ = são os utovlores do operdor lner T

3 Tendo encontrdo os utovlores λ, com dm Os utovetores são os vetores v, v ts que T I ) v) λ Consdere um bse pr o espço vetorl e equção mtrcl [ T ] λ I n ) [ v] n, onde n é mtrz nul de ordem n Substtundo cd utovlor λ encontrdo n equção mtrcl, obtém-se um sstem de equções lneres esolvendo-se cd um destes sstems, os utovetores ssocdos cd um do utovlores são obtdos, e, consequentemente, os utoespços λ Exemplo: Sej bse cnônc do T : tl que T x, x,8x Pr λ = : [ T ] I ) [ v] = com utovlores λ = e λ = e 8 x = 8 x = 8 x = 4 8 x 4y y = x = { x,x), x Pr λ = : [ T ] ) I ) [ v] x 4 + = 8 8 = {,, y x 4x = x 8x 4

4 Multplcdde de utovlores Sejm um espço vetorl, T um operdor lner em e λ, com dm, um utovlor deste operdor O número de vezes que λ λ ) prece como um ftor do polnômo crcterístco de T é denomndo de multplcdde lgébrc de λ, cuj notção é m λ ) dmensão do utoespço m λ ) g λ é denomnd multplcdde geométrc de λ, cuj notção é Exemplos: Consderndo bse cnônc do ) T : tl que T x, = 4x + y + z,x + 4y + z,x + y [T ] = 4 e 4 [ T ] λi ) = 4 λ 4 λ 4 λ det[ T ] λi ) λ λ + 6λ λ ) λ 8) = λ = e = { y z,, z λ = e = { z, z,, z 8 8 O utovlor ocorre dus vezes como rz do polnômo crcterístco, m ) =, e seu utoespço possu dmensão gul, m ) = Já o utovlor 8 ocorre únc vez como rz, m 8) =, e dm 8 = = m g 8) g ) T : tl que T x, = x, y + [T ] e λ T ] λi ) = [ λ λ det[ T ] λ I )) λ 7λ + 6λ λ ) λ ) λ = e = {,,, z λ = e = { x,,), x O utovlor ocorre dus vezes como rz do polnômo crcterístco, m ) =, e dm = = m ) O utovlor ocorre únc vez como rz, m ) =, e dm = = m ) g g 5

5 Dgonlzção de Operdores Lneres Ddo um operdor lner T :, exstem representções mtrcs de T reltvs s bses de Dentre ests representções, consderd ms smples é um mtrz dgonl Como cd bse corresponde um mtrz, questão se resume n obtenção de um cert bse, cuj representção mtrcl do operdor lner T em relção est bse é um mtrz dgonl ssm, est bse dgonlz o operdor lner T Sej um espço vetorl n-dmensonl e T : um operdor lner O operdor lner T é denomndo um operdor lner dgonlzável se exstr um bse de tl que [ T ] é um mtrz dgonl Est bse é compost pelos utovetores do operdor lner T Sej um espço vetorl n-dmensonl e utovlores dstntos λ K,,λn então o operdor lner T é dgonlzável Exemplo: Sej o operdor lner 4 bse cnônc do, então [T ] = λ =, {,,), = y y e v =,, ) λ =, z,, ), = { z z z e v =,,) λ =, = { z, z,, z e v =,, ) Sendo = {,,),,,),,, ) um bse de utovetores, T : um operdor lner Se exstem n T : tl que T x, 4x + z, x + x + [ T ] = e Se exstem r < n utovlores dstntos λ, K, λr e sus multplcddes lgébrcs e geométrcs forem gus, sto é, pr todo =,, r, m λ ) = m λ ), então o operdor lner T é g dgonlzável Exemplo: Sej o operdor T : tl que T x, = x + y + z, x + y + z, x + y + e bse cnônc do, então [T ] = λ, {,, ),, = y z y z y z e = {,,),,, ) λ =, {,, ), = z z z z e = {,, ) Sendo = = {,,),,,),,, ) um bse de utovetores, [ T ] 6

6 Exercícos ) erfcr, utlzndo defnção, se os vetores ddos são utovetores: ),) pr [ T ] = b),,) pr [ T ] = ) Os vetores,) e, ) são utovetores de um operdor lner T : ssocdos os utovlores λ = 5 e λ =, respectvmente Determnr T 4,) ) Determnr o operdor lner T : cujos utovlores são λ = e λ = ssocdos os utoespços = {, y e = {,, y 4) Determnr os utovlores e os utovetores dos seguntes operdores lneres no ) T x, = x + x + 4 b) T x, = x) 5) Ddo o operdor lner T no tl que T x, = x 5, encontrr um bse de utovetores 6) erfcr se exste um bse de utovetores pr: ) T : tl que T x, = x + y + z,y + z,y + b) T : tl que T x, = x, x x + y + c) T : tl que T x, = x, x + y z, 4y + 7) Sej T : tl que T x, = 4x + 5x + Encontrr um bse que dgonlze o operdor T 8) O operdor lner é dgonlzável? 4 4 T : tl que T x, z, t) = x + y + z + t, x + y + z, y + z + t, x + esposts ) ) Sm b) Não ) T x, = x + 4x + e T 4,) = 8,) ) T x, = x,x + 4) ) utovlores: e b) não possu utovlores res 5) {, ),, ) 6) ) b) Sm c) Não 7) = {,),5,) e [ T ] = 6 7

7 pêndce E Teorems Sej um espço vetorl n-dmensonl e T : um operdor lner Teo8 Se v, v é um utovetor do operdor lner T ssocdo o utovlor λ então pr todo k, k, o vetor kv é tmbém um utovetor de T ssocdo o utovlor λ dem: T kv) = kt v) = por TL k λ v) = por hpótese k λ )v = por E5 λ k)v = comuttvdde d multplcção em λ kv) por E5 Teo8 Sej λ um utovlor de T Então { λ é um subespço vetorl de Teo8 Sejm os utovetores v e do operdor lner T ssocdos, respectvmente, os utovlores λ e λ dstntos entre s Então v e são lnermente ndependentes dem: kv + k ) T kv + k ) = T ) T kv) + T k ) kt v) + k T ) k λ v) + k λ ) kλ ) v + k λ ) ) Multplcndo-se ) por λ, Subtrndo ) de ), λ kv + k ) = λ λ kv) + λ k ) λ k) v + λk ) kλ ) v + k ) kλ ) v + k λ ) k v k k λ ) k k λ k k λ Ms e, por hpótese, λ λ ssm, k nlogmente, k Logo, v e são lnermente ndependentes Teo84 Sejm v, v,, vr utovetores do operdor lner T ssocdos utovlores todos dstntos λ, λ,, λ r Então os utovetores v, v,, vr são lnermente ndependentes dem: Por ndução em r Coroláro84: Sej um operdor lner T : e um espço vetorl n-dmensonl Se T possu n utovlores dstntos então exste um bse consttuíd por utovetores 8

8 Teo85 Sejm um espço vetorl n-dmensonl e T : um operdor lner Se exstem n utovlores dstntos λ, K,λn então o operdor lner T é dgonlzável dem: Consdere um bse de utovetores = { v, v,, vn, tl que v corresponde o utovlor λ, pr todo =,, n Pr todo =,, n, T v ) = λ v v + + v + λ v + v+ + + vn Então, [ v ] = λ λ λ ssm, [ T ] = λn Logo, o operdor lner T é dgonlzável Teo86 Se exstem r < n utovlores dstntos λ,,λr e pr qulquer utovlor multplcdde lgébrc for gul su multplcdde geométrc, sto é, pr todo =,, r, m λ ) = m λ ) então o operdor lner T é dgonlzável g dem: Como multplcdde geométrc de λ é dmensão do utoespço λ, então: dmλ + dm + + dm = dm = n λ λr Consdere um bse do utoespço λ O conjunto = r é um bse do espço vetorl k k Então, [ T ] = onde k j é um dos utovlores λ, respetd su k n multplcdde lgébrc, sto é, o utovlor λ precerá tnts vezes n dgonl prncpl qunto for su multplcdde lgébrc 9