6. ÁLGEBRA LINEAR MATRIZES

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1 MATRIZES. ÁLGEBRA LINEAR Definição Digonl Principl Mtriz Unidde Mtriz Trnspost Iguldde entre Mtrizes Mtriz Nul Um mtriz m n um tbel de números reis dispostos em m linhs e n coluns. Sempre que m for igul n mtriz será chmd de mtriz qudrd. Se m for igul mtriz será chmd de mtriz linh. Se n for igul mtriz será chmd de mtriz colun. ij : elemento d linh i e colun j. Chmmos de Digonl Principl (DP) de um mtriz qudrd o Conjunto formdo pelos elementos ij tis que i j. Chmmos de mtriz unidde tod mtriz qudrd onde os elementos d digonl principl vlem e os demis elementos vlem zero. Representse por I n, onde n ordem d mtriz. Chmmos de mtriz trnspost e representmos por A t, mtriz que encontrmos trocndo ordendmente s linhs pels coluns d mtriz A. Dus mtrizes de mesm dimensão são dits iguis qundo os elementos que ocupm respectivmente s mesms posições são iguis. A B ij b ij, i, j Chmmos de mtriz nul mtriz onde todos os elementos são iguis zero. um mtriz. um mtriz qudrd de ª ordem [ ] um mtriz linh. um mtriz colun. e Dp {, } Dp {,, } I I ) Se A, então A t b) Se A, então A t ) Se A, e B então A B + b) Se A e B y + são iguis, então: + e y + ; ou sej, e y. um mtriz nul

2 Adição de Mtrizes Multiplicção de n rel por Mtriz Multiplicção de Mtrizes Mtriz Invers Dds s mtrizes A e B, do mesmo tipo, chmmos de som ds mtrizes A e B mtriz encontrd o dicionrmos os elementos correspondentes de A e B. Sendo um número rel e A um mtriz qulquer, definiremos o produto A como sendo mtriz encontrd o se multiplicr todos os elementos de A por. Dd um mtriz A, m n e um mtriz B, n p, o produto A B será um mtriz m p onde um elemento genrico ij de mtriz produto será obtido fzendose o somtório dos produtos encontrdos o multiplicrse ordendmente os elementos d linh i, d mtriz A pelos elementos d colun j d mtriz B. NOTA: O produto de dus mtrizes só está definido qundo o número de coluns d ª mtriz igul o número de linhs d ª mtriz. A mn B np (AB) mp A invers d mtriz qudrd A um mtriz B, tl que: A B B A I n. Notção: A. Condição de eistênci de A : Um mtriz qudrd inversível se, e somente se, seu determinnte diferente de zero. Se A então A + B Eemplos: Se A Se A A B e B A, então A, B A B? A B A B Eemplo: A A? Temos que determinr um mtriz B de ª ordem, tl que A B B A I. Sendo B c b d, teremos: A B I, ou sej, + c b + d + c b + d + c b + d e + c b + d Resolvendo os sistems cim, teremos:, b, c, d

3 Eemplo: (UFES) Os vlores de e y que stisfzem equção mtricil + y y são, respectivmente ) e b) e c) e d) e e) e Solução: + y y + y y Resolvendo o sistem cim, obtemos y e. EXERCÍCIOS Sendo ij ij o elemento genrico de um mtriz qudrd de ª ordem, est mtriz ) b) c) d) e) A mtriz qudrd A( ij ), de ordem, tl que: pr j pr j i ij,, i j i j < ) b) c) d) e) Resp.: b Dds s mtrizes: A B e C clcule: ) A + B b) B + C c) A B d) B A e) A f) C g) A + B C Dds s mtrizes A e B ( ), mtriz produto A.B ) 9 b) 9 c) ( 9) d) 9 e)

4 Resp.: Dds s mtrizes A e B, clcule: ) A B b) B A c) A d) B Not: observe que AB BA. Dds s mtrizes A e B, o elemento C d mtriz CA.B ) b) c) d) e) É dd mtriz A ( ij ) tl que ij i j ) Escrev mtriz A; b) Escrev mtriz A t. 8Se A, B e C são mtrizes de ordens, e, respectivmente, determine ordem d trnspost d mtriz (AB)C. Resp.: 9 A mtriz trnspost d mtriz qudrd A ( ij ) de ordem com ij ij ) Resp.: d b) c) d) e) A som dos elementos d digonl principl d mtriz resultnte do produto ds mtrizes ) b) c) d) e) (TTN) Sejm s mtrizes A, B / / / 8 /, C / 9 / e sej som dos elementos d segund colun d mtriz trnspost de Y. Se mtriz Y dd por Y (AB) + C, então o vlor de : ) /8 b) c) / d) e)

5 (CESPE) Um loj especilizd em equipmentos de computção fbric três tipos de microcomputdores: A, B e C, empregndo, em cd um, componentes X, Y, Z e W, ns quntiddes indicds n tbel bio. X Y Z W A B 8 9 C 8 Sbese que os preços, por unidde, dos componentes X, Y, Z e W são, respectivmente, $., $8., $. e $.. Os preços unitários de cd tipo de micro, A, B e C, serão, respectivmente: ) $., $8. e $. b) $., $. e $8. c) $., $8. e $. d) $8., $. e $. e) $., $. e $8. Resp.: c (PGJ) Um fábric produz dois tipos de peçs P e P. Pr produção de cd peç são utilizds, sucessivmente, dus máquins M e M. N mtriz A ( ij ) dd bio, entrd i j indic o número de hors de funcionmento d máquin M i no processo de produção de um unidde de peç P j : A Se s máquins M e M funcionrm, respectivmente, hors e 9 hors, o totl de peçs produzids foi de ) peçs b) 9 peçs c) 9 peçs d) 9 peçs d) peçs Resp.: c (PGJ) Pr fcilitr contbilidde de um empres, o seu gsto de mteril de escritório colocdo n form de produto de mtrizes: G Q C, onde Q (q i j ) mtriz e q i j quntidde do mteril M j no setor S i C (c i ) mtriz e c i custo unitário do mteril M i A entrd d mtriz g d mtriz produto corresponde à ) som totl de gstos de mteril no setor S b) som totl de gstos de mteril no setor S c) som de gstos do mteril M em todos os setores d) som de gstos do mteril M em todos os setores e) som totl de gstos do mteril M nos setores S e S. Resp.: b.

6 Verifique se mtriz Resp.: Sim. invers d mtriz. Prove que s mtrizes A inverss. e B são mtrizes DETERMINANTES Notção Mtriz Qudr d de ª Ordem Mtriz Qudrd de ª Ordem Mtriz Qudrd de ª Ordem A tod mtriz qudrd de números reis está ssocido um número rel chmdo de determinnte e notdo por: det A ou A Sendo A mtriz qudrd de ª ordem, A Eemplos: [ ], o seu determinnte será igul o único elemento que form mtriz: det A REGRA DAS DIAGONAIS Eemplos: A ) o seu determinnte será igul diferenç entre o produto d digonl principl e o d b) digonl secundári:.. REGRA DE SARRUS Sendo A um mtriz qudrd de ª ordem o seu determinnte será clculdo medinte um dispositivo prático chmdo de regr de SARRUS: Repetese s dus primeirs coluns à direit d mtriz e dicionse o produto d digonl principl com o produto de sus prlels, subtrise o produto d digonl secundári ssim como o produto de sus prlels. c) sen cos ) b) (8) cos sen sen (cos ) sen + cos Eemplo

7 Menor Complementr Complemento Algbrico ou Coftor Teorem de Lplce Menor complementr de um elemento ij o determinnte que se encontr o eliminr isim linh e jsim colun d mtriz A. Anotse por M ij. Complemento lgbrico ou coftor de um elemento ij o produto do menor complementr deste elemento por () i+j C ij () i+j. M ij O determinnte de um mtriz qudrd A, de ordem n, som dos produtos dos elementos de um fil qulquer (linh ou colun) pelos respectivos coftores. NOTA: Escolher fil onde eiste mior quntidde de elementos nulos ou com menor vlor bsoluto. Se A Se A M M M, então: C () + C () + C () + Eemplos: ) Se A Det A. () + +. () + então: ( ) ( ) (). ( ) (). ( + ) (). ( + ) 8, seu determinnte será +. () + (). () +.( ) + 9 b) Sendo B escolhendo ª linh, det B. C +. C +. C +. C () +. () + teremos, 8

8 Eemplos. (AMAN) O vlor de pr que se tenh ) b) c) d) e) Solução: ( ) ( ). (MACK) O conjunto solução d equção ) { } b) {, } c) {} d) { } e) {} Solução:. (MACK) O vlor do determinnte d mtriz i i i A i i i 8 9 i i i ) i b) i c) i d) e) Solução: 9

9 O determinnte nulo pois s linhs e são proporcionis (eistem outrs que tmbm se tornm proporcionis).. (PUC) O coftor do elemento d mtriz A ) b) c) d) e) Solução: C () + ( ) (.. ). EXERCÌCIOS O vlor do determinnte ) b) c) d) e) Resp.: b O determinnte d mtriz ) b) c) d) e) O conjunto solução de ) b) c) d) e) Resp.: b (ULBRA) A som dos determinntes ds mtrizes e. O vlor de

10 ) zero b) c) d) e) Resp.: d (RITTER) O determinnte d mtriz qudrd A ( ij ), de ordem, tl que ij i+ j, pr i j jpr, i< j ) b) c) d) e) 8 Resp.: b O produto. z y t ) z y t b) z y t c) z y t d) z y t e) / z/ y/ t/ Resp.: b O vlor de em ) b) c) d) e) Resp.: d 8 Os vlores de que stisfzem equção são ), b), c), d), e),

11 Proprieddes dos determinntes Ns proprieddes dds seguir, usmos o termo fil como sinônimo de linh ou colun. P) Qundo trocmos dus fils prlels de um mtriz qudrd A entre si, o det A troc de sinl. P) Se um mtriz qudrd A tem dus fils prlels iguis ou proporcionis, então det A. P) Qundo multiplicmos um fil de um mtriz qudrd A por um número rel k, o det A fic multiplicdo por k. P) Se A um mtriz qudrd, então det A det A t. P) Se A um mtriz qudrd tl que det A, então det A P) det (A+B) det A + det B, em gerl. P) Se AB definido, então det (AB) det A det B. det A. 9 Sendo A um mtriz qudrd de ª ordem tl que det A, o vlor de det (A) ) b) c) d) e) Resp.: c Se A um mtriz de determinnte, então det (A + A) ) b) c) d) e) 8 O determinnte de um mtriz qudrd de ª ordem. Se multiplicrmos ª linh por e dividirmos ª colun por, o determinnte de nov mtriz vlerá ) 8 b) Resp.: c) d) e) Se A um mtriz qudrd de ª ordem e det A, então det A vle ) b) 8 c) d) e) Resp.: Considere um mtriz A. Se det A e det (A) 9, então o vlor de ) b) c) d) e) Resp.: d

12 (FCC) Se 9 y z, então y z vle ) b) Resp.: d c) d) e) (UFRGS) Sej B mtriz obtid d mtriz qudrd A multiplicndose dus fils de A por ^e dividindose um fil de A por y. Então det(b) vle ) y det (A) / b) det (A) / y c) det (A) / y d) y det (A) / e) y Resp.: c Determine invers ds mtrizes A e B.. Resp.: A, B /. / Se mtriz A não dmite invers, então o vlor de ) b) c) d) / e) / Resp.: d 8(UCS) Pr que mtriz A k dmit invers, devemos ter ) k b) k c) k d) k e) k 9 Determine o vlor de pr que mtriz A não dmit invers. Resp.:

13 / / Sendo det A e A, determine o vlor de. Resp.: /. SISTEMAS LINEARES Resolver, utilizndo o Mtodo do esclonmento ( ou Mtodo de eliminção de Guss), os sistems lineres seguintes: + y ) y Resp.: S { (, ) } + y + z 9 ) + y + z 8 + y + z Resp.: S { (,, ) } + y + z ) y + z y + z Resp.; S!. + y + z ) + y + z 9 + y + z Resp.: S {(z+, z, z)"zr} + y + z ) y + z 8 y z Resp.: S { (,, ) } ) (PUCRS)No sistem + y + z + y + z + y + z

14 o vlor de z ) b) c) d) e) Resp.: c ) (UFRGS)O vlor de z n únic solução do sistem sobre R + y + z + y + z + y + 9z ) b) c) d) e) Resp.: c 8) (UFRGS) O conjunto solução do sistem + y + z y + z y z ) {(,, )} b) constituído pens pel solução nul c) vzio d) finito, ms constituído por mis de um solução e) infinito 9) O sistem + y + z + y z + y + z tem ) nenhum solução b) um únic solução c) etmente dus soluções d) três soluções e) infinits soluções Resp.: b

15 ) O sistem + y + z y + z y z tem mis de um solução. O vlor de ) b) c) d) e) Resp.: ) (Crlos Chgs) O sistem de equções lineres ( ) + y + z + t ( + )y z + t z t t indetermindo se e somente se ) ou b) ou c) e d) e e) Resp.: ) (UCPEL) O sistem + y + y ) possível e determindo pr ± b)impossível pr ± c) possível e indetermindo pr ± d) possível pr todo e) impossível pr ± Resp.:

16 ) O sistem y + z y + z y z tem ) nenhum solução b) um únic solução c) etmente dus soluções d) somente três soluções e) infinits soluções ) Os vlores de e b pr que o sistem + y + z + y + z y + z b sej possível e indetermindo são ) e b b) e b c) e b d) e br e) R e b Resp.: b ) O sistem ) impossível y + z y + z b) possível e determindo c) indetermindo d) ímpr e) homogêneo Resp.: ) Qunts soluções tem o sistem homogêneo bio?

17 + y z y + z + y ) nenhum b)um c) dus d) três e) infinits ) Sbendo que o sistem + y + z + by + z + y + z firmr que dmite pens solução trivil, sendo ind e b, podemos ) b) b c) d) b e) Resp.: c 8) O sistem + by + z + by + z tem mis de um solução, sendo e b. O vlor de ) b) c) d) e) Resp.: b 8