MATRIZES: INTRODUÇÃO E NOTAÇÃO GERAL

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1 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 MATRIZES: INTRODUÇÃO E NOTAÇÃO GERAL Introdução A teori ds mtrizes tem cd vez mis plicções em áres como Economi, Engenhri, Mtemátic, Físic, dentre outrs. Vejmos um exemplo de mtriz. A tbel seguir represent s nots de três lunos em um etp: Aluno Químic Inglês Litertur Espnhol A B 7 C 8 9 Se quisermos sber not do luno B em litertur, bst procurr o número que fic n segund linh e n terceir colun d tbel. págins. Um exemplo de plicção prátic d teori ds mtrizes pode ser visto ns próxims Vmos gor considerr um tbel de números dispostos em linhs e coluns, como no exemplo, cim, ns colocdos entre prênteses ou colchetes: linh ou colun 8 9 Em tbels ssim disposts, os números são os elementos. As linhs são enumerds de cim pr bixo e coluns, d esquerd pr diret: linh linh linh 7 colun colun colun 9

2 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 Tbels com m linhs e n coluns (m e n números nturis diferentes de ) são denominds mtrizes m x n. N tbel cim temos um mtriz X. Vej mis lguns exemplos: é um mtriz do tipo x 7 é um mtriz do tipo x Notção Gerl Costum-se presentr s mtrizes por letrs miúsculs e seus elementos por letrs minúsculs compnhds por dois índices que indicm, respectivmente, linh e colun que o elementos ocup. Assim, um mtriz A do tipo m X n é representd por: A m m m n n n mn ou, brevidmente, A = ( ij ) m x n em que i e j representm, respectivmente, linh e colun que o elemento ocup. Por exemplo, n mtriz nterior, é o elemento d linh e d colun. N mtriz A -, temos :,, e e Ou n mtriz B = [- ], temos: = -, =, = e =.

3 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 Exercícios Resolvidos. Determine mtriz A = ( ij ) x tl que ij = i + j. colun Sendo A do tipo X, mtriz ssocid é d form: linh Como ij = = i e j, temos: =. + = (pois i = e j = ) =. + = =. + = =. + = Logo, A =. i,se i jé pr. Dd mtriz A = ( ij ) x 7 tl que ij =, determine ij, se i jé impr =.. = = - = - Logo, + = + = - Exercícios Propostos. Determine s seguintes mtrizes: ) b) A = ( ij ) x tl que ij = (i j) B = (b ij ) x tl que b ij = (i j) c) C = (c ij ) x tl que c ij =, se i j i j, se i j i d) D = (d ij ) x tl que d ij = i j j, se i j é pr, se i jé ímpr. Dd mtriz A = ( ij ) x tl que ij = i + j, clcule +.

4 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 TIPOS DE MATRIZES Algums mtrizes, por sus crcterístics, recebem denominções especiis. Mtriz Linh: mtriz do tipo X n, ou sej, com um únic linh. Por exemplo, mtriz A = [ 7 - ], do tipo X. Mtriz Colun: mtriz do tipo m X, ou sej, com um únic colun. Por exemplo B =,do tipo X. Mtriz Qudrd: mtriz do tipo n X n, ou sej, com o mesmo número de linhs e coluns; dizemos que mtriz é de ordem n. Por exemplo, mtriz C = 7 é do tipo X, isto é qudrd de ordem. Num mtriz qudrd definimos digonl principl e digonl secundári. A principl é formd pelos elementos ij tl que i = j. N secundári i + j = n +. Observe mtriz seguir: ordem d mtriz A = 7 digonl secundári digonl principl = - é elementos d digonl principl, pois i = j = = é elementos d digonl secundári, pois i + j = n + ( + = + ) Mtriz Nul: mtriz em que todos os elementos são nulos; é representd por m X n. Por exemplo, X =. Mtriz Identidde: mtriz qudrd em que todos os elementos d digonl principl são iguis e os demis são nulos; é representd por I n sendo n ordem d mtriz. Por exemplo:

5 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 ) I = b) I = Assim, pr um mtriz identidde I n = ( ij ), ij = j se i, j se i,. Mtriz Opost: mtriz A obtid prtir de A trocndo-se o sinl de todos os elementos de A. Por exemplo, se A =, então A =. Mtriz Trnspost: mtriz A t obtid prtir d mtriz A trocndo-se ordendmente s linhs por coluns ou s coluns por linhs. Por exemplo: Se A =, então A t =. Desse modo, se mtriz A é do tipo m X n, A t é do tipo n X m. Note que linh de A corresponde à colun de A t e linh de A corresponde à colun de A t. Mtriz Simétric: mtriz qudrd de ordem n tl que A = A t. Por exemplo, A = 8 é simétric, pois = =, = =, = =, ou sej, temos ij = ji. Exercício Resolvido Clssifique s mtrizes dds qunto o tipo e à ordem. ) A = b) B = c) C = d) D =

6 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 ) A = mtriz qudrd de ordem. b) B = mtriz linh do tipo X. c) C = mtriz colun do tipo X. d) D = mtriz identidde de ordem (I ). Exercício Propostos. Determine o tipo e indique denominção de cd mtriz. ) b) c) d) e). Dd mtriz A =, determine trnspost de A.. Sendo mtriz A = y c simétric, determine c e y.

7 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 IGUALDADE E MATRIZES E OPERAÇÕES Iguldde de Mtrizes Dus mtrizes, A e B, do mesmo tipo m X n, são iguis se, e somente se, todos os elementos que ocupm mesm posição são iguis: A = B ij = b ij pr todo i m e todo j n Se A = b, B = c e A = B, então c = e b = Operções Envolvendo Mtrizes Adição Dds s mtrizes A = ( ij ) m X n e B = (b ij ) m X n chmmos de som desss mtrizes e mtriz C = (c ij ) m X n tl que c ij = ij + b ij, pr todo i m e todo j n: A + B = C Exemplo: ) ( Observção: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo. Subtrção Dds s mtrizes = ( ij ) m X n e B = (b ij ) m X n chmmos de diferenç entre esss mtrizes som de A com mtriz opost de B: A B = A + (-B) Observe: 7 - (-) ) ( 7 7 -B

8 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 Exercício Resolvidos. Clcule x, y e z tl que z - y x x. De iguldde vem: z - ou j y - y x (não convém) ou x x x Logo, x =, y = e z =.. Sendo A = e B =, clcule: ) A + B b) A- B c) A t + B t d) (A + B) t ) A + B = 8 b) A B = A + (- B) = c) A t + B t A = A t = B = B t = Assim: A t + B t = + = 8 d) (A+B) t Como A + B = 8, então (A +B) t = 8 Comprndo os itens c e d, podemos notr que: (A+B) t = A t + B t

9 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 Exercícios Propostos. Determine, b e c tl que b. c 9. Determine x, y, z e w ns mtrizes A = x y, B = e C z w, tl que A = B = C x y. Determine x e y tl que: = 7. x y x - x. Clcule o vlor de x tl que. x y. Sendo A = ( ij ) X tl que ij = i + j, determine x, y e z tl que A =. x z. Sendo A = e B =, clcule: ) A + B b) A B c) B - A x z 7 z 7. Clcule x, y e z tl que. x y 7 8. Sendo A = ( ij ) X, com ij = i j, e B = (bij) X com b ij = i + j, clcule: ) A B b) B - A 9. Dds s mtrizes A = e B = 7, determine o vlor de : ) A t + B t b) (A + B) t 7

10 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 8 MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UMA MATRIZ Ddo um número rel x e um mtriz A do tipo m X n, o produto de x por A é um mtriz B do tipo m X n obtid pel multiplicção de cd elemento de A por x, ou sej, b ij = x ij : B = xa Observe o seguinte exemplo:. (-) 7 7 Exercícios Resolvidos. Dds s mtrizes A = e B =, determine: ) A b) B c) A B ) A = b) B= (-). c) A B = 7 ) (. Determine mtriz X, tl que X + A = B, pr A = e B =. Aplicndo s propriedde ds mtrizes, temos: X = B A Logo: X = - =

11 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/ Sendo A = e B =, determine s mtrizes X e Y tl que Y Y = A B e X + Y = A B. B A Y X B A Y X X = A B X = (A B) =. A -. B = De X + Y = A B, vem: Y = A B X = 9 =.. Se A = c b e B =, determine, b e c sbendo que A = (B) t. A = (B) t c b = t t c b t c b c c b b Logo, =, b = e c = Exercícios Propostos. Dds s mtrizes A = e B =, clcule: ) A b) 7B c) A B d) - A

12 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98. Dds s mtrizes A =, B = e C = 8, clcule: ) (A B) + (B C) + (C- A) b) (A + B) (B - C) C. Dds s mtrizes A = e B =, clcule X = A B t.. Dds s mtrizes A ( ij ) X, com ij = i e j, e B = (b ij ) X, com b ij = i j, clcule A + B t.. Sendo A = e B = -A, determine mtriz X tl que X A = B.. Sendo A = ( ij ) X em que ij = i j e B = (bij) X em que b ij = j i, determine X tl que A + X = B. 7. Sendo A = e B = X Y B X Y A, clcule s mtrizes X e Y no sistem x y 8. Se A = e B = z B t., determine os vlores de x, y e z sbendo que A =

13 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES O produto de um mtriz por outr não é determindo por meio do produto dos seus respectivos elementos. O produto ds mtrizes A = ( ij ) m X p e B = (b ij ) p X n é mtriz C = (c ij ) m X n em que cd elemento c ij é obtido por meio d som dos produtos dos elementos correspondentes d i- ésim linh de A pelos elementos d j-ésim colun B. cd c ij : Vmos multiplicr mtriz A = linh e colun e B = pr entender como se obtém -. c.( ). linh e colun -. 7 c.. linh e colun -. 7.(-). 7 c linh e colun c Assim, A. B =

14 Observe que: NET INFO NÚCLEO DE ENSINO TECNOLÓGICO Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 B. A =. ( ).... (-) = Portnto, A. B B. A, ou sej, pr multiplicção de mtrizes não vle propriedde comuttiv. Vejmos outro exemplo com s mtrizes A = e B = : A.B =. ( ) (-) (-) D definição, temos que mtriz produto A. B só existe se o número de coluns de A for igul o número de linhs de B: A m X p. B p X n = (A. B) m X n = A mtriz produto terá o número de linhs de A (m) e o número de coluns de B (n): se A X e B X, então (A. B) X se A X e B X, então não existe o produto = Exercícios Resolvidos. Clcule o produto de., se existir. Inicilmente, devemos verificr se é possível multiplicr s mtrizes. A mtriz é do tipo X e, do tipo X. Como o número de coluns d é igul o número de linhs d, o produto é possível e mtriz resultnte é do tipo X :

15 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/ (-).... Determine mtriz X tl que X. A = B, sendo A = e B =. Como mtriz X é ftor de um produto, é necessário, inicilmente, determinr o seu tipo. Assim, se X. A X = B X, então X é do tipo X. Logo, X = d c b. Dí: d c b. c d c b D iguldde de mtrizes, temos (II) d c (I) b e c Substituindo = em (I) e c = em (II), vem: + b = b = e + d = d = Logo, X =.. Dd mtriz A =, clcule A A. A A =. - = - Exercícios Propostos. Dds s mtrizes A = 7 e B =, clcule: ) A. B c) A b) B. A d) B B. Sendo A = e B = 7, determine mtriz X tl que A. X = B.

16 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98. Dds s mtrizes A = [- ] e B = ) A. B b) B. A, clcule:. Sendo A =, clcule A + A I.. Sej A = ( ij ) mtriz X rel, definid por ij =, se i j; ij = -, se i > j. Clcule A. MATRIZ INVERSA Dd um mtriz A, qudrd, de ordem n, se existir um mtriz A, de mesm ordem, tl que A. A = A. A = I n, então A é mtriz invers de A. Representmos mtriz invers por A -. Acompnhe o procedimento pr determinr um mtriz invers. Exercícios Resolvidos. Sendo A =, determine su invers, se existir. Existindo, mtriz invers é d mesm ordem de A. Como, pr que exist invers, é necessário que A. A = A. A = I n vmos trblhr em dus etps:. ) Impomos condição de que A. A = I n e determinmos A : b c b d c d - c - b d

17 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 D iguldde de mtrizes, temos: c c d b d b Resolvendo os sistems pelo método d dição, vem: c c c c c = c = Substituindo o vlor obtido pr c em um ds equções do sistem, temos: + c = +. = + = = - = d b d b d b d b d = d = Substituindo o vlor obtido pr d em um ds equções do sistem, temos: b + d = b +. = b = - Assim: A = d c b ) Verificmos se A. A = I : A. A =.. ) (. ) (. -. = I

18 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 Portnto, temos um mtriz A tl que A. A = A. A = I. Assim A é invers de A e pode ser represent por: A - =. Determine, se existir, invers d mtriz A = Se A. A = A. A = I, então A = A -. Vmos verificr se A. A = I : Fzendo A = d c b, vem: d b c d b c d c b. D iguldde de mtrizes, temos: (II) c (I) c c c Comprndo s igulddes (I) e (II), observmos que é impossível obter simultnemente + c = e + c = Logo, o sistem não tem solução e mtriz A não é inversível. Exercícios Propostos. Clcule, se existir, A - em cd cso. ) A = b) A =. Dd mtriz A =, clcule o produto A. A -.

19 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98. Sendo A =, clcule o elemento d mtriz A -.. O produto d invers d mtriz A = pel mtriz I = é igul : ). c) b) d) DETERMINANTES Como vimos, mtriz qudrd é que tem o mesmo número de linhs e de coluns (ou sej, é do tipo n X n). A tod mtriz qudrd está ssocido um número o qul dmos o nome de determinnte. Dentre s váris plicções dos determinntes n Mtemátic, temos: resolução de lguns tipos de sistems de equções lineres; cálculo d áre de um triângulo situdo no plno crtesino, qundo são conhecids s coordends dos seus vértices. : Determinnte de ordem Dd um mtriz qudrd de ordem M = [ ], o seu determinnte é o número rel det M = [ ] = Obs. Representmos o determinnte de um mtriz entre dus brrs verticis, que não têm o significdo de módulo. Por exemplo: M = [] det M = ou = M = [-] det M = - ou = - 7

20 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 Determinnte de ordem Dd mtriz M = M, determinnte de ordem é ddo por: det M =, de ordem, por definição o determinnte ssocido = Portnto, o determinnte de um mtriz de ordem é ddo pel diferenç entre o produto dos elementos d digonl principl e o produto dos elementos d digonl secundári. Vej o exemplo seguir. Sendo M =, temos: det M = =.. = det M = - Exercícios Resolvidos. Clcule o vlor dos determinntes: ) - b), ) - = -.. = = - b), =., (- ) = + = 8 8

21 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98. Clcule o vlor x rel n iguldde x x = x x = x(x +). = x + 9x = x +x = x = x = - ou x = Exercícios Propostos. Clcule o vlor do determinnte ds seguintes mtrizes: ) A = c) C = b) B = d) D =. -. Clcule o vlor dos seguintes determinntes: ) sen 8 c) tg log 8 7 b) log 8 d) cos. Clcule o vlor de x IR ns igulddes: ) x 8 9 x = c) tg x b) cos x log x = d) 8 9

22 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 b b. Se, A = y x e B = A t, então det (A. B) vle: x y ) 8. b). c). d)-. e).. O conjunto solução de x x é: x ) {x IR / x }. b) {,}. c) {}. d) {-} e){} DETERMINATES: REGRA DE SARRUS O cálculo do determinnte de ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denomindo regr de Srrus. Acompnhe como plicmos ess regr pr D = o psso: Repetimos s dus primeirs coluns o ldo d terceir: o psso: Encontrmos som do produto dos elementos d digonl principl com os dois produtos obtidos pel multiplicção dos elementos ds prlels ess digonl ( som deve ser precedid do sinl positivo): + ( + + ) prlel digonl principl 7

23 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 o psso: Encontrmos som do produto dos elementos d digonl secundári com os dois produtos obtidos pel multiplicção dos elementos ds prlels ess digonl ( som deve ser precedid do sinl negtivo): - ( + + ) digonl secundári prlels Assim: =- ( + + ) + ( + + ) Exercícios Resolvidos. Clcule o vlor do determinnte = Clcule o vlor x n iguldde x x Aplicndo regr de Srrus, temos: + + x ( - + x) = x +x = x = ou x = - 7

24 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98. Resolv em IR inequção x x x <. Aplicndo regr de Srrus, temos: + + -(x + x + )< - x x + < Resolvendo inequção do o gru e estudndo o seu sinl, vem: - x x + = x = x = ou x = Então, S = {x IR/ x < - ou x > }. - Exercícios Propostos:. Sendo A =, clcule: ) det A b) det A. Sendo A = ( ij ) X em que ij = i j, clcule det A.. Clcule o vlor dos seguintes determinntes: ) b) sen - log cos - -. Clcule o vlor de x rel: x ) x x x x x c) x 7

25 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 b) x x x x x y. O determinnte ssocido à mtriz y é igul à mior ds rízes d equção x =. Determine o menor vlor de y. SISTEMAS LINEARES Equção Liner Equção liner é tod equção d form x + x + x +... n x n = b em que,,,... n são números reis, que recebem o nome de coeficientes ds incógnits x, x, x,... x n, e b é um número rel chmdo termo independente. Vej lguns exemplos de equções lineres: x y + z = 7 - x + z = t y + As equções seguir não são lineres: xy z + t = 8 x y = t x -y +z = 7 Sistem Liner Um conjunto de equções lineres d form: m x x x x m x x x x m x n x mn n b n x n b x b é um sistem liner de m equções e n incógnits. A solução de um sistem liner é n-upl de números reis ordendos (r, r, r,..., r n ) que é simultnemente, solução de tods s equções do sistem. n m 7

26 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 Mtrizes Associds um Sistem Liner A um sistem liner podemos ssocir s seguintes mtrizes: mtriz incomplet: mtriz A formd pelos coeficientes ds incógnits do sistem. x y z Em relção o sistem: x z 7 mtriz incomplet é: A = x y mtriz complet: mtriz B que se obtém crescentndo à mtriz incomplet um últim colun formd pelos termos independentes ds equções do sistem. Assim, pr o mesmo sistem cim, mtriz complet é: B = 7 Sistems Homogêneos Um sistem é homogêneo qundo todos os termos independentes ds equções são nulos. Vej um exemplo: x y z x y z y A n-upl (,,,...,) é sempre solução de um sistem homogêneo com n incógnits e recebe o nome de solução trivil. Qundo existem, s demis soluções são chmds não triviis, Sistem Norml Um sistem norml qundo tem o mesmo número de equções (m) e de incógnits (n) e o determinnte d mtriz incomplet ssocid o sistem é diferente de zero. Se m = n e det A, então o sistem é norml. 7

27 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 Exercícios Resolvidos:. Verifique quis dos seguintes sistems são normis: x y ) x y z x z x y ) x y z x z m =, n = m = n x y b) y z t w (I) x y z c) x y z x y z 7 x y z c) x y z x y z 7 m =, n = m = n det A = = - (II) det C = De (I) e (II), concluímos que o sistem é norml. Logo, o sistem não é norml. x y b) y z t w m =, n = m n Logo, o sistem não é norml.. Determine k R de modo que o sistem kx y x ky sej norml.. condição: det A k det A = k k k condição: m = n No sistem, o número de equções () é igul o número de incógnits (). Logo, o sistem é norml pr qulquer k rel diferente de. 7

28 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 Exercícios Propostos. Verifique se os sistems são normis. x y z ) x y z x y z x y z 8 b) x y z x y 9. Determine os vlores de k R pr que os sistems sejm normis. ) (k )x y k (k )x y k x y z b) kx y z 7 k x y 9z SISTEMAS LINEARES: RESOLUÇÃO DE SISTEMAS NORMAIS Regr de Crmer Todo sistem norml tem um únic solução dd por: x i = Dx i D em que i {,,, n}, D= det A é o determinnte d mtriz incomplet ssocid o sistem, e D xi é o determinnte obtido pel substituição, n mtriz incomplet, d colun i pel colun formd pelos termos independentes. A regr de Crmer é um instrumento importnte pr resolução de sistems normis. Acompnhe su plicção. Exercícios Resolvidos. Resolv, com o uxílio d regr de Crmer, os seguintes sistems: ) x y 7 x y x y z b) x y z x y z 7

29 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 ) x y 7 x y D = = - = -8 m = n = Como o sistem é norml, podemos utilizr regr de Crmer pr resolvê-lo. Substituindo, n mtriz incomplet, colun formd pelos termos independentes, encontrmos: D x = 7 = - = - Substituindo, gor, C pel colun dos termos independentes, encontrmos: D y = 7 = = -8 Assim: x = D x D D y 8 = y = 8 D 8 Logo, (x, y) = (, ) é solução do sistem ddo. x y z b) x y z x y z D = = m = n = Como o sistem é norml, podemos utilizr regr de Crmer: D x = = D y = = - D z = = Assim: x = D y D x D = y = z z = D D D 77

30 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 Logo, (x, y, z) = (, -, ) é solução do sistem ddo. x y z. Resolv o sistem liner homogêneo x y z x y z m = n = D = = = 9 O sistem é norml, presentndo um únic solução. Ms, como ele tmbém é homogêneo e todo sistem homogêneo tem pelo menos solução trivil (,, ), ess será solução únic. Logo, (x, y, z) = (,, ). Exercícios Propostos. Resolv os seguintes sistems lineres: ) x y x y x y 8z b) x y z x y z x y z 9 c) x y z x y z x y z. Determine o vlor de z no sistem: x y z y z x y z. Determine x, y e z no sistem: x y z x y 78

31 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 CLASSIFICAÇÃO E DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR Clssificção de um sistem qunto o número de soluções Resolvendo o sistem x y 8, encontrmos um únic solução: o pr ordendo (, x y ). Assim, dizemos que o sistem é possível (tem solução) e determindo (solução únic). No cso do sistem x y 8, verificmos que os pres ordendos (, 8), (, 7), (, x y ), (, ), (, ), (, ), são lgums de sus infinits soluções. Por isso, dizemos que o sistem é possível (tem solução) e indetermindo (infinits soluções). Pr x y, verificmos que nenhum pr ordendo stisfz simultnemente s - x y equções. Portnto, o sistem é impossível (não tem solução). Discussão de um sistem liner Se um sistem tem n equções e n incógnits, ele pode ser: ) possível e determindo, se D = det A ; cso em que solução é únic. Exemplo: x y z x y z m n x y z e D = Então o sistem é possível e determindo, tenso solução únic. b) possível e indetermindo, se D = D x = D x = D x = = D x n =, pr n =. Se n, ess condição só será válid se não houver equções com coeficientes ds incógnits respectivmente proporcionis e termos independentes e termos independentes nãoproporcionis. Exemplo: x y z x y z x y z D =, D x =, D y = e D z = 79

32 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 Assim, o sistem é possível e indetermindo, tendo infinits soluções. c) impossível, Se D = e D xi solução. Exemplo: x y z x y z x y z D =, i n; cso em que o sistem não tem =, D x = = Como D = e D x =, o sistem é impossível e não present solução. Exercícios Resolvidos. Verifique pr quis vlores de k o sistem x y x ky é: ) possível e determindo; b) possível é indetermindo. ) O sistem é possível e determindo se D. Assim: k k k b) O sistem é possível e indetermindo se D = D x = D y =. Como D y = = -, então k R tl que o sistem sej possível e indetermindo.. Determine p de modo que o sistem x y px y sej impossível. Pr que o sistem impossível, devemos ter D = e D x ou D y. Assim: D = = p D p x = = 8 = - D y = = p p Como D =, temos: p = p = Sendo D x = -, o sistem é impossível pr p = 8

33 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 Exercícios Propostos x y. Clssifique o sistem x y z x z x y z. Clssifique o sistem x y x y z. Determine pr que vlores de m o sistem x y x y m é: ) impossível; b) possível e indetermindo.. Clssifique os sistems seguir e resolv pens os possíveis e determindos: ) x y x y x y z c) x y z x y z x y z b) x y z x y z x y z d) x y z x y z. O vlor de m pr que o sistem mx y x y sej indetermindo é: ). b). c). d). e). x y z. O sistem x y z x z ) tem um únic solução. b) não tem soluções reis. c) tem três soluções distints. d) tem infinits soluções reis. 8

34 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 SISTEMAS LINEARES: EQUIVALENTES E ESCALONADOS Sistems equivlentes Dois sistems são equivlentes qundo possuem o mesmo conjunto solução. Por exemplo, ddos os sistems: S = x y e S x y 8 = x y x y Verificmos que o pr ordendo (x, y) = (, ) stisfz mbos e é único. Logo, S e S são equivlentes: S ~ S. Proprieddes ) Trocndo de posição s equções de um sistem, obtemos outro sistem equivlente. Por exemplo: S = x y (I) e S x y (II) = x y (I) x - y (II) b) Multiplicndo um ou mis equções de um sistem por um número k (k R * ), obtemos um sistem equivlente o nterior. Por exemplo: S = x y (I) multiplicndo S x - y (II) equção (II) por = x y (I) x - y (II) S S c) Adiciondo um ds equções de um sistem o produto de outr equção desse mesmo sistem por um número k (k R*), obtemos um sistem equivlente o nterior Por exemplo: Ddo S = x y x y por com (II), obtemos: x y S = x y - y - (I) (II) e substituindo equção (II) pel som do produto de (I) S = x y y S ~ S, pois (x, y) = (, ) é solução de mbos os sistems. 8

35 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 Sistems esclondos Utilizmos regr de Crmer pr discutir e resolver sistems lineres em que o número de equções (m) é igul de incógnits (n). Qundo m e n são miores que três, tornse muito trblhoso utilizr ess regr. Por isso, usmos técnic de esclonmento, que fcilit discussão e resolução de quisquer sistems lineres. Dizemos que um sistem, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cd equção, está esclondo se o número de coeficientes nulos ntes do primeiro coeficiente nãonulo ument de equção pr equção. Exemplos: x y z S = y z z x y z t S = y z t z t S = x z y z S = x y z w z w Os sistems S, S, S e S estão n form esclond. Técnic do esclonmento Pr esclonr um sistem dotmos o seguinte procedimento: ) Fixmos como equção um ds que possuem o coeficiente d incógnit diferente de zero. b) Utilizndo s proprieddes de sistems equivlentes, nulmos todos os coeficientes d incógnits ds demis equções. c) Anulmos todos os coeficientes d incógnit prtir d equção. d) Repetimos o processo com s demis incógnits, té que o sistem se torne esclondo. Vmos então plicr técnic do esclonmento. Vej os exemplos: x y z Exemplo : x y z x y z 8

36 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 Trocmos de posição equção com equção, de modo que o o coeficiente de x sej igul : x y z x y z x y z o psso: Anulmos todos os coeficientes d incógnit prtir d equção, plicndo s proprieddes dos sistems equivlentes: x y z x y z x y z (-) x y z 7y z x y z x y z (-) x y z 7y z 7y z x y z 7y z 8 o psso: Anulmos os coeficientes d incógnit prtir d equção: x y z 7y z 7y z 8 (-) x y z 7y z z O sistem está esclondo. Como m = n e últim equção z = - tem solução únic, o sistem é possível e determindo. (I) (II) (III) x y z Exemplo : x y z x y z o psso: Anulmos todos os coeficientes d incógnit prtir d equção: x - y z x y z x y z (-) x - y z y z x y z 8

37 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 x - y z (-) x y z y z y z x y z y z 7 o psso: Anulmos os coeficientes d incógnit prtir d equção: x - y z y z y z 7 (-) x - y z y z z Ao esclonr o sistem, notmos que su últim equção z = - não dmite nenhum (I) (II) (III) vlor rel pr z que stisfç iguldde. Logo, o sistem é impossível. Observção: Sempre que o esclonr um sistem liner encontrrmos um equção do tipo x + x x n = b, com b, o sistem será impossível. x y z Exemplo : x y z x y z o psso: Anulmos todos os coeficientes d incógnit prtir d equção: x y z x y - z x y - z (-) x y z y z x y - z x y z (-) x y z y z y z x y - z y z o psso: Anulmos os coeficientes d incógnit prtir d equção: x y z y z y z (-) x y z y z z O sistem está esclondo e su últim equção z = é verddeir pr qulquer vlor (I) (II) (III) rel de z (infinits soluções). Logo, o sistem é possível e indetermindo. 8

38 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 Observção: Neste último exemplo, suprimindo-se equção z =, teremos: x y z y z Sempre que um sistem n form esclond tiver o número de equções menor que o número de incógnits (m < n), ele será possível e indetermindo. Exemplo : x y z x y z o psso: Anulmos o coeficiente d incógnit prtir d equção: x y z (-) x y z x y z z O sistem está esclondo e o número de equções é menor que o número de incógnits (m < n), então o sistem é possível e indetermindo. Observção: Note que o mesmo sendo z = solução únic, o substituirmos esse vlor em x +y - z =, teremos: x + y z = - x + y =, possuindo ess equção infinits soluções, tornndo ssim o sistem possível e indetermindo. Exercício Proposto Esclone e clssifique os seguintes sistems lineres: x y z ) x y z x y z 7 x y z b) x y z x y z x y z c) x y z x 9y z x 7y d) y x SISTEMAS LINEARES: ESCALONAMENTO Apresentremos neste módulo resolução de lguns sistems lineres plicndo técnic do esclonmento. 8

39 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 Exercício Resolvido Resolv os seguintes sistems: x y z 8 ) x 7y z 9 x y z 7 x y z b) x y z x y 7z x y z c) x y z 9 x y z d) x y z x y z ) Vmos esclonr o sistem: x y z 8 x 7y z 9 x y z 7 (-) x - y z 8 y z x y z 7 (-) x - y z 8 y z y z () x - y y z 8 z 8z A últim equção do sistem esclondo 8z = - tem solução únic e como m = n, o sistem é possível e determindo. Su solução é: -8z = - z =. Substituindo z = em (II), vem: -y. = - -y = - y = Substituindo z = e y = em (I), temos: x. +. = 8 x + = 8 x = - Portnto, x = - y = e z = e S = {(-,, )}. (I) (II) (III) b) Esclonndo o sistem, temos: x y z x y z x y 7z. (-).(-) x y - z y z 7 y z 7 87

40 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 x y - z y z 7 y z Como últim equção do sistem é sempre fls, então o sistem é impossível e S =. c) Vmos esclonr o sistem: x - x x y z y z 9 - y z. (-). (-) x - y z y - z 9 y z 9 x - y z y z y z 9 A últim equção do sistem esclondo é verddeir pr qulquer vlor rel de y e z. Assim, o sistem é possível e indetermindo, dmitindo infinits soluções. Elimindo últim equção do sistem esclondo, temos: x y z y z 9 O sistem está esclondo e m < n. Logo, ele é possível e indetermindo. Pr resolver um sistem indetermindo, procedemos do seguinte modo: Considermos o sistem em su form esclond. Clculmos o gru de indeterminção do sistem nesss condições: GI = n m = = Como o gru de indeterminção é, tribuímos um ds incógnits um vlor, supostmente conhecido, e resolvemos o sistem em função desse vlor. Sendo z = e substituindo esse vlor n equção, obtemos: - y - = 9 y = Substituindo z = e y = n equção, temos: x (- - 9) + = x x = Portnto, S = {(- 7 -, - - 9, )}. 88

41 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 d) Vmos esclonr o sistem: x y z.(-) x y z x y z y z O sistem está esclondo e m < n. Logo, ele é possível e indetermindo. GI = n m = = De mneir nálog o exercício nterior vmos resolver o sistem: z = α - y - α = - - y = α - y = - α x + y +z = x + - α + α = x - α = x = α - Portnto, S = {(α -, - α, α )}. Exercício Proposto Clssifique e resolv os sistems seguir: x y z 9 ) x y z x y z 8 x y z b) x y z x y z x y 7 c) x y x y d) x y z x y z 7 x y e) y x x y f) y z x z CONTEXTOS, APLICAÇÕES INTERDISCIPLINARIDADE Um seção pr você ligr Mtemátic à relidde d vid e d sociedde Mtrizes, Sistems Lineres, Eletricidde e Livros No exemplo vmos clculr s correntes de um circuito elétrico usndo os conceitos mtemáticos de mtrizes e sistems lineres. No exemplo, vmos clculr os preços de três livros de Mtemátic de um determind livrri com sede e dus filiis e novmente esses conceitos devem ser usdos. 89

42 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 Exemplo Esse circuito possui: Dois gerdores de forçs eletromotrizes (fem) E = 7V e E = V e resistêncis interns r = ; Três resistores: R =, R = e R =. Observção: A unidde de medid de fem é o volt (V); unidde de medid de resistênci elétric é o ohm ( ). Resolver um circuito elétrico signific determinr s intensidde ds correntes elétric que nele circulm; unidde de medid d corrente elétric é o mpère (A). Nesse circuito, temos rês correntes, representds por i, i e i. Pr clculr sus intensidde, vmos montr o sistem seguir, que result d plicção ds e leis de Kirchhoff no circuito d figur cim. Observção: Esss lei são vists detlhdmente no estudo de Eletrodinâmic, que pertence à Físic. i i i i - i i i 7 Aplicndo regr de Crmer, temos: D = D i = 7 = - D i = 7 = -8 D i = 7 = - 9

43 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 Assim: i = Di D 7 i = A, i = Di D 8 i = A e i = Di D = i = A Logo, s correntes do circuito são i = 7 A, i = A e i = A Exemplo Um coleção de livros de Mtemátic pr o ensino médio é representd por três livros: M é do o no; M o do o no; M o do o no. As livrris A, B e C, em um reltório sobre s vends diáris, presentm os seguintes resultdos num determindo di: Livrri Totl de vends Vlor totl recebido A M M R$, M B M M R$ 88, M C M M R$ 8, M Com bse nesse reltório, determine os preços dos livros M, M e M. Se M custr x reis, M custr y reis e M custr z reis, teremos o seguinte sistem: x y z x y z 88 x y z 8 9

44 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 Esclonndo o sistem teremos: x y z y z 8 z Assim, z =, y = 8 e x =. Logo, M custrá R$,; M custrá R$ 8, e M custrá R$,. NÚMEROS COMPLEXOS: INTRODUÇÃO, ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Introdução Sbemos que N Z Q R, sendo o conjunto R o mis mplo que conhecemos té gor. Nele não podemos resolver equções do o gru em Δ <, como x + =, x + =, x + x +7 =, isto é, não há solução em R pr esss equções. Durnte muitos séculos esss equções ficrm sem solução té que Rffeli Bombeli, em 7, publicou seu trtdo de Álgebr, flndo sobre rízes qudrds de números negtivos. Assim, começv surgir um novo conjunto, chmdo de conjunto dos números complexos e representndo por C e no qul quels equções (Δ < ) não tinhm solução. Criou- se tmbém o símbolo i (pois esses números erm chmdos imginários) pr ser usdo no lugr de Vmos, então, resolver lgums equções em C pr exemplificr. ) x + = x = - x = x = + i ou x = - i S = {- i, i} b) x + = x = - x = (-) x = i S = {-i, i} c) x x + = 8 i ( i) x = i S = { - i, + i} Números como i, i, -i, +i, i são exemplos de números complexos, ou sej, todo número d form z = +bi ( (, b R e i = ) é um número complexo: 9

45 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 C = {z / z = + bi, R e b R } Sendo prte rel (R) e bi prte imginári (Im). Dess form, podemos escrever N Z Q R C. Observções: ) i = - ) z = + bi é chmdo form lgébric do número complexo. ) Se =, então z = bi, que chmmos de número imginário puro, ou simplesmente, número imginário. ) Se b =, z = é rel. Iguldde de números complexos Dois números complexos são iguis se, e somente têm mesm prte rel e mesm prte imginári: + bi = c + di = c e b = d Adição e subtrção de números complexos Ddos dois números complexos z = + bi e z = c + di, temos por definição: ) z + z = ( +c) + (b + d)i prte rel prte imginári ) z - z = ( - c) + (b - d)i Vej os exemplos: prte rel prte imginári z z = i e z = + i z z = +i e z = - + i z - z ( ) ( ( - ) (-- z z ( ) ( ) 7i z z () ( )i i z z ( ) ( i) i i i ) i ) i 7 i -- 9i Exercícios Resolvidos. Determine p pr que z = (p +7 ) + i sej imginário puro. 7 Devemos ter: = p + 7 = p = - 9

46 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98. Sejm os números complexos z = k + i e z = mi. Determine k e m pr que z + z = (+i). z + z = k + i + mi = (k+ ) + (. m) i = ( + ) = + i R Im R Im Logo, k k 7 m m Exercícios Propostos. Resolv em C s equções: ) x + = b) x +7x + = c) x +x+ =. Encontre de modo que z = ( ) + ( )i sej imginário puro.. Determine os números reis m e n tl que (m + n) + (m n)i = + i.. O número complexo z = x +(x )i é rel se, e somente se: ) x =. b) x. c) x =. d) x. e) x e x.. Determine k e m pr que z z = +i, sendo z = k + mi e z = i.. Se z = + mi e z = + i, obtenh m tl que z z = z i. 7. Sendo z = +i, z = - i e z = i, determine: ) z z z b) z (z z ) NÚMEROS COMPLEXOS: MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO Multiplicção de números complexos Ddos dois números complexos, z = +bi e z = c + di, temos por definição: z z = ( +bi) (c + di) = c + di + bci + bdi = c + di + bci bci bd z z =(c bd) + (d + bc)i. 9

47 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 Exemplos: z = + i e z = i z z = ( + i) (- + i) = - i + i + i = - i + i = -8 + i z = i e z = +i z z = ( - i) ( + i) = + i - i - i = + i - i + = 7 + i Conjugdo Chmmos de conjugdo de z = + bi o número complexo, indicdo por z, tl que: Vej: z = bi z = i z = + i z = + i z = i z = - +i z = - i N prátic, pr obter o conjugdo de um número complexo, trocmos o sinl do coeficiente d prte imginári. Observções: Sendo z = + bi, temos: ) z + z é sempre rel, pois z + z = + bi + bi =. )z - z é sempre imginário puro, pois z - z = + bi ( bi) = +bi + bi = bi. ) z z é sempre rel não-negtivo, pois z z = ( + bi) ( bi) = bi + bi b i = b i = +b. Proprieddes ) Se z = + bi, então z = bi z = bi = + bi: z = z. ) O conjugdo d som é igul à som dos conjugdos: z z = z + z. ) O conjugdo do produto é igul o produto o produto dos conjugdos: z z = z z. n ) O conjugdo de um potênci é igul à potênci do conjugdo: z = n z (n N). 9

48 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 quociente Divisão de números complexos Ddos dois números complexos, z = +bi e z = c + di, pr obter form lgébric do z, z, multiplicmos o numerdor e o denomindor d frção por z z (conjugdo do denomindor). Esse procedimento, lém de não lterr o vlor de z, permite eliminr prte z imginári do denomindor (pois z z é rel), obtendo, desse modo, form lgébric. Observe o exemplo. Sendo z = + i e z = + i, temos: z z i i i i. i i 8 i i 9i 9i 7 i 9 7.i Exercícios Resolvidos. Determine o complexo x tl que ( i) z ( + ) z = 7 + i. Sendo z = + bi, temos z = bi Substituindo n equção, vem: ( + i) ( + bi) ( +i) ( bi)= 7 + i + bi + i b + bi - i b = 7 +i -b + (b ) i = 7 + i b 7 b Resolvendo o sistem, obtemos b = 7 e =. Logo, z = 7. i. Efetue: i ) i b) i i i i ) i ( i)( i) i i i =. i i ( i)( i) i b) i i i i i i i i i i i 7i =.. i i i i i i 9

49 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 i.i Exercícios Propostos. Clcule: ) i i b) i i c) i i d) i i i i. Ddos os números complexos z = + bi e z = i. Como z z =, então z + z é igul : ) 8. b). c) + i. d) + i. e) 8 i. i. A divisão dá como resultdo o número: i ) -.i b). i c) -. I d) ). i e) + i.. O quociente de z = + i por w = + i é: ) + i. b) i. c) i. d). i. e) - i.. Se z = + i e z = + i, clcule: ) z. z. B) z z. Se z = i, z = + i e z = + i, clcule z.z z. NÚMEROS COMPLEXOS: POTÊNCIAS DE i E REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UM NÚMERO COMPLEXO Potênci de i Estudndo s potêncis de i( i n, n N), temos: i = i = i i = (-) = - i = i i 7 = i i = (-) = -i i = - i 8 = i i =. = i = i i = -i i 9 = i 8 i =. i = i 97

50 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 i = i i = -(-) = i = i 8 i = (-) = - i = ii =. i = i i = i i=-. i = -i Então, podemos escrever: i i i i i i i i 7 i i 9 i i 8 i i i i n n (i ) n n i n i i n i.i i n n i i n (-) - (-i) -i Portnto, pr determinr um potênci de i superior, bst dividir o expoente de i por e considerr pens i elevdo o resto dess divisão. Vej: i 9 i 8 i 9 i 9 = i.+ = i 8. i =. i = i 8 i 8 = i = - i = i = -i Representção gráfic de um número complexo Pr representr o número complexo z = + bi num plno (chmdo de Argnd-Guss), mrcmos o coeficiente d prte rel no eixo Ox e o coeficiente d prte imginári no eixo Oy. Vej: R eixo re ( Ox) Im eixo imginário ( Oy) P(, b) imgem geométric ou fixo do complexo z bi Por exemplo, se z = + i e z = - + i, P (, ) é o fixo de z e P (-, ) é o fixo de z. Então, representção desses números é: Módulo O módulo ( z ) de um número complexo é distânci de seu fixo à origem do plno de Argnd-Guss. Assim, se P(, b) e O(, ), temos: 98

51 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 z = d OP = ( ) (b ) z = b Vej lguns exemplos: z = +i z = = z = -i z = ( ) = Argumento Argumento de um número complexo (rg (z)) é o número θ ( θ < ) tl que: sen θ = b z e cos θ = z (z ) O ângulo θ é considerdo no sentido nti-horário, prtir do eixo rel (prte positiv) té encontrr OP. Exercícios Resolvidos i i. Clcule i i = i = - i i 8 = i = 8. i i i 8 i ( i )( i) i i i i i i = - + i i = i = i. Represente grficmente e determine o módulo e o rgumento dos seguintes números complexos: ) z = + i b) w = - i 99

52 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 ) Representção gráfic Módulo z = ( ) = = Argumento: sen θ = b z Como + i está no qudrnte ( < θ < 9 ), então θ =. ) Representção gráfic Módulo w = ( ) = Argumento: Como - i está no qudrnte, 7 < θ <. Assim: cos θ = w θ = Exercícios Propostos. Clcule: ) i 7 b) i i i i c) i 8 i i d) 9 i i i e) 8 i i. A expressão i é equivlente : ) i. b) + i. c) + i. d) i. e) i.. Represente grficmente e determine o módulo e o rgumento dos seguintes números complexos. ) z = +i b) z = - + i c) z = + i. d) z = - + i e) z = -i f) z = g) z = +i h) z = - -

53 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 FORMA TRIGONOMÉTRICA OU POLAR DE UM NÚMERO COMPLEXO Sej um número complexo z = + bi, z. Sendo o ângulo θ em rdinos, temos: cos θ = z = z. cos θ () b sen θ = z b = z. sen θ () Substituindo () em () em z = + bi, temos: z = z.cos θ + i. z. sen θ z = z. (cos θ + i. sen θ ) Que é form trigonométric ou polr de um número complexo. Exercícios Resolvidos. Psse pr form trigonométric ) z = + i b) z = - + i. ) z = + i é um complexo que tem representção gráfic no qudrnte: Assim: z = = cos θ = z = θ rd ( < θ < ) Então: z = z. (cos θ +i. sen θ ) = (cos + i. sen )

54 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 b) z = - + i tem representção gráfic no qudrnte ( rd < θ < rd): Assim: z = ( ) ( ) = = cos θ = z = - Então: θ = rd ( θ ) z = ( cos + i. sen ). Dê form trigonométric de z = ( + i ). ( + i) = +.. i + i = +i = i Logo, ( + i ) = [( + i) ] = (i) = i = - Se z = ( + i) = -, então = - e b =. Logo, su representção gráfic é: Assim, z = ( ) = e θ = rd. Então: z = z (cos θ + i. sen θ ) = (cos + i. sen ) Exercícios Propostos. Psse pr form trigonométric: ) i b) + i c) i d) - e) - -i f) ( i) i g) i

55 Ru Oto de Alencr nº -9, Mrcnã/RJ - tel. -98/-98 i. Ddo z =, determine: i ) seu rgumento e seu módulo; b) form trigonométric de z.. O número complexo i, n form trigonométric, é: ) (cos + i. sen ). b) (cos + i. sen ). c) (cos + i. sen ). d) (cos + i. sen ). e) (cos + i. sen ).. Dê form trigonométric de: ) z = (. i) b) z = ( + i) c) z = i i. O módulo e o rgumento de z = i vlem respectivmente: ) e b) 9 e c) e d) e - e) nd. Qul form trigonométric de um número complexo de módulo e o rgumento θ? 7. Se u = + i e v = + i, então u v é: ). b) c) 9 d) 7. e). 8. O módulo do número complexo ( + i) é : ). b). c) 8. d). e).