Denominamos matriz real do tipo m x n a toda tabela formada por m x n números reais dispostos em m linhas e n colunas. Exemplos:

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1 CONTEÚDO PROGRMÁTICO DE RCIOCÍNIO LÓGICO - CONCURSO D POLÍCI FEDERL Estruturs lógics Lógic de rgumentção: nlogis, inferêncis, deduções e conclusões Lógic sentencil (ou proposicionl): proposições simples e composts; tels-verdde; equivlêncis; leis de De Morgn; digrms lógicos 4 Lógic de primeir ordem Princípios de contgem e proilidde 6 Operções com conjuntos 7 Rciocínio lógico envolvendo prolems ritméticos, geométricos e mtriciis O créscimo dos itens em negrito no recente editl d Políci Federl pr gente e Ppiloscopist pode ter surpreendido muitos cndidtos, principlmente os que crerm nos otos de supressão d disciplin Rciocínio Lógico Pr uxilir os que já vem se preprndo há lgum tempo e form surpreendidos com este créscimo sugiro estudr, conforme ixo, pelo meu livro Mtemátic ásic pr Concursos, pulicdo pel Editor Ferreir, o qul tem muits questões resolvids e comentds, sendo que: O cpítulo tende o item 6 Operções com conjuntos; O cpítulo tende o item 7 Rciocínio Lógico envolvendo prolems ritméticos; O cpítulo 6 tende o item 7 Rciocínio Lógico envolvendo prolems geométricos; O resumo seguir tenderá o item 7 Rciocínio Lógico envolvendo prolems mtriciis Lemrndo que este resumo tmém poderá ser útil pr o próximo concurso d Receit Federl, visto que o ssunto é cordo em Rciocínio Lógico no crgo de uditor Por isso, incluí lgums questões ESF, lém de lgums de testes NPD MTRIZES: Denominmos mtriz rel do tipo m x n tod tel formd por m x n números reis dispostos em m linhs e n coluns Exemplos: elementos 8 ) é um mtriz com linhs e coluns; 4 x π ),4 é um mtriz qudrd de ordem ( linhs e coluns); x 4 ) C 6 9 é um mtriz qudrd de ordem ( linhs e coluns); 8 x Nest últim mtriz vemos que os elementos, 6 e formm digonl principl, enqunto os, 6 e 8 formrão digonl secundári Mtriz qudrd: Como já foi visto nos exemplos nteriores, um mtriz é qudrd qundo o número de linhs e de coluns for igul Diz-se que é um mtriz qudrd de ordem n, onde n é o número de linhs e coluns Mtriz linh: É mtriz formd por um únic linh [ ] x 4 Exemplo: 4 Mtriz colun: É mtriz formd por um únic colun Exemplo: 4 x Mtriz nul: É mtriz em que todos os elementos são iguis zero Exemplo: x T8_Mtrizes-PFdoc Pedro ello Págin

2 Mtriz trnspost: Pr encontrrmos mtriz trnspost de um mtriz qulquer, st trnsformrmos s sus linhs em coluns e sus coluns em linhs c Exemplo: Sej mtriz dd por: ; x x t mtriz trnspost de será dd por: ; c Mtriz simétric: Um mtriz qudrd de ordem n é simétric qundo é igul à su mtriz t trnspost, ou sej, Por exemplo: e t t Portnto mtriz é simétric Mtriz nti-simétric: Um mtriz qudrd de ordem n é nti-simétric se: Por exemplo: t t Mtriz genéric de m linhs e n coluns: n n n Sej mtriz m m m mnmxn Teremos que: é o elemento situdo n ª linh e ª colun; é o elemento situdo n ª linh e ª colun; é o elemento situdo n ª linh e ª colun; n é o elemento situdo n ª linh e n-ésim colun; é o elemento situdo n ª linh e ª colun; é o elemento situdo n ª linh e ª colun; é o elemento situdo n ª linh e ª colun; n é o elemento situdo n ª linh e n-ésim colun; é o elemento situdo n ª linh e ª colun; é o elemento situdo n ª linh e ª colun; é o elemento situdo n ª linh e ª colun; n é o elemento situdo n ª linh e n-ésim colun; m é o elemento situdo n m-ésim linh e ª colun; m é o elemento situdo n m-ésim linh e ª colun; m é o elemento situdo n m-ésim linh e ª colun; mn é o elemento situdo n m-ésim linh e n-ésim colun; t Iguldde entre mtrizes: Dus mtrizes e são iguis se, e somente se, são do mesmo tipo m x n e os elementos correspondentes são iguis Exemplo: ; x Se: ; ; ; ; Então temos x T8_Mtrizes-PFdoc Pedro ello Págin

3 Operções com mtrizes ) dição e Sutrção: Só estão definids pr mtrizes de mesmo tipo m x n 4 Exemplos: Sejm e dus mtrizes dds por e ; Pr efetur som ds dus mtrizes, st somr cd elemento com o seu correspondente n outr mtriz, ou sej:,, e Idem pr diferenç, st sutrir de cd elemento o seu correspondente n outr mtriz ssim: 4 ; ; 7 Vej que, pr som, vle propriedde comuttiv,, o que não ocorre pr diferenç, pois ) Multiplicção por um constnte: Todos os elementos serão multiplicdos pel constnte 6 8 Exemplo: 6 ; ) Produto de dus mtrizes: Condição pr existênci O número de coluns d ª deve ser igul o número de linhs d ª mtriz gerd terá o número de linhs d ª e o número de coluns d ª Exemplos: Suponhmos dus mtrizes e e (existe o produto) x x4 x4 x4 Será dimensão d mtriz resultnte do produto Já o produto, não existirá, pois e / x x4 4 OS: Pr dus mtrizes qudrds sempre existirá o produto Form de efetur o produto: Vmos fzer um exemplo p q Sejm e dus mtrizes dds por e c d r s ( p r) ( q s) ( ) ( cp dr cq ds) T8_Mtrizes-PFdoc Pedro ello Págin

4 st lemrr os elementos d mtriz genéric de um mtriz x e ver que n mtriz resultnte: é o elemento d ª linh e ª colun e será o resultdo d multiplicção d ª linh d primeir mtriz () pel ª colun d segund mtriz () ssim: d c e s r q p ( ) r p é o elemento d ª linh e ª colun e será o resultdo d multiplicção d ª linh d primeir mtriz () pel ª colun d segund mtriz () ssim: d c e s r q p ( ) s q é o elemento d ª linh e ª colun e será o resultdo d multiplicção d ª linh d primeir mtriz () pel ª colun d segund mtriz () ssim: d c e s r q p ( ) dr cp é o elemento d ª linh e ª colun e será o resultdo d multiplicção d ª linh d primeir mtriz () pel ª colun d segund mtriz () ssim: d c e s r q p ( ) ds cq E, portnto, o produto de por será: d c s r q p ( ) ( ) ( ) ( ds cq dr cp s q r p ) 4) Potencição de mtrizes: Só é possível pr mtrizes qudrds de qulquer ordem n, sendo o expoente inteiro e não negtivo st fzer o produto, por exemplo: ; ; 4 e ssim por dinte, logo: x x Vejmos um exemplo numérico: sej Então: ; ; Mtriz Digonl: Qundo são nulos todos os elementos que não pertencem à digonl principl de um mtriz qudrd Por exemplo, pr um mtriz 4x4: 44 Somente os elementos d digonl principl são diferentes de zero T8_Mtrizes-PFdoc Pedro ello Págin 4

5 Mtriz Identidde: É mtriz qudrd de ordem n em que os elementos d digonl principl são iguis e todos os demis são iguis (zero) Exemplos: I ; I I 4 Propriedde: Um propriedde muito importnte é que qulquer mtriz, multiplicd pel mtriz identidde, resultrá nel mesm, ou sej: I n Mtriz Invers: Só existe mtriz invers se, e somente se, o produto d mtriz pel su invers resultr num mtriz identidde, ou sej:, onde n I é mtriz invers d mtriz e é mtriz identidde de ordem n I n Exemplo : Verificr se mtriz é inversível e oter su invers Se existe invers de, seu produto pel mtriz resultrá n mtriz identidde, ou sej, Então, fzemos: I d c Oteremos: c ; c ; d ; d ; Resolvendo o sistem de equções, oteremos c e ; Resolvendo o sistem de equções, oteremos d e ; Otivemos solução pr os sistems, logo existe invers de, dd por Exemplo : Verificr se mtriz é inversível e oter su invers I Fzendo: d c Oteremos: ; ; ; Sistems que não tem solução únic e, portnto, não existe mtriz invers de T8_Mtrizes-PFdoc Pedro ello Págin

6 DETERMINNTES: Determinnte de mtriz x : Dd mtriz, o determinnte de é o número, que x vmos representr por det Tmém indicmos: det Exemplo: Se, então det ( ) 4 Determinnte de mtriz x : Se é um mtriz qudrd de ordem, dd por determinnte de como: x, definimos o ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) seguir Um mneir prátic de efetur ess operção é plicndo Regr de Srrus, como podemos ver Regr prátic de Srrus: Dd mtriz qudrd de ordem : ) Repetimos s dus primeirs coluns à direit d mtriz; ) Multiplicmos os três elementos d digonl principl ( ) e os ds digonis à direit d principl Os produtos otidos nesss digonis terão o sinl positivo; T8_Mtrizes-PFdoc Pedro ello Págin 6

7 ) Multiplicmos os três elementos d digonl secundári ( ) e os ds digonis à direit dest Os produtos otidos nesss digonis terão o sinl negtivo; 4) Sommos os seis produtos otidos, considerndo os sinis, pr oter o determinnte d mtriz ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 Exemplo: Clculr o determinnte d mtriz 6 plicndo Regr de Srrus, ficmos com: Resolvendo: det ( ) ( 4 6 ) ( ) ( ) ( 6 ) ( 4) det Proprieddes dos Determinntes: Em tods s situções ixo, considerremos mtrizes qudrds de ordem n > Se I n é mtriz identidde, então: det(i n ) Se N é um mtriz nul, então: det(n) Se um linh (ou colun) d mtriz for nul, então: det() 4 mtriz em como su trnspost t, possuem o mesmo determinnte de, isto é: det( t ) det() Se é mtriz otid pel multiplicção de um linh (ou colun) d mtriz por um esclr k, então: det() k det() T8_Mtrizes-PFdoc Pedro ello Págin 7

8 6 Se k, onde k é um esclr, então: det() k n det() 7 Se é mtriz otid pel troc de dus linhs (ou coluns) de, então: det() - det() 8 Se tem dus linhs (ou coluns) iguis, então: det() 9 Se diferenç entre os elementos de dus linhs (ou coluns) de um mtriz é um mesm constnte, então: det() Se um linh (ou colun) de for múltipl de um outr linh (ou colun) de, então: det() o fixr tods s linhs (ou coluns) de um mtriz exceto um dels, o determinnte de será um função liner d linh (ou colun) não fixd d mtriz o multiplicr (ou dividir) um linh (ou colun) de um mtriz por um número rel k, o determinnte d mtriz será multiplicdo (ou dividido) por k O determinnte d mtriz-produto de dus mtrizes qudrds de mesm ordem é igul o produto dos deteminntes ds mtrizes e det() det() det() 4 Determinnte d mtriz invers: det( ) det() Verific-se então que, um mtriz qudrd será inversível se, e somente se, det() e não inversível se det() T8_Mtrizes-PFdoc Pedro ello Págin 8

9 QUESTÕES DE CONCURSOS RESOLVIDS E COMENTDS: ) [TESTE NPD-996] som dos elementos d digonl principl d mtriz resultnte do produto ds mtrizes 4 4 e vle: ) ) C) D) E) Resolução comentd: s dus mtrizes são qudrds (x), portnto conforme oservção n págin : Pr dus mtrizes qudrds sempre existirá o produto ssim, o produto será seguinte mtriz (genéric): x gor é só rciocinr que, nest mtriz resultnte: é o resultdo do produto d ª linh d ª mtriz com ª colun d ª mtriz; é o resultdo do produto d ª linh d ª mtriz com ª colun d ª mtriz; é o resultdo do produto d ª linh d ª mtriz com ª colun d ª mtriz; é o resultdo do produto d ª linh d ª mtriz com ª colun d ª mtriz; é o resultdo do produto d ª linh d ª mtriz com ª colun d ª mtriz; é o resultdo do produto d ª linh d ª mtriz com ª colun d ª mtriz; é o resultdo do produto d ª linh d ª mtriz com ª colun d ª mtriz; é o resultdo do produto d ª linh d ª mtriz com ª colun d ª mtriz; é o resultdo do produto d ª linh d ª mtriz com ª colun d ª mtriz; Portnto, teremos como produto: [( ) ( ) ( ( ) )] [( ) ( ) ( ) ] [( ( ) ) ( ) ( ( ) )] [( ) ( ) ( 4 ( ) )] [( ) ( ) ( 4 ) ] [( ( ) ) ( ) ( 4 ( ) )] [( ) ( 4 ) ( ( ) )] [( ) ( 4 ) ( ) ] ( ( ) ) ( 4 ) ( ( ) ) ( ) ( 6) ( 9 4) 9 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] mtriz resultnte do produto ds mtrizes som dos elementos d digonl principl dess mtriz será: Grito: Letr E T8_Mtrizes-PFdoc Pedro ello Págin 9

10 ) [TESTE NPD-998] Dds s mtrizes e, som dos elementos d digonl principl d mtriz C x é igul : ) ) C) D) E) 4 Resolução comentd: É o mesmo rciocínio d questão nterior mtriz resultnte do produto será: ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 6 som dos elementos d digonl principl dess mtriz será: 8 Grito: Letr ) [TESTE NPD-]: Dds s sentençs: I Se e são mtrizes x6 e 6x7 respectivmente, então é um mtriz x7 e não existe II Se e são mtrizes x e x respectivmente, então é x e é x III Se e são mtrizes qudrds de ordem, então e tmém são mtrizes qudrds de ordem IV, e C são mtrizes x, x e x respectivmente, então C() é um mtriz x ssim sendo, os vlores (V, se verddeiro e F, se flso) ds sentençs formm seguinte seqüênci: ) V, V, F, F ) F, F, V, V C) F, V, V, F D) F, F, F, F E) V, F, V, F Resolução comentd: sentenç I é VERDDEIR Existirá o produto, pois o número de coluns d mtriz (6 coluns) é igul o número de linhs d mtriz (6 linhs); mtriz resultnte terá o número de linhs de ( linhs) e o número de coluns de (7 linhs) O produto não existirá, é 6x7 e é x6 (7 ); sentenç II é FLS O produto será x, ms o produto seri x, e não x; sentenç III é VERDDEIR Se e são mtrizes qudrds de ordem, existirão os produtos e, resultndo mos em mtrizes qudrds x; sentenç IV é FLS Sendo mtriz um mtriz x e mtriz um mtriz x, o produto resultrá num mtriz x Ms o produto d mtriz C (x) pelo produto resultnte d por não existirá, pois o número de coluns d mtriz C ( colun) é diferente do número de linhs d mtriz ( linhs) Grito: Letr E T8_Mtrizes-PFdoc Pedro ello Págin

11 4) [ESF - SERPRO-nlist-] Genericmente, qulquer elemento de um mtriz M pode ser representdo por m ij, onde i represent linh e j colun em que esse elemento se locliz Um mtriz S s ij, de terceir ordem, é mtriz resultnte d som ds mtrizes ( ij ) e ( ij ) Sendo-se que ( ij ) i j e que ij (i j), então rzão entre os elementos s e s é igul : () / () / (C) / (D) 4/ (E) Resolução comentd: mtriz genéric d mtriz será: seguintes vlores numéricos pr : mtriz genéric d mtriz será: x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ( ) e pel lei de formção, dd por i j, teremos os os seguintes vlores numéricos pr : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 x e pel lei de formção, dd por (i j), teremos x s s s s s mtriz S, resultnte d som ds mtrizes e será: S s s s s x s 6 Portnto, s 6 Grito: Letr E x x ) [ESF - FC-] De form generlizd, qulquer elemento de um mtriz M pode ser representdo por m ij, onde i represent linh e j colun em que esse elemento se locliz Um mtriz S s ij, de terceir ordem, é mtriz resultnte d som entre s mtrizes ( ij ) e ( ij ), ou sej, S Sendo-se que ( ij ) i j e que ij (i j), então som dos elementos d primeir linh d mtriz S é igul : () 7 () 9 (C) 4 (D) 46 (E) 8 Resolução comentd: s leis de formção de e são s mesms d questão nterior e mtriz S é som de e, ou sej: S som dos elementos d primeir linh d mtriz será: Grito: Letr D x T8_Mtrizes-PFdoc Pedro ello Págin

12 6) [ESF - FC-] Genericmente, qulquer elemento de um mtriz M pode ser representdo por m ij, onde i represent linh e j colun em que esse elemento se locliz Um mtriz X x ij, de terceir ordem, é mtriz resultnte d som ds mtrizes ( ij ) e ( ij ) Sendo-se que ( ij ) i e que ij (i j), então o produto dos elementos x e x é igul : () 6 () 8 (C) 6 (D) 6 (E) 69 Resolução comentd: mtriz genéric d mtriz será: e pel lei de formção, dd por i, teremos os x seguintes vlores numéricos pr : x mtriz genéric d mtriz será: x x os seguintes vlores numéricos pr : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e pel lei de formção, dd por (i j), teremos x x x x x x mtriz X, resultnte d som ds mtrizes e será: X x x x x x O produto dos elementos x e x será: 6 Grito: Letr D 4 4 x 4 9 x 7) [ESF - MPU-Técnico dministrtivo-4] Sejm s mtrizes e 4 e sej x ij o elemento genérico de um mtriz X tl que X () t, isto é, mtriz X é mtriz trnspost do produto entre s mtrizes e ssim, rzão entre x e x é igul () () (C) (D) / (E) / Resolução comentd: mtriz é um mtriz x e mtriz é x4 Logo, o produto será um mtriz x4, conforme ixo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6) ( 6 ) ( 8 8) ( 4) mtriz X, trnspost de será: ( ) ( ) ( ) ( ) x4 x4 T8_Mtrizes-PFdoc Pedro ello Págin

13 8 6 X () t 8 6 e rzão entre x e x é igul : Grito: Letr 4X senx cos x 8) [TESTE NPD-]: Considere mtriz e s seguintes proposições: cos x senx I Se Pris está n Frnç então o determinnte de é igul (zero) II Se Pris está n Inglterr então o determinnte de é igul (um) III Se Pris está n Frnç, então o determinnte de é igul (um) IV Se Pris está n Inglterr, então o determinnte de é igul (zero) Então, entre s qutro proposições cim, o rol completo d(s) proposição(ões) CORRET(S) é: ) I ) II C) III e IV D) I, II e III E) II, III e IV Resolução comentd: O primeiro psso é verificr o vlor do determinnte d mtriz, pr podermos verificr se são verddeiros (V) ou flsos (F) os conseqüentes ds qutro proposições condicionis ssim, det senx senx cos x ( cos x) sen x cos x Ms, como semos, Relção Fundmentl d Trigonometri (RFT), nos diz que: sen x cos x Logo, det e temos ns proposições: I) Verdde que Pris está n Frnç e Flso que det Portnto: V F F; II) Flso que Pris está n Inglterr e Verdde que det Portnto: F V V; III) Verdde que Pris está n Frnç e Verdde que det Portnto, V V V; IV) Flso que Pris está n Inglterr e Flso que det Portnto, F F V; Grito: Letr E 9) [ESF - PO-] O menor complementr de um elemento genérico x ij de um mtriz X é o determinnte que se otém suprimindo linh e colun em que esse elemento se locliz Um mtriz Y y ij, de terceir ordem, é mtriz resultnte d som ds mtrizes ( ij ) e ( ij ) Sendo-se que ( ij ) (i j) e que ij i, então o menor complementr do elemento y é igul : () () 8 (C) 8 (D) 8 (E) 8 Resolução comentd: Já conhecemos (ds questões 4 e ) o resultdo d mtriz dd pel lei de formção (i j) Portnto, x T8_Mtrizes-PFdoc Pedro ello Págin

14 Já conhecemos (d questão 6) o resultdo d mtriz dd pel lei de formção i Portnto, x 7 mtriz Y x O menor complementr do elemento y será: det Grito: Letr C ) [ESF - GEFZ-MG-] Considere dus mtrizes de segund ordem, e, sendo que /4 Sendo que o determinnte de é igul /, então o determinnte d mtriz é igul : () / () (C) /4 (D) / (E) Resolução comentd: Oservemos propriedde nº 6 dos determinntes que diz: Se k, onde k é um esclr, então det() k n det() Como /4, e ms são mtrizes de ª ordem (n ), então det() ( ) det() Ms, det() / Então, det() Grito: Letr E 4 det() ) [ESF - MPU-Técnico-Consultório Dentário-4] Considere s mtrizes X 4 6, 7 Y 6 c onde os elementos, e c são números nturis diferentes de zero Então, o determinnte do produto ds mtrizes X e Y é igul () () (C) c (D) (E) c Resolução comentd: Não há necessidde de fzer o produto ds dus mtrizes st oservr que, pel propriedde nº dos determinntes, se um linh (ou colun) de um mtriz for múltipl de outr linh (ou colun) d mesm mtriz, o determinnte será igul zero Isto ocorre n mtriz X, pois ª linh é múltipl d ª Portnto, det X Pel propriedde nº dos determinntes, temos que: det(xy) det(x)det(y) Como o determinnte de X é igul zero, teremos: det(xy) det(y) Grito: Letr T8_Mtrizes-PFdoc Pedro ello Págin 4

15 QUESTÃO CESPE (nº ) d prov pr o Crgo 6-Técnico Qulificção: Operção de Redes - SERPRO, plicd em // Considere s seguintes proposições: : Se M é um mtriz qudrd e o determinnte de M (det M) é diferente de zero, então mtriz trnspost de M, M T, é inversível : Se M e N são mtrizes qudrds de mesm ordem e det [M N], então nenhum desss mtrizes é inversível C: Se M e N são mtrizes qudrds de mesm ordem e det [M N], então um mtriz é, necessrimente, mtriz invers d outr D: Se M é um mtriz qudrd qulquer, então det [ M] det M Nesse cso, é correto firmr que pens dus desss proposições são V Resolução comentd: proposição é VERDDEIR Pel propriedde nº 4, um mtriz e su trnspost possuem o mesmo determinnte Se det M, o determinnte d mtriz trnspost de M, M T, tmém será diferente de zero e, nesse cso, ms serão inversíveis; proposição é FLS condição pr que um mtriz sej inversível é que seu determinnte sej diferente de zero Pel propriedde nº, semos que det(mxn) det M x det N Se pens um ds mtrizes (M ou N) tiver determinnte igul zero el não será inversível e o determinnte do produto tmém será zero Portnto, não é necessrimente verddeiro que nenhum ds mtrizes é inversível, pois um dels pode ser inversível e mesmo ssim o det (MxN) sej igul zero; proposição C é FLS O produto do determinnte de um mtriz pelo determinnte d su invers sempre será igul (vide propriedede nº 4) Ms o fto do determinnte do produto ser igul não grnte que M e N sejm inverss; proposição D é FLS Pel propriedde nº 6, se M está sendo multiplicdo pelo esclr, o determinnte de M será n det M e não det M Portnto, pens um ds proposições será V e o item está ERRDO Grito oficil: Errdo OS PROVS E ONS ESTUDOS todos! proveito oportunidde pr solicitr os que me envirm e-mil n ª quinzen de ril/, que me reenviem Tive um proleminh em meu correio e perdi lguns e-mils ntecipdmente grdeço T8_Mtrizes-PFdoc Pedro ello Págin