APONTAMENTOS ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

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1 UNIVERSIDDE DO LGRVE ESCOL SUPERIOR DE TECNOLOGI PONTMENTOS ÁLGEBR LINER E GEOMETRI NLÍTIC (I Mtrizes) ÁRE DEPRTMENTL DE ENGENHRI CIVIL

2 Mtrizes Índice Mtrizes Definição e generliddes Álgebr ds mtrizes 4 3 Dependênci e independênci de linhs e coluns de um mtriz 9 4 Crcterístic de um mtriz 4 5 Inversão de mtrizes 9

3 Mtrizes Mtrizes Definição e generliddes informção em ciêncis e, em prticulr, n mtemátic é muits vezes orgnizd em linhs e coluns que formm tbels de ddos Esss tbels podem ser presentds em form de mtrizes Um exemplo são s tbels de contingênci ( m n ) onde s frequêncis observds se distribuem por m linhs e n coluns seguinte tbel com três linhs e sete coluns descreve o número de hors que um estudnte despende estudr três disciplins durnte um determind semn: ª feir 3ª feir 4ª feir 5ª feir 6ª feir Sábdo Domingo Álgebr nálise I Fisic 4 3 prtir dest últim, suprimido os cbeçlhos, podemos construir seguinte tbel ( 3 ), denomind mtriz: Por outro ldo, pesr ds mtrizes serem muits vezes tbels de ddos numéricos que resultm de observções físics, podem ocorrem em diferentes contextos mtemáticos Por exemplo, como veremos, tod informção necessári pr resolver o sistem de equções 5x + y 3 x y está contid n mtriz 5 3, solução do sistem é obtid relizndo operções proprids n mtriz Neste contexto, s mtrizes são prticulrmente importnte no desenvolvimento de progrms computcionis pr se resolverem sistems de equções lineres Contudo, s mtrizes não são pens um ferrment utilizd pr este propósito, ests podem ser vists como objectos mtemáticos por direito, existindo um vst e importnte teori que lhes est ssocid que tem um grnde vriedde de plicções /

4 Mtrizes Definição: Dá-se o nome de mtriz o qudro onde ( m n ) elementos (números ou expressões) se distribuem, ordendmente, segundo m linhs e n coluns, e represent-se por: n n m m mn ( m n) ou, brevidmente: ( m n) [ ij ], i,,, m e j,,, n Generliddes: ) ij design-se por elemento genérico, os números i e j dá-se o nome de índices nturis, o primeiro represent ordem d linh e o segundo ordem d colun; b) Cso m n mtriz diz-se rectngulr (mtriz tipo ( m n )), cso m n mtriz diz-se qudrd (mtriz tipo ( n n ) ou de ordem n), ests últims são prticulrmente importntes c) De entre s mtrizes rectngulres há destcr mtriz linh e mtriz colun, [ ] 3 n e ( n) B b b b 3 b m ( m ), respectivmente d) Num mtriz qudrd dá-se o nome de elementos principis os elementos ij, em que i j ( ii ) Eles formm digonl principl, que vi do cnto superior esquerdo o cnto inferior direito Digonl secundári ( n n) Digonl principl /

5 Mtrizes e) Os elementos que se distribuem simetricmente em relção à digonl principl chmm-se elementos opostos O elemento ij é oposto do elemento ji Por exemplo, n mtriz (3 3), , os elementos e são opostos Cso ij, i j, mtriz diz-se simétric ji f) Sejm e B dus mtrizes do mesmo tipo (têm o mesmo número de linhs e de coluns), B ij b ij, isto é: dus mtrizes só podem ser iguis se forem do mesmo tipo e os seus elementos homólogos iguis Obs: Elementos homólogos de dus mtrizes são os elementos com índices iguis g) Mtriz tringulr Dá-se o nome de mtriz tringulr à mtriz qudrd cujos elementos situdos de um dos ldos d digonl principl são todos nulos e entre os elementos do outro ldo há pelo menos um que não é nulo ssim sendo temos dois tipos de mtrizes tringulres, mtriz tringulr superior e mtriz tringulr inferior Exemplificndo com mtrizes do tipo (3 3): mtriz tringulr superior: b c e ; e mtriz tringulr inferior: d d b h) Mtriz digonl É mtriz qudrd ( ) [ ] em que; se i j e Exemplificndo com um mtriz do tipo (3 3), n n D b De entre s mtrizes digonis há que destcr s seguintes: Mtriz Identidde, é mtriz digonl que os elementos d digonl principl são todos e represent-se por, I Por exemplo: I 3 ; ij ij ij 3/

6 Mtrizes Obs: Pr dr ênfse à dimensão d mtriz identidde escreve-se I ( n n), ou pens I n, um vez que mtriz é qudrd Mtriz Esclr, é mtriz digonl n qul os elementos d digonl principl são todos iguis, ms diferentes de e de Por exemplo: E i) Mtriz Nul, é mtriz formd pens por zeros Por exemplo: O (3 3) Obs3: Se for importnte dr ênfse à dimensão d mtriz nul, escreve-se O ( m n) Álgebr ds mtrizes Nest secção vmos definir s seguintes operções com mtrizes: som de mtrizes, multiplicção de um mtriz por um esclr, multiplicção de mtrizes e trnsposição de mtrizes Definição: Dds dus mtrizes ( m n) e B ( m n), do mesmo tipo, define-se som ds dus mtrizes, como sendo mtriz C + B, tl que o elemento genérico cij ij + bij, i,, m e j,, n ; ou sej, mtriz C obtém-se somndo os elementos homólogos ds mtrizes e B Clro que, se e B são do tipo ( m n ) então tmbém C + B é do tipo ( m n ) Exemplo: Some s seguintes mtrizes (3 ) e 3 B 5 (3 ) Resolução: som (dição) ds dus mtrizes é possível porque são mbs do mesmo tipo ( 3 ), C + B 3 3, que continu ser um mtriz (3 ) 6 4 4/

7 Mtrizes Proprieddes d som de mtrizes dmitindo que dimensão ds mtrizes envolvids permite que s operções indicds possm ser efectuds, então são válids s seguintes regrs: i) ssocitividde, + ( B + C) ( + B) + C ; ii) Comuttividde, + B B + ; iii) Elemento neutro, + O O + (O mtriz nul) ; iv) Elemento simétrico, + ( ) ( ) + O ; v) O ; vi) B e C D então + C B + D Repre-se que s proprieddes d dição de mtrizes são idêntics às d dição em Definição3: multiplicção de um mtriz por um esclr λ é um nov mtriz, do mesmo tipo, cujo elemento genérico é: λ ij Ou sej, multiplic-se um mtriz por um esclr multiplicndo todos os seus elementos por esse esclr, λ [ λ ij ], i,, m e j,, n Exemplo: Sendo (3 ) e λ, então: λ (3 ) (3 ) Proprieddes d multiplicção de um mtriz por um esclr dmitindo que dimensão ds mtrizes e B permite que s operções possm ser efectuds, então, pr λ, µ, são válids s seguintes regrs: i) Distributividde, λ( + B) λ + λb ; ii) Distributividde, ( λ + µ ) λ + µ ; iii) ssocitividde, λ ( µ ) ( λµ ) ; iv) ; v) B λ λb Definição4: Dds s mtrizes, ( m n) e B ( p q), o produto de mtrizes B existe se n p e o seu resultdo é mtriz C do tipo ( m q ) cujo elemento genérico é c ik, o qul se obtém multiplicndo linh i d mtriz (primeir mtriz), pel colun k d mtriz B (segund mtriz) 5/

8 Mtrizes Um vez que, multiplicção de mtrizes envolve multiplicção de (linhs d ª mtriz) (coluns d ª mtriz), torn-se necessário que o número de elementos ds linhs d ª mtriz (n nº de coluns) coincid com o número de elementos ds coluns d ª mtriz (p nº de linhs) Em resumo: Por exemplo, 3 b b c c B b b c c C b b c c (3 3) (3 ) 3 (3 ) , pr clculr c multiplic-se ª linh ( 3) d mtriz pel ª colun (3 ) d mtriz B, obtendo-se um mtriz ( ), ou sej, um esclr, b c [ 3 ] b ( 3) ( b b 3 b3 ) + + b 3 (3 ) Por rciocínio nálogo clculm-se os restntes elementos de C, n ik ijb jk j c Exemplo3: Sej 3 5 ( 3) e B 3 3 (3 ) clcule o produto: C B Resolução: O produto existe porque o número de coluns d ª (mtriz ) coincide com o número de linhs d ª (mtriz B) e o resultdo é um mtriz do tipo ( ), ( 3) B(3 ) C( ) Os elementos d mtriz C são clculdos d mneir seguinte: c (linh dªmtriz) (colun d ª mtriz) c (linh dªmtriz) (colun d ª mtriz) ( ) c (linh dªmtriz) (colun d ª mtriz) + + ( ) 3 c (linh dªmtriz) (colun d ª mtriz) ( ) + + ( ) 3 4 logo: C B ( 3) ( ) (3 ) Exercício: Clcule B e conclu qunto à comuttividde d multiplicção de mtrizes 6/

9 Mtrizes Exemplo4: n e o Crlos plneim comprr frut pr tod semn Cd um deles quer comprr lgums mçãs, tngerins e lrnjs, porém em quntiddes diferentes tbel ilustr o que pretendem comprr em kg Ns proximiddes existem dus merceris de frut Beinh e Vnd cujos preços em euros estão presentdos n tbel Qunto gstrão n e o Crlos pr fzerem s sus comprs em cd um ds merceris Tbel Quntiddes em kg de frut Mçãs Tngerins Lrnjs n 6 3 Crlos Tbel Preços ns dus merceris Beinh Vnd Mçã,6,65 Tngerin,, Lrnj,,5 Resolução: Se n comprr à d Beinh, gstrá 6, 6 + 3,3 +, 6,5 euros, se comprr à d Vnd gstrá 6, , +, 5 7, euros O Crlos, à d Beinh gstrá, 4, 6 + 8, 3 + 5, 5,8 euros, e à d Vnd, gstrá 4,65 + 8, + 5, 5 5, 45 euros Provvelmente, n frá s sus comprs à d Beinh e o Crlos à d Vnd form (produto esclr) dos cálculos e mneir como os ddos estão presentdos ns tbels sugere que multiplicção de mtrizes funcion qui Se orgnizrmos s informções dds num mtriz de intenções de compr, C, e num mtriz de preços, P, teremos 6 3 C ( 3) e,6,65 P,3,,, 5 (3 ) Os cálculos efectudos em cim são equivlentes,6, ,5 7, C P,3, ,8 5, 45, ( 3),, 5 (3 ) que podem ser orgnizdos n tbel Tbel3 Gstos ns dus merceris Beinh Vnd n 6,5 7, Crlos 5,8 5,45 7/

10 Mtrizes Proprieddes d multiplicção de mtrizes dmitindo que dimensão ds mtrizes envolvids permite que s operções indicds possm ser efectuds, então são válids s seguintes regrs: i) ssocitividde, ( B) C ( B C) ; ii) Não comuttividde, pode existir B ms não B, ou existirem ms serem diferentes; iii) Distributividde em relção à dição de mtrizes, ( B + C) B + C e ( B + C) B + C ; iv) λ( B) ( λ ) B ( λb), λ ; v) O O e O O ou ( n n) O O ( n n) O (mtriz nul); vi) I e I ou ( n n) I I ( n n) ( n n) ( mtriz identidde I é o elemento neutro); vii) viii) k ; ( k > ) desde que sej qudrd; k vezes I (mtriz identidde) Definição5: Chm-se mtriz trnspost de um mtriz ( m n) à mtriz que del se obtém trocndo, T ordendmente, s linhs com s coluns, e represent-se por ( n m) 3 5 T Exemplo5: mtriz trnspost d mtriz é: 3 ( 3) 5 (3 ) Proprieddes d trnsposição de mtrizes dmitindo que dimensão ds mtrizes permite que s operções indicds possm ser efectuds, então são válids s seguintes regrs: i) ( T ) T ; ii) ( λ ) T λ T (λ constnte); iii) ( T ) k ( k ) T ; iv) ( + B) T T + B T ; v) ( B) T B T T ; T T T T vi) ( B X ) X B Obs4: Num mtriz qudrd se T é simétric 8/

11 Mtrizes Definição6: Chm-se trço de um mtriz qudrd à som dos elementos d digonl principl, tr( ) n ii i Proprieddes do trço de um mtriz dmitindo que dimensão ds mtrizes permite que s operções indicds possm ser efectuds, então são válids s seguintes regrs: i) tr( + B) tr( ) + tr( B) ; ii) tr( α ) αtr( ) ; iii) tr( B) tr( B) ; T iv) tr( ) tr( ) 3 Dependênci e independênci de linhs e coluns de um mtriz Considere-se mtriz do tipo ( m n ), linhs d mtriz por, n n m m mn ( m n) Representndo s m [ ] [ ] [ ] L, L,, L, n ( n) n ( n) m m m mn ( n) chm-se combinção liner ds m linhs qulquer expressão do tipo: em que λ, λ,, λm L λ L + λ L + + λm Lm (mtriz linh), Considere-se, gor, mtriz linh nul L [ ] L + λl + + λm Lm L λ É, então, possível construir equção Há dois csos considerr, pr s soluções d equção nterior: º cso: únic mneir de obter linh nul é fzer λ λ λ m n combinção liner Neste cso, s linhs dizem-se linermente independentes (LI) º cso: linh nul pode ser obtid d combinção liner nterior, sem ser necessário considerr zeros todos os esclres λ i Neste cso, s linhs dizem-se linermente dependentes (LD) 9/

12 Mtrizes Conclusão: Se: λ L + λl + + λ m Lm L λ λ λ m s linhs d mtriz dizem-se linermente independentes, cso contrário (cso se poss obter linh nul L sem ser necessário considerr zeros todos os esclres λ i ) s linhs dizem-se linermente dependentes Exemplo6: Estude mtriz qunto à dependênci liner ds sus linhs Resolução: Sendo mtriz (3 3), devemos resolver equção λ L + λ L + λ3 L3 L, visndo encontrr os λ, λ, λ3, pr o quis equção nterior se verifique, [ ] + [ 3 4] + [ 3 6 6] [ ] [ λ λ λ ] [ 3λ λ 4λ ] [ 3λ3 6λ3 6λ3 ] [ ] [ λ 3λ 3λ λ λ 6λ λ 4λ 6λ ] [ ] λ λ λ dest iguldde result o seguinte sistem λ + 3λ + 3λ3 λ λ + 6λ3 λ λ 3λ3, λ3 λ + 4λ 6λ 3 O sistem é possível e indetermindo, tem tnts soluções quntos os vlores tribuídos λ 3, por exemplo, pr λ3 λ 3 Portnto, equção é stisfeit pr λ 3, λ e λ 3 ssim, pr λ i não simultnemente nulos verific-se iguldde e, consequentemente, s linhs são linermente dependentes E, λ L 3λ3 L3 L λ L 3λ3 L3, L é combinção liner de L 3 Repre-se que equção λ L + λ L + λ3 L3 L, do exercício nterior, é equivlente à equção 3 λ λ λ [ ] [ ] 3 ( 3) 3 ( 3) (3 3) O que pode ser estendido mtrizes do tipo ( n m) O mesmo rciocínio pode plicr-se às coluns d mtriz ssim, se combinção liner ds coluns de coincide com colun nul, pens qundo todos os esclres forem nulos ( λ i ) /

13 Mtrizes então s coluns de são LI Por outro ldo, se for possível obter colun nul sem ser necessário utilizr pens esclres nulos, s coluns serão LD nliticmente, sendo C, C,, C n s coluns de e C colun nul : se C m, C m,, C n n n mn e C, λc + λc + + λncn C λ λ λn, s coluns d mtriz são LI Cso contrário são LD Exemplo7: Estude mtriz qunto à dependênci liner ds sus coluns Resolução: Temos que clculr λ, λ, λ3 tl que λc + λc + λ3c3 C, λ λ λ3 λ + λ + λ3 λ 4 λ λ 3 3 4λ λ 3λ 3 4λ λ 3λ λ 6λ λ λ + 6λ λ 3 3 donde λ + λ + λ3 4λ + λ + 3λ λ λ λ 3 3 λ + 6λ λ3 O sistem é possível e determindo, dmite como solução únic ( equção é stisfeit pens se) λ λ λ3 ssim, um vez que todos os λ i são simultnemente nulos s coluns d mtriz são linermente independentes Repre-se que equção λc + λc + λ3c3 C, do exercício nterior, é equivlente à equção 3 λ 3 λ λ (3 3) 3 (3 ) (3 ) nlogmente pr mtrizes do tipo ( n m) /

14 Mtrizes De um modo gerl, s fils de um mtriz dizem-se linermente independentes qundo nenhum dels se pode escrever como combinção liner ds restntes e linermente dependente qundo lgum dels se pode escrever como combinção liner ds demis Proprieddes d dependênci/independênci liner ds fils de um mtriz i) Se um ds linhs L, L,, L,, L é formd pens por zeros, então s linhs são linermente dependentes (idem pr s coluns); i m ii) Se lgums ds linhs L, L,, L i (i < m ) são linermente dependentes, então tods o serão (idem pr s coluns); iii) dependênci ou independênci liner ds linhs (coluns) de um mtriz, não se lter se trocrmos ordem desss linhs (coluns); iv) Se s linhs L, L,, L,, L são linermente dependentes (independentes), então tmbém o i m serão s linhs: L, L,, λ L,, L, λ \ {} (idem pr s coluns); i m v) Se s linhs L, L,, Li,, Lk,, L m são linermente dependentes (independentes), então tmbém o serão s linhs L, L,, L + L,, L,, L (idem pr s coluns); i k k m vi) Se s linhs L, L,, Li,, L m são linermente dependentes, então lgums dels podem-se escrever como combinção liner ds restntes (idem pr s coluns); vii) s linhs (coluns) de um mtriz tringulr (superior ou inferior), com os elementos d digonl principl diferentes de zero, são linermente independentes; viii) s linhs (coluns) de um mtriz digonl (diferente d mtriz nul), são linermente independentes; ix) Sej [ ] : Se s linhs de e de são linermente independentes, então s linhs de tmbém são linermente independentes; Se ou é um mtriz tringulr superior (inferior), tl que os elementos d digonl principl são diferentes de zero, então s linhs d mtriz são linermente independentes; /

15 Mtrizes x) Sej : Se n mtriz s coluns d submtriz são linermente independentes, então s coluns de tmbém são linermente independentes; Se ou é um mtriz tringulr superior (inferior), tl que os elementos d digonl principl são diferentes de zero, então s colunss d mtriz são linermente independentes Exemplo8: Estude dependênci liner d mtriz 3 5 Resolução: mtriz não é qudrd, é um mtriz (3 5 ) vmos primeiro estudr dependênci ds linhs Resolvendo equção λ L + λ L + λ3 L3 L, vem λ λ λ3 Portnto, s 3 linhs são linermente independentes Qunto à dependênci ds coluns, o resolver equção λc + λc + λ3c3 + λ4c4 + λ5c5 C, vem, por exemplo, λ + 3λ + 5λ5 λ3 λ5 λ4 λ5 Portnto, s 5 coluns são linermente dependentes Prov-se que, pens 3 coluns são linermente independentes Como mtriz é (3 5 ), ou sej, o número de coluns é mior que o número de linhs, é rzoável pensr que o número máximo de coluns que podem ser linermente independentes sej 3 De fcto, no sistem que result d equção λc + λc + λ3c3 + λ4c4 + λ5c5 C, temos 3 equções pr 5 incógnits Enqunto que pr s linhs, o sistem resultnte tem 3 equções pr 3 incógnits Este último exemplo ilustr um resultdo muito importnte: Num mtriz, o número máximo de linhs linermente independentes é igul o número máximo de coluns linermente independentes Exercício: Trnsponh mtriz do exemplo nterior e estude dependênci liner ds coluns e ds linhs Do exercício nterior, fcilmente se vê que estudr dependênci liner d linhs de um mtriz é o mesmo que estudr dependênci liner ds coluns d su trnspost e vice-vers 3/

16 Mtrizes 4 Crcterístic de um mtriz Nest secção introduz-se o conceito de crcterístic de um mtriz e present-se um processo pr o seu cálculo Definição7: Dá-se o nome de crcterístic de um mtriz o número máximo de fils prlels linermente independentes que figurm ness mtriz Represent-se por r( ) Como em mtrizes tringulres, o número de fils (linhs ou coluns) prlels linermente independentes ( crcterístic) é igul o número de elementos d digonl principl diferentes de zero, pode prtir-se deste fcto pr clculr crcterístic de um mtriz Definição8: Condensr um mtriz é o processo que consiste em dr à mtriz, trvés de operções elementres, um form em que figure nel um mtriz tringulr (superior ou inferior) d mior ordem possível com elementos principis não nulos Operções elementres Chmm-se operções elementres, efectuds sobre um mtriz, o conjunto de operções que não lterem dependênci ou independênci ds linhs ou coluns (portnto, não lterm crcterístic d mtriz) lgums operções elementres são: ) Troc entre si de dus fils prlels de um mtriz; b) Multiplicção ou divisão de qulquer fil por um constnte diferente de zero; c) Som dos elementos homólogos de fils prlels depois de multiplicdos por fctores constntes diferentes de zero Processo de condensção O processo de condensção é constituído por váris fses reduções onde se vão nulndo os elementos bixo e/ou cim d digonl principl d mtriz qudrd inicil ou de um submtriz qudrd d mior ordem possível (cso mtriz inicil sej rectngulr) Como num mtriz, o número máximo de linhs linermente independentes é igul o número máximo de coluns linermente independentes, crcterístic de um mtriz pode clculr-se tnto por linhs como por coluns N prátic é, pois, indiferente efectur condensção verticl (n qul se reduzem zero elementos situdos n mesm colun que o redutor) ou condensção horizontl (em que os elementos nulr, 4/

17 Mtrizes estão n mesm linh que o redutor) pr determinr crcterístic de um mtriz O objectivo tingir (usndo operções elementres) é dr à mtriz um form em que figure um mtriz ou submtriz tringulr de elementos principis não nulos e d mior ordem possível Vmos exemplificr condensção verticl Considere-se mtriz ( m n) que se pretende condensr pr determinr su crcterístic n n m m mn ( m n) ) prtir de, ( cso isso não conteç, trocm-se entre si dus ou mis fils prlels pr colocr no seu lugr um elemento não nulo, de preferênci ou ), que se dá o nome de elemento redutor (pivot), dicion-se primeir linh tods s restntes, multiplicd por fctores tis que se nulem todos os elementos seguintes d primeir colun (bixo de ) Portnto: m n n b) Procede-se com em relção à ª colun como se procedeu com em relção à ª colun: mn ; m3 3 n 3 n 33 3n mn ; c) Procede-se de modo nálogo pr os restntes ii té que condensção termine porque não há mis linhs ou porque s linhs que existem são tods formds por zeros mtriz originl terá um form onde figur nel um mtriz ou submtriz tringulr d mior ordem possível com elementos principis não nulos: r m r m ; rr rm 5/

18 Mtrizes d) Como tods s linhs e coluns de um mtriz tringulr, com elementos principis significtivos (não nulos), são linermente independentes, chegd o seu termo, condensção indic qul o número máximo de fils prlels de um mtriz que podem ser linermente independentes ( crcterístic d mtriz) ssim, crcterístic será dd pel dimensão d mior mtriz tringulr, com elementos principis não nulos, que foi possível instituir n mtriz (indicd n líne c) em segundo plno), Crcterístic d mtriz r( ) r Obs5: crcterístic de um mtriz é igul à crcterístic d su trnspost Exceptundo mtriz nul que tem r( O ), qulquer mtriz tem r ; Pr se clculr crcterístic de um mtriz est não tem que ser qudrd; Um mtriz qudrd de ordem n, tem no máximo crcterístic n; Diz-se que dus mtrizes e B são equivlentes, ( B, T ; B ) se r( ) r( B) Exemplo9: Clcule d crcterístic d mtriz Resolução: Pr determinr crcterístic de um mtriz plicm-se sucessivmente s operções elementres, té se chegr um mtriz equivlente à originl onde figure nel um mtriz tringulr d mior ordem possível com elementos principis não nulos que se dá o nome de condensção d mtriz prtir do elemento redutor, vmos reduzir zero os restntes elementos d ª colun Pr reduzir o elemento 4 zero, multiplic-se ª linh por ( 4) e som-se com ª linh Simbolicmente: Procedendo de mneir nálog pr o elemento 3, multiplicndo primeir linh por ( + ) e somndo 3ª linh vem 6/

19 Mtrizes nlogmente, prtir do novo elemento redutor 6 vmos reduzir zero o elemento 3 fim de fcilitr os cálculos vmos, por exemplo, trocr ª colun pel 3ª Neste cso o elemento redutor será Obtemos 6 6, 4 o que complet condensção, um vez que mtriz resultnte é tringulr mtriz dd é equivlente à mtriz tringulr obtid Como num mtriz tringulr, com elementos d digonl principl diferentes de zero, tods s fils são independentes, e como crcterístic de um mtriz é igul o número de fils independentes, então crcterístic d mtriz é 3, r( ) 3 Dependênci liner com recurso à condensção Pelo que foi referido, trvés do recurso à condensção, o cálculo d crcterístic de um mtriz, é possível concluir cerc d dependênci ou independênci liner ds fils de um mtriz Mtrizes qudrds: Sej um mtriz qudrd de ordem n i) Qundo r( ) regulr; ii) Qundo r( ) singulr n, s fils são linermente independentes e mtriz design-se por mtriz < n, s fils são linermente dependentes e mtriz design-se por mtriz Mtrizes rectngulres: Sej um mtriz rectngulr do tipo ( m n) i) Qundo m > n Se r( ) Se r( ) Como r( ) < n, s coluns são linermente dependentes; n, s coluns são linermente independentes; < m, s linhs são sempre linermente dependentes ii) Qundo m < n Se r( ) Se r( ) Como r( ) < m, s linhs são linermente dependentes; m, s linhs são linermente independentes; < n, s coluns são sempre linermente dependentes 7/

20 Mtrizes Exemplo: Estude d crcterístic d mtriz 3 5 Resolução: mtriz não é qudrd, é um mtriz (3 5 ), vmos condensá-l n verticl (por coluns) mior submtriz tringulr (qudrd) que pode figurr em é de ordem 3 (igul o nº de linhs), como se vê todos os elementos d digonl principl dess mtriz são diferentes de zero , 3 ou sej, r( ) 3 (igul o nº de linhs, s linhs são linermente independentes, LI) Por outro ldo, como se tem sempre r( ) < 5 (nº de coluns, n 5 > 3), s coluns são sempre linermente dependentes (LD), ms, sendo r( ) 3, conclui-se que, 3 dests são LI Porquê? Mesmo sbendo que r( ) r( T ), vmos trnspor e clculr su crcterístic Vê-se que, mior submtriz tringulr que pode figurr em T é de ordem 3 (nº de coluns), condensdo est mtriz, vê-se que todos os seus elementos principis são diferentes de zero, logo r( ) 3, T mtriz trnspost é (5 3 ), como se tem sempre r( ) < 5 (nº de linhs) s linhs são sempre LD, ms sendo r( ) 3, conclui-se que, 3 dests são LI Qunts coluns são LI? Sugestão: Compre os resultdos deste exemplo, com os resultdos do exemplo8 Exercício3: Estude crcterístic ds seguintes mtrizes: ) 3 4 ; b) B 4 4 ; c) C Sugestão: Vej o que contece, qunto à dependênci, se num mtriz eliminr: ) um fil com todos os seus elementos nulos; b) um fil que sej proporcionl outr; c) um fil que sej combinção liner de outrs 8/

21 Mtrizes 5 Inversão de mtrizes O problem d inversão de mtrizes é um ds questões mis importntes d teori ds mtrizes Pr lém d definição, nest secção, vmos presentr lgums proprieddes d inversão e um método de cálculo d mtriz invers Definição9: Chm-se mtriz invers de um mtriz à mtriz B tl que: B B I mtriz invers de, qundo existir, represent-se por:, pelo que: é invers de I (mtriz identidde) Condições pr existênci de mtriz invers Pr que exist o produto número de linhs d mtriz o número de coluns d mtriz é necessário que o número de coluns d mtriz coincid com o, por outro ldo pr que exist o produto é necessário que coincid com o número de linhs d mtriz, ou sej, e têm que ter mesm dimensão Dí que, só podem ter invers s mtrizes qudrds, e dentro dests s que têm s fils linermente independentes, ou sej, crcterístic r igul à su ordem n Em resumo: Um mtriz qudrd de ordem n dmite invers se r( ) n E, como já vimos, ests designm-se por mtrizes regulres s mtrizes que não têm invers dizem-se singulres Proprieddes d mtriz invers dmitindo que s mtrizes dmitem invers e que su dimensão permite que s operções possm ser efectuds, então são válids s seguintes regrs: i) qundo existe é únic; ii) ( ) ; iii) ( B) B, se existe ( B) iv) ( B X ) X B ; k k v) ( ) ( ) vi) k ; r s r s +, r, s ; vii) ( ) viii), r, s ; r s r s ( λ ), λ \ {} ; λ T ix) ( ) ( ) T k vezes, então e B dmitem invers; 9/

22 Mtrizes Obs6: Um mtriz ortogonl é mtriz qudrd que tem como invers su trnspost, isto é, T T I Cálculo d mtriz invers pelo método d mtriz mplid [ I ] Cso exist, invers de um mtriz pode ser clculd trnsformndo mtriz mplid [ I ] em [ I B ], onde B, ou sej, em 4, plicds pens às linhs [ I ], utilizndo s operções elementres, descrits em Obs7: mtriz invers pode ind ser clcul por definição, o que só é funcionl pr mtrizes de ª ou 3ª ordem Exemplo: Determine invers d mtriz regulr Resolução: Sendo mtriz regulr, el dmite invers Vmos considerr mtriz mplid [ I ] visndo obter mtriz [ I ] Num primeiro psso obtemos, [ I] considerámos como elemento redutor, e utilizámos s operções elementres pr condensção Finlmente, pr obter [ I ], por exemplo, multiplicmos ª linh por ( + ) e, pr o elemento redutor, reduzimos zero o elemento, ssim, O que conclui o processo d mtriz mplid, trnsformámos mtriz [ I ] em [ I ], e, portnto, mtriz invers de, é Por ter invers, s linhs d mtriz são linermente independentes e crcterístic d mtriz é, igul à ordem d mtriz Como mtriz é de ª ordem vmos utilizr definição pr clculr su invers Sej x y z t D definição result /

23 Mtrizes x y x z y t I z t x y, pr se verificr est últim iguldde devemos ter x z x y t y, donde x z y t x y z t Repre-se que d mesm ordem I, e que invers de um mtriz qudrd é ind um mtriz qudrd Obs8: mtriz de dimensão ( ), dd por d b d bc c b c d dmite invers se d bc, su invers é Exercício4: Verifique este resultdo pr o exemplo nterior 3 Exemplo: Verifique existênci d invers d mtriz C 3 7 Resolução: Vmos utilizr o método d mtriz mplid É possível pensr n invers dest mtriz, um vez que, el é de ordem 3, ou sej, qudrd mtriz mplid é 3 [ C I] 3 7 Utilizndo s operções elementres, obtemos /

24 Mtrizes Portnto, prtindo de [ C I ] não é possível obter [ I C ], n últim mtriz mplid há um linh de zeros Quer dizer, mtriz C não tem invers s linhs d mtriz não são linermente independentes, su crcterístic é, diferente d ordem d mtriz que é 3 Exemplo3: Sendo um mtriz qudrd regulr que verific relção su invers + +, determine I Resolução: Multiplicndo à esquerd + + por I, vem + + I ( ) + I + + I + I ( + I) Exemplo4: Supondo e B mtrizes regulres, resolv em ordem X equção mtricil T T ( ) X + ( B) Resolução: Multiplicndo à esquerd + + por I, vem T T T T T T T T ( ) X + ( B) X ( ) ( B) X ( ) ( B) T T X ( B) X ( B) X ( B) X B X B T T T Considerndo, gor e B, vmos determinr mtriz X, 3 T X B 3 T X Ou (verifique) T T T T T T T T X B ( X ) ( B ) X ( ) ( B ) X ( ) ( B ) /