Capítulo 4. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares

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1 Resumos ds uls teórics Cp Cpítulo 4. Mtrizes e Sistems de Equções Lineres Conceitos Geris sobre Mtrizes Definição Sejm m e n dois inteiros, m, n. Design-se por mtriz do tipo m x n, um qudro de esclres com m linhs e n coluns n form m m n n mn. linh linh m colun colun n Tmbém se escreve i =,..., m, j =,..., n. = [ ij ], Os ij designm-se por elementos d mtriz ou entrds d mtriz, sendo i o número d linh e j o número d colun em que se encontr o elemento: ESTiG/IP Deprtmento de Mtemátic Mário brntes

2 Resumos ds uls teórics Cp linh, colun Considerr s seguintes mtrizes: C D 5 45 E. Indicr os tipos ds mtrizes. Indicr, se existirem, os elementos seguintes:,,, b, b 4, b c, c d e? (? = ). Um mtriz do tipo x n tmbém se design por mtriz linh ou vector linh. [, -, 4/5, ] Um mtriz do tipo n x tmbém se design por mtriz colun ou vector colun. ESTiG/IP Deprtmento de Mtemátic Mário brntes

3 Resumos ds uls teórics Cp lguns Tipos de Mtrizes Mtriz Nul: é um mtriz com todos os elementos iguis zero. Gerlmente represent-se por O. O, O o, o, i,, m j,,n ij ij Mtriz Qudrd: é um mtriz do tipo n x n. n n n n nn ESTiG/IP Deprtmento de Mtemátic Mário brntes

4 Resumos ds uls teórics Cp digonl constituíd pelos elementos ii, i =,..., n, (*) design-se por digonl principl. outr diz-se digonl secundári ou segund digonl. Exprimir os elementos d segund digonl n form (*). Mtriz Identidde: é um mtriz qudrd com todos os elementos d digonl principl iguis, e os restntes elementos nulos. Gerlmente represent-se por I. i.e., I, i, i, r,s,, n, I rs rs rs sendo rs o símbolo de Kronecker:, r s rs., r s ESTiG/IP Deprtmento de Mtemátic Mário brntes

5 Resumos ds uls teórics Cp Álgebr Mtricil dição de Mtrizes Definição Sejm = [ ij ] e = [b ij ] dus mtrizes do tipo m x n. Diz-se dição (ou som) ds mtrizes e, mtriz S = [s ij ] do tipo m x n, S = + = [s ij ] = [ ij + b ij ], com i =,..., m, j =,..., n. Efectur, se possível, s operções. 4 5?? 4 Se e são mtrizes do tipo x n (ou do tipo n x ), su dição é equivlente um dição de vectores de R n. Multiplicção de um Mtriz por um Esclr Definição Sej = [ ij ] um mtriz do tipo m x n e r um esclr. O produto d mtriz pelo esclr r, é mtriz r = r = [r ij ], ESTiG/IP Deprtmento de Mtemátic Mário brntes

6 Resumos ds uls teórics Cp com i =,..., m, j =,..., n ? lgums Proprieddes d dição de Mtrizes e d Multiplicção de Mtrizes por Esclres. Teorem P. (+)+C = +(+C) propriedde ssocitiv P. + = + propriedde comuttiv P. + = + = mtriz nul é o elemento neutro d dição P4. +(-) = - é invers ditiv de P5. r(+) = r + r distributividde à esquerd P6. (rs) = r(s) ssocitividde d multiplicção de esclres por mtrizes Prov (de P) ( + ) + C = [ ij + b ij ] + [c ij ] = [( ij + b ij ) + c ij ] = [ ij + (b ij + c ij )] = [ ij ]+[ b ij + c ij ] = + (+C). ESTiG/IP Deprtmento de Mtemátic Mário brntes

7 Resumos ds uls teórics Cp Multiplicção de Mtrizes Vector Linh x Vector Colun c 4 b b 4c Notr que: do produto de um mtriz do tipo x por um mtriz do tipo x, result um mtriz do tipo x. Simbolicmente: ( x p) (p x ) ( x ), pr qulquer p inteiro positivo. este produto corresponde o produto esclr de vectores.. Vector Linh x Mtriz 4 8 b c 5 5b 4c b 8c b c Notr que: b c do produto de um mtriz do tipo x por um mtriz do tipo x, result um mtriz do tipo x. ESTiG/IP Deprtmento de Mtemátic Mário brntes

8 Resumos ds uls teórics Cp Simbolicmente: ( x p) (p x n) ( x n), pr quisquer n, p inteiros positivos. o produto corresponde à combinção liner ds linhs d mtriz d direit, com coeficientes, b, c [ver o significdo d expressão em itálico no cp4]. Mtriz x Vector Colun b c 5 b 5 b c 5 b c 4 8 c 4 8b c 4 8. Notr que: do produto de um mtriz do tipo x por um mtriz do tipo x, result um mtriz do tipo x. Simbolicmente: (n x p) (p x ) (n x ), pr quisquer n e p inteiros positivos. o produto corresponde à combinção liner ds coluns d mtriz d esquerd, com coeficientes, b, c [ver o significdo d expressão em itálico no cp4]. Mtriz x Mtriz c 9 e b d f c e 4 5c 6e 7 8c 9e b d f 4b 5d 6f 7b 8d 9f. ESTiG/IP Deprtmento de Mtemátic Mário brntes

9 Resumos ds uls teórics Cp Notr que: do produto de um mtriz do tipo x por um mtriz do tipo x, result um mtriz do tipo x. Simbolicmente: (n x p) (p x m) (n x m), pr quisquer m, n e p inteiros positivos. se,, são s linhs d mtriz e se e são s coluns d mtriz, então. Podemos então escrever seguinte definição. Definição Sej um mtriz do tipo m x n e um mtriz do tipo n x p. mtriz produto de por, é seguinte mtriz do tipo m x p: = [c ij ]. sendo os elementos c ij clculdos d form, c ij = i b j + i b j in b nj n ikb kj, k ESTiG/IP Deprtmento de Mtemátic Mário brntes

10 Resumos ds uls teórics Cp com i =,..., m, j =,..., n. O seguinte esquem represent o mecnismo dest operção. --- n b --- b j --- b p = [c ij ] = i --- in --- b n --- b nj --- b np --- m --- mn x x y m yn m n mn Escrever os y s em termos dos x s e dos s. x x m y y n? ESTiG/IP Deprtmento de Mtemátic Mário brntes

11 Resumos ds uls teórics Cp lgums Proprieddes d Multiplicção de Mtrizes. Teorem Proprieddes d Multiplicção de Mtrizes M. ()C = (C) propriedde ssocitiv M. I = e I = identidde multiplictiv M. (+C) = +C distributividde à esquerd M4. (+)C = C+ C distributividde à direit M5. (r) = (r) = r() homogeneidde Mtriz Trnspost Definição Sej =[ ij ], i=,, m, j=,, n, um mtriz do tipo m x n. Design-se por mtriz trnspost de, seguinte mtriz do tipo n x m, que se design por T : T [' ji], sendo ji = ij, i,, n, j,, m. Exemplos c e b d f T b c d e f ESTiG/IP Deprtmento de Mtemátic Mário brntes

12 Resumos ds uls teórics Cp T 4 5 Um mtriz diz-se simétric se e somente se = T. Mostre que um mtriz simétric é qudrd. Exemplo T lgums Proprieddes d Operção de Trnsposição. Teorem T. ( T ) T = trnspost d trnspost T. ( + ) T = T + T trnspost dum som T. () T = T T trnspost dum produto Prov [de T] Sejm mxn ij nxp b ij T ' T ' nxm ji pxn b ji. Temos ESTiG/IP Deprtmento de Mtemátic Mário brntes

13 Resumos ds uls teórics Cp n T n T T T ik kj jk ki k k, b b' ' com b kj = b jk e ik = ki fim de prov ESTiG/IP Deprtmento de Mtemátic Mário brntes