Módulo 01. Matrizes. [Poole 134 a 178]

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1 ódulo Note em, leitur destes potmetos ão dispes de modo lgum leitur tet d iliogrfi pricipl d cdeir hm-se à teção pr importâci do trlho pessol relizr pelo luo resolvedo os prolems presetdos iliogrfi, sem cosult prévi ds soluções proposts, álise comprtiv etre s sus respost e resposts proposts, e posterior exposição uto do docete de tods s dúvids ssocids. [Poole 8] trizes triz. Elemeto, lih e colu de um mtriz. tiz lih e mtriz colu. triz ul. triz rectgulr e qudrd. triz qudrd: Digol pricipl. rço. triz digol. triz trigulr superior e iferior. triz esclr. triz idetidde. guldde. dição. ultiplicção por um esclr. Produto. Potêci. rsposição: triz trspost. triz Simétric e ti-simétric. triz cougd e trscougd triz hermiti e ti-hermiti triz escd. Pivot Operções sore lihs. triz equivlete por lihs. rcterístic. triz ivers. étodo de codesção. triz ortogol. Proprieddes d álger mtricil.

2 R Z E S G E R U R R D triz. Elemeto, ih e olu de um triz. triz ih e tiz olu. triz Nul. triz Rectgulr e Qudrd. Exemplo. Sem s seguites mtrizes:,,. Sedo m e dois úmeros turis, um mtriz, m m por, é um tel de m vezes úmeros R ou, dispostos em m lihs e colus O m m m. Dizemos que i é o elemeto d posição i, d mtriz.. i - ésim lih d mtriz é [ ] i i i, e - ésim colu d mtriz é m. Um mtriz que só possui um lih é chmd mtriz lih, ou vector lih, [ ], e um mtriz que só possui um colu é chmd mtriz colu, ou vector colu, ms são desigds por mtriz fil, usdo-se o termo fil d mtriz pr desigr quer um lih quer um colu de um mtriz.. Um mtriz em que todos os elemetos são iguis zero diz-se um mtriz ul,, i, i,. Se m dizemos que é um mtriz rectgulr, e se m dizemos que é um mtriz qudrd de ordem., [ ] D, E, F mtriz é um mtriz qudrd, tl como F. ods s resttes são mtrizes rectgulres. é um mtriz dus lihs por três colus, é um mtiz, D é um mtriz lih, e E é um mtriz colu. São exemplo de lgus elemetos ds mtrizes dds cim,, d, e Prof. José mrl G - --

3 R Z E S G E R U R R D t. rição de um mtriz lih >> [ ] rição de um mtriz colu >> [; ; ] rição de um mtriz >> [ ; ; ] Selecção de um elemeto de um mtriz, li,col, >>, s Selecção de um lih de um mtriz ª lih, li,:, >>,: s Selecção de um colu de um mtriz ª colu, :,col, >> :, s rição de um mtriz ul, zerosli,col, >> zeros, Prof. José mrl G - --

4 R Z E S G E R U R R D trizes Qudrds: Digol Pricipl; rço; triz Digol, rigulr Superior, e rigulr ferior. triz detidde e Esclr. Dd um mtriz qudrd,, de ordem, Exemplo. Sem s seguites mtrizes:, D,. sequêci orded ou uplo dos elemetos i, i,,,,, diz-se digol pricipl de O 8. Desigmos por trço de som de todos os elemetos d su digol pricipl tr i 9. diz-se um mtriz digol se todos os elemetos que estão for d digol pricipl são iguis zero. i, i ii. diz-se um mtriz trigulr superior se todos os elemetos situdos ixo d digol pricipl são iguis zero. i, i >. diz-se um mtriz trigulr iferior se todos os elemetos situdos cim d digol pricipl são iguis zero. i, i <. diz-se um mtriz idetidde se todos os elemetos que estão for d digol pricipl são iguis zero e todos os elemetos d digol pricipl são iguis i, i i, i. diz-se um mtriz esclr se todos os elemetos que estão for d digol pricipl são iguis zero e todos os elemetos d digol pricipl são iguis um costte, k,, i k, i U, i i,, K digol pricipl d mtriz é o tero ordedo,, e o seu trço é tr. D é um mtriz digol. U é um mtriz trigulr superior. é um mtriz trigulr iferior. é um mtriz idetidde. K é um mtriz esclr. Prof. José mrl G - --

5 R Z E S G E R U R R D t. rição de um mtriz e selecção d su digol pricipl, dig, >> [ ; ; 8 9] 8 9 >> dig s 9 álculo do trço d mtriz, trce, >> sumdig s, ou simplesmete >> trce s rição de um mtriz digol >> Ddig[ ] D Selecção d mtriz trigulr iferior, tril, ou trigulr superior, triu, de um mtriz á existete >> tril >> triu s s rição de um mtriz idetidde,, eye, e de um mtriz esclr,, >> eye >> K*eye K Prof. José mrl G - --

6 R Z E S G E R U R R D Álger de trizes: guldde. dição. ultiplicção por esclr. Exemplo. Sem s seguites mtrizes:. Dus mtrizes, i m e i p q, são iguis se têm o mesmo tmho, ou se, m p e q, e os elemetos correspodetes são iguis, ou se, i i, i,.. som de dus mtrizes do mesmo tmho, i m e i m, defie-se como sedo mtriz m resultte d som dos elemetos correspodetes de e, ou se, ci i i, i,. multiplicção de um mtriz, i m, por um esclr, α R ou α, defie-se como sedo mtriz m α resultte d multiplicção por α de cd um os elemetos d mtriz, ou se, i αi, i,, som de e é mtriz O produto do esclr α pel mtriz é mtriz Prof. José mrl G - --

7 R Z E S G E R U R R D t. Som de dus mtrizes,, >> [ ; ; ] >> [ - ; - ; -] >> Produto do esclr pel mtriz, *, >> >> * Prof. José mrl G - --

8 R Z E S G E R U R R D Prof. José mrl G Produto de trizes. Potêci de um triz.. O produto de dus mtrizes, tis que o úmero de colus d primeir é igul o úmero de lihs d segud, p m i e p i, defie-se como sedo mtriz m cuos elemetos, i c, resultm do produto ordedo dos elemetos d lih i d mtriz pelos elemetos d colu d mtriz mp m m ip i i p m m i p p p c c c c c, ou se p k k ik p ip i i i c 8. Dd um mtriz qudrd e um iteiro ão egtivo k defiimos potêci de um mtiz como termos k k, sedo. Exemplo. Sem s seguites mtrizes:, D, E Do produto d mtiz D,, pel mtriz E,, result um mtiz [ ] [ ] [ ] [ ] DE X X X

9 R Z E S G E R U R R D Prof. José mrl G Note-se que o produto d mtiz E,, pel mtriz D,, tmém está defiido, resultdo um mtiz [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 8 ED Este exemplo evideci clrmete que o produto de mtrizes ão é comuttivo ED DE Qudo se verific ED DE s mtrizes dizem-se mtrizes permutáveis ou comutáveis. O cuo d mtriz é [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

10 R Z E S G E R U R R D t. Produto de mtrizes, *, >> D[ ; ] D >> E[ ; ; ] E >> D*E s >> E*D s 8 Potêci de um mtriz, ^, >> [ ; -] - >> ^ s - >> ** s - Prof. José mrl G - --

11 R Z E S G E R U R R D Prof. José mrl G - -- triz rspost. triz Simétric e ti-simétric. triz ougd e rscougd. triz Hermiti e ti- Hemiti. 9. mtriz trspost de um mtriz m i é defiid pel mtriz m, otid trocdo-se s lihs de com s colus, ou se i i i,,. Um mtiz qudrd diz-se simétric se, e diz-se ti-simétric se.. Dd um mtriz complex,, chm-se mtriz cougd de, e represet-se por, mtriz que se otém cougdo cd um dos elemetos de, e chm-se mtriz trscougd de, e represet-se por, trspost d cougd de.. Um mtiz diz-se hermiti se, e diz-se tihermiti se. Exemplo. Sem s seguites mtrizes: 9 8 D E trspost de é 9 8 mtriz é simétric, e mtriz é ti-simétric, cougd e trscougd d mtriz D são D, D D mtriz E é ti-hermiti E E E E Os elemetos d digol pricipl de um mtriz ti-simétric são origtorimete ulos, e de um mtriz ti-hermiti são origtorimete ulos e/ou imgiários puros.

12 R Z E S G E R U R R D t. rspost de um mtriz,., >> [ ; 8 9; ] 8 9 >>.' s 8 9 ougd de um mtriz, co, >> D[ ; ] D...i...i >> cod s.. -.i.. -.i rscougd de um mtriz,, >> D' s... -.i -.i. Prof. José mrl G - --

13 R Z E S G E R U R R D triz Escd. Pivot. Operções sore ihs. triz Equivlete por ihs. rcterístic.. Diz-se que um mtriz está form esclod ou está form de um mtriz escd se. ods s lih uls estão ixo ds lihs ão uls.. Por ixo do º elemeto ão ulo de um lih, chmdo, pivot, todos os elemetos são ulos.. O pivot d lih i está à direit do pivot d lih i.. Um mtriz escd está form esclod reduzid se os seus pivots são e cd pivot é o úico elemeto ão ulo su colu.. Desigmos por operção elemetr sore s lihs de um mtriz cd um ds seguites operções:. roc etre si de dus lihs d mtriz i k. ultiplicção de um lih d mtriz por um esclr ão ulo α i i. Sustituição de um lih pel su som com um múltiplo esclr de outr lih α i k i. Um mtriz diz-se equivlete por lihs um mtiz, e escrevemos, se pode ser otid de por plicção de um sequêci de operções elemetres sore lihs.. Desigmos por crcterístic de um mtriz, e escrevemos cr, o úmero de lihs ão uls d mtiz escd que del result pel execução de operções elemetres sore lihs. Exemplo. Sem s seguites mtrizes:,, mtriz está form esclod, tedo crcterístic cr. mtriz está form esclod reduzid, tedo crcterístic cr. Prof. José mrl G - --

14 R Z E S G E R U R R D Prof. José mrl G - -- trvés d execução de um sequêci de operções elemetres sore lihs, vmos trsformr mtriz um mtriz escd mtriz á está form esclod. Podemos prosseguir o setido de trsformr form esclod reduzid mtriz está gor form esclod reduzid todos os seus pivots são e cd pivot é o úico elemeto ão ulo su colu

15 R Z E S G E R U R R D t. roc etre si de dus lihs d mtriz, [i k],: [k i],:, >> [ ; -; -] - - >> [ ],: [ ],: - - ultiplicção de um lih d mtriz por um esclr ão ulo, i,: *i,:, >>,: *,: - - Sustituição de um lih pel su som com um múltiplo esclr de outr lih, i,: i,: *k,:, >>,:,:-*,: - - rcterístic de um mtriz, rk, >> rk s Redução de um mtriz à form esclod reduzid, rref, >> rref s - Prof. José mrl G - --

16 R Z E S G E R U R R D triz vers. étodo de codesção. triz Ortogol. 8. Um mtriz qudrd i diz-se ivertível, ou regulr, ou ão sigulr se existir um mtriz, deomid mtriz ivers de, tl que, em que é mtriz idetidde. é ivertível sse cr e su ivers é úic. 9. Se ão tem ivers dizemos que é um mtriz sigulr ou ão regulr, ou ão ivertível.. étodo d codesção pr determição d ivers de um mtriz: Sedo mtriz ivertível, se, por operções elemetres sore lihs, trsformr-mos mtriz [ ] mtriz [ ], etão.. Um mtriz qudrd i diz-se ortogol sse su ivers for igul à su trspost ou se odo o úmero rel, ão ulo,, possui um iverso, isto é, existe um tl que. O iverso é úico, usdo-se otção. Nem tods s mtrizes,, ão uls, possuem ivers, ou se, em sempre existe um mtriz tl que. Exemplo. Sem s seguites mtrizes: ivers d mtiz é mtriz, como podemos verificr Recorredo o método de codesção, podemos clculr ivers d mtriz [ ] Prof. José mrl G - --

17 R Z E S G E R U R R D Prof. José mrl G - -- [ ] [ ] 9 edo sido possível coverter mtriz [ ] mtriz [ ], temos 9 trspost d mtiz é mtriz ssim sedo, [ ] [ ] [ ] [ ] mtriz é um mtriz ortogol

18 R Z E S G E R U R R D t. triz ivers, iv, >> [ ; ] >> iv s - - >> [ -; ; -] - - >> iv s >> vers pelo método de codesção. >> D[ eye] D - - >> DrrefD D >> DD:,: D Prof. José mrl G

19 R Z E S G E R U R R D Proprieddes d Álger tricil. Sempre que s expressões estem defiids temos: dição. comuttiv. ssocitiv. elemeto eutro. elemeto simétrico ultiplicção por esclr. α β αβ. α β α β. α α α ultiplicção 8. ssocitiv 9. m elemeto eutro. distriutiv. α α α. elemeto sorvete rsposição..... α α k ougd z z. rscougd.... z z k vers α α. / só se ou for ivertível. / só se for ivertível Prof. José mrl G

20 R Z E S G E R U R R D Prof. José mrl G - -- Verddeir X X Fls X X X X Exemplo 8. Sedo, e mtrizes qudrds quisquer, dig se s proposições seguites são verddeirs ou flss dmite-se que s operções idicds estão defiids Pode demostrr-se, isso sim, que. Não esquecer que o produto de mtrizes ão é comuttivo. Podedo verificr-se em prticulr que, cso s mtrizes e sem permutáveis, em gerl, isto é, pr quisquer mtrizes qudrds, e, temos. pes os csos em que ou for ivertível. emos esses csos que. eh-se em teção que. Sem perd de geerlidde, e por clrez de exposição, cosideremos o cso prticulr e temos 8 temos 8 8 8

21 R Z E S G E R U R R D Prof. José mrl G - -- Exercícios.. lcule, sedo [ ] i [ ] emos [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Recorredo o método de codesção emos Recorredo o t terímos: >> [ ; -]; >> [-i ].';

22 R Z E S G E R U R R D Prof. José mrl G - -- >> [ ]; >> iv^**^ s / /i -/ /i -/ - /i / - /i. Sedo clcule c. tededo à defiição de produto mtricil, c é igul o produto d ª lih d mtriz pel ª colu d mtriz [ ] 8 8 i c Recorredo o t terímos: >> c[ 8 ]*[ ].' c. dmitido que e são mtrizes de ordem, é regulr, e e são permutáveis, mostre que e tmém são mtrizes permutáveis. emos. dmitido que e são mtrizes ortogois de ordem, mostre que emos

23 R Z E S G E R U R R D Prof. José mrl G - -- Sedo um mtriz ortogol,, pelo que Sedo um mtriz ortogol,, pelo que. Sedo, e mtrizes regulres de ordem, tis que, mostre que emos