Prof.: Denilson Paulo

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1 Álgebr Lier Prof.: Deilso Pulo

2 Álgebr Lier - Prof A Pul AULA Dt: / / A MATRIZES Defiição: Cojuto de úmeros dispostos um form retgulr (ou qudrd). Eemplo: B 8 C 7,6,7 D E 5 A mtriz A é retgulr, ou sej, possui lihs e colus. A mtriz B é um mtriz-colu, ou sej, possui lihs e colu. A mtriz C é um mtriz qudrd, ou sej, possui lihs e colus. A mtriz D é um mtriz qudrd, ou sej, possui lih e colu. A mtriz E é um mtriz-lih, ou sej, possui lih e colus. De um form gerl, um mtriz A m tem m lihs e colus, sedo m e s sus dimesões e su represetção geéric é seguite:... A m m... m m Usmos s plvrs "tmho" ou "dimesão" ou "ordem" pr dizer quts lihs e colus um mtriz possui. Use-se letr miúscul pr represetá-l: A ij m ou ij. Cd elemeto d mtriz A é represetd pel mesm letr em miúsculo e é seguido de dois úmeros subscritos, sedo o primeiro deles o úmero d lih ode o elemeto se ecotr e o segudo o úmero d colu, ou sej, o elemeto ecotr-se segud lih e terceir colu. Eercício : Dds s mtrizes: A B C D ) Determie ordem de cd mtriz cim. b) Determie os elemetos c 5, c 6, c 7, d 5, d 5,,, b eb

3 Aul Mtrizes Especiis Mtriz ul: é mtriz de qulquer tmho com todos os seus elemetos iguis zero. Eemplo:A 5 Um elemeto qulquer de um mtriz ul é ddo por ij pr todos i e j. Obs: Us-se otção A pr mtriz ul. Não cofudir com o úmero zero!!! Mtriz qudrd: é mtriz que possui o úmero de lihs igul o úmero de colus. Neste cso,diz-se que mtriz é de ordem,ode é o úmero de lihs e colus d mtriz. Eemplo: A 7,6,7.NesteeemplomtrizA é de ordem. Mtriz digol: é um mtriz qudrd que possui todos os elemetos for d digol pricipl ulos. Eemplo:A 7 Um elemeto qulquer de um mtriz digol é ddo por: ij se i j d se i j ode d R. Obs:. Os elemetos,,,..., costituem digol pricipl de um mtriz qudrd. Eemplo: Mrque os elemetos d digol pricipl: A Os elemetos d digol pricipl podem ser quisquer úmeros, iclusive zero. Porém, se digol pricipl for costituíd tod de zeros, mtriz pssrá ser um mtriz ul.. Se A é um mtriz qudrd, etão Trço é som dos elemetos d digol pricipl, isto é,.... O trço ão está defiido se mtriz A ão for qudrd. Notção: tra... kk k. Eemplo: Do eemplo cim: tra 7. Eercício : Ecotre o trço d mtriz B

4 Aul Mtriz idetidde: é um mtriz digol que possui todos os seus elemetos ão-ulos iguis. É gerlmete deotd pel letr I. Eemplo: Mtriz idetidde de ordem : I Um elemeto qulquer de um mtriz idetidde é ddo por: ij ej,...,. Eercício : Escrev s mtrizes idetidde de ordem, e 5. se i j se i j pr i,..., I I I 5 Mtriz trspost: mtriz trspost reltiv mtriz A m é defiid trvés d seguite relção: T ij ji, pr todo i e todo j. Eemplo.:SejmtrizA A T Eercício : Usdo s mtrizes do eercício, determie: ) Os elemetos d digol pricipl d mtriz D. b) O trço d mtriz de D. c) B T, etão su trspost será d) C T

5 Aul Mtriz simétric: é um mtriz qudrd cujos elemetos obedecem seguite relção: Eemplo: AmtrizA T ij ji, isto é, A T A. é simétric, pois A A T.Verifique ecotrdo mtriz trspost de A, A T. Mtriz ti-simétric: mtriz ti-simétric reltiv mtriz A é defiid trvés d seguite relção: ji T ij, isto é, A A T. Eemplo: Sej mtriz A 5 5 é um mtriz ti-simétric. Observe que os elemetos d digol pricipl de um mtriz ti-simétric devem ser todos ulos. Por quê??? Vetores: é um cso especil de mtrizes, ode um ds dimesões é uitári (igul ). 8 Eemplo: Neste cso, B é um vetor colu e E 5 é um vetor lih. Mtriz trigulr Iferior: Um mtriz qudrd qul todos os elemetos cim d digol pricipl são zeros é chmd de mtriz trigulr iferior. R. Eemplo: A Um elemeto qulquer de um mtriz trigulr iferior é ddo por: ij se i j d se i j ode d Mtriz trigulr Superior: Um mtriz qudrd qul todos os elemetos bio d digol pricipl são zeros é chmd de mtriz trigulr superior.

6 Aul Eemplo: B 7 6 Um elemeto qulquer de um mtriz superior é ddo por: b ij se i j d se i j ode d R. Proprieddes:. A trspost de um mtriz trigulr iferior é um mtriz trigulr superior.. A trspost de um mtriz trigulr superior é um mtriz trigulr iferior. Eercícios 5: Quis ds mtrizes são simétrics e quis são ti-simétrics? A B C 5 D E Operções com Mtrizes Igulddedemtrizes Dus mtrizes A e B são iguis, se e somete se ij b ij, elemeto por elemeto. Eemplo: SeA B e A e B, etão. 5 5 Eercício 6: Dds s mtrizes A e B 5. Qul o vlor de pr que A B? Eercício 7: Clcule os vlores de,y e z pr que s mtrizes A e B sejm iguis. A y e B 6 z 8 9 5

7 Aul É possível mtriz C su respost. 5 7 se igul A pr lgum vlor de e de y? Justique y Som e Subtrção de Mtrizes A som de dus mtrizes A e B só será possível se s dus mtrizes tiverem mesm dimesão e é defiid como c ij ij b ij, ode C é mtriz obtid d som ds mtrizes A e B. A subtrção de dus mtrizes A e B é defiid de modo álogo, ode c ij ij b ij. Eemplo: Cosidere s mtrizes A A B e A B. A B A B e B Obs: Mtrizes de dimesões diferetes ão podem ser somds ou subtríds. Proprieddes: ) (A B) C A (B C) (ssocitiv) b) A B B A (comuttiv) c) A A A(émtriz ul e elemeto eutro d dição) Eercício 8: Dds s mtrizes A 5 e B Clcule. Clcule A BeA B. 6

8 Aul Multiplicção por um costte Multiplicr um mtriz por um costte (k), implic em multiplicr todos os elemetos d mtriz pel costte, isto é, um elemeto qulquer d mtriz C k A será c ij k ij pr todo i ej. Eemplo: Sej mtriz A Clcule A, A e A. A A Eercício 9: Dds s mtrizes A 5 e B ClculeA B e A B. Multiplicção de mtrizes Pr multiplicr dus mtrizes é sempre ecessário que o úmero de colus d primeir mtriz sej igul o úmero de lihs d segud mtriz. A mtriz resultte do produto de dus mtrizes terá sempre o mesmo úmero de lihs d primeir mtriz e o mesmo úmero de colus d segud mtriz, ou sej, multiplicção A m.b p terá como resultdo um mtriz C mp.a 7

9 Aul multiplicção de mtrizes é defiid como sedo: A m B p C mp Um elemeto qulquer d mtriz resultte C é ddo por: c ij ik b kj, pr i,...,m e j,...,p. Eemplo: Dds s mtrizes A Qul é dimesão d mtriz C, ode C A B? e B k Qul é dimesão d mtriz D, ode D B A? Etão, só será possível ecotrr mtriz C, que será: C A B Obs: A multiplicção de mtrizes ão é comuttiv, ou sej, A B B A, em gerl. Multiplicção de mtriz por vetor Est operção segue mesm regr d multiplicção de mtrizes, um vez que um vetor é um cso prticulr de um mtriz e dá como resultdo um mtriz. Multiplicção de vetores É feit de meir álog multiplicção de mtrizes. No cso d multiplicção de um vetor lih por um vetor colu, o resultdo será um úmero. Proprieddes: Sejm e dois úmeros reis e A, B, C mtrizes ( ou vetores) de ordem que permitm relizr s operções. ) A B C A B C (ssocitiv) ) A B C A B A C (distributiv à esquerd) ) A B C A C B C (distributiv à direit) ) I A A I A (Ié mtriz idetidde e elemeto eutro) 5) A A 6) A B A B 7) A B A B 8) A A A 8

10 Aul 9) A B pr A e B ( é mtriz ul) ) A A ) A A Ds mtrizes trigulres: ) O produto de mtrizes trigulres iferiores é superior. ) O produto de mtrizes trigulres superiores é iferior. D mtriz trspost: ) A T T A 5) A B T A T B T 6) k A T k A T, pr k um costte rel. 7) A B T B T A T 8) Se AB AC com A, ão implic que B C, isto é, ão vle lei do ccelmeto. Ds mtrizes simétrics: Se A e B são mtrizes simétrics de mesm ordem e se k é um costte rel qulquer, etão: 9) A T é simétric; ) A B é simétric; ) k A é simétric. ) Não é verdde, em gerl, que o produto de mtrizes simétrics é um mtriz simétric. ) O produto de um mtriz e su trspost é um mtriz simétric, isto é, A T A e A A T são simétrics. Do trço: ) tra B tra trb 5) trk A k tra Potecição Se A é um mtriz qudrd, defiimos: A I A A A A A A A A AA, com vezes Proprieddes Sej A um mtriz qudrd de ordem e r e s úmeros iteiros, etão: ) A r A s A rs b) A r s A rs Eercício : Sejm s mtrizes A, B, C e 9

11 Aul D Ecotre: ) A B b) A C c) B C d) C D e) D A f) D B g) A h) D i) A B

12 Aul j)c T A T Eercício : Sej A.ClculeA. Eercício : Se A, che B, de modo que B A. Eercício : Sejm s mtrizes A e B. Ecotre: ) A T B T b) B T A T c) A B d) A

13 Aul e) B Eercícios de Revisão. Supoh que A, B, C, D e E sejm mtrizes ds seguites ordes: A 5 B 5 C 5 D E 5 Determie qul ds seguites epressões mtriciis estão defiids. Pr s que estão defiids, dê ordem d mtriz resultte. ) B A b) A C D c) A E B d) A B B e) E A B f) E A C g) E T A h) A T E D Resp:ão é possível fzer:, c, d, g, b) e) 55 f) 5 h) 5. Cosidere s mtrizes: A 5 6, B, C, D, E 5 Clcule (qudo possível) ) D E b) D E c) 5 A d)7c e) B C f) E D g) D E h) A A i) trd j) trd E k) tr7 B l) tra m) A T C ) CT A o) DT E T ED T p) B T CC T A T A q) B Resp:. ão é possível fzer: e, L Resp: ) , b) 5 c) d) f) g) h) mtriz ul i) 5 j) 5 k) 68 m) ) o) mtriz ul p) 7 6 q) 6 6 Eercícios Aplicdos

14 Aul. Um costrutor tem cotrtos pr costruir estilos de cs: modero, mediterrâeo e coloil. A qutidde de mteril empregd em cd tipo de cs é dd pel mtriz: Ferro Mdeir Vidro Tit Tijolo Modero Mediterrâeo Coloil ) Se ele vi costruir 5,7 e css dos tipos modero, mediterrâeo e coloil, respectivmete, quts uiddes de cd mteril serão empregds? b) Supoh gor que os preços por uidde de ferro, mdeir, vidro, tit e tijolo sejm, respectivmete, 5, 8,5, e reis. Qul é o preço uitário de cd tipo de cs? c) Qul o custo totl do mteril empregdo?. Um rede de comuicção tem cico locis com trsmissores de potêcis distits. Estbelecemos que ij, mtriz bio, sigific que estção i pode trsmitir diretmete à estção j, ij sigific que trsmissão d estção i ão lcç estção j. Observe que digol pricipl é ul sigificdo que um estção ão trsmite diretmete pr si mesm. A Qul seri o sigificdo d mtriz A A A? Sej A c ij. Clculemos o elemeto c k k. 5 k Note que úic prcel ão ul veio de. Isto sigific que estção trsmite pr estção trvés de um retrsmissão pel estção, embor ão eist um trsmissão diret de pr. ) Clcule A. Resp: b) Qul o sigificdo de c? c) Discut o sigificdo dos termos ulos, iguis emioresquedemodojustificr firmção: "A mtriz A represet o úmero de cmihos dispoíveis pr se ir de um estção outr como um úic retrsmissão". d) Qul o sigificdo ds mtrizes A A,A e A A A? e) Se A fosse simétric, o que sigificri?. Eistem três mrcs de utomóveis dispoíveis o mercdo: A, B,e C. O termo ij d mtriz A bio éprobbilidde de que um doo de crro d lih i mude pr o crro d colu j, qudo comprr um crro ovo.

15 Aul Pr A... B... C.. De A B C,7,,,,5,,,, Os termos d digol dão probbilidde ii de se comprr um crro ovo de mesm mrc. A represet s probbiliddes de se mudr de um mrc pr outr depois de dus comprs. Clcule A e iterprete. Resp: Gbrito. ) 5 b) 5 c) 6 d) 8 e) 7 f) 7 g) h) i) j) 5. : 7 7 : ) b) c) 6 d) 5 e)

16 Álgebr Lier - Prof A Pul AULA Dt: / / DETERMINANTES O determite de um mtriz qudrd A, de ordem, ode:... A é deotdo por deta ou A, e é defiido como sedo o úmero obtido pel som lgébric dos! ( ftoril) produtos possíveis costituídos por um elemeto de cd lih e de cd colu de A multiplicdo por ou por -, de cordo com seguite regr : Sej o produto escrito seguite form: i j k...( termos). Se seqüêci dos ídices i,j, k é um permutção pr em relção,,,...,, etão o produto deve ser multiplicdo por ; do cotrário, o produto deverá ser multiplicdo por -. Eted-se por permutção, o úmero de trocs ecessáris pr se order um seqüêci i,j,k... Dess form, o determite de um mtriz qudrd de ordem : A será defiido pelo produto: deta E o determite de um mtriz qudrd de ordem : A será defiido pelo produto: deta Qudo A, mtriza éditsigulr. Eercício : Clcule os determites: 5

17 Aul Proprieddes As seguites proprieddes permitem fcilitr o problem do cálculo de determites:. O determite é ulo, se todos os elemetos de um lih ou colu d mtriz são ulos; Eemplo: O determite ão se lter se tods s lihs i são permutds com tods s colus i, isto é, deta deta T. Eemplo: SejmtrizA com deta Trocdo lih pel colu, lih pel colu e lih pel colu, isto é, clculdo mtriz trspost de A: A T. Etão, o determite de A T. O determite mud de sil se um lih d mtriz é permutd com outr lih, ou se um colu é permutd com outr colu; Eemplo: Sej mtriz A. Trocdo lih com lih, temos 6

18 Aul B. Etão, o determite de B.Se os elemetos de um lih ou colu são multiplicdos por um úmero, o determite fic tmbém multiplicdo por este úmero; Eemplo: SejmtrizA. Multiplicdo lih d mtriz A por -, temos B 6 e 6 deta Multiplicdo colu d mtriz A por, temos C e deta Multiplicdo mtriz A por, isto é, cd lih ou colu será multiplicd por, temos: 6 D 6, etão o detd deta 8 6 De um form gerl, detk A k deta, ode k é um costte rel. 5. O determite é ulo se os elemetos de dus lihs ou dus colus são iguis ou proporciois etre si; 7

19 Aul Eemplo: Dus colus iguis 7 6 Dus lihs proporciois 6. O determite ão se lter se somrmos os elemetos de um lih ou colu os respectivos elemetos de outr lih ou colu multiplicdos por um úmero. Eemplo: Sej mtriz A.Substituido lih pel som d lih mis o três vezes lih, isto é, L L L, temos: 9 9. Etão, Se A é um mtriz trigulr (trigulr superior ou iferior ou digol) de ordem, etão deta é o produto dos elemetos d digol pricipl d mtriz, ou sej, deta Eemplo: O determite d mtriz idetidde ésejqul for su ordem, isto é, deti. Eemplo: 9.detA B deta detb, em gerl. Eemplo: Sejm s mtrizes A 5 e B 5 Clcule deta 5 detb 5 8

20 Aul A B 5 5 deta B. deta B deta detb Eemplo: Sejm s mtrizes A 5 e B 5,smtrizesdoeemplo terior. Clcule A B 5 5 deta B Eercício : Clcule os determites, procurdo usr s proprieddes. Especifique propriedde utilizd

21 Aul Clculdo Determites o logo de lihs ou colus Meores: O meor de um elemeto ij de um mtriz A de ordem é defiido como sedo o determite d submtriz M ij gerd pel retird de i-ésim lih e d j-ésim colu dest mtriz. Notção: M ij. Eemplo: SejA um mtriz de ordem : A determite d submtriz M gerdpelretirddlihecolu,istoé,. O meor do elemeto éo M 9. 7 Um mtriz de ordem possui meores, cd um ssocido um elemeto dest mtriz. Coftores: O coftor de um elemeto ij de um mtriz A de ordem é defiido como sedo o "meor com sil" de ij e é ddo pel seguite relção: Cof ij ij M ij Eemplo: Em relção o eemplo terior: Cof M 9 9. Mtriz de Coftores: é defiid como sedo mtriz cujos elemetos são os coftores dos elemetos d mtriz origil, ou sej:... Se A , etão mtriz dos coftores é dd por:...

22 Aul CofA cof cof... cof cof cof... cof cof cof... cof Mtriz Adjut: é defiid como sedo mtriz de coftores trspost, ou sej, AdjA CofA T. Eemplo: A mtriz dos coftores de A Eemplo: E mtriz djut de A é: Epsão de Determites por Co-ftores O determite de um mtriz qudrd de ordem pode ser epdido em fução de coftores, medite um ds seguites epressões: A ik cof ik, desevolvedo trvés d lih i, ou k A kj cof kj, desevolvedo trvés d colu j. k

23 Aul 5 Eemplo: SejA um mtriz de ordem : A O determite clculdo o logo d primeir colu é ddo por: deta O determite clculdo o logo d segud lih é ddo por: 5 5 deta Sej qul for lih ou colu utilizd pr clculr o determite, o resultdo será o mesmo: det DICA: Clculr o determite o logo d lih ou colu que teh o mior úmero de zeros. Eercício : Usdo epsão de coftores por qulquer lih ou colu que preç coveiete cos se tg cos se se cos

24 Aul 6. Resp:)7 )- 5) 6)8 Curiosidde: O produto de um mtriz pel su mtriz djut drá um mtriz digol, cuj digol é o vlor do determite d mtriz origil. Eemplo: A c b d e AdjA d c b.etão, c b d d c b d bc d bc. 5 Eercício : Multiplique mtriz A determite de A. Compre os resultdos. pel su mtriz djut e clcule o Eercícios de revisão. Clcule os determites: ) b b b b b b) b c d e c) b c d e f g h i j bdg d) cos se se cos

25 Aul. Resolv equção Resp; ou ou ½.. Ecotre os determites, ssumido que b c d e f g h i. ) b c d e f g h i b) b c d e f g h i c) d e f b c g h i g b h c i c b d) d e f e) f e d g h i i h g Resp:)8 b)- c)- d) e)-8 Eercícios de plicção. Clcule áre do prlelogrmo determido pelos potos: ) (-,-), (,), (,-) e (6,) b) (,), (5,), (6,), (,6) c) (,), (-,), (,-5), (,-). Clcule áre do triâgulo de vértices: ) (,), (,), (-,) b) (,-), (,), (-,5) c) (-,-), (,), (,-). Determie o volume do prlelepípedo que tem os seguites vértices: ) (,,), (,,-), (,,) e (7,,) b) (,,), (,,), (-,-5,) e (-,, -)

26 Álgebr Lier - Prof A Pul AULA Dt: / / MATRIZ INVERSA Mtriz Ivers: SejA um mtriz qudrd de ordem. Se deta, etão eiste um mtriz B, tl que seguite relção sej stisfeit : A B B A I (I é mtriz idetidde) A mtriz B é chmd de mtriz ivers de A e represetd por B A. Logo, temos: A A A A I Observe que operção de multiplicção com mtriz ivers é comuttiv. Se deta, dizemos que mtriz A é ão-iversível ou sigulr. Cálculo d Mtriz Ivers A mtriz ivers é clculd pel seguite relção: A det A AdjA. Eemplo: Clculdo mtriz ivers de A Clculdo-se o determite d mtriz A: A mtriz de coftores é clculd como sedo: CofA A mtriz djut é, mtriz dos coftores A trspost: Com isso temos: 5 AdjA CofA T

27 Aul A AdjA det A Obs: Um mtriz trigulr é iversível, se e somete se seus elemetos digol pricipl são todos ão-ulos. Eercício : Clcule mtriz ivers de A, se possível: ) A b) 6 6

28 Aul Proprieddes ) A ivers de um mtriz trigulr iferior é um mtriz trigulr iferior. ) A ivers de um mtriz trigulr superior é um mtriz trigulr superior. ) Se A B é iversível, etão A B B A. ) A é iversível, etão A A. 5) A A A A A. ftores 5) A é iversível e A A pr,,,... 6) Pr qulquer k costte rel, mtriz k.a é iversível e.k A k A. 7) Se A é um mtriz iversível, etão A T tmbém é iversível ea T A T. 8) Se A é um mtriz simétric iversível, etão A é simétric. 9) Se A é um mtriz iversível, etão A A T e A T A são tmbém iversível. Eercício : Sej A ) A 7. Clcule: b) A c) A A I, ode I é mtriz idetidde 7

29 Aul Eercício de revisão. Ecotre mtriz ivers de cd mtriz dd, se possível: ) A Resp:ão é possível b) Resp: c) cos se se cos Resp: cos se se cos. Mostre que mtriz cos se se cos é iversível pr todos os vlores de. Em seguid, ecotre su ivers. Resp: cos se se cos.. Dd A. Clcule:) A b) A c) A A I Resp: ) 5 b) 5 c) Dds s mtrizes A e B. Clcule: ) A B b) A B T c) A A I d) B Resp: ) 8 b) 6 6 c) d) Eercício de plicção 8

30 Aul Um meir de codificr um mesgem é trvés de multiplicção por mtrizes. Vmos ssocir s letrs do lfbeto os úmeros, segudo correspodêci bio: A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V W X Y Z Supohmos que oss mesgem sej "PUXA VIDA". Podemos formr um mtriz ssim: P U X 5 A V, que usdo correspodêci uméric fic. M I D A 9 Agor sej C um mtriz qulquer iversível, por eemplo: C Multiplicmos oss mtriz d mesgem por C, obtedo M C 9 5 Trsmitimos est ov mtriz ( prátic, evi-se cdei de úmeros ). Quem recebe mesgem decodific- trvés d multiplicção pel ivers MC.C M) e posterior trscrição dos úmeros pr letrs. C é chmd mtriz chve pr o código. ) Você recebeu mesgem: Utilizdo mesm chve, trduz mesgem. b) Acoteceu que o iimigo descobriu su chve. O seu comdte md você substituir mtriz chve por C. Você trsmite mesgem "CRETINO" ele (codificd, turlmete!). Por que ão será possível ele decodificr su mesgem? c) Escolh um outr mtriz-chve que dê pr codificr plvrs té 9 letrs. Codifique e descodifique à votde!. 9

31 Álgebr Lier - Prof A Pul AULA Dt: / / Equções mtriciis Eercício : Ache X, dds A e B.. X A B. X A B. A B X. A B X X A

32 Aul Eercício : Resolv seguite equção mtricil em X (ssum que s mtrizes são tis que s operções idicds estão defiids). ABX C. CAX T C. AX C AXBC. ADX ABC

33 Aul 5. DX T DC 6. ABCX D ABCXD 7. D XD AC 8. CX B B Eercício de revisão Resolv seguite equção mtricil em X (ssum que s mtrizes são tis que s operções idicds estão defiids). A BX A B. XA A. AXB BA. A X AB A 5. ABXA B I A

34 AULA 5 E qução Lier Dt: / / Sistems de Equções Lieres Qulquer lih ret o plo y pode ser represetd lgebricmete por um equção d form: y b ode, e b são costtes reis e e ão são mbs uls. Um equção dest form é chmd de equção lier s vriáveis e y. De form gerl, um equção lier s vriáveis,,..., m como um equção que pode ser epress form: m m b ode,,..., m e b são costtes reis. As vriáveis de um equção lier são, muits vezes, chmds icógits. Eemplo: São equções lieres: y 7 y z Não são equções lieres: y 5 y z z y se Eercício :Quis ds seguites equções são lieres: Eercício : Sbedo que k é um costte, quis ds seguites equções são lieres?. sek. k k 9. k 7

35 Sistems de equções lieres Um sistem de equções lieres e m icógits tem seguite represetção lgébric: m m b m m b m m b ode ij são coeficietes cohecidos, b i são costtes dds e j são s icógits do sistem. Um equção geéric i do sistem poderi ser represetd usdo otção (somtório) d seguite meir: j i j ij b Pr se represetr tods s equções do sistem, bst fzer: j i j ij m i pr b,,, h Desej-se gor, represetr o sistem usdo otção mtricil. Pode-se reescrevê-lo d seguite meir: m m m m b b b Defiido-se os vetores: m m m m b b b b A A A l l l l podemos reescrever o sistem de equções d seguite form: A A...A m m b. Filmete se defiirmos mtriz A e o vetor form:

36 m m m m A podemos represetr o sistem mtricilmete como: A B ou sej, B m A m m m b b b l l MM M L MM IM K h l l l l h h Nest otção mtricil. A é deomid mtriz de coeficietes, é deomido mtriz ds vriáveis e B é deomido mtriz dos termos idepedetes. Eemplo: Sej o sistem de equções lieres. Este sistem tem equções e icógits. N form mtricil, tem-se: A X B Mtriz Aumetd: A mtriz umetd é obtid pel djução de b A como últim colu. [ ] m m m b b b b A

37 Eemplo: Usdo o último eemplo, mtriz umetd deste sistem fic: Eercício : Ecotre mtriz umetd de cd um dos seguites sistems de equções lieres: ) y 5y 7 y b) c) d) z y z 7 6 y z Eercício : Ecotre o sistem de equçõe lieres correspodedo à mtriz umetd: ) b) c) d)

38 Tipo de sistems Um sistem de equções lieres (SEL) temsolução qudo eistem vlores pr,,..., que sstifzem, simultemete, tods s equções do sistem. Quto eistêci de soluções: Sistem Impossível (SI): Um sistem de equções que ão possui solução Sistem Possível (SP): Se eistir pelo meos um solução do sistem, dizemos que ele é possível. Obs: Todo sistem de equções lieres tem ou ehum solução, ou etmete um, ou etão um ifiidde de soluções. Quto o úmero de soluções: Um sistem possível pode ter um úic solução ou ifiits soluções. Qudo possui um úic solução, dizemos que o sistem é possível e determido(spd). E qudo possuir ifiits soluções, dizemos que o sistem é possível e idetermido (SPI). Pode ser clssificdo de cordo com mtriz B: Sistem Homogêeo: Um sistem lier é dito homogêeo, se mtriz B do sistem é ul, isto é, b j pr qulquer j. m m m m m m Se pelo o meos um b j, etãoosisteméditoão-homogêeo. O sistem homogêeo sempre tem solução, pois têm,,..., sempre como um solução. Est solução é chmd de solução trivil ou solução ul; se há outrs soluções ests soluções são chmds ão-triviis. Como um sistem lier homogêeo sempre tem solução trivil, só eistem dus possibiliddes pr sus soluções: - O sistem tem somete solução trivil; - O sistem tem ifiits soluções lém d solução trivil. O sistem homogêeo tem ifiits soluções sempre que o sistem tiver mis icógits que equções. 6

39 Eercício 5: Clssifique os sistems bio em relção mtriz B: y ) 5y 7 y b) c) d) z y z 6 y z Resolver um SEL Resolver um SEL é ecotrr solução deste sistem, isto é, ecotrr os vlores ds icógits que sstifçm, simultemete, tods s equçõe do sistem. Lembrdo que em todo sistem tem solução. A prtir de gor, veremos lgus métodos que os permitirá resolver o SEL. Ms tes disto, veremos s operções que podemos relizr pr ecotrr um solução. Operções Elemetres O método básico de resolver um sistem de equções lieres é substituir o sistem ddo por um sistem ovo que tem o mesmo cojuto-solução, ms que é mis simples de resolver. Este sistem ovo é gerlmete obtido um sucessão de pssos plicdo mtriz umetd os seguites três tipos de operções pr elimir sistemticmete s icógits: - Multiplicr um lih iteir por um costte. (L i k L i, ode ké um costte rel ); Eemplo: 8 L L Trocr dus lihs etre si.(l i L j ); Eemplo: 7

40 Aul 5 Eemplo: L 8 L L L 6 - Somr um múltiplo de um lih um outr lih (L j L j k L i, ode ké um costte rel ); Eemplo: 9 L L L Ests três operções são chmds operções elemetres sobre lihs. Mtriz esclod: Um mtriz está form esclod reduzid por lihs, ou simplesmete, form esclod reduzid, se:. Se um lih ão cosistir só de zeros, etão o primeiro úmero ão ulo d lih é um, chmdo de pivô.. Se eistirem lihs costituíds somete de zeros, els estão grupds juts s lihs iferiores d mtriz.. Em quisquer dus lihs sucessivs que ão cosistem somete de zeros, o pivô d lih iferior ocorre mis à direit que o pivô d lih superior.. Cd colu que cotém um pivô tem zeros os demis elemetos. Dizemos que um mtriz que tem s primeirs proprieddes está form esclod por lihs, ou simplesmete, em form esclod.assim, um mtriz em form esclod reduzid por lihs ecessrimete está em form esclod, ms ão reciprocmete. Observe que um mtriz form esclod tem zeros bio do pivô, equto que um mtriz em form esclod reduzid por lihs tem zeros bio e cim do pivô. Eemplo: Mtrizes estão form esclod s mtrizes A, C, D e form esclod reduzid s mtrizes B, C, D. A 7 B C Eemplo: Mtrizes que ão estão form esclod: A 8 7 B C D D

41 Aul 5 Eercício 6: Determie se mtriz está form esclod, esclod reduzid, mbs ou ehum ds dus. Justifique su respost. A 5 B C D E F G Métodos pr ecotrr solução de sistems de equções lieres Método de Elimição Sej o sistem lier A B, ode A tem tods s submtrizes pricipis ão sigulres O método de Elimição de cosiste em trsformr mtriz umetd do sistem ddo um form esclod por lihs pel plicção repetidmete s operções elemetres. Clro que tl operção ão lter solução do sistem, isto é, obtém-se com el outro sistem equivlete o origil. Descrição do lgoritmo Cosideremos o sistem: m m b m m b m m b cuj mtriz umetd chmremos A. Motmos tbel: () () () () () () () () () () b () b () b ode ij ij e b ij b ij p/ i,,j,...,. Por hipótese temos que, pois deta. Psso : Loclize colu mis à esquerd que ão sej costituíd iteirmete de zeros. 9

42 Aul 5 Psso : Permute primeir lih com um outr lih, se ecessário, pr obter um elemeto ão-ulo o topo d colu ecotrd o Psso. Psso : Se o elemeto, que gor está o topo d colu ecotrd o Psso, é, multiplique primeir lih iteir por / pr itroduzir um pivô. Psso : Some múltiplos coveietes d primeir lih às lihs iferiores pr obter zeros em todos os elemetos bio do pivô. Pr isso: Subtrímos d equção equção multiplicd por Subtrímos d equção equção multiplicd por Subtrímos d equção equção multiplicd por Pssmos etão d tbel iicil tbel:... () () () () () () () b b b () () () ode b () ij () i b () ij () i b () j () () i () () i () p/ i,j,,... Por hipótese temos que, pois deta. Psso 5: Agor escod primeir lih d mtriz e recomece plicdo o Psso submtriz resultte. Cotiue dest meir té que tod mtriz estej form esclod. Pr isso: Subtrímos d equção equção multiplicd por Subtrímos d equção equção multiplicd por Subtrímos d equção equção multiplicd por...

43 Aul 5 Obtemos etão tbel: () () () () () () b b b () () () ode b () ij () i b () ij () i b () j () () i () () i () p/ i,j,,... Por hipótese temos que, pois deta. E ssim sucessivmete té chegrmos o: Temos por hipótese que,, pois deta. Subtrímos d equção, equção multiplicd por.,., E ssim, obtemos tbel: () () () () () () h h h h h h (), (), (), h ( ), () () () h ( ), ( ) () b () b () b h ( ) b ( ) b ode b ( ) ij ( ) i b ( ) ij ( ) i b ( ), j ( ) ( ) i, ( ), ( ) i, ( ), p/ i, j -,.

44 Aul 5 Assim o sistem trigulr obtido ) ( ) ( ) ( ) (, ) (, () () (), () () () (), () () () () (), () () () b b b b b é equivlete o origil. Psso 6: Começdo com últim lih ão-ul e trblhdo pr cim, some múltiplos coveietes de cd lih às lihs superiores pr itroduzir zeros cim dos pivôs. E ssim, obtemos tbel: ) ( ) ( ) ( ) (, () () () () () () b b b b b Assim o sistem trigulr obtido ) ( ) ( ) ( ) (, () () () () () () b b b b b Até o Psso 5, isto é, té obter mtriz umetd form esclod, o método tem o ome de Elimição Gussi. E pr ecotrr solução do sistem, us-se substituição ivers. Desevolvedo té o Psso 6, isto é, té obter mtriz umetd form esclod reduzid por lihs, o método tem o ome de Elimição de Guss-Jord.

45 Aul 5 Obs: Tod mtriz tem um úic form esclod reduzid por lihs. Porém, um form esclod de um dd mtriz ão é úic. Eemplo: Resolver o sistem usdo o método de elimição de Guss Temos mtriz umetd: Psso : / 6 / / Psso : 9 / 7 / / / / 6 7 / 6 / / Psso 5: 8/ / 6 7 / 8/ / / 6 / / Assim obtemos:

46 Aul 5 Portto, solução é. A seguir serão mostrdos os pssos usdos um eemplo prático, ode s operções idicds são operções elemetres, feits com s equções lieres que compõe o sistem de equções. Eemplo: Sejosistem mtricilmete teremos: 7 9 Usdo operções elemetres, podemos eecutr os seguites pssos: Psso : Substituir segud lih pel som d segud lih, multiplicd por (-), com primeir lih L L L L L L Psso : Trocr segud lih pel terceir; L L L L Psso : Substituir segud lih pel som d segud lih, vezes (-) com primeir lih; L L L Psso : Dividir segud lih por (-) e terceir lih por (-);

47 Aul L L L L Psso 5: Substituir segud lih pel difereç etre segud e terceir lihs; 6 L L L Psso 6: Substituir primeir lih pel difereç etre primeir lih e (-) vezes terceir lih; 6 L L L Psso 7: Filmete, substituir primeir lih pel difereç etre primeir lih e (-) vezes terceir lih; 5 6 L L L Com isso obtemos pr solução do sistem: 5 Obs: Em sistems grdes, o método de elimição de Guss-Jord requer cerc de 5% mis operções que elimição gussi. Eercício 7: Resolv os sistems e clssifique-os quto o úmero de soluções.. y 8 y 5 5

48 Aul 5 y. 8 y. 9y 9y 5. y 6z y z 6 8y z 6

49 Aul 5 y z 8 5. y z 5y z 6. y 6 5 y y 7

50 Aul 5 y 6 5 y y 9 Crcterístic de um mtriz Crcterístic d mtriz umetd (C ): é o úmero de lihs com elemetos ão todos ulos de su form esclod equivlete. Crcterístic d mtriz dos coeficietes (C v ): é o úmero de lihs com elemetos ão todos ulos de su form esclod equivlete. Se C Cv, o sistem é impossível (SI). Se C Cv úmero de vriáveis do sistem, o sistem é possível e determido (SPD). Se C Cv úmero de vriáveis do sistem, o sistem é possível e idetermido (SPI). Etão o gru de liberdde é g úmero de vriáveis - úmero de equções ão ulos form esclod. Eercício 8: Revej os sistems do eercício terior, lisdo C ecv. Eercício 9. Resolv os sistems e clssifique-os quto o úmero de soluções.. 8y z 8w 8 y 5 w 9 8

51 Aul 5. 6y 9z y 6z. y 6 8 y 9

52 Aul 5. y z y z y z 5. y 5z 8 y z y z 5

53 Aul 5 6. y 6z 6 y z 8 y z RegrdeCrmer SejosistemA B ode deta é o determite d mtriz A. SejdetA i o determite d mtriz formd pel substituição d colu i d mtriz A pelo vetor de coeficietes costtes B. Crmer demostrou que solução deste sistem é dd por i det( A ) i det( A) p / i,, Eemplo: Resolver o sistem lier trvés d regr de Crmer: y 5z 8 y z y z 5

54 Aul 5 Obs: Só pode ser usdo se deta. Pr resolver um sistem de equções lieres com icógits pel Regr de Crmer, é ecessário clculr determites de mtrizes. Pr sistem com mis de equções, elimição de Guss é muito mis eficiete, pois somete requer redução de um mtriz umetd (). Eercício : Resolver o sistem lier trvés d regr de Crmer, se possível: 7 y. y 5. 5y y z 5y z 5

55 Aul 5 y z 6. y z y z. y z 7y z 6y z 5 5

56 Aul 5 Método por iversão de mtriz Ddo um sistem de equções lieres form A B, podemos multiplicá-lo esquerd por A, e obtermos: A A A B Simplificdo equção terior, usdo A A I obtemos iguldde: A B queésoluçãodosistemdeequções. Obs: É vtjoso utilizr este método qudo mtriz dos coefiecietes é fi e mtriz B vri. Eemplo: Resolver o SEL. fzedo iversão d mtriz de coeficietes: Colocdo o sistem em otção mtricil, temos: Como visto teriormete / / / / 5/ A ou sejs solução do sistem será dd por : / / / / 5/ b A MM M L MM IM K Eemplo: Resolv o sistem por iversão de mtrizes: y 5 6y 9 A ivers d mtriz A 5 6 é 6 5. Etão solução do SEL será: 5

57 Aul 5 y Eemplo: Resolv o sistem por iversão de mtrizes: y 5 6y 5 Como já foi clculd mtriz ivers o eemplo terior, temos solução dd por: 6. y 5 5 Eercício : Resolv o seguite sistem gerl por iversão de mtrizes. y z b y z b pr y b ) b,b, b b) b 5,b, b c) b,b, b 55

58 Aul 5 Geometricmete O cojuto-solução de um sistem lier de dus equções com dus icógits é equivlete determir iterseção de dus rets: by c d ey f com e b ão são simultemete ulos e em o são d e e.este sistem dmite um iterpretção geométric, e sus proprieddes motivm o cso gerl. Há três csos, que podem ser descritos geometricmete. Cso : O sistem tem etmete um solução (SPD). Os gráficos ds equções lieres se iterceptm em um poto, isto é, s rets são cocorretes. Y X Cso : O sistem ão dmite soluções (SI). Os gráficos ds equções lieres são prlelos, isto é, s rets são prlels. Y X Cso : O sistem tem um úmero ifiito de soluções (SPI). Aqui o gráfico ds equções lieres coicidem, isto é, s rets são coicidetes. Y X 56

59 Aul 5 Eercício : Determir iterseção etre s dus rets e esboce o gráfico. y. 5 7y. y 6y 5. y 5 6 y 57

60 Aul 5 Eemplo: Ecotre ret iterseção dos plos y z e y z. Eercício : Ecotre ret iterseção dos plos ) y z - e y z 5 b) y z e y z 58

61 Aul 5 Método pr iverter mtrizes usdo operções elemetres Pr ecotrr ivers de um mtriz iversível A, ós devemos ecotrr um seqüêci de operções elemetres sobre lihs que reduz A à idetidde e depois efetur est mesm seqüêci de operções mtriz idetidde I pr obter A. Eemplo: Ecotre Ivers de [ A I ] IMKML l [ I l A ] A Motr mtriz: A I Efetur operções elemetres mtriz cim té que: 5 / / / / / I - A Eercício : Clcule mtriz ivers ds mtrizes bio. Use o método com operções elemetres: )

62 Aul 5 ) Obs: SeA é um mtriz qudrd de ordem, etão s seguites firmções são equivletes: ) A é iversível b) deta c) A só tem solução trivil d) A B é possível e tem etmete um úic solução. Resumo Tipo de sistem o. de eq. o. de vr. determite Esclod Clssificção Método AX B AX 6

63 Aul 5 Eercícios de revisão:. Ecotre o cojuto-solução de cd um ds seguites equçõe lieres: ) 7 5y b) 5 7 c) d) v 8w y z. Em cd prte, supoh que mtriz umetd de um SEL foi reduzid à form esclod dd. Resolv o sistem: ) 7 5 b) c) d) Resolv cd um dos seguites sistems: y z 8 ) y z 7y z Resp:, y ez b) c) d) b c 6b c 6 b c 5 8y 6y 9 y 6 5 y 6z y z Resp: SI Resp: y Resp: -5z e y -57z 6

64 Aul 5 e) v w u v w u v w u v 5w Resp: u 5 7 w ev-w f) g) y z y y z y z y z Resp: trivil Resp:, y 8,z. Use o método de iversão de mtrizes pr resolver o SEL: ) y 7 5y b pr b, b e b,b 5 Resp: y b e y ; e b) y 5z b y b 5y z b pr b,b,b b,b,b b,b,b. Resp: 8,y 9,z,y,z 5,y,z 5. Clcule mtriz ivers ds mtrizes bio. Use o método com operções elemetres: ) 5 Resp: b) Resp: O sistem seguite ão tem soluções pr quis vlores de? Etmete um solução? Ifiits soluções? y z y 5z y z Resp:, ehum;, etmete um;, ifiits. 7.Determie o vlor de m pr que o sistem sej 6

65 Aul 5 m my m m y 9m ) Possível determido Resp; m /, m b) Possível idetermido Resp: m/ c) Impossível Resp: m - 8. Dê um eemplo de três plos: ) cuj iterseção sej um ret. b) ão tehm ehum poto em comum, ms se iterceptm dois dois. c) de modo que etmete dois deles sejm prlelos. d) que se iterceptm em um úico poto. Eercícios de plicção Um florist oferece três tmhos de rrjos de flores com ross, mrgrids e crisâtemos. Cd rrjo pequeo cotém um ros, três mrgrids e três crisâtemos. Cd rrjo médio cotém dus ross, qutro mrgrids e seis crisâtemos. Cd rrjo grde cotém qutro ross, oito mrgrids e seis crisâtemos. Um di, florist otou que hvi usdo um totl de ross, 5 mrgrids e 8 crisâtemos o preprr s ecomeds desses três tipos de rrjos. ) Mote um sistem de equções lieres que represete o problem cim. b) Qutos rrjos de cd tipo el fez? Use somete us dos métodos presetdos em sl de ul pr resolver o problem. Resp:,,. O seguite problem fz prte do teto chiês Jiuzhg sushu (Nove cpítulos em rte mtemátic), escrito durte Disti de H, cerc de os.c.: Há três tipos de milhos. Três feies do primeiro tipo, dois do segudo e um do terceiro fzem 9 medids. Dois feies do primeiro tipo, três do segudo e um do terceiro fzem medids. Um feie do primeiro tipo, dois do segudo e três do terceiro fzem 6 medids. ) Mote um sistem de equções lieres que represete o problem cim. b) Quts medids de milho há em um feie de cd tipo? Use somete us dos métodos presetdos em sl de ul pr resolver o problem. Resp: 9,5,,5 e,75. A dição de fuções rciois (quociete de poliomiis) obtid trvés de um escolh de um deomidor comum, é feit de modo álogo à dição de úmeros rciois. O processo reverso, de seprr um fução rciol escrevedo- como um som de fuções rciois simples, é útil em muits áres d mtemátic; por eemplo, prece em cálculo diferecil e itegrl qudo precismos itegrr um fução rciol, e em mtemátic discret, qudo usmos fuções gerdors pr resolver relções de recorrêci. A decomposição de um fução rciol como som de frções prciis lev um sistem de equções lieres. Ecotre os vlores de A, B e C que torem equção um idetidde. ) A BC Resp: A -7/5, B /5, C /5 Sugestão: Multiplique mbos os ldos por (-)() e igule os coeficietes correspodetes dos poliômios obtidos em mbos os ldos d equção resultte. 6

66 Aul 5 b) A B c) A B C Resp: A eb. Resp:. Sbemos, d geometri elemetr, que eiste um úic ret que pss por dois potos distitos de um plo. É meos cohecido o fto de que eiste um úic prábol que pss por quisquer três potos ão colieres de um plo. Pr cd cojuto de potos seguir, ecotre prábol com equção d form y c que psse pelos potos ddos. (Esboce prábol resultte pr coferir vlidde d respost). ) (,,(-,) e (,) Resp: y b) (-,), (-,) e (-,5) Resp: y 6 5.Um biólogo colocou espécies de bctéri (deotds por I, II e III) em um tubo de esio, ode els serão limetds por três fotes diferetes de limetos (A, B e C). A cd di serão colocds o tubo de esio uiddes de A, 8 uiddes de B e 5 uiddes de C. Cd bctéri cosome um certo úmero de uiddes de cd limeto por di, de cordo com tbel bio. Bctéri d espécie I Bctéri d espécie II Bctéri d espécie III Alimeto A Alimeto B Alimeto C ) Ecotre o sistem que equcioe tbel bio. b) Quts bctéris de cd espécie podem coeistir o tubo de esio de modo cosumir todo o limeto? (Use somete Elimição Gussi ou Regr de Crmer pr resolver o problem) Resp:, y 5ez 5 6. Um biólogo colocou espécies de bctéri (deotds por I, II e III) em um tubo de esio, ode els serão limetds por três fotes diferetes de limetos (A, B e C). A cd di serão colocds o tubo de esio 5 uiddes de A, uiddes de B e 5 uiddes de C. Cd bctéri cosome um certo úmero de uiddes de cd limeto por di, de cordo com tbel bio. Bctéri d espécie I Bctéri d espécie II Bctéri d espécie III Alimeto A Alimeto B Alimeto C 5 ) Ecotre o sistem que equcioe o problem. b) Quts bctéris de cd espécie podem coeistir o tubo de esio de modo cosumir todo o limeto? (Use somete Elimição Gussi ou Regr de Crmer pr resolver o problem) c) Eiste lgum solução que stisfç equção y z? (ode bctéri I, y bctéri II e z bctéri III) Resp: z,y 5 -z e z 75. 6

67 Aul 5 7.Três proprietários de css um pedreiro, um eletricist e um hidráulico pretedem fzer cosertos em sus três css. Eles cocordm trblhr um totl de dis cd de cordo com seguite tbel: Dis Dis de trblho cs do Trblho eecutdo pelo Pedreiro Eletricist Hidráulico Pedreiro 6 Eletricist 5 Hidráulico Pr efeitos de impostos, eles devem declrr e pgr um o outro um slário diário rzoável, mesmo pr o trblho que cd um fz em su própri cs. Seus slários diários ormis são cerc de R$,, ms eles cocordm em justr seus respectivos slários diários de tl modo que sim emptdos, ou sej, de tl modo que o totl pgo por cd um é igul o totl recebido. Pr stisfzer codição de equilíbrio de que sim emptdos, ós eigimos que totl dos gstos totl recebido pr cd um dos proprietários pelo período de dis. Resp: pedreiro: R$9,, Eletricist: R$96, e Hidráulico: R$8,. 65

68 Álgebr - Prof A Pul AULA 6 Dt: / / ESPAÇOS VETORIAIS Com doze dres de ltur e pesdo 75 toelds, o US Columbi prtiu mjestosmete de su pltform de lçmeto um mhã fresc um domigo de bril de 98, em Plm. Produto de dez os de ites pesquis e desevolvimeto, o primeiro ôibus espcil dos EUA foi um vitóri d egehri de cotrole de sistems, evolvedo muits áres d egehri - eroáutic, químic, elétric, hidráulic e mecâic. Os sistems de cotrole do ôibus espcil são bsolutmete críticos pr o vôo. Como o ôibus espcil é um erove istável, ele requer um costte moitormeto por computdor durte o vôo tmosférico. O sistem de cotrole de vôo evi um seqüêci de comdos pr s superfícies de cotrole erodiâmico e jtos de propulsão. Mtemticmete, os siis de etrd e síd de um sistem de egehri são fuções. É importte pr s plicções que esss fuções possm ser somds e multiplicds por esclres. Esss operções em fuções têm proprieddes lgébrics que são completmete álogs às operções de som de vetor e multiplicção de vetor por esclr o. Por este motivo, o cojuto de tods s etrds possíveis (fuções) é chmdo de um espço vetoril.(teto etrído e dptdo de Livro Álgebr Lier e sus plicções, Dvid C. Ly, ª edição. LTC.). Defiição: Um espço vetoril rel (brevido por e.v.) é um cojuto V, ão vzio, com dus operções: som: V V V v,v v v e multiplicção por esclr K V V,v v stisfzedo proprieddes opertóris álogs às listds pr mtrizes e vetores, sedo: d som: A) u v v u, comu,v V. A) u v w u v w. A) Eiste um elemeto ulo em V tl que u u u. A) Pr cd u em V, eiste um elemeto oposto u em V tl que u u. d multiplicção por esclr: M) u v u v. M) u u u. M) u u. M) u u, pr todo elemeto u de V. 66

69 Portto, dizer que V é um espço vetoril rel sigific que V é fechdo pr som e pr multiplicção por esclr. Isto é, se u e v são elemetos quisquer de V, etão u v está em V. E se u é um elemeto qulquer de V e qulquer úmero rel, etão u está em V. Obs:. Os elemetos de V são chmdos de vetores.. O vetor ulo () devéúico.. O vetor oposto de v em V, isto é, v v, é úico.. Em gerl se escreve v v e u v u v, por simplicidde. Eemplo: Se V é o cojuto ds mtrizes de ordem, chmremos mesmo ssim s mtrizes de vetores. Eemplos: São espços vetoriis com s operções usuis ( som e multiplicção por esclr cohecids): cojuto dos úmeros reis., y/,y cojuto dos vetores o plo bi-dimesiol., y,z/,y,z cojuto dos vetores o plo tri-dimesiol.,,, / i cojuto dos vetores -upls de úmeros reis. M m cojuto ds mtrizes m cujos elemetos são reis. M cojuto ds mtrizes de ordem cujos elemetos são reis. f cojuto ds fuções reis de vriável rel. P ² cojuto dos poliômios de gru meor ou igul de coeficietes reis. Eercício : Descrev o vetor ulo e vetor oposto de cd espço vetoril citdo cim. 67

70 SUBESPAÇOS VETORIAIS Ás vezes, é ecessário detectr, detro de um espço vetoril V, subcojutos S que sejm eles próprios espços vetoriis "meores". Tis cojutos serão chmdos subespços vetoriis de V. Eemplo: O cojuto ulo S{} e o próprio espço vetoril V são subespços (triviis) dev. Defiição: Sej V um espço vetoril rel. Um subcojuto S V (um cojuto ão vzio) é um subespço vetoril de V se: ) S. b) Se v,w S, etão v w S. c) Se k e v S, etão k v S. Sej V um espço vetoril rel e S um subcojuto ão vzio de V. S é um subespço vetoril de V se S for um espço vetoril, com s operções de dição e multiplicção por esclr defiids pr V. Observção: Muits vezes usmos plvr subespço o lugr de subespço vetoril e espço o ivés de espço vetoril qudo ão eiste possibilidde de dúvid. Eemplo: São subespços de com s operções usuis: y y y, origem um ret que pss pel origem Eemplo: São subespços de com s operções usuis: -,, origem - um ret que pss pel origem - um plo que pss pel origem. -eopróprio próprio Eemplo: Não é subespço vetoril de com s operções usuis: S,y / e y 68

71 OBS:, isto é,,,,!!!!!!!!!! Eemplo: São subespços vetoriis de V ddo: ) S S M /S S T cojuto ds mtrizes simétrics de V M (cojuto ds mtrizes qudrds de ordem ). b) Se AX B é um sistem lier homogêeo de m equções em icógits, etão o cojuto dos vetores-soluções é um subespço do V y z Eemplo:. Ecotre solução deste sistem homogêeo. Verifique que o vetor-solução pode ser escrito como y z que é equção de um plo que pss pel origem, isto é, S,y,z / y z é subespço vetoril de com s operções usuis. Isto sigific que se somrmos dus soluções, som de soluçõe tmbém será um solução do sistem. Fç o teste: ecotre dus soluções e some-s! O produto de um costte rel por um solução tmbém será solução do sistem. Fç o teste: multiplique um solução por um costte rel qulquer! 69

72 E solução trivil é solução do SEL, o que prov que o vetor-solução é um subespço vetoril do com s operções usuis. E o SEL for ão-homogêeo, o cojuto dos vetores-soluções será um subespço do V? Por quê? Eemplo: O cojuto S,y,z / y 6z (plo cotedo origem) é um subespço de. Eemplo: O cojuto S,y,z / y 6z (plo ão cotedo origem) ão é um subespço de. Eemplo: Sejm S e S subespços do espço V. A iterseção de subespços S S éum subespço de V, ms uião S S ão é um subespço de V. 7

73 Eercício : Quis dos seguites cojutos S são subespços vetoriis de V? Justifique ) V es,, / Resp: sim ) V es,, / Resp: ão ) V es,b,c /b c,ode,b,c Resp: ão ) V M es A c b d M / b c d,ode,b,c Resp: sim 5) V M es A c b d M /deta Resp: ão 6) V M es A M /A T A Resp: sim 7

74 Eercícios de Revisão ) Cosidere o cojuto cujo úico elemeto é Lu. Será este cojuto um espço vetoril com s operções LuLu Lu e k Lu Lu pr cd úmero rel k? Epliqueoseu rciocíio. Resp: sim. ) Você cosider possível eistir um espço vetoril formdo por etmete dois vetores distitos? Eplique o seu rciocíio. Resp: ão. ) Determie se o cojuto-solução do sistem AX é um ret pel origem, um plo pel origem ou somete origem. Se for um plo, obteh um equção pr este plo; se for um ret, obteh s equções prmétrics dest ret. ) A 5 b) A c) A 5 8 d) A 6 6 e) A f) A 6 9 Resp: ) ret; /t,y /t,z t b) ret; t,y t,z c) origem d) origem e) ret; t,y t,z t f) plo; y z ) Decid se firmção dd é sempre verddeir ou às vezes fls. Justifique su respost ddo um rgumeto lógico ou um cotr-eemplo. ) Se AX B é qulquer sistem lier possível de m equções em icógits, etão o cojuto-solução é um subespço de. Resp:fls b) Se W é um cojuto de um ou mis vetores de um espço vetoril V tl que ku v sempre é um vetor em W pr quisquer vetores u e v em W e qulquer esclr k, etão W é um subespço de V. Resp: verddeir 5) Cosidere o sistem lier y 6z y z b 6y z c Sej W,y,z /,y,z é solução do sistem. Isto é, W é o cojuto-solução do sistem; Que codições devemos impor,b,e c pr que W sej subespço vetoril de? Resp:bc 7

75 Álgebr Lier - Prof A Pul AULA 7 Dt: / / Combições Lieres Defiição: Sej V um espço vetoril rel e S v,v,,v um cojuto de vetores em V. Dizemos que um vetor qulquer v V é combição lier dos elemetos de S, se eistem esclres k,k,,k tl que v k v k v k v OBS: ) Se, etão equção dest defiição reduz v k v ; ou sej, v é um combição lier de um úico vetor v se for um múltiplo esclr de v. ) Se o sistem obtido for impossível (SI), etão ão eistem esclres de modo que v poss ser escrito como combição lier dos vetores v,v,,v.portto, v ão é combição lier dos vetores v,v,,v. ) Se o sistem tiver solução, isto é, for possível (SP), etão v pode ser escrito como combição lier dos vetores v,v,,v. Se o sistem for SPD, os esclres são úicos, isto é, v pode ser escrito de form úic como combição lier dos vetores v,v,,v. Eemplo: Ovetorv,, R³ pode ser escrito como um combição lier dos vetores de S,,,,,,,,. Eemplo: O vetor v,, 6 R³ ão é combição lier dos vetores de S,,,,,. 7

76 Eemplo:. O vetor v, 8,7 R³ é combição lier dos vetores de S,,,,,. Resp:v v v Eercício : Determir esclres p,q,r tl que,, p,, q,, r,,. Resp: p,q e r Eercício : Determie o vlor de k pr que o vetor u,k,7 sej combição lier dos vetores de S,,,,,. Resp: k 7

77 Eercício : Determie codição pr que,y,z de modo que,y,z sej combição lier dos vetores de S,,,,,.Iterprete geometricmete. Resp: y z Eercício : Mostrr que o vetor v(,) pode ser escrito de ifiits meirs como combição lier dos vetores de S{(,), (,), (,-)}. 75

78 Cd vetor,b,c em pode escrito como um combição lier dos vetores: i,, j,, k,, pois v, b,c,, b,, c,, i bj ck. Eercício 5: Escrev os vetores como um combição de i, j e k. ) (-,,5) b) (,,) c) (-,,) d) (,,) e) (,,7) f) (,,-) g) (,5,) h) (-,-,-) i) (,,) k) (, 9, ) Eercícios de Revisão ) Quis dos seguites são combições lieres de u,, e v,,? ) (,,) b) (,,5) c) (,,5) d) (,,) Resp:,b,d ) Epresse os seguites como combições lieres de u,,, v,, e w,,5. ) (-9,-7,-5) b) (6,,6) c) (,,) d) (7,8,9) Resp: ) u v w b) u 5v w c) u v w d) u v w ) Quis ds seguites mtrizes são combições lieres de A, B, C? ) b) c) 6 8 d 5 7 Resp:,b,c 76

79 Álgebr Lier - Prof A Pul AULA 8 Dt: / / ESPAÇOS FINITAMENTE GERADOS Defiição: Sej V um espço vetoril. Cosideremos um subcojuto A v,v,,v V, A. O cojuto S de todos os vetores de V que são combições lieres dos vetores de A é um subespço vetoril de V. O subespço S diz-se espço gerdo pelos vetores v,v,,v ou gerdo pelo cojuto A e é represetdo por: S v,v,,v ode v,v,,v são chmdos gerdores do subespço S, equto A é o cojuto gerdor de S. OBS: A, etão, por coveção. Eemplo: ),,, ) S,y,/,y,,,,, ),,,,,,,, ),,/ 5),,,,/ OBS: O subespço gerdo por um vetor do ou, v, é um ret que pss pel origem. 6),,,,,,,y,z / y 5z 7),, 5, OBS: O subespço gerdo por dois vetores do ou, ão-colieres, é um plo que pss pel origem. No cso do, éopróprio. 8),,,,,,,,. OBS: O subespço gerdo por vetores ão-coplres é o próprio. 9) V M, y t y y t /y,t 77

80 OBS: O cojuto gerdor ão é úico. Defiição: Um espço vetoril V é fiitmete gerdo se eiste um cojuto fiito A, A V, tl que V A. Eemplo: São espços vetoriis fiitmete gerdos:,,, Mm. Eemplo: Determie se u,,, v,, e w,, germ o espço vetoril. OBS: O problem reduz determir se o sistem obtido é possível pr quisquer vlores de,y e z. Isto é, será SP se, e somete se, o determite d mtriz dos coeficietes for ão-ulo. Se o determite for ulo, etão os vetores ão germ o espço. 78

81 Eercício de Fição Determie se os vetores ddos germ. ) u(,,), v(,,), w(,,) ) u(,-,), v(,,), w(8,-,8) ) u(,,), v(,-,5), w(5,-,9), t(,,-) ) u(,,6), v(,,), w(,,), t(,,) Resp:,d 5) Sejm f cos e g se. Quis dos seguites estão o espço gerdo por f e g? ) cos b) c) d) se e) Resp:,c,e 6) Ecotre um equção pr o plo gerdo pelos vetores u,, e v,,. Resp: y z 7) Ecotre equções prmétrics pr ret gerd pelo vetor u,,5. Resp: t,y t,z 5t ode t 8) Mostre que v,6, e v,, e v,,5 germ o mesmo subespço vetoril de que os vetores w,, 5 e w,8,9. 9) Decid se firmção dd é sempre verddeir ou às vezes fls. Justifique su respost ddo um rgumeto lógico ou um cotr-eemplo. ) Se S é um cojuto fiito de vetores de um espço vetoril V, etão S é fechdo pr dição e multiplicção por esclr. Resp: Verddeir. b) A iterseção de dois subespços de um espço vetoril V tmbém é um subespço de V. Resp: verddeir. c) Se S S, etão S S. Resp: fls. ) Sob quis codições dois vetores de germ um plo? E um ret? ) Sob quis codições vle u v? Eplique. 79