UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS UNIDADE UNIVERSITÁRIA DE JUSSARA LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA DANILO SOUZA MELO

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1 0 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS UNIDADE UNIVERSITÁRIA DE JUSSARA LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA DANILO SOUZA MELO PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA), PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG) E SUAS APLICAÇÕES JUSSARA-GO 0

2 DANILO SOUZA MELO PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA), PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG) E SUAS APLICAÇÕES Moogrfi presetd o Deprtmeto de Mtemátic d Uiversidde Estdul de Goiás - UEG, Uidde Uiversitári de Jussr GO, em cumprimeto à exigêci pr obteção do título de Grdudo em Mtemátic, sob orietção d professor Stel Mres Corre. JUSSARA-GO 0

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4 AGRADECIMENTOS Agrdeço Deus pel vid e súde, os meus pis que proporcioou um educção dequd, e todos os professores que cotribuírm mih formção escolr e cdêmic.

5 4 RESUMO O trblho moográfico preset coceitos, defiições e plicções de Sequêcis, Progressões Aritmétics PA(s) e Progressões Geométrics PG(s), com filidde de explicitr como o tem iterge em diverss áres do cohecimeto. A miori ds pessos vivecim o di--di certs situções que evolvem sequêcis ou pdrões, ms em todos coseguem exergr por flt de cohecimeto ou teção. O objetivo foi preprr um mteril de fácil compreesão destido o leitor permitido-o: revisr sistemticmete lgus coteúdos mtemáticos já estuddos, mesurr o quto seu uiverso está repleto de sequêcis ou pdrões, e lisr diâmic de sequêcis e progressões presetes su vid. A pesquis é bibliográfic e está dividid em dois cpítulos. No primeiro cpítulo iici-se borddo lgus csos o cotidio ds pessos o ituito de defiir istitivmete o que é um sequêci. Com o decorrer do cpítulo observ-se diferecições etre sequêci fiit e ifiit, e como express um sequêci trvés d Lei d Formção de Sequêci. A seguir presetrá itrodução de PA, PG e sus proprieddes, qul o foco cetrl d pesquis girrá em toro desss dus progressões. No segudo cpítulo vemos como s progressões são plicds em outrs áres do cohecimeto, tis como: Mtemátic Ficeir que bordm coteúdos referetes o regime de cpitlizção simples (juros simples), compost (juros compostos), e sequêcis de cpitis em PA e PG; Geometri Frctl o estudo do processo de costrução de figurs; e Crescimeto Populciol de Céluls (Microbiologi) qul ivestig o ciclo de crescimeto de um célul. PALAVRAS-CHAVE: Sequêcis. Progressão Aritmétic. Progressão Geométric. Aplicções.

6 5 LISTA DAS ILUSTRAÇÕES Figur 0 Sequêci Fiit 08 Figur 0 Sequêci Ifiit 09 Figur 0 Método pr descobrir divisores Figur 04 Gráfico do termo gerl 5 Figur 05 Gráfico do cpitl plicdo em juros simples 9 Figur 06 Gráfico do cpitl plicdo em juros compostos 0 Figur 07 Comprtivo juros simples e compostos 0 Figur 08 Sequêcis em PA Figur 09 Sequêci Uiforme Figur 0 Sequêci em Grdiete Figur Decomposição de sequêcis uiformes diferids Figur Sequêcis em PG 4 Figur Iterções do Triâgulo de Sierpiski 6 Figur 4 Áre e Perímetro do Triâgulo de Sierpiski 7 Figur 5 Gráfico de dus progressões geométrics 7 Figur 6 Níveis de costrução Curv de Koch 8 Figur 7 Número e Comprimeto de ldos d Curv de Koch 8 Figur 8 As divisões d áre do triâgulo equilátero 9 Figur 9 Duplicção cd 0 miutos 4 Figur 0 Eixos em escl ritmétic 4 Figur 0b Eixos em escl logrítmic 4 Figur Gráfico semilogrítmico 4 Figur b Ddos do problem 4

7 6 SUMÁRIO APRESENTAÇÃO 07 CAP.0 SEQUÊNCIAS, PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS 08. Coceito de Sequêci 08.. Lei de Formção de um Sequêci 09. Progressão Aritmétic (PA).. Proprieddes de um PA.. Termo gerl de um PA 4.. Iterpolção Aritmétic 5.4. Som de termos cosecutivos de um PA 6. Progressão Geométric (PG) 7.. Proprieddes de um PG 9.. Termo Gerl de um PG.. Iterpolção Geométric.4. Som de primeiros termos de um PG fiit 4.5. Som dos termos de um PG ifiit 6 CAP.0 APLICAÇÕES DAS PA(s) E PG(s) 9. Mtemátic Ficeir 9.. Sequêcis de cpitis em PA 0.. Sequêcis de cpitis em PG 4. Geometri Frctl 6.. O Triâgulo de Sierpiski 6.. A Curv de Koch 7. Crescimeto de céluls (Microbiologi) 4.. Crescimeto Expoecil 4.. Prâmetros do Aumeto do Número de Céluls 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS 45 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 46 ANEXO 47

8 7 APRESENTAÇÃO Est pesquis tem o pricipl foco de evidecir pr o cro leitor de que o tem Progressão Aritmétic (PA), Progressão Geométric (PG) e sus Aplicções está itimmete relciodo com vid e relidde ds pessos, oferecedo o leitor que estud ou estudou sobre o ssuto oportuidde de fzer cogições, estbelecer coexões referetes os coceitos mtemáticos borddos com sus própris experiêcis. A pesquis foi dividid em dois cpítulos, e o iício cit lgus csos corriqueiros ode qulquer pesso pode vivecir um situção semelhte sem perceber de fto o que é um sequêci. No primeiro cpítulo bordrei o coceito de sequêci e veremos como diferir um sequêci fiit de um ifiit. Tmbém o mesmo cpítulo trtremos ds progressões ritmétics e geométrics presetdo seus coceitos e proprieddes trvés de exemplos específicos, ssim, uido teori com prátic. No segudo cpítulo, veremos como são plicds s PA(s) e PG(s) em lgums áres do sber humo, com o propósito de compreeder certos feômeos que cotecem o meio turl como o crescimeto populciol de céluls; o meio ficeiro em juros simples, compostos e sequêcis de cpits; e geometri especificmete trtdo costrução de frctis.

9 8 CAPÍTULO 0 SEQUÊNCIAS, PROGRESSÕES ARITMÉTICAS PA(s) E GEOMÉTRICAS PG(s) Coceito de Sequêci No di--di sem que percebmos, pessos vivecim situções que evolvem sequêcis. Podemos citr: Addo em um ru, podemos observr que umerção ds css, de um ldo d ru, preset um sucessão de úmeros ímpres e, do outro ldo, de úmeros pres; Qudo o médico receit um remédio pr ser tomdo de 5 em 5 hors, se o pciete tom primeir dose às 6 hors d mhã, os próximos horários que deverá tomá-lo o mesmo di são:, 7, e hors; As qutro estções se repetem cd o, de três em três meses; Tto Cop do Mudo, Olimpíds e eleições pr goverdor cotecem com um periodicidde de qutro em qutro os. De cordo com os csos cometdos, podemos defiir ituitivmete um sequêci. Defiição. Sequêci é um cojuto de elemetos que obedecem um determid ordem, em que o primeiro, o segudo, o terceiro elemeto, ssim sucessivmete são chmdos termos de um sequêci. E depededo d turez d sequêci, pode presetr um determido úmero de termos ou prosseguir idefiidmete. Pr isso, existem dois tipos de sequêcis: fiit e ifiit. Assim utilizremos dus defiições mtemátics que represetrá qudo um sequêci é fiit ou ifiit. Defiição. Chm-se sequêci fiit ou -úpl tod plicção f do cojuto,,,..., em. Assim em tod sequêci fiit, cd úmero turl i( i ) * está ssocido um úmero rel i. Figur 0: Sequêci Fiit, plicção f do cojuto em. *

10 9 Defiição. Chm-se sequêci ifiit tod plicção f de sequêci ifiit, cd i * está ssocido um i. * em. Em tod Figur 0: Sequêci Ifiit, plicção f do cojuto * em. Os elemetos,,,..., i..., são chmdos termos d sequêci os quis serão presetdos seguite form (,,,..., i...) ou mesmo ( i ) i I. A letri sigific ídice qul idic posição dos elemetos do domíio. Vejmos lgus exemplos sequêci fiit. i) (N,G,U,0,7,6,4), sequêci de sete elemetos, com três letrs e qutro úmeros ordedos, que formm plc de um veículo; ii) (A,V,E,N,T,A,L), sequêci de letrs ordeds que formm um plvr. Note que est plvr (L,E,V,A,N,T,A) é um outr sequêci, pesr de utilizr os mesmos elemetos, form um plvr diferete d terior; iii) (,,4,5,0,0) sequêci de todos os divisores de 0, colocdos em ordem crescete. E lgus exemplos de sequêci ifiit. i) (,6,9,,...,i,...) sequêci dos múltiplos iteiros positivos de ; (ii) (,,5,7,,,...) sequêci de úmeros primos. * Observ-se que o exemplo (i) d sequêci ifiit ode f : é dd por f ( i) i, pr cd vlor turl,,,...tribuído i, os forece imgem d sequêci e tmbém posição em que se ecotr o termo d sequêci, vejmos Pr i, temos f (). 6 ; Pr i 5, temos 5 f (5) Lei de Formção de um sequêci De cordo com os exemplos teriores, ot-se que há um ifiidde de sequêcis costituíds por letrs e úmeros, e depededo desses elemetos que são dispostos em cert ordem é possível idetificr o tipo de iformção que sequêci evidêci em su formção.

11 0 N mtemátic só iteressm quels sequêcis ode os termos sucessores seguem cert tedêci, regr ou lei de formção. A Lei de Formção de um sequêci os remete idéi de um meio ou fórmul, qul, sej possível obter o termo d sequêci, e própri sequêci itegr, represetd pel form (,,,..., i...). Est lei pode ser represetd de três meirs: Fórmul de recorrêci, Expressdo cd termo em fução de su posição e Propriedde dos termos. N Fórmul de Recorrêci é ecessário fixr dus regrs; um é estbelecer o primeiro termo d sequêci, e outr é clculr cd termo ( ) prtir do tecessor ( ). i) Escrev um sequêci fiit, ode os termos obedecem seguite fórmul de recorrêci Assim e 4, {,,4}. Pr, temos 4, portto 4 5; Pr, temos 4, portto 5 4 9; Pr 4, temos 4 4, portto Obtemos seguite sequêci (,5,9,). ii) Escrev os cico primeiros termos de um sequêci ifiit, de cordo com fórmul de recorrêci dd Assim c 5. c, e. c e Pr, temos c 5. c, portto c 5. 0; Pr, temos c 5. c, portto c ; Pr 4, temos c 4 5. c, portto c Ecotrmos seguite sequêci (,0,50,50,...). Expressdo cd Termo em Fução de su Posição veremos que exige um fórmul pr obtermos o vlor de ( ) em fução de. Observmos seguir i) Escrev um sequêci fiit cujos termos stisfzem est lei, ode {,,}. Pr, temos Pr, temos Pr, temos ; 9; 7. Portto, temos sequêci (,9,7).

12 ii) Escrev os três primeiros termos de um sequêci ifiit, qul os termos seguem est relção Assim b 5. Pr, temos b 5., portto b 5 7; Pr, temos b 5., logo b 0 ; Pr, temos b 5., dí b 5 7. Ecotrmos sequêci ifiit (7,,7...). N Propriedde dos Termos será eucid um propriedde mtemátic específic, ode os termos d sequêci devem obedecer est propriedde. Vejmos i) Trscrev um sequêci de todos os divisores iteiros positivos do úmero 4. A sequêci de todos os divisores positivos de 4 é (,,4,6,8,,4). Figur 0: Método pr descobrir todos os divisores positivos de 4. ii) Escrev os oitos primeiros termos de um sequêci ifiit de úmeros primos positivos em ordem crescete. Temos (,,5,7,,,7,9...). Not-se que sequêci de úmeros primos positivos de fto ão pode ser clculd pel fórmul de recorrêci ou qulquer outr, pois tulmete ão existe um método eficz pr clculr o eésimo úmero. Progressão Aritmétic (PA) N vid rel é comum deprrmos com grdezs que sofrem umetos iguis em itervlo de tempos iguis. Por exemplo, qudo um reservtório de águ tige o vlor míimo de 5m o registro é berto, despejdo 4m de águ por hor, té completr su cpcidde de 45m ; Um fábric de tecidos umet su produção de 80 peçs por mês; O txist cobr R$ 5,00 reis pel bdeird e o txímetro cobr R$,50 por quilômetro roddo. Atrvés destes e outros csos veremos como este tipo de sequêci é defiido, de cordo com os vlores presetdos.

13 Defiição.. A Progressão Aritmétic é defiid como um sequêci de úmeros (,,,...,...), ode cd elemeto prtir do segudo é obtido pel som de um i costte com o elemeto terior. A progressão ritmétic é represetd pel seguite fórmul de recorrêci ode x e r são úmeros reis ddos. teriormete. r,,. (0) x e Pr ilustrr est fórmul de recorrêci tomemos como exemplo o txist citdo Temos 5 e r,5. Pr r, temos 5, 5 6, 5; Pr r, temos 6, 5, 5 8; Pr 4 r, temos 4 8, 5 9, 5. Portto teremos sequêci (5;6,5;8;9,5). Desse modo, podemos costruir qulquer PA fiit ou ifiit, fixdo o primeiro termo, e rzão r. Eis lgus exemplos de progressões ritmétics ) (,4,7,0,...),em que e r ; b) 0, 6,, 8,..., em que 0 e r 6; c),,,,..., em que e r Pr ecotrr rzão r bst fzer difereç do termo sucessor com seu tecessor, e depededo do vlor d rzão e dos termos que formm sequêci podem ser clssificdos em: crescetes pr r 0; costtes pr r 0 e decrescetes r 0. Ates de determir qulquer termo de um PA, primeiro temos que cohecer o termo terior e rzão. Sej b o termo d PA ser clculdo, c o termo terior e d costte multiplicd pel rzão r, temos dr (0) b c A costte d é obtid pel subtrção dos ídices b e c, sedo que d b c., há váris forms de ecotrr o termo de um PA, vejmos 8 7; r 5 6; r r; ( ) r; 0 r.

14 . Proprieddes de um PA As progressões ritmétics presetm proprieddes iteresstes, bstte úteis pr resolução de problems. Podemos observr s seguites proprieddes Qulquer termo de um PA, prtir do segudo, obtém médi ritmétic etre o terior e posterior. N PA,,,... k,... k,..., temos que k k k,( k ) (0) Demostrção: De cordo com PA eucid, podemos escrever rzão desse modo E tmbém Portto é possível isolr o vlor de k Temos Dd PA (,4,7,0,) observmos que r k k k r k k k k k k k k k k k ;7 ;0. Outr propriedde útil pr resolução de problems é som de dois termos equidisttes. Temos que som de dois termos equidisttes dos extremos é igul à som dos extremos. Por exemplo, PA (,9,6,,0,7),otmos vercidde dest propriedde 7 9; e 6 9. Hverá csos que utilizremos otções pr fcilitr resolução de lgus problems evolvedo PA. Citremos seguir lgums Três termos em PA: (x r, x, x + r); Qutro termos em PA: (x, x + r, x + r, x + r); Cico termos em PA: (x r, x r, x, x + r, x + r). i) Obteh úmeros em PA de modo que su som sej e som dos seus qudrdos sej. Temos ( x r) x ( x r ) Portto

15 4 E sbemos que Substituido x em (4) teremos Dí x x. ( x r) x ( x r ) r r r r r 8 r Portto obtemos PA(,,) pr x e r ou (,, ) pr x e r.. (04). Termo Gerl de um PA No ituito de obter o vlor do Termo Gerl de um PA, represetd pel letr, utilizremos o seguite teorem. Teorem (0). Se é um progressão ritmétic de rzão r, etão ( ) r, pr todo iteiro e positivo. Demostrção: Pel defiição de progressão ritmétic temos r r r 4 r Somdo s igulddes té e cceldo os termos comus teremos... ( ) r 4 ( ) r ; *. (05) Porém, se tivéssemos iicido eumerção dos termos por terímos 0 0 r. i) Obteh rzão d PA em que 9 e Temos Etão 4 r 45 9 r r ii) Cosider sequêci (,,5,7,...). ) ecotre seu termo gerl; b) esboce o seu gráfico..

16 5 Solução () Sbedo e r, é possível determir o termo gerl d sequêci. Vimos * que ( ) r, logo ( )., portto ( ). Solução (b) Esboçdo o gráfico do termo gerl. Figur 04: Gráfico d ret.. Iterpolção Aritmétic Podemos dizer que em tod sequêci fiit (,,,...,, ), os termos e são deomidos de extremos e os resttes são chmdos meios. Por exemplo, um PA (0,4,8,,6,0)os extremos são 0 e 0 e os meios são 0,4,8,,6. No setido de iterpolr, iserir ou iterclr k meios ritméticos etre dois úmeros ddos b e c (extremos), sigific de ecotrr um PA be c, com k termos. E pr determir o vlor dos meios, é preciso clculr rzão, sedo obtido d seguite form Podemos observr que ( ) r c b ( k ) r r c k b. Exemplo: Iterpole 6 meios ritméticos etre e. Pr isso, devemos formr um PA com oito termos sedo que k 6, b e 8 c. Primeiro ecotrremos rzão, sbemos que icógits teremos r, logo r Assim, ecotrmos PA,,,,,,, Som de termos cosecutivos de um PA r c k b e substituido s

17 6 De cordo com SILVA (005) cot que o século XVIII, o grde mtemático Crl F. Guss qudo tih seus 7 os de idde, o seu professor pssou um trblho turm, e pediu pr que clculsse som dos úmeros de à 00. o professor imgiou que o trblho dursse pelo meos um hor, porém, ficou surpreso qudo Guss ecotrou o resultdo em poucos miutos, o vlor d som ecotrdo er A respost estv corret, o professor istigdo pergutou como coseguiu solucior o problem em tão pouco tempo. O pequeo Guss explicou-lhe que somr + 00, + 99, , e percebeu que ecotrv 50 soms iguis 0. Assim bstv multiplicr Seguido mesm idéi, iremos deduzir um fórmul pr clculr som dos termos cosecutivos de um PA. Teorem (B). A som dos (,,,...,...) é igul primeiros termos cosecutivos d progressão ritmétic ( ). S. (06) Demostrção: Somdo dus PA(s), um crescete S... e um decrescete S..., teremos S ( ) ( ) ( )... ( ) ( ) ( ) E como s prcels possuem o mesmo vlor (equidisttes os extremos), portto S ( ). S. ( ). Vejmos um exemplo prático do livro SILVA 005, ode podemos utilizr o teorem. Um jrdieiro tem que regr 60 roseirs pltds o logo de um vered retilíe e distdo m um d outr. Ele eche seu regdor um fote situd mesm vered, 5m d primeir roseir, e cd vigem reg roseirs. Começdo e termido fote, qul é o percurso totl que ele terá que cmihr té regr tods s roseirs? N primeir vigem o jrdieiro eche o regdor e percorre 5m (d fote té primeir roseir) e mis m (regdo s três primeirs); totlizdo5m m = 8m.Depois retor percorredo 8m té fote. No totl (id e volt) percorreu 6m, logo 6m. N segud vigem ele percorreu os 6m e mis dus vezes distâci etre s três roseirs seguites: 6m m m = 4m., logo 4m.

18 7 Agor bst chr rzão r pr sber o quto ele cmih cd vigem, ssim r logo r 4 6, temos que r 6m. Percebe-se que pr regr s 60 roseirs serão, ecessáris 0 viges, pois 60, logo 0. Desse modo teremos um PA com 0; 6m e r 6m. é possível clculr o vigésimo termo, vemos que 0 9 r, portto , ssim Etão, utilizdo o som de termos de um PA sberemos o totl que ele deverá cmihr té regr tods s roseirs S 0, logo S 0 (6 50).0 Portto S0 86.0, cocluímos que S 0 860m. Progressão Geométric (PG) Existem váris situções reis s quis grdezs vrim de cordo com tx de crescimeto ou decrescimeto costte. Supodo que populção de vrejeir beir de um lgo umete % o o. populção de vrejeir V o o será igul populção do o terior V e mis o créscimo de % d populçãov. Isso sigific que V V 0, 0. V, 0. V. Notemos que populção de vrejeir em cd o é igul à populção do o terior multiplicd pel costte,0. Vejmos outro cso Um posto de bstecimeto de combustível vede semlmete, 0% de seu estoque de gsoli. Sedo que o estoque iicil é de l de gsoli, depois de três sems, se ão houver reposição, quto restrá o estoque? Sbedo que o estoque de gsoli G sem s será igul o estoque de gsoli s sem terior Gs e com um redução 0% do estoqueg. Assim deduzirá seguite s equção Portto G G 0,G s s s G G s s ( 0,) G 0,8G (07) s s

19 8 Utilizdo equção (07), observ-se que G 0 é o estoque iicil, e percebemos que já ª sem o estoque será de G 0,8G 0, portto G 0, , logo G Alogmete ª sem, G 0,8G, porttog 0, , logo G E ª sem vemos que G 0,8G, logo G 0,8.0000, etão G O estoque restte será de l. Not-se que cd termo, prtir do segudo, é obtido pelo produto do terior pel costte 0,8. Assim formmos est sequêci (400000,0000,56000), que deomimos Progressão Geométric. Defiição.. Chm-se Progressão Geométric (PG) um sequêci de úmeros reis obtid pel seguite fórmul de recorrêci ode e q são úmeros reis ddos. q. e. PG é um sequêci ode cd elemeto, prtir do segudo, é ecotrdo multiplicdo o tecessor por um costte q dd. Como estes csos ),8,,8,... cd termo igul o quádruplo do terior; b) 5 5,45,5,,... cd termo igul um terço do terior; c),,,,... todos os termos iguis. s rzões são respectivmete iguis 4, e. Pr ecotrr rzão q de um PG qulquer de termos ão ulos, bst dividir qulquer termo, prtir dor segudo, pelo tecessor. Cotudo um sequêci fiit de termos (,,,..,, ) de um PG, rzão q pode ser escrit como 4 q; q; q;...; q. (08) No que refere à clssificção ds progressões geométrics, é possível clssificá-ls em cico ctegoris: crescetes, costtes, decrescetes, ltertes e estcioáris. A sber: ) Crescetes: São progressões geométrics ode cd termo é mior que o terior. Isso cotece em dus situções ª situção PG com termos positivos e q.,6,,4... ode q. ª situção PG com termos egtivos e q.

20 9 6, 8, 9, ode b) Costtes: São PG(s) qul cd termo é igul o termo terior. Ocorre de dus meirs ª situção PG com todos os termos ulos e q qulquer. q. 0,0,0,0,..., ode q 5. ª situção Progressão Geométric com termos iguis exceto o zero 6,6,6,6,..., ode q. c) Decrescetes: São progressões geométrics ode o termo é meor que o terior. Há dus situções pr esse cso ª situção PG com os termos positivos e 0 q. 56,64,6,4,..., ode q ª situção PG com termos egtivos e q.., 5, 45,..., ode q 5. d) Altertes: São PG(s) ode cd termo tem o sil cotrário(dição ou subtrção), em relção o termo terior. Isso cotece devido 0 e q. (, 4, 8, 6,...) ode q =. e) Estcioáris: São progressões geométrics em que 0 e Deve-se pelo fto de q 0. 8,0,0,0,..., ode q 0. De modo similr visto em PA, existem tmbém meirs de clculr qulquer termo de um PG, vejmos. r ;. r 7 ;. r ;. r 4 ;. ; q q Proprieddes de um PG Ns progressões geométrics presetm proprieddes específics com relção os seus termos que veremos seguir. Teorem (). Se os termos cosecutivos é um PG ifiit, obtemos prtir do segudo médi geométric.. (09) k k k

21 0 Demostrção: Em um PG qulquer (,,,..., k, k, k...) sedo que e q 0, sbemos que E q (0) k. k q () k k. Isoldo rzão q d equção (0) e substituido equção () teremos k k k. k. k k k Veremos bixo um plicção deste teorem Se um ivestimeto durte três meses rede 4% o primeiro mês e 6% o terceiro mês, qul é tx médi de redimeto o segudo mês? De cordo com expressão (09), tx de redimeto R do segudo mês será Portto R R R ,89. Assim tx de redimeto médio mesl é de 4,89%. O produto de dois termos equidisttes dos extremos de um PG é igul o produto dos extremos. Por exemplo, PG 6,8,54,6,486,458, temos E tmbém Existem otções que fcilitem resolução de lgus problems evolvedo PG que citremos seguir. x Três termos em PG: ( x, x. q, x. q ) ou, x, x. q. q Qutro termos em PG: ( x, x. q, x. q, x. q ) ou x, x,.,. x y x y y y ode y q. 4 Cico termos em PG: ( x, x. q, x. q, x. q, x. q ) ou x q x x x q x q q,,,.,..

22 A som de três úmeros iteiros em PG é 5 e difereç etre o primeiro e o terceiro é 5. Determie esses úmeros. Temos som E difereç Isoldo x equção () e substituido equção () teremos x x. q x. q 5 () x x. q 5 () q q q. q. q 5 multiplicdo q os dois ldos d iguldde fic 5 5. q 5. q 5.( q ) dividido por 5 mbos os ldos d iguldde e colocdo o formto d equção do segudo gru, temos 0. q. q 4 0 Utilizdo fórmul de bháskr, ecotrmos s rízes d equção q ' 0,5 e 6 q ". 0 Agor só flt ecotrr os termos d sequêci pedid. Substituido q' 0, 5 equção () temos x x.0, 5 5 x 0. Temos que x 0 e q' 0,5. Desse modo é possível determir sequêci substituido esses vlores est otção ( x, x. q, x. q ), etão teremos (0;0.0,5;0.0,5 ). os úmeros que formm PG do problem são (0,0,5).Não utilizremos 6 rzão q", pois ão forece um sequêci de úmeros iteiros. 0. Termo Gerl de um PG Neste mometo, observremos um método de ecotrr o termo gerl de um PG qulquer, de cordo com o seguite teorem

23 Teorem (). Em tod progressão geométric de rzão q, há um úmero turl em que q (4). Demostrção: Pel defiição de rzão de um PG vist teriormete temos 4 q; q; q;...; q Multiplicdo mbos os ldos em igulddes Assim temos q De form mis geerlizd, temos Pelo seguite motivo Dí Dividido frção de bse q teremos q q. k. q (5) k k k k q.. q q q q k k k. q Pr observr um plicção d fórmul do termo gerl de um PG, veremos o exemplo do livro de Silv (005). Num determido o, um lgo com 4Km de áre foi ifestdo por um vegetção que cobriu Km de su superfície. Se tx de crescimeto d superfície ocupd por esse vegetl é 0% o o, determie áre do lgo estrá cobert. A) Dqui um o; B) Dqui dois os; Dqui t os. Solução (A) Utilizdo equção (5) do termo gerl de um PG, dqui um o temos k q 0. 0 k Etão.,

24 Assim áre cobert será de 5,6Km. Solução (B) Com o mesmo rgumeto d solução terior, áre cobert dqui dois os Portto q 0. 0., Etão dqui dois os áre do lgo cobert pel vegetção será de 0,8Km. Solução (C) De cordo com equção (5) áre cobert em t os q t 0. t 0 áre cobert em t os será de t., t.. Iterpolção Geométric Em qulquer eveto público é possível estimr cd hor em termos de um progressão geométric, qutidde de pessos que chegm um determido período do di. Supodo tes de um jogo de futebol, iicilmete tihm torcedores rquibcd, e pós 4 hors, o iício do jogo hvi 495 torcedores presetes rquibcd. Como se deu ess evolução de torcedores por hor? Iremos represetr o problem do seguite modo (,,,,495) De cordo com os coceitos estuddos de PG temos Dí Portto Etão q q q q q Sigific que cd hor, o úmero de torcedores octuplicv, ou sej, er oito vezes mior. Portto, podemos dizer que pós um hor hvi 96 torcedores; dus hors 768 torcedores; e em três hors torcedores rquibcd.

25 4 No exemplo terior, fizemos o uso de um iterpolção geométric. A plvr iterpolção sigific iserção de elemetos sequêci, como est (,96,768,644,495). Os termos iseridos são chmdos de meios geométricos. Defiição.. Iterpolr ou iserir k meios geométricos etre os úmeros e b sigific costruir um PG com k + termos, ode é o primeiro termo e b é o último. (,,,...,,,b) ode = k + termos. k meios geométricos.4 Som dos primeiros termos de um PG fiit Pr ilustrr importâci de cohecer Som dos primeiros termos de um PG fiit, cosideremos o seguite exemplo Júlio resolveu fzer um poupç pr o seu filho João, gurdou R$ 0,00 o cofre d cs qudo o meio completou seus os e decidiu triplicr esse vlor os os seguites. Qul o vlor totl dispoível pr o João qudo fizer os seus 0 os? No ituito de resolver ess questão, sem utilizr fórmul d Som dos primeiros termos de um PG fiit, seri um pouco trblhoso, pois primeiro deverímos costruir um PG sedo o termo iicil 0 e rzão q té que o João completsse seus 0 os, e depois, somrímos todos os elemetos que compõe PG pr descobrir o vlor do resgte. Ao ivés de seguir por esse cmiho, vejmos outr form mis rápid o qul iremos deduzir um fórmul pr descobrir o vlor d Som dos primeiros termos de um PG fiit. Teorem(D): A som dos primeiros termos de um progressão geométric fiit de rzão q é igul q S. (6) q Demostrção: Primeirmete devemos somr todos os termos de um PG fiit S... (7) Multiplicm-se mbos os membros por q, obtemos q. S.... q (8) Subtrido equção (8) com (7) temos

26 5 q. S S. q Portto S ( q ). q Dí S. q q (9) De cordo com equção (4) iremos utiliz-lá pr substituir o vlor de equção (9) o ituito que equção presete três icógits. fzedo substituição fic S (. q ). q q Portto S. q q Colocdo em evidêci, cocluímos que q S. q Com est fórmul podemos descobrir qutos reis d poupç o João receberá do seu pi o completr seus 0 os. Segudo o problem, temos que o termo iicil 0 e rzão q ; e o úmeros de termos o período de 0 os é igul 9, pois (0,,,,,,,, ) redimeto cd o (,,4,5,6,7,8,9,0) idde de João 9 termos Utilizdo equção (6) tor-se fácil ecotrr o vlor totl dispoível S Portto S

27 6 S João terá dispoível R$ 9840 qudo completr seus vite os..5 Som dos termos de um PG ifiit Pr bordr esse ssuto, cosideremos seguite dízim periódic 0, Vejmos que frção gertriz equivlete est dízim é 6. percebemos que 9 6 0, Ou escrever dest form 6 0,6 0,06 0, É fto, que dição esquerd d iguldde possui ifiits prcels., imgido que cd prcel é um termo, percebemos que som preset um sequêci de termos, formdo ssim, um PG de rzão q 0, ( q ). Portto, qudo rzão vri etre[ ;]e o úmero de termos tede pr o ifiito, expressão q d equção (6) tede zero ( q 0)., teremos ov equção S. (0) q Multiplicdo equção (0) mbos os ldos d iguldde ( ) ( ) teremos S. q ode ( q ). () Se um crro se desloc em um trjetóri retilíe e percorre d uiddes de espço em d um itervlo t, etão velocidde médi do percurso é dd por v. Sobre trjetóri, o t crro percorre metro com velocidde médi de metro por segudo, em seguid percorre metro com velocidde médi de metros por segudo, depois percorre de metro com 4 velocidde de 8 metros por segudo, e ssim prossegue idefiidmete. ) Determie o limite d som dos percursos percorridos pelo crro. O limite d som dos percursos será de... 4

28 7 Vej que som dos ifiitos termos crcteriz um PG ode, Utilizdo equção (), pr determir o vlor d som, temos e q. S. Portto S S m. Obtemos que o limite d som dos percursos é igul metros. b) Determie velocidde médi o percurso ddo pel som do item terior. Pr respoder est questão precismos sber do ftor tempo t. Isoldo o t fórmul forecid pelo eucido, temos d t v Assim, primeir prte do percurso, o tempo foi de t s. N segud prte do percurso temos o tempo de t s. 4 N terceir prte o tempo foi de 4 t s. 4 6 E ssim sucessivmete. Observ-se que o limite d som dos itervlos dos tempos os forece um PG, em que e q. pr determir o vlor d som dos tempos, é ecessário recorrer à 4 fórmul d Som dos termos de um PG ifiit express equção (). Assim, temos S 4 Dí 4 S s.

29 8 Desse modo, clculmos velocidde médi será igul v 4 v m / s. A velocidde médi o percurso ddo será de metros por segudo. CAPÍTULO 0 APLICAÇÕES DAS PA(s) E PG(s) Mtemátic Ficeir

30 9 Nos primeiros cpítulos de qulquer livro de mtemátic ficeir bordm coteúdos referetes o regime de cpitlizção simples (juros simples) e regime de cpitlizção compost (juros compostos). E prtir dqui, veremos como s progressões PA(s) e PG(s) relciom-se com estes e outros coteúdos d mtemátic ficeir. É óbvio que existem difereçs etre os regimes de cpitlizção simples e compost. Seguido s idéis de Hzz (005) percebemos que o regime de cpitlizção simples (juros simples), o motte umet obedecedo um PA, ode o motte vri liermete em relção os juros. Neste regime, o juro gerdo em cd período o vlor é costte, e igul o produto do cpitl iicil pel tx. Um cpitl de R$ 500,00 foi plicdo durte três os à tx de 0%.. em regime de juros simples. Vmos clculr o motte. Usdo o coceito primitivo de juros otmos que o o o juro gerdo foi de 500.0, 50. o motte pós de um o será igul Como foi meciodo que o juro gerdo o regime de cpitlizção simples o vlor é costte, logo o e o preset o mesmo juro de R$50,00. Portto o o o motte será igul e o motte do o Etão o cpitl plicdo em três os gerou o motte de R$ 950,00. Figur 05: Represetção gráfic do cpitl plicdo versus tempo o regime juros simples. Observ-se que o cpitl iicil juto com os mottes de cd o form um progressão ritmétic (500, 650,800, 950), de rzão r 50. Já o regime de cpitlizção compost (juros compostos), o motte vri de cordo com um PG, ode o motte de cd período cresce segudo um vrição expoecil em relção os juros. Neste cso, o juro do período (cpitl vezes tx) é diciodo o cpitl gerdo o motte M. E o juro do período será igul o produto M pel tx, e somdo com M obtem-se o motte M, e ssim por dite. Vejmos o mesmo exemplo se estivesse usdo o regime de juros compostos Pr o osso objeto de estudo, iremos clculr o motte de cd período. Com relção o juro gerdo o o temos 500.0, 50. Portto o motte desse período foi de Já o juro do o 650.0, 95. o motte do o totliz

31 E o juro do o 845.0, 5,50. Etão o motte referete o o foi de 5, ,50. Coclui-se que o cpitl plicdo gerou o motte de R$098,50. Figur 06: Represetção gráfic do cpitl plicdo versus tempo o regime juros compostos. Not-se que prtir do cpitl iicil mis os respectivos mottes de cd período os forece um PG (500; 650;845;098, 50) de rzão r,. compost Vej figur 07, como está represetdo o regime de cpitlizção simples e Figur 07: Gráfico comprtivo do redimeto o regime juros simples e compostos. Pelo gráfico presetdo figur 07, otemos que um o o motte foi igul os dois regimes de cpitlizção (simples e composto). Meos de um o, o motte em juros simples rede mis do que os juros compostos. Com o pssr do tempo, prtir do segudo o o redimeto em juros compostos é mior que dos juros simples. Por esse motivo, s istituições ficeirs do osso pís dotm o regime de cpitlizção compost, pois obtém miores lucros em empréstimos.. Sequêcis de cpitis em PA É um tipo de sequêci de cpitl (refere-se o que diz respeito pgmetos e recebimetos), os quis os isttes,,,..., os cpitis formm um progressão ritmétic. Chmremos de R o primeiro termo e G rzão d progressão como podemos otr figur seguir.

32 Figur 08: Sequêcis de Cpitis em PA. A prtir dqui, iremos determir um fórmul pr ecotrr o vlor tulv d sequêci de cpitis em progressão ritmétic que está represetd de form geerlizd figur 08. Notemos que sequêci em PA represetd d figur 08 pode ser decompost em dus: uiforme e grdiete. N sequêci uiforme temos todos os termos iguis R. Figur 09: Sequêci Uiforme. Por defiição de vlor tul segudo HAZZAN (005), o vlor tul V ' ( dt 0) d sequêci uiforme, com um tx de juros i e o período de tempo cosiderd, temos R R R R V '... ( i) ( i) ( i) ( i) V' R.... ( i) ( i) ( i) ( i) Notemos que expressão etre colchetes pode ser simplificd, pode ser represetd como som de termos de um PG fiit, ode o primeiro termo, e rzão q i Portto, utilizdo equção (6) do cpítulo terior, expressão do vlor tul fic V ' R.. i i i. i Dí

33 V' R. ( i). i ( i) ( i) ( i) ( i) V ' R.. ( i) i Multiplicdo os dois ldos d iguldde teremos ( i) V' R.. () ( i). i E já sequêci em grdiete observmos que os cpitis formm um progressão ritmétic cujo primeiro termo é zero e rzão é G. Figur 0: Sequêci em Grdiete. A sequêci em grdiete pode ser decompost em( ) sequêcis uiformes diferids, como é ilustrdo figur. Figur : Represetção gráfic d decomposição ( ) sequêcis uiformes diferids. De cordo com Hzz (005), iremos clculr o vlor tul de cd sequêci uiforme, portto O vlor tul d ª sequêci é

34 Já o vlor tul d ª sequêci O vlor tul d ª sequêci fic i i V0 G.. G. i. i i i. i i i V0 G.. G. i. i i i. i i i V0 G.. G. i. i i i. i E vlor tul d ésim é igul i i V0 G.. G. i. i i i. i Agor bst somr o vlor tul de cd sequêci pr determir o vlor d sequêci em grdiete V " V V V... V Portto G V ". i i i... i ( ) () i. i Vemos que est expressão i i i... i represet um som de termos de um PG fiit, sedo igul i. i i i i i... i Tomdo expressão (4) e substituido em () temos i i i (4) G i i V". ( ) i. i i Dí G i V". ) i. i i Teremos que

35 4 G i V ". i i. i i. (5) Assim cocluímos que o vlor tul d sequêci de cpitis em progressão ritmétic V é obtido pel som do vlor tul d sequêci uiforme V ', com o vlor tul d sequêci em grdiete V " é o mesmo que V V V ' V ''. ( i) G i R.. ( i). i i i. i i Gláuci desej veder um pequeo prtmeto à vist por R$.000,00 ou przo em prestções em progressão ritmétic, sedo primeir de R$ 600,00, um totl de 0 prestções. Qul o vlor d rzão dess progressão, se tx de juros for de %.m.? De cordo com equção (6) temos (6) , 0 G, 0 0,0.0,0 0,0,0.0,0, Portto Etão O vlor d rzão é de69,7. G ,98 8,98 8, 0 0, , 8,95G G 660,8 69,7. 8,95. Sequêcis de cpitis em PG Etede-se que sequêcis em progressão geométric são quels em que, os isttes,,,... os termos que costituem formm um progressão geométric. Chmremos de R o primeiro termo e q rzão. Figur : Sequêcis de Cpitis em PG.

36 5 De cordo com figur é possível ecotrr fórmul do vlor tul V de sequêcis de cpitis em PG. Prosseguimos que o vlor tul ( dt 0) será clculdo d seguite meir V R Rq Rq Rq... i i i i Not-se que os membros somdos crcterizm-se como som de termos de um PG R q fiit, ode o primeiro termo é e rzão é. Utilizdo fórmul d som dos i i termos de um PG, ecotrmos V R i. q i q i. (7) Um cs de pri é vedid à vist por R$ ,00 ou przo em 0 prestções mesis em progressão geométric, vecedo primeir um mês pós compr. Sbedo-se que rzão d PG é,0(crescimeto de 0%), qul o vlor d primeir prestção, pr um tx de juros de,5%.m.? Assim Isoldo o R d equção (7), otmos que o vlor d primeir prestção é dd por R R V.( i) (,05). q i q i 0,,05,,05 0 R , Portto primeir prestção é de R 404,58.

37 6. Geometri Frctl Observdo o trblho de BEMFICA percebe-se que frctis surgirm d ecessidde de represetr mtemticmete e geometricmete certs figurs turis que possuem forms irregulres, tis como: uves, rios, brócolis e árvores. De cordo com o Brbos (005), plvr frctis vem do ltim do djetivo frctus, do verbo frgere o que sigific quebrr; crir frgmetos irregulres, frgmetr. Podemos dizer que frctl é um objeto geométrico, de specto irregulr ou frgmetdo que pode ser subdividid em diverss prtes de meir coveiete, e de certo modo presetm cópis reduzids do todo. A prtir dqui observremos como s progressões geométrics estão iserids este ssuto, e pr ão fugir do ssuto, iremos restrigir pes os frctis clássicos desevolvidos pelos mtemáticos Sierpiski e koch... O Triâgulo de Sierpiski O Triâgulo de Sierpiski crcteriz-se por um figur geométric estuddo pelo mtemático poloês Wclw Sierpiski. Existem diverss meirs pr gerr esse frctl que vri desde o processo de remoção, e lgus processos descritos o jogo do Cos (ver exo pg.9). Pr costruir o Triâgulo de Sierpiski, prtimos de um triâgulo equilátero e mrcmos os potos médios de seus três ldos. Depois, removemos o triâgulo equilátero cetrl defiido pelos seus potos médios, ssim teremos figur gerdor. repetido processo idefiidmete com figur gerdor em todos os triâgulos equiláteros ão removidos, obtemos o limite o triâgulo de Sierpiski. Figur : Represetção Geométric ds primeirs iterções do Triâgulo de Sierpiski. Not-se que ª etp d costrução, os três triâgulos ão removidos possuem o comprimeto de seus ldos iguis metde do comprimeto do ldo do triâgulo origil. Tmbém observdo figur que cd etp do processo, áre do Triâgulo de

38 7 Sierpiski é igul à áre do triâgulo terior multiplicd pel costte, e seu perímetro 4 será igul o perímetro terior multiplicd pel costte. Figur 4: Áre e Perímetro do Triâgulo de Sierpiski té eésim etp. De cordo com figur 4 otmos que eésim etp áre do frctl será igul A A. e o perímetro P P.. temos dus progressões geométrics de rzão 4 e respectivmete. 4 Supodo áre e perímetro com medids de 00 e 0 uiddes est ordem, teremos seguite represetção gráfic. Figur 5: Gráfico d Áre e o Perímetro em fução de dus progressões geométrics. Observdo figur 5 percebemos que quto mior for o úmero de etps, áre do Triâgulo de Sierpiski tede pr zero, e o perímetro umet idefiidmete... A Curv de Koch A Curv de Koch foi crido pelo mtemático suíço Helge Vo Koch. O objeto geométrico iicil cohecido como Ilh de Koch ou Floco de Neve utilizdo pr costrução desse frctl é tmbém o triâgulo equilátero.

39 8 No primeiro ível de costrução, divide-se em três prtes iguis cd ldo do triâgulo, e cd um dos segmetos médios costruímos um ovo triâgulo, como está descrito figur 6, e ssim temos segudo objeto. Em seguid, o segudo ível de costrução, utilizmos o segudo objeto e repetimos o mesmo processo em cd um dos seus doze ldos, origido ssim o terceiro. Repetido-se o processo idefiidmete teremos o limite Curv de Koch. Figur 6: Os primeiros íveis de costrução d Curv de Koch. Atrvés d represetção geométric deste frctl percebemos que é um figur regulr fechd cuj froteir é formd por ifiitos ldos cd vez meor, ode os ldos d ov figur são três vezes meores do que figur terior. Vejmos figur 7, como se comport o úmero de ldos e o comprimeto do ldo com o pssr dos íveis, supodo que o comprimeto do ldo de um triâgulo iicil sej igul uidde. Figur 7: Número de ldos e Comprimeto do ldo té eésim etp. De cordo com figur7 dd, com o pssr dos íveis, o úmero de ldos umet em um PG com e q 4, e defiid pel expressão L.4. Portto qudo tede pr o ifiito, o vlor de L tmbém tede, logo curv terá ifiitos ldos. E gor observdo o comprimeto dos ldos, percebemos em cd etp que umet pr costrução d Curv de Koch o tmho dos ldos dimiuem obedecedo um PG decrescete ode o termo e rzão q, represetd pel fução C.

40 9 qudo tede pr o ifiito, o vlor de comprimeto de cd ldo d curv tede pr zero. Koch. C proxim de zero. Quer dizer que o Com bse dos ddos teriores é possível lisr vrição do perímetro d Curv de Sej P L. C sucessão de perímetros, ssim temos Notmos que P é um PG crescete, ode e q 4 P (.4 ).( ). (8) 4., qudo o úmero de etps costrução d Curv de Koch cresce idefiidmete, o vlor P umetrá, tededo pr o ifiito. Cocluímos que o limite, o perímetro d Curv de Koch é ifiito. E áre d Curv de Koch tmbém será ifiit? Pr soluciormos est questão, devemos verificr tes figur 8 que cd etp d Curv de Koch o comprimeto do ldo do ovo triâgulo equilátero é reduzid de rzão q, e áre sofre um redução de 9 pelo fto de que o triâgulo pode ser dividido em ove triâgulos iguis. Figur 8: Divisões d áre do triâgulo equilátero em ove triâgulos geometricmete iguis. Portto, retorremos figur 6 em que o triâgulo equilátero iicil tem comprimeto de ldo igul um uidde. Neste mometo, iremos clculr áre do triâgulo iicil A, 0 ssim temos. A 0. 4 Porém, pr clculr áre do próximo ível do triâgulo A, devemos cosiderr à áre do triâgulo terior, mis o úmero de triâgulos crescetdos o processo de

41 40 costrução multiplicd pel áre do triâgulo qul sofre um redução 9 d áre do triâgulo iicil. No ível, temosovos triâgulos cuj áre é Portto, o vlor d áre A é A No ível, temos.4ovos triâgulos cuj áre igul A No ível, temos.4 ovos triâgulos cuj áre é A.. Dí o vlor d áre A , o vlor de A igul No eésimo ível, temos.4 ovos triâgulos cuj áre igul d áre d figur ode A é A Cotudo, percebemos que e q A é som etre som dos primeiros termos de um PG fiit é 4.. Portto o vlor 4 9 e os termos que formm um PG, 4 9 S Note que, umetdo idefiidmete os íveis de costrução d Curv de Koch o vlor de tede pr o ifiito, logo o vlor S proxim de.. Dí áre do frctl de 0 Koch será igul A A 0,7 5 Etão cocluímos que áre d Curv de Koch é fiit.

42 4. Crescimeto de céluls (Microbiologi) N microbiologi, plvr crescimeto é defiid como um umeto o úmero de céluls. N turez o compoete crescimeto é essecil pelo fto de que qulquer célul tem um vid útil fiit e espécie é mtid como o resultdo do crescimeto populciol cotíuo. Observdo o livro de Microbiologi de Brock, segudo MADIGAN (004), célul bcteri é um máqui cpz de replicr si mesm. O crescimeto do úmero de bctéris é exemplificdo trvés do processo deomido de divisão biári (express o fto de que dus céluls são formds prtir de um). Durte o ciclo d divisão celulr, todos os compoetes estruturis d célul duplicm, e o itervlo pr formção de dus céluls prtir de um é deomido gerção; e o tempo ecessário pr que isso ocorr é chmdo tempo de gerção. Os processos bioquímicos que evolvem o crescimeto de céluls bcteris são superiores 000. O tempo ecessário pr completr um ciclo de crescimeto de bctéris é vriável, pois depedem ftores de tempertur, utrição e geétic. Em codições ideis, bctéri Escherichi coli pode completr o ciclo pes 0 miutos, ms miori ds bctéris gst mis tempo... Crescimeto expoecil de céluls Apresetremos o experimeto do livro de MADIGAN (004) o crescimeto celulr iicido pes com um célul ode o tempo de gerção de 0 miutos, de cordo com tbel bixo. Figur 9: Crescimeto populciol de um célul que duplic cd 0 miutos. Notmos este modelo de umeto d populção que em cd período fixo de tempo o úmero de céluls dobr, deomimos este umeto de crescimeto expoecil. Um

43 4 crcterístic do crescimeto expoecil é que velocidde do umeto do úmero de céluls iicilmete é let, ms umet cd vez mis com o pssr do tempo. Por exemplo, o experimeto d figur 8, durte os primeiros 0 miutos de crescimeto velocidde de produção de céluls é um cd 0 miutos, e depois, etre 5,5 e 6 hors de crescimeto, velocidde de produção de céluls é cosidervelmete mior, 048 céluls cd 0 miutos. Isto mostr que s últims etps o umeto do úmero de céluls é relmete ssombroso. Figur 0(): Gráfico represetdo com os eixos em escl ritmétic. Figur 0(b): Gráfico ode o eixo verticl está em escl logritmic e o eixo horizotl em escl ritmétic. Qudo os eixos do sistem de coordeds são represetdos ritmeticmete, o úmero de céluls de um experimeto em fução do tempo decorrido obtém o gráfico de um curv cuj iclição umet costtemete, [figur 0()]. No etto é difícil obter qulquer iformção sobre o crescimeto prtir deste tipo de curv, pelo fto de trblhrmos com o úmero muito grde de céluls. Se o mesmo experimeto fosse presetdo pelo sistem de coordeds [figur 0(b)], ode um dos eixos represet o úmero de céluls em escl logrítmic (log 0) e outro eixo o tempo em escl ritmétic, result um gráfico semilogrítmico obtedo um lih ret. Est lih é um idicdor imedito de que s céluls estão crescedo expoecilmete., os gráficos semilogrítmicos são dequdos e simples de usr pr determir o crescimeto e os tempos de gerção prtir de um série de resultdos... Prâmetros do Aumeto o Número de Céluls O umeto expoecil do úmero ds céluls de um cultur bcteri (figur 9), é um progressão geométric de rzão r. Pois qudo um célul se duplic, pode ser expresso como 0, ode 0 e represet o úmero de gerções. E qudo dus céluls

44 4 duplicm-se em qutro temos,e ssim sucessivmete. Etão existe um relção diret etre rzão d PG e o úmero de gerções durte o período de umeto d populção., ddo o úmero iicil de céluls N0 e o úmero de gerções, é possível clculr o úmero fil de céluls N pel seguite equção N N 0. (9) E o tempo de gerção g d populção celulr é igul t. Relembrdo que o tempo de gerção é o itervlo de tempo gsto pr que célul duplic-se. Vmos lisr figur () e cofirmr se o úmero fil de céluls represetdo o gráfico semilogritmico terá o mesmo vlor utilizdo equção (9). Figur (): Gráfico semilogrítmico que forecem diferetes ddos referete o crescimeto expoecil ds céluls. Figur (b): Problem pr ecotrr o de gerções e o tempo de gerção g com bse dos ddos presetdos o gráfico. Pelo gráfico d figur () já sbemos que o N 7 8.0, ms o ituito é ecotrr este vlor equção. Idetificdo os vlores temos populção iicil úmero de gerções, logo substituido estes em (9) teremos 7 N 0.0, e o vlor do Portto N N Etão verificmos que o úmero fil de céluls forecid o gráfico é mesm obtid equção. E expressdo o vlor de trsformções. Temos prtir d equção (9), é preciso fzer s seguites N N 0.

45 44 Portto Dí log N log N0 log log log N log N log N log N log 0 0. (0) De cordo com os ddos forecidos figur (b), clcule: I) O úmero de gerções ; II) O tempo de gerção g. (Solução I) Tomdo os ddos do vlor fil e iicil ds céluls d figur (b) e utilizdo fórmul (0) iremos ecotrr o vlor de, temos 6 6 log 4.0 log,5.0 log Etão Portto, 04 0,0 4. Assim, o úmero de gerções é igul 4. (Solução II) Sbemos que tempo de gerção g de um populção celulr é igul t. No gráfico observmos que o tempo t 4hors e o úmero de gerções 4, etão teremos Sigific que s populções ds céluls duplicm cd hor. g g 4 4.

46 45 CONSIDERAÇÕES FINAIS A pricipl iteção qudo propus relizção deste trblho foi esclrecer o leitor como pes dois tipos de progressões estuddos em mtemátic estão presetes em osss vids e muits ds vezes em percebemos por flt de cohecimeto ou iteresse. N fse d elborção e execução do trblho, tes mesmo de cometr PA e PG, tive grde preocupção de estruturr um licerce sobre o tem e por isso o primeiro cpítulo iici-se mostrdo lgus csos de sequêcis fim de coceitulizr, defiir e eteder como podemos represetr sequêci. Dí torou-se cbível itroduzir PA e PG. Recorri vários utores de livros e textos ão somete revisr coceitos e proprieddes ds progressões ritmétics e geométrics, ms sim forecer sigificdos utilizção dests proprieddes trvés de exemplos cocretos. No segudo cpítulo foi possível mecior lgums plicções referetes às progressões que estão presetes s áres d mtemátic ficeir, geometri (Frctl), e o crescimeto populciol de céluls (microbiologi). Existem outrs áres o segudo que utilizm ds progressões ritmétics e geométrics s quis evolvem Físic, Jogos Lúdicos e Série Geométric, que poderemos citr em trblhos futuros. Porém creio que o objetivo d moogrfi foi lcçdo, que é elucidr e fometr curiosidde do leitor que o mudo está repleto de sequêcis, progressões e pdrões, sedo possível compreedê-ls.

47 46 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BARBOSA, Ruy Mdse. Descobrido Geometri Frctl pr sl de ul. Ed. Autetic: Tedêcis em Educção Mtemátic, 005, 56 p. BEMFICA Adrius. Frctis e Série Geométric, um metodologi de esio. Trblho desevolvido Fculdde Ceecist de Osório. Dispoível em: < Acesso em 4/08/0. CARVALHO, M. C. C. S. Pdrões uméricos e seqüêcis São Pulo: Moder, 997. GOULART, Márcio Citr. Mtemátic o Esio Médio. Editor Scipioe, ª edição, São Pulo, 008. HAZZAN, Smuel; POMPEU José Nicolu, Mtemátic Ficeir. Ed. Sriv, 5ª edição, São Pulo, 005. IEZZI, Gelso e HAZZAN, Smuel. Fudmetos de Mtemátic Elemetr: seqüêcis, mtrizes, determites, sistems.vol Ed. São Pulo: Editor Atul, 99. JANOS, Michel, Geometri Frctl. Rio de Jeiro: Ed. Ciêci Moder Ltd, 008. LAURA Mri: Progressão Geométric. Blog que preset spectos teóricos e práticos d progressão geométric, requisitdo pelo prof. Iedo Bezerr. Dispoível em: < html>. Acesso em 5/04/0. LEÃO R. Projeto: Costruido Frctis com Mteril Cocreto. Trblho desevolvido pelo Istituto de Ciêcis Exts e Nturis Uiversidde Federl do Prá. Dispoível em: < Acesso em 07/09/0. MADIGAN, M.T.; MARTINKO, J.M.; Prker. J. Microbiologi de Brock, 0ª edição. São Pulo. Pretice Hll, 004. MORGADO, Augusto Césr de Oliveir; WAGNER, Edurdo; ZANI, Progressões e mtemátic ficeir. SBM 6 ed. Rio de Jeiro, 005. Sheil Cristi. NUNES, Rquel Sofi. Geometri Frctl e Aplicções, Tese desevolvid Fculdde de Ciêcis do Porto, 006. Dispoível em: < Acesso em /08/0. SILVA, Cludio Xvier d; BENIGNO, Brreto Filho. Mtemátic ul por ul. ed.reov. São Pulo: FTD,005. UNIVERSIDADE CAXIAS DO SUL, Prátics Pedgógics Progressões Geométrics. Trblho desevolvido por um grupo de cdêmicos o Cetro de Ciêcis Exts e Tecologi CCET. Dispoível em: <ucsews.ucs.br/ccet/deme/clculo/.../m48trblho_pg.pdf>. Acesso em /04/0.

48 47 JOGO DO CAOS Costrução do Triâgulo de Sierpiski trvés do jogo do cos. Precisremos de ddo ão vicido; Um figur de um triâgulo equilátero de vértices A, B e C. Figur O ddo fucio como um gerdor letório que correspoderá os vértices A(,); B(,4) e C(5,6). Assim, começremos o jogo mrcdo um poto t 0 em qulquer prte próxim d figur. Depois lçmos o ddo. Se o ddo ssumir o vlor 5, vemos que correspode o vértice C. Em seguid tribui de t o poto médio etre t 0 e C. Jog ovmete o ddo e se o úmero gerdo for, relciomos com o vértice A. Chm de t o poto médio etre t e A. Prossegue ssim o processo idefiidmete. Figur : Seis primeirs iterções do Jogo do Cos.

49 48 Figur : 500 iterções do Jogo do Cos. Figur 4: 5000 iterções do Jogo do Cos. Figur 5: iterções do Jogo do Cos.