CÁLCULO I. Exibir o cálculo de algumas integrais utilizando a denição.

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1 CÁLCULO I Prof Mrcos Diiz Prof Adré Almeid Prof Edilso Neri Prof Emerso Veig Prof Tigo Coelho Aul o : A Itegrl de Riem Objetivos d Aul Deir itegrl de Riem; Exibir o cálculo de lgums itegris utilizdo deição O Problem d Áre O Problem d Áre foi presetdo ul itrodutóri do curso de cálculo, ms se fz ecessário relembrrmos de lgums ideis importtes vists esse tem Problem Como clculr áre d região limitd pel fução y =, o eixo x e s rets x = 0 e x = 5? A região cuj áre queremos clculr é seguite: Como podemos otr, região é um retâgulo de bse 5 e ltur Logo, su áre é dd por Áre = Bse Altur = 5 = 0 uiddes de áre Problem Como clculr áre d região limitd pel fução y = x, o eixo x e s rets x = 0 e x =?

2 A região cuj áre queremos clculr é vist gur bixo: Como é fácil ver, região é um triâgulo de bse e ltur, logo, su áre é clculd por: Áre = Bse Altur = = uiddes de áre Qudo s regiões são s gurs pls cujs fórmuls de áre são cohecids, c fácil determir s sus medids de áre Cotudo, o próximo problem os esi um modo de determir áre de regiões mis geris, trvés d ferrmet mtemátic chmd INTEGRAL Problem 3 Como medir áre A delimitd pelo gráco d fução f(x) = x, o eixo x e s rets x = 0 e x =? A região cuj áre queremos clculr é seguite: Vmos dotr seguite estrtégi pr resolver este problem: Vmos dividir o itervlo [0, ] em subitervlos, cujo comprimeto será: Teremos, etão, os seguites subitervlos: x = 0 = [ 0, ] [,, ] [,, 3 ] [ ] 3 e, Vmos costruir qutro retâgulos de bse x e ltur igul o vlor de f(x) s extremiddes à esquerd dos subitervlos 3 Clculmos som ds qutro áres destes retâgulos, coforme gur seguir Prof Mrcos Diiz Prof Adré Almeid Prof Edilso Neri Prof Emerso Veig Prof Tigo Coelho

3 Cálculo I Aul o Figur : Vej que: A = (0) = = 0, N gur vemos que áre é mior que 0,875: A > 0, 785 () Podemos repetir esse procedimeto com um úmero mior de retâgulos A gur mostr o que cotece qudo sob região A costruímos oito retâgulos com mesm lrgur Figur : Clculdo som d áre desses retâgulos, temos que A > 0, Podemos obter estimtivs melhores umetdo o úmero de retâgulos A tbel bixo mostr os resultdos de cálculos semelhtes o terior, utilizdo o Geogebr pr clculr s áres A 0 0, , , , , , Prof Mrcos Diiz Prof Adré Almeid Prof Edilso Neri Prof Emerso Veig Prof Tigo Coelho 3

4 Logo, utilizdo os resultdos obtidos tbel cim, é possível cojecturrmos que áre é 3 Observção Podemos substituir os extremos à esquerd pelos extremos à direit dos subitervlos o procedimeto relizdo cim e obteremos o mesmo resultdo Itegrl de Riem Cosideremos um fução ão egtiv y = f(x) deid em um itervlo [, b] Chmmos de um prtição do itervlo [, b] o cojuto de potos x 0, x,, x [, b] tis que := x 0 < x < x < < x < x := b gur bixo ilustr ess deição Agor, ote que os potos d prtição dividem o itervlo [, b] em subitervlos fechdos I = [x 0, x ], I = [x, x ],, I = [x, x ], I = [x, x ] como mostr gur bixo: com os seus respectivos comprimetos x, x,, x ddos por: x = x x 0, x = x x,, x i = x i x i,, x = x x Prof Mrcos Diiz Prof Adré Almeid Prof Edilso Neri Prof Emerso Veig Prof Tigo Coelho

5 Dess form, escolheremos em cd subitervlo um poto λ I, λ I,, λ I e trçmos o vlor de f(λ i ), pr cd i =,,, ssim como gur seguite Dess form, costruiremos retâgulos cujs bses são o comprimeto x i de cd subitervlo e ltur é o vlor de f(λ ), pr todo i =,,,, como ilustrdo bixo: A som d áre desses retâgulos é dd por S = f(λ ) x + f(λ ) x + + f(λ ) x = f(λ i ) x i i= A som S é chmd Som de Riem, pr cd, e é pes um proximção pr áre d região que queremos Logo, fzedo +, estremos subdividido o itervlo [, b] cd vez mis e, como mostrdo teriormete, coseguimos um proximção melhor pr áre d região desejd Logo, áre A que queremos clculr é dd por A = lim A = + lim + f(λ i ) x i () i= Prof Mrcos Diiz Prof Adré Almeid Prof Edilso Neri Prof Emerso Veig Prof Tigo Coelho 5

6 O úmero A é o limite ds soms de Riem e é chmdo itegrl de Riem d fução f sobre o itervlo [, b] Em ossos cálculos, esse limite será represetdo pelo símbolo: A = f(x) dx = lim + f(λ i ) x i Se o limite à direit existir pr todo x [, b], e idepedete d escolh de λ,, λ, dizemos que fução f é itegrável em [, b] Ess deição os propõe um problem: o de sber qudo o limite ds soms de Riem existe Como ess é um questão delicd e foge do objetivo de um curso de cálculo, euciremos e utilizremos o seguite resultdo: Teorem Tod fução cotíu em um itervlo fechdo [, b] é itegrável este itervlo Nos seguites exemplos, ode buscmos pes exemplicr, com lgus cálculos, itegrl de fuções cotíus em um itervlo [, b] utilizdo deição, dmitiremos que os comprimetos dos subitervlos são xos, ou sej, i= x = x = = x = x = b e escolheremos o poto λ i como sedo o extremo esquerdo d prtição Desse modo, podemos sitetizr o procedimeto pr clculr itegrl de um fução cotíu f, ão egtiv, em um itervlo [, b], d seguite form: () Dividi-se o itervlo [, b] em subitervlos I i,i =,,, todos de comprimeto igul x = b Sejm = x 0 < x < x < < x < x = b, os potos que dividem o itervlo () Em cd um destes subitervlos escolhemos um poto λ i como sedo o extremo esquerdo de cd subitervlo I i (3) Formmos etão retâgulos com bse x e ltur f(λ i ), i =,, 3,, () Clculmos som S ds áres dos retâgulos: S = f(λ ) x + f(λ ) x + + f(λ ) x = f(λ i ) x i= (5) Clculmos o limite lim + S Ates de fzermos os exemplos, vmos listr lgums proprieddes que evolvem somtórios: Proposição Sejm c, x,, x, y,, y R Etão, vlem s seguites proprieddes: (i) (ii) cx i = c i= i= x i (x i + y i ) = x i + i= i= i= y i Demostrção () De fto, ote que cx i = cx + cx + + cx + cx i= = c (x + x + + x + x ) ( = c i= x i ) Prof Mrcos Diiz Prof Adré Almeid Prof Edilso Neri Prof Emerso Veig Prof Tigo Coelho 6

7 (b) Observe que (x i + y i ) = (x + y ) + (x + y ) + + (x + y ) + (x + y ) i= = (x + x + + x + x ) + (y + y + + y + y ) ( ( ) = x i + i= i= y i ) Nos próximos exemplos tmbém utilizremos lgums fórmuls que serão pes presetds, pois sus demostrções fogem do objetivo do osso curso Els são i = i= i = i= i 3 = i= ( + ) ( + )( + ) 6 [ ( + ) (3) () ] (5) Vejmos lgus exemplos de cálculo de itegrl pel deição 7 Exemplo Clcule Solução: 3 c dx, em que c R Primeirmete, clculmos som de Riem d fução o itervlo descrito, que é dd por ( ) 7 3 f(λ i ) = i= ( ) c = c i= i= Agor ote que Etão, i= = } + + {{ + + } = vezes ( ) 7 3 f(λ i ) i= = c = c Portto, 7 3 Exemplo Clcule x dx 3 c dx = lim c = c + Solução: Primeirmete, dividiremos o itervlo [, 3] em subitervlos de comprimetos iguis, ou sej, x = Logo, temos que x 0 =, x = + x, x = + x,, x = + ( ) x, x = 3 Logo, como λ i = x i, i =,,, temos que λ =, λ = +,, λ = + ( ) Prof Mrcos Diiz Prof Adré Almeid Prof Edilso Neri Prof Emerso Veig Prof Tigo Coelho 7

8 Logo, s soms de Riem são dds por f(λ i ) x = i= λ i i= = ( i= λ i ) Logo, Pel fórmul (3), temos que Logo, temos que = ( ) = ( ( ) ) = + ( ( ) ) = + ( ( )) = ( + ) = ( ) = + = i= = ( ) f(λ i ) x = + ( ( )) = + ( ) ( ) = + Clculdo o limite d som de Riem, temos que Exemplo 3 Clcule Solução: ( ) lim x dx = lim + + = + lim + lim + ( ) = + = Utilizdo o procedimeto prático, dividimos o itervlo [0, ] em subitervlos de comprimeto Note que ess prtição é dd por: x = 0 x 0 = 0, = x = 0 + x = x, x = 0 + x = x x i = i x x = ( ) x x = Prof Mrcos Diiz Prof Adré Almeid Prof Edilso Neri Prof Emerso Veig Prof Tigo Coelho 8

9 Como λ i = x i, temos que λ = 0 λ = x λ 3 = x λ i = (i ) x λ = ( ) x Desse modo, s soms de Riem são dds por S = f(λ i ) x i= = x f(λ i ) i= = x ( 0 + ( x) + ( x) + 3 ( x) + + ( ) ( x) ) = ( x) 3 ( ( ) ) Agor, ote que pel fórmul (), temos que ( ) + = ( + )( + ) 6 = Logo, ( ) = = = Desse modo, temos que Logo, S = ( x) = lim S = lim = lim 3 ( 3 + ) = 6 = 3 Por m, exibiremos um list de proprieddes d itegrl de Riem Omitiremos demostrção, por creditr que foge o objetivo de um curso de cálculo São els: Teorem Sejm f e g um fução cotíu em [, b] e c um costte rel 3 b f(x) dx = f(x) dx = 0 c dx = c(b ) f(x) dx Prof Mrcos Diiz Prof Adré Almeid Prof Edilso Neri Prof Emerso Veig Prof Tigo Coelho 9

10 5 6 [f(x) + g(x)] dx = cf(x) dx = c f(x) dx = c f(x) dx f(x) dx + f(x) dx + 7 Se f(x) 0 pr todo x [, b], etão 8 Se f(x) g(x), etão Resumo c f(x) dx g(x) dx f(x) dx, com c (, b) f(x) dx 0 g(x) dx Fç um resumo dos pricipis resultdos vistos est ul Aprofuddo o coteúdo Lei mis sobre o coteúdo dest ul seção 5 do livro texto Sugestão de exercícios Resolv os exercícios d seção 5 do livro texto Prof Mrcos Diiz Prof Adré Almeid Prof Edilso Neri Prof Emerso Veig Prof Tigo Coelho 0